gradiente di magnitudo. gradiente di funzione

È noto da un corso di matematica scolastico che un vettore su un piano è un segmento orientato. Il suo inizio e la sua fine hanno due coordinate. Le coordinate del vettore vengono calcolate sottraendo le coordinate iniziali dalle coordinate finali.

Il concetto di vettore può essere esteso anche ad uno spazio n-dimensionale (invece di due coordinate ci saranno n coordinate).

Pendenza la funzione gradz z=f(x 1 , x 2 , ... x n) è il vettore delle derivate parziali della funzione in un punto, cioè vettore con coordinate.

Si può dimostrare che il gradiente di una funzione caratterizza la direzione della crescita più rapida del livello della funzione in un punto.

Ad esempio, per la funzione z \u003d 2x 1 + x 2 (vedi Figura 5.8), il gradiente in qualsiasi punto avrà coordinate (2; 1). Può essere costruito su un piano in vari modi, prendendo qualsiasi punto come inizio del vettore. Ad esempio, puoi connettere il punto (0; 0) al punto (2; 1), o il punto (1; 0) al punto (3; 1), o il punto (0; 3) al punto (2; 4), o t.P. (vedere figura 5.8). Tutti i vettori costruiti in questo modo avranno coordinate (2 - 0; 1 - 0) = = (3 - 1; 1 - 0) = (2 - 0; 4 - 3) = (2; 1).

La Figura 5.8 mostra chiaramente che il livello della funzione cresce nella direzione del gradiente, poiché le linee di livello costruite corrispondono ai valori di livello 4 > 3 > 2.

Figura 5.8 - Gradiente della funzione z \u003d 2x 1 + x 2

Consideriamo un altro esempio: la funzione z= 1/(x 1 x 2). Il gradiente di questa funzione non sarà più sempre lo stesso in punti diversi, poiché le sue coordinate sono determinate dalle formule (-1 / (x 1 2 x 2); -1 / (x 1 x 2 2)).

La Figura 5.9 mostra le linee di livello della funzione z= 1/(x 1 x 2) per i livelli 2 e 10 (la linea 1/(x 1 x 2) = 2 è indicata da una linea tratteggiata e la linea 1/( x 1 x 2) = 10 è la linea continua).

Figura 5.9 - Gradienti della funzione z \u003d 1 / (x 1 x 2) in vari punti

Prendi, ad esempio, il punto (0,5; 1) e calcola il gradiente in questo punto: (-1 / (0,5 2 * 1); -1 / (0,5 * 1 2)) \u003d (-4; - 2) . Nota che il punto (0,5; 1) si trova sulla linea di livello 1 / (x 1 x 2) \u003d 2, perché z \u003d f (0,5; 1) \u003d 1 / (0,5 * 1) \u003d 2. A disegna il vettore (-4; -2) nella Figura 5.9, collega il punto (0.5; 1) con il punto (-3.5; -1), perché (-3.5 - 0.5; -1 - 1) = (-4; -2).

Prendiamo un altro punto sulla stessa linea di livello, ad esempio il punto (1; 0,5) (z=f(1; 0,5) = 1/(0,5*1) = 2). Calcola il gradiente a questo punto (-1/(1 2 *0,5); -1/(1*0,5 2)) = (-2; -4). Per rappresentarlo nella Figura 5.9, colleghiamo il punto (1; 0.5) con il punto (-1; -3.5), perché (-1 - 1; -3.5 - 0.5) = (-2; - 4).

Prendiamo un punto in più sulla stessa linea di livello, ma solo ora in un quarto di coordinate non positivo. Ad esempio, punto (-0,5; -1) (z=f(-0,5; -1) = 1/((-1)*(-0,5)) = 2). Il gradiente a questo punto sarà (-1/((-0,5) 2 *(-1)); -1/((-0,5)*(-1) 2)) = (4; 2). Rappresentiamolo nella Figura 5.9 collegando il punto (-0.5; -1) con il punto (3.5; 1), perché (3.5 - (-0.5); 1 - (-1)) = (4 ; 2).

È da notare che in tutti e tre i casi considerati, il gradiente mostra la direzione di crescita del livello della funzione (verso la linea di livello 1/(x 1 x 2) = 10 > 2).

Si può dimostrare che la pendenza è sempre perpendicolare alla linea di livello (superficie piana) passante per il punto dato.

Estremi di una funzione di più variabili

Definiamo il concetto estremo per una funzione con molte variabili.

La funzione di più variabili f(X) ha nel punto X (0) massimo (minimo), se esiste un intorno di questo punto tale che per tutti i punti X da questo intorno valgono le disuguaglianze f(X)f(X (0)) ().

Se queste disuguaglianze sono soddisfatte in maniera rigorosa, allora si parla di estremo forte e se no, allora Debole.

Si noti che l'estremo definito in questo modo è Locale carattere, poiché queste disuguaglianze valgono solo per alcuni dintorni del punto estremo.

Una condizione necessaria per un estremo locale di una funzione differenziabile z=f(x 1, . . ., x n) in un punto è l'uguaglianza a zero di tutte le derivate parziali del primo ordine in questo punto:
.

I punti in cui valgono queste uguaglianze vengono chiamati stazionario.

In altro modo, la condizione necessaria per un estremo può essere formulata come segue: nel punto estremo il gradiente è uguale a zero. È anche possibile dimostrare un'affermazione più generale: nel punto estremo le derivate della funzione in tutte le direzioni svaniscono.

I punti stazionari dovrebbero essere sottoposti a ulteriori studi - se sono soddisfatte le condizioni sufficienti per l'esistenza di un estremo locale. Per fare ciò, determinare il segno del differenziale del secondo ordine. Se per qualsiasi cosa che non è contemporaneamente uguale a zero, è sempre negativa (positiva), allora la funzione ha un massimo (minimo). Se può svanire non solo a incrementi pari a zero, allora la questione dell’estremo rimane aperta. Se può assumere sia valori positivi che negativi, allora non vi è alcun estremo nel punto stazionario.

Nel caso generale, determinare il segno del differenziale è un problema piuttosto complicato, che non considereremo qui. Per una funzione di due variabili, si può dimostrare che si trova in un punto stazionario
, allora c'è un estremo. In questo caso il segno del secondo differenziale coincide con il segno
, cioè. Se
, allora questo è il massimo e se
, allora questo è il minimo. Se
, allora non c'è alcun estremo a questo punto, e se
, allora la questione dell'estremo resta aperta.

Esempio 1. Trova gli estremi di una funzione
.

Troviamo le derivate parziali con il metodo della differenziazione logaritmica.

ln z = ln 2 + ln (x + y) + ln (1 + xy) – ln (1 + x 2) – ln (1 + y 2)

Allo stesso modo
.

Troviamo i punti stazionari dal sistema di equazioni:

Pertanto, si trovano quattro punti stazionari (1; 1), (1; -1), (-1; 1) e (-1; -1).

Troviamo le derivate parziali del secondo ordine:

ln (z x `) = ln 2 + ln (1 - x 2) -2ln (1 + x 2)

Allo stesso modo
;
.

Perché
, segno di espressione
dipende solo da
. Nota che in entrambe queste derivate il denominatore è sempre positivo, quindi puoi considerare solo il segno del numeratore, o anche il segno delle espressioni x (x 2 - 3) e y (y 2 - 3). Determiniamolo in ogni punto critico e controlliamo il soddisfacimento della condizione estrema sufficiente.

Per il punto (1; 1) otteniamo 1*(1 2 - 3) = -2< 0. Т.к. произведение двух отрицательных чисел
> 0 e
< 0, в точке (1; 1) можно найти максимум. Он равен
= 2*(1 + 1)*(1 +1*1)/((1 +1 2)*(1 +1 2)) = = 8/4 = 2.

Per il punto (1; -1) otteniamo 1*(1 2 - 3) = -2< 0 и (-1)*((-1) 2 – 3) = 2 >0. Perché il prodotto di questi numeri
< 0, в этой точке экстремума нет. Аналогично можно показать, что нет экстремума в точке (-1; 1).

Per il punto (-1; -1) otteniamo (-1)*((-1) 2 - 3) = 2 > 0. prodotto di due numeri positivi
> 0 e
> 0, nel punto (-1; -1) si trova un minimo. È uguale a 2*((-1) + (-1))*(1 +(-1)*(-1))/((1 +(-1) 2)*(1 +(-1) 2) ) = -8/4 = = -2.

Trovare globale il massimo o il minimo (il valore più grande o più piccolo della funzione) è un po' più complicato dell'estremo locale, poiché questi valori possono essere raggiunti non solo nei punti stazionari, ma anche al confine del dominio di definizione. Non è sempre facile studiare il comportamento di una funzione al confine di questa regione.

Alcuni concetti e termini vengono utilizzati rigorosamente entro limiti ristretti, altre definizioni si trovano in aree nettamente opposte. Quindi, ad esempio, il concetto di "gradiente" viene utilizzato da un fisico, da un matematico e da uno specialista in manicure o "Photoshop". Cos'è un gradiente come concetto? Scopriamolo.

Cosa dicono i dizionari?

Che cos'è un "gradiente" dizionari tematici speciali interpretano in relazione alle loro specificità. Tradotto da latino questa parola significa: "quello che va, cresce". E "Wikipedia" definisce questo concetto come "un vettore che indica la direzione di grandezza crescente". IN dizionari esplicativi vediamo il significato di questa parola come "cambiamento di qualsiasi valore con un valore". Il concetto può avere un significato sia quantitativo che qualitativo.

In breve, si tratta di una transizione graduale e graduale di qualsiasi valore rispetto a un valore, un cambiamento progressivo e continuo di quantità o direzione. Il vettore è calcolato da matematici, meteorologi. Questo concetto è utilizzato in astronomia, medicina, arte, computer grafica. Con il termine simile vengono definiti tipi di attività completamente diversi.

Funzioni matematiche

Qual è il gradiente di una funzione in matematica? Questo è ciò che indica la direzione di crescita di una funzione in un campo scalare da un valore all'altro. L'entità del gradiente viene calcolata utilizzando la definizione di derivate parziali. Per scoprire la direzione di crescita più rapida della funzione sul grafico, vengono selezionati due punti. Definiscono l'inizio e la fine del vettore. La velocità con cui un valore cresce da un punto a un altro è l'entità del gradiente. Funzioni matematiche, sulla base dei calcoli di questo indicatore, vengono utilizzati nella computer grafica vettoriale, i cui oggetti sono immagini grafiche di oggetti matematici.

Cos'è un gradiente in fisica?

Il concetto di gradiente è comune in molti rami della fisica: il gradiente dell'ottica, della temperatura, della velocità, della pressione, ecc. In questo settore, il concetto denota una misura dell'aumento o della diminuzione di un valore per unità. Si calcola come differenza tra i due indicatori. Consideriamo alcune quantità in modo più dettagliato.

Cos'è un potenziale gradiente? Lavorando con un campo elettrostatico si determinano due caratteristiche: tensione (potenza) e potenziale (energia). Queste diverse quantità sono legate all'ambiente. E sebbene definiscano caratteristiche diverse, hanno comunque una connessione tra loro.

Per determinare l'intensità del campo di forza, viene utilizzato il gradiente potenziale, un valore che determina la velocità di variazione del potenziale nella direzione della linea del campo. Come calcolare? Differenza potenziale di due punti campo elettrico viene calcolato dalla tensione nota utilizzando il vettore intensità, che è uguale al gradiente potenziale.

Termini di meteorologi e geografi

Per la prima volta, il concetto di gradiente è stato utilizzato dai meteorologi per determinare il cambiamento nella magnitudo e nella direzione di vari indicatori meteorologici: temperatura, pressione, velocità e forza del vento. È una misura della variazione quantitativa di varie quantità. Maxwell introdusse il termine in matematica molto più tardi. Nella definizione delle condizioni meteorologiche esistono i concetti di gradiente verticale e orizzontale. Consideriamoli in modo più dettagliato.

Cos'è un gradiente di temperatura verticale? Si tratta di un valore che mostra la variazione di prestazione, calcolata a 100 m di altezza, e può essere sia positivo che negativo, a differenza dell'orizzontale che è sempre positivo.

Il gradiente mostra l'entità o l'angolo della pendenza sul terreno. Si calcola come rapporto tra l'altezza e la lunghezza della proiezione del percorso su un determinato tratto. Espresso in percentuale.

Indicatori medici

La definizione di "gradiente di temperatura" si trova anche tra i termini medici. Mostra la differenza negli indicatori corrispondenti degli organi interni e della superficie del corpo. In biologia, il gradiente fisiologico fissa un cambiamento nella fisiologia di qualsiasi organo o organismo nel suo insieme in qualsiasi fase del suo sviluppo. In medicina, un indicatore metabolico è l’intensità del metabolismo.

Non solo i fisici, ma anche i medici usano questo termine nel loro lavoro. Cos’è il gradiente pressorio in cardiologia? Questo concetto definisce la differenza di pressione sanguigna in qualsiasi sezione interconnessa del sistema cardiovascolare.

Un gradiente decrescente di automatismo è un indicatore di una diminuzione della frequenza delle eccitazioni del cuore nella direzione dalla base verso l'alto, che si verificano automaticamente. Inoltre, i cardiologi identificano la sede del danno arterioso e la sua entità controllando la differenza nell'ampiezza delle onde sistoliche. In altre parole, utilizzando il gradiente di ampiezza dell'impulso.

Cos'è un gradiente di velocità?

Quando si parla del tasso di cambiamento di una certa quantità, con questo si intende il tasso di cambiamento nel tempo e nello spazio. In altre parole, il gradiente di velocità determina il cambiamento delle coordinate spaziali rispetto agli indicatori temporali. Questo indicatore è calcolato da meteorologi, astronomi, chimici. Il gradiente della velocità di taglio degli strati fluidi viene determinato nell'industria del petrolio e del gas per calcolare la velocità con cui un fluido sale attraverso un tubo. Un tale indicatore dei movimenti tettonici è l'area dei calcoli dei sismologi.

Funzioni economiche

Per corroborare importanti conclusioni teoriche, il concetto di gradiente è ampiamente utilizzato dagli economisti. Quando si risolvono i problemi dei consumatori, viene utilizzata una funzione di utilità, che aiuta a rappresentare le preferenze da un insieme di alternative. "Funzione di vincolo di bilancio" è un termine usato per riferirsi a un insieme di pacchetti di consumatori. I gradienti presenti in questa zona vengono utilizzati per calcolare i consumi ottimali.

gradiente di colore

Il termine "gradiente" è familiare alle persone creative. Sebbene siano lontani dalle scienze esatte. Cos'è un gradiente per un designer? Poiché nelle scienze esatte si tratta di un aumento graduale del valore di uno, nel colore questo indicatore denota una transizione graduale e allungata delle sfumature dello stesso colore dal più chiaro al più scuro o viceversa. Gli artisti chiamano questo processo “stretching”. È anche possibile passare a diversi colori di accompagnamento nella stessa gamma.

L'allungamento graduale delle sfumature nella colorazione delle stanze ha preso una posizione forte tra le tecniche di progettazione. Il nuovo stile ombre - un flusso fluido di ombre dal chiaro allo scuro, dal chiaro al pallido - trasforma efficacemente qualsiasi stanza della casa e dell'ufficio.

Gli ottici utilizzano lenti speciali nei loro occhiali da sole. Cos'è il gradiente negli occhiali? Questa è la creazione di lenti. in modo speciale quando il colore passa dal più scuro al più chiaro dall'alto verso il basso. I prodotti realizzati con questa tecnologia proteggono gli occhi dalle radiazioni solari e consentono di vedere gli oggetti anche in condizioni di luce molto intensa.

Il colore nel web design

Coloro che sono impegnati nel web design e nella computer grafica conoscono bene lo strumento universale "gradiente", con l'aiuto del quale vengono creati molti effetti diversi. Le transizioni di colore si trasformano in luci, sfondi fantasiosi, tridimensionalità. La manipolazione della tonalità e la creazione di luci e ombre aggiungono volume agli oggetti vettoriali. A questo scopo vengono utilizzati diversi tipi di gradienti:

• Lineare.
• Radiale.
• conico.
• Specchio.
• Romboidale.
• gradiente di rumore.

bellezza sfumata

Per i visitatori dei saloni di bellezza, la domanda su cosa sia un gradiente non sarà una sorpresa. È vero, in questo caso non è necessaria la conoscenza delle leggi matematiche e dei fondamenti della fisica. È tutta una questione di transizioni di colore. Capelli e unghie diventano l'oggetto del gradiente. La tecnica ombre, che in francese significa "tono", è diventata di moda tra gli amanti dello sport, del surf e di altre attività in spiaggia. I capelli naturalmente bruciati e ricresciuti sono diventati un successo. Le donne della moda hanno iniziato a tingersi i capelli in modo speciale con una transizione di sfumature appena percettibile.

La tecnica ombre non è passata dai saloni di bellezza. La sfumatura sulle unghie crea una colorazione con schiarimento graduale della lamina dalla radice al bordo. I maestri offrono orizzontale, verticale, con transizione e altre varietà.

Ricamo

Il concetto di "gradiente" è familiare alle ricamatrici da un altro lato. Una tecnica di questo tipo viene utilizzata nella creazione di oggetti fatti a mano in stile decoupage. In questo modo si creano nuove cose antiche, o si restaurano quelle vecchie: cassettiere, sedie, cassapanche e così via. Il decoupage prevede l'applicazione di un motivo utilizzando uno stencil, basato su una sfumatura di colore come sfondo.

Gli artisti del tessuto hanno adottato la tintura in questo modo per i nuovi modelli. Abiti dai colori sfumati hanno conquistato le passerelle. La moda è stata ripresa dalle ricamatrici: le magliaie. Gli articoli lavorati a maglia con una transizione graduale di colore sono un successo.

Riassumendo la definizione di "gradiente", possiamo dire di un'area molto estesa dell'attività umana in cui questo termine trova posto. La sostituzione con il sinonimo "vettore" non è sempre appropriata, poiché il vettore è dopo tutto un concetto funzionale e spaziale. Ciò che determina la generalità del concetto è un cambiamento graduale di una certa quantità, sostanza, parametro fisico per unità in un certo periodo. A colori, questa è una transizione graduale di tono.

Ha detto che le mani sono il biglietto da visita di una ragazza. E aveva assolutamente ragione. Non puoi essere elegante, spettacolare senza la manicure adeguata, soprattutto ai nostri tempi. Le riviste di bellezza femminili sono piene di innovazioni e deliziano con i loro nuovi prodotti. Cos'è un gradiente, lo sanno tutte le fashioniste. Le ultime tendenze dettano le proprie regole nei colori. Colori sempre più brillanti, tutti i tipi di interpretazioni sono presenti nella manicure delle donne.

Il concetto di manicure sfumata

Possiamo dire che questa è la transizione da un colore all'altro: ecco qual è la sfumatura sulle unghie. La tecnica di miscelazione consente di ottenere colorazioni incredibili. Con una prestazione fluida e accurata, un segmento di separazione sfocato della tonalità appena formata è chiaramente visibile. Come se apparisse un'ombra (ombre in francese, il secondo nome del gradiente). È bello e insolito. A volte è difficile scegliere il colore della vernice, abbinato allo stile di abbigliamento scelto. La tecnica di applicazione della vernice sulla lamina ungueale in stile sfumato è una buona soluzione al problema. È unico in quanto puoi giocare con la tavolozza dei colori in contrasto.

I principali tipi di gradiente

Avendo un'idea di cos'è un gradiente, dovresti soffermarti sui suoi tipi. Il loro numero è enorme e ogni giorno ce ne sono di nuovi. I principali sono:

Decorazione dal design moderno a gradiente

Nel tesoro della creatività del maestro, si dovrebbe aggiungere non solo la capacità di combinare diverse sfumature di colore, ma anche di applicare un certo disegno alle unghie. Il gradiente è una grande opportunità per mostrare l'immaginazione. Dovresti seguire la misura ed essere consapevole delle ultime innovazioni nell'arte della manicure. La tendenza del design della moda accoglie i colori pastello. Questa è un'opzione vantaggiosa per tutte le occasioni. Sembrerà armonioso con qualsiasi stile di abbigliamento.

E anche gli esperti nella pratica utilizzano vari mezzi e metodi per la decorazione. Disegnare un'immagine su uno o tutti i chiodi è sempre rilevante. L'uso di strass e paillettes darà l'effetto di solennità ed eleganza.

Gli artigiani esperti sanno cos'è un gradiente in un'interpretazione alla moda. Grazie a questo metodo, le donne sono individuali e uniche. Una sfumatura moderna può essere eseguita non solo nei saloni, ma anche a casa. Il desiderio di essere belli non conosce limiti.