La natura frattale del caos. La sezione aurea, i frattali e il caos in relazione a certe idee sull'universo. Dal caos all'ordine

La teoria del caos è recentemente diventata uno degli approcci più alla moda alla ricerca di mercato. Purtroppo non esiste ancora una definizione matematica esatta del concetto di caos. Ora, il caos è spesso definito come l’estrema imprevedibilità del movimento complesso costante, non lineare e irregolare che si verifica in un sistema dinamico.

IL CAOS NON È CASUALE

Va notato che il caos non è casuale, nonostante la sua imprevedibilità. Inoltre, il caos è determinato dinamicamente (determinato). A prima vista, l'imprevedibilità confina con la casualità: dopotutto, di regola, non possiamo prevedere solo fenomeni casuali.

E se consideriamo il mercato come una passeggiata casuale, allora è esattamente così. Tuttavia, il caos non è casuale; obbedisce alle proprie leggi. Secondo la teoria del caos, se si parla di movimento caotico dei prezzi, non si dovrebbe intendere un movimento casuale dei prezzi, ma un altro movimento, soprattutto ordinato. Se le dinamiche del mercato sono caotiche, non sono casuali, sebbene siano comunque imprevedibili.

L'imprevedibilità del caos

L'imprevedibilità del caos è spiegata principalmente dalla sua significativa dipendenza dalle condizioni iniziali. Questa dipendenza indica che anche i più piccoli errori nella misurazione dei parametri dell'oggetto studiato possono portare a previsioni completamente errate.

Questi errori possono verificarsi a causa dell'ignoranza elementare di tutte le condizioni iniziali. Qualcosa sfuggirà sicuramente alla nostra attenzione, il che significa che già nella formulazione stessa del problema ci sarà un errore interno, che porterà a errori significativi nelle previsioni.

"Effetto farfalla"

In relazione all’incapacità di fare previsioni meteorologiche a lungo termine, la significativa dipendenza dalle condizioni iniziali è talvolta chiamata “effetto farfalla”. L'"effetto farfalla" si riferisce alla possibilità che il battito d'ali di una farfalla in Brasile provochi un tornado in Texas.

Ulteriori imprecisioni nei risultati della ricerca e dei calcoli possono essere introdotte dai fattori più invisibili che influenzano il sistema a prima vista, che compaiono durante il periodo della sua esistenza dal momento iniziale fino alla comparsa del risultato effettivo e finale. In questo caso, i fattori che influenzano possono essere sia esogeni (esterni) che endogeni (interni).

Un esempio lampante di comportamento caotico è il movimento di una palla da biliardo. Se hai mai giocato a biliardo, allora sai che il risultato finale dipende dalla precisione iniziale del colpo, dalla sua forza, dalla posizione della stecca rispetto alla palla, dalla valutazione della posizione della palla colpita, nonché da la posizione delle altre palline sul tavolo. La minima imprecisione in uno di questi fattori porta alle conseguenze più imprevedibili: la palla potrebbe rotolare in modo completamente diverso da come si aspettava il giocatore di biliardo. Inoltre, anche se il giocatore di biliardo ha fatto tutto correttamente, prova a prevedere i movimenti della palla dopo cinque o sei collisioni.

Consideriamo un altro esempio dell'influenza delle condizioni iniziali sul risultato finale. Immaginiamo, ad esempio, una pietra in cima a una montagna. Basta spingerlo un po' e rotolerà giù fino ai piedi della montagna. È chiaro che un cambiamento molto piccolo nella forza della spinta e nella sua direzione può portare a un cambiamento molto significativo nel punto in cui la pietra si ferma al piede. Esiste, tuttavia, una differenza molto significativa tra l'esempio con una pietra e un sistema caotico.

Nella prima i fattori che influenzano la pietra durante la sua caduta dalla montagna (vento, ostacoli, alterazioni della struttura interna dovute a urti, ecc.) non hanno più un forte impatto sul risultato finale rispetto alle condizioni iniziali. Nei sistemi caotici, piccoli cambiamenti hanno un impatto significativo sul risultato non solo delle condizioni iniziali, ma anche di altri fattori.

Una delle principali conclusioni della teoria del caos, quindi, è la seguente: è impossibile prevedere il futuro, poiché ci saranno sempre errori di misurazione, generati, tra le altre cose, dall'ignoranza di tutti i fattori e condizioni.

La stessa cosa è semplice: piccoli cambiamenti e/o errori possono avere grandi conseguenze.

Figura 1. Dipendenza significativa del risultato dalle condizioni iniziali e dai fattori che influenzano

• Un'altra proprietà fondamentale del caos è l'accumulo esponenziale di errori. Secondo la meccanica quantistica, le condizioni iniziali sono sempre incerte e, secondo la teoria del caos, queste incertezze cresceranno rapidamente e supereranno i limiti consentiti di prevedibilità.
• La seconda conclusione della teoria del caos è che l’affidabilità delle previsioni diminuisce rapidamente nel tempo.

Questa conclusione rappresenta una limitazione significativa per l’applicabilità analisi fondamentale, operando, di regola, con categorie a lungo termine.

Figura 2. Calo esponenziale della fiducia nelle previsioni

Di solito si dice che il caos è una forma di ordine superiore, ma è più corretto considerare il caos come un'altra forma di ordine: inevitabilmente in qualsiasi sistema dinamico, l'ordine nel senso comune del termine è seguito dal caos, e il caos è seguito dall'ordine. Se definiamo il caos come disordine, allora in tale disordine potremo sicuramente vedere la nostra particolare forma di ordine. Ad esempio, il fumo delle sigarette, inizialmente sollevandosi sotto forma di una colonna ordinata, sotto l'influenza dell'ambiente esterno assume forme sempre più bizzarre e i suoi movimenti diventano caotici.

Un altro esempio di casualità in natura è una foglia di qualsiasi albero. Si può sostenere che troverai molte foglie simili, ad esempio la quercia, ma non un solo paio di foglie identiche. La differenza è predeterminata dalla temperatura, dal vento, dall'umidità e da molti altri fattori esterni, oltre a cause puramente interne (ad esempio differenze genetiche).

Il movimento dall'ordine al caos e viceversa sembra essere l'essenza dell'universo, indipendentemente dalle manifestazioni di esso che studiamo. Anche nel cervello umano c’è ordine e caos allo stesso tempo. Il primo corrisponde all'emisfero sinistro del cervello e il secondo a quello destro. L'emisfero sinistro è responsabile del comportamento umano cosciente, dello sviluppo di regole e strategie lineari nel comportamento umano, dove "se... allora..." è chiaramente definito. Nell'emisfero destro regnano la non linearità e il caos. L'intuizione è una delle manifestazioni dell'emisfero destro del cervello.

La teoria del caos studia l'ordine di un sistema caotico, che appare casuale, disordinato. Allo stesso tempo, la teoria del caos aiuta a costruire un modello di tale sistema, senza porsi il compito di prevedere con precisione il comportamento di un sistema caotico in futuro.

I primi elementi della teoria del caos apparvero nel XIX secolo, ma questa teoria trovò il suo vero sviluppo scientifico nella seconda metà del XX secolo, insieme al lavoro di Edward Lorenz del Massachusetts Institute of Technology e del matematico franco-americano Benoit B. Mandelbrot).

Edward Lorenz una volta (primi anni '60 del XX secolo, lavoro pubblicato nel 1963) osservò le difficoltà nelle previsioni meteorologiche.

Prima del lavoro di Lorenz, nel mondo della scienza prevalevano due opinioni riguardo alla possibilità di prevedere con precisione il tempo per un periodo di tempo infinito.

Il primo approccio fu formulato nel 1776 dal matematico francese Pierre Simon Laplace. Lo ha affermato Laplace"...se immaginiamo una mente che in un dato momento abbia compreso tutte le connessioni tra gli oggetti dell'Universo, allora sarà in grado di stabilire la posizione, i movimenti e gli effetti generali corrispondenti di tutti questi oggetti in qualsiasi momento del passato o in futuro". Questo suo approccio era molto simile alle famose parole di Archimede: “Dammi un fulcro e metterò sottosopra il mondo intero”.

Pertanto, Laplace e i suoi sostenitori hanno affermato che per prevedere con precisione il tempo, è solo necessario raccogliere più informazioni su tutte le particelle nell'Universo, sulla loro posizione, velocità, massa, direzione del movimento, accelerazione, ecc. Laplace pensava che quanto più una persona sa, tanto più accurate saranno le sue previsioni sul futuro.

Il secondo approccio alla possibilità delle previsioni meteorologiche fu formulato più chiaramente prima di chiunque altro da un altro matematico francese, Jules Henri Poincaré. Nel 1903 disse:"Se conoscessimo esattamente le leggi della natura e la posizione dell'Universo nel momento iniziale, potremmo prevedere con precisione la posizione dello stesso Universo in un momento successivo. Ma anche se le leggi della natura ci rivelassero tutti i loro segreti, noi potremmo allora conoscere solo approssimativamente la posizione iniziale. Se questa ci permettesse di prevedere la situazione successiva con la stessa approssimazione, sarebbe tutto ciò di cui abbiamo bisogno, e potremmo dire che il fenomeno era stato previsto, che era regolato da leggi. Ma questo Non è sempre così; può succedere che piccole differenze nelle condizioni iniziali producano differenze molto grandi nel fenomeno finale. Un piccolo errore nel primo produrrà un errore enorme nel secondo. La previsione diventa impossibile, e abbiamo a che fare con un fenomeno che si sviluppa per caso."

In queste parole di Poincaré troviamo il postulato della teoria del caos sulla dipendenza dalle condizioni iniziali. Il successivo sviluppo della scienza, in particolare della meccanica quantistica, confutò il determinismo di Laplace. Nel 1927 il fisico tedesco Werner Heisenberg scoprì e formulò il principio di indeterminazione. Questo principio spiega perché alcuni fenomeni casuali non obbediscono al determinismo laplaciano. Heisenberg dimostrò il principio di indeterminazione usando l'esempio del decadimento nucleare radioattivo. Pertanto, a causa delle dimensioni molto ridotte del nucleo, è impossibile conoscere tutti i processi che avvengono al suo interno. Pertanto, non importa quante informazioni raccogliamo sul nucleo, è impossibile prevedere con precisione quando questo nucleo decade.

Di quali strumenti dispone la teoria del caos? Prima di tutto, questi sono attrattori e frattali.

Attrattore(dall'inglese attrarre- attrarre) è una struttura geometrica che caratterizza il comportamento nello spazio delle fasi dopo un lungo periodo.

Qui diventa necessario definire il concetto di spazio delle fasi. Quindi, lo spazio delle fasi è uno spazio astratto le cui coordinate sono i gradi di libertà del sistema. Ad esempio, il moto di un pendolo ha due gradi di libertà. Questo movimento è completamente determinato dalla velocità e dalla posizione iniziali del pendolo.

Se non c'è resistenza al movimento del pendolo, lo spazio delle fasi sarà una curva chiusa. In realtà sulla Terra il movimento di un pendolo è influenzato dalla forza di attrito. In questo caso, lo spazio delle fasi sarà una spirale.

Figura 3. Movimento del pendolo come esempio di spazio delle fasi

In poche parole, un attrattore è ciò che il sistema si sforza di ottenere, ciò da cui è attratto.

• Più tipo semplice il punto è l'attrattore. Un tale attrattore è caratteristico di un pendolo in presenza di attrito. Indipendentemente dalla velocità e dalla posizione iniziale, un tale pendolo si fermerà sempre, ad es. esattamente.
• Il prossimo tipo di attrattore è un ciclo limite, che ha la forma di una linea curva chiusa. Un esempio di tale attrattore è un pendolo, che non è influenzato dall'attrito. Un altro esempio di ciclo limite è il battito del cuore. La frequenza del battito può diminuire e aumentare, ma tende sempre al suo attrattore, alla sua curva chiusa.
• Il terzo tipo di attrattore è un toro. Nella Figura 4, il toro è mostrato nell'angolo in alto a destra.

Figura 4. Principali tipi di attrattori. Sopra sono mostrati tre attrattori semplici e prevedibili. Di seguito sono riportati tre attrattori caotici.

Nonostante la complessità del comportamento degli attrattori caotici, talvolta chiamati attrattori strani, la conoscenza dello spazio delle fasi consente di rappresentare il comportamento del sistema in forma geometrica e di prevederlo di conseguenza.

E sebbene sia quasi impossibile che il sistema si trovi in ​​un determinato momento nel tempo in un determinato punto dello spazio delle fasi, l'area in cui si trova l'oggetto e la sua tendenza verso l'attrattore sono prevedibili.

Il primo attrattore caotico fu l'attrattore di Lorentz. Nella Figura 3.7. è mostrato nell'angolo in basso a sinistra.

Figura 5. Attrattore caotico di Lorenz

L'attrattore di Lorentz viene calcolato sulla base di soli tre gradi di libertà: tre equazioni differenziali ordinarie, tre costanti e tre condizioni iniziali. Tuttavia, nonostante la sua semplicità, il sistema di Lorentz si comporta in modo pseudo-casuale (caotico).

Dopo aver simulato il suo sistema su un computer, Lorenz ha identificato la ragione del suo comportamento caotico: la differenza nelle condizioni iniziali. Anche una deviazione microscopica di due sistemi all'inizio del processo di evoluzione ha portato ad un accumulo esponenziale di errori e, di conseguenza, alla loro divergenza stocastica.

Allo stesso tempo, qualsiasi attrattore ha dimensioni limitanti, quindi la divergenza esponenziale di due traiettorie di sistemi diversi non può continuare indefinitamente. Prima o poi le orbite convergeranno di nuovo e passeranno una accanto all'altra o addirittura coincideranno, anche se quest'ultima cosa è molto improbabile. A proposito, la coincidenza delle traiettorie è una regola di comportamento di semplici attrattori prevedibili.

La convergenza-divergenza (detta anche ripiegamento e allungamento, rispettivamente) di un attrattore caotico elimina sistematicamente l'informazione iniziale e la sostituisce con nuova informazione. Man mano che le traiettorie convergono, comincia a manifestarsi l’effetto miopia: aumenta l’incertezza delle informazioni su larga scala. Quando le traiettorie divergono, al contrario, divergono e l’effetto di lungimiranza appare quando aumenta l’incertezza delle informazioni su piccola scala.

Come risultato della costante convergenza e divergenza di un attrattore caotico, l'incertezza aumenta rapidamente, il che in ogni momento ci priva dell'opportunità di fare previsioni accurate. Ciò di cui la scienza è così orgogliosa – la capacità di stabilire connessioni tra cause ed effetti – è impossibile nei sistemi caotici. Nel caos non esiste alcuna relazione di causa-effetto tra il passato e il futuro.

Va notato qui che la velocità di convergenza-divergenza è una misura del caos, cioè un’espressione numerica di quanto sia caotico il sistema. Un'altra misura statistica del caos è la dimensione dell'attrattore.

Pertanto, si può notare che la proprietà principale degli attrattori caotici è la convergenza-divergenza delle traiettorie di diversi sistemi, che si mescolano casualmente gradualmente e all'infinito

L’intersezione tra geometria frattale e teoria del caos è qui evidente. E, sebbene uno degli strumenti della teoria del caos lo siageometria frattale, il frattale è l'opposto del caos.

La differenza principale tra caos e frattale è che il primo è un fenomeno dinamico, mentre il frattale è statico. La proprietà dinamica del caos è intesa come un cambiamento instabile e non periodico delle traiettorie.

FRATTALE

Frattale- Questo figura geometrica, certa parte che si ripete ancora e ancora, da qui si manifesta una delle proprietà del frattale: l'autosomiglianza.

Un'altra proprietà di un frattale è la frazionalità. La frazionalità di un frattale è un riflesso matematico del grado di irregolarità del frattale.

Infatti, tutto ciò che sembra casuale e irregolare può essere un frattale, come nuvole, alberi, anse di fiumi, battiti cardiaci, popolazioni e migrazioni animali o fiamme.

Figura 6. Frattale del tappeto Sierpinski

Questo frattale è ottenuto attraverso una serie di iterazioni. L'iterazione (dal latino iteratio - ripetizione) è l'applicazione ripetuta di qualsiasi operazione matematica.

Figura 7. Costruzione di un tappeto Sierpinski

Un attrattore caotico è un frattale. Perché? In un attrattore strano, così come in un frattale, man mano che aumenta, si rivelano sempre più dettagli, ad es. Si innesca il principio di autosimilarità. Non importa come modifichiamo la dimensione dell'attrattore, rimarrà sempre proporzionalmente la stessa.

Nell'analisi tecnica, un tipico esempio di frattale sono le onde di Elliott, dove funziona anche il principio di autosimilarità.

Il primo scienziato più famoso e autorevole a studiare i frattali fu Benoit Mandelbrot. A metà degli anni '60 del XX secolo sviluppò la geometria frattale o, come la chiamava anche lui, la geometria della natura. Mandelbrot ne parla nella sua famosa opera “Fractal Geometry of Nature”(La geometria frattale della natura). Molte persone chiamano Mandelbrot il padre dei frattali, perché... fu il primo ad utilizzarlo in relazione all'analisi delle forme sfocate e irregolari.

Un'ulteriore idea inerente alla frattalità sono le dimensioni non intere. Solitamente si parla di monodimensionale, bidimensionale, tridimensionale, ecc. mondo intero. Tuttavia, potrebbero esserci anche dimensioni non intere, ad esempio 2,72. Mandelbrot chiama tali dimensioni dimensioni frattali.

La logica dell'esistenza di dimensioni non intere è molto semplice. Pertanto, in natura difficilmente esiste una palla o un cubo ideale, quindi la dimensione tridimensionale di questa palla o cubo reale è impossibile e devono esistere altre dimensioni per descrivere tali oggetti.

È per misurare queste figure frattali irregolari che è stato introdotto il concetto di misurazione frattale. Ad esempio, accartoccia un pezzo di carta fino a formare una palla. Dal punto di vista della geometria euclidea classica, l'oggetto appena formato sarà una palla tridimensionale. Tuttavia, in realtà è pur sempre solo un pezzo di carta bidimensionale, anche se appallottolato. Da ciò possiamo supporre che il nuovo oggetto avrà una dimensione maggiore di 2, ma minore di 3. Ciò non si adatta bene alla geometria euclidea, ma può essere ben descritto utilizzando la geometria frattale, che affermerebbe che il nuovo oggetto si troverà in una dimensione frattale approssimativamente uguale a 2,5, cioè hanno una dimensione frattale di circa 2,5.

Frattali deterministici

Esistono frattali deterministici, un esempio dei quali è il tappeto Sierpinski, e frattali complessi. Quando si costruisce il primo, non sono necessarie formule o equazioni. È sufficiente prendere un foglio di carta ed eseguire diverse iterazioni su una forma. I frattali complessi hanno una complessità infinita, sebbene siano generati da una formula semplice.

Un classico esempio di frattale complesso è l'insieme

Mandelbrot, ottenuto dalla formula semplice Zn+1=Zna+C, dove Z e C sono numeri complessi e a è un numero positivo. Nella Figura 8 vediamo un frattale di 2° grado, dove a = 2.

Figura 8. Insieme di Mandelbrot

I sistemi possono passare al caos in diversi modi. Tra questi ultimi si distinguono le biforcazioni, che sono studiate dalla teoria delle biforcazioni.

Biforcazione (dal lat. biforco- biforcato) è un processo di transizione qualitativa da uno stato di equilibrio al caos attraverso un successivo cambiamento molto piccolo (ad esempio, raddoppio di Feigenbaum durante una biforcazione di raddoppio) di punti periodici.

È imperativo prendere nota di ciò che sta accadendoqualitàmodificando le proprietà del sistema, il cosiddetto. salto catastrofico. Il momento del salto (biforcazione durante il raddoppio della biforcazione) avviene apunto di biforcazione.

Il caos può sorgere attraverso la biforcazione, come mostrato da Mitchell Feigenbaum. Quando creò la sua teoria sui frattali, Feigenbaum analizzò principalmente l'equazione logistica Xn+1=CXn - C(Xn)2, dove C è un parametro esterno, da cui concluse che sotto certe restrizioni in tutte queste equazioni c'è una transizione da uno stato di equilibrio al caos.

Di seguito è riportato un classico esempio biologico di questa equazione.

Ad esempio, una popolazione di individui di dimensione normalizzata Xn vive isolata. Un anno dopo compaiono i discendenti con la numerazione Xn+1. La crescita della popolazione è descritta dal primo termine sul lato destro dell'equazione (СХn), dove il coefficiente C determina il tasso di crescita ed è il parametro determinante. La perdita di animali (dovuta alla sovrappopolazione, alla mancanza di cibo, ecc.) è determinata dal secondo termine non lineare (C(Xn)2).

Il risultato dei calcoli sono le seguenti conclusioni:

• a C< 1 популяция с ростом n вымирает;
• nella zona 1< С < 3 численность популяции приближается к постоянному значению Х0 = 1 - 1/С, что является областью стационарных, фиксированных решений. При значении C = 3 точка бифуркации становится fisso ripugnante punto. Da questo punto in poi la funzione non converge mai ad un punto. Prima che questo punto fosse fisso attraente;
• nella fascia 3< С < 3.57 начинают появляться бифуркации и разветвление каждой кривой на две. Здесь функция (численность популяции) колеблется между двумя значениями, лежащими на этих ветвях. Сначала популяция резко возрастает, на следующий год возникает перенаселенность и через год численность снова уменьшается;
• a C > 3.57 le aree di diverse soluzioni si sovrappongono (sembrano ridipinte) e il comportamento del sistema diventa caotico.

Da qui la conclusione: lo stato finale dell'evoluzione dei sistemi fisici è lo stato del caos dinamico.

La dipendenza della dimensione della popolazione dal parametro C è mostrata nella figura seguente.

Figura 9. Transizione al caos attraverso le biforcazioni, stadio iniziale dell'equazione Xn+1=CXn - C(Xn)2

Le variabili dinamiche Xn assumono valori che dipendono fortemente dalle condizioni iniziali. Quando i calcoli vengono eseguiti su un computer, anche per valori iniziali di C molto vicini, i valori finali possono differire notevolmente. Inoltre, i calcoli diventano errati, poiché iniziano a dipendere da processi casuali nel computer stesso (sovratensioni, ecc.).

Pertanto, lo stato del sistema al momento della biforcazione è estremamente instabile e un impatto infinitesimale può portare alla scelta di un ulteriore percorso di movimento, e questa, come già sappiamo, è la caratteristica principale di un sistema caotico (dipendenza significativa sulle condizioni iniziali).

Feigenbaum stabilì leggi universali di transizione al caos dinamico quando il periodo viene raddoppiato, che furono confermate sperimentalmente per un'ampia classe di sistemi meccanici, idrodinamici, chimici e di altro tipo. Il risultato della ricerca di Feigenbaum è stato il cosiddetto. "Albero Feigenbaum".

Figura 10. Albero di Feigenbaum (calcolo basato su una formula logistica leggermente modificata)

Cosa sono le biforcazioni nella vita di tutti i giorni, in termini semplici. Come sappiamo dalla definizione, le biforcazioni si verificano quando un sistema passa da uno stato di apparente stabilità ed equilibrio al caos.

Esempi di tali transizioni sono il fumo, l'acqua e molti altri fenomeni naturali comuni. Pertanto, il fumo che sale verso l'alto sembra inizialmente una colonna ordinata. Tuttavia, dopo qualche tempo, comincia a subire cambiamenti che all’inizio sembrano ordinati, ma poi diventano caoticamente imprevedibili.

Infatti, la prima transizione dalla stabilità a una qualche forma di ordine apparente, ma già variabilità, avviene nel primo punto di biforcazione. Inoltre, il numero delle biforcazioni aumenta, raggiungendo valori enormi. Ad ogni biforcazione, la funzione di turbolenza del fumo si avvicina al caos.

Utilizzando la teoria delle biforcazioni, è possibile prevedere la natura del movimento che si verifica durante la transizione di un sistema a uno stato qualitativamente diverso, nonché la regione di esistenza del sistema e valutarne la stabilità.

Sfortunatamente, l’esistenza stessa della teoria del caos è difficile da conciliare con la scienza classica. In genere, le idee scientifiche vengono testate facendo previsioni e confrontandole con i risultati effettivi. Tuttavia, come già sappiamo, il caos è imprevedibile; quando si studia un sistema caotico, si può solo prevederne il modello di comportamento.

Pertanto, con l'aiuto del caos, non solo è impossibile costruire una previsione accurata, ma anche, di conseguenza, controllarla. Tuttavia, ciò non dovrebbe significare che la teoria del caos, confermata sia nei calcoli matematici che nella vita, sia errata.

Attualmente non esiste un apparato matematicamente preciso per applicare la teoria del caos allo studio dei prezzi di mercato, quindi non c’è fretta di applicare la conoscenza del caos. Allo stesso tempo, questa è veramente l'area moderna della matematica più promettente dal punto di vista della ricerca applicata sui mercati finanziari.

1.1. Cosa sono i frattali e il caos?

Un tempo, alla maggior parte delle persone sembrava che la geometria in natura fosse limitata a figure semplici come la linea, il cerchio, la sezione conica, il poligono, la sfera, la superficie quadratica e le loro combinazioni. Ad esempio, cosa potrebbe esserci di più bello dell'affermazione che i pianeti del nostro sistema solare si muovono attorno al sole su orbite ellittiche? Questa straordinaria legge è uno dei tre postulati del moto planetario formulati da Giovanni Keplero sulla base delle osservazioni e delle misurazioni effettuate da Tycho Brahe. Successivamente, Sir Isaac Newton derivò la legge dell'inverso del quadrato per l'attrazione gravitazionale come soluzione a qualche equazione differenziale, dalla cui soluzione derivano le leggi di Keplero. In questo e in altri casi, quando l’applicazione di semplici modelli geometrici ha avuto successo, ha portato a enormi risultati scientifici.

Tuttavia, molti sistemi naturali sono così complessi e irregolari che utilizzare solo oggetti familiari della geometria classica per modellarli sembra senza speranza. Come si può, ad esempio, costruire un modello di una catena montuosa o di una chioma di alberi in termini di geometria? Come descrivere la diversità delle configurazioni biologiche che osserviamo nel mondo delle piante e degli animali? Immagina la complessità del sistema circolatorio, costituito da molti capillari e vasi e che fornisce sangue a ogni cellula del corpo umano. Immagina con quanta intelligenza sono disposti i polmoni e le gemme, che ricordano nella struttura gli alberi con una corona ramificata.

Le dinamiche della vita reale possono essere altrettanto complesse e irregolari. sistemi naturali. Come affrontare la modellazione di cascate o processi turbolenti che determinano il tempo?

Quale matematica è responsabile dei ritmi del cuore e del cervello osservati nell'elettrocardiogramma e nell'encefalogramma, in particolare di quegli improvvisi attacchi di aritmia che possono causare un malfunzionamento del cuore? È possibile descrivere matematicamente il verificarsi improvviso di un’ondata di panico nei mercati finanziari o addirittura costruire un modello matematico del comportamento sociale?

I frattali e il caos matematico sono strumenti adatti per esplorare queste domande. Il termine frattale si riferisce ad alcune configurazioni geometriche statiche, come l'istantanea di una cascata. Caos è un termine dinamico usato per descrivere fenomeni simili al comportamento meteorologico turbolento. Questo libro è un'introduzione alla matematica dietro questi concetti. Si presume che dopo aver padroneggiato i metodi qui delineati, il lettore sarà in grado di passare allo studio delle applicazioni da fonti specializzate.

Ad esempio, la ricerca mostra che in fisiologia esiste sia il caos “buono” che il caos “cattivo”. Negli esperimenti con i gatti, è stato osservato che l'aspetto dell'elettrocardiogramma effettuato prima e dopo la somministrazione di cocaina cambia da una sequenza regolare di picchi elevati seguiti da piccoli picchi ad una sequenza altamente irregolare, che potrebbe indicare un attacco di aritmia. D'altra parte, il modello dell'elettroencefalogramma cambia da irregolare e imprevedibile a molto più fluido. Vedi anche l'analisi del possibile ruolo del caos nello sviluppo delle malattie cardiache.

Spesso ciò che osserviamo in natura ci incuriosisce con la ripetizione infinita dello stesso schema, aumentato o diminuito quante volte lo desideriamo. Ad esempio, un albero ha rami. Su questi rami ci sono rami più piccoli, ecc. In teoria l'elemento "forchetta" si ripete all'infinito, diventando sempre più piccolo. La stessa cosa si può vedere guardando una fotografia di un terreno montuoso. Prova a ingrandire leggermente la catena montuosa: vedrai di nuovo le montagne. Ingrandisci ulteriormente e sarai comunque in grado di vedere quelle che sembrano montagne, grazie alla tua capacità (statistica) di distinguere il tipo di oggetto nell'immagine. È così che si manifesta la proprietà di autosimilarità caratteristica dei frattali (Sezioni 2.1 e 5.1).

Gran parte del lavoro sui frattali utilizza l'autosomiglianza come proprietà determinante. Seguendo Benoit Mandelbrot, accettiamo l'idea secondo cui i frattali dovrebbero essere definiti in termini di dimensione frattale (Capitolo 5). Da qui deriva la parola frattale. Il concetto di dimensione frazionaria è un concetto molto complesso, che presenteremo in più fasi. Una linea retta è un oggetto unidimensionale, mentre un piano è un oggetto bidimensionale. Come vedremo in seguito, torcendo a fondo una retta o un piano, è possibile aumentare la dimensione della configurazione risultante; in questo caso, la nuova dimensione sarà solitamente frazionaria in un certo senso, cosa che dobbiamo chiarire. La connessione tra dimensione frazionaria e autosimilarità è che con l'aiuto dell'autosimilarità è possibile costruire un insieme di dimensione frazionaria nel modo più semplice (Sezione 2.1). Anche nel caso di frattali molto più complessi, come il confine dell'insieme di Mandelbrot (Sezione 8.3), quando non c'è pura autosimilarità, si ha una ripetizione quasi completa della forma base in una forma sempre più ridotta.

IN lingua inglese il caos è solitamente definito come uno stato di completo disordine o confusione. Alcuni dizionari utilizzano il concetto di uno stato in cui governa il caso. Il termine caos in matematica è usato in senso stretto.

Sebbene non esista una definizione universale di caos matematico, sembra esserci un completo accordo sul fatto che qualsiasi tipo di caos ha la proprietà dell’imprevedibilità. Questa proprietà è chiamata dipendenza essenziale dalle condizioni iniziali (Sezione 6.5). Stranamente, non equivale a un comportamento casuale. In effetti, il caos matematico è una caratteristica dei sistemi dinamici deterministici. Pertanto, le fluttuazioni osservate in uno stato di caos sembrano essere solo casuali: i loro valori sono completamente predeterminati dai parametri di input. Ma in pratica non disponiamo mai di informazioni assolutamente precise sulle condizioni iniziali. Errori, anche se insignificanti, si verificano sempre durante la misurazione dei parametri di input. Ciò che sembra essere un output casuale da un sistema dinamico è dovuto a grandi errori che possono verificarsi quando il sistema si comporta in modo caotico.

Un tempo si credeva che in un sistema deterministico, con sufficienti risorse di calcolo, saremmo sempre stati in grado di fare una previsione significativa (come una previsione meteorologica affidabile), nonostante piccoli errori nella misurazione dello stato attuale. In presenza del caos non è così.

Anche il computer più potente non ci consentirà di fare previsioni accurate basate su un sistema matematico con una dipendenza significativa dalle condizioni iniziali.

Dal nostro punto di vista, la domanda più interessante nella teoria dei frattali e del caos è come collegare insieme questi concetti. Molti frattali importanti, tra cui il fiocco di neve di Koch, il tappeto di Sierpinski e il classico insieme di Cantor discusso nel Capitolo 2, possono essere ottenuti come attrattori di sistemi di funzioni iterate (Capitolo 4). L'analisi di questi sistemi di funzioni iterate apre la strada alla costruzione di operatori caotici associati ai frattali citati (Capitolo 7).

introduzione

"Perché la geometria viene spesso chiamata "fredda" e "secca"? Una ragione è che non può descrivere la forma di una nuvola, di una montagna, di una costa o di un albero. Le nuvole non sono sfere, le montagne non sono coni, le coste non sono cerchi , la corteccia degli alberi non è liscia, i fulmini non viaggiano in linea retta. Più in generale, sostengo che molti oggetti in Natura sono così irregolari e frammentati che rispetto ad Euclide - termine che in quest'opera significa tutta la geometria standard - la Natura non ha solo maggiore complessità, ma complessità a un livello completamente diverso. Il numero delle diverse scale di lunghezza degli oggetti naturali è, a tutti gli effetti pratici, infinito.

B. Mandelbrot

Un insieme frattale - una struttura simile stessa - è uno degli oggetti "caldi" della scienza moderna.

Tali oggetti sono noti da molto tempo, ma il vero interesse per loro è apparso dopo l'attiva attività di divulgazione di Benoit Mandelbrot, che ha lavorato presso IBM.

I concetti di frattale e geometria frattale, apparsi alla fine degli anni '70, si sono affermati saldamente tra matematici e programmatori dalla metà degli anni '80. La parola frattale deriva dal latino fractus e significa costituito da frammenti. Fu proposto da Benoît Mandelbrot nel 1975 per riferirsi alle strutture irregolari ma auto-simili di cui si occupava. La nascita della geometria frattale è solitamente associata alla pubblicazione del libro di Mandelbrot “The Fractal Geometry of Nature” nel 1977. I suoi lavori utilizzarono i risultati scientifici di altri scienziati che lavorarono nel periodo 1875-1925 nello stesso campo (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff). Ma solo ai nostri giorni è stato possibile combinare il loro lavoro in un unico sistema.

L'anno 1977 può essere considerato l'inizio della rivoluzione che la geometria dei frattali produce non solo in matematica e fisica, ma anche in tutte le scienze naturali. E anche nelle scienze sociali, dove i linguisti hanno scoperto schemi frattali generali nella struttura di un’ampia varietà di lingue. E tutto questo nel giro di pochi anni! La storia della scienza non conosce tali tassi di espansione scientifica generale.

I frattali sono forme con una quantità infinita di dettagli. Quando aumentano, non diventano più semplici, ma rimangono complessi come prima dell'aumento. In natura li puoi trovare ovunque. Qualsiasi ramo di un albero, se ingrandito, assomiglia a un albero intero. Qualsiasi pietra di una montagna assomiglia a un'intera montagna. La teoria dei frattali è stata inizialmente sviluppata per studiare la natura. Ora è utilizzato in una serie di altri settori. E, naturalmente, la bellezza rende popolari i frattali!

La bellezza dei frattali è duplice: delizia l'occhio (e l'orecchio), come dimostra la mostra mondiale di immagini frattali organizzata da un gruppo di matematici guidati da Peitgen e Richter. Successivamente, i reperti di questa grandiosa mostra furono catturati nelle illustrazioni per il libro "La bellezza dei frattali". Ma esiste un altro aspetto, più astratto o sublime, della bellezza dei frattali, aperto, secondo R. Feynman, solo allo sguardo mentale di un teorico; in questo senso i frattali sono belli per la bellezza di un difficile problema matematico .

I frattali hanno un altro aspetto che li rende ancora più belli agli occhi del teorico. La struttura dei frattali è così complessa da lasciare un'impronta notevole sui processi fisici che si verificano sui frattali come media. I frattali si disperdono in modo diverso radiazioni elettromagnetiche, vibrano e suonano in modo diverso, conducono l'elettricità in modo diverso e la diffusione della materia avviene in modo diverso lungo i frattali. Sta emergendo un nuovo campo delle scienze naturali: la fisica dei frattali. I frattali stanno diventando modelli convenienti, qualcosa come problemi integrabili della meccanica classica, per descrivere processi in mezzi precedentemente considerati disordinati.

Liquido, gas, solido: tre stati della materia omogenea che esistono nel mondo tridimensionale e che ci sono familiari. Ma qual è la dimensione di una nuvola, di uno sbuffo di fumo, o meglio dei loro confini, sfumati dal turbolento movimento dell'aria? Si è scoperto che sono più di due, ma meno di tre. In modo simile, puoi calcolare le dimensioni di altri oggetti reali come una costa o la chioma di un albero. Il sistema circolatorio umano, ad esempio, ha una dimensione di circa 2,7. Tutti gli oggetti con una struttura confusa, caotica e disordinata si sono rivelati costituiti da frattali. La connessione tra caos e frattali è tutt'altro che casuale: esprime la loro profonda comunanza. La geometria frattale può essere chiamata la geometria del caos.

Con un approccio frattale, il caos cessa di essere un disordine blu e acquisisce una struttura fine. La scienza dei frattali è ancora molto giovane e ha un grande futuro davanti a sé. La bellezza dei frattali è lungi dall'essere esaurita e ci regalerà ancora molti capolavori: quelli che deliziano l'occhio e quelli che portano vero piacere alla mente.

Il ruolo dei frattali nella computer grafica oggi è piuttosto ampio. Vengono in soccorso, ad esempio, quando è necessario, utilizzando più coefficienti, definire linee e superfici di forme molto complesse. Dal punto di vista della computer grafica, la geometria frattale è indispensabile quando si generano nuvole, montagne e superfici marine artificiali. È stato infatti trovato un modo per rappresentare facilmente oggetti complessi non euclidei, le cui immagini sono molto simili a quelle naturali.

Una delle principali proprietà dei frattali è l'autosomiglianza. Nel caso più semplice, una piccola parte di un frattale contiene informazioni sull'intero frattale.

La definizione di frattale di Mandelbrot è: “Un frattale è una struttura composta da parti che sono in un certo senso simili al tutto.”

Classificazione dei frattali

Per presentare l'intera varietà dei frattali, è conveniente ricorrere alla loro classificazione generalmente accettata .

1. Frattali geometrici

I frattali di questa classe sono i più visivi. Nel caso bidimensionale si ottengono utilizzando una linea spezzata (o superficie nel caso tridimensionale), detta generatore. In un passo dell'algoritmo, ciascuno dei segmenti che compongono la polilinea viene sostituito con una polilinea generatrice, nella scala opportuna. Come risultato della ripetizione infinita di questa procedura, si ottiene un frattale geometrico.

Per ottenere un altro oggetto frattale è necessario modificare le regole di costruzione. Lascia che l'elemento formante sia costituito da due segmenti uguali collegati ad angolo retto. Nella generazione zero sostituiamo il segmento unitario con questo elemento generatore in modo che l'angolo sia in alto. Possiamo dire che con tale sostituzione si verifica uno spostamento del centro del collegamento. Quando si costruiscono le generazioni successive, viene seguita la regola: il primo collegamento a sinistra viene sostituito con un elemento formatore in modo che il centro del collegamento venga spostato a sinistra della direzione del movimento e, quando si sostituiscono i collegamenti successivi, le direzioni di lo spostamento dei centri dei segmenti deve essere alternato. .

Nella computer grafica, l'uso dei frattali geometrici è necessario per ottenere immagini di alberi, cespugli e coste. I frattali geometrici bidimensionali vengono utilizzati per creare trame tridimensionali (motivi sulla superficie di un oggetto).

2. Frattali algebrici

Questo è il più grande gruppo di frattali. Si ottengono utilizzando processi non lineari in spazi n-dimensionali.

3. Frattali stocastici

Un'altra classe ben nota di frattali sono i frattali stocastici, che si ottengono se alcuni dei suoi parametri vengono modificati casualmente in un processo iterativo. In questo caso, gli oggetti risultanti sono molto simili a quelli naturali: alberi asimmetrici, coste frastagliate, ecc. I frattali stocastici bidimensionali vengono utilizzati nella modellazione del terreno e delle superfici marine.

Esistono altre classificazioni dei frattali, ad esempio, dividendo i frattali in deterministici (algebrici e geometrici) e non deterministici (stocastici).

Qualsiasi frattale ha una forma che si ripete all'infinito. Quando si crea un frattale di questo tipo, naturalmente il modo più semplice è ripetere diverse azioni che creano questa forma. Al posto della parola "ripetizione" è possibile utilizzare il sinonimo matematico "iterazione".

Per creare un vero frattale, è necessario ripetere un numero infinito di volte. Tuttavia, quando si esegue questa operazione su un computer, le capacità sono limitate dalla velocità e dal numero di punti, quindi le iterazioni vengono eseguite più volte. Aumentare il numero di iterazioni rende i frattali più accurati.

TIPI DI ITERAZIONE

Esistono tre tipi principali di iterazione:

1. Iterazione sostitutiva: crea frattali sostituendo alcune forme geometriche con altre forme.

2. Iterazione IFS: crea frattali applicando trasformazioni geometriche (come rotazione e riflessione) a forme geometriche.

3. Iterazione delle formule: include diversi modi per creare frattali ripetendo alcune formule matematiche o più formule.

Esistono anche diversi tipi di iterazione non di base. Ad esempio, i frattali possono essere creati ripetendo il processo di piegatura della carta. Tuttavia, questi frattali possono anche essere creati utilizzando almeno uno dei tipi base di iterazione.

Iterazione di sostituzione

Un modo per creare frattali è mediante l'iterazione di sostituzione. Per fare ciò, iniziamo con una figura chiamata base. Ogni pezzo della base viene quindi sostituito con un altro pezzo chiamato motivo. Nel nuovo disegno sostituiamo nuovamente ogni parte con un motivo. Se eseguiamo queste sostituzioni un numero infinito di volte, otterremo un frattale.

Sistemi L

L'iterazione della sostituzione è molto semplice. Tutto ciò che serve è sostituire nuovamente la base con un motivo. Per un computer, però, non è sufficiente avere un'immagine della base e del motivo. Abbiamo bisogno di un modo per archiviare i dati frattali che non sprechi molta memoria in grafica e ci consenta di creare semplici algoritmi per disegnare frattali. Il metodo migliore è l-systems.). Un sistema L è una grammatica di un certo linguaggio (abbastanza semplice), che descrive l'iniziatore e la trasformazione eseguita su di esso, utilizzando strumenti simili a quelli del linguaggio Logo (una descrizione assiomatica delle figure geometriche più semplici e delle trasformazioni ammissibili sul piano e nello spazio). I sistemi a L sono stati sviluppati da A. Lindenmeyer (la "l" in " l -sistema" è la sua iniziale). Sono composti da una definizione di un angolo, un assioma e almeno una regola. Un assioma è la forma iniziale (base) utilizzata nel processo di creazione di un frattale. Le regole indicano quali simboli in l'assioma deve essere sostituito da altri simboli.

La maggior parte dei frattali con dimensioni frattali da 0 a 2 possono essere espressi utilizzando i sistemi l. La combinazione di più simboli e regole può creare frattali molto complessi. Tali sistemi a L vengono utilizzati per realizzare modelli vegetali realistici.

Iterazione della formula

L'iterazione delle formule è il tipo di iterazione più semplice, ma è la più importante e produce i risultati più complessi. Si basa sull'utilizzo di una formula matematica per modificare continuamente un numero.

Background teorico.

Ma la geometria frattale era utilizzata principalmente solo da matematici e fisici. Così è nata l'idea di utilizzare i principi della geometria frattale in biologia.

In base al fatto che I frattali nella natura inanimata riflettono il processo di distruzione (l'entropia aumenta) e nella natura vivente - il processo di creazione (l'entropia diminuisce).

I processi termodinamici nella natura vivente seguono il percorso di riduzione dell'entropia del sistema e di aumento dell'organizzazione degli oggetti. Queste proprietà sono fondamentali per vivere la natura. Altre proprietà degli esseri viventi sono la crescita e lo sviluppo. Cioè, un oggetto vivente si sviluppa gradualmente nello spazio e nel tempo, aumentando le sue dimensioni e la sua massa. (la linea costiera è il risultato della distruzione di alcuni corpi inanimati (rocce)). Cioè, sulla base di quanto sopra, abbiamo ipotizzato che i fenomeni frattali possano essere osservati nella natura vivente e possiamo provare a costruirli. Nella prima fase, abbiamo deciso di provare a rintracciare i fenomeni frattali dove essi stessi chiedono di realizzarsi. In biologia, quando si studiava la crescita delle piante, è stato identificato un modello come "ramificazione".

La ramificazione è nata durante l'evoluzione del corpo vegetale ancor prima della comparsa degli organi. Esistono diversi tipi di ramificazione: dicotomica, monopodiale, simpodiale.

A dicotomico Durante la ramificazione, il cono di crescita si biforca, formando due germogli, ciascuno dei quali a sua volta produce altri due germogli, ecc. Questa ramificazione è la più antica ed è rappresentata nei muschi club e in alcune altre piante (Figura 2). Per costruire questo tipo di ramificazione è necessario posizionarla nell'area di lavoro come mostrato in Figura 3.

(Figura 2)

(Figura 3)

A monopodiale ramificandosi, c'è una crescita apicale lunga e illimitata dell'asse principale del primo ordine - i monopodi da cui si estendono gli assi laterali più brevi del secondo e degli ordini successivi. Il loro numero dipende dalla durata della vita della pianta. Questa ramificazione è caratteristica di molte gimnosperme (abete rosso, abete, cipresso, ecc.) (Fig. 4). Il loro tronco rappresenta un asse dello stesso ordine. Per realizzare questo tipo di diramazione è necessario impostare tutti i parametri nell'area di lavoro come mostrato in Figura 5.

(Figura 4)

(Figura 5)

A simpodiale Durante la ramificazione, l'asse principale smette presto di crescere, ma sotto il suo apice inizia a crescere una gemma laterale, da cui sembra che il germoglio continui l'asse del primo ordine. Questo germoglio, a sua volta, arresta anche la crescita apicale, e poi inizia a crescere la sua gemma laterale, da cui nasce un asse del terzo ordine, ecc. Tale ramificazione è tipica della maggior parte degli alberi, arbusti, ecc. (Figura 6). Per creare questo tipo di ramificazione, è necessario impostare tutti i parametri nell'area di lavoro come mostrato nella Figura 7. La ramificazione simpodiale è evolutivamente più avanzata.

(Figura 6)

(Figura 7)

Esistono due tipi di toast, crescita primaria e crescita secondaria.

La crescita primaria avviene vicino alle radici apicali e agli steli. Inizia con la maristeia apicale ed è principalmente associata all'allungamento del corpo della pianta. Durante la crescita primaria si formano i tessuti primari, che costituiscono il corpo primario della pianta. Le piante primitive, così come molte piante vascolari moderne, sono costituite interamente da tessuti primari.

Oltre alla crescita primaria, molte piante subiscono una crescita aggiuntiva, provocando un ispessimento del fusto. Si chiama secondario ed è associato all'attività del meristema laterale, il cambio, che forma i tessuti conduttori secondari. I conduttori secondari, insieme al tessuto di sughero, costituiscono il corpo secondario della pianta.

La crescita secondaria è accompagnata da un cambiamento nel colore dello stelo. E a seconda della quantità di tessuto conduttivo secondario, il colore si scurisce.

Soluzione al problema.

L'idea è nata di provare a creare un programma con cui si potessero simulare le chiome degli alberi.

Durante il lavoro è stato creato un programma che consente di simulare rapidamente e comodamente la ramificazione. In questo programma, a differenza di altri, all'aumentare del numero di iterazioni, la struttura diventa più complessa non schiacciando strutture simili in se stessa, ma dispiegando strutture simili dai punti di crescita. Pertanto, in questo caso, possiamo considerare il numero di iterazioni come l'età dell'impianto. Una caratteristica distintiva del programma è la sua interfaccia user-friendly. A differenza di altri programmi, non è necessario inserire i dati sotto forma di formula, ma costruire visivamente un'unica struttura.

Nel mio lavoro ho utilizzato il metodo geometrico per costruire i frattali, poiché è il più conveniente per costruire immagini della corona. Le immagini vengono costruite man mano che crescono.

Una differenza significativa tra il mio programma e programmi di questo tipo è l'uso di un'interfaccia user-friendly. Questa interfaccia è comoda perché è facile per l'utente inserire tutti i dati necessari.

In questo programma ho utilizzato una chiamata ricorsiva alla procedura per costruire una singola figura.

L'algoritmo del programma è il seguente:

L'utente specifica una singola cifra, la posizione dei germogli di crescita, l'angolo di inclinazione, il numero di generazioni e il grado di riduzione della cifra successiva.

Tutti questi dati vengono quindi scritti in un array.

Il programma costruisce una singola figura con un dato angolo. Determina dove sono i punti di crescita. Costruisce la figura successiva da questo punto un numero specificato di volte. La dimensione della figura è inferiore a quella iniziale di un numero di volte specificato. Inoltre, ogni nuova figura differisce nel colore dalla precedente. Il colore dell'ultima riga è verde brillante quindi, con molte iterazioni, simula le foglie che si trovano effettivamente all'estremità dei rami. La velocità di costruzione dipende dal numero di iterazioni, quindi dovresti inserire un valore non superiore a 10.

Conclusione

L'attrattiva del compito di costruire immagini frattali non risiede solo nel fatto che queste immagini sono molto belle, ma anche nel fatto che sono costruite utilizzando semplici algoritmi.

Nel mondo reale non troveremo forme geometriche che corrispondano ai canoni della geometria euclidea, il cui principio geometrico fondamentale risulta essere il frattale. Combinando l’idea di frattalità con l’idea di casualità formativa, la geometria moderna ha fatto un gigantesco salto di qualità. Per la prima volta nella sua storia, la matematica è stata in grado di riflettere correttamente il mondo in tutta la sua diversità. forme complesse, senza ricorrere a pile a più livelli di strutture intellettuali sempre più astratte e artificiali. A questo proposito, è particolarmente significativo il modo in cui la geometria frattale dipinge il mondo. Qui l'uomo ha imparato a creare una varietà di forme geometriche come la natura stessa. Cominciamo con esso solo sullo schermo del display.

Inoltre, i modelli di crescita frattale sono rapidamente andati oltre la computer grafica. Si sono rivelati straordinariamente produttivi in ​​molte aree della fisica e della chimica. Pertanto, apportano chiarezza teorica a molti problemi legati alla resistenza dei materiali. Anche il misterioso fenomeno dei fulmini globulari è stato modellato su strutture frattali costituite da fili sottili. All'interno, il comportamento di questa struttura è simile al comportamento dei fulmini globulari volanti. Se il modello materiale è così efficace, l'efficacia delle idee sulla struttura frattale dei fulmini globulari stessi ne deriva direttamente.

In questo lavoro, insieme alla scienza dei nostri giorni, ho cercato di padroneggiare un certo tipo di descrizione geometrica della natura: il frattale. Le prospettive di lavoro in questo campo sono infinite, proprio come la natura stessa.

LIBRI USATI

S. K. Abachiev Concetto di scienza naturale moderna. Balashikha-1998.

R. Baas, M. Vervay, H. Günther Delfi 5: per gli utenti: trad. con lui. - Gruppo editoriale BHV, 2000

G. P. Yakovlev, V. A. Chelombitko Botanica. M.1990

Http://library.thinkquest.org/26242/russian/tutorial/tutorial.html

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Trascrizione

1 Richard M. Kronover FRATTALI E CAOS NEI SISTEMI DINAMICI. BASI DI TEORIA. Traduzione dall'inglese di T. E. Krenkel e A. L. Soloveichik, a cura di T. E. Krenkel Raccomandato dall'UMO nel campo dell'elettronica e della matematica applicata come libro di testo per gli studenti che si specializzano in "Matematica applicata" POSTMARKET MOSCA 2000

14:00 Kronover. Frattali e caos nei sistemi dinamici. Nozioni di base della teoria. Mosca: Postmarket, p. Revisori: Dipartimento di Teoria della Probabilità e Matematica Applicata, Università Tecnica delle Comunicazioni e dell'Informatica di Mosca; Professore B. Yu. Sternin. Il primo libro di testo completo sulla nuova disciplina matematica in rapido sviluppo è stato finora pubblicato solo in russo come monografia. Esercizi e algoritmi ben scelti rendono il libro un ottimo strumento per studenti universitari e laureati, specialisti nelle applicazioni di questa teoria in vari campi dalla biologia alla linguistica. Introduzione ai frattali e al caos Richard M. Crownover Università del Missouri-Columbia Jones and Bartlett Publishers Boston Londra EDIZIONE ORIGINALE IN LINGUA INGLESE PUBBLICATA DA Jones and Bartlett Publishers, Inc. 40 Tall Pine Drive, Sudbury, MA COPYRIGHT 1995 TUTTI I DIRITTI RISERVATI 1999 Traduzione in russo, ZAO Postmarket Enterprise ISBN

3 Indice Prefazione 5 1. Introduzione Cosa sono i frattali e il caos? Background t Frattali classici Autosimilarità del sistema L Polvere di Cantor Curve di Peano Insiemi e mappature Preliminari alla teoria degli insiemi Spazi metrici Mappature compressive Trasformazioni affini Metrica di Hausdorff I Sistemi di funzioni iterate Sistemi di funzioni iterate Implementazione di SIF SIF con condensazione Dimensione Collages Dimensione Minkowski Calcolo delle dimensioni Dinamica caotica I Attrattore Lorentz Mappature iterate Universalità di Feigenbaum Periodicità di Sharkovsky Caos 169

4 4 Indice 7. Dinamica caotica II Dipendenza essenziale Dinamica simbolica Caos e frattali Lifting Shading Algoritmo SIF randomizzato Dinamica complessa Insiemi di Julia Orbite in insiemi di Julia Insieme di Mandelbrot Insiemi di Julia e caos Problema di Cayley Frattali casuali Perturbazioni casuali Movimento browniano Spostamento mediano Movimento browniano frattale Spostamento mediano e FUP 27S 9.6. Analisi di Fourier FBD Filtraggio di Fourier 28S A. Informazioni aggiuntive dall'analisi 297 AL. Completezza e compattezza 297 A.2. Mappature continue di ZOS A.Z. Metrica di Hausdorff II SOE A.4. Dimensione topologica 311 A.5. Dimensione Hausdorff 317 A.6. Trasformata veloce di Fourier 32C B. Teoria della rinormalizzazione e frattali di Poincaré 32E B.1. Teoria della rinormalizzazione 321 B.2. Frattali di Poincaré ZZS Riferimenti 341 Indice degli argomenti 34

5 Prefazione Sembrerebbe che due oggetti matematici così diversi come i frattali e il caos dovrebbero essere studiati indipendentemente l'uno dall'altro: dopo tutto, la teoria dei frattali si basa sulla geometria e sulla teoria delle dimensioni, e la teoria del caos è uno sviluppo della teoria dei sistemi dinamici. D'altra parte, esiste una certa relazione tra loro, che spesso si perde nei dettagli della presentazione di ciascuna teoria. Questo libro, in primo luogo, è un corso introduttivo alla teoria dei frattali e alla teoria del caos e, in secondo luogo, esamina la questione di come alcuni frattali (attrattori di sistemi di funzioni iterate) possano generare caos. I capitoli 2-5 trattano una serie di idee e concetti importanti associati ai frattali deterministici: autosimilarità, sistemi di funzioni iterate e dimensione. Qui vengono descritti anche i sistemi a L, il cui utilizzo facilita notevolmente la costruzione grafica, soprattutto nel caso di frattali che nella forma ricordano le piante. La presentazione della teoria del caos deterministico è divisa in due capitoli. Il capitolo 6, “Dinamiche caotiche I”, introduce l’argomento a un livello elementare, con concetti complessi come le dinamiche simboliche trattati principalmente attraverso esempi. Il capitolo 7, “Dinamica caotica dell’io”, è in gran parte destinato a studenti con un buon background matematico e può essere omesso se si intende semplificare il corso. D’altronde è qui che si manifesta la relazione tra frattali e caos sopra menzionata. Il capitolo 8, “Dinamiche complesse”, sugli insiemi di Julia e Mandelbrot, è scritto in uno stile semplificato. I risultati basati su teoremi complessi della teoria delle funzioni di una variabile complessa non sono dimostrati, ma sono adeguatamente evidenziati e utilizzati intensamente. Oltre ai risultati della teoria delle funzioni di una variabile complessa, la presentazione copre molte domande importanti, ad esempio la questione se l'insieme di Julia sia connesso o completamente discontinuo, la cui risposta è data dall'insieme di Mandelbrot.

6 6 Prefazione Un altro approccio, non meno importante per la comprensione, è sviluppato nel Capitolo 9, dedicato ai frattali casuali, in particolare al moto browniano frattale. Tali generalizzazioni del moto browniano classico sono ampiamente utilizzate nella modellizzazione dei fenomeni naturali. In linea di principio, il materiale contenuto in questo capitolo può essere letto in qualsiasi momento dopo il capitolo sulla dimensionalità. Il libro si basa su un corso semestrale che ho tenuto negli anni all'Università del Missouri-Columbia. Gli ascoltatori erano principalmente studenti specializzati in matematica, scienze naturali, specialità tecniche e alcune altre discipline. Ho consigliato loro di frequentare prima il corso avanzato analisi matematica e algebra lineare, ma di solito ammettevano alle classi studenti interessati che avevano una certa esperienza nella ricerca matematica, sia pura che Matematica applicata. In contrasto con il formato tradizionale di molti corsi di matematica, prova di teorema-esempio-problema gioca un ruolo importante nello studio dei frattali e del caos. modellazione informatica. In effetti, la maggior parte degli studenti apprende per la prima volta l'esistenza dei frattali vedendo immagini straordinarie sullo schermo di un computer. Questo libro propone l'uso combinato di esperimenti informatici e teoria, per i quali sono inclusi venti algoritmi informatici. Questi algoritmi sono forniti in forma generalizzata, cioè indipendentemente dalla sintassi di qualsiasi linguaggio specifico. Secondo la mia esperienza, non esiste un linguaggio di programmazione o un pacchetto software adatto a tutti. Gli studenti con cui ho interagito programmavano in Pascal, C, C++, Fortran, Matlab e Mathematica. Uno dei migliori software per sperimentare con i frattali è il programma Fractint disponibile gratuitamente. Ti consente di costruire una varietà di frattali e funziona in modo notevolmente rapido. Gran parte del materiale necessario per lo studio dei frattali e del caos è incluso nel testo principale del libro. Viene brevemente trattata un'introduzione alla teoria degli insiemi, alle trasformazioni affini, agli spazi metrici, agli insiemi di Cantor e alle curve di Peano. Ad eccezione del materiale del capitolo sette, il libro contiene solo poche dimostrazioni che richiedono una preparazione seria al livello di un corso avanzato di calcolo infinitesimale. Tali prove sono contrassegnate

7 liptirutjiuaut - i con un segno (*). Possono essere omessi, ma si raccomanda agli studenti di memorizzare le enunciazioni dei teoremi. Altri paragrafi più complessi sono inclusi in appendice. R. Di conseguenza, il libro può essere utilizzato come base per corsi di vari gradi di complessità. Un resoconto che si attiene ai capitoli 1-6 e 8-9, cioè esclude il capitolo 7, "Chaotic Dynamics II", e si rivolge ad agg. Solo a scopo di riferimento, è consigliato come corso elementare. In diversi semestri sono riuscito a leggere parte del settimo capitolo e paragrafi selezionati dell'appendice. E, in particolare, dedicato alla metrica di Hausdorff e alla dimensione di Hausdorff, ma solo a costo di saltare o accelerare lo studio di parte del materiale precedente. Le immagini in bianco e nero presenti in questo libro sono stampate utilizzando il sottosistema grafico Postscript. Molte delle immagini sono state create in Matlab, che è particolarmente utile per costruire curve nello spazio tridimensionale. Matlab è adatto anche per programmare e visualizzare sistemi L (Sezione 2.2), diagrammi a ragno (Capitolo 6) e moto browniano frattale (Capitolo 9). Le immagini che richiedevano il riempimento delle aree delimitate dalle curve sono state ottenute utilizzando il pacchetto Mathematica. Le immagini che richiedevano grafica bitmap (un dato pixel in un dato momento per determinarne il colore, nero o bianco) sono state generate in Fortran e quindi convertite il file di output in formato Postscript. In questo modo è stata ottenuta una rappresentazione grafica dei sistemi di funzioni iterate del capitolo quarto e delle dinamiche complesse dell'ottavo capitolo. Gli inserti colorati sono stati realizzati utilizzando il programma Practint. Vorrei esprimere la mia gratitudine per la fruttuosa comunicazione ai miei colleghi, che sono anche interessati alla teoria del caos, ai frattali e alla matematica associata a questi concetti. Innanzitutto, vorrei ringraziare J. Keller, che mi ha introdotto ai frattali nel 1984 quando aveva bisogno di aiuto con un progetto di ricerca sui frattali, e il suo studente laureato S. Chen, che ha una notevole padronanza dell'argomento. Successivamente ho imparato molto dalle vivaci discussioni con K. Ahlbrandt, C. Chicone, D. Petty, P. Pfeiffer e P. Spekman. Sono grato a R. Delaware per i suoi appunti delle lezioni sul teorema di Sharkovsky, e a P. Hagerty, che fu mio studente nel 1993, per la sua assistenza professionale nella creazione delle illustrazioni di Mathematica.

8 8 Prefazione Mille ringraziamenti a E. Beltrami, A. C. Cliney, R. W. Easton e M. J. Field, R. D. Neidinger, A. Norton e K. Short, che hanno revisionato il manoscritto. Le loro critiche e i loro suggerimenti ponderati hanno indubbiamente avuto un influsso positivo sull’edizione finale. Sono molto grato a C. Hesler, Jr., vicepresidente della Jones and Bartlett Publishers, per il suo energico aiuto nella produzione di questo libro di testo. Mille grazie a P. Carroll e M. Cervantes della Jones and Bartlett Publishers, e a M. Finley del Printing Department, per il loro lavoro nella produzione del libro. Desidero ringraziare in particolare mia moglie Mary per la sua pazienza e il suo sostegno durante la stesura di questo libro.

9 Capitolo 1. Introduzione 1.1. Cosa sono i frattali e il caos? Un tempo, alla maggior parte delle persone sembrava che la geometria in natura fosse limitata a figure semplici come la linea, il cerchio, la sezione conica, il poligono, la sfera, la superficie quadratica e le loro combinazioni. Ad esempio, cosa potrebbe esserci di più bello dell'affermazione che i pianeti del nostro sistema solare si muovono attorno al sole su orbite ellittiche? Questa straordinaria legge è uno dei tre postulati del moto planetario formulati da Giovanni Keplero sulla base delle osservazioni e delle misurazioni effettuate da Tycho Brahe. Successivamente, Sir Isaac Newton derivò la legge dell'inverso del quadrato per l'attrazione gravitazionale come soluzione a qualche equazione differenziale, dalla cui soluzione derivano le leggi di Keplero. In questo e in altri casi, quando l’applicazione di semplici modelli geometrici ha avuto successo, ha portato a enormi risultati scientifici. Tuttavia, molti sistemi naturali sono così complessi e irregolari che utilizzare solo oggetti familiari della geometria classica per modellarli sembra senza speranza. Come si può, ad esempio, costruire un modello di una catena montuosa o di una chioma di alberi in termini di geometria? Come descrivere la diversità delle configurazioni biologiche che osserviamo nel mondo delle piante e degli animali? Immagina la complessità del sistema circolatorio, costituito da molti capillari e vasi e che fornisce sangue a ogni cellula del corpo umano. Immagina con quanta intelligenza sono disposti i polmoni e le gemme, che ricordano nella struttura gli alberi con una corona ramificata. Le dinamiche dei sistemi naturali reali possono essere altrettanto complesse e irregolari. Come affrontare la modellazione di cascate o processi turbolenti che determinano il tempo? Quale matematica è responsabile dei ritmi del cuore e del cervello?

10 10 Capitolo 1 I Introduzione Il cervello osservato nell'elettrocardiogramma e nell'encefalogramma, soprattutto per quegli attacchi improvvisi di aritmia che possono causare un malfunzionamento del cuore? È possibile descrivere matematicamente il verificarsi improvviso di un’ondata di panico nei mercati finanziari o addirittura costruire un modello matematico del comportamento sociale? I frattali e il caos matematico sono mezzi adatti per esplorare le domande poste. Il termine frattale si riferisce ad alcune configurazioni geometriche statiche, come l'istantanea di una cascata. Caos è un termine dinamico usato per descrivere fenomeni simili al comportamento meteorologico turbolento. Questo libro è un'introduzione alla matematica dietro questi concetti. Si presume che dopo aver padroneggiato i metodi qui delineati, il lettore sarà in grado di passare allo studio delle applicazioni da fonti specializzate 1. Ad esempio, la ricerca mostra che in fisiologia esiste sia il caos “buono” che il caos “cattivo”. Negli esperimenti con i gatti, è stato osservato che l'aspetto dell'elettrocardiogramma effettuato prima e dopo la somministrazione di cocaina cambia da una sequenza regolare di picchi elevati seguiti da piccoli picchi ad una sequenza altamente irregolare, che potrebbe indicare un attacco di aritmia. D'altra parte, il modello dell'elettroencefalogramma cambia da irregolare e imprevedibile a molto più fluido. Vedi anche l'analisi del possibile ruolo del caos nello sviluppo delle malattie cardiache. Spesso ciò che osserviamo in natura ci incuriosisce con la ripetizione infinita dello stesso schema, aumentato o diminuito quante volte lo desideriamo. Ad esempio, un albero ha rami. Su questi rami ci sono rami più piccoli, ecc. In teoria l'elemento "forchetta" si ripete all'infinito, diventando sempre più piccolo. La stessa cosa si può vedere guardando una fotografia di un terreno montuoso. Prova a ingrandire leggermente la catena montuosa e vedrai di nuovo le montagne. Ingrandisci ulteriormente e sarai comunque in grado di vedere quelle che sembrano montagne, grazie alla tua capacità (statistica) di distinguere il tipo di oggetto nell'immagine. È così che si manifesta la proprietà di autosimilarità caratteristica dei frattali (Sezioni 2.1 e 5.1). : Sugli attrattori strani, sulle dinamiche caotiche e sulle “strade verso il caos” vedi. Qui e sotto ci sono le note delle sottopagine dei traduttori.

11 1.1 Cosa sono i frattali e il caos? 11 Gran parte del lavoro sui frattali utilizza l'autosimilarità come proprietà determinante. Seguendo Benoit Mandelbrot, accettiamo l'idea secondo cui i frattali dovrebbero essere definiti in termini di dimensione frattale (Capitolo 5). Da qui deriva la parola frattale. Il concetto di dimensione frazionaria è un concetto molto complesso, che presenteremo in più fasi. Una linea retta è un oggetto unidimensionale e un piano è bidimensionale. Come vedremo in seguito, torcendo a fondo una retta o un piano, è possibile aumentare la dimensione della configurazione risultante; in questo caso, la nuova dimensione sarà solitamente frazionaria in un certo senso, cosa che dobbiamo chiarire. La connessione tra dimensione frazionaria e autosimilarità è che con l'aiuto dell'autosimilarità è possibile costruire un insieme di dimensione frazionaria nel modo più semplice (Sezione 2.1). Anche nel caso di frattali molto più complessi, come il confine dell'insieme di Mandelbrot (Sezione 8.3), quando non c'è pura autosimilarità, si ha una ripetizione quasi completa della forma base in una forma sempre più ridotta. In inglese, il caos è solitamente definito come uno stato di completo disordine o confusione. Alcuni dizionari utilizzano il concetto di uno stato in cui governa il caso. Il termine caos in matematica è usato in senso stretto. Sebbene non esista una definizione universale di caos matematico, sembra esserci un completo accordo sul fatto che qualsiasi tipo di caos ha la proprietà dell’imprevedibilità. Questa proprietà è chiamata dipendenza essenziale dalle condizioni iniziali (Sezione 6.5). Stranamente, non equivale a un comportamento casuale. In effetti, il caos matematico è una caratteristica dei sistemi dinamici deterministici. Pertanto, le fluttuazioni osservate in uno stato di caos sembrano solo casuali; i loro valori sono completamente predeterminati dai parametri di input. Ma in pratica non disponiamo mai di informazioni assolutamente precise sulle condizioni iniziali. Errori, anche se insignificanti, si verificano sempre durante la misurazione dei parametri di input. Ciò che sembra essere un output casuale da un sistema dinamico è dovuto a grandi errori che possono verificarsi quando il sistema si comporta in modo caotico. Una volta si credeva che in un sistema deterministico, date risorse di calcolo sufficienti, siamo sempre dentro

12 in grado di fare una previsione significativa (ad esempio, fornire una previsione meteorologica affidabile), nonostante piccoli errori nella misurazione dello stato attuale. In presenza del caos non è così. Anche il computer più potente non ci consentirà di fare previsioni accurate basate su un sistema matematico con una dipendenza significativa dalle condizioni iniziali. Dal nostro punto di vista, la domanda più interessante nella teoria dei frattali e del caos è come collegare insieme questi concetti. Molti frattali importanti, tra cui il fiocco di neve di Koch, il tappeto di Sierpinski e il classico insieme di Cantor discusso nel Capitolo 2, possono essere ottenuti come attrattori di sistemi di funzioni iterate (Capitolo 4). L'analisi di questi sistemi di funzioni iterate apre la strada alla costruzione di operatori caotici associati ai frattali citati (capitolo 7).. Contesto È interessante notare che la comparsa dei frattali (a cui non è stato ancora assegnato questo nome) nella letteratura matematica risale a circa un centinaio di anni fa. fa è stato accolto con sfortunata ostilità, come ciò è accaduto nella storia dello sviluppo di molte altre idee matematiche. Un famoso matematico, Charles Hermite, li soprannominò addirittura mostri. Almeno il consenso generale li riconosceva come una patologia di interesse solo per i ricercatori che abusano delle mode matematiche, e non per i veri scienziati. Come risultato degli sforzi di Benoit Mandelbrot, questo atteggiamento cambiò e la geometria frattale divenne una scienza applicata rispettata. Mandelbrot coniò il termine frattale basandosi sulla teoria della dimensione frattale (frazionaria) di Hausdorff, proposta nel 1919. Molti anni prima della pubblicazione del suo primo libro sulla geometria frattale, Mandelbrot iniziò a ricercare l'aspetto dei mostri e di altre patologie in natura. Trovò una nicchia per i poco raccomandabili insiemi di Cantor, le curve di Peano, le funzioni di Weierstrass e le loro numerose variazioni, che erano considerate senza senso. Lui e i suoi studenti hanno scoperto molti nuovi frattali, come il movimento browniano frattale per modellare paesaggi forestali e montani, fluttuazioni del livello dei fiumi e battiti cardiaci. Con la sua pubblicazione

13 1.2 Background 13 libri Le applicazioni della geometria frattale iniziarono ad apparire come funghi dopo la pioggia. Ciò ha interessato sia molte scienze applicate che la matematica pura. Anche il settore cinematografico non è stato escluso. Milioni di persone hanno ammirato il paesaggio montano nel film "Star Migration II: L'ira di Khan", costruito utilizzando i frattali. Il matematico francese Henri Poincaré iniziò la ricerca sulle dinamiche non lineari intorno al 1890, portando alla moderna teoria del caos. L'interesse per l'argomento aumentò notevolmente quando Edward Lorenz, un modellatore meteorologico non lineare, scoprì nel 1963 che le previsioni meteorologiche a lungo termine erano impossibili. Lorenz ha osservato che anche piccoli errori nella misurazione dello stato attuale delle condizioni meteorologiche possono portare a previsioni completamente errate sulle condizioni meteorologiche future. Questa dipendenza essenziale dalle condizioni iniziali è alla base della teoria matematica del caos. Le traiettorie delle particelle del moto browniano, studiate da Robert Brown già nel 1828 e da Albert Einstein nel 1905, sono un esempio di curve frattali, sebbene la loro descrizione matematica non sia stata data fino al 1923 da Norbert Wiener. Nel 1890 Peano costruì la sua famosa curva, una mappatura continua che trasforma un segmento in un quadrato e, quindi, ne aumenta la dimensione da uno a due. Il confine del fiocco di neve di Koch (1904), le cui dimensioni sono d e 1,2618, è un'altra curva di aumento delle dimensioni ben nota. Un frattale, per nulla simile a una curva, che Mandelbrot chiamò polvere è il classico insieme di Cantor (1875 o precedente). Questo insieme è così scarso che non contiene intervalli, ma ha comunque lo stesso numero di punti dell'intervallo. Mandelbrot usò tale “polvere” per modellare il rumore stazionario nella telefonia. La polvere frattale di un tipo o dell'altro appare in numerose situazioni. In effetti, è un frattale universale nel senso che qualsiasi frattale, attrattore di un sistema di funzioni iterate, è polvere frattale o la sua proiezione su uno spazio di dimensione inferiore. Vari frattali simili ad alberi sono stati utilizzati non solo per modellare le piante, ma anche l'albero bronchiale (rami portatori d'aria nei polmoni), la funzione renale e il sistema circolatorio.

14 14 Capitolo 1 / Introduzione ecc. È interessante notare l'ipotesi di Leonardo da Vinci secondo cui tutti i rami di un albero ad una data altezza, se sommati insieme, hanno lo stesso spessore del tronco (sotto il loro livello). Ciò implica un modello frattale per la chioma dell'albero sotto forma di superficie frattale. Molte proprietà notevoli dei frattali e del caos vengono rivelate studiando le mappature iterate. In questo caso, iniziano con una funzione y = f(x) e considerano il comportamento della sequenza /(x), /(/(x)), /(/(/(x))),... In Sul piano complesso, lavori di questo tipo risalgono, a quanto pare, al nome di Cayley, che indagò il metodo di Newton per trovare la radice applicato a funzioni complesse, e non solo reali (1879). Notevoli progressi nello studio delle mappature complesse iterate furono compiuti da Gaston Julia e Pierre Fatou (1919). Naturalmente tutto è stato fatto senza l'ausilio della computer grafica. In questi giorni molti hanno già visto poster colorati raffiguranti i set di Julia e il set di Mandelbrot, a loro strettamente correlato. È naturale iniziare a padroneggiare la teoria matematica del caos con mappature iterate. Lo studio dei frattali e del caos apre meravigliose possibilità, sia nello studio di un'infinità di applicazioni, sia nel campo della matematica pura. Ma allo stesso tempo, come spesso accade nella cosiddetta nuova matematica, le scoperte si basano sul lavoro pioneristico dei grandi matematici del passato. Sir Isaac Newton lo capì quando disse: “Se ho visto più lontano degli altri, è perché sono salito sulle spalle di giganti”.

15 Capitolo 2. Frattali classici 2.1. Autosimilarità Dividiamo un segmento di linea in N parti uguali. Allora ogni parte può essere considerata una copia dell'intero segmento, ridotta di 1/r volte. Ovviamente N e r sono legati dalla relazione Nr = 1 (Fig. 2.1). Se il quadrato è diviso in N quadrati uguali (con un'area 1/g 2 volte inferiore all'area dell'originale), allora il rapporto verrà scritto come Nr 2 = 1. Se il cubo è diviso in N cubi uguali (con un volume 1/g 3 volte inferiore al volume originale), allora la relazione assumerà la seguente forma: iw 3 = 1. Si noti che la dimensione d di un oggetto, sia esso un segmento unidimensionale, quadrato dimensionale o un cubo tridimensionale, appare come una potenza r nella relazione tra JV, il numero di sottooggetti uguali e il coefficiente di similarità r. Vale a dire: Nr d = 1. (2.1) Gli insiemi costruiti in Fig. 2.1, hanno dimensione intera. Chiediamoci se sia possibile una tale costruzione in cui l'esponente d nell'uguaglianza (2.1) non sia intero, cioè tale che quando l'insieme originale è partizionato in N sottoinsiemi disgiunti ottenuti scalando l'originale con un fattore r, il valore di d non sarà espresso come numero intero. La risposta, come vedremo, è un sonoro sì! Un tale insieme è chiamato frattale autosimile. Il valore d è chiamato dimensione frattale (frazionaria) o dimensione di somiglianza. Un'espressione esplicita per d in termini di N e r si trova prendendo il logaritmo di entrambi i membri della (2.1): il logaritmo può essere portato a qualsiasi base positiva diversa dall'unità, ad esempio in base 10 o base e «2,

16 16 Capitolo 2 / Frattali classici e o o o N=3 r=1/3 d=l N=9t=l/3d=2 / N=27 g=sq d=3 Fig Relazione tra dimensione e coefficiente di somiglianza Un tipo più generale Self -frattali simili sono discussi a pag. Un frattale può ancora essere un'unione di sottoinsiemi disgiunti ottenuti scalando l'originale, ma i coefficienti di somiglianza non sono più necessariamente gli stessi per tutti i sottoinsiemi. In questo caso la formula per la dimensione (2.2) non è applicabile. Il termine frattale fu introdotto per la prima volta nel 1975 da Benoit Mandelbrot, un pioniere nel campo della geometria frattale.1 Molte idee matematiche presero forma molto prima, nel XIX secolo, nei lavori di Georg Cantor, Karl Weierstrass, Giuseppe Peano e altri. Il concetto di dimensione frattale (frazionaria) apparve nel 1919 nel lavoro di Felix Hausdorff. Tuttavia, fu Mandelbrot a riunire queste idee e ad avviare lo studio sistematico dei frattali e delle loro applicazioni. Nel 5° capitolo e appendice. A.5 verrà fornita una presentazione matematica rigorosa delle questioni relative alla dimensione frazionaria. Inoltre, il termine frattale deriva da Verbo latino frangere rompere e l'aggettivo fractus frazionario.

17 2.1 Autosimilarità 17 Fiocco di neve di Fig Koch Va tenuto presente che il concetto di frattale è ancora in fase di sviluppo e diverse fonti possono utilizzare definizioni diverse. Nota qui che alcuni insiemi di dimensione intera sono anche frattali, come segue dalla nostra definizione. Koch del fiocco di neve. Il confine di un fiocco di neve, inventato da Helg von Koch nel 1904 (Fig. 2.2), è descritto da una curva composta da tre frattali identici di dimensione d "1.2618. Ogni terzo del fiocco di neve è costruito iterativamente, partendo da un lato del triangolo equilatero. Sia KQ il segmento iniziale. Rimuoviamo il terzo medio e aggiungiamo due nuovi segmenti della stessa lunghezza, come mostrato in Fig. Chiamiamo l'insieme risultante K\. Ripetiamo questa procedura più volte, sostituendo ad ogni passaggio il terzo centrale con due nuovi segmenti. Indichiamo con Kn la cifra ottenuta dopo l'ennesimo passo. È intuitivamente chiaro che la sequenza di curve (K n )^=i converge a una curva limite K. Condurremo uno studio matematico rigoroso della convergenza di tali sequenze di curve e altri insiemi nella Sezione 3.5 e nell'App. A.Z. Per ora assumiamo che la curva K esista e consideriamo alcune delle sue proprietà.

18 18 Capitolo 2 / Frattali classici (a) (b) (c) (d) Fig a) Ko, b) K e c) K 2, d) K 3, Se prendi una copia di K, ridotta di tre volte (g = 1/3), allora l'intero insieme K può essere composto da N = 4 di tali copie. Di conseguenza, la relazione di autosimilarità (2.1) è soddisfatta per gli LG e r indicati, e la dimensione del frattale sarà:

19 2.1 VaMonododue 1U Fig Teorema del tappeto di Sierpinski Il confine di un fiocco di neve di Koch ha lunghezza infinita. Prova. È sufficiente mostrare che ciascuno dei tre frattali identici K ottenuti per iterazioni (Fig. 2.3) ha una lunghezza infinita. Lascia che il segmento originale abbia una lunghezza unitaria. Allora la lunghezza della curva K\ è 4/3. La lunghezza della curva K2 è 4 2 /3 2. Continuando in questo modo, abbiamo che la curva K n dopo l'n-esimo passo ha lunghezza 4"/3". Di conseguenza la lunghezza della curva limite K è pari a infinito: lira 4 n /3 n = 00. Tappeto Sierpinski. Un altro esempio di frattale semplice autosimilare è il tappeto Sierpinski (Fig. 2.4), inventato dal matematico polacco Waclaw Sierpinski nel 1915. Il termine stesso tappeto (guarnizione) appartiene a Mandelbrot. Nel metodo di costruzione seguente, iniziamo con una determinata regione ed eliminiamo in sequenza le sottoregioni interne. Successivamente considereremo altri metodi, in particolare quelli basati sui sistemi L (Sezione 2.2), nonché quelli basati su sistemi di funzioni iterate (Capitolo 4). Sia l'insieme iniziale SQ un triangolo equilatero insieme alla regione che racchiude. Dividiamo SQ in quattro

20 20 Capitolo 2 / Frattali classici Fig. Costruzione di un tappeto di Sierpinski con aree triangolari più piccole collegando i punti medi dei lati del triangolo originale con segmenti. Togliamo l'interno della piccola area triangolare centrale. Chiamiamo l'insieme rimanente S\ (Fig. 2.5). Ripetiamo quindi il procedimento per ciascuno dei tre triangoli rimanenti e otteniamo la seguente approssimazione 5d. Proseguendo in questo modo si ottiene una sequenza di insiemi annidati S n, la cui intersezione forma il tappeto 5. Dalla costruzione risulta chiaro che l'intero tappeto è un'unione di N 3 copie sostanzialmente disgiunte dimezzate; coefficiente di similarità r = 1/2 (sia in orizzontale che in verticale). Pertanto, 5 è un frattale autosimile con dimensione: d = log(3)/log(2) “1.5850. Ovviamente, l'area totale delle parti espulse durante la costruzione è esattamente uguale all'area del triangolo originale. Nel primo passaggio abbiamo scartato 1/4 dell'area. Nel passaggio successivo, abbiamo eliminato tre triangoli, ciascuno con un'area pari a 1/4 2 dell'area di quello originale. Ragionando in questo modo, siamo convinti che la quota totale dell'area scartata fosse: 1/4 + 3(1/4 2) (1/4 3) + + 3 + Tale importo è pari a 1 (Es. 4 a la fine di questa sezione). Possiamo quindi affermare che il restante insieme S, cioè il tappeto,

21 2.2 Autosimilarità 21 ha un'area di misura zero. Ciò rende S un insieme “perfetto”, nel senso che divide il suo complemento in un numero infinito di regioni triangolari, pur avendo spessore zero. La spugna di Menger. Esistono anche analoghi tridimensionali dei tappeti. Seguendo Mandelbrot chiamiamo questi insiemi spugne. La spugna mostrata in Fig. 2.6, è chiamata spugna di Menger, dal nome di Carl Menger. Questo è un frattale autosimile con N = 20 e r = 1/3. La sua dimensione è: d = log(20)/ log(3) * 2.7268. Una tale spugna ha un volume di misura zero. Lasciamo al lettore i dettagli di costruzione e analisi. Esercizi Determina la dimensione frattale (dimensione di somiglianza) dei frattali costruiti come mostrato in Fig. Determina la dimensione frazionaria (dimensione di somiglianza) dei frattali costruiti come indicato in Fig. Costruisci un frattale diverso dal frattale in Fig. 2.8(a), ma della stessa dimensione. 4. Dimostrare che la somma delle aree dei triangoli scartati durante la costruzione del tappeto Sierpinski è uguale all'area del triangolo originale. Suggerimento: usa la relazione: 1/(1 - x) = 1 + x + x 2 -\, per x< Рассмотрим фрактал, который строится, как указано на рис Этот фрактал иногда называют пылью Серпинского. Записать бесконечный ряд для суммы площадей частей, которые были удалены при построении. Найти сумму этого ряда. 6. (Компьютерный эксперимент.) Исследовать, какая связь существует между треугольником Паскаля (состоящим из биномиальных коэффициентов) и ковром Серпинского(см. ).

22 22 Capitolo 2 / Frattali classici Fig. Costruzione della spugna di Menger (a) (b) 1 c -HI o 1, c 1 (c) (d) Fig. Costruzioni per esercizio. 1

23 2.2 Sistemi a L 23 (a) (b) Fig. Costruzioni per l'esercizio. 2 Fig. Costruzioni per il controllo dei sistemi a L Il concetto di sistemi a L, strettamente correlato ai frattali autosimilari, è apparso solo nel 1968 grazie ad Aristrid Lindenmayer. I sistemi L furono originariamente introdotti nello studio dei linguaggi formali e furono utilizzati anche nei modelli biologici di selezione. Possono essere utilizzati per costruire molti frattali auto-simili ben noti, tra cui il fiocco di neve di Koch e il tappeto di Sierpinski. Anche alcune altre costruzioni classiche, ad esempio le curve di Peano (opere di Peano, Hilbert, Sierpinski), rientrano in questo schema. E, naturalmente, i sistemi L aprono la strada a un'infinita varietà di nuovi frattali, motivo per cui sono ampiamente utilizzati nella computer grafica per la costruzione di alberi e piante frattali. Segue la nostra presentazione dei sistemi L

24 24 Capitolo 2 / Frattali classici principalmente al lavoro di Pruzinkevich e Hanan ed è limitato al caso dei sistemi a L deterministici e della grafica piana. Per l'implementazione grafica dei sistemi L, come sottosistema di output viene utilizzato il cosiddetto grafica terzile (tartaruga). In questo caso, il punto (tartaruga) si muove sullo schermo a passi discreti, solitamente tracciando il suo segno, ma se necessario può muoversi senza disegnare. Abbiamo tre parametri a nostra disposizione (x, y, a), dove (x, y) sono le coordinate della tartaruga e la direzione in cui sta guardando. La tartaruga viene addestrata a interpretare ed eseguire una sequenza di comandi dati da una parola in codice, le cui lettere si leggono da sinistra a destra. La parola in codice è il risultato del sistema L e può includere le seguenti lettere: F avanza di un passo, tracciando una traccia. b avanzare di un passo senza tracciare una traccia. [ apri ramo (vedi sotto per i dettagli) ] chiudi ramo (vedi sotto per i dettagli) + aumenta l'angolo a di un valore b diminuisce l'angolo a di un valore b La dimensione del passo e il valore di incremento lungo l'angolo b sono impostati in anticipo e rimangono invariati per tutti i movimenti della tartaruga. Se la direzione iniziale del movimento a (l'angolo misurato dalla direzione positiva dell'asse X) non è specificata, impostiamo a uguale a zero. Diversi esempi illustrano l'uso dei comandi di salto (indicati con ], [) e delle variabili ausiliarie (indicate con X, Y, ecc.). I comandi di ramificazione vengono utilizzati per costruire alberi e piante e le variabili ausiliarie rendono molto più semplice la costruzione di alcuni sistemi a L. Formalmente, un sistema L deterministico è costituito da un alfabeto, una parola di inizializzazione chiamata assioma o iniziatore e un insieme di regole generative che indicano come la parola dovrebbe essere trasformata mentre si sposta da un livello all'altro (da un'iterazione all'altra). Ad esempio, è possibile sostituire la lettera F utilizzando la regola generativa newf = F F+-f-F F, che corrisponde al sistema L per il fiocco di neve di Koch discusso di seguito. I simboli +, ], [ non vengono aggiornati, ma rimangono semplicemente nei punti in cui compaiono. Si presuppone che l'aggiornamento delle lettere in una determinata parola sia simultaneo,

25 2.2 Sistemi L 25 cioè, tutte le lettere di una parola ad un livello vengono aggiornate prima di qualsiasi lettera al livello successivo. Il sistema L corrispondente al fiocco di neve di Koch (Fig. 2.2) è definito come segue: 0 = m/3 Assioma: F++F++F Regola di generazione: newf = F F++F F Rappresentazione grafica dell'assioma F+ +F++ F è un triangolo equilatero. La tartaruga fa un passo avanti, poi l'angolo a aumenta di 2tg/3 e la tartaruga fa un altro passo avanti, l'angolo a aumenta ancora di 2tg/3 e la tartaruga fa un altro passo. Nel primo passaggio, ogni lettera F nella parola iniziale F++F++F viene sostituita da F-F++F F: (F-F++F-F)++(F-F++F-F)++( F-F++F-F). Togliendo le parentesi, otteniamo: F-F++F-F++F-F++F-F++F-F++F-F. Ripetendo questo processo, nel secondo passaggio otteniamo: F-F++F-F-F-F++F-F++F-F++F-F-F-F++F-F++ F-F++F-F-F-F++F-F ++F-F++F-F-F-F++F-F++ F-F++F-F-F-F++F-F++F-F++F-F-F-F++F-F ecc. Pseudocodice per l'iterazione delle regole dei generatori in questo il caso più semplice, quando vengono utilizzate solo le regole della forma F = newf, b = newb, assomiglia a questo: Algoritmo (L-SYSTEM) Scopo: implementa le regole F = newf, b = newb. Ingresso: assioma (parola di inizializzazione) newf (regola di generazione) newb (regola di generazione) livello (numero di iterazioni) Output: parola (parola del risultato)

26 26 Capitolo 2 / Frattali classici Inizializzazione: W = assioma n = lunghezza(w) Т = ( ) (insieme vuoto) Passi: while livello > 0 per j = 1 to n se W(j) = +,T = (T +), end if i W(j) = -,T = (T -), end if if W(j) = [,T = (T [), end if ii-w(j) = ],T = (T ]), end if if W(j) = F,T = (T newf), end if if W(j) = b,t = (T end for W = T livello = livello 1 end while parola = W newb), end if Nota: W(j) è la j-esima lettera nella parola W, (T che ha un segno + allegato. +) stringa T, a Più tardi esamineremo lo pseudo-codice corrispondente per la grafica della tartaruga in questa sezione. Alla fine di questa sezione è possibile trovare un elenco delle regole di generazione per i vari sistemi L menzionati nel testo. Il grafico in Fig. non presenta interruzioni, poiché la tartaruga si muove a passi singoli e disegna ogni volta la propria traccia. Grafici discontinui possono essere ottenuti utilizzando il comando “b” nel sistema L, ovvero il comando “muovi un passo avanti senza disegnare”. Gli esempi includono immagini di mosaici in Fig. e catene in Fig. Quando si costruiscono frattali utilizzando una sola regola di generazione, sorge la seguente difficoltà. Non possiamo cambiare la direzione di lettura della regola in alcuni passaggi, cioè leggerla non da sinistra a destra, ma da destra a sinistra. Senza risolvere questo problema, è impossibile ottenere sistemi a L per le curve di Peano, discussi nella sezione successiva.

27 2.2 Sistemi a L 27 Fig. Isola dopo 2 iterazioni Ad esempio, per costruire un frattale chiamato “drago Harter-Highway”, è necessario essere in grado di cambiare la direzione di lettura della regola di generazione mostrata in Fig. A la curva viene utilizzata come iniziatore o assioma sinistro. La regola generatrice in questo caso è di disegnare l'iniziatore prima nella direzione in avanti e poi nella direzione opposta. Un tale schema non rientra nel quadro dei sistemi L che utilizzano solo una regola generatrice. Questo problema può essere risolto inserendo due comandi diversi per andare avanti, ad esempio X e Y. Supponiamo che la tartaruga interpreti X e Y allo stesso modo, cioè come un passo avanti. Utilizzando queste due lettere, la regola generativa del drago può essere scritta come segue: assioma = X, newx = X+Y+, newy = X-Y. Non vorremmo però abbandonare l'approccio originale, in cui c'è una sola lettera F, interpretata

28 28 Capitolo 2 / Frattali classici Mosaico di fichi dopo 3 iterazioni (Patrick Hagerty) Può essere un passo avanti. Per tornare al quadro di questo approccio, considereremo le lettere X e Y come variabili ausiliarie ignorate dalla tartaruga e le sostituiremo nella regola di generazione rispettivamente con FX e FY. Otteniamo: assioma = FX, FX = FX+YF+, YF = -FX-YF. Notiamo inoltre che lo stesso risultato può essere ottenuto utilizzando le seguenti regole di generazione: assioma = FX, newf = F, newx = X+YF+, newy = -FX-Y.

29 2.2 Sistemi a L 29 Fig. Catena dopo 3 iterazioni (Yan-Xi Lo) * 3 regole che generano iniziatori Fig. Iniziatore e regola per il drago Harter-Highway

30 30 Capitolo 2 j Frattali classici Figura Drago Harter-Highway dopo 12 iterazioni Di seguito sono riportati diversi passaggi per costruire un drago utilizzando queste regole generative: 1° passaggio: FX+YF+ 2° passaggio: FX+YF++-FX-YF+ 3 1° passaggio: FX+ YF++-FX-YF++-FX+YF+ FX-YF+ 4° passaggio: FX+YF++-FX-YF++-FX+YF+ FX-YF++ -FX+YF++-FX-YF+ FX+YF+ FX- YF+ La figura mostra un drago dopo 12 iterazioni. Nota che il drago è composto da diverse parti simili. In conclusione, diamo un'occhiata all'operazione di ramificazione. Quando incontriamo il simbolo [ (ramo aperto), ricordiamo la posizione e la direzione della tartaruga, cioè le variabili (x, y, a), e torniamo a queste impostazioni in seguito. Per memorizzare terzine (x, y, a)

31 2.% L-system Fig Weed dopo 4 iterazioni viene utilizzato lo stack "x\ yx ah X2 Y2 "2 X n Up "n e i nuovi dati vengono scritti alla fine dello stack. Quando il ramo viene chiuso, alle variabili (x, y, a) vengono assegnati i valori letti dalla fine dello stack. Questi valori vengono quindi rimossi dallo stack. Pertanto, un ramo è specificato da due simboli: [ Ramo aperto. Conserva (zh, y, a) alla fine della pila. ] Chiudere il ramo. Assegna alle variabili (x, y, a) i valori letti dalla fine dello stack, quindi rimuovili dallo stack. La Figura e 2.16 mostrano frattali costruiti utilizzando l'operazione di ramificazione. Di seguito è riportato un algoritmo che permette di ottenere una rappresentazione grafica di una parola utilizzando la grafica della tartaruga.

32 32 Capitolo 2 / Frattali classici Algoritmo (GRAFICA TARTARUGA) Scopo: implementa la grafica della tartaruga per una parola in codice composta dalle lettere F, b, [, ], + e. Ingresso: parola (risultato del sistema L) in (incremento angolare) a (direzione iniziale) Uscita: rappresentazione grafica della parola. Inizializzazione: modalità grafica (vedi sotto per i dettagli) W = parola n ​​= \ength(parola) stack = ( ) (insieme vuoto) Passi: for j = 1 to n se W(j) = +, o = a + c, fine se se W(j) -, a = a 9, fine se se W(j) = F, x = x 0 + cos(o;), y = yo + sin(a), traccia una linea da il punto (ho ,уо) al punto (x, y), x 0 = x, Уо = У end if if W(j) = 6, XQ = XQ + cos(a), j/o = Уо + sin( a), end if / = lunghezza(stack), stack (I + 1,1) = XQ stack (I + 1,2)= yo stack (I + 1,3) = a end if if W(j) = ], I = lunghezza(pila), XQ = pila (/, 1) 2/o = pila (1,2) una pila (/,3)

33 2.2 Sistemi a L 33 Fig. Bush dopo 4 iterazioni, rimuovere la prima voce dallo stack end se end for È possibile scrivere un programma speciale per determinare la dimensione della finestra grafica. Per fare ciò, è sufficiente seguire esattamente gli stessi passaggi dell'Algoritmo 2.2.2, ma invece di visualizzarlo sullo schermo, è necessario tenere traccia dei valori più piccoli e più grandi di x e y. Per prima cosa impostiamo questi valori uguali a zero: xtrn xmax = O, ymin = angoli = 0. Ogni volta che appare un nuovo punto (x, y), le dimensioni della finestra vengono aggiornate: xtrn = iain(x,xmin), xmax = ma.x( x, xtah),

34 34 Capitolo 2 / Frattali classici Fico di neve dopo 3 iterazioni (Jong By Kim) ymin min(?/, ymin), utah = max.(y,ymax). I valori xmin, xmax, ymin e utah ottenuti alla fine dell'algoritmo vengono utilizzati per inizializzare la finestra di output grafica della tartaruga. Generazione di regole per sistemi L. Le regole di generazione per i sistemi L sono elencate in ordine alfabetico. Drago Harter-Heightway (Fig. 2.14): assioma = FX newf = F newx = X+YF+ newy = FX Y

35 2.2 Sistemi a L " 35 Fig Fiore dopo 3 iterazioni (Brandon Nelson) Tappeto di Sierpinski (Fig. 2.4): assioma = FXF FF FF newf = FF newx = FXF++FXF++FXF Curva di Hilbert che riempie il piano (Fig. 2.24 ): assioma = X newf = F newx = -YF+XFX+FYnewy = +XF-YFY-FX+ Curva di Gosper che riempie il piano (Fig. 2.26): assioma = XF newf = F newx = X+YF++YF -FX FXFX-YF+

36 36 Capitolo 2 / Frattali classici newy = -FX+YFYF++YF+FX FX-Y 0 = tg/3 Curva di Peano, che riempie il piano (Fig. 2.22, 2.23): assioma = F newf = F-F+F+ F+F-F-F-F+F Q = 7g/4 9 = IT/2 Curva di Sierpinski, piano di riempimento (Fig. 2.25): assioma = F+XF+F+XF newf = F newx = XF-F+F-XF+F +XF-F+F-X a = tg/4 0 = tg/2 Bush (Fig. 2.16): assioma = F newf = -F+F+[+F-F-]-[-F+F+F] 6> = 7g /8 Mosaico (Fig. 2.11): assioma = F-F-F-F newf = F-b+FF-F-FF-Fb-FF+b-FF+F+FF+Fb+FFF newb = bbbbbb Isola (Fig. 2.10): assioma = F+F+F+F newf = F+F-F-FFF+F+F-F 6> = 7g/2 Fiocco di neve (Fig. 2.17): assioma = [F]+[F]+[F]+[F]+ [F]+[F] newf = F[++F][-FF]FF[+F][-F]FF (9 = 7g/3 Koch Snowflake (Fig. 2.2): assioma = F++F+ + F newf = F-F++F-F 0 = 7r/2 Weed (Fig. 2.15): assioma = F

37 2.2 Sistemi a L 37 Fig Generazione di regole per l'esercizio. 2 newf = F[+F]F[-F]F 0 = tg/7 Fiore (Fig. 2.18): assioma = F[+F+F][-F-F][++F][ F]F newf = FF[++F][+F][F][-F][ F] a =?r/2 c = 7g/1b Catena (Fig. 2.12): assioma = F+F+F+F newf = F +b-F-FFF+F+b-F newb = bbb 0 = tg/2 Esercizi a) Qual è la parola all'uscita del successivo sistema L dopo due iterazioni: assioma = F (parola di inizializzazione) newf =FF-[F] +[F] a = tg/2 (direzione iniziale) b) Rappresentare graficamente la parola trovata nel paragrafo precedente.

38 38 Capitolo 2 / Frattali classici 2. Scrivi uno pseudocodice per i sistemi a L (usando “newf”, ecc.) che implementano le regole in Fig. Metti l'assioma = F. 3. Costruisci sistemi a L per i frattali dall'Es. 1, p Visualizza il risultato del sistema L in un grafico. 4. Inventa e implementa tre nuovi sistemi L su un computer, il cui risultato sarebbero le tue versioni delle seguenti figure: a) un fiocco di neve o un'isola (con un bordo senza interruzioni); b) mosaico o isole (con confine discontinuo); c) cespuglio o erbaccia. 5. (Esperimento al computer.) Esplora dal punto di vista delle proprietà frattali uno dei tanti oggetti presentati nell'oggetto. Possibili argomenti: a) piante ad impollinazione incrociata (infiorescenze); b) mosaico; c) ornamento orientale; d) musica frattale Cantor Dust Il classico set Cantor, o Cantordust, prende il nome da Georg Cantor, che lo descrisse nel 1883. L'esistenza della polvere di Cantor era stata notata prima da Henry Smith nel 1875 o prima. Questo insieme è ben noto agli studenti del corso di Analisi matematica come esempio di insieme di misura di Lebesgue nulla, la cui cardinalità è uguale alla cardinalità del continuo. Le proprietà frattali della polvere di Cantor sono di grande importanza, soprattutto perché molti frattali conosciuti sono parenti stretti di questo insieme. La costruzione della classica polvere di Cantor inizia scartando il terzo medio (escluse le estremità) di un segmento unitario. Cioè, l'insieme originale è un segmento e il primo passo è rimuovere l'intervallo aperto (1/3,2/3). Nel passaggio successivo e in tutti gli altri, eliminiamo il terzo centrale (escluse le estremità) di tutti i segmenti del livello attuale. Otteniamo quindi (Fig. 2.20) una sequenza di insiemi:

39 2.3 Polvere di Cantor 39 Fig Costruzione della polvere di Cantor Co = d = U C 2 = U U U L'insieme limite C, che è l'intersezione degli insiemi C n, n = 0,1,2,..., è chiamato polvere di Cantor classica . Nel seguito la chiameremo semplicemente polvere di Cantor. Proprietà della polvere di cantor. 1. La polvere di Cantor è un frattale autosimile di dimensione d = log(2)/log(3) «0,6309, poiché per N 2 e r = 1/3 vale la relazione Nr d = 1. 2. La polvere di Cantor non contiene intervalli di lunghezza positiva. Questo è evidente dalla costruzione. 3. La somma delle lunghezze degli intervalli rimossi durante la costruzione dell'insieme C è esattamente uguale a 1. Per dimostrarlo si consideri la seguente dimostrazione. La lunghezza del primo intervallo che abbiamo eliminato è

40 40 Capitolo 2 / Frattali classici è 1/3. Per ottenere Cr, abbiamo scartato due intervalli, ciascuno di lunghezza 1/3 di 2. Nel passaggio successivo, abbiamo scartato 2 2 intervalli, ciascuno di lunghezza 1/3 di 3, ecc. Pertanto, la somma delle lunghezze degli intervalli rimossi gli intervalli 5 sono: 5 = 1 /3 + 2/ / p ~ 1 /Z p +. Ma questa espressione può essere riscritta come: 5 = (1/3)(1 + 2/3 + (2/3) 2 + (2/3) 3 +), e utilizzando la formula per la somma di una progressione geometrica, vale a dire, 1 otteniamo: possiamo supporre che se rimane qualcosa in C dopo aver rimosso tutti questi intervalli, probabilmente non molto. Tuttavia non è così, come conferma la seguente proprietà. 4. Un risultato sorprendente del confronto tra l'insieme di Cantor e l'intervallo è che le cardinalità di questi insiemi sono uguali. Due insiemi hanno la stessa cardinalità se esiste una corrispondenza biunivoca tra i punti di questi insiemi. Nel caso degli insiemi finiti questa affermazione è banale. Per gli insiemi infiniti, come un intervallo o un insieme di Cantor, il concetto di cardinalità richiede un'attenta gestione. A semplice illustrazione di quanto detto è sufficiente notare che i segmenti e sono di uguale spessore, nonostante il secondo intervallo sia lungo il doppio del primo. La corrispondenza biunivoca in questo caso è data dalla mappatura /(x) = 2x, dove x. Prima di procedere alla dimostrazione del teorema principale sulla cardinalità dell'insieme di Cantor, ricordiamo come rappresentare il punto x di un segmento nel sistema numerico con base N, N > 2. Dividiamo il segmento in N intervalli uguali, ciascuno di lunghezza 1/N. Numeriamo questi intervalli come segue: 0,1,2,..., N 1. Se risulta che il punto x appartiene all'intervallo numerato 5, allora poniamo xi = 5. Quindi dividiamo questo intervallo in N nuovi intervalli, ciascuno di lunghezza 1/ iV 2. Numeriamo questi intervalli come prima:

41 2.3 Polvere di Cantor 41 0,1,2,...,N 1. Se il punto x appartiene ad un nuovo intervallo con numero 3, allora sia x% = 3. Proseguendo in questo modo otteniamo una sequenza infinita (a: n)^L x e ciascun valore x n definisce un intervallo contenente x all'ennesimo passaggio del processo di partizionamento. Di conseguenza, il numero x può essere rappresentato da una sequenza infinita: XI X2_ *3_ N + N 2 + N 3 "e ciascuna di queste rappresentazioni corrisponde a un certo punto del segmento. È brevemente scritto come segue: x = 0,2 : 1X2X3... (in base 7V) e si chiama rappresentazione di x nel sistema numerico in base N o nel sistema TV-ario. Ovviamente, scrivendo un numero in sistema decimale notazione, che siamo abituati a usare, è un caso speciale questa definizione. Prestiamo attenzione ad alcuni aspetti matematici che richiedono una considerazione speciale. Innanzitutto, alcuni numeri hanno più di una rappresentazione iv-ario. Questi sono numeri nella forma j/n k, dove j e k sono numeri interi positivi. Per tali numeri, è possibile specificare due rappresentazioni iv-ario: una che termina con tutti zeri e l'altra con tutti N 1. Ad esempio, x = 1/2 nel sistema binario può essere rappresentato da 2 in due modi: 1/ 2 = 0, /2 = 0, Qualsiasi numero di tipo diverso da j/n k è scritto nel sistema numerico iv-ario in un modo unico. Abbiamo anche lasciato senza risposta la questione se una rappresentazione arbitraria di iv-ario corrisponda a un unico x/. Questi problemi vengono risolti esattamente come nel caso della notazione decimale ordinaria. 2 Abbiamo mantenuto la notazione usata dall'autore per infinito frazione periodica.

42 42 Capitolo 2 / Frattali classici Teorema La potenza dell'insieme di Cantor C è uguale alla potenza del continuo. Prova. Dobbiamo stabilire una corrispondenza biunivoca tra i punti di C e i punti sul segmento. Per fare ciò, dobbiamo considerare le rappresentazioni binarie (base 2) e ternarie (base 3) dei punti sul segmento. Per evitare ambiguità nel caso in cui un punto abbia due rappresentazioni binarie o ternarie, sceglieremo sempre la rappresentazione che termina con tutti uno nel caso binario e tutti due nel caso ternario. Notiamo che un punto rientra nell'insieme di Cantor C se e solo se non ci sono nessuno nella sua rappresentazione ternaria, cioè quando contiene solo zeri e due. Quindi la corrispondenza desiderata dei punti di C con i punti del segmento si ottiene sostituendo tutti i due nella rappresentazione ternaria di x con quelli. La rappresentazione binaria così ottenuta definisce un certo numero reale y. Ad esempio, se x C è: x = 0, (nel sistema ternario), allora poniamo y = 0, (nel sistema binario). La procedura descritta determina una corrispondenza biunivoca tra x 6 C e y. 5. La polvere di Cantor classica è un esempio di insieme compatto, perfetto e completamente discontinuo. Questi concetti sono spiegati nel Capitolo 3. Inoltre, si può sostenere che topologicamente l'insieme di Cantor classico è definito come un insieme compatto, perfetto e completamente discontinuo. Ciò significa che qualsiasi insieme compatto, perfetto e completamente discontinuo può trasformarsi continuamente in polvere di Cantor, ed esiste una trasformazione inversa che può essere utilizzata per ripristinare l'insieme originale. Qualsiasi insieme di questo tipo è solitamente chiamato insieme di Cantor. Non si deve però pensare che tutti gli insiemi di Cantor siano auto-simili. Inoltre, anche la dimensione frattale di diversi insiemi di Cantor autosimili non è necessariamente la stessa, come mostra il seguente esempio.

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Definizione. Un frattale è una struttura composta da parti in un certo senso simili al tutto. Il termine stesso "frattale" significa "frazionario". Quando osservi da vicino una forma frattale, vedi la stessa struttura, non importa quanto sei ingrandito. Tale somiglianza può essere vista in natura, osservando montagne, nuvole, coste, ecc. Con diversi zoom. Può essere trovato studiando la forma delle molecole o delle galassie. La frattalità sta rapidamente diventando una delle metafore più capienti per spiegare e comprendere il mondo.

Tuttavia, non esiste una definizione assolutamente precisa di frattale. Forse un giorno verrà trovato, ma ciò potrebbe non accadere a causa del fatto che la geometria frattale è la geometria della natura. La definizione di frattale è alla pari con la definizione di natura.

Il concetto di frattalità dell'universo e dei suoi singoli elementi è nato nella seconda metà del XX secolo nel quadro di un nuovo paradigma scientifico che combina sinergetica, cibernetica, informatica e altre teorie che hanno un significato universale per qualsiasi fenomeno dell'esistenza. L'ipotesi frattale si basa sui concetti della teoria del caos e dei sistemi dinamici non lineari. Per questo motivo, così come per alcune altre proprietà (struttura gerarchica, feedback, sensibilità alle condizioni iniziali, ecc.), gli oggetti frattali hanno maggiore stabilità e adattabilità alle condizioni esterne rispetto ai sistemi statici.

Algoritmo matematico per la costruzione dei frattali dell'universo. Per la modellazione matematica della costruzione dei frattali come sistemi dinamici non lineari, è comune utilizzare formule ricorrenti. Gli oggetti costruiti utilizzando la ricorsione hanno autosimilarità interna e resistenza agli errori (casuali e sistematici). Inoltre, e questo sembra importante, la ricorsione è una proprietà necessaria dei sistemi autocreativi (cioè di autocostruzione). Abbiamo scelto la serie di sommatoria di Fibonacci come algoritmo, perché in vari oggetti della natura (in primis “viventi”) appare troppo spesso perché si tratti di un incidente.

Risultati della modellazione degli oggetti frattali di Fibonacci.

A seguito dei lavori del prof. A.P. Stakhov, generalizziamo la formula di Binet (che genera la serie di Fibonacci) all'insieme di tutti i numeri reali. La funzione risultante:

F(x) =(φ x -(-φ) -x)/√5( 1)

Lo chiameremo il “programma Fibonacci”. Come per la serie di Fibonacci, anche per l’insieme dei numeri reali valgono le seguenti relazioni:

F(x+1) = F(x) + F(x-1)(2)

F(x+1)/F(x) → φat x→ +∞,φ = (1+√5)/2 = 1.6180… (3)

F(x+1)/F(x) → -1/φ in x→ - ∞(4)

Funzione F(x) appartiene al dominio dei numeri complessi, solo in alcuni punti entra nel dominio dei numeri reali (at X numero intero). Il ritratto di fase del programma Fibonacci (nel caso generale) è una spirale e una sinusoide smorzata (Fig. 1) lungo l'asse X (la parte reale del numero complesso).

a)b)

Fig. 1. Ritratto di fase della serie generalizzata di Fibonacci sul piano dei numeri complessi (a) e posizione della spirale del programma di Fibonacci nello spazio (b).

Equazione (2) in funzione delle condizioni iniziali x0 , x1 e numero di cicli X, lo presentiamo nella forma:

F(x+1, x 0 , x 1) = x 1 *F(x) + x 0 *F(x-1) (5)

L'equazione (5) descrive un insieme di determinati oggetti discreti costruiti utilizzando il programma Fibonacci, la cui struttura è simile e la differenza sta solo nella scala (scelta delle condizioni iniziali x 0 e x 1) e (o) nel tempo (x - numero di cicli) parametri. Abbiamo quindi a che fare con un programma (una generalizzazione della formula di Binet) che fornisce relazioni di ricorrenza nel dominio dei numeri complessi. Seguendo le idee sviluppate da B. Mandelbrot, questo è necessario e sufficiente per la formazione di oggetti frattali in una determinata area (x, x 0, x 1). Teniamo presente che la somiglianza delle strutture gerarchiche, espressa attraverso il rapporto aureo φ, si avvicina all'ideale all'aumentare X(numero di cicli) e la scelta di condizioni iniziali che sono massimamente diverse tra loro (per ordini di grandezza) aumenta solo in modo insignificante il numero di cicli per ottenere la precisione richiesta nella stima di φ. Quindi l'intero continuum spazio-temporale può essere rappresentato come un singolo oggetto frattale, i cui singoli elementi sono attrattori di frattali del livello gerarchico successivo e inferiore.

Consideriamo più in dettaglio la questione della somiglianza interna di questa struttura. La scansione temporale (vale a dire x 0 e x 1 – const) garantisce la somiglianza dei livelli gerarchici vicini, espressi come φ (il che è ovvio, secondo la formula (3)). Inoltre non è richiesta la prova che per i livelli x e x-2 la somiglianza sia espressa come φ 2. In generale, per i livelli x e x-n, il loro rapporto è pari a φ n. Nella regione dei valori negativi dei cicli x, la somiglianza nel caso generale ha la forma: 1/(-φ) n. Consideriamo lo sviluppo nello spazio usando l'esempio di x e x 1 – const, e la variabile sarà x 0. Per x 0 = 0 o 2 e x 1 = 1 abbiamo, rispettivamente, le banali serie di Fibonacci e Lucas. Il loro rapporto (che segue semplicemente dalla formula di Binet) a parità di cicli x è pari a √5 ovvero, che è la stessa cosa: φ + 1/φ. Nel caso di x 0 = 3 (cioè la riga dopo Luca), il rapporto è espresso come φ 2 + 1/φ 3 = 2,854... Inoltre, il quadro non cambia sostanzialmente. La somiglianza nello sviluppo spaziale può essere scritta utilizzando solo due numeri – 1 e φ, nonché operazioni matematiche elementari con essi (+, -, *, :). Probabilmente è possibile derivare una formula generale. Pertanto, se il “nostro mondo” è costruito secondo il programma Fibonacci, dobbiamo in qualche modo trovare la “sezione aurea” - φ - in tutte le sue molteplici manifestazioni. In realtà, ciò si osserva principalmente negli oggetti materiali, che solitamente vengono chiamati materia “vivente”. Il motivo, a nostro avviso, è che nella maggior parte dei casi consideriamo lo sviluppo di un oggetto in una sezione in cui tutti e tre i parametri sono variabili: x, x 0, x 1. Ad esempio, la tavola periodica degli elementi di Mendeleev. Tutti gli elementi sono stati formati in modo diverso cicli (fasi) dello sviluppo dell'Universo e in varie condizioni iniziali (relativamente parlando: temperatura, massa, entropia e altre caratteristiche degli attrattori). È inutile cercare qualche tipo di somiglianza regolare nella loro struttura, espressa numericamente tramite φ e 1. Allo stesso modo, le masse dei pianeti o i loro raggi, o i raggi delle orbite di rotazione, non possono essere descritti attraverso l’“armonia aurea”, nonostante numerosi tentativi. D'altra parte, gli oggetti della materia “vivente”, compresi gli esseri umani, in quanto oggetti integrali con condizioni iniziali fisse e la possibilità di osservarli in tutti i cicli di sviluppo, portano con sé l'armonia nella loro struttura morfologica e nel funzionamento, espressa attraverso φ. (Non forniamo dati reali; si trovano sul sito web “Museo dell’Armonia d’Oro”, creato dal Prof. A.P. Stakhov).

Pertanto, la struttura e la topologia del nostro Universo possono essere codificate utilizzando solo due numeri: 1 e φ nell'ambito della descrizione dello sviluppo come esecuzione del programma Fibonacci. Ovviamente questi numeri sono primari, poiché con il loro aiuto il programma viene scritto ed eseguito. Come sono comparsi, in un'epoca in cui il Creatore stava semplicemente “scrivendo” il programma per costruire l'Universo? Immaginiamo che il programma sotto forma di simboli sia scritto, strutturato o confezionato (i termini possono essere qualsiasi) come un auto- oggetto di creazione, in cui ogni livello successivo è funzione dei due precedenti (programma Fibonacci). Selezioniamo tre livelli gerarchici adiacenti. Il valore di φ deriva semplicemente dal rapporto tra i livelli più vicini. La relazione tra tre livelli adiacenti si riduce in realtà alla ben nota relazione: φ 2 = φ + 1 oppure φ 2 – φ = 1. Pertanto, la voce di programma stessa genera due numeri primi φ e 1. Come mostrato dal prof. Stakhov A.P., i sistemi di numerazione e codifica delle informazioni che utilizzano φ presentano vantaggi rispetto ad altri (decimali, binari, ecc.) In termini di ricerca degli errori, loro differenziazione e correzione. Per la corretta implementazione del programma di sviluppo, queste proprietà sembrano essere estremamente importanti.

Interazione degli oggetti del programma Fibonacci e del loro grafico.

Accettando il concetto (o ipotesi) di interazione globale degli oggetti dell'Universo, nella fase attuale della ricerca abbiamo utilizzato operazioni algebriche elementari di addizione, moltiplicazione, ecc. Come meccanismi di interazione dei frattali. Per visualizzare le strutture risultanti è stata utilizzata la computer grafica 3D. Va tenuto presente che le strutture che emergono durante l'interazione dei frattali sono generalmente n-dimensionali, quindi le immagini risultanti sono essenzialmente sezioni tridimensionali nel “piano” dei cicli di sviluppo dei singoli componenti.

A) I contatori dei cicli di sviluppo degli oggetti interagenti coincidono.

Fig.2aFig.2b

Fig. 2 Ritratto di fase (2a) e vista nello spazio tridimensionale (2b) di un oggetto ottenuto dal rapporto tra gli oggetti di Fibonacci e Lucas (condizioni iniziali 0 e 1; 2 e 1, rispettivamente). Assi X e Y - parti reali e immaginarie dell'oggetto, asse Z - contatore di cicli (uno per Fibonacci e Lucas).

Il ritratto di fase di un oggetto (Fig. 2a) è generalmente molto simile alla nota immagine simbolica del principio dell'Universo:

Ovviamente non è un caso che in alcune opere le serie di Fibonacci e Lucas siano considerate come principi maschili e femminili (Yin e Yang). Lo schema della Figura 2a occupa anche un posto non ultimo nelle idee filosofiche e artistiche delle persone che vivevano nella nostra terra.

B) Nel caso in cui i contatori di cicli degli oggetti interagenti non coincidono, al posto delle curve parametriche (Fig. 1b e 2b), otteniamo superfici tridimensionali come sezioni del “piano” dei cicli (tempo).

Fig.3. Aggiunta dei frattali di Fibonacci e Lucas. Assi coordinati nel piano orizzontale – la parte reale e immaginaria della somma. In verticale – il contatore dei cicli (a sinistra – per il frattale di Fibonacci, a destra – per Luca).

Fig.4. Prodotto dei frattali di Fibonacci e Lucas. Designazioni - come in Fig. 3

Le immagini mostrate nelle Figure 3 e 4 sono di difficile interpretazione. Un cambiamento nelle condizioni iniziali o nel piano temporale secante porta alle stesse strutture a spirale-vortice con alcune differenze esterne. Sono necessarie ulteriori ricerche in questa direzione. Ipoteticamente, si può ipotizzare una connessione tra il modello in esame e la teoria del polivortice di A.F. Bugaev. o campi di torsione di Shipov G.I. A questo proposito, è necessario tenere conto della seguente circostanza. Nell'ambito della teoria delle variabili complesse si possono inventare molte funzioni che generano forme a spirale nel piano delle fasi. Questa è la natura di questi numeri. Nel nostro caso di modello dinamico non lineare (programma di Fibonacci), i numeri complessi compaiono naturalmente nel quadro di una generalizzazione della serie di Fibonacci e della formula di Binet, che descrivono alcune proprietà dei numeri naturali (1, 2, 3, 4, ... ). Il caso è in un certo senso analogo alla teoria quantistica in fisica. Lì, quando si risolve l'equazione d'onda di Schrödinger, si ottengono necessariamente funzioni di variabili complesse. La componente immaginaria, secondo alcuni esoteristi (ad esempio A.G. Shneiderman), riflette la componente non manifesta dell'universo nel nostro spazio.

Frattali del programma Fibonacci e Caos.

Per i sistemi dinamici non lineari complessi nell'ambito della sinergetica, il concetto di punti di biforcazione è importante. L'essenza del fenomeno è che, in determinate condizioni iniziali, il sistema da uno stato deterministico dopo un certo numero di cicli di sviluppo perde stabilità, collassa ed entra in uno stato di caos. Tali condizioni iniziali esistono anche per il nostro modello. Questi risultarono essere gli stessi numeri primi –φ e 1. In tali condizioni iniziali, lo sviluppo dell'oggetto è mostrato in Fig. 5.

Fig.5. Transizione di biforcazione di un oggetto costruito utilizzando il programma Fibonacci. Y(x ) è stato calcolato secondo l'Eq. (5) utilizzando le condizioni iniziali:

x 0 = -φ e x 1 = 1.

Per coprire il maggior numero possibile di cicli (lungo l'asse X), i valori dello stato dell'oggetto (lungo l'asse Y) sono riportati su scala logaritmica. Si può vedere che il punto di transizione allo stato di caos dinamico è a valori di 39-40 cicli. Analizzando la formula (5) e i risultati ottenuti, si è riscontrato che il comportamento del sistema non cambia con un cambiamento proporzionale delle condizioni iniziali, cioè per ottenere il punto di biforcazione nel caso generale: x 0 = -aφ e x 1 = a (dove a è un numero reale qualsiasi, tranne, ovviamente, il caso banale a = 0). Ciò è illustrato in Fig. 6, dove è mostrata in dettaglio la sezione della transizione della biforcazione.

Fig.6. La regione di transizione della biforcazione degli oggetti costruiti utilizzando il programma Fibonacci.

Come criterio per lo stato dell'oggetto, abbiamo utilizzato un modulo calcolato in modo standard, come per la serie di Fibonacci (formula (3)). Le condizioni iniziali sono multiple di quelle utilizzate in Fig. 5, e differiscono tra loro di 10 15 (colore rosso - a = 10 7, blu - a = 10 -8). Si può vedere che fino al 36° ciclo gli oggetti si sviluppano in modo deterministico, il modulo in entrambi i casi è pari a 1/φ (0,61830....). Inoltre il processo di distruzione aumenta come una valanga e dopo 39-40 cicli si instaura uno stato di caos dinamico. Gli oggetti sembrano dividersi e svilupparsi simultaneamente in diversi stati (moduli – 2, 1, 1/φ, 0). La posizione del punto di biforcazione (39-40 cicli) ha probabilmente un significato fondamentale in relazione alla conoscenza esoterica. Notiamo l'eccezionale stabilità del punto di biforcazione, perché cambiare le condizioni iniziali di 15 ordini di grandezza non lo ha spostato nemmeno di un ciclo. I risultati del calcolo presentati nelle Fig. 5 e 6 si riferiscono al caso a > 0. Se a< 0 (например, х 0 = 1 и х 1 = -1/φ), то картина становится зеркальной и точка бифуркации смещается к отрицательным значениям циклов -39-40. Возможно, этот случай представляет модель обратного перехода: «динамический хаос → детерминированная структура».В заключение на рис.7 показан видбифуркационного перехода в динамический хаос с помощью 3-D графики для стороннего «далеко отстоящего» наблюдателя.

Fig.7. La transizione "struttura deterministica - caos dinamico" per un oggetto costruito secondo il programma Fibonacci,

Nell’ambito delle idee esoteriche, può essere definita una “diffusione incrociata”. Ciò è particolarmente evidente quando si rappresentano i cambiamenti nella rappresentazione di fase di un oggetto in dinamica utilizzando le capacità di animazione dei programmi Matcad o Matlab.

Conclusione.

1. Il concetto di “programma Fibonacci” viene proposto come una generalizzazione della formula di Binet al dominio di tutti i numeri reali.
2. L'uso del programma Fibonacci consente di utilizzare una formula ricorrente per modellare sistemi dinamici non lineari: oggetti frattali a forma di spirale su un insieme di numeri complessi che portano la "sezione aurea" nella loro struttura.
3. L'ipotetico algoritmo matematico dell'Universo: il programma Fibonacci ci consente di spiegare alcune idee esoteriche.
4. Esistono alcune condizioni iniziali in cui un oggetto creato utilizzando il programma Fibonacci viene distrutto dopo 39-40 cicli ed entra in uno stato di caos dinamico.
5. Una persona può essere rappresentata come un oggetto frattale integrale dell’Universo, che è in continuo sviluppo ciclico nel quadro della transizione “mondo materiale (Yang) – stato spirituale o informativo (Yin)”.