Formula per il calcolo dei volumi dei corpi di rivoluzione. Come calcolare il volume di un corpo di rivoluzione utilizzando un integrale definito? Area di una figura piatta

Definizione 3. Un corpo di rivoluzione è un corpo ottenuto facendo ruotare una figura piana attorno ad un asse che non interseca la figura e giace sullo stesso piano con essa.

L'asse di rotazione può intersecare la figura se è l'asse di simmetria della figura.

Teorema 2.
, asse
e segmenti diritti
E

ruota attorno ad un asse
. Quindi il volume del corpo di rotazione risultante può essere calcolato utilizzando la formula

(2)

Prova. Per un tale corpo, la sezione trasversale con l'ascissa è un cerchio di raggio
, Significa
e la formula (1) fornisce il risultato richiesto.

Se la figura è limitata dai grafici di due funzioni continue
E
e segmenti di linea
E
, E
E
, quindi ruotando attorno all'asse x otteniamo un corpo il cui volume

Esempio 3. Calcolare il volume di un toro ottenuto ruotando una circonferenza delimitata da un cerchio

attorno all'asse delle ascisse.

R decisione. Il cerchio indicato è delimitato inferiormente dal grafico della funzione
, e dall'alto –
. La differenza dei quadrati di queste funzioni:

Volume richiesto

(il grafico dell'integrando è il semicerchio superiore, quindi l'integrale scritto sopra è l'area del semicerchio).

Esempio 4. Segmento parabolico con base
e altezza , ruota attorno alla base. Calcolare il volume del corpo risultante (“limone” di Cavalieri).

R decisione. Posizioneremo la parabola come mostrato in figura. Quindi la sua equazione
, E
. Troviamo il valore del parametro :
. Quindi, il volume richiesto:

Teorema 3. Sia un trapezio curvilineo delimitato dal grafico di una funzione continua non negativa
, asse
e segmenti diritti
E
, E
, ruota attorno ad un asse
. Quindi il volume del corpo di rotazione risultante può essere trovato con la formula

(3)

L'idea della prova. Dividiamo il segmento
punti

, in parti e tracciare linee rette
. L'intero trapezio verrà scomposto in strisce, che possono essere considerate approssimativamente rettangoli con una base
e altezza
.

Tagliamo il cilindro risultante ruotando tale rettangolo lungo la sua generatrice e lo spieghiamo. Otteniamo un “quasi” parallelepipedo di dimensioni:
,
E
. Il suo volume
. Quindi, per il volume di un corpo di rivoluzione avremo l'uguaglianza approssimativa

Per ottenere l'uguaglianza esatta bisogna arrivare al limite a
. La somma scritta sopra è la somma integrale della funzione
, quindi, al limite si ottiene l'integrale dalla formula (3). Il teorema è stato dimostrato.

Nota 1. Nei Teoremi 2 e 3 la condizione
può essere omesso: la formula (2) è generalmente insensibile al segno
, e nella formula (3) è sufficiente
sostituito da
.

Esempio 5. Segmento parabolico (base
, altezza ) ruota intorno all'altezza. Trova il volume del corpo risultante.

Soluzione. Posizioniamo la parabola come mostrato in figura. E sebbene l'asse di rotazione intersechi la figura, esso - l'asse - è l'asse di simmetria. Pertanto, dobbiamo considerare solo la metà destra del segmento. Equazione della parabola
, E
, Significa
. Per il volume abbiamo:

Nota 2. Se il confine curvilineo di un trapezio curvilineo è dato da equazioni parametriche
,
,
E
,
quindi puoi utilizzare le formule (2) e (3) con la sostituzione SU
E
SU
quando cambia T da
Prima .

Esempio 6. La figura è limitata dal primo arco della cicloide
,
,
e l'asse x. Trova il volume del corpo ottenuto ruotando questa figura attorno a: 1) asse
; 2) assi
.

Soluzione. 1) Formula generale
Nel nostro caso:

2) Formula generale
Per la nostra figura:

Invitiamo gli studenti a svolgere tutti i calcoli da soli.

Nota 3. Sia un settore curvo delimitato da una linea continua
e raggi
,

, ruota attorno ad un asse polare. Il volume del corpo risultante può essere calcolato utilizzando la formula.

Esempio 7. Parte di una figura delimitata da una cardioide
, che giace fuori dal cerchio
, ruota attorno ad un asse polare. Trova il volume del corpo risultante.

Soluzione. Entrambe le linee, e quindi la figura che delimitano, sono simmetriche rispetto all'asse polare. Pertanto, è necessario considerare solo quella parte per la quale
. Le curve si intersecano a
E

A
. Inoltre, la figura può essere considerata come la differenza di due settori, e quindi il volume può essere calcolato come la differenza di due integrali. Abbiamo:

Compiti per una decisione indipendente.

1. Un segmento circolare la cui base
, altezza , ruota attorno alla base. Trova il volume del corpo di rivoluzione.

2. Trova il volume di un paraboloide di rivoluzione la cui base , e l'altezza è .

3. Figura delimitata da un astroide
,
ruota attorno all'asse delle ascisse. Trova il volume del corpo risultante.

4. Figura delimitata da linee
E
ruota attorno all'asse x. Trova il volume del corpo di rivoluzione.

Argomento: “Calcolo dei volumi dei corpi di rivoluzione utilizzando un integrale definito”

Tipo di lezione: combinato.

Lo scopo della lezione: imparare a calcolare i volumi dei corpi di rivoluzione utilizzando gli integrali.

Compiti:

consolidare la capacità di identificare i trapezi curvilinei da una serie di figure geometriche e sviluppare l'abilità di calcolare le aree dei trapezi curvilinei;

conoscere il concetto di figura tridimensionale;

imparare a calcolare i volumi dei corpi di rivoluzione;

promuovere lo sviluppo del pensiero logico, del discorso matematico competente, dell'accuratezza nella costruzione dei disegni;

coltivare l'interesse per la materia, nell'operare con concetti e immagini matematiche, coltivare volontà, indipendenza e perseveranza nel raggiungimento del risultato finale.

Durante le lezioni

I. Momento organizzativo.

Un saluto dal gruppo. Comunicare agli studenti gli obiettivi della lezione.

Vorrei iniziare la lezione di oggi con una parabola. “C'era una volta un uomo saggio che sapeva tutto. Un uomo voleva dimostrare che il saggio non sa tutto. Tenendo una farfalla tra le mani, chiese: "Dimmi, saggio, quale farfalla è nelle mie mani: viva o morta?" E pensa: “Se lo dice il vivo, la ammazzo; se lo dice il morto, la libero”. Il saggio, dopo aver riflettuto, rispose: “Tutto è nelle tue mani”.

Pertanto, lavoriamo fruttuosamente oggi, acquisiamo un nuovo bagaglio di conoscenze e applicheremo le competenze e le abilità acquisite nella vita futura e nelle attività pratiche: “Tutto è nelle tue mani”.

II. Ripetizione di materiale precedentemente studiato.

Ricordiamo i punti principali del materiale precedentemente studiato. Per fare ciò, completiamo l'attività "Elimina la parola in più".

(Gli studenti dicono una parola in più.)

Giusto "Differenziale". Prova a nominare le parole rimanenti con una parola comune. (Calcolo integrale.)

Ricordiamo le fasi principali e i concetti associati al calcolo integrale.

Esercizio. Recuperare le lacune. (Lo studente esce e scrive le parole richieste con un pennarello.)

Lavora sui quaderni.

La formula di Newton-Leibniz fu derivata dal fisico inglese Isaac Newton (1643-1727) e dal filosofo tedesco Gottfried Leibniz (1646-1716). E questo non sorprende, perché la matematica è la lingua parlata dalla natura stessa.

Consideriamo come questa formula viene utilizzata per risolvere problemi pratici.

Esempio 1: Calcola l'area di una figura delimitata da linee

Soluzione: Costruiamo grafici di funzioni sul piano delle coordinate . Selezioniamo l'area della figura che deve essere trovata.

III. Imparare nuovo materiale.

Presta attenzione allo schermo. Cosa è mostrato nella prima immagine? (La figura mostra una figura piatta.)

Cosa è mostrato nella seconda immagine? Questa cifra è piatta? (La figura mostra una figura tridimensionale.)

Nello spazio, sulla terra e nella vita di tutti i giorni incontriamo non solo figure piane, ma anche tridimensionali, ma come possiamo calcolare il volume di tali corpi? Ad esempio: il volume di un pianeta, di una cometa, di un meteorite, ecc.

Le persone pensano al volume sia quando costruiscono case sia quando versano l'acqua da una nave all'altra. Dovevano emergere regole e tecniche per il calcolo dei volumi; quanto fossero precise e giustificate è un’altra questione.

L'anno 1612 fu molto fruttuoso per gli abitanti della città austriaca di Linz, dove visse il famoso astronomo Giovanni Keplero, soprattutto per l'uva. La gente preparava le botti di vino e voleva sapere come determinarne praticamente il volume.

Pertanto, le opere considerate di Keplero segnarono l'inizio di un intero flusso di ricerca che culminò nell'ultimo quarto del XVII secolo. design nelle opere di I. Newton e G.V. Leibniz del calcolo differenziale e integrale. Da quel momento in poi la matematica delle variabili assunse un posto di primo piano nel sistema della conoscenza matematica.

Oggi tu ed io ci impegneremo in tali attività pratiche, quindi,

L'argomento della nostra lezione: "Calcolo dei volumi dei corpi di rotazione utilizzando un integrale definito".

Imparerai la definizione di corpo di rivoluzione completando il seguente compito.

"Labirinto".

Esercizio. Trova una via d'uscita dalla situazione confusa e scrivi la definizione.

IVCalcolo dei volumi.

Utilizzando un integrale definito, puoi calcolare il volume di un particolare corpo, in particolare un corpo di rotazione.

Un corpo di rivoluzione è un corpo ottenuto facendo ruotare un trapezio curvo attorno alla sua base (Fig. 1, 2)

Il volume di un corpo di rivoluzione viene calcolato utilizzando una delle formule:

1. attorno all'asse del OX.

2. , se la rotazione di un trapezio curvo attorno all'asse dell'amplificatore operazionale.

Gli studenti scrivono le formule di base su un quaderno.

L'insegnante spiega le soluzioni agli esempi alla lavagna.

1. Trova il volume del corpo ottenuto ruotando attorno all'asse delle ordinate di un trapezio curvilineo delimitato da linee: x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Soluzione.

Risposta: 1163 cm3.

2. Trova il volume del corpo ottenuto ruotando un trapezio parabolico attorno all'asse x y = , x = 4, y = 0.

Soluzione.

V. Simulatore di matematica.

2. Viene chiamato l'insieme di tutte le derivate di una data funzione

A) un integrale indefinito,

B) funzione,

B) differenziazione.

7. Trova il volume del corpo ottenuto ruotando attorno all'asse delle ascisse di un trapezio curvilineo delimitato da linee:

D/Z. Consolidare nuovo materiale

Calcola il volume del corpo formato dalla rotazione del petalo attorno all'asse x y = x2, y2 = x.

Costruiamo i grafici della funzione. y = x2, y2 = x. Trasformiamo il grafico y2 = x nella forma y = .

Abbiamo V = V1 - V2 Calcoliamo il volume di ciascuna funzione:

Conclusione:

L'integrale definito è una base certa per lo studio della matematica, che fornisce un contributo insostituibile alla risoluzione dei problemi pratici.

Il tema “Integrale” dimostra chiaramente la connessione tra matematica e fisica, biologia, economia e tecnologia.

Lo sviluppo della scienza moderna è impensabile senza l’uso dell’integrale. A questo proposito, è necessario iniziare a studiarlo nel quadro dell'istruzione specializzata secondaria!

VI. Classificazione.(Con commento.)

Il grande Omar Khayyam: matematico, poeta, filosofo. Ci incoraggia a essere padroni del nostro destino. Ascoltiamo un estratto dal suo lavoro:

Dici che questa vita è un momento.
Apprezzalo, trai ispirazione da esso.
Man mano che lo spendi, così passerà.
Non dimenticare: lei è la tua creazione.

Utilizzo degli integrali per trovare i volumi dei corpi di rivoluzione

L'utilità pratica della matematica è dovuta al fatto che senza

La conoscenza matematica specifica rende difficile comprendere i principi del dispositivo e l'uso della tecnologia moderna. Ogni persona nella sua vita deve eseguire calcoli piuttosto complessi, utilizzare attrezzature di uso comune, trovare le formule necessarie nei libri di consultazione e creare semplici algoritmi per risolvere i problemi. Nella società moderna, sempre più specialità che richiedono un alto livello di istruzione sono associate all'applicazione diretta della matematica. Pertanto, la matematica diventa una materia professionalmente significativa per uno studente. Il ruolo principale spetta alla matematica nella formazione del pensiero algoritmico; sviluppa la capacità di agire secondo un dato algoritmo e di costruire nuovi algoritmi.

Mentre studiano l'argomento dell'utilizzo dell'integrale per calcolare i volumi dei corpi di rivoluzione, suggerisco agli studenti delle classi facoltative di considerare l'argomento: "Volumi dei corpi di rivoluzione utilizzando gli integrali". Di seguito sono riportate le raccomandazioni metodologiche per considerare questo argomento:

1. Area di una figura piatta.

Dal corso di algebra sappiamo che problemi di carattere pratico hanno portato al concetto di integrale definito..gif" width="88" Height="51">.jpg" width="526" Height="262 src=" >

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" larghezza="127" altezza="25 src=">.

Per trovare il volume di un corpo di rotazione formato dalla rotazione di un trapezio curvilineo attorno all'asse del Bue, delimitato da una linea spezzata y=f(x), dall'asse del Bue, dalle rette x=a e x=b, calcoliamo utilizzando la formula

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" larghezza="352" altezza="283 src=">Y

3.Volume del cilindro.

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" larghezza="85" altezza="51">..gif" larghezza="13" altezza="25">..jpg" width="401" Height="355">Il cono si ottiene ruotando il triangolo rettangolo ABC (C = 90) attorno all'asse del Bue su cui giace la gamba AC.

Il segmento AB si trova sulla linea retta y=kx+c, dove https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" Height="41 src=">.

Sia a=0, b=H (H è l'altezza del cono), quindi Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" Height="23 src= ">.

5.Volume di un tronco di cono.

Un tronco di cono può essere ottenuto ruotando un trapezio rettangolare ABCD (CDOx) attorno all'asse del Bue.

Il segmento AB giace sulla retta y=kx+c, dove , c=r.

Poiché la retta passa per il punto A (0;r).

Pertanto, la linea retta assomiglia a https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" Height="291 src=">

Sia a=0, b=H (H è l'altezza del tronco di cono), quindi https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" Height="17 src ="> = .

6. Volume della palla.

La palla può essere ottenuta ruotando un cerchio con centro (0;0) attorno all'asse del Bue. Il semicerchio situato sopra l'asse del Bue è dato dall'equazione

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" larghezza="13" altezza="16 src=">x R.

Tipologia di lezione: combinata.

Lo scopo della lezione: imparare a calcolare i volumi dei corpi di rivoluzione utilizzando gli integrali.

Compiti:

• consolidare la capacità di identificare i trapezi curvilinei da una serie di figure geometriche e sviluppare l'abilità di calcolare le aree dei trapezi curvilinei;
• conoscere il concetto di figura tridimensionale;
• imparare a calcolare i volumi dei corpi di rivoluzione;
• promuovere lo sviluppo del pensiero logico, del discorso matematico competente, dell'accuratezza nella costruzione dei disegni;
• coltivare l'interesse per la materia, nell'operare con concetti e immagini matematiche, coltivare volontà, indipendenza e perseveranza nel raggiungimento del risultato finale.

Durante le lezioni

I. Momento organizzativo.

Un saluto dal gruppo. Comunicare agli studenti gli obiettivi della lezione.

Riflessione. Melodia calma.

– Vorrei iniziare la lezione di oggi con una parabola. “C'era una volta un uomo saggio che sapeva tutto. Un uomo voleva dimostrare che il saggio non sa tutto. Tenendo una farfalla tra le mani, chiese: "Dimmi, saggio, quale farfalla è nelle mie mani: viva o morta?" E lui stesso pensa: “Se il vivo dice, la ucciderò; il morto dirà, la libererò”. Il saggio, dopo aver riflettuto, rispose: "Tutto nelle tue mani". (Presentazione.Diapositiva)

– Pertanto, lavoriamo fruttuosamente oggi, acquisiamo un nuovo bagaglio di conoscenze e applicheremo le competenze e le abilità acquisite nella vita futura e nelle attività pratiche. "Tutto nelle tue mani".

II. Ripetizione di materiale precedentemente studiato.

– Ricordiamo i punti principali del materiale precedentemente studiato. Per fare ciò, completiamo l'attività "Elimina la parola in più."(Diapositiva.)

(Lo studente va all'ID e usa una gomma per rimuovere la parola in più.)

- Giusto "Differenziale". Prova a nominare le parole rimanenti con una parola comune. (Calcolo integrale.)

– Ricordiamo le principali fasi e concetti legati al calcolo integrale..

“Gruppo matematico”.

Esercizio. Recuperare le lacune. (Lo studente esce e scrive con una penna le parole richieste.)

– Ascolteremo più avanti un abstract sull’applicazione degli integrali.

Lavora sui quaderni.

– La formula di Newton-Leibniz fu derivata dal fisico inglese Isaac Newton (1643–1727) e dal filosofo tedesco Gottfried Leibniz (1646–1716). E questo non sorprende, perché la matematica è la lingua parlata dalla natura stessa.

– Consideriamo come viene utilizzata questa formula per risolvere problemi pratici.

Esempio 1: Calcola l'area di una figura delimitata da linee

Soluzione: costruiamo grafici di funzioni sul piano delle coordinate . Selezioniamo l'area della figura che deve essere trovata.

III. Imparare nuovo materiale.

– Prestare attenzione allo schermo. Cosa è mostrato nella prima immagine? (Diapositiva) (La figura mostra una figura piatta.)

– Cosa è mostrato nella seconda immagine? Questa cifra è piatta? (Diapositiva) (La figura mostra una figura tridimensionale.)

– Nello spazio, sulla terra e nella vita di tutti i giorni incontriamo non solo figure piane, ma anche tridimensionali, ma come possiamo calcolare il volume di tali corpi? Ad esempio, il volume di un pianeta, una cometa, un meteorite, ecc.

– Le persone pensano al volume sia quando costruiscono case sia quando versano l’acqua da un recipiente all’altro. Dovevano emergere regole e tecniche per il calcolo dei volumi; quanto fossero precise e ragionevoli è un’altra questione.

Messaggio di uno studente. (Tjurina Vera.)

L'anno 1612 fu molto fruttuoso per gli abitanti della città austriaca di Linz, dove visse il famoso astronomo Giovanni Keplero, soprattutto per l'uva. La gente preparava le botti di vino e voleva sapere come determinarne praticamente il volume. (Diapositiva 2)

– Pertanto, le opere ponderate di Keplero gettarono le basi per un intero filone di ricerca che culminò nell’ultimo quarto del XVII secolo. design nelle opere di I. Newton e G.V. Leibniz del calcolo differenziale e integrale. Da quel momento in poi la matematica delle variabili assunse un posto di primo piano nel sistema della conoscenza matematica.

– Oggi tu ed io ci impegneremo in tali attività pratiche, quindi,

L'argomento della nostra lezione: "Calcolo dei volumi dei corpi di rotazione utilizzando un integrale definito". (Diapositiva)

– Imparerai la definizione di corpo di rotazione completando il seguente compito.

"Labirinto".

Labirinto (parola greca) significa andare sottoterra. Un labirinto è un'intricata rete di percorsi, passaggi e stanze comunicanti.

Ma la definizione era “rotta”, lasciando indizi sotto forma di frecce.

Esercizio. Trova una via d'uscita dalla situazione confusa e scrivi la definizione.

Diapositiva. “Istruzioni mappa” Calcolo dei volumi.

Utilizzando un integrale definito, puoi calcolare il volume di un particolare corpo, in particolare un corpo di rotazione.

Un corpo di rivoluzione è un corpo ottenuto facendo ruotare un trapezio curvo attorno alla sua base (Fig. 1, 2)

Il volume di un corpo di rotazione si calcola utilizzando una delle formule:

1. attorno all'asse del OX.

2. , se la rotazione di un trapezio curvo attorno all'asse dell'amplificatore operazionale.

Ogni studente riceve una scheda di istruzioni. L'insegnante sottolinea i punti principali.

– L’insegnante spiega le soluzioni agli esempi alla lavagna.

Consideriamo un estratto dalla famosa fiaba di A. S. Pushkin "La storia dello zar Saltan, del suo glorioso e potente figlio, il principe Guidon Saltanovich e della bellissima principessa Swan". (Diapositiva 4):

…..
E il messaggero ubriaco ha portato
Lo stesso giorno l'ordine è il seguente:
“Il re ordina ai suoi boiardi,
Senza perdere tempo,
E la regina e la prole
Gettalo di nascosto nell’abisso dell’acqua”.
Non c'è niente da fare: boiardi,
Preoccuparsi per il sovrano
E alla giovane regina,
Una folla venne nella sua camera da letto.
Dichiararono la volontà del re -
Lei e suo figlio hanno una parte malvagia,
Leggiamo il decreto ad alta voce,
E la regina alla stessa ora
Mi hanno messo in una botte con mio figlio,
Hanno incatramato e se ne sono andati
E mi hanno fatto entrare nell'okiyan...
Questo è ciò che ordinò lo zar Saltan.

Quale dovrebbe essere il volume della botte affinché la regina e suo figlio possano entrarci?

– Considera i seguenti compiti

1. Trova il volume del corpo ottenuto ruotando attorno all'asse delle ordinate di un trapezio curvilineo delimitato da linee: x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Risposta: 1163 cm 3 .

Trova il volume del corpo ottenuto ruotando un trapezio parabolico attorno all'asse delle ascisse y = , x = 4, y = 0.

IV. Consolidare nuovo materiale

Esempio 2. Calcola il volume del corpo formato dalla rotazione del petalo attorno all'asse x y = x2 , y2 = x.

Costruiamo i grafici della funzione. y = x2 , y2 = x. Programma y2 = x convertire nel modulo sì= .

Abbiamo V = V1 – V2 Calcoliamo il volume di ciascuna funzione

– Ora diamo un’occhiata alla torre della stazione radio di Mosca su Shabolovka, costruita secondo il progetto dello straordinario ingegnere russo, accademico onorario V. G. Shukhov. Consiste di parti: iperboloidi di rotazione. Inoltre, ciascuno di essi è costituito da aste metalliche diritte che collegano cerchi adiacenti (Fig. 8, 9).

- Consideriamo il problema.

Trova il volume del corpo ottenuto ruotando gli archi di iperbole attorno al suo asse immaginario, come mostrato in Fig. 8, dove

cubo unità

Incarichi di gruppo. Gli studenti tirano a sorte i compiti, disegnano disegni su carta Whatman e uno dei rappresentanti del gruppo difende il lavoro.

1° gruppo.

Colpo! Colpo! Un altro colpo!
La palla vola in porta: PALLA!
E questa è una pallina di anguria
Verde, rotondo, gustoso.
Guarda meglio: che palla!
È fatto solo di cerchi.
Taglia l'anguria in cerchi
E assaggiarli.

Trovare il volume del corpo ottenuto dalla rotazione attorno all'asse OX della funzione limitata

Errore! Il segnalibro non è definito.

– Per favore dimmi dove incontriamo questa figura?

Casa. compito per 1 gruppo. CILINDRO (diapositiva) .

"Cilindro: che cos'è?" – ho chiesto a mio padre.
Il padre rise: Il cilindro è un cappello.
Per avere un'idea corretta,
Un cilindro, diciamo, è un barattolo di latta.
Tubo per battello a vapore - cilindro,
Anche il tubo sul nostro tetto,

Tutti i tubi sono simili a un cilindro.
E ho fatto un esempio come questo:
Mio amato caleidoscopio,
Non puoi distogliere lo sguardo da lui,
E sembra anche un cilindro.

- Esercizio. Compiti a casa: rappresentare graficamente la funzione e calcolare il volume.

2° gruppo. CONO (diapositiva).

La mamma ha detto: E ora
La mia storia riguarderà il cono.
Stargazer con un cappello alto
Conta le stelle tutto l'anno.
CONO: il cappello dell'osservatore delle stelle.
Lui è fatto così. Inteso? Questo è tutto.
La mamma era in piedi al tavolo,
Ho versato l'olio nelle bottiglie.
-Dov'è l'imbuto? Nessun imbuto.
Cercalo. Non restare in disparte.
- Mamma, non mi muovo.
Dimmi di più sul cono.
– L'imbuto ha la forma di un cono di annaffiatoio.
Dai, trovamela velocemente.
Non sono riuscito a trovare l'imbuto
Ma la mamma ha fatto una borsa,
Ho avvolto il cartone attorno al dito
E lo fissò abilmente con una graffetta.
L'olio scorre, la mamma è felice,
Il cono è venuto proprio bene.

Esercizio. Calcola il volume di un corpo ottenuto ruotando attorno all'asse delle ascisse

Casa. compito per il 2° gruppo. PIRAMIDE(diapositiva).

Ho visto la foto. In questa immagine
C'è una PIRAMIDE nel deserto sabbioso.
Tutto nella piramide è straordinario,
C'è una sorta di mistero e mistero in esso.
E la Torre Spasskaya sulla Piazza Rossa
È molto familiare sia ai bambini che agli adulti.
Se guardi la torre, sembra ordinaria,
Cosa c'è sopra? Piramide!

Esercizio. Compiti a casa: rappresentare graficamente la funzione e calcolare il volume della piramide

– Abbiamo calcolato i volumi di vari corpi in base alla formula base per i volumi dei corpi utilizzando un integrale.

Questa è un'altra conferma che l'integrale definito costituisce un fondamento per lo studio della matematica.

- Bene, adesso riposiamoci un po'.

Trovane un paio.

Suona la melodia matematica del domino.

“La strada che io stesso cercavo non sarà mai dimenticata...”

Lavoro di ricerca. Applicazione dell'integrale in economia e tecnologia.

Test per studenti forti e calcio matematico.

Simulatore di matematica.

2. Viene chiamato l'insieme di tutte le derivate di una data funzione

A) un integrale indefinito,

B) funzione,

B) differenziazione.

7. Trova il volume del corpo ottenuto ruotando attorno all'asse delle ascisse di un trapezio curvilineo delimitato da linee:

D/Z. Calcolare i volumi dei corpi di rivoluzione.

Riflessione.

Ricezione della riflessione nella forma syncwine(cinque righe).

1a riga – nome dell'argomento (un sostantivo).

2a riga – descrizione dell'argomento in due parole, due aggettivi.

3a riga – descrizione dell'azione all'interno di questo argomento in tre parole.

La quarta riga è una frase di quattro parole che mostra l'atteggiamento nei confronti dell'argomento (un'intera frase).

La quinta riga è un sinonimo che ripete l'essenza dell'argomento.

1. Volume.
2. Funzione integrale definita e integrabile.
3. Costruiamo, ruotiamo, calcoliamo.
4. Corpo ottenuto facendo ruotare un trapezio curvo (attorno alla sua base).
5. Corpo di rotazione (corpo geometrico volumetrico).

Conclusione (diapositiva).

• Un integrale definito è una base certa per lo studio della matematica, che fornisce un contributo insostituibile alla risoluzione di problemi pratici.
• Il tema “Integrale” dimostra chiaramente la connessione tra matematica e fisica, biologia, economia e tecnologia.
• Lo sviluppo della scienza moderna è impensabile senza l’uso dell’integrale. A questo proposito, è necessario iniziare a studiarlo nel quadro dell'istruzione specializzata secondaria!

Classificazione. (Con commento.)

Il grande Omar Khayyam: matematico, poeta, filosofo. Ci incoraggia a essere padroni del nostro destino. Ascoltiamo un estratto dal suo lavoro:

Dirai che questa vita è un momento.
Apprezzalo, trai ispirazione da esso.
Man mano che lo spendi, così passerà.
Non dimenticare: lei è la tua creazione.