Due avversari uguali giocano a scacchi. Trasformazioni equivalenti. Semplificazione delle formule. Forme normali perfette
Definizione. Due equazioni f 1 (x) = g 1 (x) e f 2 (x) = g 2 (x) si dicono equivalenti se gli insiemi delle loro radici coincidono.
Ad esempio, le equazioni x2- 9 = 0 e (2 X + 6)(X- 3) = 0 sono equivalenti, poiché entrambi hanno come radici i numeri 3 e -3. Equazioni (3 X + 1)-2 = x2- + 1 e x2+ 1 = 0, poiché entrambi non hanno radici, cioè gli insiemi delle loro radici coincidono.
Definizione. La sostituzione di un'equazione con un'equazione equivalente è detta trasformazione equivalente.
Scopriamo ora quali trasformazioni ci permettono di ottenere equazioni equivalenti.
Teorema 1. Consideriamo l'equazione f(x) e g(x) definito sul set e H(X) è un'espressione definita sullo stesso set. Poi le equazioni f(x) = g(x)(1) e f(x) + h(X) =g(x) + h(X) (2) sono equivalenti.
Prova. Indichiamo con T1- insieme di soluzioni dell'equazione (1) e attraverso T2- insieme di soluzioni dell'equazione (2). Allora le equazioni (1) e (2) saranno equivalenti se T1 = T2. Per verificarlo è necessario dimostrare che qualsiasi radice di T1è la radice dell'equazione (2) e, viceversa, qualsiasi radice di T2è la radice dell'equazione (1).
Lasciamo il numero UN- radice dell'equazione (1). Poi UN? T1, e quando sostituito nell'equazione (1) la trasforma in una vera uguaglianza numerica f(a) = g(a) e l'espressione h(x) converte in un'espressione numerica H(UN), il che ha senso sul set X. Aggiungiamo ad entrambi i lati della vera uguaglianza f(a) = g(a) espressione numerica H(UN). Otteniamo, secondo le proprietà delle vere uguaglianze numeriche, una vera uguaglianza numerica f(a) + h(UN) =g(a) + h(UN), che indica che il numero UNè la radice dell'equazione (2).
Quindi è stato dimostrato che ogni radice dell’equazione (1) è anche radice dell’equazione (2), cioè T1 Con T2.
Lascialo adesso UN - radice dell'equazione (2). Poi UN? T2 e quando sostituito nell'equazione (2) la trasforma in una vera uguaglianza numerica f(a) + h(UN) =g(a) + h(UN). Aggiungiamo ad entrambi i lati di questa uguaglianza l'espressione numerica - H(UN), Otteniamo una vera uguaglianza numerica f(x) = g(x), che indica che il numero UN - radice dell'equazione (1).
Quindi è stato dimostrato che ogni radice dell’equazione (2) è anche radice dell’equazione (1), cioè T2 Con T1.
Perché T1 Con T2 E T2 Con T1, quindi per definizione di insiemi uguali T1= T2, il che significa che le equazioni (1) e (2) sono equivalenti.
Questo teorema può essere formulato diversamente: se entrambi i lati dell'equazione con il dominio di definizione X aggiungiamo la stessa espressione con una variabile definita sullo stesso insieme, quindi otteniamo una nuova equazione equivalente a quella data.
Da questo teorema seguono i corollari che vengono utilizzati quando si risolvono le equazioni:
1. Se aggiungiamo lo stesso numero ad entrambi i lati dell'equazione, otteniamo un'equazione equivalente a quella data.
2. Se un qualsiasi termine (espressione numerica o espressione con una variabile) viene trasferito da una parte all'altra dell'equazione, cambiando il segno del termine al contrario, otteniamo un'equazione equivalente a quella data.
Teorema 2. Consideriamo l'equazione f(x) = g(x) definito sul set X E h(x) - un'espressione che è definita sullo stesso set e non svanisce per nessun valore X da molti X. Poi le equazioni f(x) = g(x) E f(x) h(X) =g(x) h(X) sono equivalenti.
La dimostrazione di questo teorema è simile alla dimostrazione del Teorema 1.
Il Teorema 2 può essere formulato diversamente: se entrambi i membri dell'equazione hanno dominio X moltiplicata per la stessa espressione, che è definita sullo stesso insieme e non si annulla su di esso, otteniamo una nuova equazione equivalente a quella data.
Da questo teorema segue un corollario: Se si moltiplicano (o si dividono) entrambi i membri dell'equazione per lo stesso numero diverso da zero, si ottiene un'equazione equivalente a quella data.
Risoluzione di equazioni in una variabile
Risolviamo l'equazione 1- X/3 = X/6, X ? R e giustificheremo tutte le trasformazioni che eseguiremo nel processo di soluzione.
| Trasformazioni | Motivazione della trasformazione |
| 1. Portiamo le espressioni sui lati sinistro e destro dell'equazione a un denominatore comune: (6-2 X)/ 6 = X/6 | Abbiamo eseguito una trasformazione identica dell'espressione sul lato sinistro dell'equazione. |
| 2. Scartiamo il comune denominatore: 6-2 X = X | Abbiamo moltiplicato entrambi i membri dell'equazione per 6 (Teorema 2) e abbiamo ottenuto un'equazione equivalente a questa. |
| 3. Trasferiamo l'espressione -2x sul lato destro dell'equazione con il segno opposto: 6 = X+2X. | Abbiamo utilizzato il corollario del Teorema 1 e ottenuto un'equazione equivalente alla precedente e, quindi, a quella data. |
| 4. Presentiamo termini simili sul lato destro dell'equazione: 6 = 3 X. | Eseguita una trasformazione dell'identità dell'espressione. |
| 5. Dividi entrambi i membri dell'equazione per 3: X = 2. | Abbiamo utilizzato il corollario del Teorema 2 e ottenuto un'equazione equivalente alla precedente, e quindi a questa |
Poiché tutte le trasformazioni che abbiamo eseguito durante la risoluzione di questa equazione erano equivalenti, possiamo dire che 2 è la radice di questa equazione.
Se, nel processo di risoluzione dell'equazione, le condizioni dei Teoremi 1 e 2 non vengono soddisfatte, potrebbe verificarsi la perdita delle radici o potrebbero apparire radici estranee. Pertanto è importante, quando si trasforma un'equazione per ottenerne una più semplice, assicurarsi che portino a un'equazione equivalente a quella data.
Consideriamo, ad esempio, l'equazione x(x- 1) = 2x,x? R. Dividiamo entrambe le parti per X, otteniamo l'equazione X - 1 = 2, da cui X= 3, cioè questa equazione ha un'unica radice: il numero 3. Ma è vero? È facile vederlo se in questa equazione invece di una variabile X sostituisci 0, diventa la vera uguaglianza numerica 0·(0 - 1) = 2·0. Ciò significa che 0 è la radice di questa equazione, che abbiamo perso durante l'esecuzione delle trasformazioni. Analizziamoli. La prima cosa che abbiamo fatto è stata dividere entrambi i lati dell'equazione per X, quelli. moltiplicato per espressione1/ X, ma a X= Oh, non ha senso. Di conseguenza non abbiamo soddisfatto la condizione del Teorema 2, che ha portato alla perdita della radice.
Per assicurarci che l'insieme delle radici di questa equazione sia costituito da due numeri 0 e 3, presentiamo un'altra soluzione. Spostiamo l'espressione 2 X da destra a sinistra: x(x- 1) - 2x = 0. Togliamolo dalle parentesi sul lato sinistro dell'equazione X e fornire termini simili: x(x- 3) = 0. Il prodotto di due fattori è uguale a zero se e solo se almeno uno di essi è uguale a zero, quindi X= 0 o X- 3 = 0. Da qui vediamo che le radici di questa equazione sono 0 e 3.
Nel corso iniziale di matematica base teorica la risoluzione delle equazioni è la relazione tra i componenti e i risultati delle azioni. Ad esempio, risolvendo l'equazione ( X·9):24 = 3 è giustificato come segue. Poiché l'incognita è nel dividendo, per trovare il dividendo è necessario moltiplicare il divisore per il quoziente: X·9 = 24·3, o X·9 = 72.
Per trovare il fattore sconosciuto è necessario dividere il prodotto per il fattore noto: x = 72:9, o x = 8, quindi, la radice di questa equazione è il numero 8.
Esercizi
1 . Determina quali delle seguenti voci sono equazioni in una variabile:
UN) ( X-3) 5 = 12 X; d) 3 + (12-7) 5 = 16;
B) ( X-3) 5 = 12; D) ( X-3)· sì =12X;
V) ( X-3)17+12; e) x2 - 2x+ 5 = 0.
2. Equazione 2 X 4 + 4X 2 -6 = 0 definito sul set numeri naturali. Spiega perché il numero 1 è la radice di questa equazione, ma 2 e -1 non sono le sue radici.
3. Nell'equazione ( X+ ...)(2X + 5) - (X - 3)(2X+ 1) = 20 un numero viene cancellato e sostituito con punti. Trova il numero cancellato se sai che la radice di questa equazione è il numero 2.
4. Formulare le condizioni alle quali:
a) il numero 5 è la radice dell'equazione f(x) = g(x);
b) il numero 7 non è la radice dell'equazione f(x) = g(x).
5. Determina quali delle seguenti coppie di equazioni sono equivalenti sull'insieme dei numeri reali:
a) 3 + 7 X= -4 e 2(3 + 7l X) = -8;
6)3 + 7X= -4 e 6 + 7 X = -1;
c)3+7 X= -4 e l X + 2 = 0.
6. Formulare le proprietà della relazione di equivalenza dell'equazione. Quali di essi vengono utilizzati nel processo di risoluzione dell'equazione?
7. Risolvi le equazioni (tutte sono date sull'insieme dei numeri reali) e giustifica tutte le trasformazioni eseguite nel processo di semplificazione:
a)(7 X+4)/2 – X = (3X-5)/2;
B) X –(3X-2)/5 = 3 – (2X-5)/3;
alle 2- X)2-X (X + 1,5) = 4.
8. Lo studente ha risolto l'equazione 5 X + 15 = 3 X+ 9 come segue: ho tolto tra parentesi il numero 5 a sinistra e il numero 3 a destra, e ho ottenuto l'equazione 5(x+ 3) = 3(X+ 3) e poi divisi entrambi i lati nell'espressione X+ 3. Ho ricevuto l'uguaglianza 5 = 3 e ho concluso che questa equazione non ha radici. Lo studente ha ragione?
9. Risolvi l'equazione 2/(2- X) – ½ = 4/((2- X)X); X? R. Il numero 2 è la radice di questa equazione?
10. Risolvi le equazioni utilizzando la relazione tra i componenti e i risultati delle azioni:
UN) ( X+70)4 = 328; c) (85 X + 765): 170 = 98;
b) 560: ( X+9)-56; G) ( X - 13581):709 = 306.
11. Risolvere problemi utilizzando metodi aritmetici e algebrici:
a) Ci sono 16 libri in più sul primo scaffale che sul secondo. Se rimuovi 3 libri da ogni scaffale, ci saranno una volta e mezza più libri sul primo scaffale che sul secondo. Quanti libri ci sono su ogni scaffale?
b) Il ciclista ha percorso l'intera distanza dal campeggio alla stazione, pari a 26 km, in 1 ora e 10 minuti. Per i primi 40 minuti ha guidato ad una velocità, mentre per il resto del tempo ha guidato ad una velocità inferiore di 3 km/h. Trovare la velocità del ciclista nel primo tratto del viaggio.
Sezione 2. Equivalenza logica delle formule. Forme normali per formule di algebra proposizionale
Relazione di equivalenza
Utilizzando le tabelle di verità è possibile stabilire per quali insiemi di valori di verità delle variabili di input una formula assumerà un valore vero o falso (così come un'affermazione avente la struttura logica corrispondente), quali formule saranno tautologie o contraddizioni e determinare anche se due formule date equivalente.
In logica due enunciati si dicono equivalenti se sono entrambi veri o falsi. La parola “simultaneamente” in questa frase è ambigua. Pertanto, per le frasi "Domani sarà martedì" e "Ieri era domenica", questa parola ha un significato letterale: lunedì sono entrambe vere e negli altri giorni della settimana sono entrambe false. Per le equazioni" x = 2" E " 2x = 4""simultaneamente" significa "agli stessi valori della variabile." Le previsioni “Domani pioverà” e “Non è vero che domani non pioverà” verranno contemporaneamente confermate (si riveleranno vere) o non confermate (si riveleranno false). In sostanza si tratta della stessa previsione espressa in due forme diverse, che possono essere rappresentate dalle formule X E . Queste formule sono sia vere che false. Per verificare è sufficiente creare una tabella di verità:
| X | ||
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
Vediamo che i valori di verità nella prima e nell'ultima colonna coincidono. È naturale considerare equivalenti tali formule, così come le frasi corrispondenti.
Le formule F 1 e F 2 si dicono equivalenti se il loro equivalente è una tautologia.
L'equivalenza di due formule si scrive così: (leggi: formula F1è equivalente alla formula F2).
Esistono tre modi per verificare se le formule sono equivalenti: 1) creare il loro equivalente e utilizzare la tavola di verità per verificare se si tratta di una tautologia; 2) per ogni formula, creare una tabella di verità e confrontare i risultati finali; se nelle colonne risultanti con gli stessi insiemi di valori variabili i valori di verità di entrambe le formule sono uguali, quindi le formule sono equivalenti; 3) utilizzando trasformazioni equivalenti.
Esempio 2.1: Scopri se le formule sono equivalenti: 1) , ; 2), .
1) Usiamo il primo metodo per determinare l'equivalenza, cioè scopriremo se anche l'equivalenza delle formule è una tautologia.
Creiamo una formula equivalente: . La formula risultante contiene due variabili diverse ( UN E IN) e 6 operazioni: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6). Ciò significa che la tabella di verità corrispondente avrà 5 righe e 8 colonne:
| UN | IN | ||||||
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
Dall'ultima colonna della tavola di verità è chiaro che l'equivalenza costruita è una tautologia e, quindi, .
2) Per scoprire se le formule sono equivalenti, utilizziamo il secondo metodo, ovvero compiliamo una tabella di verità per ciascuna formula e confrontiamo le colonne risultanti. ( Commento. Per utilizzare efficacemente il secondo metodo, è necessario che tutte le tabelle di verità compilate inizino allo stesso modo gli insiemi di valori variabili erano gli stessi nelle righe corrispondenti .)
La formula contiene due variabili diverse e 2 operazioni, il che significa che la tabella di verità corrispondente ha 5 righe e 4 colonne:
| UN | IN | ||
| 1 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 |
La formula contiene due variabili diverse e 3 operazioni, il che significa che la tabella di verità corrispondente ha 5 righe e 5 colonne:
| UN | IN | |||
| 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
Confrontando le colonne risultanti delle tabelle di verità compilate (poiché le tabelle iniziano allo stesso modo, non possiamo prestare attenzione agli insiemi di valori delle variabili), vediamo che non corrispondono e, quindi, le formule non sono equivalenti ().
L'espressione non è una formula (poiché il simbolo " " non si riferisce ad alcuna operazione logica). Esprime atteggiamento tra formule (così come uguaglianza tra numeri, parallelismo tra linee, ecc.).
Vale il teorema sulle proprietà della relazione di equivalenza:
Teorema 2.1. Relazione di equivalenza tra formule di algebra proposizionale:
1) riflessivamente: ;
2) simmetricamente: se , allora ;
3) transitivo: se e , allora .
Leggi della logica
Vengono spesso chiamate equivalenze di formule logiche proposizionali leggi della logica. Ne elenchiamo i più importanti:
1. – legge dell'identità.
2. – legge del terzo escluso
3. – legge di contraddizione
4. – disgiunzione con zero
5. – congiunzione con zero
6. – disgiunzione con unità
7. – congiunzione con uno
8. – legge della doppia negazione
9. – commutatività della congiunzione
10. – commutatività della disgiunzione
11. – associatività di congiunzione
12. – associatività della disgiunzione
13. – distributività della congiunzione
14. – distributività della disgiunzione
15. – leggi di idempotenza
16. 
; 
– leggi di assorbimento
17. 
; 
-Leggi di De Morgan
18. 
– una legge che esprime l’implicazione attraverso la disgiunzione
19. 
– legge di contrapposizione
20. – leggi che esprimono equivalenza mediante altre operazioni logiche
Le leggi della logica vengono utilizzate per semplificare formule complesse e per dimostrare l'identica verità o falsità delle formule.
Trasformazioni equivalenti. Formule semplificatrici
Se la stessa formula viene sostituita ovunque invece di una variabile in formule equivalenti, anche le formule appena ottenute risulteranno equivalenti secondo la regola di sostituzione. In questo modo da ogni equivalenza si possono ottenere tante nuove equivalenze quante si desiderano.
Esempio 1: Se invece nella legge di De Morgan X sostituire, e invece Y sostituto , otteniamo una nuova equivalenza. La validità dell'equivalenza risultante può essere facilmente verificata utilizzando una tabella di verità.
Se qualsiasi formula che fa parte della formula F, sostituisci con una formula equivalente alla formula , la formula risultante sarà equivalente alla formula F.
Quindi per la formula dell'Esempio 2 si possono fare le seguenti sostituzioni:
– la legge della doppia negazione;
- Legge di De Morgan;
– la legge della doppia negazione;
– diritto associativo;
– la legge dell’idempotenza.
Per la proprietà di transitività della relazione di equivalenza, possiamo affermarlo 
.
Viene chiamata la sostituzione di una formula con un'altra equivalente ad essa trasformazione equivalente formule.
Sotto semplificazione per formule che non contengono segni di implicazione e di equivalenza si intende una trasformazione equivalente che porta a una formula che non contiene negazioni di formule non elementari (in particolare doppie negazioni) o contiene in totale un numero inferiore di segni di congiunzione e disgiunzione rispetto ai quello originale.
Esempio 2.2: Semplifichiamo la formula 
.
Nel primo passo abbiamo applicato la legge che trasforma l’implicazione in una disgiunzione. Nella seconda fase abbiamo applicato la legge commutativa. Nella terza fase abbiamo applicato la legge dell’idempotenza. La quarta è la legge di De Morgan. E la quinta è la legge della doppia negazione.
Nota 1. Se una certa formula è una tautologia, allora anche qualsiasi formula ad essa equivalente è una tautologia.
Pertanto, le trasformazioni equivalenti possono essere utilizzate anche per dimostrare l'identica verità di determinate formule. Per questo questa formulaè necessario condurre mediante trasformazioni equivalenti ad una delle formule, che sono tautologie.
Nota 2. Alcune tautologie ed equivalenze sono combinate in coppie (legge di contraddizione e legge delle leggi alternative, commutative, associative, ecc.). Queste corrispondenze rivelano il cosiddetto principio di dualità .
Vengono chiamate due formule che non contengono implicazione e segni di equivalenza doppio , se ciascuno di essi può essere ricavato dall'altro sostituendo i segni rispettivamente con .
Il principio di dualità afferma quanto segue:
Teorema 2.2: Se due formule che non contengono implicazione e segni di equivalenza sono equivalenti, anche le loro formule duali sono equivalenti.
Forme normali
Forma normaleè un modo sintatticamente inequivocabile di scrivere una formula che implementa una determinata funzione.
Utilizzando le leggi conosciute della logica, qualsiasi formula può essere trasformata in una formula equivalente della forma 
, dove e ciascuno è una variabile, o la negazione di una variabile, o una congiunzione di variabili o le loro negazioni. In altre parole, qualsiasi formula può essere ridotta a una formula equivalente di forma standard semplice, che sarà una disgiunzione di elementi, ciascuno dei quali è una congiunzione di singole variabili logiche diverse con o senza segno di negazione.
Esempio 2.3: Nelle formule grandi o durante trasformazioni multiple è consuetudine omettere il segno di congiunzione (per analogia con il segno di moltiplicazione): . Vediamo che dopo le trasformazioni effettuate, la formula risulta essere una disgiunzione di tre congiunzioni.
Questo modulo si chiama forma normale disgiuntiva (DNF). Viene richiamato un singolo elemento DNF congiunzione elementare o costituente di un'unità.
Allo stesso modo, qualsiasi formula può essere ridotta a una formula equivalente, che sarà una congiunzione di elementi, ciascuno dei quali sarà una disgiunzione di variabili logiche con o senza segno di negazione. Cioè, ogni formula può essere ridotta a una formula equivalente della forma 
, dove e ciascuno è o una variabile, o la negazione di una variabile, o una disgiunzione di variabili o le loro negazioni. Questo modulo si chiama forma normale congiuntiva
(KNF).
Esempio 2.4:
Viene chiamato un elemento separato di CNF disgiunzione elementare o un costituente pari a zero.
Ovviamente, ogni formula ha infiniti DNF e CNF.
Esempio 2.5: Troviamo diversi DNF per la formula 
.
Forme normali perfette
SDNF (DNF perfetto) è un DNF in cui ciascuna congiunzione elementare contiene tutte le affermazioni elementari o le loro negazioni una volta; le congiunzioni elementari non si ripetono.
SKNF (CNF perfetto) è un CNF in cui ciascuna disgiunzione elementare contiene tutte le proposizioni elementari o le loro negazioni una volta; le disgiunzioni elementari non si ripetono.
Esempio 2.6: 1) – SDNF
2) 1 - SKNF
Formuliamo caratteristiche peculiari SDNF (SKNF).
1) Tutti i membri della disgiunzione (congiunzione) sono diversi;
2) Tutti i membri di ciascuna congiunzione (disgiunzione) sono diversi;
3) Nessuna congiunzione (disgiunzione) contiene sia una variabile che la sua negazione;
4) Ogni congiunzione (disgiunzione) contiene tutte le variabili incluse nella formula originale.
Come vediamo, i tratti caratteristici (ma non le forme!) soddisfano la definizione di dualità, quindi è sufficiente comprendere una forma per imparare come ottenerle entrambe.
Dal DNF (CNF) mediante trasformazioni equivalenti si ottiene facilmente SDNF (SKNF). Poiché anche le regole per ottenere forme normali perfette sono duali, analizzeremo in dettaglio la regola per ottenere SDNF e formuleremo tu stesso la regola per ottenere SCNF, utilizzando la definizione di dualità.
Regola generale portando la formula su SDNF utilizzando trasformazioni equivalenti:
Per dare la formula F, che non è altrettanto falso, a SDNF basta:
1) portarla a una sorta di DNF;
2) rimuovere i termini della disgiunzione contenente la variabile insieme alla sua negazione (se presente);
3) rimuovere tutti i termini identici della disgiunzione tranne uno (se presente);
4) rimuovere tutti tranne uno dei membri identici di ciascuna congiunzione (se presente);
5) se qualche congiunzione non contiene una variabile tra le variabili incluse nella formula originale, aggiungi un termine a questa congiunzione e applica la corrispondente legge distributiva;
6) se la disgiunzione risultante contiene termini identici, utilizzare la prescrizione 3.
La formula risultante è l'SDNF di questa formula.
Esempio 2.7: Troviamo SDNF e SCNF per la formula 
.
Poiché il DNF per questa formula è già stato trovato (vedi Esempio 2.5), inizieremo ottenendo il SDNF:
2) nella disgiunzione risultante non ci sono variabili insieme alle loro negazioni;
3) non ci sono membri identici nella disgiunzione;
4) non esistono variabili identiche in nessuna congiunzione;
5) la prima congiunzione elementare contiene tutte le variabili incluse nella formula originale, e alla seconda congiunzione elementare manca una variabile z, quindi aggiungiamogli un membro e applichiamo la legge distributiva: ;
6) è facile notare che nella disgiunzione comparivano termini identici, per cui ne rimuoviamo uno (prescrizione 3);
3) eliminare una delle disgiunzioni identiche: 
;
4) le rimanenti disgiunzioni non hanno termini identici;
5) nessuna delle disgiunzioni elementari contiene tutte le variabili comprese nella formula originale, integriamo quindi ciascuna di esse con la congiunzione: ;
6) nella congiunzione risultante non ci sono disgiunzioni identiche, quindi la forma congiuntiva trovata è perfetta.
Poiché nel complesso le formule SKNF e SDNF F 8 membri, molto probabilmente sono stati trovati correttamente.
Ogni formula fattibile (falsificabile) ha un SDNF unico e un SCNF unico. Una tautologia non ha un SKNF, ma una contraddizione non ha un SKNF.
Definizione. Due formule di algebra logica A e B sono chiamati equivalente, se assumono gli stessi valori logici su qualsiasi insieme di valori compresi nelle formule degli enunciati elementari.
Indicheremo l'equivalenza delle formule con il segno e la notazione UN IN significa che le formule A e B sono equivalenti.
Ad esempio, le formule sono equivalenti:
Si chiama la formula A identicamente vero (o tautologia), se assume il valore 1 per tutti i valori delle variabili in esso incluse.
Ad esempio, anche le formule sono vere , .
Formula UN chiamato identicamente falso, se assume il valore 0 per tutti i valori delle variabili in esso incluse.
Ad esempio, la formula è identicamente falsa.
È chiaro che la relazione di equivalenza è riflessiva, simmetrica e transitiva.
Esiste la seguente connessione tra i concetti di equivalenza ed equivalenza: se le formule UN E IN sono equivalenti, allora la formula UN IN- tautologia, e viceversa, se la formula UN IN- tautologia, poi formule UN E IN sono equivalenti.
Le equivalenze più importanti dell'algebra della logica possono essere divise in tre gruppi.
1. Equivalenze di base:
Dimostriamo una delle leggi dell'assorbimento. Considera la formula . Se in questa formula UN= 1 quindi, ovviamente, e quindi come congiunzione di due enunciati veri. Passiamo ora alla formula A x = 0. Ma allora, per la definizione dell'operazione di congiunzione, anche la congiunzione sarà falsa . Quindi, in tutti i casi i valori della formula UN corrispondono ai valori UN, e quindi UN X.
2. Equivalenze che esprimono alcune operazioni logiche attraverso altre:
È chiaro che le equivalenze 5 e 6 si ottengono rispettivamente dalle equivalenze 3 e 4, se prendiamo le negazioni di entrambe le parti di quest'ultima e usiamo la legge di rimozione delle doppie negazioni. Pertanto, le prime quattro equivalenze necessitano di prova. Dimostriamone due: il primo e il terzo.
Poiché con gli stessi valori logici X E A se le formule , , , sono vere, allora sarà vera anche la congiunzione 
.
Pertanto, in questo caso, entrambi i membri dell'equivalenza hanno gli stessi valori veri.
Lascialo adesso X E A hanno valori logici diversi. Allora l'equivalenza e una delle due implicazioni o saranno false. Allo stesso tempo
la congiunzione sarà falsa . Pertanto, in questo caso, entrambi i lati dell'equivalenza hanno lo stesso significato logico.
Considera l'equivalenza 3. Se X E A assumere contemporaneamente valori veri, allora la congiunzione sarà vera x&y e la falsa negazione di una congiunzione. Allo stesso tempo, e e sarà falso, e quindi anche la disgiunzione sarà falsa .
Consideriamo ora almeno una delle variabili X O A valuta falso. Allora la congiunzione sarà falsa x&y e la sua vera negazione. Allo stesso tempo sarà vera la negazione di almeno una delle variabili, e quindi sarà vera anche la disgiunzione .
Pertanto, in tutti i casi, entrambi i lati dell'equivalenza 3 assumono gli stessi valori logici.
Le equivalenze 2 e 4 si dimostrano in modo simile.
Dalle equivalenze di questo gruppo risulta che qualsiasi formula nell'algebra della logica può essere sostituita da una formula equivalente contenente solo due operazioni logiche: congiunzione e negazione o disgiunzione e negazione.
Non è possibile alcuna ulteriore eliminazione delle operazioni logiche. Quindi, se usiamo solo la congiunzione, allora una formula come la negazione X non può essere espresso utilizzando l'operatore di congiunzione.
Tuttavia, ci sono operazioni con le quali è possibile esprimere una qualsiasi delle cinque operazioni logiche che utilizziamo. Tale operazione è, ad esempio, l’operazione “colpo di Scheffer”. Questa operazione è indicata dal simbolo x|y ed è determinata dalla seguente tavola di verità:
| X | sì | x|y |
Ovviamente ci sono equivalenze:
2) x&y (x|y)|(x|y).
Da queste due equivalenze consegue che qualsiasi formula nell'algebra della logica può essere sostituita da una formula equivalente contenente solo l'operazione “colpo di Schaeffer”.
Notare che .
L'operazione può essere inserita in modo simile 
.
3. Equivalenze che esprimono le leggi fondamentali dell'algebra della logica:
1. x&y y&x - commutatività della congiunzione.
2. X A sì X- commutatività della disgiunzione.
3. x&(y&y) (x&y)&z- associatività della congiunzione.
4. X(y z ) (X sì) z è l'associatività della disgiunzione.
5. x&(y z) (x&y) (x&z)- distributività della congiunzione rispetto alla disgiunzione.
6. X (Y&Z) (X y)& (x z ) - distributività della disgiunzione rispetto alla congiunzione.
Dimostriamo l'ultima delle leggi elencate. Se X= 1, allora le formule saranno vere X (sì& z), X y, x z . Ma allora anche la congiunzione sarà vera (X y)& (x z ). Quindi, quando X= 1, entrambi i lati dell'equivalenza 6 assumono gli stessi valori logici (vero).
Lascialo adesso x = 0. Allora X (Y&Z) y&z,x A A E X z z , e quindi la congiunzione X (Y&Z) sì e z. Pertanto, qui entrambi i lati dell'equivalenza 6 sono equivalenti alla stessa formula sì e z, e quindi assumono gli stessi valori logici.
§ 5. Trasformazioni equivalenti di formule
Utilizzando le equivalenze dei gruppi I, II e III è possibile sostituire parte della formula o una formula con una formula equivalente. Vengono chiamate tali trasformazioni di formule equivalente.
Le trasformazioni equivalenti vengono utilizzate per dimostrare equivalenze, per portare le formule in una data forma, per semplificare le formule.
Formula UNè considerata più semplice della sua formula equivalente IN, se contiene meno lettere, meno operazioni logiche. In questo caso, le operazioni di equivalenza e implicazione sono solitamente sostituite dalle operazioni di disgiunzione e congiunzione, e la negazione è classificata come enunciati elementari. Diamo un'occhiata ad una serie di esempi.
1. Dimostrare l'equivalenza 
.
Utilizzando le equivalenze dei gruppi I, II e III
2.
Semplifica la formula 
.
Scriviamo una catena di formule equivalenti:
3. Dimostrare l'identica verità della formula
Scriviamo una catena di formule equivalenti:
Algebra booleana
Le equivalenze del gruppo III indicano che l'algebra della logica ha leggi commutative e associative riguardo alle operazioni di congiunzione e disgiunzione e una legge distributiva di congiunzione riguardo alla disgiunzione; le stesse leggi valgono anche nell'algebra dei numeri. Pertanto, sulle formule dell'algebra della logica si possono effettuare le stesse trasformazioni che si effettuano nell'algebra dei numeri (aprire parentesi, metterle tra parentesi, mettere un fattore comune fuori parentesi).
Ma nell’algebra della logica sono possibili altre trasformazioni, basate sull’uso delle equivalenze:
Questa caratteristica ci consente di arrivare a generalizzazioni di vasta portata.
Consideriamo l'insieme non vuoto M elementi di qualsiasi natura ( x,y,z,...} , in cui sono definite la relazione “=" (uguale) e tre operazioni: "+" (addizione), " " (moltiplicazione) e "-" (negazione), soggetti ai seguenti assiomi:
Leggi commutative:
1a. x + y = y + x, 1b. X y = y X.
Leggi sull'associazione:
2a. x+(y+z)= (x + y) + z, 2b. X (sì z) = (x sì) z.
Leggi distributive:
3a. (x+y) z = (x z ) + (y G) 3b. (xy) + z = (x+z) (y+z).
Leggi di idempotenza:
4a. x + x = x, 4b. X x = x.
Legge della doppia negazione:
Leggi di De Morgan:
6a. , 6b . .
Leggi di assorbimento:
7a. x+(y X)= X, 7b. X (y + x) = x.
Così tanti M chiamato Algebra booleana.
Se sotto gli elementi principali x, y, z, ... Se intendiamo affermazioni con le operazioni “+”, “ ”, “-” rispettivamente disgiunzione, congiunzione, negazione e il segno uguale è considerato un segno di equivalenza, allora, come segue dalle equivalenze dei gruppi I, II e III , tutti gli assiomi dell'algebra booleana sono soddisfatti.
In quei casi in cui, per un certo sistema di assiomi, è possibile selezionare oggetti specifici e relazioni specifiche tra loro in modo che tutti gli assiomi siano soddisfatti, si dice che è stato trovato interpretazione(O modello) di questo sistema di assiomi.
Ciò significa che l'algebra della logica è un'interpretazione dell'algebra booleana. L'algebra di Boole ha altre interpretazioni. Ad esempio, se sotto gli elementi principali x, y, z, ... imposta M intendiamo insiemi, rispettivamente con le operazioni “+”, “ ”, “-” unione, intersezione, addizione e con il segno uguale - il segno uguale degli insiemi, quindi arriviamo all'algebra degli insiemi. Non è difficile verificare che nell'algebra degli insiemi tutti gli assiomi dell'algebra di Boole sono soddisfatti.
Tra le varie interpretazioni dell'algebra booleana ci sono interpretazioni di carattere tecnico. Uno di questi sarà discusso di seguito. Come verrà mostrato, svolge un ruolo importante nell'automazione moderna.
Funzioni dell'algebra logica
Come già notato, il significato di una formula di algebra logica dipende completamente dal significato delle affermazioni incluse in questa formula. Pertanto, la formula dell'algebra della logica è funzione degli enunciati elementari in essa contenuti.
Ad esempio, la formula è una funzione
tre variabili f(x,y,z). La particolarità di questa funzione è il fatto che i suoi argomenti assumono uno dei due valori: zero o uno, e allo stesso tempo la funzione assume anche uno dei due valori: zero o uno.
Definizione. Funzione di algebra logica ettari di variabili (o funzione booleana)è chiamata funzione di variabili ha, dove ciascuna variabile assume due valori: 0 e 1, e la funzione può assumere solo uno dei due valori: 0 o 1.
È chiaro che le formule identicamente vere e identicamente false dell'algebra della logica rappresentano funzioni costanti e due formule equivalenti esprimono la stessa funzione.
Scopriamo qual è il numero di funzioni di n variabili. Ovviamente, ciascuna funzione dell'algebra della logica (così come la formula dell'algebra della logica) può essere specificata utilizzando una tabella di verità, che conterrà 2 n righe. Pertanto, ciascuna funzione di n variabili assume 2 n valori costituiti da zero e uno. Pertanto, una funzione di n variabili è completamente determinata da un insieme di valori di zeri e uno di lunghezza 2 n (il numero totale di insiemi di zeri e uno di lunghezza 2 n è uguale a . Ciò significa che il numero di diverse funzioni dell'algebra della logica P le variabili sono uguali a .
In particolare, esistono quattro diverse funzioni di una variabile e sedici diverse funzioni di due variabili. Scriviamo tutte le funzioni dell'algebra della logica in una E due variabili.
Considera una tabella di verità per varie funzioni di una variabile. Ovviamente assomiglia a:
| X | f1(x) | f2(x) | f3(x) | f3(x) |
| 1 | ||||
Da questa tabella segue che due funzioni di una variabile saranno costanti: f1(x)= 1, f4(x) = 0, un f2(x) X, E f3(x) .
La tabella di verità per tutte le possibili funzioni di due variabili ha la forma:
f io = f io (x,y)
| X | sì | f1 | f2 | f3 | f4 | f5 | f6 | f7 | f8 | f9 | f10 | f11 | f12 | f13 | F14 | f15 | f16 |
È chiaro che le espressioni analitiche di queste funzioni possono essere scritte come segue.
Permettendoti di passare dall'equazione da risolvere alla cosiddetta equazioni equivalenti E equazioni di corollario, dalle cui soluzioni è possibile determinare la soluzione dell'equazione originale. In questo articolo analizzeremo in dettaglio quali equazioni sono dette equivalenti e quali sono dette equazioni corollari, forniremo le definizioni corrispondenti, forniremo esempi esplicativi e spiegheremo come trovare le radici di un'equazione utilizzando le radici note di un'equazione equivalente e di un'equazione corollaria .
Equazioni equivalenti, definizione, esempi
Definiamo le equazioni equivalenti.
Definizione
Equazioni equivalenti- queste sono equazioni che hanno le stesse radici o non hanno radici.
Definizioni uguali nel significato, ma leggermente diverse nella formulazione, sono fornite in vari libri di testo di matematica, ad esempio:
Definizione
Si chiamano le due equazioni f(x)=g(x) e r(x)=s(x). equivalente, se hanno le stesse radici (o, in particolare, se entrambe le equazioni non hanno radici).
Definizione
Si chiamano equazioni che hanno la stessa radice equazioni equivalenti. Anche le equazioni che non hanno radici sono considerate equivalenti.
Per radici stesse si intende quanto segue: se un numero è la radice di una delle equazioni equivalenti, allora è anche la radice di qualunque altra di queste equazioni, e nessuna delle equazioni equivalenti può avere una radice che non sia quella radice di qualsiasi altra di queste equazioni.
Diamo esempi di equazioni equivalenti. Ad esempio, tre equazioni 4 x = 8, 2 x = 4 e x = 2 sono equivalenti. Ciascuno di essi infatti ha un'unica radice 2, quindi sono equivalenti per definizione. Altro esempio: due equazioni x·0=0 e 2+x=x+2 sono equivalenti, gli insiemi delle loro soluzioni coincidono: la radice sia della prima che della seconda è un numero qualsiasi. Anche le due equazioni x=x+5 e x 4 =−1 sono esempi di equazioni equivalenti; entrambe non hanno soluzioni reali.
Per completare il quadro, vale la pena fornire esempi di equazioni disuguali. Ad esempio, le equazioni x=2 e x2=4 non sono equivalenti, poiché la seconda equazione ha radice −2, che non è la radice della prima equazione. Anche le equazioni e non sono equivalenti, poiché le radici della seconda equazione sono numeri qualsiasi e il numero zero non è la radice della prima equazione.
La definizione di equazioni equivalenti si applica sia alle equazioni con una variabile che alle equazioni con un gran numero di variabili. Tuttavia, per le equazioni con due, tre, ecc. variabili, la parola “radici” nella definizione deve essere sostituita con la parola “soluzioni”. COSÌ,
Definizione
Equazioni equivalenti- queste sono equazioni che hanno le stesse soluzioni o non le hanno.
Mostriamo un esempio di equazioni equivalenti con più variabili. x 2 +y 2 +z 2 =0 e 5 x 2 +x 2 y 4 z 8 =0 - ecco un esempio di equazioni equivalenti con tre variabili x, y e z, entrambe hanno un'unica soluzione (0, 0 , 0). Ma le equazioni con due variabili x+y=5 e x·y=1 non sono equivalenti, poiché, ad esempio, una coppia di valori x=2, y=3 è una soluzione della prima equazione (sostituendo questi valori nella prima equazione otteniamo l'uguaglianza corretta 2+3=5), ma non è una soluzione della seconda (sostituendo questi valori nella seconda equazione otteniamo l'uguaglianza errata 2·3=1).
Equazioni di conseguenza
Ecco le definizioni delle equazioni corollari dai libri di testo scolastici:
Definizione
Se ciascuna radice dell'equazione f(x)=g(x) è allo stesso tempo radice dell'equazione p(x)=h(x), allora l'equazione p(x)=h(x) si chiama conseguenza equazioni f(x)=g(x) .
Definizione
Se tutte le radici della prima equazione sono radici della seconda equazione, allora viene chiamata la seconda equazione conseguenza prima equazione.
Diamo un paio di esempi di equazioni corollari. L'equazione x 2 =3 2 è una conseguenza dell'equazione x−3=0. Infatti la seconda equazione ha un'unica radice x=3, questa radice è anche la radice dell'equazione x 2 =3 2, quindi per definizione l'equazione x 2 =3 2 è una conseguenza dell'equazione x−3= 0. Altro esempio: l'equazione (x−2)·(x−3)·(x−4)=0 è una conseguenza dell'equazione 
, poiché tutte le radici della seconda equazione (ce ne sono due, queste sono 2 e 3) sono ovviamente le radici della prima equazione.
Dalla definizione di equazione corollaria segue che assolutamente qualsiasi equazione è una conseguenza di qualsiasi equazione che non abbia radici.
Vale la pena citare alcune conseguenze piuttosto ovvie della definizione di equazioni equivalenti e della definizione di equazione corollaria:
- Se due equazioni sono equivalenti, ciascuna di esse è conseguenza dell'altra.
- Se ciascuna delle due equazioni è una conseguenza dell'altra, allora queste equazioni sono equivalenti.
- Due equazioni sono equivalenti se e solo se ciascuna di esse è conseguenza dell'altra.
1. Due giocatori uguali giocano una partita in cui non ci sono pareggi. Qual è la probabilità che il primo giocatore vinca: a) una partita su due? b) due su quattro? c) tre su sei?
Risposta: UN) ; B) ; V)
3. Segmento AB separati da un punto CON in un rapporto di 2:1. Quattro punti vengono lanciati a caso su questo segmento. Trova la probabilità che due di essi siano a sinistra del punto C e due a destra.
Risposta:
4. Trova la probabilità che l'evento A si verifichi esattamente 70 volte in 243 prove se la probabilità che questo evento si verifichi in ciascuna prova è 0,25.
Risposta: .
5. La probabilità di avere un maschio è 0,515. Trovare la probabilità che su 100 neonati ci sia un numero uguale di maschi e femmine.
Risposta: 0,0782
6. Il negozio ha ricevuto 500 bottiglie in contenitori di vetro. La probabilità che una bottiglia si rompa durante il trasporto è 0,003. Trova la probabilità che il negozio riceva bottiglie rotte: a) esattamente due; b) meno di due; c) almeno due; d) almeno uno.
Risposta: a) 0,22; b) 0,20; c) 0,80; d) 0,95
7. Uno stabilimento automobilistico produce l'80% delle automobili senza difetti significativi. Qual è la probabilità che tra le 600 automobili consegnate dalla fabbrica alla borsa automobilistica, ce ne siano almeno 500 senza difetti significativi?
Risposta: 0,02.
8. Quante volte deve essere lanciata una moneta affinché con una probabilità di 0,95 ci si possa aspettare che la frequenza relativa di apparizione dello stemma si discosti dalla probabilità R=0,5 aspetto dello stemma con un lancio di moneta non superiore a 0,02?
Risposta: n ≥ 2401.
9. La probabilità che si verifichi un evento in ciascuno dei 100 eventi indipendenti è costante e uguale a P=0,8. Trovare la probabilità che l'evento si ripeta: a) almeno 75 volte e non più di 90 volte; b) almeno 75 volte; c) non più di 74 volte.
Risposta: aBC).
10. La probabilità che un evento si verifichi in ciascuna delle prove indipendenti è 0,2. Trova quale deviazione della frequenza relativa di occorrenza di un evento dalla sua probabilità ci si può aspettare con una probabilità di 0,9128 con 5000 prove.
Risposta:
11. Quante volte deve essere lanciata una moneta affinché con probabilità 0,6 ci si possa aspettare che la deviazione della frequenza relativa di apparizione dello stemma dalla probabilità P=0,5 non sarà superiore a 0,01 in valore assoluto.
Risposta: n = 1764.
12. La probabilità che un evento si verifichi in ciascuna delle 10.000 prove indipendenti è 0,75. Trova la probabilità che la frequenza relativa del verificarsi di un evento si discosti dalla sua probabilità in valore assoluto di non più di 0,01.
Risposta: .
13. La probabilità che un evento si verifichi in ciascuna delle prove indipendenti è 0,5. Trova il numero di prove N, dove con una probabilità di 0,7698 possiamo aspettarci che la frequenza relativa del verificarsi di un evento si discosti dalla sua probabilità in valore assoluto di non più di 0,02.
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