Il tipo più semplice di distribuzione gamma è una distribuzione con densità

Dove - parametro di spostamento, - funzione gamma, ovvero

(2)

Ogni distribuzione può essere “espansa” in una famiglia di spostamento di scala. Infatti, per una variabile casuale avente una funzione di distribuzione, consideriamo una famiglia di variabili casuali , dove è il parametro di scala ed è il parametro di spostamento. Quindi la funzione di distribuzione è .

Includendo nella famiglia di scala-shift ciascuna distribuzione con densità della forma (1), si ottengono le distribuzioni gamma accettate nella parametrizzazione della famiglia:

Qui - parametro di forma, - parametro di scala, - parametro di spostamento, la funzione gamma è data dalla formula (2).

In letteratura sono presenti altre parametrizzazioni. Quindi, invece di un parametro, spesso viene utilizzato il parametro . A volte viene considerata una famiglia a due parametri, omettendo il parametro di spostamento, ma mantenendo il parametro di scala o il suo analogo: il parametro . Per alcuni problemi applicativi (ad esempio, quando si studia l'affidabilità dei dispositivi tecnici), ciò è giustificato, poiché da considerazioni sostanziali sembra naturale accettare che la densità di distribuzione di probabilità sia positiva per valori positivi dell'argomento e solo per essi. Questa ipotesi è associata a una discussione a lungo termine negli anni '80 sugli "indicatori di affidabilità prescritti", su cui non ci soffermeremo.

Casi speciali della distribuzione gamma per determinati valori di parametri hanno nomi speciali. Quando abbiamo una distribuzione esponenziale. La distribuzione gamma naturale è una distribuzione Erlang utilizzata soprattutto in teoria fare la fila. Se una variabile casuale ha una distribuzione gamma con un parametro di forma tale che - intero e, ha una distribuzione chi-quadrato dei gradi di libertà.

Applicazioni della distribuzione gamma

La distribuzione gamma ha ampie applicazioni in vari campi scienze tecniche(in particolare, in affidabilità e teoria dei test), in meteorologia, medicina, economia. In particolare, la distribuzione gamma può essere soggetta alla vita utile totale del prodotto, alla lunghezza della catena di particelle di polvere conduttrici, al tempo in cui il prodotto raggiunge lo stato limite durante la corrosione, al tempo fino al k-esimo guasto, ecc. . L'aspettativa di vita dei pazienti con malattie croniche e il tempo necessario per ottenere un determinato effetto durante il trattamento in alcuni casi hanno una distribuzione gamma. Questa distribuzione si è rivelata la più adeguata per descrivere la domanda in una serie di modelli economici e matematici di gestione delle scorte.

La possibilità di utilizzare la distribuzione gamma in una serie di problemi applicati può talvolta essere giustificata dalla proprietà di riproducibilità: la somma di variabili casuali indipendenti distribuite esponenzialmente con lo stesso parametro ha una distribuzione gamma con parametri di forma e scala e spostamento. Pertanto, la distribuzione gamma viene spesso utilizzata in quelle aree applicative che utilizzano la distribuzione esponenziale.

Centinaia di pubblicazioni sono dedicate a varie questioni di teoria statistica relative alla distribuzione gamma (vedi sommari). Questo articolo, che non pretende di essere esaustivo, esamina solo alcuni problemi matematici e statistici associati allo sviluppo di uno standard statale.

Consideriamo la distribuzione Gamma, calcoliamo la sua aspettativa matematica, dispersione e modalità. Utilizzando la funzione MS EXCEL GAMMA.DIST(), costruiremo grafici della funzione di distribuzione e della densità di probabilità. Generiamo una matrice di numeri casuali e stimiamo i parametri di distribuzione.

Distribuzione gamma(Inglese) Gammadistribuzione) dipende da 2 parametri: R(determina la forma della distribuzione) e λ (determina la scala). tale distribuzione è data dalla seguente formula:

dove Ã(r) è la funzione gamma:

se r è un intero positivo, allora Ã(r)=(r-1)!

Il modulo di iscrizione sopra densità di distribuzione mostra chiaramente la sua connessione con. Quando r=1 Distribuzione gamma si riduce a Distribuzione esponenziale con parametro λ.

Se il parametro λ è un numero intero, allora Distribuzione gammaè la somma R indipendenti e identicamente distribuite legge esponenziale con parametro λ di variabili casuali X. Quindi la variabile casuale sì= X 1 + X 2 +… xr Esso ha distribuzione gamma con parametri R e λ.

, a sua volta, è strettamente correlato al discreto. Se Distribuzione di Poisson descrive quindi il numero di eventi casuali che si sono verificati durante un certo intervallo di tempo Distribuzione esponenziale, in questo caso descrive la lunghezza dell'intervallo di tempo tra due eventi consecutivi.

Ne consegue che, ad esempio, se viene descritto il tempo prima del verificarsi del primo evento distribuzione esponenziale con il parametro λ viene descritto il tempo prima dell'inizio del secondo evento distribuzione gamma con r = 2 e lo stesso parametro λ.

Distribuzione gamma in MS EXCEL

MS EXCEL adotta una forma di registrazione equivalente, ma diversa nei parametri densità distribuzione gamma.

Parametro α ( alfa) è equivalente al parametro R e il parametro B (beta) – parametro 1/λ. Di seguito aderiremo esattamente a questa notazione, perché questo renderà più semplice la scrittura delle formule.

In MS EXCEL, a partire dalla versione 2010, per Distribuzione gamma c'è una funzione GAMMA.DIST(), il nome inglese è GAMMA.DIST(), che ti permette di calcolare densità di probabilità(vedi formula sopra) e (la probabilità che una variabile casuale X abbia distribuzione gamma, assumerà un valore minore o uguale a x).

Nota: Prima di MS EXCEL 2010, EXCEL disponeva della funzione GAMMADIST(), che consente di eseguire calcoli funzione di distribuzione cumulativa E densità di probabilità. GAMMADIST() viene lasciato in MS EXCEL 2010 per compatibilità.

Grafici di funzioni

Il file di esempio contiene grafici distribuzione della densità di probabilità E funzione di distribuzione cumulativa.

Distribuzione gamma ha la denominazione Gamma (alfa; beta).

Nota: Per comodità di scrivere formule nel file di esempio per i parametri di distribuzione alfa e beta sono stati creati quelli corrispondenti.

Nota: La dipendenza da 2 parametri consente di costruire distribuzioni di varie forme, il che amplia l'applicazione di questa distribuzione. Distribuzione gamma, così come Distribuzione esponenziale spesso utilizzato per calcolare il tempo di attesa tra eventi casuali. Inoltre, è possibile utilizzare questa distribuzione per modellare i livelli di precipitazione e durante la progettazione delle strade.

Come mostrato sopra, se il parametro alfa= 1, la funzione GAMMA.DIST() restituisce il parametro 1/beta. Se il parametro beta= 1, la funzione GAMMA.DIST() restituisce lo standard distribuzione gamma.

Nota: Perché è un caso speciale distribuzione gamma, quindi la formula =DISTRIB.GAMMA(x;n/2;2;VERO) per l'intero positivo n restituisce lo stesso risultato della formula =CHI2.DIST(x;n; VERO) o =1-CHI2.DIST.PH(x;n) . E la formula =DISTRIB.GAMMA(x;n/2;2;FALSO) restituisce lo stesso risultato della formula =CHI2.DIST(x;n; FALSO), cioè. densità di probabilità Distribuzioni CH2.

IN file di esempio nel foglio Grafici viene fornito il calcolo distribuzione gamma pari alfa*beta E

Una variabile casuale non negativa ha distribuzione gamma, se la sua densità di distribuzione è espressa dalla formula

dove e , è la funzione gamma:

Così, distribuzione gammaè una distribuzione a due parametri, occupa un posto importante in statistica matematica e teorie sull'affidabilità. Questa distribuzione ha una limitazione da un lato.

Se il parametro della forma della curva di distribuzione è un numero intero, allora la distribuzione gamma descrive il tempo necessario affinché si verifichino eventi (guasti), purché siano indipendenti e avvengano con intensità costante.

Nella maggior parte dei casi, questa distribuzione descrive il tempo di funzionamento del sistema con ridondanza per guasti degli elementi obsoleti, il tempo di ripristino del sistema con ridondanza per guasti degli elementi obsoleti, il tempo di ripristino del sistema, ecc. Per diversi valori quantitativi dei parametri, la distribuzione gamma assume un'ampia varietà di forme, il che ne spiega l'uso diffuso.

La densità di probabilità della distribuzione gamma è determinata dall'uguaglianza se

Funzione di distribuzione. (9)

Si noti che la funzione di affidabilità è espressa dalla formula:

La funzione gamma ha le seguenti proprietà: , , (11)

da cui segue che se è un intero non negativo, allora

Inoltre, successivamente avremo bisogno di un'altra proprietà della funzione gamma: ; . (13)

Esempio. Il ripristino delle apparecchiature elettroniche obbedisce alla legge della distribuzione gamma con parametri e . Determinare la probabilità di recupero dell'attrezzatura in un'ora.

Soluzione. Per determinare la probabilità di recupero, utilizziamo la formula (9).

Per numeri interi positivi funzioni e in .

Se passiamo a nuove variabili i cui valori verranno espressi; , quindi otteniamo l'integrale della tabella:

In questa espressione, la soluzione dell'integrale a destra può essere determinata utilizzando la stessa formula:

e quando ci sarà

Quando e le nuove variabili saranno uguali a e , e l'integrale stesso sarà uguale a

Il valore della funzione sarà uguale a

Troviamo le caratteristiche numeriche di una variabile casuale soggetta alla distribuzione gamma

In accordo con l'uguaglianza (13), otteniamo . (14)

Troviamo il secondo momento iniziale usando la formula

Dove . (15)

Si noti che a , il tasso di guasto diminuisce in modo monotono, che corrisponde al periodo di rodaggio del prodotto. Quando aumenta il tasso di guasto, che caratterizza il periodo di usura e invecchiamento degli elementi.

Quando la distribuzione gamma coincide con la distribuzione esponenziale, quando la distribuzione gamma si avvicina alla legge normale. Se assume valori di numeri interi arbitrari numeri positivi, allora viene chiamata tale distribuzione gamma ordinare la distribuzione Erlang:

Qui basti solo sottolineare che la legge Erlang La somma delle variabili casuali indipendenti è subordinata all'ordine esimo, ciascuna delle quali è distribuita secondo una legge esponenziale con un parametro. Legge di Erlang l'ordine è strettamente correlato a un flusso di Poisson (il più semplice) stazionario con intensità .

In effetti, lasciamo che ci sia un tale flusso di eventi nel tempo (Fig. 6).

Riso. 6. Rappresentazione grafica di un flusso di eventi di Poisson nel tempo

Consideriamo un intervallo di tempo costituito dalla somma intervalli tra gli eventi in tale flusso. Si può dimostrare che la variabile casuale obbedirà alla legge di Erlang -esimo ordine.

Densità di distribuzione di una variabile casuale distribuita secondo la legge di Erlang ordine, può essere espresso mediante la funzione di distribuzione tabellare di Poisson:

Se il valore è un multiplo di e , allora la distribuzione gamma coincide con la distribuzione chi-quadrato.

Si noti che la funzione di distribuzione di una variabile casuale può essere calcolata utilizzando la seguente formula:

dove sono determinati dalle espressioni (12) e (13).

Di conseguenza, abbiamo uguaglianze che ci saranno utili in seguito:

Esempio. Il flusso dei prodotti prodotti sul trasportatore è il più semplice con il parametro. Tutti i prodotti fabbricati vengono controllati, quelli difettosi vengono posti in una scatola speciale che non può contenerne più di prodotti, la probabilità di difetti è pari a . Determinare la legge di distribuzione del tempo per riempire una scatola con prodotti difettosi e l'importo , in base al fatto che è improbabile che la scatola trabocchi durante il turno.

Soluzione. L'intensità del flusso più semplice di prodotti difettosi sarà pari a . Ovviamente il tempo necessario per riempire una scatola con prodotti difettosi è distribuito secondo la legge di Erlang

con parametri e:

quindi (18) e (19): ; .

Il numero di prodotti difettosi nel tempo verrà distribuito secondo la legge di Poisson con il parametro . Pertanto, il numero richiesto deve essere trovato dalla condizione . (20)

Ad esempio, a [prodotto/h]; ; [H]

dall'equazione a

Una variabile casuale con distribuzione Erlang ha le seguenti caratteristiche numeriche (Tabella 6).

Tabella 6

Si noti che una variabile casuale avente una distribuzione Erlang normalizzata del th ordine ha le seguenti caratteristiche numeriche (Tabella 7).

Tabella 7

Distribuzione uniforme. Quantità continua X è distribuito uniformemente nell'intervallo ( UN, B), se tutti i suoi possibili valori si trovano su questo intervallo e la densità della distribuzione di probabilità è costante:

Per una variabile casuale X, uniformemente distribuito nell'intervallo ( UN, B) (Fig. 4), la probabilità di cadere in qualsiasi intervallo ( X 1 , X 2), situato all'interno dell'intervallo ( UN, B), è uguale a:

(30)


Riso. 4. Grafico della densità di distribuzione uniforme

Esempi di quantità uniformemente distribuite sono gli errori di arrotondamento. Pertanto, se tutti i valori tabulari di una determinata funzione vengono arrotondati alla stessa cifra, scegliendo un valore tabulare a caso, consideriamo che l'errore di arrotondamento del numero selezionato è una variabile casuale distribuita uniformemente nell'intervallo

Distribuzione esponenziale. Variabile casuale continua X Esso ha distribuzione esponenziale

(31)

Il grafico della densità di probabilità (31) è presentato in Fig. 5.

Riso. 5. Grafico della densità della distribuzione esponenziale

Tempo T il funzionamento senza guasti di un sistema informatico è una variabile casuale avente una distribuzione esponenziale con il parametro λ , il cui significato fisico è il numero medio di guasti per unità di tempo, senza contare i tempi di inattività del sistema per riparazioni.

Distribuzione normale (gaussiana). Valore casuale X Esso ha normale Distribuzione (gaussiana)., se la sua densità di distribuzione di probabilità è determinata dalla dipendenza:

(32)

Dove M = M(X) , .

A si chiama distribuzione normale standard.

Il grafico della densità di distribuzione normale (32) è presentato in Fig. 6.

Riso. 6. Grafico della densità della distribuzione normale

La distribuzione normale è la distribuzione più comune in vari fenomeni naturali casuali. Pertanto, errori nell'esecuzione di comandi da parte di un dispositivo automatizzato, errori nel lancio di un veicolo spaziale dato punto spazio, errori nei parametri del sistema informatico, ecc. nella maggior parte dei casi sono normali o vicini distribuzione normale. Inoltre, le variabili casuali formate dalla somma di un gran numero di termini casuali sono distribuite quasi secondo una legge normale.

Distribuzione gamma. Valore casuale X Esso ha distribuzione gamma, se la sua densità di distribuzione di probabilità è espressa dalla formula:

(33)

Dove – Funzione gamma di Eulero.

Distribuzione gamma

La distribuzione gamma è una distribuzione a due parametri. Occupa un posto abbastanza importante nella teoria e nella pratica dell'affidabilità. La densità di distribuzione è limitata su un lato (). Se il parametro a della forma della curva di distribuzione assume un valore intero, ciò indica la probabilità che si verifichi lo stesso numero di eventi (ad esempio guasti)

purché siano indipendenti e appaiano con intensità λ costante (vedi Fig. 4.4).

La distribuzione gamma è ampiamente utilizzata per descrivere il verificarsi di guasti di elementi obsoleti, tempi di ripristino e tempo tra guasti di sistemi ridondanti. Per diversi parametri, la distribuzione gamma assume varie forme, il che ne spiega l'uso diffuso.

La densità di probabilità della distribuzione gamma è determinata dall'uguaglianza

dove λ > 0, α > 0.

Le curve di densità di distribuzione sono mostrate in Fig. 4.5.

Riso. 4.5.

Funzione di distribuzione

Aspettativa e varianza sono rispettivamente uguali

In α< 1 интенсивность отказов монотонно убывает, что соответствует периоду приработки изделия, при α >1 – aumenta, tipico del periodo di usura e invecchiamento degli elementi.

Con α = 1 la distribuzione gamma coincide con la distribuzione esponenziale; con α > 10 la distribuzione gamma si avvicina alla legge normale. Se a assume i valori di numeri interi positivi arbitrari, viene chiamata tale distribuzione gamma Distribuzione dell'Erlang. Se λ = 1/2 e il valore di a è multiplo di 1/2, la distribuzione gamma coincide con la distribuzione χ2 ( chi-quadrato).

Istituzione della funzione di distribuzione degli indicatori di affidabilità sulla base dei risultati dell'elaborazione dei dati di informazione statistica

La caratteristica più completa dell'affidabilità di un sistema complesso è legge della distribuzione, espresso come funzione di distribuzione, densità di distribuzione O funzioni di affidabilità.

La forma della funzione di distribuzione teorica può essere giudicata dalla funzione di distribuzione empirica (Fig. 4.6), che è determinata dalla relazione

Dove T, - numero di guasti per intervallo di tempo T; N - portata del test; T io < t < t io+1 – l'intervallo di tempo su cui viene determinata la funzione empirica.

Riso. 4.6.

La funzione empirica viene costruita sommando gli incrementi ottenuti in ciascun intervallo di tempo:

Dove K - numero di intervalli.

La funzione di affidabilità empirica è l'opposto della funzione di distribuzione; è determinato dalla formula

La stima della densità di probabilità si trova dall'istogramma. La costruzione di un istogramma si riduce a quanto segue. L'intero intervallo di tempo T diviso in intervalli T 1,T 2, ..., T i e per ciascuno di essi la densità di probabilità viene stimata utilizzando la formula

Dove T io – numero di fallimenti per io-esimo intervallo, io = 1, 2,..., K; (T io+1 – T i) – periodo di tempo io-esimo intervallo; N– portata dei test; K– numero di intervalli.

Un esempio di istogramma è mostrato in Fig. 4.7.

Riso. 4.7.

Smussare un istogramma a gradini in una curva uniforme, ma il suo aspetto può essere giudicato in base alla legge di distribuzione di una variabile casuale. In pratica, per smussare la curva, ad esempio, spesso usano il metodo minimi quadrati. Per stabilire con maggiore precisione la legge di distribuzione, è necessario che il numero di intervalli sia almeno cinque e che il numero di realizzazioni che rientrano in ciascun intervallo sia almeno dieci.

Discrepanze nella comprensione della terminologia dell'affidabilità

Il problema della terminologia è piuttosto complesso in vari campi della scienza e dell'attività umana in generale. È noto che le controversie sui termini vanno avanti da molti secoli. Se guardi le traduzioni delle poesie, puoi vedere una chiara conferma di questa idea. Ad esempio, le traduzioni di un capolavoro di fama mondiale come “Amleto” di B. L. Pasternak e P. P. Gnedich sono molto diversi. Nel primo, il significato della tragedia supera la musica del verso, a differenza del secondo. E l'originale "Amleto", scritto nella lingua del XVI secolo, è difficile da comprendere per i non inglesi, e anche per gli inglesi, poiché la lingua stessa si è evoluta notevolmente nel corso di diversi secoli, come del resto qualsiasi altra lingua. linguaggio secondo la legge del sincronismo-desincronismo.

Un quadro simile si osserva nelle religioni del mondo. La traduzione della Bibbia dallo slavo ecclesiastico al russo, durata 25 anni, "divorziò" (al punto da interrompere la traduzione) San Filarete di Mosca (Drozdov) e il più grande scrittore ecclesiastico - San Teofane il Recluso (la pubblicazione della sua raccolta di opere in 42 volumi è prevista nel prossimo futuro). ). Traduzioni e chiarimenti del "libro dei libri" della Bibbia "trasferiscono" le persone nei campi di nemici inconciliabili nella vita nel nostro mondo. Nascono sette, eretici ed eroi, a volte viene versato anche il sangue. E numerose traduzioni in russo dell'opera fondamentale di Immanuel Kant nel campo della filosofia, "Critica della ragion pura", non fanno altro che rafforzare la validità della nostra tesi sulla complessità del problema della terminologia (sistema super-grande) in vari campi della scienza e attività umana in generale.

I fenomeni antinomici si verificano nel campo della scienza e della tecnologia. Una delle soluzioni al problema di garantire la correttezza e l'adeguatezza della terminologia è stata delineata da G. Leibniz. È in termini di sviluppo della scienza e della tecnologia nel XVII secolo. ha proposto di porre fine alle controversie definendo i termini utilizzando un linguaggio universale in forma digitale (0011...).

Si noti che nella scienza dell'affidabilità, il modo di definire i termini viene tradizionalmente deciso a livello statale utilizzando norme statali(GOST). Tuttavia, l'emergere di sistemi tecnici sempre più intelligenti, l'interazione e il riavvicinamento di oggetti viventi e inanimati che operano in essi, pone compiti nuovi e molto difficili per l'insegnamento in pedagogia e psicologia e ci costringe a cercare soluzioni di compromesso creative.

Per qualcuno che è maturo e ha lavorato in modo specifico campo scientifico, e in particolare nel campo dell'affidabilità dei dipendenti, la rilevanza delle questioni terminologiche è fuori dubbio. Come scrisse Gottfried Wilhelm Leibniz (nel suo lavoro sulla creazione di un linguaggio universale), ci sarebbero meno controversie se i termini fossero definiti.

Cercheremo di appianare le discrepanze nella comprensione della terminologia dell'affidabilità con le seguenti osservazioni.

Diciamo “funzione distributiva” (DF), omettendo la parola “operazione” o “fallimento”. Il tempo di funzionamento è spesso inteso come una categoria di tempo. Per i sistemi non riparabili, è più corretto dire: tempo FR integrale al guasto, e per i sistemi recuperabili - tempo al guasto. E poiché il tempo di funzionamento è spesso inteso come una variabile casuale, viene utilizzata l'identificazione della probabilità di funzionamento senza guasti (FBO) e (1 – FR), chiamata in questo caso funzione di affidabilità (RF). L'integrità di questo approccio è raggiunta attraverso un gruppo completo di eventi. Poi

FBG = FN = 1 – FR.

Lo stesso vale per la densità di distribuzione (DP), che è la derivata prima del DF, in particolare rispetto al tempo, e, in senso figurato, caratterizza il “tasso” di accadimento dei guasti.

La completezza della descrizione dell'affidabilità di un prodotto (in particolare per i prodotti monouso), inclusa la dinamica della stabilità del comportamento, è caratterizzata dal tasso di guasto attraverso il rapporto tra PR e FBG ed è fisicamente intesa come variazione della lo stato del prodotto, e matematicamente viene introdotto nella teoria delle code attraverso il concetto di flusso di guasti e una serie di assunzioni relative ai guasti stessi (stazionarietà, ordinarietà, ecc.).

Coloro che sono interessati a questi problemi che sorgono quando si scelgono gli indicatori di affidabilità nella fase di progettazione del prodotto possono fare riferimento ai lavori di eminenti autori come A. M. Polovko, B. V. Gnedenko, B. R. Levin - nativi del laboratorio di affidabilità dell'Università di Mosca, guidato da A. N. Kolmogorov , così come A. Ya. Khinchin, E. S. Ventsel, I. A. Ushakova, G. V. Druzhinina, A. D. Solovyova, F. Bayhelt, F. Proshan - i fondatori della teoria statistica dell'affidabilità .

• Cm.: Kolmogorov A.N. Concetti di base della teoria della probabilità. M.: Mir, 1974.