Coordinate geografiche. Forma e dimensione della terra. sistemi di coordinate. altezza

Sistema di coordinate polari determinato specificando un certo punto O, chiamato polo, emanante da questo punto del raggio O.A.(indicato anche come Bue), chiamato asse polare, e una scala per modificare le lunghezze. Inoltre, quando si specifica un sistema di coordinate polari, è necessario determinare quali rotazioni attorno al punto O sono considerati positivi (nei disegni, le rotazioni in senso antiorario sono generalmente considerate positive).

Quindi, selezioniamo un certo punto sul piano (figura sopra) O(polo) e qualche raggio che emerge da esso Bue. Inoltre, indichiamo l'unità di scala. Coordinate polari di un punto M si chiamano due numeri ρ e φ, il primo dei quali (il raggio polare ρ) è uguale alla distanza del punto M dal palo O, e il secondo (angolo polare φ, chiamato anche ampiezza) è l'angolo di cui il raggio deve essere ruotato in senso antiorario Bue prima di allinearsi con il raggio OM.

Punto M con coordinate polari ρ e φ sono indicati dal simbolo M(ρ, φ) .

Relazione tra coordinate polari e coordinate cartesiane

Installiamo relazione tra le coordinate polari di un punto e le sue coordinate cartesiane . Assumeremo che l'origine del sistema di coordinate cartesiane rettangolari sia al polo e che il semiasse positivo dell'ascissa coincida con l'asse polare. Lasciamo il punto M ha coordinate cartesiane X E sì e le coordinate polari ρ e φ. Quindi

X= ρ cos φ)

sì= ρ peccato φ) .

Coordinate polari ρ e φ di un punto M sono determinati dalle sue coordinate cartesiane come segue:

Per trovare il valore dell'angolo φ, è necessario utilizzare i segni X E sì, determinare il quadrante in cui si trova il punto M, e, inoltre, sfruttare il fatto che la tangente dell'angolo φ è uguale a .

Le formule di cui sopra sono chiamate formule per la transizione dalle coordinate cartesiane a quelle polari.

Problemi sui punti nel sistema di coordinate polari

Esempio 1.

UN(3; π /4) ;

B(2; -π /2) ;

C(3; -π /3) .

Trova le coordinate polari dei punti simmetrici a questi punti attorno all'asse polare.

Soluzione. Con la simmetria, la lunghezza della trave non cambia. Di conseguenza, la prima coordinata - la lunghezza del raggio - per un punto simmetrico rispetto all'asse polare sarà la stessa del punto dato. Come si può vedere dalla figura all'inizio della lezione, quando si costruisce un punto simmetrico rispetto all'asse polare, questo punto deve essere ruotato attorno all'asse polare dello stesso angolo φ. Di conseguenza, nel sistema di coordinate polari, la seconda coordinata del punto simmetrico sarà l'angolo del punto originario, preso con il segno opposto, cioè -φ. Quindi, le coordinate polari di un punto simmetrico a quello dato rispetto all'asse polare differiranno solo nella seconda coordinata, e questa coordinata avrà il segno opposto. Le coordinate polari dei punti simmetrici richiesti saranno le seguenti:

UN"(3; -π /4) ;

B"(2; π /2) ;

C"(3; π /3) .

Esempio 2. Nel sistema di coordinate polari i punti sono dati sul piano

UN(1; π /4) ;

B(5; π /2) ;

C(2; -π /3) .

Trova le coordinate polari dei punti simmetrici a questi punti rispetto al polo.

Soluzione. Con la simmetria, la lunghezza della trave non cambia. Di conseguenza, la prima coordinata - la lunghezza del raggio - per un punto simmetrico rispetto al polo sarà la stessa del punto dato. Un punto simmetrico rispetto al polo si ottiene ruotando il punto iniziale di 180 gradi in senso antiorario, cioè dell'angolo π . Di conseguenza, la seconda coordinata di un punto simmetrico a quello dato rispetto al polo viene calcolata come φ + π (se il risultato è un numeratore maggiore del denominatore, sottrai un giro completo dal numero risultante, ovvero 2 π ). Otteniamo le seguenti coordinate di punti simmetrici ai dati relativi al polo:

UN"(1; 3π /4) ;

B"(5; -π /2) ;

C"(2; 2π /3) .

Esempio 3. Il polo del sistema di coordinate polari coincide con l'origine delle coordinate cartesiane rettangolari e l'asse polare coincide con il semiasse positivo dell'ascissa. I punti sono dati nel sistema di coordinate polari

UN(6; π /2) ;

B(5; 0) ;

C(2; π /4) .

Trova le coordinate cartesiane di questi punti.

Soluzione. Utilizziamo le formule per il passaggio dalle coordinate polari a quelle cartesiane:

X= ρ cos φ)

sì= ρ peccato φ) .

Otteniamo le seguenti coordinate cartesiane di questi punti:

UN(0; 6) ;

B(5; 0) ;

C"(√2; √2) .

Esempio 4. Il polo del sistema di coordinate polari coincide con l'origine delle coordinate cartesiane rettangolari e l'asse polare coincide con il semiasse positivo dell'ascissa. I punti sono dati in un sistema di coordinate cartesiane rettangolari

UN(0; 5) ;

B(-3; 0) ;

C(√3; 1) .

Trova le coordinate polari di questi punti.

Sistemi di coordinate utilizzati in topografia: coordinate geografiche, rettangolari piatte, polari e bipolari, loro essenza e utilizzo

Coordinate sono chiamate quantità angolari e lineari (numeri) che determinano la posizione di un punto su qualsiasi superficie o nello spazio.

Nella topografia vengono utilizzati sistemi di coordinate che consentono di determinare nel modo più semplice e inequivocabile la posizione dei punti sulla superficie terrestre, sia dai risultati delle misurazioni dirette sul terreno che dall'utilizzo delle mappe. Tali sistemi includono coordinate geografiche, rettangolari piatte, polari e bipolari.

Coordinate geografiche(Fig. 1) - valori angolari: latitudine (Y) e longitudine (L), che determinano la posizione di un oggetto sulla superficie terrestre rispetto all'origine delle coordinate - il punto di intersezione del meridiano primo (Greenwich) con l'equatore. Su una mappa, la griglia geografica è indicata da una scala su tutti i lati del riquadro della mappa. I lati occidentale e orientale della cornice sono meridiani, mentre i lati settentrionale e meridionale sono paralleli. Negli angoli del foglio di mappa sono scritte le coordinate geografiche dei punti di intersezione dei lati della cornice.

Riso. 1. Sistema di coordinate geografiche sulla superficie terrestre

Nel sistema di coordinate geografiche, la posizione di qualsiasi punto sulla superficie terrestre rispetto all'origine delle coordinate è determinata in misura angolare. Nel nostro paese e nella maggior parte degli altri paesi, come punto iniziale viene considerato il punto di intersezione del meridiano primo (Greenwich) con l'equatore. Essendo quindi uniforme per tutto il nostro pianeta, il sistema di coordinate geografiche è conveniente per risolvere i problemi determinando posizione reciproca oggetti situati a distanze significative l'uno dall'altro.

Pertanto, negli affari militari questo sistema viene utilizzato principalmente per condurre calcoli relativi all'uso delle armi da combattimento. lungo raggio, ad esempio, missili balistici, aviazione, ecc.

Coordinate del piano rettangolare(Fig. 2) - quantità lineari che determinano la posizione di un oggetto su un piano rispetto all'origine accettata delle coordinate - l'intersezione di due linee reciprocamente perpendicolari ( assi coordinati X e Y).

In topografia, ogni zona di 6 gradi ha il proprio sistema di coordinate rettangolari. L'asse X è il meridiano assiale della zona, l'asse Y è l'equatore e il punto di intersezione del meridiano assiale con l'equatore è l'origine delle coordinate.

Riso. 2. Sistema di coordinate rettangolari piatte sulle mappe

Il sistema di coordinate piane rettangolari è zonale; è stabilito per ciascuna zona di sei gradi in cui è divisa la superficie terrestre quando la si raffigura sulle mappe nella proiezione gaussiana e ha lo scopo di indicare la posizione delle immagini dei punti della superficie terrestre su un piano (mappa) in questa proiezione .

L'origine delle coordinate in una zona è il punto di intersezione del meridiano assiale con l'equatore, rispetto al quale viene determinata in misura lineare la posizione di tutti gli altri punti della zona. L'origine della zona e i suoi assi coordinati occupano una posizione strettamente definita sulla superficie terrestre. Pertanto, il sistema di coordinate rettangolari piatte di ciascuna zona è collegato sia con i sistemi di coordinate di tutte le altre zone, sia con il sistema di coordinate geografiche.

L'uso di quantità lineari per determinare la posizione dei punti rende il sistema di coordinate rettangolari piatte molto comodo per eseguire calcoli sia quando si lavora a terra che su una mappa. Pertanto, questo sistema è ampiamente utilizzato tra le truppe. Le coordinate rettangolari indicano la posizione dei punti del terreno, le loro formazioni di battaglia e i bersagli e con il loro aiuto determinano la posizione relativa degli oggetti all'interno di una zona di coordinate o in aree adiacenti di due zone.

Sistemi di coordinate polari e bipolari sono sistemi locali. Nella pratica militare, vengono utilizzati per determinare la posizione di alcuni punti rispetto ad altri in aree relativamente piccole del terreno, ad esempio quando si designano bersagli, si contrassegnano punti di riferimento e bersagli, si redigono diagrammi del terreno, ecc. Questi sistemi possono essere associati a sistemi di coordinate rettangolari e geografiche.

Se introduciamo un sistema di coordinate su un piano o nello spazio tridimensionale, saremo in grado di descrivere figure geometriche e le loro proprietà utilizzando equazioni e disequazioni, ovvero saremo in grado di utilizzare metodi algebrici. Pertanto, il concetto di sistema di coordinate è molto importante.

In questo articolo mostreremo come viene definito un sistema di coordinate cartesiane rettangolari su un piano e nello spazio tridimensionale e scopriremo come vengono determinate le coordinate dei punti. Per chiarezza forniamo illustrazioni grafiche.

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Sistema di coordinate cartesiane rettangolari su un piano.

Introduciamo un sistema di coordinate rettangolari sul piano.

Per fare ciò, traccia due linee reciprocamente perpendicolari sul piano e seleziona su ciascuna di esse direzione positiva, indicandolo con una freccia, e selezionare su ciascuno di essi scala(unità di lunghezza). Indichiamo il punto di intersezione di queste linee con la lettera O e consideriamolo punto di partenza. Quindi abbiamo ottenuto sistema di coordinate rettangolari in superficie.

Viene chiamata ciascuna delle rette con origine O, direzione e scala selezionate linea coordinata O asse delle coordinate.

Un sistema di coordinate rettangolare su un piano è solitamente indicato con Oxy, dove Ox e Oy sono i suoi assi coordinati. Si chiama l'asse del Bue asse x, e l'asse Oy – asse y.

Ora concordiamo sull'immagine di un sistema di coordinate rettangolare su un piano.

Tipicamente, l'unità di misura della lunghezza sugli assi Ox e Oy viene scelta per essere la stessa e viene tracciata dall'origine su ciascun asse delle coordinate nella direzione positiva (contrassegnata con un trattino sugli assi delle coordinate e l'unità è scritta accanto a it), l'asse delle ascisse è diretto verso destra e l'asse delle ordinate è diretto verso l'alto. Tutte le altre opzioni per la direzione degli assi delle coordinate si riducono a quella espressa (asse Ox - a destra, asse Oy - in alto) ruotando il sistema di coordinate di un certo angolo rispetto all'origine e guardandolo dall'altro lato dell'aereo (se necessario).

Il sistema di coordinate rettangolari è spesso chiamato cartesiano, poiché fu introdotto per la prima volta nel piano da René Descartes. Ancora più comunemente, un sistema di coordinate rettangolari è chiamato sistema di coordinate cartesiane rettangolari, mettendo tutto insieme.

Sistema di coordinate rettangolari nello spazio tridimensionale.

Il sistema di coordinate rettangolari Oxyz è impostato in modo simile nello spazio euclideo tridimensionale, solo che non vengono prese due, ma tre linee reciprocamente perpendicolari. In altre parole, agli assi delle coordinate Ox e Oy viene aggiunto un asse di coordinate Oz, che viene chiamato asse applicato.

A seconda della direzione degli assi delle coordinate, si distinguono i sistemi di coordinate rettangolari destro e sinistro nello spazio tridimensionale.

Se visto dalla direzione positiva dell'asse Oz e la rotazione più breve dalla direzione positiva dell'asse Ox alla direzione positiva dell'asse Oy avviene in senso antiorario, allora il sistema di coordinate viene chiamato Giusto.

Se visto dalla direzione positiva dell'asse Oz e la rotazione più breve dalla direzione positiva dell'asse Ox alla direzione positiva dell'asse Oy avviene in senso orario, allora viene chiamato il sistema di coordinate Sinistra.

Coordinate di un punto in un sistema di coordinate cartesiane su un piano.

Innanzitutto, considera la linea coordinata Ox e prendi un punto M su di essa.

Ogni numero reale corrisponde a un singolo punto M su questa linea di coordinate. Ad esempio, un punto situato su una linea coordinata a una distanza dall'origine in direzione positiva corrisponde al numero , e il numero -3 corrisponde a un punto situato a una distanza di 3 dall'origine in direzione negativa. Il numero 0 corrisponde al punto di partenza.

D'altra parte, ogni punto M sulla linea coordinata Ox corrisponde a un numero reale. Questo numero reale è zero se il punto M coincide con l'origine (punto O). Questo numero reale è positivo e uguale alla lunghezza del segmento OM su una data scala se il punto M viene allontanato dall'origine nella direzione positiva. Questo numero reale è negativo e uguale alla lunghezza del segmento OM con segno meno se il punto M viene allontanato dall'origine nella direzione negativa.

Il numero viene chiamato coordinata punti M sulla linea delle coordinate.

Consideriamo ora un piano con il sistema di coordinate cartesiane rettangolari introdotto. Segniamo un punto arbitrario M su questo piano.

Sia la proiezione del punto M sulla linea Ox, e sia la proiezione del punto M sulla linea coordinata Oy (se necessario, vedi l'articolo). Cioè, se attraverso il punto M tracciamo linee perpendicolari agli assi delle coordinate Ox e Oy, allora i punti di intersezione di queste linee con le linee Ox e Oy sono punti e, rispettivamente.

Lascia che il numero corrisponda a un punto sull'asse delle coordinate Ox e il numero a un punto sull'asse Oy.

Ogni punto M del piano in un dato sistema di coordinate cartesiane rettangolari corrisponde ad un'unica coppia ordinata di numeri reali, chiamata coordinate del punto M in superficie. Viene chiamata la coordinata ascissa del punto M, UN - ordinata del punto M.

È vera anche l'affermazione inversa: ogni coppia ordinata di numeri reali corrisponde a un punto M sul piano in un dato sistema di coordinate.

Coordinate di un punto in un sistema di coordinate rettangolare nello spazio tridimensionale.

Mostriamo come vengono determinate le coordinate del punto M in un sistema di coordinate rettangolare definito nello spazio tridimensionale.

Siano e le proiezioni del punto M rispettivamente sugli assi coordinati Ox, Oy e Oz. Lascia che questi punti sugli assi delle coordinate Ox, Oy e Oz corrispondano ai numeri reali e.

Le proiezioni del punto M sugli assi coordinati si possono ottenere anche costruendo piani perpendicolari alle linee Ox, Oy e Oz e passanti per il punto M. Questi piani intersecheranno le linee coordinate Ox, Oy e Oz nei punti e, rispettivamente.

Ogni punto nello spazio tridimensionale in un dato sistema di coordinate cartesiane corrisponde a una terna ordinata di numeri reali, chiamata coordinate del punto M, i numeri vengono chiamati ascissa, ordinato E applicare punti M rispettivamente. È vera anche l'affermazione inversa: ogni terna ordinata di numeri reali in un dato sistema di coordinate rettangolari corrisponde a un punto M nello spazio tridimensionale.

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Determinazione della posizione di un punto nello spazio

Quindi, la posizione di un punto nello spazio può essere determinata solo in relazione ad altri punti. Viene chiamato il punto rispetto al quale viene considerata la posizione di altri punti Punto di riferimento . Useremo anche un altro nome per il punto di riferimento: punto di osservazione . Di solito ad alcuni è associato un punto di riferimento (o un punto di osservazione). sistema di coordinate , che è chiamato sistema di riferimento. Nel sistema di riferimento selezionato, la posizione di OGNI punto è determinata da TRE coordinate.

Sistema di coordinate cartesiane (o rettangolari) di destra

Questo sistema di coordinate è costituito da tre linee dirette reciprocamente perpendicolari, chiamate anche assi coordinati , che si intersecano in un punto (origine). Il punto di origine è solitamente indicato con la lettera O.

Gli assi delle coordinate sono denominati:

1. Asse delle ascisse – designato come OX;

2. Asse Y – indicato come OY;

3. Asse applicato – designato come OZ

Ora spieghiamo perché questo sistema di coordinate è chiamato destrorso. Osserviamo il piano XOY dalla direzione positiva dell'asse OZ, ad esempio dal punto A, come mostrato in figura.

Supponiamo di iniziare a ruotare l'asse OX attorno al punto O. Quindi, il sistema di coordinate destro ha una proprietà tale che se guardi il piano XOY da qualsiasi punto sul semiasse positivo OZ (per noi questo è il punto A) , quindi, ruotando l'asse OX di 90 in senso antiorario, la sua direzione positiva coinciderà con la direzione positiva dell'asse OY.

Questa decisione è stata presa nel mondo scientifico, dobbiamo semplicemente accettarlo così com'è.

Quindi, dopo aver deciso il sistema di riferimento (nel nostro caso il sistema di coordinate cartesiane di destra), la posizione di qualsiasi punto viene descritta attraverso i valori delle sue coordinate o, in altre parole, attraverso i valori delle proiezioni di questo punto sugli assi coordinati.

Si scrive così: A(x, y, z), dove x, y, z sono le coordinate del punto A.

Un sistema di coordinate rettangolari può essere pensato come le linee di intersezione di tre piani reciprocamente perpendicolari.

Va notato che puoi orientare un sistema di coordinate rettangolari nello spazio come preferisci e deve essere soddisfatta solo una condizione: l'origine delle coordinate deve coincidere con il centro di riferimento (o punto di osservazione).

Sistema di coordinate sferiche

La posizione di un punto nello spazio può essere descritta in un altro modo. Supponiamo di aver scelto una regione dello spazio in cui si trova il punto di riferimento O (o punto di osservazione) e di conoscere anche la distanza dal punto di riferimento a un certo punto A. Colleghiamo questi due punti con una linea retta OA . Questa linea si chiama vettore del raggio ed è indicato come R. Tutti i punti che hanno lo stesso valore del raggio vettore giacciono su una sfera, il cui centro si trova nel punto di riferimento (o punto di osservazione), e il raggio di questa sfera è uguale, rispettivamente, al raggio vettore.

Diventa quindi ovvio per noi che conoscere il valore del raggio vettore non ci dà una risposta univoca sulla posizione del punto di nostro interesse. Sono necessarie DUE coordinate in più, perché per determinare in modo inequivocabile la posizione di un punto, il numero di coordinate deve essere TRE.

Successivamente, procederemo come segue: costruiremo due piani reciprocamente perpendicolari, che, naturalmente, daranno una linea di intersezione, e questa linea sarà infinita, perché i piani stessi non sono limitati da nulla. Impostiamo un punto su questa linea e designiamolo, ad esempio, come punto O1. Ora combiniamo questo punto O1 con il centro della sfera – punto O e vediamo cosa succede?

E si scopre un'immagine molto interessante:

· Lo saranno sia l'uno che l'altro aereo centrale aerei.

· L'intersezione di questi piani con la superficie della sfera è indicata con grande cerchi

· Uno di questi cerchi - lo chiameremo arbitrariamente EQUATORE, verrà chiamato l'altro cerchio MERIDIANO PRINCIPALE.

· La linea di intersezione di due piani determinerà in modo univoco la direzione LINEE DEL MERIDIANO PRINCIPALE.

Indichiamo i punti di intersezione della linea del meridiano principale con la superficie della sfera come M1 e M2

Attraverso il centro della sfera, punto O nel piano del meridiano principale, tracciamo una linea retta perpendicolare alla linea del meridiano principale. Questa linea retta si chiama ASSE POLARE .

L'asse polare intersecherà la superficie della sfera in due punti chiamati POLI DELLA SFERA. Designiamo questi punti come P1 e P2.

Determinazione delle coordinate di un punto nello spazio

Ora considereremo il processo di determinazione delle coordinate di un punto nello spazio e daremo anche nomi a queste coordinate. Per completare il quadro, quando si determina la posizione di un punto, indichiamo le direzioni principali da cui vengono conteggiate le coordinate, nonché la direzione positiva durante il conteggio.

1. Impostare la posizione nello spazio del punto di riferimento (o punto di osservazione). Indichiamo questo punto con la lettera O.

2. Costruisci una sfera il cui raggio è uguale alla lunghezza del raggio vettore del punto A. (Il raggio vettore del punto A è la distanza tra i punti O e A). Il centro della sfera si trova nel punto di riferimento O.

3. Impostiamo la posizione nello spazio del piano dell'EQUATORE e di conseguenza il piano del MERIDIANO PRINCIPALE. Va ricordato che questi piani sono tra loro perpendicolari e centrali.

4. L'intersezione di questi piani con la superficie della sfera determina per noi la posizione del cerchio dell'equatore, del cerchio del meridiano principale, nonché della direzione della linea del meridiano principale e dell'asse polare.

5. Determinare la posizione dei poli dell'asse polare e dei poli della linea meridiana principale. (I poli dell'asse polare sono i punti di intersezione dell'asse polare con la superficie della sfera. I poli della linea del meridiano principale sono i punti di intersezione della linea del meridiano principale con la superficie della sfera ).

6. Per il punto A e l'asse polare costruiamo un piano, che chiameremo piano del meridiano del punto A. Quando questo piano si interseca con la superficie della sfera, si otterrà un grande cerchio, che chiameremo MERIDIANO del punto A.

7. Il meridiano del punto A intersecherà ad un certo punto il cerchio dell'EQUATORE, che chiameremo E1

8. La posizione del punto E1 sul cerchio equatoriale è determinata dalla lunghezza dell'arco racchiuso tra i punti M1 ed E1. Il conto alla rovescia è IN SENSO ANTIORARIO. L'arco del cerchio equatoriale racchiuso tra i punti M1 ed E1 è chiamato LONGITUDINE del punto A. La longitudine è indicata con la lettera  .

Riassumiamo i risultati intermedi. Al momento conosciamo DUE delle TRE coordinate che descrivono la posizione del punto A nello spazio: questo è il raggio vettore (r) e la longitudine (). Ora determineremo la terza coordinata. Questa coordinata è determinata dalla posizione del punto A sul suo meridiano. Ma la posizione del punto di partenza da cui avviene il conteggio non è ben definita: possiamo iniziare a contare sia dal polo della sfera (punto P1) che dal punto E1, cioè dal punto di intersezione delle linee meridiane del punto A e dell'equatore (o in altre parole - dalla linea dell'equatore).

Nel primo caso, la posizione del punto A sul meridiano è chiamata DISTANZA POLARE (indicata come R) ed è determinata dalla lunghezza dell'arco compreso tra il punto P1 (o il punto polare della sfera) e il punto A. Il conteggio si effettua lungo la linea meridiana dal punto P1 al punto A.

Nel secondo caso, quando il conto alla rovescia parte dalla linea dell'equatore, la posizione del punto A sulla linea meridiana è chiamata LATITUDINE (indicata come   ed è determinata dalla lunghezza dell'arco racchiuso tra il punto E1 e il punto A.

Ora possiamo finalmente dire che la posizione del punto A in un sistema di coordinate sferiche è determinata da:

· lunghezza del raggio della sfera (r),

lunghezza dell'arco di longitudine (),

lunghezza dell'arco della distanza polare (p)

In questo caso le coordinate del punto A verranno scritte come segue: A(r, , p)

Se utilizziamo un sistema di riferimento diverso, allora la posizione del punto A nel sistema di coordinate sferiche è determinata attraverso:

· lunghezza del raggio della sfera (r),

lunghezza dell'arco di longitudine (),

· lunghezza dell'arco di latitudine ()

In questo caso le coordinate del punto A verranno scritte come segue: A(r, , )

Metodi per misurare gli archi

Sorge la domanda: come misuriamo questi archi? Il modo più semplice e naturale è misurare direttamente le lunghezze degli archi con un righello flessibile, e questo è possibile se la dimensione della sfera è paragonabile alla grandezza di una persona. Ma cosa fare se questa condizione non viene soddisfatta?

In questo caso ricorreremo alla misurazione della lunghezza RELATIVA dell'arco. Prenderemo come standard la circonferenza, parte che è l'arco che ci interessa. Come lo posso fare?

Sistema di coordinate- un modo per specificare punti nello spazio utilizzando i numeri. Il numero di numeri necessari per determinare in modo univoco qualsiasi punto nello spazio ne determina la dimensione. Un elemento obbligatorio del sistema di coordinate è origine- il punto da cui vengono conteggiate le distanze. Altro elemento obbligatorio è l'unità di lunghezza, che permette di misurare le distanze. Tutti i punti dello spazio unidimensionale possono essere specificati con un'origine selezionata utilizzando un numero. Per lo spazio bidimensionale sono necessari due numeri, per lo spazio tridimensionale tre. Questi numeri vengono chiamati coordinate.

1. Storia

Lo sviluppo dei sistemi di coordinate nella storia dell'umanità è associato sia a problemi matematici che a problemi pratici nell'arte della navigazione, basati sulla cartografia e sull'astronomia. Sistema noto coordinate, rettangolari, sono state proposte da René Descartes nell'anno. Il concetto di un sistema di coordinate polari nella matematica europea si sviluppò in questi tempi, ma le prime idee al riguardo esistevano nell'antica Grecia, nei matematici arabi medievali che svilupparono metodi per calcolare la direzione della Kaaba.

L'emergere del concetto di sistemi di coordinate ha portato allo sviluppo di nuove sezioni della geometria: analitica, proiettiva, descrittiva.

2. Sistema di coordinate cartesiane

Il sistema di coordinate più comune in matematica è il sistema di coordinate cartesiane, che prende il nome da René Descartes. Il sistema di coordinate cartesiane è specificato dall'origine e da tre vettori che determinano la direzione degli assi delle coordinate. Ogni punto nello spazio è specificato da numeri che corrispondono alla distanza da questo punto a piani coordinati.

Le coordinate del sistema cartesiano su una cavità sono solitamente indicate con Nello spazio.

Vari sistemi di coordinate cartesiane sono interconnessi da trasformazioni affini: spostamento e rotazioni.

3. Sistemi di coordinate curvilinee

Sulla base del sistema di coordinate cartesiane è possibile definire un sistema di coordinate curvilinee, cioè, ad esempio, per uno spazio tridimensionale di numeri associati alle coordinate cartesiane:

dove tutte le funzioni sono a valore singolo e continuamente differenziate, e lo Jacobiano è:

Un esempio di sistema di coordinate curvilinee su un piano è il sistema di coordinate polari, in cui la posizione di un punto è specificata da due numeri: la distanza tra il punto e l'origine e l'angolo tra il raggio che collega l'origine all'origine. punto e l'asse selezionato. Le coordinate cartesiane e polari di un punto sono legate tra loro dalle formule:

Per lo spazio tridimensionale, sono popolari i sistemi di coordinate cilindriche e sferiche. Pertanto, la posizione di un aereo nello spazio può essere specificata da tre numeri: altitudine, distanza dal punto sulla superficie della Terra su cui vola e l'angolo tra la direzione verso l'aereo e la direzione verso nord. Questo compito corrisponde a un sistema di coordinate cilindriche, oppure la posizione dell'aereo può essere specificata dalla sua distanza e da due angoli: polare e azimutale. Questo compito corrisponde a un sistema di coordinate sferiche.

La varietà dei sistemi di coordinate non si limita a quelli elencati. Esistono molti sistemi di coordinate curvilinee che sono convenienti da utilizzare quando si risolve l'uno o l'altro problema matematico.

3.1. Proprietà

Ciascuna delle equazioni specifica piano delle coordinate. L'intersezione di due piani di coordinate con diversi io imposta linea coordinata. Ogni punto nello spazio è definito dall'intersezione di tre piani coordinati.

Caratteristiche importanti dei sistemi di coordinate curvilinee sono la lunghezza dell'elemento arco e l'elemento volume in essi contenuto. Queste quantità vengono utilizzate nell'integrazione. La lunghezza dell'elemento arco è data dalla forma quadratica:

Sono componenti del tensore metrico.

L'elemento volume è uguale nel sistema di coordinate curvilinee

Il quadrato dello Jacobiano è uguale al determinante del tensore metrico:

Viene chiamato il sistema di coordinate Giusto, se toccano le linee coordinate, sono dirette nella direzione di crescita delle coordinate corrispondenti, formano una terna destra di vettori.

Quando si descrivono i vettori in un sistema di coordinate curvilinee, è conveniente utilizzare una base locale definita in ciascun punto.

4. In geografia

6. In fisica

Per descrivere il movimento dei corpi fisici, la fisica usa il concetto