Equazioni differenziali del moto. Equazioni differenziali del moto di un punto materiale Introduzione alla dinamica. Disposizioni fondamentali

DINAMICA

Libro di testo elettronico sulla disciplina: “Meccanica teorica”

per studenti modulo di corrispondenza formazione

Conforme allo standard educativo federale

(terza generazione)

Sidorov V.N., dottore in scienze tecniche, professore

Università tecnica statale di Yaroslavl

Yaroslavl, 2016

Introduzione…………………………………………………………………………………

Dinamica…………………………………………………………………..

1.Introduzione alla dinamica. Disposizioni fondamentali ……………

1.1.Concetti e definizioni di base……………...

1.2.Leggi di Newton e problemi della dinamica..............................

1.3.Principali tipi di forze………………............................ .................

La forza di gravità…………………..………........

Gravità ………………………………………..

Forza di attrito …………………………………………………………

Forza elastica……………………..

1.4.Equazioni differenziali movimenti…………..

Equazioni differenziali del moto di un punto………………..

Equazioni differenziali del moto meccanico

sistemi.................................................................

2. Teoremi generali della dinamica………. …………

2.1.Teorema sul moto del centro di massa ……………….. ………………

2.2.Teorema sulla variazione della quantità di moto…………

2.3.Teorema sulla variazione del momento angolare…… ……

Teorema del momento………………………..

Momento cinetico di un corpo rigido…………….

Momento assiale di inerzia di un corpo rigido …………..

Teorema di Huygens – Steiner – Eulero………..

Equazione della dinamica del moto rotatorio di un corpo rigido...

2.4.Teorema sulla variazione di energia cinetica…………………..

Teorema sulla variazione dell'energia cinetica di un materiale

punti……………………………………………………………….

Teorema sulla variazione dell'energia cinetica della meccanica

sistemi…………………….

Formule per il calcolo dell'energia cinetica di un corpo solido

nei diversi casi di movimento…………………

Esempi di calcolo del lavoro delle forze…………….

2.5 Legge di conservazione dell'energia meccanica……….

introduzione

"Chi non conosce le leggi della meccanica

non può conoscere la natura"

Galileo Galilei

L'importanza della meccanica, il suo ruolo significativo nel migliorare la produzione, aumentarne l'efficienza, accelerare il processo scientifico e tecnico e introdurre sviluppi scientifici, aumentare la produttività del lavoro e migliorare la qualità dei prodotti, purtroppo, non è chiaramente compresa da tutti i capi di ministeri e dipartimenti , più alto istituzioni educative, così come ciò che rappresenta la meccanica dei nostri giorni /1/ Di norma, viene giudicato dal contenuto della meccanica teorica, studiata in tutti gli istituti di istruzione tecnica superiore.

Gli studenti dovrebbero sapere quanto sia importante la meccanica teorica, in quanto una delle discipline ingegneristiche fondamentali dell'istruzione superiore, base scientifica delle sezioni più importanti tecnologia moderna, una sorta di ponte che collega la matematica e la fisica con le scienze applicate, con una futura professione. Nelle lezioni su meccanica teorica Per la prima volta, agli studenti viene insegnato il pensiero sistemico e la capacità di porre e risolvere problemi pratici. Risolvili fino alla fine, fino al risultato numerico. Impara ad analizzare una soluzione, a stabilire i limiti della sua applicabilità e i requisiti per l'accuratezza dei dati di origine.

È altrettanto importante che gli studenti sappiano che la meccanica teorica è solo una parte introduttiva, sebbene assolutamente necessaria, del colossale edificio della meccanica moderna nel senso ampio di questa scienza fondamentale. Che sarà sviluppato in altri rami della meccanica: resistenza dei materiali, teoria delle piastre e dei gusci, teoria delle vibrazioni, regolazione e stabilità, cinematica e dinamica di macchine e meccanismi, meccanica dei liquidi e dei gas, meccanica chimica.

I risultati ottenuti in tutti i settori dell'ingegneria meccanica e della costruzione di strumenti, nell'industria edile e nell'ingegneria idraulica, nell'estrazione e lavorazione di minerali, carbone, petrolio e gas, nel trasporto ferroviario e stradale, nella costruzione navale, nell'aviazione e nella tecnologia spaziale si basano su una profonda comprensione delle leggi di meccanica.

Il libro di testo è destinato agli studenti di ingegneria meccanica, specialità auto-meccaniche dei corsi per corrispondenza presso un'università tecnica secondo un programma del corso abbreviato.

Allora, qualche definizione.

Meccanica teoricaè una scienza che studia le leggi generali del movimento meccanico e dell'equilibrio degli oggetti materiali e le risultanti interazioni meccaniche tra oggetti materiali.

Sotto movimento meccanico di un oggetto materiale capire un cambiamento nella sua posizione rispetto ad altri oggetti materiali che si verifica nel tempo.

Sotto interazione meccanica implicare tali azioni dei corpi l'uno sull'altro, durante le quali i movimenti di questi corpi cambiano, o loro stessi si deformano (cambiano forma).

La meccanica teorica è composta da tre sezioni: statica, cinematica e dinamica.

DINAMICA

Introduzione alla dinamica. Disposizioni fondamentali

Concetti e definizioni di base

Formuliamo ancora una volta in una forma leggermente diversa la definizione di dinamica come parte della meccanica.

Dinamica – branca della meccanica che studia il movimento degli oggetti materiali, tenendo conto delle forze che agiscono su di essi.

Tipicamente, lo studio della dinamica inizia con lo studio dinamica di un punto materiale e poi procedere allo studio dinamica dei sistemi meccanici.

A causa della somiglianza delle formulazioni di molti teoremi e leggi di queste sezioni di dinamica, al fine di evitare inutili duplicazioni e ridurre il volume del testo del libro di testo, è consigliabile presentare insieme queste sezioni di dinamica.

Introduciamo alcune definizioni.

Inerzia (legge d'inerzia) – la proprietà dei corpi di mantenere uno stato di quiete o di moto traslatorio rettilineo uniforme in assenza di azione su di esso da parte di altri corpi (cioè in assenza di forze).

Inerzia - la capacità dei corpi di resistere ai tentativi di modificare, con l'ausilio di forze, il loro stato di riposo o di uniforme movimento rettilineo .

Una misura quantitativa dell'inerzia è peso(M). Lo standard di massa è il chilogrammo (kg).

Ne consegue che quanto più un corpo è inerte, tanto maggiore è la sua massa, tanto meno cambia il suo stato di riposo o di moto uniforme sotto l'influenza di una certa forza, tanto meno cambia la velocità del corpo, cioè il corpo è maggiormente in grado di resistere alla forza. E viceversa, quanto più piccola è la massa del corpo, tanto più cambia il suo stato di riposo o di moto uniforme, tanto più cambia la velocità del corpo, cioè Il corpo è meno resistente alla forza.

Leggi e problemi di dinamica

Formuliamo le leggi della dinamica di un punto materiale. Nella meccanica teorica sono accettati come assiomi. La validità di queste leggi è dovuta al fatto che sulla loro base è costruito l'intero edificio della meccanica classica, le cui leggi sono eseguite con grande accuratezza. Le violazioni delle leggi della meccanica classica si osservano solo ad alte velocità (meccanica relativistica) e su scala microscopica (meccanica quantistica).

Principali tipi di forze

Innanzitutto introduciamo la divisione di tutte le forze presenti in natura in attive e reattive (reazioni di connessioni).

Attivo nominare una forza che può mettere in movimento un corpo fermo.

Reazione la connessione nasce dall'azione di una forza attiva su un corpo non libero e impedisce il movimento del corpo. In realtà, quindi, essendo una conseguenza, una risposta, un effetto collaterale di una forza attiva.

Consideriamo le forze che più spesso si incontrano nei problemi di meccanica.

Gravità

Questa forza di attrazione gravitazionale tra due corpi, determinata dalla legge di gravitazione universale:

dove è l'accelerazione di gravità sulla superficie terrestre, numericamente uguale a G≈ 9,8 m/s2, M– massa di un corpo, o sistema meccanico, definita come la massa totale di tutti i punti del sistema:

dove è il raggio vettore K- oh punto del sistema. Le coordinate del centro di massa si ottengono proiettando entrambi i lati di uguaglianza (3.6) sugli assi:

(7)

Forza di attrito

I calcoli ingegneristici si basano su leggi stabilite sperimentalmente chiamate leggi dell'attrito a secco (in assenza di lubrificazione) o Le leggi di Coulomb:

· Quando si tenta di spostare un corpo lungo la superficie di un altro, si genera una forza di attrito ( forza di attrito statico ), il cui valore può assumere valori da zero a un valore limite.

· L'entità della forza di attrito finale è uguale al prodotto di un coefficiente di attrito adimensionale, determinato sperimentalmente F sulla forza della pressione normale N, cioè.

.

(8)

· Al raggiungimento del valore limite della forza di attrito statico, dopo che le proprietà di adesione delle superfici accoppiate sono state esaurite, il corpo inizia a muoversi lungo la superficie di appoggio e la forza di resistenza al movimento è quasi costante e non dipende dalla velocità (entro limiti ragionevoli). Questa forza si chiama forza di attrito radente ed è pari al valore limite della forza di attrito statico.

· superfici.

Presentiamo i valori del coefficiente di attrito per alcuni corpi:

Tavolo 1

Attrito volvente

Fig. 1

Quando la ruota rotola senza strisciare (Fig. 1), la reazione del supporto si sposta leggermente in avanti lungo la direzione del movimento della ruota. La ragione di ciò è la deformazione asimmetrica del materiale della ruota e della superficie di appoggio nella zona di contatto. Sotto l'influenza della forza, la pressione sul bordo B della zona di contatto aumenta e sul bordo A diminuisce. Di conseguenza, la reazione viene spostata di una certa quantità verso il movimento della ruota K, chiamato coefficiente di attrito volvente . Sulla ruota agisce una coppia di forze e con un momento di resistenza al rotolamento diretto contro la rotazione della ruota:

In condizioni di equilibrio con rotolamento uniforme, i momenti di forza coppie , e , si equilibrano: , da cui segue una stima del valore della forza diretta contro il movimento del corpo: . (10)

Il rapporto per la maggior parte dei materiali è significativamente inferiore al coefficiente di attrito F. Ciò spiega il fatto che nella tecnologia, quando possibile, si cerca di sostituire lo scorrimento con il rotolamento.

Forza elastica

Questa è la forza con cui un corpo deformato si sforza di ritornare al suo stato originale e indeformato. Se, ad esempio, allunghi una molla di una certa quantità λ , allora la forza elastica e il suo modulo sono rispettivamente uguali:

.

(11)

Il segno meno nella relazione vettoriale indica che la forza è diretta nella direzione opposta allo spostamento. Grandezza Conè chiamato " rigidità "ed ha dimensione N/m.

Equazioni differenziali del moto

Equazioni differenziali del moto dei punti

Torniamo all'espressione della legge fondamentale della dinamica di un punto nella forma (3.2), scrivendola sotto forma di equazioni differenziali vettoriali del 1o e 2o ordine (il pedice corrisponderà al numero di forza):

(17)

(18)

Confrontiamo, ad esempio, i sistemi di equazioni (15) e (17). È facile vedere che la descrizione del movimento di un punto negli assi coordinati si riduce a 3 equazioni differenziali del 2° ordine o (dopo la trasformazione) a 6 equazioni del 1° ordine. Allo stesso tempo, la descrizione del moto di un punto lungo gli assi naturali è associata ad un sistema misto di equazioni, costituito da un'equazione differenziale del 1° ordine (rispetto alla velocità) e due algebriche.

Da ciò possiamo concludere che analizzando il moto di un punto materiale, talvolta risulta più semplice risolvere il primo ed il secondo problema di dinamica, formulando le equazioni del moto negli assi naturali.

Il primo o problema diretto della dinamica di un punto materiale comprende problemi in cui, date le equazioni del moto del punto e la sua massa, è necessario trovare la forza (o le forze) che agiscono su di esso.

Il secondo problema o inverso della dinamica di un punto materiale comprende problemi in cui, in base alla sua massa, alla forza (o alle forze) agenti su di esso e alle condizioni cinematiche iniziali note, è necessario determinare le equazioni del suo moto.

Va notato che quando si risolve il primo problema della dinamica, le equazioni differenziali si trasformano in algebriche, la cui soluzione del sistema è un compito banale. Risolvendo il 2° problema della dinamica, per risolvere un sistema di equazioni differenziali è necessario formulare il problema di Cauchy, cioè aggiungi il cosiddetto alle equazioni condizioni "margine". Nel nostro caso, queste sono condizioni che impongono restrizioni alla posizione e alla velocità nel momento iniziale (finale), o nel cosiddetto. "

Poiché, secondo la legge di uguaglianza di azione e reazione, le forze interne sono sempre accoppiate (agiscono su ciascuno dei due punti interagenti), sono uguali, dirette in modo opposto e agiscono lungo la linea retta che collega questi punti, quindi la loro somma a coppie è uguale a zero. Inoltre, anche la somma dei momenti di queste due forze attorno a qualsiasi punto è zero. Significa che la somma di tutte le forze interne E la somma dei momenti di tutte le forze interne di un sistema meccanico separatamente è uguale a zero:

,

(22)

.

(23)

Ecco rispettivamente il vettore principale e il momento principale delle forze interne, calcolati rispetto al punto O.

Le uguaglianze (22) e (23) riflettono proprietà delle forze interne di un sistema meccanico .

Facciamone un po' K-esimo punto materiale di un sistema meccanico, sia le forze esterne che quelle interne agiscono contemporaneamente. Poiché vengono applicati a un punto, possono essere sostituiti rispettivamente dai risultanti delle forze esterne () e interne (). Quindi la legge fondamentale della dinamica K-esimo punto del sistema può essere scritto come , quindi per l’intero sistema sarà:

(24)

Formalmente, il numero di equazioni nella (24) corrisponde al numero N punti del sistema meccanico.

Le espressioni (24) rappresentano equazioni differenziali del moto di un sistema in forma vettoriale , se sostituiscono i vettori accelerazione con la derivata prima o seconda rispettivamente della velocità e del raggio vettore: Per analogia con le equazioni del moto di un punto (15), queste equazioni vettoriali possono essere trasformate in un sistema di 3 N equazioni differenziali del 2° ordine.

Teoremi generali della dinamica

Generali sono quei teoremi della dinamica di un punto materiale e di un sistema meccanico che danno leggi valide per qualsiasi caso di movimento di oggetti materiali in un sistema di riferimento inerziale.

In generale, questi teoremi sono conseguenze delle soluzioni di un sistema di equazioni differenziali che descrivono il movimento di un punto materiale e di un sistema meccanico.

SEZIONE 3. DINAMICHE.

Dinamica Corpo materiale- un corpo che ha massa.

Punto materiale

Materiale

UN - BV-

Inerzia

Massa corporea

Forza -

,

. UN - B- - forza di trazione della locomotiva elettrica; V- -

Sistema Inerziale

Movimento Spazio Tempo

Sistema

ARGOMENTO 1

Prima Legge(legge d'inerzia).

Isolato

Per esempio: - peso corporeo, -

- velocità iniziale).

Seconda Legge(legge fondamentale della dinamica).

Matematicamente, questa legge è espressa dall'uguaglianza del vettore

Durante l'accelerazione, il movimento del punto è uniformemente variabile (Fig. 5: UN - movimento - lento; B - movimento - accelerato, . - massa puntiforme, - vettore accelerazione, - vettore forza, - vettore velocità).

Quando - il punto si muove in modo uniforme e rettilineo oppure quando - è fermo (legge d'inerzia). La seconda legge ci consente di stabilire una connessione tra peso corporeo, situato vicino alla superficie terrestre, e il suo peso , , dove è l'accelerazione della caduta libera.

Terza Legge(legge di uguaglianza di azione e reazione).

Due materiali i punti agiscono l'uno sull'altro con forze uguali in grandezza e dirette lungo la linea retta che collega questi punti in direzioni opposte.

Poiché le forze vengono applicate in punti diversi, il sistema di forze non è equilibrato (Fig. 6). Nel suo turno - il rapporto tra le masse dei punti interagenti è inversamente proporzionale alle loro accelerazioni.

Quarta Legge(legge di indipendenza dell'azione delle forze).

Accelerazione, ricevuta da un punto quando su di esso agiscono simultaneamente più forze, è uguale alla somma geometrica delle accelerazioni che il punto riceverebbe se ciascuna forza gli fosse applicata separatamente.

Spiegazione (Fig. 7). La forza risultante è definita come . Da , Quello .

Secondo problema (inverso).

Conoscere la corrente sul punto di forza, la sua massa e le condizioni iniziali di movimento, determinano la legge di moto del punto o qualsiasi altra sua caratteristica cinematica.

Iniziale le condizioni per il movimento di un punto negli assi cartesiani sono le coordinate del punto, e la proiezione della velocità iniziale su questi assi, e nell'istante corrispondente all'inizio del movimento del punto e preso uguale a zero .

La risoluzione di problemi di questo tipo si riduce alla compilazione di equazioni differenziali (o un'equazione) del movimento di un punto materiale e alla loro successiva soluzione mediante integrazione diretta o utilizzando la teoria delle equazioni differenziali.

ARGOMENTO 2. INTRODUZIONE ALLA DINAMICA DEI SISTEMI MECCANICI

2.1. Concetti e definizioni di base

Meccanico un sistema o sistema di punti materiali è un insieme di punti materiali che interagiscono tra loro.

Esempi di sistemi meccanici:

1. un corpo materiale, incluso uno assolutamente solido, come un insieme di particelle materiali interagenti; un insieme di solidi interconnessi; un insieme di pianeti nel sistema solare, ecc.

2. Uno stormo di uccelli in volo non è un sistema meccanico, poiché non esiste alcuna interazione di forza tra gli uccelli.

Gratuito un sistema meccanico è un sistema in cui non sono imposte connessioni al movimento dei punti. Per esempio: movimento dei pianeti del sistema solare.

Non libero sistema meccanico - un sistema in cui le connessioni sono imposte al movimento dei punti. Per esempio: movimento di parti in qualsiasi meccanismo, macchina, ecc.

Classificazione delle forze

La classificazione delle forze agenti su un sistema meccanico non libero può essere presentata sotto forma del seguente diagramma:

Esterno forze - forze che agiscono sui punti di un dato sistema meccanico da altri sistemi.

Domestico- forze di interazione tra punti di un sistema meccanico.

Un punto arbitrario del sistema (Fig. 1) è influenzato da: - la risultante delle forze esterne (indice - prima lettera Parola francese esterno - (esterno)); - risultante delle forze interne (indice - dalla parola interieur - (interno)). La stessa forza della reazione di connessione, a seconda delle condizioni del compito, può essere sia esterna che interna.

Proprietà delle forze interne

e - punti interagenti del sistema meccanico (Fig. 2). Basato sulla 3a legge della dinamica

Dall'altro lato: . Pertanto il vettore principale e il momento principale delle forze interne del sistema meccanico sono pari a zero:

SEZIONE 3. DINAMICHE.

CONCETTI FONDAMENTALI DELLA MECCANICA CLASSICA

Dinamica- branca della meccanica teorica in cui si studia il movimento corpi materiali(punti) sotto l'influenza delle forze applicate. Corpo materiale- un corpo che ha massa.

Punto materiale- un corpo materiale, la cui differenza nel movimento dei punti è insignificante. Questo può essere un corpo le cui dimensioni durante il suo movimento possono essere trascurate, oppure un corpo di dimensioni finite se si muove in modo traslatorio.

Materiale i punti sono anche chiamati particelle in cui il solido nel determinare alcune delle sue caratteristiche dinamiche.

Esempi di punti materiali (Fig. 1): UN - movimento della Terra attorno al Sole. La Terra è un punto materiale; B- moto traslatorio di un corpo rigido. Un corpo solido è un punto materiale, perché ; V- rotazione di un corpo attorno ad un asse. Una particella di un corpo è un punto materiale.

Inerzia- la proprietà dei corpi materiali di cambiare la velocità del loro movimento più velocemente o più lentamente sotto l'influenza delle forze applicate.

Massa corporeaè una quantità scalare positiva che dipende dalla quantità di sostanza contenuta in un dato corpo e ne determina la misura dell'inerzia durante il movimento traslatorio. Nella meccanica classica la massa è una quantità costante.

Forza- una misura quantitativa dell'interazione meccanica tra corpi o tra un corpo (punto) e un campo (elettrico, magnetico, ecc.). La forza è una grandezza vettoriale caratterizzata da grandezza, punto di applicazione e direzione (linea di azione) (Fig. 2: - il punto di applicazione è la linea di azione della forza).

Nella dinamica, insieme alle forze costanti, esistono anche forze variabili, che possono dipendere dal tempo, dalla velocità , distanza o dalla totalità di queste quantità, cioè

Esempi di tali forze sono mostrati in Fig. 3 . UN -- peso corporeo, - forza di resistenza dell'aria; B- - forza di trazione della locomotiva elettrica; V- - la forza di repulsione o di attrazione verso il centro.

Sistema riferimento: un sistema di coordinate associato a un corpo in relazione al quale viene studiato il movimento di un altro corpo. Inerziale sistema - un sistema in cui sono soddisfatte la prima e la seconda legge della dinamica. Questo è un sistema di coordinate fisse o un sistema che si muove uniformemente e linearmente in traslazione.

Movimento in meccanica è un cambiamento nella posizione di un corpo nello spazio e nel tempo. Spazio nella meccanica classica, tridimensionale, soggetta alla geometria euclidea. Tempo- una quantità scalare che si presenta ugualmente in qualsiasi sistema di riferimento.

Sistema le unità sono un insieme di unità di misura di grandezze fisiche. Per misurare tutte le grandezze meccaniche: sono sufficienti tre unità fondamentali: unità di lunghezza, tempo, massa o forza. Da queste derivano tutte le altre unità di misura delle grandezze meccaniche. Vengono utilizzati due tipi di sistemi di unità: il sistema internazionale di unità SI (o più piccolo - GHS) e il sistema tecnico di unità - ICG.

ARGOMENTO 1. INTRODUZIONE ALLA DINAMICA DI UN PUNTO MATERIALE.

1.1. Leggi della dinamica di un punto materiale (leggi di Galileo-Newton)

Prima Legge(legge d'inerzia).

Isolato da influenze esterne, un punto materiale mantiene il suo stato di quiete oppure si muove in modo uniforme e rettilineo finché le forze applicate non lo costringono a cambiare questo stato.

Il movimento compiuto da un punto in assenza di forze o sotto l'azione di un sistema di forze equilibrato si chiama movimento per inerzia.

Per esempio: movimento di un corpo lungo una superficie orizzontale liscia (la forza di attrito è zero) (Fig. 4: - peso corporeo, - reazione sul piano normale). Da allora.

Quando il corpo si muove alla stessa velocità; quando il corpo è a riposo ( - velocità iniziale).

Rykov V.T.

Esercitazione. - Krasnodar: Kuban State University, 2006. - 100 pp.: 25 ill. La prima parte del corso di lezioni con compiti sulla meccanica teorica per le specialità fisiche dell'istruzione universitaria classica.
Il manuale rappresenta la seconda parte del complesso didattico e metodologico sulla meccanica teorica e sulla meccanica del continuo. Contiene dispense per tre sezioni del corso di meccanica teorica e meccanica dei continui: “Equazioni differenziali di base della dinamica”, “Moto in un campo a simmetria centrale” e “Moto rotatorio di un corpo rigido”. Come parte del complesso educativo e metodologico, il manuale contiene compiti di controllo (opzioni di test) e domande per il test finale del computer (esame). Questo corso è completato da un libro di testo elettronico con frammenti di lezioni (su laser disk).
Il manuale è destinato agli studenti del 2° e 3° anno delle facoltà di fisica e fisico-tecniche delle università, può essere utile per gli studenti delle università tecniche che studiano i fondamenti della meccanica teorica e tecnica.
Equazione differenziale fondamentale della dinamica (seconda legge di Newton)
Struttura della sezione
Descrizione del movimento di un punto materiale
Problemi di dinamica diretta e inversa
Derivazione della legge di conservazione della quantità di moto dall'equazione differenziale fondamentale della dinamica
Derivazione della legge di conservazione dell'energia dall'equazione differenziale fondamentale della dinamica
Derivazione della legge di conservazione del momento angolare dall'equazione differenziale fondamentale della dinamica
Integrali del moto

Compito di prova
Movimento in un campo centralmente simmetrico
Struttura della sezione
Il concetto di campo centralmente simmetrico
Velocità in coordinate curvilinee
Accelerazione in coordinate curvilinee
Velocità e accelerazione in coordinate sferiche
Equazioni del moto in un campo a simmetria centrale
Velocità di settore e accelerazione di settore
Equazione del moto di un punto materiale in un campo gravitazionale e in un campo di Coulomb
Ridurre il problema dei due corpi al problema di un corpo solo. Massa ridotta
La formula di Rutherford
Test sul tema: Velocità e accelerazione in coordinate curvilinee
Moto rotatorio di un corpo rigido
Struttura della sezione
Il concetto di corpo solido. Movimento rotatorio e traslatorio
Energia cinetica di un solido
Tensore d'inerzia
Riduzione del tensore d'inerzia alla forma diagonale
Significato fisico delle componenti diagonali del tensore d'inerzia
Teorema di Steiner per il tensore d'inerzia
Momento di un corpo rigido
Equazioni del moto rotatorio di un corpo rigido in un sistema di coordinate rotanti
Angoli di Eulero
Moto in sistemi di riferimento non inerziali
Prova sull'argomento: Moto rotatorio di un corpo rigido
Lettura consigliata
Applicazione
Applicazione
Alcune formule e relazioni fondamentali
Indice degli argomenti

Puoi scrivere una recensione del libro e condividere le tue esperienze. Gli altri lettori saranno sempre interessati alla tua opinione sui libri che hai letto. Che tu abbia amato il libro o no, se esprimi i tuoi pensieri onesti e dettagliati, le persone troveranno nuovi libri adatti a loro.

N k k = SOL F(t, r SOL (t) SOL , r (t)) k= 1 ∑FG k= 1 Krasnodar 2011 mrG = n k= 1 k n k= 1 k k= 1 k n k = SOL F(t, r SOL = SOL (t) SOL F(, r t, r SOL (t)) k= 1 ∑FG mrG = = SOL (t) SOL , r F((t) t, r SOL k =) SOL (t), SOL F(r( t, G t)) k= 1 n ∑FG n ∑FG mrG = ∑FG Tutorial) = G ∑FG F(r(t, r G = G t), G F(((t, r G t), G r (t) G t)) r , r (t)) (t) mrG = n ∑FG mrG = mrG = mrG = V.T. Rykov Rykov V.T. EQUAZIONE DIFFERENZIALE DI BASE DELLA DINAMICA Libro di testo Appunti delle lezioni Compiti dei test Domande della prova finale (esame combinato) Krasnodar 2006 UDC 531.01 BBK 22.25я73 R 944 Revisore: Dottore in Fisica e Matematica. Scienze, professore, capo. Dipartimento di Meccanica Strutturale dell'Università Tecnologica Kuban I. M. Dunaev Rykov V. T. R 944 Equazione differenziale di base della dinamica: libro di testo. indennità. Krasnodar: Kuban. stato università, 2006. – 100 pag. I l. 25. Bibliografia 6 titoli ISBN Il manuale rappresenta la seconda parte del complesso didattico e metodologico sulla meccanica teorica e sulla meccanica del continuo. Contiene dispense per tre sezioni del corso di meccanica teorica e meccanica dei continui: “Equazioni differenziali di base della dinamica”, “Moto in un campo a simmetria centrale” e “Moto rotatorio di un corpo rigido”. Come parte del complesso educativo e metodologico, il manuale contiene compiti di controllo (opzioni di test) e domande per il test finale del computer (esame). Questo corso è completato da un libro di testo elettronico con frammenti di lezioni (su laser disk). Il manuale è destinato agli studenti del 2° e 3° anno delle facoltà di fisica e fisico-tecniche delle università; può essere utile per gli studenti delle università tecniche che studiano i fondamenti della meccanica teorica e tecnica. Pubblicato per decisione del Consiglio della Facoltà di Fisica e Tecnologia dell'Università Statale di Kuban UDC 531 (075.8) BBK 22.25ya73 ISBN © Università Statale di Kuban, 2006 CONTENUTO Prefazione................ ...................................................... ....... 6 Glossario............................................ ........ .......................... 8 1. Equazioni differenziali fondamentali della dinamica (seconda legge di Newton) .. .................... 11 1.1. Struttura della sezione.................................... ...111.2. Descrizione del moto di un punto materiale......... 11 1.2.1. Sistema di coordinate cartesiane.................. 12 1.2.2. Un modo naturale per descrivere il movimento di un punto. Triedro accompagnatore............................................ ... ............... 13 1.3. Problemi diretti e inversi della dinamica................................. 16 1.4. Derivazione della legge di conservazione della quantità di moto dall'equazione differenziale fondamentale della dinamica................................ .................................... 21 1.5. Derivazione della legge di conservazione dell’energia dall’equazione differenziale fondamentale della dinamica................................. .................................... 24 1.6. Derivazione della legge di conservazione del momento angolare dall'equazione differenziale fondamentale della dinamica................................. .................... 26 1.7. Integrali del moto............................................... ....27 1.8. Moto in sistemi di riferimento non inerziali................................................ ........................................ 28 1.9. Compito di prova.................................... ... 28 1.9.1 . Un esempio di risoluzione di un problema................................ 28 1.9.2. Opzioni per le attività di test............................. 31 1.10. Prove di controllo finale (esame) ................... 35 1.10.1. Campo A................................................. ..... ............ 35 1.10.2. Campo B.................................................. ..... ............ 36 1.10.3. Campo C.................................................. ..... ............ 36 2. Movimento in un campo centralmente simmetrico........... 38 2.1. Struttura della sezione.................................... ...38 2.2. Il concetto di campo centralmente simmetrico........ 39 3 2.3. Velocità in coordinate curvilinee.... 39 2.4. Accelerazione in coordinate curvilinee........ 40 2.5. Velocità e accelerazione in coordinate sferiche............................................ .............. ................... 41 2.6. Equazioni del moto in un campo centralmente simmetrico............................................ .......... .....45 2.7. Velocità e accelerazione del settore...... 46 2.8. Equazione del moto di un punto materiale in un campo gravitazionale e in un campo di Coulomb................................. 48 2.8.1. Energia effettiva................................................... ...48 2.8.2. Equazione della traiettoria................................... .... 49 2.8.3. Dipendenza della forma della traiettoria dall'energia totale................................................ ............ 51 2.9. Ridurre il problema dei due corpi al problema di un corpo solo. Massa ridotta.................................... ........52 2.10. La formula di Rutherford................................................ ...54 2.11. Test sul tema: Velocità e accelerazione in coordinate curvilinee................................. 58 2.11.1. Un esempio di completamento di un test sul tema della velocità e dell'accelerazione in coordinate curvilinee. .................... 58 2.11.2. Opzioni per le attività di test.................. 59 2.12. Prove di controllo finale (esame) ................... 61 2.12.1. Campo A................................................. ..... ............ 61 2.12.2. Campo B.................................................. ..... ............ 62 2.12.3. Campo C.................................................. ..... ............ 63 3. Moto di rotazione di un corpo rigido............................. .... 65 3.1. Struttura della sezione.................................... ...65 3.2. Il concetto di corpo solido. Moto rotatorio e traslatorio............................................ ......66 3.3. Energia cinetica di un corpo solido................. 69 3.4. Tensore d'inerzia.................................... ........ 71 3.5. Riduzione del tensore d’inerzia alla forma diagonale............................. ........ .....72 4 3.6. Significato fisico delle componenti diagonali del tensore d'inerzia................................. ....74 3.7. Teorema di Steiner per il tensore d'inerzia.............. 76 3.8. Momento di un corpo rigido.................................. 78 3.9. Equazioni del moto rotatorio di un corpo rigido in un sistema di coordinate rotanti.................................... .................................... 79 3.10. Angoli di Eulero.............................................. ... .......... 82 3.11. Moto in sistemi di riferimento non inerziali................................................ ........................................ 86 3.12. Test sull'argomento: Moto rotatorio di un corpo rigido................................................. ............. ..88 3.12.1. Esempi di completamento delle attività di controllo................................................ .................................... 88 3.12.2. Prova a casa.................................... 92 3.13. Prove di controllo finale (esame) ................... 92 3.13.1. Campo A................................................. ..... ............ 92 3.13.2. Campo B.................................................. ..... ............ 94 3.13.3. Campo C.................................................. ..... ............ 95 Letture consigliate................................ ...................... 97 Appendice 1................................ ..................................... 98 Appendice 2. Alcune formule e relazioni fondamentali......... .................................................... ...... ... 100 Indice degli argomenti............................. ............. ....... 102 5 PREFAZIONE Il presente libro costituisce una “componente solida” del complesso didattico e metodologico del corso “Meccanica teorica e fondamenti della meccanica dei continui”, che fa parte dello standard educativo statale nelle specialità: “fisica” - 010701, “radiofisica” ed elettronica" – 010801. La sua versione elettronica (formato pdf) è pubblicata sul sito web della Kuban State University e sulla rete locale della Facoltà di Fisica e Tecnologia della Kuban State University. In totale, sono state sviluppate quattro parti principali del complesso educativo e metodologico sulla meccanica teorica e sui fondamenti della meccanica del continuo. L'analisi vettoriale e tensoriale - la prima parte del complesso - ha lo scopo di rafforzare e, in larga misura, formare le conoscenze di base nel campo dei fondamenti matematici non solo del corso di meccanica teorica, ma dell'intero corso di fisica teorica. Il corso stesso di meccanica teorica è diviso in due parti, una delle quali contiene una presentazione di metodi per risolvere problemi meccanici basati sull'equazione differenziale fondamentale della dinamica: la seconda legge di Newton. La seconda parte è una presentazione dei fondamenti della meccanica analitica (la terza parte del complesso didattico e metodologico). La quarta parte del complesso contiene le basi della meccanica del continuo. Ogni parte del complesso e tutti insieme sono supportati da corsi di formazione elettronici - componenti modificati, che sono pagine HTML, integrati da strumenti di apprendimento attivo - elementi funzionali della formazione. Questi strumenti vengono archiviati in forma archiviata sul sito Web KubSU e distribuiti su dischi laser, allegati a una copia cartacea o separatamente. A differenza dei componenti solidi, i componenti elettronici subiranno continue modifiche per migliorarne l’efficienza. 6 Base della “componente solida” del complesso didattico sono gli appunti delle lezioni, integrati da un “glossario” che spiega i concetti base di questa sezione e da un indice alfabetico. Dopo ciascuna delle tre sezioni di questo manuale viene offerta un'attività di prova con esempi di risoluzione dei problemi. Due compiti di controllo di questa componente vengono completati a casa: questi sono i compiti per le sezioni 2 e 3. Il compito 3 è comune a tutti e viene presentato all'insegnante per il controllo dei quaderni per le lezioni pratiche. Nell'attività 2, ogni studente completa una delle 21 opzioni come indicato dall'insegnante. Il compito 1 viene completato in classe durante una sessione di classe (a coppie) su fogli di carta separati e sottoposto al controllo dell'insegnante. Se il compito non va a buon fine, il lavoro dovrà essere corretto dallo studente (compiti a casa) o rifatto con un'opzione diversa (compiti in aula). Questi ultimi vengono svolti fuori dall'orario scolastico nell'orario suggerito dal docente. Parte proposta sussidio didattico contiene anche materiale ausiliario: l'Appendice 1 presenta i componenti del tensore metrico - gli obiettivi intermedi del test 3, e l'Appendice 2 - formule e relazioni di base, la cui memorizzazione è obbligatoria per ottenere un voto soddisfacente nell'esame. Ogni sezione di ciascuna parte del manuale si conclude con compiti di test - parte integrante di un esame combinato, la cui base è il test informatico con compilazione parallela dei moduli proposti e un successivo colloquio basato sulle valutazioni informatiche e sul modulo di test. Il campo “B” del test richiede una breve immissione sulla forma delle trasformazioni matematiche che portano all'opzione selezionata nella serie di risposte. Nel campo “C” dovresti annotare tutti i calcoli sul modulo e digitare la risposta numerica sulla tastiera. 7 GLOSSARIO Una grandezza additiva è una grandezza fisica il cui valore per l'intero sistema è uguale alla somma dei suoi valori per le singole parti del sistema. Il moto rotatorio è un movimento in cui la velocità di almeno un punto di un corpo rigido è zero. La seconda velocità di fuga è la velocità di lancio da un pianeta non rotante, che mette la navicella spaziale su una traiettoria parabolica. La quantità di moto di un punto materiale è il prodotto della massa del punto per la sua velocità. L'impulso di un sistema di punti materiali è una quantità additiva, definita come la somma degli impulsi di tutti i punti del sistema. Gli integrali del movimento sono quantità che vengono conservate in determinate condizioni e ottenute come risultato di un'unica integrazione dell'equazione differenziale di base della dinamica, un sistema di equazioni del secondo ordine. L'energia cinetica di un punto materiale è l'energia di movimento pari al lavoro necessario per imprimere una certa velocità ad un dato punto. L'energia cinetica di un sistema di punti materiali è una quantità additiva, definita come la somma delle energie di tutti i punti del sistema. Le componenti covarianti di un vettore sono i coefficienti di espansione del vettore in vettori a base reciproca. I coefficienti di connessione affine sono coefficienti di espansione delle derivate dei vettori della base rispetto alle coordinate rispetto ai vettori della base stessa. La curvatura di una curva è il reciproco del raggio del cerchio che la tocca. Il centro istantaneo delle velocità è un punto la cui velocità è zero in un dato momento nel tempo. 8 Il lavoro meccanico di una forza costante è il prodotto scalare di forza e spostamento. Il movimento meccanico è un cambiamento nella posizione di un corpo nello spazio rispetto ad altri corpi nel tempo. Il problema inverso della dinamica è trovare le equazioni del moto di un punto materiale utilizzando forze date (funzioni note di coordinate, tempo e velocità). Il moto traslatorio è un movimento in cui qualsiasi linea retta individuata in un corpo solido si muove parallelamente a se stessa. L'energia potenziale di un punto materiale è l'energia dell'interazione del campo di corpi o parti di un corpo, pari al lavoro delle forze di campo per spostare un dato punto materiale da un dato punto nello spazio a un livello potenziale zero, scelto arbitrariamente. La massa ridotta è la massa di un ipotetico punto materiale, il cui movimento in un campo centralmente simmetrico è ridotto al problema di due corpi. Il compito diretto della dinamica è determinare le forze che agiscono su un punto materiale utilizzando le equazioni del movimento date. I simboli di Christoffel sono coefficienti simmetrici di connessione affine. Sistema del centro di massa (centro di inerzia) – Un sistema di riferimento in cui la quantità di moto del sistema meccanico è zero. La velocità è una grandezza vettoriale, numericamente pari allo spostamento per unità di tempo. Un cerchio osculatore è un cerchio che ha un contatto di secondo ordine con una curva, cioè fino agli infinitesimi del secondo ordine, le equazioni di una curva e di un cerchio osculatore nell'intorno di un dato punto sono indistinguibili l'una dall'altra. 9 Triedro di accompagnamento – un triplo di vettori unitari (vettori tangente, normale e binormale) utilizzato per introdurre un sistema di coordinate cartesiane che accompagna un punto. Un corpo rigido è un corpo la cui distanza tra due punti qualsiasi non cambia. Il tensore d'inerzia è un tensore simmetrico di secondo rango, le cui componenti determinano le proprietà inerziali di un corpo rigido rispetto al moto rotatorio. Una traiettoria è la traccia di un punto in movimento nello spazio. Le equazioni del moto sono equazioni che determinano la posizione di un punto nello spazio in un momento arbitrario nel tempo. L'accelerazione è una quantità vettoriale, numericamente uguale alla variazione di velocità per unità di tempo. L'accelerazione normale è un'accelerazione perpendicolare alla velocità, pari all'accelerazione centripeta quando un punto si muove con una data velocità lungo una circonferenza a contatto con la traiettoria. Un campo centralmente simmetrico è un campo in cui l'energia potenziale di un punto materiale dipende solo dalla distanza r da un centro “O”. L’energia è la capacità di un corpo o di un sistema di corpi di compiere lavoro. 10 1. EQUAZIONE DIFFERENZIALE FONDAMENTALE DELLA DINAMICA (SECONDA LEGGE DI NEWTON) 1.1. Struttura della sezione “tracce” “facciata” Problemi diretti e inversi di dinamica “facciata” Descrizione del moto di un punto materiale “tracce” “tracce” “tracce” “facciata” Legge di conservazione della quantità di moto “facciata” Equazione naturale della la curva “tracce” “facciata” Lavoro di prova “ tracce" "facciata" Prove di controllo finali "facciata" Legge di conservazione dell'energia "tracce" "tracce" "facciata" Algebra vettoriale "tracce" "tracce" "facciata" Legge di conservazione del momento angolare Figura 1 - Elementi principali della sezione 1. 2. Descrizione del movimento di un punto materiale Il movimento meccanico è definito come un cambiamento nella posizione di un corpo nello spazio rispetto ad altri corpi nel tempo. Questa definizione pone due compiti: 1) scegliere un metodo con cui si possa distinguere un punto nello spazio da un altro; 2) la scelta di un corpo rispetto al quale viene determinata la posizione di altri corpi. 11 1.2.1. Sistema di coordinate cartesiane Il primo compito è associato alla scelta di un sistema di coordinate. Nello spazio tridimensionale, ogni punto nello spazio è associato a tre numeri, chiamati coordinate del punto. Le più ovvie sono le coordinate ortogonali rettangolari, che di solito sono chiamate cartesiane (dal nome dello scienziato francese René Descartes). 1 René Descartes fu il primo a introdurre il concetto di scala, che è alla base della costruzione del sistema di coordinate cartesiane. Ad un certo punto nello spazio tridimensionale, vengono costruiti tre vettori reciprocamente ortogonali, identici in grandezza i, j, k, che allo stesso tempo sono unità di scala, ad es. la loro lunghezza (modulo) è, per definizione, pari all'unità di misura. Lungo questi vettori sono diretti gli assi numerici, i cui punti vengono messi in corrispondenza con punti nello spazio mediante “proiezione” - tracciando una perpendicolare da un punto a un asse numerico, come mostrato in Figura 1. L'operazione di proiezione in coordinate cartesiane porta a l'addizione dei vettori ix, jy e kz lungo la regola del parallelogramma, che in questo caso degenera in un rettangolo. Di conseguenza, la posizione di un punto nello spazio può essere determinata utilizzando il vettore r = ix + jy + kz, chiamato “vettore raggio”, perché a differenza di altri vettori, l'origine di questo vettore coincide sempre con l'origine delle coordinate. Un cambiamento nella posizione di un punto nello spazio nel tempo porta alla comparsa di una dipendenza temporale delle coordinate del punto x = x(t), y = y (t), z = z (t) 1 Il nome latinizzato di René Descartes è Cartesius, quindi in letteratura si trova il nome “coordinate cartesiane”. 12 e raggio vettore r (t) = ix(t) + jy (t) + kz (t) . Queste relazioni funzionali sono chiamate equazioni del moto in forma coordinata e vettoriale, rispettivamente z kz k r jy i y j ix x Figura 2 - Sistema di coordinate cartesiane La velocità e l'accelerazione di un punto sono definite come derivata prima e seconda rispetto al tempo del raggio vettore v = r (t) = ix(t) + jy (t) + kz (t) W = r (t) = ix(t) + jy (t) + kz (t) Ovunque in ciò che segue, un punto e un doppio punto sopra la designazione di una certa quantità indicherà la prima e la seconda derivata di questa quantità rispetto al tempo. 1.2.2. Un modo naturale per descrivere il movimento di un punto. Triedro accompagnatorio L'equazione r = r (t) è solitamente chiamata l'equazione di una curva in forma parametrica. Nel caso delle equazioni del moto il parametro è il tempo. Poiché qualsiasi movimento 13 avviene lungo una certa curva chiamata traiettoria, allora un segmento della traiettoria (percorso) t t s (t) = ∫ r dt = ∫ x 2 + y 2 + z 2 dt , 2 t0 t0 che è una funzione monotona è associato a questo tempo di movimento. Il percorso percorso dal corpo può essere considerato come un nuovo parametro, che di solito viene chiamato parametro “naturale” o “canonico”. La corrispondente equazione della curva r = r(s) è chiamata equazione nella parametrizzazione canonica o naturale. τ m n Figura 3 – Il vettore triodro d'accompagnamento dr ds è un vettore tangente alla traiettoria (Figura 3), la cui lunghezza è pari a uno, perché dr = ds. Da τ= 14 dτ perpendicolare al vettore τ, cioè diretto normale alla traiettoria. Per scoprire il significato fisico (o, più precisamente, come vedremo più avanti, geometrico) di questo vettore, passiamo alla derivazione rispetto al parametro t, considerandolo come tempo. d τ d ⎛ dr dt ⎞ dt d ⎛ dr 1 ⎞ 1 d 2 r 1 v d v ′ τ = = ⎜ − . ⎟ = ⎜ ⎟ = ds dt ⎝ dt ds ⎠ ds dt ⎝ dt v ⎠ v dt 2 v 2 v 3 dt L'ultima di queste relazioni può essere riscritta come segue a 1 τ′ = 2 (a − aτ) = n2 condizioni τ 2 = 1 ne consegue che il vettore τ′ = dove v aτ = τ v dv ; τ= dt v v d 2r – vettore dell'accelerazione totale dt 2a. Poiché l'accelerazione totale è uguale alla somma dell'accelerazione normale (centripeta) e dell'accelerazione tangenziale, il vettore che stiamo considerando è uguale al vettore dell'accelerazione normale diviso per il quadrato della velocità. Quando ci si muove su una circonferenza, l'accelerazione normale è uguale all'accelerazione tangenziale e il vettore a = an = n v2, R dove n è il vettore normale al cerchio e R è il raggio del cerchio. Ne consegue che il vettore τ′ può essere rappresentato nella forma τ′ = Kn, 1 dove K = è la curvatura della curva - il reciproco del raggio del cerchio in contatto. Un cerchio osculatore è una curva che ha un contatto di secondo ordine con una data curva 15. Ciò significa che, limitandoci ad espandere l'equazione di una curva in una serie di potenze in un certo punto agli infinitesimi del secondo ordine, non saremo in grado di distinguere questa curva da un cerchio. Il vettore n è talvolta chiamato vettore normale principale. Dal vettore tangente τ e dal vettore normale possiamo costruire un vettore binormale m = [τ, n]. Tre vettori τ, n e m formano una terna retta, un triodro associato, al quale è possibile associare il sistema di coordinate cartesiane che accompagna il punto, come mostrato nella Figura 3.1.3. Problemi diretti e inversi della dinamica Nel 1632 Galileo Galilei scoprì una legge, poi nel 1687 Isaac Newton formulò una legge che cambiò il punto di vista dei filosofi sui metodi di descrizione del movimento: “Ogni corpo mantiene uno stato di riposo o di moto uniforme e rettilineo finché le forze applicate lo costringono a cambiare." questo è uno stato." 1 L'importanza di questa scoperta non può essere sopravvalutata. Prima di Galileo, i filosofi credevano che la caratteristica principale del movimento fosse la velocità e che affinché un corpo si muovesse a una velocità costante fosse necessario applicare una forza costante. In effetti, l’esperienza sembra indicare proprio questo: se applichiamo una forza, il corpo si muove; se smettiamo di applicarla, il corpo si ferma. E solo Galileo ha notato che applicando la forza, in realtà bilanciamo solo la forza di attrito che agisce in condizioni reali sulla Terra, oltre al nostro desiderio (e spesso all'osservazione). Di conseguenza, la forza è necessaria non per mantenere costante la velocità, ma per cambiarla, cioè segnalare l'accelerazione. 1 I.Newton. Principi matematici della filosofia naturale. 16 È vero, nelle condizioni della Terra, è impossibile realizzare l'osservazione di un corpo che non venga influenzato da altri corpi, quindi la meccanica è costretta a postulare l'esistenza di particolari sistemi di riferimento (inerziali), in cui le indicazioni di Newton (Galileo ) la prima legge deve essere soddisfatta. 1 La formulazione matematica della prima legge di Newton richiede l'aggiunta dell'affermazione di proporzionalità della forza all'accelerazione mediante l'affermazione del loro parallelismo come quantità vettoriali? cosa F ∼W ⎫ F scalare ⇒ = ⋅W , ⎬ F W ⎭ dove Δv d v d dr = = ≡r. Δt → 0 Δt dt dt dt W = lim L'esperienza ci dice che un coefficiente scalare può essere una grandezza comunemente chiamata massa corporea. Pertanto, l'espressione matematica della prima legge di Newton, tenendo conto dell'aggiunta di nuovi postulati, assume la forma F = mW, 1. Ma a quali corpi reali potrebbe essere associato un simile sistema di riferimento non è ancora chiaro. L'ipotesi dell'etere (vedi “Teoria della Relatività”) potrebbe risolvere questo problema, ma il risultato negativo dell'esperimento di Michelson escludeva questa possibilità. Tuttavia la meccanica ha bisogno di tali sistemi di riferimento e ne postula l’esistenza. 17, nota come seconda legge di Newton. Poiché l'accelerazione è determinata per un dato corpo specifico, su cui possono agire più forze, è conveniente scrivere la seconda legge di Newton nella forma n mr = ∑ Fa = F (t, r (t), r (t)) . a =1 La forza nel caso generale è considerata in funzione delle coordinate, della velocità e del tempo. Questa funzione dipende dal tempo sia esplicitamente che implicitamente. La dipendenza implicita dal tempo significa che la forza può cambiare a causa di cambiamenti nelle coordinate (la forza dipende dalle coordinate) e nella velocità (la forza dipende dalla velocità) di un corpo in movimento. L'ovvia dipendenza dal tempo suggerisce che se un corpo è fermo in un dato punto fisso nello spazio, la forza cambia comunque nel tempo. Dal punto di vista della matematica, la seconda legge di Newton dà origine a due problemi legati a due operazioni matematiche reciprocamente inverse: differenziazione e integrazione. 1. Problema diretto di dinamica: utilizzando le equazioni del moto date r = r (t), determinare le forze che agiscono sul punto materiale. Questo problema è un problema di fisica fondamentale; la sua soluzione è finalizzata a trovare nuove leggi e regolarità che descrivano l'interazione dei corpi. Un esempio di risoluzione di un problema diretto di dinamica è la formulazione di I. Newton della legge di gravitazione universale basata sulle leggi empiriche di Keplero, che descrivono il movimento osservato dei pianeti del Sistema Solare (vedere Sezione 2). 2. Problema inverso della dinamica: date forze (funzioni note di coordinate, tempo e velocità) trovare le equazioni del moto di un punto materiale. Questo è un compito della fisica applicata. Dal punto di vista di questo problema, la seconda 18a legge di Newton è un sistema di equazioni differenziali ordinarie del secondo ordine d 2r m 2 = F (t, r (t), r (t)), (1. 1) dt le cui soluzioni sono funzioni del tempo e costanti di integrazione. x = x(t, C1, C2, C3, C4, C5, C6,); y = y(t, C1, C2, C3, C4, C5, C6,); z = z(t, C1, C2, C3, C4, C5, C6,). Per selezionare una soluzione corrispondente ad un movimento specifico da un insieme infinito di soluzioni, è necessario integrare il sistema di equazioni differenziali con condizioni iniziali (problema di Cauchy) - fissare ad un certo punto nel tempo (t = 0) i valori ​​delle coordinate e delle velocità del punto: ⎧ x0 = x(t = 0), ⎪ r0 = r (t = 0) ⇒ ⎨ y0 = y (t = 0), ⎪ z = z (t = 0) . ⎩ 0 v0 ⎧v0 x = x(t = 0), ⎪ = r0 = r (t = 0) ⇒ ⎨v0 y = y (t = 0), ⎪ ⎩v0 x = z (t = 0). Nota 1. Nelle leggi di I. Newton, la forza è intesa come una quantità che caratterizza l'interazione dei corpi, a seguito della quale i corpi si deformano o acquisiscono accelerazione. Tuttavia spesso conviene ridurre il problema della dinamica al problema della statica introducendo, come fece D'Alembert nel suo Discorso sulla causa generale dei venti (1744), una forza inerziale pari al prodotto della massa dei venti il corpo e l'accelerazione del sistema di riferimento, in cui viene considerato il corpo dato. Formalmente, questo sembra trasferire il lato destro della seconda legge di I.New19 al lato sinistro e assegnare a questa parte il nome di “forza d’inerzia” F + (− mW) = 0, o F + Fin = 0. La forza inerziale risultante ovviamente non soddisfa la definizione di forza data sopra. A questo proposito, le forze inerziali sono spesso chiamate “forze fittizie”, intendendo che come forze vengono percepite e misurate solo da un osservatore non inerziale associato a un sistema di riferimento in accelerazione. Va tuttavia sottolineato che per un osservatore non inerziale le forze inerziali vengono percepite come agenti effettivamente su tutti i corpi del sistema di riferimento delle forze. È la presenza di queste forze che "spiega" l'equilibrio (assenza di gravità) dei corpi in un satellite del pianeta in costante caduta e (parzialmente) la dipendenza dell'accelerazione della caduta libera sulla Terra dalla latitudine dell'area. Osservazione 2. La seconda legge di Newton come sistema di equazioni differenziali del secondo ordine è anche associata al problema dell'integrazione singola di queste equazioni. Le quantità così ottenute sono chiamate integrali del moto e le più importanti sono due circostanze ad esse associate: 1) queste quantità sono additive (addizione), cioè tale valore per un sistema meccanico è la somma dei valori corrispondenti delle sue singole parti; 2) in determinate condizioni fisicamente comprensibili, queste quantità non cambiano, ad es. vengono preservati, esprimendo così le leggi di conservazione della meccanica. 201.4. Derivazione della legge di conservazione della quantità di moto dall'equazione differenziale fondamentale della dinamica Consideriamo un sistema di N punti materiali. Sia "a" il numero del punto. Scriviamo per ogni punto “a” la II legge di Newton dv (1.2) ma a = Fa , dt dove Fa è la risultante di tutte le forze agenti sul punto “a”. Considerando che ma = const, moltiplicando per dt, sommando tutte le N equazioni (1.2) e integrando entro i confini da t a t + Δt, otteniamo N N a =1 a =1 ∑ maua − ∑ ma va = dove v a t +Δt N ∫ ∑ F dt , t a =1 a = ra (t) è la velocità del punto “a” al tempo t, e ua = ra (t + Δt) è la velocità del punto “a” al tempo t + Δt. Immaginiamo inoltre le forze che agiscono sul punto “a” come la somma delle forze esterne Faex (esterno - esterno) e interne Fain (interno - interno) Fa = Fain + Faex. Chiameremo interne le forze di interazione del punto “a” con altri punti inclusi nel SISTEMA, ed esterne – con punti non inclusi nel sistema. Mostriamo che la somma delle forze interne si annulla per la terza legge di Newton: le forze con cui due corpi agiscono tra loro sono uguali in grandezza e opposte in direzione Fab = − Fab se i punti “a” e “b” appartengono alla SISTEMA. Infatti la forza che agisce sul punto “a” da altri punti del sistema è pari a 21 N Fain = ∑ Fab. b =1 Allora N N N N N N N N N ∑ Fain = ∑∑ Fab = ∑∑ Fba = ∑∑ Fba = −∑∑ Fab = 0 . a =1 a =1 b =1 b =1 a =1 a =1 b =1 a =1 b =1 Pertanto, la somma di tutte le forze che agiscono su un sistema di punti materiali degenera nella somma delle sole forze esterne. Di conseguenza, otteniamo N N a =1 a =1 ∑ maua − ∑ ma va = t +Δt N ∫ ∑F t a =1 ex a dt . (1.3) – la variazione della quantità di moto di un sistema di punti materiali è uguale alla quantità di moto delle forze esterne che agiscono sul sistema. Un sistema si dice chiuso se non è sottoposto all'azione di forze esterne ∑F a =1 = 0. In questo caso la quantità di moto ex a del sistema non cambia (si conserva) N N a =1 a =1 ∑ maua = ∑ ma va = const . (1.4) Di solito questa affermazione viene interpretata come la legge di conservazione della quantità di moto. Tuttavia, nel linguaggio quotidiano, per preservare qualcosa non intendiamo un'affermazione dell'immutabilità del contenuto di questo qualcosa in qualcos'altro, ma una comprensione di ciò in cui si è trasformato questo qualcosa originale. Se il denaro viene speso per l'acquisto di una cosa utile, non scompare, ma si trasforma in questa cosa. Ma se il loro potere d'acquisto è diminuito a causa dell'inflazione, risulta molto difficile tracciare la catena delle trasformazioni, il che crea la sensazione di non essere preservati. Il risultato della misurazione di un impulso, come qualsiasi grandezza cinematica, dipende dal sistema di riferimento in cui vengono effettuate le misurazioni (si trovano gli strumenti fisici che misurano questa grandezza). 22 La meccanica classica (non relativistica), confrontando i risultati delle misurazioni di quantità cinematiche in diversi sistemi di riferimento, procede tacitamente dal presupposto che il concetto di simultaneità degli eventi non dipende dal sistema di riferimento. Per questo motivo, la relazione tra le coordinate, le velocità e le accelerazioni di un punto, misurate da un osservatore fermo e in movimento, sono relazioni geometriche (Figura 4) dr du Velocità u = = r e accelerazione W = = u , misurata dall'osservatore K sono solitamente chiamati velocità e accelerazione assolute dr′. Velocità u′ = = r ′ e accelerazione dt du′ W ′ = = u ′ , misurate dall'osservatore K′ – velocità e accelerazione relative. E la velocità V e l'accelerazione A del sistema di riferimento sono portatili. M r′ r r = r′ + R u = u′ + V K′ K W = W′+ A R Figura 4 – Confronto di quantità misurate Utilizzando la legge di conversione della velocità, spesso chiamata teorema dell'addizione della velocità di Galileo, otteniamo per la quantità di moto di un sistema di punti materiali misurati nei sistemi di riferimento K e K′ N N N a =1 a =1 a =1 ∑ maua = ∑ maua′ + V ∑ ma . Il sistema di riferimento in cui la quantità di moto del sistema meccanico è zero 23 N ∑ m u′ = 0 , a =1 a a è chiamato sistema del centro di massa o centro di inerzia. Ovviamente la velocità di tale sistema di riferimento è pari a N Vc = ∑m u a =1 N a a ∑m . (1.5) a a =1 Poiché in assenza di forze esterne la quantità di moto del sistema meccanico non cambia, anche la velocità del sistema del baricentro non cambia. Integrando la (1.5) nel tempo, sfruttando l'arbitrarietà della scelta dell'origine delle coordinate (poniamo la costante di integrazione pari a zero), si arriva alla determinazione del centro di massa (centro di inerzia) del sistema meccanico N rc = ∑m r un =1 N un un . ∑m a =1 (1,6) a 1,5. Derivazione della legge di conservazione dell'energia dall'equazione differenziale fondamentale della dinamica Consideriamo un sistema di N punti materiali. Per ogni punto “a” scriviamo la II legge di Newton (1.2) e moltiplichiamo dr entrambe le parti scalarmente per la velocità del punto va = a dt ⎛ dv ⎞ dr ⎞ ⎛ ma ⎜ va , a ⎟ = Fa , va = ⎜ Fa , a ⎟ dt ⎠ dt ⎠ ⎝ ⎝ Dopo le trasformazioni, moltiplicando entrambi i lati per dt, integrando entro i confini da t1 a t2 e assumendo che ra = ra (t1) , (Ra = ra (t2) ,) va = va (t1 ) , ua = va (t2) , otteniamo 24 ma ua2 ma va2 − = 2 2 Ra ∫ (F , dr) . a a (1.7) ra Rappresentiamo ora la forza Fa come la somma delle forze potenziale e dissipativa Fa = Fapot + Faad. Le forze dissipative sono quelle che portano alla dissipazione dell'energia meccanica, cioè trasformandolo in altri tipi di energia. Le forze potenziali sono quelle il cui lavoro in un circuito chiuso è zero. A = ∫ (Fapot, dra) = 0 . (1.8) L Mostriamo che il campo potenziale è gradiente, cioè ⎛ ∂Π un ∂Π un ∂Π un ⎞ +j +k Fapot = − grad Π un (ra) = − ⎜ i ⎟ . (1.9) ∂ya ∂za ⎠ ⎝ ∂xa Infatti, in accordo con il teorema di Stokes, possiamo scrivere sweat sweat ∫ (Fa , dra) = ∫∫ (rot Fa , ds) , L S dove S è la superficie attraversata dal contorno L Figura 5. S L Figura 5 – Contorno e superficie Il teorema di Stokes porta alla dimostrazione della validità della (1.9) per l'ovvia relazione rot Fapot = ⎣⎡∇, Fapot ⎦⎤ = − [∇, ∇Π a ] = 0 , ∇ ∇Π 25 t Cioè, se un campo vettoriale è espresso in termini di gradiente di una funzione scalare, allora il suo lavoro lungo un contorno chiuso è necessariamente zero. È vero anche il contrario: se la circolazione di un campo vettoriale lungo un contorno chiuso è zero, allora è sempre possibile trovare il campo scalare corrispondente, il cui gradiente è il campo vettoriale dato. Tenendo conto della (1.9), la relazione (1.7) può essere rappresentata come R ⎧ ma ua2 ⎫ ⎧ ma va2 ⎫ a D + Π a (Ra) ⎬ − ⎨ + Π a (ra) ⎬ = ∫ Fa , dra . ⎨ ⎩ 2 ⎭ ⎩ 2 ⎭ ra () In totale abbiamo N di tali equazioni. Sommando tutte queste equazioni, otteniamo la legge di conservazione dell'energia nella meccanica classica 1: la variazione dell'energia meccanica totale del sistema è uguale al lavoro delle forze dissipative ⎧ ma ua2 ⎫ N ⎧m v 2 ⎫ N a + Π a (Ra) ⎬ − ∑ ⎨ a a + Π a (ra ) ⎬ = ∑ ∫ FaD , dra .(1.10) 2 a =1 ⎩ ⎭ a =1 ⎩ 2 ⎭ a =1 ra N ∑⎨ R () Se ci sono nessuna forza dissipativa, l'energia totale (cinetica più potenziale) del sistema meccanico non cambia (“in scatola”) e il sistema è detto conservativo. 1.6. Derivazione della legge di conservazione del momento angolare dall'equazione differenziale fondamentale della dinamica Consideriamo un sistema di N punti materiali. Per ogni punto “a” scriviamo la II legge di Newton (1.2) e moltiplichiamo vettorialmente entrambi i lati a sinistra per il raggio vettore del punto ⎡ dv ⎤ ma ⎢ ra , a ⎥ = ⎡⎣ ra , Fa ⎤⎦ = K a . dt ⎦ ⎣ 1 Questa idea delle trasformazioni dell'energia meccanica risulta adeguata alla realtà oggettiva solo a patto di considerare fenomeni che non sono accompagnati dalla trasformazione della materia materiale in materia di campo e viceversa. 26 La quantità K a = ⎡⎣ ra , Fa ⎤⎦ (1.11) è detta momento della forza Fa rispetto all'origine. A causa dell'ovvia relazione d ⎣⎡ ra , va ⎦⎤ ⎡ d va ⎤ ⎡ dra ⎤ ⎡ dv ⎤ , va ⎥ = ⎢ ra , a ⎥ = ⎢ ra , +⎢ ⎥ dt dt ⎦ ⎣ dt dt ⎦ ⎦ ⎣ ⎣ d ⎡ ⎣ ra , ma va ⎤⎦ = Ka . dt Come prima, il numero di tali equazioni è N, e sommandole si ottiene dM =K, (1.12) dt dove la quantità additiva N M = ∑ ⎡⎣ ra , ma va ⎤⎦ , (1.13) a =1 si chiama il momento angolare del sistema meccanico. Se il momento delle forze che agiscono sul sistema è zero, allora il momento angolare del sistema si conserva N M = ∑ ⎡⎣ ra , ma va ⎤⎦ = const . (1.14) a =1 1.7. Integrali del movimento Le quantità considerate nei paragrafi 1.4–1.6 che si conservano in determinate condizioni: quantità di moto, energia e momento angolare si ottengono come risultato di un'unica integrazione dell'equazione differenziale di base della dinamica - l'equazione del movimento, cioè sono gli integrali primi delle equazioni differenziali del secondo ordine. Per questo motivo tutte queste quantità fisiche vengono solitamente chiamate integrali del movimento. Successivamente, nella sezione dedicata allo studio delle equazioni di Lagrange del secondo tipo (equazioni in cui si trasforma la seconda legge di Newton sullo spazio delle configurazioni27), mostreremo che gli integrali del moto possono essere considerati come conseguenze delle proprietà dello spazio e del tempo newtoniani . La legge di conservazione dell'energia è una conseguenza dell'omogeneità della scala temporale. La legge di conservazione della quantità di moto deriva dall'omogeneità dello spazio e la legge di conservazione del momento angolare deriva dall'isotropia dello spazio. 1.8. Moto in sistemi di riferimento non inerziali 1.9. Compito di prova 1.9.1. Un esempio di soluzione del problema Trova le equazioni del moto di un punto sotto l'influenza di una forza di attrazione verso il centro C1 e di una forza di repulsione attorno al centro C2, proporzionale alle distanze dai centri. I coefficienti di proporzionalità sono pari rispettivamente a k1m e k2m, dove m è la massa del punto M. Le coordinate dei centri in un istante temporale arbitrario sono determinate dalle relazioni: X1(t) = acosωt; Y1(t) = asinωt; Z1 = сhλt; X2 = Y2= 0; Z2 = Z1. Nell'istante iniziale il punto aveva coordinate x = a; y = 0; z=0 e velocità con componenti vx = vy = vz =0. Risolvi il problema sotto la condizione k1 > k2. Il movimento di un punto materiale sotto l'azione di due forze F1 e F2 (Figura 5) è determinato dall'equazione differenziale fondamentale della dinamica - la seconda legge di Newton: mr = F1 + F2, dove due punti sopra il simbolo significano differenziazioni ripetute nel tempo . A seconda delle condizioni del problema, le forze F1 e F2 sono determinate dalle relazioni: 28 F1 = − k1mr1 ; F2 = k2 mr2 . La quantità richiesta è il raggio vettore del punto M, pertanto i vettori r1 e r2 vanno espressi tramite il raggio vettore e i vettori noti R1 = iX 1 (t) + jY1 (t) + kZ1 (t) = ia cos ωt + ja sin ωt + k cosh λt e R2 = iX 2 (t) + jY2 (t) + kZ 2 (t) = k cosh λt, dove i, j, k sono i vettori base del sistema di coordinate cartesiane. М r1 r r2 С1 R1 R2 О С2 “О” è l'origine delle coordinate, R1 e R2 sono i vettori del raggio dei centri di attrazione e repulsione, r è il vettore del raggio del punto M, r1 e r2 sono vettori che determinano la posizione del punto M rispetto ai centri. Figura 6 – Punto M nel campo dei due centri Dalla Figura 6 otteniamo r1 = r − R1 ; r2 = r − R2 . Sostituendo tutte queste relazioni nella seconda legge di Newton e dividendo entrambi i membri dell'equazione per la massa m, otteniamo un'equazione differenziale disomogenea del secondo ordine a coefficienti costanti: r + (k1 − k2)r = k1a (i cos ωt + j sin ωt) + k (k1 − k2)ch λt . Poiché, a seconda delle condizioni del problema, k1 > k2, ha senso introdurre la notazione – il valore positivo k2 = k1 – k2. Quindi l'equazione differenziale risultante assume la forma: r + k 2 r = k1a (i cos ωt + j sin ωt) + k 2ch λt. La soluzione di questa equazione va ricercata sotto forma di somma della soluzione generale ro dell'equazione omogenea ro + k 2 ro = 0 e della soluzione particolare rch dell'equazione disomogenea r = ro + rch. Per costruire una soluzione generale, componiamo l'equazione caratteristica λ2 + k2 = 0, le cui radici sono immaginarie: λ1,2 = ± ik, dove i = −1. Per questo motivo, la soluzione generale dell'equazione omogenea dovrebbe essere scritta nella forma r = A cos kt + B sin kt, dove A e B sono costanti di integrazione vettoriale. Una soluzione particolare può essere trovata dalla forma del secondo membro introducendo i coefficienti indeterminati α1, α 2, α 3 rc = α1 cos ωt + α 2 sin ωt + α 3ch λt, rc = −ω2α1 cos ωt − ω2α 2 sin ωt + λ 2α 3ch λt . Sostituendo questa soluzione nell'equazione disomogenea e uguagliando i coefficienti per funzioni temporali identiche sui lati sinistro e destro delle equazioni, otteniamo un sistema di equazioni che determina i coefficienti incerti: α1 (k 2 − ω2) = iak1 ; α2 (k2 − ω2) = jak1 ; α 3 (k 2 + λ 2) = ik 2. Pertanto, la soluzione generale dell'equazione disomogenea ha la forma 30 r = A cos kt + B sin kt + k1 k2 a i t j k cosh λt. (cos ω + sin ω) + k 2 − ω2 k 2 + λ2 Le costanti di integrazione sono determinate dalle condizioni iniziali, che possono essere scritte in forma vettoriale: r (t = 0) = ia; r(t = 0) = 0 . Per determinare le costanti di integrazione è necessario conoscere la velocità di un punto in un istante di tempo arbitrario ωk r = −kA sin kt + kB cos kt + 2 1 2 a (−i sin ωt k −ω 2 λk + j cos ωt) + 2 k sinh λt. k + λ2 Sostituendo le condizioni iniziali nella soluzione trovata, otteniamo (t = 0): k k k2 ia = A + 2 1 2 ia + 2 k ; 0 = kB + 2 1 2 jωa. 2 k −ω k +λ k −ω Troviamo da qui le costanti di integrazione e sostituiamole nell'equazione delle equazioni del moto k r = ia cos kt + 2 1 2 + 2 k (ch λt − cos kt). ω k + λ2 Questa espressione rappresenta le equazioni del moto richieste in forma vettoriale. Queste equazioni del moto, così come l'intero processo di ricerca delle stesse, possono essere scritte in proiezioni sugli assi del sistema di coordinate cartesiane. +1.9.2. Varianti delle attività di prova Trova le equazioni del movimento di un punto materiale sotto l'influenza della forza di attrazione verso il centro O1 e della forza di repulsione dal centro O2. Le forze sono proporzionali alle distanze dai centri, i coefficienti di proporzionalità sono rispettivamente pari a k1m e k2m, dove m è la massa del punto. Nella tabella sono riportate le coordinate di 31 centri, le condizioni iniziali e le condizioni imposte sui coefficienti. La prima colonna contiene il numero dell'opzione. Nelle varianti dispari, considera k1 > k2, nelle varianti dispari, k2 > k1. Le varianti dei compiti di controllo sono riportate nella Tabella 1. La seconda e la terza colonna mostrano le coordinate dei centri di attrazione e repulsione in un momento arbitrario di tempo t. Le ultime sei colonne determinano le coordinate iniziali del punto materiale e le componenti della sua velocità iniziale, necessarie per determinare le costanti di integrazione. Tabella 1. Opzioni per il lavoro di prova 1. Le quantità a, b, c, R, λ e ω sono quantità costanti Opzione 1 1 Coordinate del centro O1 2 X 1 = a + bt ; Y1 = e ; Z1 = 0. Z 2 = 0. X 1 = –t 3 + cosh λt ; X2 = 0; Y1 = 0; 3 5 X 1 = a + bt ; X2 = X1 + achλt ; un 0 un b 0 0 Z 2 = 0. X 1 = 0; X2 = 0; Y1 = bt ; Y2 = Y1 + R cosωt ; a 0 a 0 b b Z1 = a + bt. Z2 = Z1 + R sinωt. X1 = a+bt; X2 = X1 + achλt ; 4 a a a 0 0 0 Y2 = Y1 + cenereλt ; Z1 = R cosωt. Z1 = 0. 4 0 0 a 0 0 b Z 2 = Z1 + R sin ωt. 4 Y1 = 0; x0 y0 z0 vx vy vz Y2 = R cos ωt ; Z1 = a+bt. Y1 = un; 4 3 X 2 = X 1 + R cos ωt ; Valori iniziali Y2 = Y1 + R sin ωt ; λt 2 Coordinate del centro O2 Y2 = Y1 + cenere λt ; Z 2 = 0. 32 a 0 a 0 0 0 Continuazione della tabella 1 1 6 7 2 X 1 = cenere λt ; 3 X 2 = Y1 + R cosωt ; Y1 = achλt ; Y2 = 0; Z1 = a+bt. Z2 = Z1 + R sinωt. X1 = ct; Y1 = 0; X2 = 0; 4 9 0 0 a 0 0 b 0 0 a 0 0 0 Y2 = R cos ωt ; Z2 = R sinωt. Z1 = aeλt . 8 4 X 1 = cenere λt ; X2 = X1 + RCosωt; Y1 = 0; Y2 = 0; Z1 = achλt. Z2 = Z1 + RSinωt. X1 = a+bt; Y1 = a+bt; X2 = X1 + R cosωt ; 0 a 0 0 0 0 a a 0 b b o Y2 = Y1 + R sin ωt ; Z2 = e −λt . λt Z1 = ae . 10 X 1 = a + ct 3 ; Y1 = a + bt ; Z1 = aeλt. 11 X 1 = a + bt 2 ; Y1 = achλt ; Z1 = cenere λt. X2 = 0; a a 0 0 0 0 Y2 = R cos ωt ; Z2 = R sinωt. X2 = X1; a 0 0 0 0 0 Y2 = Y1 + R cos ωt ; Z2 = Z1 + R sinωt. X2 = R peccato ωt ; 12 X 1 = 0; Y1 = a + bt ; 4 Z1 = a + bt . 4 13 X 1 = cenere λt; Y1 = 0; Z1 = achλt. 14 X 1 = ae−2λt ; Y1 = ae2λt ; Z1 = a + bt + ct 4 . 0 a a 0 b 0 Y2 = Y1 + R cos ωt ; Z2 = Z1. X2 = X1 + R cosωt ; 0 un 0 0 b 0 Y2 = un + bt + ct ; 3 Z 2 = Z1 + R sin ωt. X2 = 0; 0 0 a 0 b 0 Y2 = 0; Z2 = acosωt. 33 Fine della tabella 1 1 2 15 X 1 = ae Y1 = ae −2 λt 2 λt 3 X 2 = 0; ; ; Y1 = cenere λt ; Y2 = 0; Z1 = achλt. Z2 = Z1. X1 = Rcosωt; 21 X 2 = X 1 + a + bt 2 ; Y2 = Y1; Z1 = a + bt. Z1 = 0. Y1 = R cos ωt ; X2 = X1 + cenere λt ; Y1 = 0; Y2 = a+bt; Z1 = R sinωt. 20 a 0 0 b 0 0 Y1 = R sin ωt ; 2 19 Z 2 = a cos ωt. X 2 = un peccato ωt ; 16 X 1 = a+bt; 18 0 0 a 0 b 0 Y2 = 0; Z1 = a + bt + ct 4 . 17 4 0 a 0 0 0 b 2 Z 2 = Z1 + ach λt. X1 = X2; X2 = a+bt; Y1 = 0; Y2 = cenereλt ; Z1 = 0. Z2 = achλt. 0 0 un 0 b 0 X 1 = 0; X2 = aSinωt ; Y1 = 0; Y2 = aCosωt ; Z1 = a + bt + ct 4 . Z2 = 0. X1 = cenereλt; X2 = 0; Y1 = achλt ; Y2 = a + bt + ct ; Z1 = 0. 0 0 a b 0 0 0 a a b 0 b 0 0 a 0 0 b 3 Z 2 = 0. Letteratura per l'attività di prova 1. Meshchersky I.V. Raccolta di problemi di meccanica teorica. M., 1986. P. 202. (Problemi n. 27.53 – 27.56, 27.62, 27.63). 2. Olkhovsky I.I. Corso di meccanica teorica per fisici. M., 1974. S. 43 – 63. 34 1.10. Prove di controllo finale (esame) 1.10.1. Campo A A.1.1. L'equazione differenziale fondamentale per la dinamica di un punto materiale ha la forma... A.1.2. Risolvere un problema diretto di dinamica significa... A1.3. Risolvere il problema inverso della dinamica significa... A.1.5. La somma delle forze interne agenti su un sistema di punti materiali si annulla per... A.1.6. L'impulso di forza è... A.1.7. Il sistema del centro di inerzia è un sistema di riferimento in cui A.1.8. Il centro di massa è... A.1.9. Le coordinate del centro di massa sono determinate dalla formula A.1.10. La velocità del sistema del centro d'inerzia è determinata dalla formula... A.1.11. La legge di conservazione della quantità di moto di un sistema di punti materiali nella sua forma più generale si scrive come... A.1.12. Il campo di forza potenziale è determinato dalla relazione... (definizione base) A.1.13. Il campo di forza potenziale è determinato dalla relazione... (conseguenza della definizione principale) A.1.14. Se il campo F è potenziale, allora... A.1.15. Il momento angolare di un sistema di punti materiali è la quantità... A.1.16. Il momento delle forze agenti su un sistema meccanico può essere determinato dalla relazione... A.1.17. Se il momento delle forze agenti su un sistema meccanico è pari a zero, allora ... A.1.18 si conserva. Se la somma delle forze esterne agenti su un sistema meccanico è pari a zero, allora ... A.1.19 si conserva. Se le forze dissipative non agiscono sul sistema meccanico, allora ... rimane A.1.20. Un sistema meccanico si dice chiuso se 35 1.10.2. Campo Bua B.1.1. Il risultato del calcolo dell'integrale ∑ ∫ d (m d v) a a a va è l'espressione ... B.1.2. La quantità di moto del sistema meccanico nel sistema di riferimento K è legata alla quantità di moto del sistema di riferimento K′ che si muove rispetto ad esso con velocità V dalla relazione ... B.1.3. Se F = −∇Π, allora... B.1.4. Il lavoro compiuto dalla forza F = −∇Π lungo un anello chiuso si annulla per … d va2 B1. 5. La derivata temporale è pari a ... dt B.1.6. La derivata temporale dell'istante dell'impulso d è pari a ... dt 1.10.3. Campo C C.1.1. Se un punto di massa m si muove in modo che al tempo t le sue coordinate siano x = x(t), y = y(t), z = z (t), allora su di esso agisce una forza F, componente Fx (Fy , Fz) che equivale a... C.1.2. Se un punto si muove sotto l'influenza della forza kmr e se a t = 0 aveva coordinate (m) (x0, y0, z0) e velocità (m/s) (Vx, Vy, Vz), allora al momento t = t1 s la sua coordinata x sarà pari a...(m) C.1.3. Ai vertici di un parallelepipedo rettangolo di lati a, b e c si trovano masse puntiformi m1, m2, m3 e m4. Trovare le coordinate (xc, yc, zc) del centro di inerzia. 36 m3 m4 z m3 m4 c m1 y m2 b m1 m2 a x Figura 7 – Per il compito C.1.3 C.1.4. La densità di un'asta con lunghezza varia secondo la legge ρ = ρ(x). Il centro di massa di tale asta è situato a distanza dall'origine... C.1.5. La forza F = (Fx, Fy, Fz) è applicata ad un punto di coordinate x = a, y = b, z = c. Le proiezioni del momento di questa forza rispetto all'origine delle coordinate sono pari a... 37 2. MOTO IN UN CAMPO CENTRALMENTE SIMMETRICO 2.1. Struttura della sezione “usi” Velocità e accelerazione in coordinate curvilinee Analisi tensoriale “tracce” “usa” Integrali del moto della centralina “tracce” “usa” Velocità del settore Prodotto vettoriale “tracce” “usa” Equazione della traiettoria Integrale definito “tracce” ” “usa” “usa” "Formula di Rutherford Steradiante Figura 8 - Struttura della sezione "campo centralmente simmetrico 38 2.2. Il concetto di campo centralmente simmetrico Chiamiamo un campo centralmente simmetrico in cui l'energia potenziale di un punto materiale dipende solo dalla distanza r da un centro “O”. Se l'origine del sistema di coordinate cartesiane è posizionata nel punto “O”, allora questa distanza sarà il modulo del raggio vettore del punto, cioè P = P(r), r = x2 + y2 + z2. Secondo la definizione di campo potenziale, su un punto agisce la forza ∂Π ∂Π ∂r ∂Π r ∂Π (2.1) F =− =− =− =− er. ∂r ∂r ∂r ∂r r ∂r In tale campo le superfici equipotenziali П(r) = const coincidono con le superfici coordinate r = const in coordinate sferiche. La forza (2.1), che in coordinate cartesiane ha tre componenti diverse da zero, in coordinate sferiche ha solo una componente diversa da zero: la proiezione sul vettore base er. Tutto quanto sopra ci costringe a rivolgerci alle coordinate sferiche, la cui simmetria coincide con la simmetria del campo fisico. Le coordinate sferiche sono un caso speciale di coordinate curvilinee ortogonali. 2.3. Velocità in coordinate curvilinee Sia xi (x1 = x, x2 = y, x3 = z,) coordinate cartesiane e ξ = ξi(xk) siano coordinate curvilinee – funzioni biunivoche delle coordinate cartesiane. Per definizione, il vettore velocità dr (ξi (t)) ∂r ∂ξi v= = i = ei ξi , (2.2) ∂ξ ∂t dt dove i vettori ∂r ei = i (2.3) ∂ξ i 39 formano il cosiddetta base coordinata (olonomica o integrabile). Il quadrato del vettore velocità è uguale a v 2 = (ei, e j) ξi ξ j = gij ξi ξ j. Quantità ⎛ ∂r ∂r ⎞ ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z (2.4) gij = (ei , e j) = ⎜ i , j ⎟ = i + i + i j j j ⎝ ∂ξ ∂ξ ⎠ ∂ξ ∂ ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ rappresentano le componenti covarianti del tensore metrico. L'energia cinetica di un punto materiale in coordinate curvilinee assume la forma mv 2 1 T= = mgij ξi ξ j . (2.5) 2 2 2.4. Accelerazione in coordinate curvilinee Nelle coordinate curvilinee, non solo le coordinate di un punto in movimento dipendono dal tempo, ma anche i vettori della base che si muovono con esso, i cui coefficienti di dilatazione sono le componenti misurate di velocità e accelerazione. Per questo motivo, nelle coordinate curvilinee, non solo le coordinate del punto sono soggette a differenziazione, ma anche i vettori base dei (ξi (t)) d v dei ξi (t) i i . (2.6) W= = = ei ξ + ξ dt dt dt Per la regola di differenziazione della funzione complessa dei (ξi (t)) ∂ei d ξ j = j ∂ξ dt dt La derivata di un vettore rispetto al anche la coordinata è un vettore ∂ei toro, quindi ciascuno dei nove vettori ∂ξ j può essere espanso in vettori base ∂ei (2.7) = Γijk ek . j ∂ξ 40 I coefficienti di dilatazione Γijk sono detti coefficienti di connessione affine. Gli spazi in cui sono definiti i coefficienti di connessione affine sono chiamati spazi di connessione affine. Gli spazi in cui i coefficienti di connessione affine sono uguali a zero sono detti spazi affini. Nello spazio affine, nel caso più generale, si possono introdurre solo coordinate rettilinee oblique con scale arbitrarie lungo ciascuno degli assi. I vettori base in tale spazio sono gli stessi in tutti i suoi punti. Se si sceglie la base coordinata (2.3), allora i coefficienti della connessione affine risultano simmetrici nei pedici e in questo caso vengono chiamati simboli di Christoffel. I simboli di Christoffel possono essere espressi in termini di componenti del tensore metrico e delle loro derivate coordinate ∂g jm ⎫ ⎧ ∂g ij ∂g 1 Γ ijk = g km ⎨− m + mij + (2.8) ⎬. ∂ξ ∂ξi ⎭ 2 ⎩ ∂ξ Le quantità gij sono componenti controvarianti del tensore metrico - elementi della matrice inversa a gij. Coefficienti di espansione del vettore accelerazione in termini dei vettori base principali Dξ k k k k i j W = ξ + Γij ξ ξ = . (2.9) dt rappresentano le componenti controvarianti del vettore accelerazione. 2.5. Velocità e accelerazione in coordinate sferiche Le coordinate sferiche ξ1 = r, ξ2 = θ, ξ3 = ϕ sono legate alle coordinate cartesiane x, y e z dalle seguenti relazioni (Figura 9): x = rsinθcosϕ, y = rsinθsinϕ, z = rcosθ . 41 z θ y r ϕ x x Figura 9 – Relazione tra le coordinate cartesiane x, y, z con le coordinate sferiche r, θ, ϕ. Troviamo le componenti del tensore metrico sostituendo queste relazioni nell'espressione (2.4) 2 2 2 ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎛ ∂z ⎞ g11 = 1 1 + 1 1 + 1 1 = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 1; ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ⎝ ∂r ⎠ ⎝ ∂r ⎠ ⎝ ∂r ⎠ ∂x ​​​​∂x ∂y ∂y ∂z ∂z g 22 = 2 2 + 2 2 + 2 2 = ∂ ξ ∂ ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ 2 2 2 ⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎛ ∂z ⎞ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = r2; ⎝ ∂θ ⎠ ⎝ ∂θ ⎠ ⎝ ∂θ ⎠ ∂x ​​​​∂x ∂y ∂y ∂z ∂z g33 = 3 3 + 3 3 + 3 3 = ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ 2 2 2 ⎛ ∂x ⎞ ⎛ ∂y ⎞ ⎛ ∂z ⎞ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = r 2 sin 2 θ. ⎝ ∂ϕ ⎠ ⎝ ∂ϕ ⎠ ⎝ ∂ϕ ⎠ Le componenti non diagonali del tensore metrico sono uguali a zero, perché le coordinate sferiche sono coordinate curvilinee ortogonali. Ciò può essere verificato mediante calcoli diretti o costruendo tangenti alle linee coordinate dei vettori base (Figura 10). er eϕ θ eθ Figura 10 - Linee coordinate e vettori base in coordinate sferiche Oltre alle basi principale e reciproca, viene spesso utilizzata la cosiddetta base fisica: vettori unitari tangenti alle linee coordinate. In questa base la dimensione fisica delle componenti del vettore, comunemente chiamate anche fisiche, coincide con la dimensione del suo modulo, che determina il nome della base. Sostituendo le componenti risultanti del tensore metrico nella (2.5), otteniamo un'espressione per l'energia cinetica di un punto materiale in coordinate sferiche 1 1 (2.10) T = mv 2 = m r 2 + r 2θ2 + r 2 sin 2 θϕ2 . 2 2 Poiché le coordinate sferiche riflettono la simmetria di un campo a simmetria centrale, l'espressione (2.10) viene utilizzata per descrivere il movimento di un punto materiale in un campo a simmetria centrale. () 43 Per trovare le componenti controvarianti dell'accelerazione utilizzando la formula (2.9), è necessario prima trovare le componenti controvarianti del tensore metrico come elementi della matrice, matrice inversa gij, e poi i simboli di Christoffel secondo le formule (2.8). Poiché la matrice gij è diagonale in coordinate ortogonali, gli elementi della sua matrice inversa (anch'essa diagonale) sono semplicemente l'inverso degli elementi gij: g11 = 1; g22 = r–2; g33 = r–2sen–2θ. Scopriamo prima quale dei simboli di Christoffel sarà diverso da zero. Per fare ciò, scriviamo la relazione (2.8), ponendo l'apice uguale a 1 ∂g j1 ⎫ ⎧ ∂gij ∂g 1 Γ1ij = g 11 ⎨− 1 + 1ji + i ⎬ . 2 ∂ξ ⎭ ⎩ ∂ξ ∂ξ Poiché le componenti non diagonali del tensore metrico sono uguali a zero e la componente g11 = 1 (costante), gli ultimi due termini tra parentesi diventano zero, e il primo termine sarà non- zero per i = j = 2 e i = j = 3. Pertanto, tra i simboli di Christoffel con indice 1 in alto, solo Γ122 e Γ133 saranno diversi da zero. Allo stesso modo, troviamo simboli di Christoffel diversi da zero con gli indici 2 e 3 in alto. Ci sono 6 simboli di Christoffel diversi da zero in totale: Γ122 = −r ; Γ133 = − r sin 2 θ; 1 2 2Γ12 =Γ221 = ; Γ33 = − sin θ cos θ; r13Γ13 =Γ331 = ; Γ323 = Γ332 = ctgϑ. r (2.11) Sostituendo queste relazioni nell'espressione (1.3), otteniamo componenti controvarianti dell'accelerazione in coordinate sferiche: 44 W 1 = ξ1 + Γ122ξ 2 ξ2 + Γ133ξ3ξ3 = r − rθ2 − r sin 2 θϕ2 ; 2 2 1 2 2 3 3 W 2 = ξ 2 + 2Γ12 ξ ξ + Γ33 ξ ξ = θ + r θ − sin θ cos θϕ2 ; (2.12) r 2 3 1 3 W 3 = ξ3 + 2Γ13 ξ ξ + 2Γ323ξ2 ξ3 = ϕ + r ϕ + 2ctgθθϕ. r2.6. Equazioni del moto in un campo a simmetria centrale In coordinate sferiche, il vettore forza ha una sola componente diversa da zero d Π (r) (2.13) Fr = − dr Per questo motivo la seconda legge di Newton per un punto materiale assume la forma d Π (r ) (2.14) mW 1 = m r − r θ2 − r sin 2 θϕ2 = − dr 2 (2.15) W 2 = θ + rθ − sin θ cos θϕ2 = 0 r 2 (2.16) W 3 = ϕ + r ϕ + 2ctgθθϕ = 0 r L’equazione (2.15 ) ha due soluzioni parziali ⎧0 ⎪ θ = ⎨π (2.17) ⎪⎩ 2 La prima di queste soluzioni contraddice la condizione imposta sulle coordinate curvilinee; per θ = 0 lo Jacobiano delle trasformazioni svanisce J = g = r 2 sin θ = 0 ( ) θ= 0 Tenendo conto della seconda soluzione (2.17), le equazioni (2.14) e (2.16) assumono la forma d Π (r) (2.18) m (r − r ϕ2) = − dr 45 2 (2.19) ϕ + rϕ = 0 r L'equazione (2.19) consente la separazione delle variabili d ϕ dr = r ϕ e del primo integrale r 2ϕ = C , (2.20) dove C è la costante di integrazione. Nel prossimo paragrafo si mostrerà che questa costante rappresenta il doppio della velocità del settore e, quindi, l'integrale stesso (2.20) è la seconda legge di Keplero o integrale d'area. Per trovare il primo integrale dell'equazione (2.18), sostituiamo nella (2. 18) relazione (2.20) ⎛ C2 ⎞ d Π (r) m⎜r − 3 ⎟ = − r ⎠ dr ⎝ e separare le variabili dr 1 dr 2 C 2 1 d Π (r) . = 3 − r= 2 dr dr r m dr Come risultato dell'integrazione, otteniamo ⎛ mr 2 C 2 ⎞ + 2 ⎟ + Π (r) = const = E = T + Π (r) , (2.21) ⎜ r ⎠ ⎝ 2 t.e. la legge di conservazione dell'energia meccanica, che è facile da verificare sostituendo la (2.17) e la (2.20) nella (2.10). 2.7. Velocità del settore e accelerazione del settore Velocità del settore – valore, numericamente uguale all'area, spazzato dal raggio vettore del punto per unità di tempo dS σ= . dt Come si può vedere dalla Figura 11 46 1 1 [ r , r + dr ] = [ r , dr ] , 2 2 e la velocità del settore è determinata dalla relazione 1 (2.22) σ = ⎡⎣ r , r ⎤⎦ . 2 Nel caso di moto piano in coordinate cilindriche r = ix + jy, x = r cos ϕ, y = r sin ϕ (2.22) assume la forma i j k 1 1 1 σ = x y 0 = kr 2ϕ = C . (2.23) 2 2 2 x y 0 dS = r dr r + dr dS Figura 11 – Area spazzata dal raggio vettore Pertanto, la costante di integrazione C è il doppio della velocità del settore. Calcolando la derivata temporale dell'espressione (2.22), otteniamo l'accelerazione settoriale 47 1 ⎡r , r ⎤ . (2.24) 2⎣ ⎦ Secondo la seconda legge di Newton, l'espressione (2.24) rappresenta la metà del momento della forza diviso per la massa, e azzerare questo momento porta alla conservazione del momento angolare (vedi sezione 1.2). La velocità del settore è pari alla metà del momento angolare diviso per la massa. In altre parole, gli integrali primi delle equazioni del moto in un campo a simmetria centrale potrebbero essere scritti senza integrare esplicitamente le equazioni differenziali del moto, basandosi solo sul fatto che 1) il moto avviene in assenza di forze dissipative; 2) momento delle forze 1 K = ⎣⎡ r , F ⎦⎤ = ⎣⎡ r , r ⎦⎤ = 0 . (2.25) m diventa zero. σ= 2,8. Equazione del moto di un punto materiale in un campo gravitazionale e in un campo di Coulomb 2.8.1. Energia effettiva Le variabili nella relazione (2.21) sono facilmente separabili dr dt = , (2.26) 2 E ⎛ 2Π (r) C 2 ⎞ −⎜ + 2 ⎟ m ⎝ m r ⎠ e la relazione risultante (2.26) può essere analizzata. Nel caso di Coulomb e dei campi gravitazionali, l'energia potenziale è inversamente proporzionale alla distanza dal centro α ⎧α > 0 – la forza di attrazione; Π (r) = − ⎨ (2.27) r ⎩α< 0 − силы оталкивания. В случае силы притяжения выражение в скобках в формуле (2.26) принимает вид 48 2 ⎛ α mC 2 ⎞ ⎜− + ⎟. m ⎝ r 2r 2 ⎠ Оба слагаемых в скобках имеют размерность энергии. Второе слагаемое mC 2 (2.28) U цб = 2r 2 называют центробежной энергией. Вместе с потенциальной энергией она образует так называемую «эффективную энергию», которая имеет минимум, соответствующий устойчивому движению (рисунок 12) α mC 2 (2.29) U эф = − + 2 . r 2r Центробежная энергия r Эффективная энергия Потенциальная энергия Uэфmin Рисунок 12 – Эффективная энергия 2.8.2. Уравнение траектории Вернемся к выражению (2.26). Для вычисления интеграла введем новую переменную 1 dr (2.30) u = , du = − 2 r r и выберем координату ϕ в качестве новой независимой переменной. Это возможно, если ϕ(t) – монотонная функция времени. Монотонность же этой функции вытекает из отличия от нуля производной по времени 49 C r2 во всей области за исключением r → ∞. С учетом этих замен выражение (2.26) приводится к интегралу −du ϕ − ϕ0 = ∫ = α ⎞ 2E ⎛ 2 − ⎜u − 2 u⎟ mC 2 ⎝ mC 2 ⎠ α ⎞ ⎛ −d ⎜ u − ⎟ mC 2 ⎠ ⎝ = = ϕ= ∫ 2 2E ⎛ α ⎞ ⎛ α ⎞ +⎜ −⎜u − ⎟ 2 2 ⎟ mC ⎝ mC ⎠ ⎝ mC 2 ⎠ α u− mC 2 = arccos . 2E ⎛ α ⎞ +⎜ ⎟ mC 2 ⎝ mC 2 ⎠ P ϕ= 2 2 π 2 Полюс Рисунок 13 – Геометрический смысл фокального параметра Возвращаясь к переменной r, получим уравнение траектории материальной точки в центрально-симметричном поле 50 r= p , 1 + ε cos(ϕ − ϕ0) (2.31) где mC 2 α – фокальный параметр орбиты; p= ε = 1+ 2mC 2 E α2 (2.32) (2.33) – эксцентриситет орбиты. Уравнение (2.31) представляет собой уравнение конического сечения. Геометрический смысл фокального параπ метра, которому радиус-вектор точки равен при ϕ − ϕ0 = 2 представлен на рисунке 13. 2.8.3. Зависимость формы траектории от полной энергии Вид конического сечения – траектории точки в центрально-симметричном поле – зависит от эксцентриситета, а тот согласно (2.33) зависит от полной энергии. 1. ε = 0. Траектория точки представляет собой окружность. Energia totale un punto situato sulla superficie di un pianeta di massa M e raggio R è determinato dalla relazione mv 2 GMm α2 − = − . E=2R22mC222.0< ε <1. Траектория точки представляет собой эллипс. Полная энергия точки ограничена значениями α2 mv 2 GMm − < − < 0. 2 R2 2mC 2 3. ε = 1. Траектория точки представляет собой параболу. Полная энергия точки обращается в нуль 51 mv 2 GMm − =0. 2 R2 Соответствующая скорость v2 = 2 GM = 2v1 (2.34) R называется второй космической скоростью, а v1 = GM R – первой космической скоростью 4. ε > 1. La traiettoria di un punto è un'iperbole. L'energia totale di un punto è maggiore di zero. 2.9. Ridurre il problema dei due corpi al problema di un corpo solo. Massa ridotta Consideriamo il problema del movimento di due corpi sotto l'influenza della forza di interazione solo tra loro (Figura 14) F12 m2 r r1 m1 r2 F21 O O – origine delle coordinate; m1 e m2 – masse di corpi interagenti Figura 14 – Problema dei due corpi Scriviamo la seconda legge di Newton per ciascuno dei corpi 52 m1r1 = F12 = − F (r) ⎫⎪ ⎬ m2 r2 = F21 = F (r) ⎪⎭ ( 2.35) Per il vettore r abbiamo r = r2 − r1 . (2.36) Poniamo il problema di esprimere i vettori r1 e r2 tramite il vettore r. La sola equazione (2.36) non è sufficiente a questo scopo. L'ambiguità nella definizione di questi vettori è dovuta all'arbitrarietà della scelta dell'origine delle coordinate. Senza limitare in alcun modo questa scelta, non è possibile esprimere univocamente i vettori r1 e r2 in termini del vettore r. Poiché la posizione dell'origine delle coordinate dovrebbe essere determinata solo dalla posizione di questi due corpi, ha senso combinarla con il centro di massa (centro di inerzia) del sistema, ad es. metti m1r1 + m2 r2 = 0 . (2.37) Esprimendo il vettore r2 utilizzando il vettore r1 utilizzando la (2.37) e sostituendolo nella (2.36), otteniamo m2 m1 r1 = − r ; r2 = r. m1 + m2 m1 + m2 Sostituendo queste relazioni nella (2.35) invece di due equazioni otteniamo una mr = F (r), dove viene introdotta la quantità m, detta massa ridotta mm (2.38) m= 1 2 . m1 + m2 Pertanto, il problema del movimento di due corpi in un campo di azione reciproca si riduce al problema del movimento di un punto con una massa ridotta in un campo centralmente simmetrico nel centro del sistema di inerzia. 53 2.10. Formula di Rutherford In accordo con i risultati del paragrafo precedente, il problema della collisione di due particelle e del loro successivo movimento può essere ridotto al movimento di una particella nel campo centrale di un centro stazionario. Questo problema è stato considerato da E. Rutherford per spiegare i risultati di un esperimento sulla diffusione delle particelle α da parte degli atomi di materia (Figura 15). dχ dχ Vm dρ V∞ ρ Figura 15 – rm ϕ ϕ χ Diffusione di una particella α da parte di un atomo stazionario La traiettoria della particella deviata dall'atomo deve essere simmetrica rispetto alla perpendicolare alla traiettoria, abbassata dal centro di diffusione ( la bisettrice dell'angolo formato dagli asintoti). In questo momento la particella si trova alla distanza rm più breve dal centro. la distanza alla quale si trova la sorgente delle particelle α è molto maggiore di rm, quindi possiamo supporre che la particella si muova dall'infinito. La velocità di questa particella all'infinito è indicata in Figura 15 con V∞. La distanza ρ della linea del vettore velocità V∞ da una linea parallela ad esso passante per il centro di diffusione è detta distanza d'impatto. L'angolo χ formato dall'asintoto della traiettoria delle particelle disperse con la linea centrale (allo stesso tempo l'asse polare del sistema di coordinate polari) è chiamato angolo di diffusione. La particolarità dell'esperimento è che in linea di principio la distanza d'impatto non può essere determinata durante l'esperimento. Il risultato delle misurazioni può essere solo il numero dN di particelle i cui angoli di diffusione appartengono a un certo intervallo [χ,χ + dχ]. Non è possibile determinare né il numero N di particelle N che cadono nell'unità di tempo né la loro densità di flusso n = (S è l'area della sezione trasversale del raggio incidente). Per questo motivo, la cosiddetta sezione d'urto di scattering efficace dσ, definita dalla formula (2.39) dN, è considerata una caratteristica di scattering. (2.39) dσ = n L'espressione dN n/ 2πρd ρ = = 2πρd ρ dσ = n n/ ottenuta come risultato di un semplice calcolo non dipende dalla densità di flusso delle particelle incidenti, ma dipende comunque dalla distanza d'impatto. Non è difficile vedere che l'angolo di scattering è una funzione monotona (monotonicamente decrescente) della distanza d'impatto, che permette di esprimere la sezione d'urto di scattering effettiva come segue: dρ (2.40) d σ = 2πρ dχ . dχ dρ< 0 . Следует, однако, отВ этой формуле учтено, что dχ метить, что рассеиваемые частицы в ходе эксперимента регистрируются не внутри плоского угла dχ, а внутри телесного угла dΩ, заключенного между двумя бесконечно близкими конусами. На рисунке 16 представлен телесный 55 угол dΩ и второй бесконечно малый телесный угол dω, отнесенный к цилиндрической системе координат. Бесконечно малая поверхность ds на рисунке 16 представляет собой часть координатной поверхности – сферы – r = const. С этой поверхностью с точностью до бесконечно малых первого порядка совпадает бесконечно малый прямоугольник, построенный на векторах eθ d θ и eϕ d ϕ 5. Площадь этого прямоугольника равна ds = ⎡⎣ eθ , eϕ ⎤⎦ d θd ϕ = eθ eϕ d θd ϕ = rr sin θd θd ϕ . ds dΩ dω θ dθ r dϕ Рисунок 16 – К выводу связи плоского угла с телесным углом Соответствующий сферической поверхности, площадь которой с точностью до бесконечно малых второго порядка равна площади этого прямоугольника, телесный угол по определению равен ds d ω = 2 = sin θd θd ϕ . r Интегрируя этот угол по ϕ в границах от нуля до 2π, получим 5 Смотрите: часть первая раздел второй учебно-методического комплекса по теоретической механике и механике сплошной среды 56 d Ω = 2π sin θd θ . Очевидно, что угол рассеяния χ есть ни что иное, как сферическая координата θ. Заменяя в (2.40) плоский угол телесным, получим ρ dρ (2.41) dσ = dΩ . sin χ d χ Таким образом, для дальнейшего решения задачи необходимо найти функцию ρ(χ). С этой целью обратимся опять к уравнению (2.26), произведя в ней замену переменных в соответствии с (2.30) и перейдя к независимой переменной ϕ. α ⎞ ⎛ −d ⎜ u − ⎟ mC 2 ⎠ ⎝ dϕ = . 2 2E α2 α ⎞ ⎛ + 2 4 −⎜u − ⎟ 2 mC mC ⎝ mC 2 ⎠ Левую часть этого соотношения проинтегрируем от 0 до ϕ, а правую – в соответствующих границах для переменной u: 1 от 0 до um = rm α α um − − 2 mC mC 2 ϕ = arccos − arccos . α2 α2 2E 2E + + mC 2 m 2C 4 mC 2 m 2C 4 В соответствии с законами сохранения энергии и момента импульса можно записать mV∞2 mVm2 α ⎫ = − ;⎪ E= 2 2 rm ⎬ ⎪ C = ρV∞ = rmVm . ⎭ Выразив из этих уравнений um, приходим к выводу, что отличным от нуля будет только второе слагаемое в выражении для ϕ, и, следовательно, имеем 57 ⎛ 2E α2 α2 ⎞ 2 = + ⎜ ⎟ cos ϕ . m 2C 4 ⎝ mC 2 m 2C 4 ⎠ Так как интеграл движения C зависит от ρ, то его следует также заменить в соответствии с законом сохранения момента импульса. Учитывая, что 2ϕ + χ = π, получим формулу Резерфорда 2 ⎛ α ⎞ 1 dσ = ⎜ dΩ . 2 ⎟ ⎝ 2mV∞ ⎠ sin 4 χ 2 2.11. Контрольная работа по теме: Скорость и ускорение в криволинейных координатах 2.11.1. Пример выполнения контрольной работы по теме скорость и ускорение в криволинейных координатах Примером выполнения контрольного задания по этой теме является изложенный в пункте 2.5. метод определения скорости и ускорения в сферических координатах. Используя предлагаемую в третьей колонке с вязь декартовых координат с криволинейными, найдите диагональные компоненты метрического тензора (недиагональные равны нулю, так как все заданные криволинейные координаты являются ортогональными). Полученные Вами результаты сравните с таблицей приложения 1. Используя полученные компоненты метрического тензора, найдите необходимые для вычисления указанных в таблице 2 контравариантных компонент ускорения. 58 2.11.2. Варианты контрольных заданий Найти кинетическую энергию материальной точки и контравариантные компоненты ускорения в криволинейных координатах, представленных в таблице 2. Таблица 2. Варианты заданий контрольных заданий (a, b, c, R, λ, и ω – постоянные величины) Вариант 1 1 Компоненты ускорения 2 Связь с декартовыми координатами 3 W1 ξ1=λ; ξ2=μ; ξ3=ν –общие эллипсоидальные координаты x2 = (a + λ)(a 2 + μ)(a 2 + ν) ; (a 2 − b 2)(a 2 − c 2) y2 = (b 2 + λ)(b 2 + μ)(b 2 + ν) ; (b 2 − a 2)(b 2 − c 2) z2 = 2 3 4 5 6 7 8 9 10 W2 W3 W1 и W3; ξ1 = σ; ξ2 = τ; ξ3 = ϕ W2 и W3 W1 и W3 ξ1 = σ; ξ2 = τ; ξ3 = ϕ W2 и W3 W1 ξ1 = u; ξ2 = v; ξ3 = w W2 W3 2 (c 2 + λ)(c 2 + μ)(c 2 + ν) . (c 2 − a 2)(c 2 − b 2) те же координаты те же координаты x2 = a2(σ2 – 1)(1 – τ2)cos2ϕ; y2 = a2(σ2 – 1)(1 – τ2)sin2ϕ; z = aστ. координаты вытянутого эллипсоида вращения Те же координаты вытянутого эллипсоида вращения x2 = a2(1 + σ2)(1 – τ2)cos2ϕ; координаты сплюснутого эллипсоида вращения конические координаты y2 = a2(1 + σ2)(1 – τ2)sin2ϕ; z = aστ. Те же координаты сплюснутого эллипсоида вращения u vw x= ; bc u 2 (v 2 − b 2)(w 2 − b 2) y2 = 2 ; b b2 − c2 u 2 (v 2 − c 2)(w 2 − c 2) z2 = 2 . c c2 − b2 Те же конические координаты Те же конические координаты 59 Окончание таблицы 2 1 11 2 3 параболоидальные координаты (A − λ)(A − μ)(A − v) x2 = ; (B − A) (B − λ)(B − μ)(B − v) y2 = ; (A − B) 1 z = (A + B − λ − μ − v). 2 Те же (параболоидальные) координаты Те же (параболоидальные) координаты W1 ξ1 = λ; ξ2 = μ; ξ3 = ν 12 W2 13 W3 14 W1 и W3; ξ1 = σ; параболические ξ2 = τ; координаты ξ3 = ϕ 15 16 W2 и W3 W1, W2 координаты и W3 параболиче1 ξ = σ; ского ξ2 = τ; цилиндра ξ3 = z W1, W2 бицилинди W3 ξ1=σ; рические ξ2=τ; координаты ξ3=z W1 и W3; тороиξ1 = σ; дальные ξ2 = τ; коордиξ3 = ϕ наты Те же (параболические) координаты 19 20 W2 и W3 W1 и W3 ξ1 = σ; биполярные ξ2 = τ; координаты ξ3 = ϕ Те же тороидальные координаты 21 W2 и W3 17 18 x = στ cos ϕ; y = στ sin ϕ; 1 z = (τ2 − σ 2) 2 x = στ; 1 y = (τ2 − σ 2); 2 z=z ash τ ; ch τ − cos σ a sin σ y= ; ch τ − cos σ z=z x= ash τ cos ϕ; ch τ − cos σ ash τ y= sin ϕ; ch τ − cos σ a sin σ z= ch τ − cos σ x= a sin τ cos ϕ; ch σ − cos τ a sin τ y= sin ϕ; ch σ − cos τ ash σ z= . ch σ − cos τ x= Те же биполярные координаты 60 2.12. Тесты итогового контроля (экзамена) 2.12.1. Поле A А.2.2. Приведенной массой в задаче двух тел называется величина … А.2.2. Скорость материальной точки в сферических координатах имеет вид … А.2.3. Скорость материальной точки в цилиндрических координатах имеет вид … А.2.4. Квадрат скорости материальной точки в цилиндрических координатах имеет вид … А.2.5. Квадрат скорости материальной точки в сферических координатах имеет вид … А.2.6. Квадрат скорости материальной точки в цилиндрических координатах имеет вид … А.2.7. Ускорение материальной точки в криволинейных координатах имеет вид … А.2.8. Кинетическая энергия точки в цилиндрических координатах имеет вид … А.2.9. Момент импульса материальной точки, движущейся в центрально симметричном поле равен … А.2.10. Уравнение конического сечения имеет вид … А.2.11 Эксцентриситет орбиты в центрально симметричном гравитационном поле определяется … А.2.12. Площадь S сферической поверхности радиусом r, на которую опирается телесный угол Ω, равна … S Ω А.2.13. Площадь сферической поверхности радиусом r, на которую опирается телесный угол dω, если θ и ϕ сферические координаты, равна … 61 А.2.14. Момент импульса точки в центральном поле в процессе движения … А2.15. Момент силы, действующий на точку в центральном поле в процессе движения … A2.16. Второй закон Кеплера, известный как закон площадей при движении в плоскости xy имеет вид … 2.12.2. Поле B B.2.1. Если символы Кристоффеля в сферических координатах имеют вид … 1 2 2 Γ122 = −r ; Γ133 = − r sin 2 θ; Γ12 = Γ 221 = ; Γ 33 = − sin θ cos θ; r 1 3 3 3 Γ13 = Γ31 = ; Γ 323 = Γ 32 = ctgϑ. r то компонента Wi ускорения точки в центральносимметричном поле равна … B.2.2. Частным решением уравнения 2 θ + rθ − sin θ cos θ ϕ2 = 0 , r удовлетворяющим требованиям, предъявляемым к криволинейным координатам, является … B.2.3. Первый интеграл дифференциального уравнения 2 ϕ + r ϕ = 0 имеет вид … r B.2.4. Первый интеграл дифференциального уравнения ⎛ C2 ⎞ dΠ – это … m⎜r − 3 ⎟ = − r ⎠ dr ⎝ B.2.5. Если в интеграле движений в центральном поле 1 E = m (r 2 + r 2 ϕ2) + Π (r) = const 2 учесть интеграл движений r 2 ϕ2 = C = const , то разделение переменных даст выражение … 62 B.2.6. Если в выражении dt = dr 2 E ⎛ C 2 2α ⎞ −⎜ − ⎟ m ⎝ r 2 mr ⎠ перейти к 1 новой переменной u = , то результатом будет выражение r B2.7. Если в выражении, описывающем движение в цен− r 2 du тральном поле dt = , перейти от пе2 E ⎛ 2 2 2α ⎞ u⎟ − ⎜C u − m ⎝ m ⎠ ременной t к новой переменной ϕ, то результатом будет … um −du B.2.8. Интеграл ∫ равен … 2 E ⎛ 2 2α ⎞ 0 −⎜u − u⎟ mC 2 ⎝ mC 2 ⎠ B.2.11. Зависимость прицельного расстояния ρ от угла расα χ сеяния χ определяется соотношением: ρ = ctg . От2 mV∞ 2 сюда эффективное сечение рассеяния d σ = 2πρ d ρ dΩ sin χ d χ будет равно … 2.12.3. Поле C C.2.1. Потенциальная энергия спутника Земли массой m кг, средняя высота орбиты которого h, равна … (МДж). Радиус Земли 6400 км, ускорение свободного падения на поверхности Земли принять равным 10 м/с2. C.2.2. Чтобы уравнения движения двух взаимодействующих тел заменить одним уравнением в центральном поле, необходимо вместо масс тел m1 и m2 использовать величину … 63 С.2.3. Кинетическая энергия спутника массой m, движущегося по эллиптической орбите эксцентриситетом ε и секторной скоростью σ, когда радиус-вектор образует с полярной осью угол ϕ, равна… С.2.4. Модуль секторной скорости точки, координаты которой изменяются по закону: x = asinωt, y = bcosωt, равен (км2/c)… 64 3. ВРАЩАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА 3.1. Структура раздела Поступательное движение -полюс -End1 * Антиподы Вращательное движение -центрВращения -угловаяСкорость +векторноеУмножение(in УгловаяСкорость, in радиусВектор) End1 End3 End5 End2 векторнаяАлгебра -векторноеПроизведение -скалярноеПроизведение End4 тензорнаяАлгебра -законПреобразования -радиусВектор +приведение к диагональному виду() End6 линейнаяАлгебра -собственныеЗначения Рисунок 17 – Структура связей дисциплин 65 * -End2 3.2. Понятие твердого тела. Вращательное и поступательное движение Понятие твердого тела в механике не связано непосредственно с какими-либо представлениями о характере взаимодействия его точек друг с другом. Определение твердого тела включает в себя лишь геометрическую его характеристику: твердым называется тело, расстояние между любыми двумя точками которого не изменяется. В соответствии с рисунком 18 определению твердого тела соответствует выражение rab = rab2 = const . (3.1) а rab b ra rb Рисунок 18 – К понятию твердого тела Определение (3.1) позволяет разделить движение твердого тела на два вида – поступательное и вращательное. Поступательным называется такое движение, при котором любая прямая, выделенная в твердом теле, перемещается параллельно самой себе. Из рисунка 18 следует, что при этом rab = ra − rb = const , (3.2) и, следовательно, ra = rb ; ra = rb , (3.3) т.е. скорости и ускорения всех точек твердого тела одинаковы. Очевидно, что для описания поступательного дви66 жения твердого тела достаточно ограничиться описанием движения одной (любой) его точки. Эта избранная точка называется полюсом. Второй тип движения – это движение, при котором скорость хотя бы одной точки твердого тела равна нулю, называемое вращательным движением. Как видно из рисунка 19, модуль бесконечно малого вектора dr , совпадающий с длиной дуги, может быть выражен как dr = r sin αd ϕ = [ d ϕ, r ] , если ввести вектор угла поворота, совпадающего по направлению с осью вращения, т.е. прямой, скорости точек которой в данный момент времени равны нулю. dϕ dr r + dr dϕ Рисунок 19 – α r Вращательное движение твердого тела Если направление вектора определяется при этом по правилу буравчика, то последнее соотношение можно записать в векторной форме dr = [ d ϕ, r ] . Деля это соотношение на время dt, получим связь линейdr dϕ ной v = и угловой ω = скорости dt dt v = [ω, r ] . (3.4.) Из определения (3.1) вытекает, что относительная скорость двух точек твердого тела, всегда перпендикулярна соединяющему их отрезку прямой 67 drab2 = 2 rab , rab = 0, т.е. rab ⊥ rab . dt Это позволяет движение любой точки a твердого тела представить как движение полюса (любой точки O), соответствующего поступательному движению твердого тела, и вращению вокруг полюса с угловой скоростью ω (рисунок 20) dR va = vo + [ω, ra ] , va = a , ra = Ra − ro . (3.5) dt () а ra′ ra Ra Рисунок 20 – ro O′ О ro′ Абсолютное и относительное положение точки твердого тела Покажем, что угловая скорость не зависит от выбора полюса. Рассмотрим два полюса O и O′, и предположим, что вокруг них твердое тело вращается с разными угловыми скоростями ω и ω′ [ω, ro − ro′ ] = − [ω′, r0′ − r0 ] ⇒ [ω − ω′, ro − ro′ ] = 0 . Так как векторы ω − ω′ и ro − ro′ не параллельны, и последний из них не равен нулю, то равен нулю первый вектор, т.е. ω = ω′ . Таким образом, угловая скорость твердого тела не зависит от выбора полюса. Если твердое тело вращается с угловой скоростью ω вокруг некоторой своей точки, то с такой же угловой скоростью оно вращается и вокруг любой другой своей точки. 68 3.3. Кинетическая энергия твердого тела В силу аддитивности энергии выражение для кинетической энергии твердого тела можно записать в виде ma va2 mvo2 1 1 2 ∑ 2 = 2 + 2 ∑ ma (vo [ω, ra ]) + 2 ∑ ma [ω, ra ] .(3.6) a a a Первое слагаемое в правой части выражения (3.6) представляет собой кинетическую энергию материальной точки с массой, равной массе всего твердого тела, и скоростью полюса, что соответствует поступательному движению твердого тела. В силу этого первое слагаемое естественно назвать кинетической энергией поступательного движения твердого тела N mv 2 Tпост = o , m = ∑ ma . (3.7) 2 a =1 Последнее слагаемое в (3.6) остается единственным отличным от нуля, если положить скорость полюса равной нулю, что соответствует определению вращательного движения твердого тела. Поэтому это слагаемое естественно назвать кинетической энергией вращательного движения 1 2 Tвр = ∑ ma [ ω, ra ] . (3.8) 2 a Второе слагаемое в правой части (3.6) содержит характеристики как поступательного, так и вращательного движений. Это слагаемое можно обратить в нуль путем выбора в качестве полюса центра масс твердого тела ⎛ ⎞ ∑ ma (vo [ω, ra ]) = ∑ ma (ra [ vo , ω]) = ⎜ ∑ ma ra [ vo , ω] ⎟ . a a ⎝ a ⎠ Если положить ∑ ma ra ro = rc = a = 0, ∑ ma a 69 то кинетическую энергию твердого тела можно представить в виде двух слагаемых – кинетической энергии вращательного и поступательного движения твердого тела mv 2 1 2 T = o + ∑ ma [ ω, ra ] . 2 2 a Кинетическая энергия твердого тела будет совпадать с кинетической энергией его вращательного движения, если в качестве полюса выбрать мгновенный центр скоростей – точку, скорость которой равна нулю в данный момент времени. Существование такой точки для непоступательного движения можно легко доказать, рассмотрев скорости двух точек твердого тела (рисунок 19). а va vb b ra С Рисунок 21 – rb Мгновенный центр скоростей Проекции векторов скоростей точек a и b на направления, перпендикулярные этим векторам равны нулю, а значит должны быть равны нулю и проекции на эти направления скорости точки, находящейся на пресечении этих направлений. Если эти направления не параллельный друг другу (не поступательное движение), то скорость такой точки может быть равна только нулю. Таким образом, при вычислении кинетической энергии твердого тела в качестве полюса следует выбирать либо центр масс твердого тела, либо мгновенный центр скоростей. 70 3.4. Тензор инерции Кинетическая энергия твердого тела содержит сомножители, как одинаковые для всех точек твердого тела (вектор угловой скорости), так и требующие суммирования по всем точкам. При этом угловая скорость вычисляется в каждый момент времени, структура твердого тела остается неизменной, что заставляет искать пути раздельного вычисления этих величин – суммирования по точкам и компонент угловой скорости. Для такого разделения преобразуем квадрат векторного произведения [ω, ra ]2 = ([ω, ra ] , [ω, ra ]) = ω, ⎡⎣ra , [ω, ra ]⎤⎦ = () () = ω, ωra2 − ra (ω, ra) = ω2 ra2 − (ω, ra) . 2 В первом слагаемом квадрат скорости уже может быть вынесен за знак суммирования по точкам, но во втором это оказывается невозможно для вектора целиком или его модуля. Поэтому скалярное произведение приходится разбивать на отдельные слагаемые и выносить каждую компоненту угловой скорости. Для этого представим в декартовых координатах ω2 = δij ωi ω j ; (ω, ra) = ωi xi . Тогда выражение (3.8) приводится к виду 1 Tвр = I ij ωi ω j , 2 где симметричный тензор второго ранга N (I ij = I ji = ∑ ma δij ra2 − xia x aj a =1 (3.9)) (3.10) называют тензором инерции твердого тела. Выражение (3.10) определяет компоненты тензора инерции в том случае, когда точки твердого тела представляют собой счетное множество. В случае непрерывного распределения точек твердого тела – множества мощности континуум – массу одной точки следует заменить массой 71 бесконечно малого объема, а суммирование по точкам заменить интегрированием по объему I ij = ∫ ρ δij ra2 − xia x aj dV . (3.11) () V Замечание 1. Тензор инерции определяется через радиус-вектор и его компоненты. Так как сам радиус-вектор определен только в декартовых координатах (исключение составляют криволинейные координаты, позаимствовавшие у декартовых начало координат, называемое, как правило, полюсом), то и тензор инерции определен только в декартовых координатах. Это не значит, однако, что тензор инерции вообще нельзя записать в криволинейных координатах. Для перехода к криволинейным координатам нужно лишь в выражениях (3.10) или (3.11) использовать связь декартовых координат с криволинейными. Замечание 2. Так как компоненты радиус-вектора (декартовы координаты) ведут себя как компоненты тензора первого ранга только при поворотах осей декартовой системы координат вокруг ее начала, то и величины (3.10) и (3.11) являются компонентами тензора второго ранга только по отношению к поворотам осей декартовой системы координат. 3.5. Приведение тензора инерции к диагональному виду Как и всякий симметричный тензор второго ранга, тензор инерции можно привести к диагональному виду путем поворота осей декартовой системы координат. Такая задача носит название задачи на собственные значения линейного оператора. Некоторый оператор L называется линейным, если для любых двух чисел α и β и любых двух функций ϕ и ψ выполняется условие L(αϕ + β ψ) = αLϕ + βLψ. Если для некоторой функции ϕ выполняется условие 72 Lϕ = λϕ, где λ – некоторое число, то функция ϕ называется собственной функцией оператора L, а число λ – его собственным значением. Рассмотрим действие тензора инерции на векторы ei базиса декартовой системы координат как действие некоторого линейного оператора. Если при этом I ij e j = λ ei , то векторы ei следует назвать собственными векторами тензора инерции, а число λ – его собственным значением. Задача на собственные значения может быть записана в виде (3.12) (I ij − λδij)e j = 0 . Очевидным решением получившейся системы однородных линейных уравнений является решение λ 0 0 I ij = λδij ⇒ I ij = 0 λ 0 , 0 0 λ т.е. тензор инерции приводится к шаровому тензору с единственной независимой компонентой. Однако, как известно из линейной алгебры, система однородных линейных уравнений (3.12) допускает ненулевое решение и в случае, если определитель системы обращается в ноль (это условие является необходимым и достаточным условием существования ненулевого решения). I11 − λ I12 I13 (3.13) I ij − λδij = I12 I 22 − λ I 23 = 0 . I13 I 23 I 33 − λ Уравнение (3.13) в общем случае имеет три независимых корня, называемых главными моментами инерции, I1 = I11 = λ1, I2 = I22 = λ2, I3 = I33 = λ3. 73 Приведение тензора инерции к диагональному виду эквивалентно приведению к каноническому виду уравнения эллипсоида (3.14) Iijxixj = I1X12 + I2X22 + I3X32 = 1, называемого эллипсоидом инерции. В зависимости от количества независимых главных моментов инерции, т.е. количества независимых корней уравнения (3.13), твердые тела классифицируются следующим образом. 1. Асимметричный волчок. Все три корня I1, I2, I3 отличны друг от друга и от нуля. 2. Симметричный волчок. Два главных момента инерции совпадают I1 = I2 ≠ I3. Частным случаем симметричного волчка является ротатор, один из главных моментов инерции которого равен нулю I3 = 0. Ротатор является достаточно адекватной моделью двухатомной молекулы, в которой один из характерных размеров в 105 раз меньше двух других. 3. Шаровой волчок. Все три главных момента инерции совпадают I1 = I2 = I3 = 0. 3.6. Физический смысл диагональных компонент тензора инерции Если тензор инерции приведен к диагональному виду (часто говорят: к главным осям), то в случае счетного множества точек он имеет вид ∑ ma (ya2 + za2) 0 0 0 ∑ ma (xa2 + za2) 0 0 ∑ ma (xa2 + ya2) a I ij = a 0 . a представляет собой квадрат расВеличина x + y = стояния точки a от оси z, как это видно из рисунка 20. Если 2 a 2 a 2 az 74 теперь ввести понятие момента инерции материальной точки относительно данной оси как произведение массы точки на квадрат расстояния до данной оси I ax = ma ya2 + za2 = 2ax ; I ay = ma xa2 + za2 = 2ay ; () (() I az = ma xa2 + ya2 = 2 az) , то можно ввести аддитивную величину – момент инерции твердого тела относительно данной оси, равную сумме моментов инерции всех точек твердого тела относительно данной оси. I x = ∑ ma ya2 + za2 ; I y = ∑ ma xa2 + za2 ; a () (a ()) I z = ∑ ma xa2 + ya2 . a (3.15) Таким образом, диагональные компоненты тензора инерции представляют собой моменты инерции твердого тела относительно координатных осей. za ra ya xa Рисунок 22 – za К интерпретации понятия момента инерции Замечание 1. Для описания движения одной материальной точки понятие момента ее инерции не играет ни75 какой роли. Это понятие необходимо лишь для того, чтобы показать, что момент инерции твердого тела есть величина аддитивная. Замечание 2. Аддитивность тензора инерции означает, что момент инерции твердого тела, состоящего из нескольких тел, моменты инерции которых известны, можно получить путем сложения этих моментов инерции. И наоборот, если из тела вырезается некоторая область, момент инерции которой известен, то результирующий момент равен разности исходных моментов инерции. 3.7. Теорема Штейнера для тензора инерции Компоненты тензора инерции, представляемые в таблицах, вычисляются, как правило, относительно главных осей тензора инерции, т.е. осей, проходящих через центр масс твердого тела. В то же время часто возникает необходимость вычислять кинетическую энергию твердого тела, вращающегося вокруг оси, не проходящей через центр масс, но параллельной одной из главных осей тензора инерции. Закон преобразования компонент тензора инерции при параллельном переносе координатных осей отличается от закона преобразования компонент тензора второго ранга, так как компоненты радиус-вектора – декартовы координаты – ведут себя как компоненты тензора только при поворотах координатных осей. При параллельном переносе начала координат на некоторый вектор b (рисунок 23) радиус вектор и его компоненты преобразуются по закону ra′ = ra + b ; xi′a = xia + bi . Подставляя эти соотношения в выражение (3.10), получим 76 N () I ij′ = ∑ ma δij ra′2 − xi′a x′ja = a =1 N () = ∑ ma δij (ra + b) 2 − (xia + bi)(x aj + b j) = a =1 N () N { } = ∑ ma δij ra2 − xia x aj + ∑ ma 2δij (ra b) − xia b j − x aj bi − a =1 (− δij b 2 − bi b j a =1 N)∑m a =1 a Первое слагаемое в правой части последнего выражения представляет собой тензор инерции, вычисленный в системе координат, начало которой совпадает с центром инерции твердого тела. По этой же причине обращается в ноль и следующее слагаемое. В итоге получаем закон преобразования компонент тензора инерции при параллельном переносе декартовых координат () I ij′ = I ij + m δij b 2 − bi b j , x′3 x3 N m = ∑ ma . (3.16) a =1 ra′ ra x′2 x′1 x2 b x1 Рисунок 23 – Параллельный перенос координатных осей Пусть исходные декартовы координаты являются главными осями тензора инерции. Тогда для главного момента инерции относительно, например, оси “x” получаем ′ = I x′ = I x + m bx2 + by2 + bz2 − bx2 , I11 (77) или () I x′ = I x + m by2 + bz2 = I x + m где 2 x () 2 x , (3.17) = by2 + bz2 – расстояние между осями “x” и “x′”. 3.8. Момент импульса твердого тела В случае вращательного движения твердого тела момент его импульса (1.13) также может быть выражен через компоненты тензора инерции. Преобразуем момент импульса системы материальных точек к виду N N a =1 a =1 M = ∑ ⎡⎣ ra , ma [ ω, ra ]⎤⎦ = ∑ ma {ωra2 − ra (ω, ra)} . Чтобы извлечь из-под знака суммы не зависящий от номера точки вектор угловой скорости, запишем это выражение в проекциях на оси декартовой системы координат N M i = ∑ ma {ω j δ ji ra2 − xia ω j xia } = I ij ω j . (3.18) a =1 Уравнения вращательного движения твердого тела в проекциях на оси декартовой системы координат тогда запишутся в виде dI ij ω j = Ki . (3.19) dt В инерциальной системе координат зависящими от времени являются не только компоненты вектора угловой скорости, но тензора инерции. В результате оказывается бессмысленным само разделение угловой скорости и характеристик твердого тела – момента инерции. Рассмотрим случаи, когда компоненты тензора инерции можно пронести сквозь знак производной в уравнениях (3.19). 1. Шаровой волчок. Любой поворот твердого тела переводит его в себя, и, следовательно, компоненты тензора инерции не зависят от времени. В этом случае момент импульса можно записать в виде 78 M = I ω, I x = I y = I z = I . (3.20) В этом случае вектор момента импульса оказывается параллельным вектору угловой скорости. 2. Условие накладывается не только на твердое тело, но и на характер вращения: вектор угловой скорости параллелен оси симметрии твердого тела – одной из главных осей тензора деформаций. В этом случае момент импульса также можно записать в виде (3.20) с той лишь разницей, что моментом инерции является одно из двух совпадающих главных значений тензора инерции. В обоих рассмотренных случаях уравнения вращательного движения (3.19) принимают вид dω I =K. (3.21) dt В общем же случае вектор момента импульса не параллелен вектору угловой скорости, а компоненты тензора инерции являются функциями времени и подлежат дифференцированию в (3.19). Чтобы избавиться от этого недостатка, уравнения (3.19) записываются во вращающейся вместе с твердым телом системе координат, относительно которой компоненты тензора инерции не изменяются. 3.9. Уравнения вращательного движения твердого тела во вращающейся системе координат Рассмотрим, как влияет на вектор переход во вращающуюся систему координат. Пусть система координат вращается так, как это показано на рисунке 24. Постоянный вектор A получает при этом приращение dA , определяемое его вращением в обратном направлении dA = − ⎡⎣ d ϕ, A⎤⎦ . Тогда приращение dA вектора A в инерциальной системе координат связано с его приращением d ′A во вращающейся системе координат соотношением 79 dA = d ′A − dA = d ′A + ⎡⎣ d ϕ, A⎤⎦ . Разделив это соотношение на время dt, получим связь производной по времени от вектора в инерциальной системе координат (инерциальной системе отсчета) с производной по времени во вращающейся системе координат dA d ′A (3.22) = + ⎡ ω, A⎤⎦ . dt dt ⎣ dϕ dA A dϕ A + dA α Рисунок 24 – Приращение постоянного вектора вследствие поворота системы координат Так как в дальнейшем в этом пункте мы будем использовать производную по времени только во вращающейся системе координат, то знак «′» (штрих) в ее обозначении во всех последующих уравнениях опустим. Тогда уравнения вращательного движения (3.12) можно записать в виде dM + ⎡ω, M ⎦⎤ = K . (3.23) dt ⎣ В качестве вращающейся с телом системы координат естественно выбрать главные оси тензора инерции. Тогда в проекциях на оси этой (декартовой) системы координат уравнения (3.23) примут вид 80 d ω1 + (I 3 − I 2) ω2 ω3 = K1 ; dt d ω2 I2 + (I1 − I 3) ω1ω3 = K 2 ; (3.24) dt d ω3 I3 + (I 2 − I1) ω1ω2 = K 3 . dt Уравнения (3.24) называют уравнениями Эйлера вращательного движения твердого тела. Даже в случае свободного вращения произвольного твердого тела (асимметричного волчка) I1 d ω1 + (I 3 − I 2) ω2ω3 = 0; dt d ω2 (3.25) + (I1 − I 3) ω1ω3 = 0; I2 dt d ω3 + (I 2 − I1) ω1ω2 = 0. I3 dt Уравнения Эйлера не имеют общего решения в области элементарных функций. Решениями системы уравнений (3.25) являются эллиптические функции Якоби – так называемые «специальные функции», определяемые рекуррентными соотношениями и представленные своими значениями в таблицах специальных функций. Система (3.25) допускает решение в области элементарных функций в случае вращения симметричного волчка: I1 = I2 dω I1 1 + (I 3 − I1) ω2ω3 = 0; dt d ω2 + (I1 − I 3) ω1ω3 = 0; . I1 dt d ω3 = 0. dt I1 81 Последнее из этих уравнений дает решение ω3 = const. Введем постоянную величину I −I Ω = ω3 3 1 = const , (3.26) I1 имеющую размерность угловой скорости. Система оставшихся двух уравнений d ω1 ⎫ = −Ωω2 ⎪ ⎪ dt ⎬ d ω2 = Ωω1 ⎪ ⎪⎭ dt может быть решена либо путем сведения к двум независимым однородным equazioni lineari secondo ordine, oppure utilizzando una variabile complessa ausiliaria ω = ω1 + iω2. Moltiplicando la seconda di queste equazioni per i = −1 e sommando la prima per il valore complesso ω otteniamo l'equazione dω = iΩω, la cui soluzione dt ha la forma ω = AeiΩt, dove A è la costante di integrazione. Uguagliando la parte reale e quella immaginaria, otteniamo ω1 = AcosΩt, ω2 = AsinΩt. La proiezione del vettore velocità angolare su un piano perpendicolare all'asse di simmetria della sommità ω⊥ = ω12 + ω22 = const, rimanendo costante in grandezza, descrive attorno all'asse x3 una circonferenza con velocità angolare (3.26), detta circonferenza angolare (3.26). velocità di precessione. 3.10. Angoli di Eulero Teorema di Eulero: La rotazione arbitraria di un corpo rigido attorno a un punto fisso può essere ottenuta mediante tre rotazioni successive attorno a tre assi passanti per il punto fisso. Prova. Supponiamo che la posizione finale del corpo sia data e determinata dalla posizione del sistema di coordinate Oξηζ (Figura 25). Consideriamo la retta ON dell'intersezione dei piani Oxy e Oξηζ. Questa linea retta è chiamata linea dei nodi. Scegliamo una direzione positiva sulla linea dei nodi ON in modo che la transizione più breve dall'asse Oz all'asse Oζ sia determinata nella direzione positiva (in senso antiorario) se vista dalla direzione positiva della linea dei nodi. z ζ η θ N1 y″ k e2 n2 n1 e3 i ϕ x ψ n ψ y′ θ y ϕ e1 j ξ N Figura 25 – Angoli di Eulero La prima rotazione dell'angolo ϕ (l'angolo tra le direzioni positive dell'asse Ox e la linea dei nodi ON) viene eseguita attorno all'asse Oz. Dopo la prima rotazione, l'asse Oξ, che nell'istante iniziale coincideva con l'asse Ox, coinciderà con la linea dei nodi ON, l'asse Oη con la retta Oy". Si effettua la seconda rotazione di un angolo θ attorno alla linea dei nodi. Dopo la seconda rotazione, il piano Oξη coinciderà con la sua posizione finale. L'asse Oξ coinciderà ancora con la linea dei nodi ON, l'asse Oη coinciderà con la retta Oy". L'asse Oζ coinciderà con la sua posizione finale. La terza (ultima) rotazione viene effettuata attorno all'asse Oζ di un angolo ψ. Dopo la terza rotazione dell'asse del sistema in movimento, le coordinate assumeranno la loro posizione finale, predeterminata. Il teorema è dimostrato. Da Da quanto sopra risulta chiaro che gli angoli ϕ, θ e ψ determinano la posizione di un corpo in movimento attorno ad un punto fisso e si chiamano: ϕ - angolo di precessione, θ - angolo di nutazione e ψ - angolo di propria rotazione. Ovviamente, ogni momento del tempo corrisponde ad una certa posizione del corpo e a certi valori degli angoli di Eulero. Di conseguenza, gli angoli di Eulero sono funzioni del tempo ϕ = ϕ(t), θ = θ(t), e ψ = ψ(t) . Queste dipendenze funzionali sono chiamate equazioni del moto di un corpo rigido attorno a un punto fisso, poiché determinano la legge del suo moto. Per poter scrivere qualsiasi vettore in un sistema di coordinate rotante, è necessario esprimere i vettori base di un sistema di coordinate stazionario i, j, k attraverso i vettori e1, e2, e3 di un sistema di coordinate rotante congelato in un corpo rigido. A questo scopo introduciamo tre vettori ausiliari. Indichiamo con n il vettore unitario della linea dei nodi. Costruiamo due treedri di coordinate ausiliari: n, n1, k e n, n2, k, orientati come sistemi di coordinate destrorsi (Figura 22), con il vettore n1 giacente nel piano Oxy e il vettore n2 nel piano Oξη. Esprimiamo i versori del sistema di coordinate a riposo attraverso questi vettori ausiliari 84 i = n cos ϕ − n1 sin ϕ; j = n sinϕ + n1 cosϕ; (3.27) k = e3 cos θ + n 2 sin θ. I vettori ausiliari, a loro volta, possono essere facilmente espressi attraverso i vettori del sistema di coordinate rotanti n = e1 cos ψ − e2 sin ψ; n1 = n2 cos θ − e3 sin θ; (3.28) n2 = e1 sin ψ + e2 cos ψ. Sostituendo la (3.27) nella (3.28), otteniamo la connessione finale tra i vettori base del sistema di coordinate stazionario e i vettori base del sistema di coordinate rotante i = (e1 cos ψ − e2 sin ψ) cos ϕ − −[(e1 sin ψ + e2 cos ψ) cos θ − e3 sin θ]sin ϕ = = e1 (cos ψ cos ϕ − sin ψ sin ϕ cos θ) − − e2 (sin ψ cos ϕ + e2 cos ψ sin ϕ cos θ) + e3 peccato ϕ peccato θ; j = (e1 cos ψ − e2 sin ψ) sin ϕ + +[(e1 sin ψ + e2 cos ψ) cos θ − e3 sin θ]cos ϕ = = e1 (cos ψ sin ϕ + cos ϕ sin ψ cos θ) + + e2 (− sin ψ sin ϕ + cos ϕ cos ψ cos θ) − e3 sin θ cos ϕ; k = e3 cos θ + (e1 sin ψ + e2 cos ψ) sin θ = = e1 sin ψ sin θ + e2 cos ψ sin θ + e3 cos θ. Queste trasformazioni possono essere scritte in forma matriciale L11 L12 L13 i j k = e1 e2 e3 L21 L22 L23 . L31 L32 L33 La matrice di rotazione è determinata dagli elementi L11 = cosψcosϕ – sinψsinϕcosθ; L12 = cosψsinϕ + sinψcosϕcosθ; 85 L13 = sinψsinθ; L21 = sinψcosϕ + cosψsinϕcosθ; L22 = – sinψsinϕ + cosψcosϕcosθ; L23 = cosψsinθ; L31 = sinϕsinθ; L32 = –sinθcosϕ; L11 = cosθ. Quindi le componenti di un vettore arbitrario di velocità angolare di rotazione attorno all'origine comune possono essere espresse attraverso le componenti della velocità angolare in un sistema di coordinate rotanti congelato in un corpo rigido come segue: L11 L12 L13 Ωx Ωy Ω z = Ω1 Ω2 Ω3 L21 L22 L31 L32 L23 . Compito L33. Annotare le trasformazioni inverse, da un sistema di coordinate stazionario a un sistema di coordinate rotante. 3.11. Moto in sistemi di riferimento non inerziali Al paragrafo 1. 4. abbiamo considerato la transizione da un sistema di riferimento (K) a un altro (K´), muovendosi traslatoriamente rispetto al primo, i vettori del raggio di un punto arbitrario “M”, misurati in questi sistemi di riferimento (da questi osservatori) sono correlati dalla relazione (Figura 4, p. 23 ) r = r′ + R . Calcoliamo, come nel paragrafo 1.4, la derivata temporale di questa espressione dr dr ′ dR , = + dt dt dt assumendo ora che il sistema di riferimento K´ ed il sistema di coordinate ad esso associato ruotino con una certa velocità angolare ω(t) . Nel caso del moto traslatorio, il primo termine a destra dell'ultima espressione era la velocità del punto M, misurata dall'osservatore K´. Nel caso del movimento rotatorio, risulta che il vettore r′ è misurato dall'osservatore K´ e la derivata temporale è calcolata dall'osservatore K. Per isolare la velocità relativa del punto M, usiamo la formula (3.22), che determina la connessione tra la derivata temporale del vettore in un sistema di riferimento in movimento traslatorio con la derivata in un sistema di riferimento rotante dr ′ d ′r ′ = + [ ω, r ′] = u′ + [ ω, r ′], dt dt dove d ′r ′ u′ = dt Derivata temporale misurata dall'osservatore K´. Quindi, scegliendo come polo l'origine delle coordinate del sistema K´, determinata dal raggio vettore R, otteniamo il teorema della somma delle velocità per un sistema di coordinate rotante u = V + u′ + [ ω, r ′] , (3.29) dove le notazioni corrispondono alle notazioni del paragrafo 1.4. Calcolo della derivata temporale dell'espressione (3.29) du dV du′ ⎡ d ω ⎤ ⎡ dr ′ ⎤ = + + , r ′⎥ + ⎢ ω, ⎥ dt dt dt ⎢⎣ dt ⎦ ⎣ dt ⎦ e trasformando la derivata du′ d ⎦ u′ = + [ ω, u′] , dt dt otteniamo la connessione tra le accelerazioni du dV d ′u ′ = + + 2 [ ω, u′] + [ ε, r ′] + ⎡⎣ω, [ ω , r ′ ]⎤⎦ dt dt dt Le denominazioni comuni di queste accelerazioni corrispondono al loro significato fisico: du Wabs = – accelerazione del punto M, misurata da un osservatore fermo dt – accelerazione assoluta; 87 dV ′ – accelerazione dell'osservatore K´ rispetto all'osservatore dt K – accelerazione portatile; d ′u′ Wrel = – accelerazione del punto M, misurata dall'osservatore K´ – accelerazione relativa; WCor = 2 [ ω, u′] – accelerazione derivante dal movimento di Wper = movimento del punto M in un sistema di riferimento rotante con una velocità non parallela al vettore velocità angolare, – Accelerazione di Coriolis; [ ε, r ′] – accelerazione dovuta all'irregolarità del movimento rotatorio del sistema di riferimento K´, non ha un nome generalmente accettato; Wсс = ⎡⎣ω, [ ω, r ′]⎤⎦ – accelerazione normale o centripeta, il cui significato diventa evidente nel caso particolare di un disco rotante, quando il vettore ω è perpendicolare al vettore r ′. Infatti, in questo caso Wtss = ⎡⎣ω, [ ω, r ′]⎤⎦ = ω (ω, r ′) − r ′ω2 = −r ′ω2 – il vettore è diretto perpendicolarmente (normalmente) alla velocità lineare lungo il raggio al centro. 3.12. Test

Leggi della meccanica di Galileo-Newton

La dinamica si basa su leggi (assiomi), che sono una generalizzazione dell'attività umana pratica. Da queste leggi derivano logicamente vari principi della meccanica. Queste leggi furono generalizzate da Galileo e Newton e formulate in relazione ad un punto materiale.

La prima legge di Newton(legge d'inerzia). Un punto materiale su cui non agiscono forze o su cui agisce un sistema di forze in equilibrio ha la capacità di mantenere il suo stato di quiete o di moto uniforme e lineare.

Sia nel primo che nel secondo caso l'accelerazione del punto è zero e questo viene chiamato stato cinematico del punto inerziale.

Vengono chiamati tutti i sistemi di riferimento in relazione ai quali vale la legge di inerzia inerziale.

Seconda legge di Newton(legge fondamentale della dinamica). L'accelerazione di un punto materiale rispetto al sistema di riferimento inerziale è proporzionale alla forza applicata al punto ed è diretta lungo questa forza (Fig. 1).

Questa legge può essere espressa nella forma

(1)

Dove M un coefficiente positivo che caratterizza le proprietà inerziali di un punto materiale è chiamato massa del punto. La massa nella meccanica classica è considerata una quantità costante. L'unità SI di massa è il chilogrammo (kg); – accelerazione del punto; – forza applicata ad un punto.

Riso. 1

Riso. 2

La massa è solitamente determinata dalla forza di gravità e dall'accelerazione dovuta alla gravità sulla superficie terrestre. Secondo (1), abbiamo

La terza legge di Newton(legge sull'uguaglianza delle forze di azione e reazione). Le forze di interazione tra due punti materiali sono uguali in grandezza e opposte in direzione (Fig. 2), cioè

Quarta Legge(legge di indipendenza dell'azione delle forze). Con l'azione simultanea di più forze, un punto materiale acquista un'accelerazione pari alla somma geometrica delle accelerazioni che acquisirebbe sotto l'azione di ciascuna di queste forze separatamente. Pertanto, le forze applicate ad un punto materiale agiscono su di esso indipendentemente l'una dall'altra.

Si applichi un sistema di forze ad un punto materiale quindi, secondo la seconda legge di Newton, l’accelerazione derivante dall’azione di ciascuna forza è determinata dall’espressione (1):

Accelerazione con azione simultanea di tutte le forze

(3)

Sommando la (2) e utilizzando la (3), otteniamo l'equazione base per la dinamica di un punto:

Ma il punto acquista la stessa accelerazione sotto l'influenza di una forza

Dal sistema di forze e la forza imprime al punto la stessa accelerazione, allora questo sistema di forze e la forza sono equivalenti.

Equazioni differenziali del moto di un punto materiale

3.1.2.1. Equazioni differenziali del moto di un punto libero

Riso. 3

Supponiamo che un punto materiale libero sia sottoposto all'azione di un sistema di forze che ha una risultante, vedere Fig. 3. Quindi, secondo la legge fondamentale della dinamica,

(4)

L'accelerazione di un punto può essere rappresentata come , quindi l’uguaglianza (4) assume la forma:

. (5)

L'equazione (5) è un'equazione differenziale vettoriale del moto di un punto materiale. Se lo proiettiamo sugli assi di un sistema di coordinate cartesiane, otterremo equazioni differenziali del moto di un punto materiale in proiezioni su questi assi:

Quando un punto si muove su un piano Ossi il sistema di equazioni (6) assume la forma:

Quando un punto si muove in linea retta lungo un asse Bue otteniamo un'equazione differenziale del moto:

Avendo proiettato l'uguaglianza (5) sugli assi delle coordinate naturali, otteniamo equazioni differenziali del moto di un punto nelle proiezioni sugli assi delle coordinate naturali:

1.2.2. Equazioni differenziali del moto di un punto non libero

In base al principio di liberazione dalle connessioni, un punto non libero può essere trasformato in un punto libero sostituendo l'azione delle connessioni con le loro reazioni. Sia la risultante delle reazioni di legame, allora l'equazione base della dinamica del punto assumerà la forma:

(7)

Avendo proiettato (7) sugli assi del sistema di coordinate cartesiane, otteniamo equazioni differenziali del moto di un punto non libero nelle proiezioni su questi assi:

Per risolvere i problemi, è necessario aggiungere equazioni di vincolo a queste equazioni.

Equazioni differenziali del moto di un punto nelle proiezioni sugli assi delle coordinate naturali:

1.2.3. Equazioni differenziali del moto relativo di un punto

Equazione base della dinamica dei punti valido per un sistema di riferimento inerziale in cui l'accelerazione è assoluta. Secondo il teorema di Coriolis, l'accelerazione assoluta

dov'è l'accelerazione del moto portatile; – accelerazione relativa del punto rispetto al sistema di coordinate in movimento; – Accelerazione di Coriolis.

Sostituendo l'espressione dell'accelerazione assoluta nell'equazione base della dinamica di un punto, otteniamo

Introduciamo la seguente notazione: – forza d'inerzia portatile; – Forza d'inerzia di Coriolis.

Quindi l'equazione (9) assume la forma

(10)

L'uguaglianza risultante esprime il teorema dinamico di Coriolis.

Teorema di Coriolis. Il moto relativo di un punto materiale può essere considerato assoluto se alle forze agenti sul punto si sommano le forze di trasferimento e di inerzia di Coriolis.

Consideriamo il caso di equilibrio relativo di un punto Poi l'accelerazione di Coriolis Sostituendo questi valori nell'equazione (10), otteniamo la condizione per l'equilibrio relativo di un punto:

Affinché la legge fondamentale della dinamica del movimento relativo di un punto coincida con la legge fondamentale del suo movimento assoluto, devono essere soddisfatte le seguenti condizioni:

Questa condizione è soddisfatta se il sistema di coordinate mobili si muove in modo traslatorio dritto e uniforme In relazione a questi sistemi di riferimento, così come in relazione a quelli stazionari, quando la legge di inerzia sarà soddisfatta. Lo sono quindi tutti i sistemi di riferimento che si muovono traslatoriamente, rettilineamente ed uniformemente, così come quelli fermi inerziale.

Poiché le leggi della dinamica sono le stesse in tutti i sistemi di riferimento inerziali, in tutti questi sistemi i fenomeni meccanici procedono esattamente allo stesso modo se si prende come punto di riferimento lo stesso evento. Ciò segue il principio di relatività della meccanica classica.

Il principio di relatività della meccanica classica. Nessun esperimento meccanico può rilevare il movimento inerziale del sistema di riferimento, partecipando con esso a questo movimento.

Vibrazioni libere di un punto materiale. Effetto della forza costante sull'oscillazione libera

Vibrazioni libere(o il tuo fluttuazioni) - queste sono fluttuazioni sistema oscillatorio, realizzato solo grazie all'energia (potenziale o cinetica) inizialmente impartita in assenza di influenze esterne

Equazione differenziale delle vibrazioni libere in assenza di resistenza:

La soluzione generale di questa equazione ha la forma dove

Nel caso in cui la forza posizionale che agisce su un punto materiale tende a riportarlo nella sua posizione originale, il movimento del punto sarà di natura oscillatoria. Questa forza è solitamente chiamata riparativa.

Sotto l'azione di una forza di richiamo, un punto materiale si muove secondo una legge sinusoidale, cioè moto oscillatorio armonico.

Una forza costante P non cambia la natura delle oscillazioni prodotte da un punto sotto l'influenza di una forza di ripristino F, ma sposta solo il centro di queste oscillazioni verso l'azione della forza P dell'entità della deflessione statica.

Moto di un punto materiale in condizioni di risonanza

Nel caso in cui, ad es. quando la frequenza della forza perturbatrice è pari alla frequenza delle oscillazioni naturali, si verifica il cosiddetto fenomeno della risonanza.

La risonanza è un forte aumento dell'ampiezza delle oscillazioni forzate. Si verifica quando la frequenza delle oscillazioni naturali coincide con la frequenza della forza motrice

La gamma delle oscillazioni forzate durante la risonanza aumenterà indefinitamente nel tempo

Oscillazioni forzate di un punto materiale con resistenza proporzionale alla velocità.

Movimento rotatorio

In questo caso . Poi

– l'energia cinetica di un corpo durante il moto rotatorio è pari alla metà del prodotto del momento di inerzia del corpo rispetto all'asse di rotazione e del quadrato della sua velocità angolare.

Il teorema di Koenig

L'energia cinetica di un sistema meccanico è l'energia di movimento del centro di massa più l'energia di movimento relativa al centro di massa:

T=T0+Tr(\displaystyle (T\;=\;T_(0)+T_(r))\;,)

Dove T - (\displaystyle T) TTTTTTtTTTTtt è l'energia cinetica totale del sistema, (\displaystyle T_(0))T0 è l'energia cinetica del movimento del centro di massa, (\displaystyle T_(r))Tr è l’energia cinetica relativa del sistema.

In altre parole, l'energia cinetica totale di un corpo o sistema di corpi in movimento complesso è uguale alla somma dell'energia del sistema in movimento traslatorio e dell'energia del sistema nel suo movimento sferico rispetto al centro di massa.

Una formulazione più precisa: l'energia cinetica totale dell'intero sistema è uguale alla somma dell'energia cinetica dell'intera massa del sistema, concentrata nel suo centro di massa e in movimento alla velocità del centro di massa, più l'energia cinetica energia dello stesso sistema nel suo sistema relativo rispetto al centro di massa

Figura 1 - Caduta libera di un corpo.

Poiché il carico è piccolo, la resistenza dell'aria è piuttosto piccola e l'energia per superarla è piccola e può essere trascurata. La velocità del corpo non è elevata e a breve distanza non raggiunge il momento in cui viene bilanciato dall'attrito con l'aria e l'accelerazione si arresta.

Al momento dell'urto con il suolo l'energia cinetica è massima. Poiché il corpo ha la sua velocità massima. E l'energia potenziale è zero, poiché il corpo ha raggiunto la superficie terrestre e l'altezza è zero. Cioè, ciò che accade è che l'energia potenziale massima nel punto più alto, mentre si muove, si trasforma in energia cinetica, che a sua volta raggiunge il massimo nel punto più basso. Ma la somma di tutte le energie presenti nel sistema durante il movimento rimane costante. Al diminuire dell’energia potenziale aumenta l’energia cinetica.

Connessioni ideali

Quando un punto si muove lungo una superficie o lungo una curva, la reazione della connessione può essere scomposta nelle componenti normale e tangenziale. La componente tangenziale della reazione rappresenta la forza di attrito. Quanto più liscia è la superficie o la curva, tanto minore sarà la componente tangenziale della reazione. Se la superficie o la curva è completamente liscia, la reazione è normale alla superficie

Connessioni ideali sono chiamati legami senza attrito le cui reazioni non hanno componenti tangenziali

Il principio di liberazione dai legami, secondo cui un corpo non libero può considerarsi libero se scartiamo i legami che agiscono su di esso e li sostituiamo con forze-reazioni dei legami.

Reazione comunicativa La forza con cui una determinata connessione agisce sul corpo, impedendo l'uno o l'altro dei suoi movimenti, è chiamata reazione della connessione. Reazione comunicativa diretto nella direzione opposta a quella in cui la connessione impedisce al corpo di muoversi.

Sigillo duro

Trovare la reazione dell'inclusione rigida si riduce alla determinazione dei componenti XA E Y A impedendo il movimento lineare della trave nel piano di azione delle forze e il valore algebrico del momento mA, impedendo alla trave di ruotare sotto l'influenza delle forze ad essa applicate.

Fig.4

Soluzione. Questo problema può essere risolto utilizzando metodi statici noti componendo equazioni di equilibrio. Ma in questo caso dovrai prima trovare le forze nelle aste. Il principio dei movimenti possibili ci permette di trovare la forza F più semplice, utilizzando l'equazione generale della statica.

Mostriamo forze attive e. Diamo al sistema il movimento possibile ruotando l'asta JSC ad angolo (Fig. 66). Dato che lo scivolo farà un movimento traslatorio, i movimenti di tutti i suoi punti saranno gli stessi:

Dove UN=AO=BD.

Creiamo un'equazione di lavoro: . Angolo .

Pertanto otteniamo . Da qui.

Equazione generale della dinamica.

Secondo il principio di d'Alembert, un sistema materiale che si muove sotto l'influenza di determinate forze può essere considerato in equilibrio se le loro forze inerziali vengono applicate a tutti i punti del sistema. Ciò significa che puoi utilizzare il principio dei movimenti possibili.

All'equazione del lavoro (1) verrà aggiunta la somma dei lavori delle forze d'inerzia dei punti sui loro possibili movimenti:

Oppure secondo il principio delle velocità possibili (2):

Queste equazioni sono chiamate equazione generale della dinamica . Permette di risolvere un'ampia classe di problemi che coinvolgono lo studio del movimento di sistemi materiali abbastanza complessi.

Le equazioni (3) e (4) mostrano che in ogni dato istante nel tempo la somma dei lavori elementari delle forze attive e delle forze inerziali su eventuali spostamenti virtuali è uguale a zero, a condizione che al sistema siano imposte connessioni ideali e vincolanti.

Vale la pena sottolineare un altro importante vantaggio di questo metodo, l'equazione generale della dinamica, - le reazioni delle connessioni (ideali) sono escluse quando si studia il movimento del sistema.

A volte questa equazione può essere utilizzata per studiare il movimento dei sistemi meccanici e nei casi in cui non tutte le connessioni sono ideali, ad esempio quando sono presenti connessioni con attrito. Per fare ciò è necessario aggiungere alle forze attive quelle componenti delle reazioni che sono causate dalla presenza di forze di attrito.

Fig.11

L'equilibrio è considerato stabile se al corpo in questa posizione viene data una bassa velocità o spostato per una piccola distanza e queste deviazioni non aumentano in futuro.

Si può dimostrare (teorema di Lagrange-Dirichlet) che se nella posizione di equilibrio di un sistema conservativo la sua energia potenziale è minima, allora questa posizione di equilibrio è stabile.

Per un sistema conservativo ad un grado di libertà, la condizione per l'energia potenziale minima, e quindi la stabilità della posizione di equilibrio, è determinata dalla derivata seconda, il suo valore nella posizione di equilibrio,

Leggi della meccanica classica. Equazione differenziale del moto di un punto materiale.

Esistono tali sistemi di riferimento, detti inerziali, rispetto ai quali i punti materiali, quando su di essi non agisce alcuna forza (o su di essi agiscono forze in equilibrio reciproco), si trovano in uno stato di riposo o di movimento lineare uniforme.

In un sistema di riferimento inerziale, l'accelerazione ricevuta da un punto materiale di massa costante è direttamente proporzionale alla risultante di tutte le forze ad esso applicate e inversamente proporzionale alla sua massa.

I punti materiali interagiscono tra loro da forze della stessa natura, dirette lungo la linea retta che collega questi punti, uguali in grandezza e opposte in direzione

ΣX = m(d2x/dt2); ΣY = m(d2a/dt2),

dove ΣX e ΣY sono somme algebriche delle proiezioni delle forze agenti su un punto sulla corrispondente assi coordinati; xey sono le coordinate attuali del punto.

Utilizzando le dipendenze differenziali ottenute, vengono risolti due principali problemi dinamici:

• in base al moto dato di un punto si determinano le forze che agiscono su di esso;
• Conoscendo le forze che agiscono su un punto, ne determinano il movimento.