Le loro testimonianze si contraddicevano a vicenda, e ognuno di loro... Sillogismi Un giorno, l'investigatore ha dovuto interrogare contemporaneamente tre testimoni: Claude, Jacques e Dick. Le loro testimonianze si contraddicevano a vicenda e ciascuna delle opzioni era preferita

Possiamo distinguere la seguente sequenza di passaggi nella risoluzione dei problemi logici.

1. Seleziona affermazioni elementari (semplici) dalla dichiarazione del problema ed etichettale con lettere.

2. Annota la condizione del problema nel linguaggio dell'algebra logica, collega affermazioni semplici a complesse utilizzando operazioni logiche.

3. Creare un'unica espressione logica per i requisiti dell'attività.

4. Utilizzando le leggi dell'algebra logica, prova a semplificare l'espressione risultante e calcola tutti i suoi valori o costruisci una tabella di verità per l'espressione in questione.

5. Scegli una soluzione – insieme di valori affermazioni semplici in cui l'espressione logica costruita è vera.

6. Controlla se la soluzione risultante soddisfa le condizioni del problema.

Esempio:

Compito 1:“Cercando di ricordare i vincitori del torneo dello scorso anno, cinque ex spettatori del torneo hanno dichiarato che:

1. Anton era secondo e Boris era quinto.

2. Victor era secondo e Denis era terzo.

3. Gregory fu il primo e Boris fu il terzo.

4. Anton era terzo ed Evgeniy sesto.

5. Victor era terzo ed Evgeniy era quarto.

Successivamente, si è scoperto che ogni spettatore si sbagliava in una delle sue due affermazioni. Qual è stata la reale distribuzione dei posti nel torneo?

1) Indichiamo con la prima lettera del nome del partecipante al torneo, a, il numero del posto che ha, ad es. abbiamo .

2) 1. ; 3. ; 5. .

3) Un'unica espressione logica per tutti i requisiti del compito: .

4) Nella formula l condurremo trasformazioni equivalenti, noi abbiamo: .

5) Dal punto 4 segue: , , , , .

6) Distribuzione dei posti nel torneo: Anton era terzo, Boris era quinto, Victor era secondo, Grigory era primo ed Evgeniy era quarto.

Compito 2:“Ivanov, Petrov, Sidorov sono comparsi in tribunale con l'accusa di rapina. L’indagine ha stabilito:

1. se Ivanov non è colpevole o Petrov è colpevole, allora Sidorov è colpevole;

2. se Ivanov non è colpevole, allora Sidorov non è colpevole.

Ivanov è colpevole?

1) Considera le affermazioni:

UN: “Ivanov è colpevole”, IN: “Petrov è colpevole”, CON: “Sidorov è colpevole”.

2) Fatti accertati dall'indagine: , .

3) Singola espressione logica: . È vero.

Creiamo una tabella di verità per questo.

UN	IN	CON	l

Risolvere un problema significa indicare a quali valori di A l'affermazione complessa risultante L è vera. Se , a , allora l'indagine non ha fatti sufficienti per accusare Ivanov di un crimine. L'analisi della tabella mostra e, vale a dire Ivanov è colpevole di rapina.

Domande e compiti.

1. Componi l'RKS per le formule:

2. Semplifica l'RKS:

3. Utilizzando questo circuito di commutazione, costruire una formula logica corrispondente.

4. Verificare l'equivalenza dell'RKS:

5. Costruisci un circuito di tre interruttori e una lampadina in modo che la lampadina si accenda solo quando esattamente due interruttori sono in posizione "on".

6. Utilizzando questa tabella di conducibilità, costruisci un circuito di elementi funzionali con tre ingressi e un'uscita, implementando la formula.

X	sì	z	F

7. Analizza il diagramma mostrato in figura e scrivi la formula per la funzione F.

8. Problema: “Una volta l'investigatore ha dovuto interrogare contemporaneamente tre testimoni: Claude, Jacques, Dick. Le loro testimonianze si contraddicevano a vicenda e ognuno di loro accusava qualcuno di mentire.

1) Claude ha affermato che Jacques mentiva.

2) Jacques ha accusato Dick di mentire.

3) Dick ha cercato di convincere l'investigatore a non credere né a Claude né a Jacques.

Ma l'investigatore li ha portati subito alla luce senza porre loro una sola domanda. Quale testimone ha detto la verità?

9. Determinare quale dei quattro studenti ha superato l'esame se è noto che:

1) Se passa il primo, passa anche il secondo.

2) Se è passato il secondo, allora è passato il terzo oppure non è passato il primo.

3) Se il quarto non passava, allora passava il primo e non passava il terzo.

4) Se passa il quarto, passa il primo.

10. Alla domanda su quale dei tre studenti studiasse logica, si ricevette la risposta: se studiava il primo, allora studiava il terzo, ma non è vero che se studiava il secondo, allora studiava il terzo. Chi ha studiato logica?

. 18 anni.

Soluzione

Primo modo . In base alle condizioni del problema, è possibile creare un'equazione. Sia l'età di Dima x anni, quindi l'età della sorella è x/3 e l'età del fratello è x/2; (x+x/3+x/2):3=11. Dopo aver risolto questa equazione troviamo che x=18. Dima ha compiuto 18 anni. Sarà utile dare una soluzione leggermente diversa, “in parti”.

Secondo modo . Se le età di Dima, di suo fratello e di sua sorella sono rappresentate in segmenti, allora il “segmento di Dima” è composto da due “segmenti fratello” o tre “segmenti sorella”. Quindi, se l'età di Dima è divisa in 6 parti, allora l'età della sorella è di due parti e l'età del fratello è di tre parti. Quindi la somma delle loro età è di 11 parti di questo tipo. D'altra parte, se età mediaè 11 anni, quindi la somma delle età è 33 anni. Ne consegue che in una parte ci sono tre anni. Ciò significa che Dima ha 18 anni.

Criteri di verifica .

Soluzione completamente corretta - 7 punti.

L'equazione è stata redatta correttamente, ma nella soluzione sono stati commessi errori: 3 punti .

Viene data la risposta corretta e il controllo è completato - 2 punti .

0 punti .

Risposta . Sam Gray.

Soluzione .

Dalle premesse del problema risulta chiaro che le dichiarazioni di ciascuno dei testimoni riguardano le dichiarazioni degli altri due testimoni. Consideriamo la dichiarazione di Bob Black. Se quello che dice è vero, allora Sam Gray e John White mentono. Ma il fatto che John White menta significa che non tutta la testimonianza di Sam Gray è una bugia totale. E questo contraddice le parole di Bob Black, a cui scegliamo di credere e che sostiene che Sam Gray stia mentendo. Quindi quello che ha detto Bob Black non può essere vero. Ciò significa che ha mentito e dobbiamo accettare le parole di Sam Gray come vere e, quindi, le dichiarazioni di John White come bugie. Risposta: Sam Gray non ha mentito.

Criteri di verifica .

Viene fornita un'analisi completa e corretta della situazione problematica e viene fornita la risposta corretta: 7 punti .

Viene fornita un’analisi completa e corretta della situazione, ma per qualche motivo viene data una risposta errata (ad esempio, invece di chi NON ha mentito, la risposta indica chi ha mentito) – 6 punti .

Viene fornita un’analisi corretta della situazione, ma per qualche motivo non viene fornita la risposta corretta (ad esempio, è dimostrato che Bob Black ha mentito, ma non si traggono ulteriori conclusioni) – 4 punti .

Viene data la risposta corretta e viene dimostrato che soddisfa le condizioni del problema (selezionato), ma non è dimostrato che la risposta sia l'unica - 3 punti .

1 punto .

0 punti .

Risposta . Un numero 175.

Soluzione . Primo modo . Le cifre utilizzate per scrivere un numero non contengono il numero 0, altrimenti la condizione dell'attività non può essere soddisfatta. Questo numero di tre cifre si ottiene moltiplicando il prodotto delle sue cifre per 5, quindi è divisibile per 5. Ciò significa che la sua notazione termina con il numero 5. Otteniamo che il prodotto delle cifre moltiplicato per 5 deve essere divisibile per 25. Nota che non ci sono cifre pari nella notazione del numero, altrimenti il prodotto delle cifre sarebbe uguale a zero. Pertanto, un numero di tre cifre deve essere divisibile per 25 e non contenere cifre pari. Esistono solo cinque di questi numeri: 175, 375, 575, 775 e 975. Il prodotto delle cifre del numero desiderato deve essere inferiore a 200, altrimenti, moltiplicato per 5, darà un numero di quattro cifre. Pertanto i numeri 775 e 975 ovviamente non sono adatti. Dei restanti tre numeri solo 175 soddisfa le condizioni del problema. Secondo modo. Nota (simile al primo metodo di soluzione) che l'ultima cifra del numero desiderato è 5. LetUN , B , 5 – cifre consecutive del numero desiderato. A seconda delle condizioni del problema abbiamo: 100UN + 10 B + 5 = UN · B ·5·5. Dividendo entrambi i membri dell'equazione per 5, otteniamo: 20UN + 2 B + 1 = 5 ab . Dopo aver sottratto 20a da entrambi i lati dell'equazione ed eliminato il fattore comune sul lato destro, otteniamo: 2B + 1 = 5 UN (B – 4 UN) (1 ). Considerando che UN E B può assumere valori naturali da 1 a 9, troviamo che i possibili valori di a sono solo 1 o 2. Ma a=2 non soddisfa l'uguaglianza (1 ), sul lato sinistro del quale c'è un numero dispari, e sul lato destro, sostituendo a=2, si ottiene un numero pari. Quindi l'unica possibilità è a=1. Sostituendo questo valore in (1 ), otteniamo: 2 B + 1 = 5 B– 20, da dove B =7. Risposta: l'unico numero richiesto è 175.

Criteri di verifica .

Soluzione completamente corretta - 7 punti .

Viene ricevuta la risposta corretta e ci sono argomenti che riducono significativamente la ricerca di opzioni, ma non esiste una soluzione completa - 4 punti .

L'equazione è redatta correttamente e vengono fornite trasformazioni e ragionamenti per risolvere il problema, ma la soluzione non è completa - 4 punti .

L'elenco delle opzioni è ridotto, ma non viene fornita alcuna spiegazione del motivo e viene indicata la risposta corretta: 3 punti .

L'equazione è corretta, ma il problema non è risolto - 2 punti .

La soluzione contiene un ragionamento che consente di escludere qualsiasi numero dalla considerazione o di considerare i numeri con determinate proprietà(ad esempio, termina con il numero 5), ma non vi sono ulteriori progressi significativi nella soluzione - 1 punto .

Viene fornita solo la risposta corretta o una risposta verificata: 1 punto .

Risposta . 75° .

Soluzione . Consideriamo il triangolo AOC, dove O è il centro del cerchio. Questo triangolo è isoscele, poiché OC e OA sono raggi. Ciò significa che, secondo la proprietà di un triangolo isoscele, gli angoli A e C sono uguali. Disegniamo una perpendicolare CM al lato AO e consideriamo triangolo rettangolo Assicurazione medica obbligatoria. Secondo le condizioni del problema, la gamba CM è la metà dell'ipotenusa OS. Ciò significa che l'angolo COM è 30°. Allora, secondo il teorema sulla somma degli angoli di un triangolo, troviamo che l'angolo CAO (o CAB) è pari a 75°.

Criteri di verifica .

Una soluzione corretta e fondata al problema – 7 punti.

Viene fornito un ragionamento corretto che è una soluzione al problema, ma per qualche motivo viene data la risposta sbagliata (ad esempio, è indicato l’angolo COA invece dell’angolo CAO) – 6 punti.

Generalmente viene fornito il ragionamento corretto, in cui sono stati commessi errori che non sono fondamentali per l'essenza della decisione, e viene data la risposta corretta: 5 punti.

La soluzione corretta al problema si dà in assenza di giustificazione: tutte le conclusioni intermedie sono indicate senza indicare le connessioni tra loro (riferimenti a teoremi o definizioni) – 4 punti.

Sul disegno sono state fatte ulteriori costruzioni e annotazioni, da cui è chiaro il corso della soluzione, è stata data la risposta corretta, ma non è stato fornito il ragionamento stesso - 3 punti.

Viene data la risposta corretta per il ragionamento errato: 0 punti.

Viene data solo la risposta corretta: 0 punti.

Risposta . Guarda l'immagine.

Soluzione . Trasformiamo questa equazione selezionando un quadrato completo sotto il segno della radice: . L'espressione a destra ha senso solo quando x = 9. Sostituendo questo valore nell'equazione, otteniamo: 9 2 – sì 4 = 0. Fattorizziamo il lato sinistro: (3 –sì)(3 + sì)(9 + sì 2 ) = 0. Dove sì= 3 o sì = –3. Ciò significa che le coordinate di soli due punti (9; 3) o (9; –3) soddisfano questa equazione. Il grafico dell'equazione è mostrato in figura.

Criteri di verifica.

Sono state eseguite le trasformazioni e i ragionamenti corretti e il grafico è stato costruito correttamente - 7 punti.

Sono state effettuate le conversioni corrette, ma il significato è andato perso sì = –3; un punto è indicato come grafico -3 punti.

Sono eventualmente indicati uno o due punti idonei con verifica, ma senza altre spiegazioni o dopo trasformazioni errate -1 punto.

Sono state eseguite le trasformazioni corrette, ma è stato dichiarato che l'espressione sotto la radice (o sul lato destro dopo la quadratura) è negativa e il grafico è un insieme vuoto di punti - 1 punto.

È stato effettuato un ragionamento che ha portato all'indicazione di due punti, ma questi punti sono collegati in qualche modo (ad esempio da un segmento) - 1 punto.

Vengono indicati senza spiegazione due punti che sono in qualche modo collegati - 0 punti.

In altri casi - 0 punti.

Risposte ai compiti della seconda fase delle Olimpiadi

Risposta . Loro possono.

Soluzione . Se a = , b = - , allora a = b+1 e a 2 = b 2

Puoi anche risolvere il sistema di equazioni:

Criteri di verifica.

Risposta corretta con i numeri UN E B – 7 punti .

È stato compilato un sistema di equazioni, ma durante la sua risoluzione è stato commesso un errore aritmetico: 3 punti .

L'unica risposta è 1 punto .

Risposta . Tra 12 secondi .

Soluzione . Ci sono 3 voli tra il primo e il quarto piano e 4 tra il quinto e il primo piano. A seconda delle condizioni, Petya esegue 4 voli 2 secondi in più di quanto sua madre prende l'ascensore e tre voli è 2 secondi più veloce di sua madre. Ciò significa che Petya effettua un volo in 4 secondi. Quindi Petya corre dal quarto piano al primo (cioè 3 voli) in 4*3=12 secondi.

Criteri di verifica.

Risposta corretta con soluzione completa - 7 punti .

Viene spiegato che un volo richiede 4 secondi, la risposta indica 4 secondi - 5 punti .

La giustificazione corretta si basa sul presupposto che il percorso dal quinto piano al primo è 1,25 volte più lungo del percorso dal quarto piano al primo e la risposta è 16 secondi - 3 punti .

L'unica risposta è 0 punti .

Risposta . Guarda l'immagine.

Soluzione . Perché X 2 =| X | 2 , Poi =| X |, e x≠ 0.

È anche possibile, utilizzando la definizione di modulo, ottenere che (per x = 0 funzione non definita).

Criteri di verifica.

Grafico corretto con spiegazione - 7 punti .

Grafico reale senza alcuna spiegazione - 5 punti .

Grafico della funzione =|x| senza un punto forato -3 punti .

Risposta . SÌ .

Soluzione . Dividiamo questo quadrato con lato pari a 5 rette parallele ai lati in 25 quadrati con lato pari a 1 (vedi figura). Se ciascuno di questi quadrati non avesse più di 4 punti contrassegnati, in totale non verrebbero contrassegnati più di 25 * 4 = 100 punti, il che contraddice la condizione. Pertanto, almeno uno dei quadrati risultanti deve contenere 5 dei punti contrassegnati.

Criteri di verifica.

La decisione giusta - 7 punti .

L'unica risposta è 0 punti .

Risposta . Otto modi.

Soluzione . Dal punto a) ne consegue che la colorazione di tutti i punti a coordinate intere è determinata univocamente dalla colorazione dei punti corrispondenti ai numeri 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Punto 0=14-2*7 dovrebbero essere colorati allo stesso modo di 14, quelli. rosso. Allo stesso modo, il punto 1=71-107 dovrebbe essere colorato di blu, il punto 3=143-20*7 – blu e 6=20-2*7 – rosso. Pertanto non resta che contare quanti diversi modi puoi colorare i punti corrispondenti ai numeri 2, 4 e 5. Poiché ogni punto può essere colorato in due modi - rosso o blu - ci sono un totale di 2*2*2=8 modi. Nota. Quando conti il numero di modi per colorare i punti 2, 4 e 5, puoi semplicemente elencarli tutti, ad esempio, sotto forma di tabella:

Criteri di verifica .

Risposta corretta con giustificazione corretta - 7 punti .

Il problema si riduceva a contare il numero di modi per colorare 3 punti, ma la risposta era 6 o 7 - 4 punti .

Il compito si riduce a contare il numero di modi per colorare 3 punti, ma non viene conteggiato il numero di modi oppure la risposta ricevuta è diversa da quelle indicate in precedenza - 3 punti .

Risposta (compresa quella corretta) senza giustificazione - 0 punti .

Risposta . 4 volte.

Soluzione .

Disegniamo i segmenti MK e AC . Il quadrilatero MVKE è composto da

triangoli MVK e MKE , e il quadrilatero AESD - dai triangoli

1 modo . Triangoli MVK e ACD - rettangolare e i cateti del primo sono 2 volte più piccoli dei cateti del secondo, quindi sono simili e l'area del triangolo è ACD 4 volte l'area del triangolo MVK. Perché M e K – le parti centrali di AB e BC rispettivamente, quindi MK– , quindi MK || AS e MK = 0,5 CA . Dal parallelismo delle rette MK e AC segue la somiglianza

triangoli MKE e AEC, E perché il coefficiente di somiglianza è 0,5, allora l'area del triangolo AEC è 4 volte maggiore dell'area del triangolo MKE. Ora: S AES D =SAEC+SACD= 4 SMKE+ 4 SMBK= 4 (SMKE+SMBK)= 4 SMBKE.

2 modo . Sia l'area del rettangolo ABCD uguale a S. Quindi l'area del triangolo ACD uguale a ( la diagonale del rettangolo lo divide in due triangoli uguali), e l'area del triangolo MVK è pari a MV×VK=T.k. M e K – punti medi dei segmenti AB e BC, poi AK e SM – mediana del triangolo ABC, quindi E – punto di intersezione delle mediane del triangolo ABC, quelli. la distanza da E ad AC èH, Dove H - altezza del triangolo ABC, tratto dal vertice B. Quindi l'area del triangolo AEC è. Quindi per l'area del quadrilatero AESD, uguale alla somma delle aree dei triangoli AEC e ACD, otteniamo: Successivo, perché MK– linea mediana del triangolo ABC, quindi l'area del triangolo MKE è uguale a* h -* h ) = h )=(AC * h )== S . Pertanto, per l'area del quadrilatero MVKE, uguale alla somma delle aree dei triangoli MVK e MKE, noi abbiamo: . Pertanto, il rapporto tra le aree dei quadrilateri AESD e MVKE è uguale.

Criteri di verifica.

La soluzione giusta e la risposta giusta -7 punti .

Soluzione corretta, ma la risposta non è corretta a causa di un errore aritmetico -5 punti .

5. IL SOMMARIO DEI RISULTATI E LA PREMIAZIONE DEI VINCITORI

Gli indicatori finali dei compiti competitivi completati sono determinati dalla giuria inin conformità con i criteri di valutazione sviluppati;

Per i vincitori delle Olimpiadi, determinati dal maggior numero di punti,sono stabiliti tre premi;

I risultati della competizione sono documentati in un rapporto dell'organizzatore delle Olimpiadi.

I vincitori ricevono attestati e regali di valore.

In caso di disaccordo con la valutazione data dalla giuria, il partecipante potrà presentarericorso scritto entro un'ora dalla pubblicazione dei risultati.

La pubblicità del concorso è assicurata - sulla base dei risultati del concorso,vincitori.

Possiamo distinguere la seguente sequenza di passaggi nella risoluzione dei problemi logici.

1. Seleziona affermazioni elementari (semplici) dalla dichiarazione del problema ed etichettale con lettere.

2. Annota la condizione del problema nel linguaggio dell'algebra logica, collega affermazioni semplici a complesse utilizzando operazioni logiche.

3. Creare un'unica espressione logica per i requisiti dell'attività.

4. Utilizzando le leggi dell'algebra logica, prova a semplificare l'espressione risultante e calcola tutti i suoi valori o costruisci una tabella di verità per l'espressione in questione.

5. Scegli una soluzione – insieme di valori affermazioni semplici in cui l'espressione logica costruita è vera.

6. Controlla se la soluzione risultante soddisfa le condizioni del problema.

Esempio:

Compito 1:“Cercando di ricordare i vincitori del torneo dello scorso anno, cinque ex spettatori del torneo hanno dichiarato che:

1. Anton era secondo e Boris era quinto.

2. Victor era secondo e Denis era terzo.

3. Gregory fu il primo e Boris fu il terzo.

4. Anton era terzo ed Evgeniy sesto.

5. Victor era terzo ed Evgeniy era quarto.

Successivamente, si è scoperto che ogni spettatore si sbagliava in una delle sue due affermazioni. Qual è stata la reale distribuzione dei posti nel torneo?

1) Indichiamo con la prima lettera del nome del partecipante al torneo, a, il numero del posto che ha, ad es. abbiamo.

2) 1. ; 3. ; 5. .

3) Un'unica espressione logica per tutti i requisiti del compito: .

4) Nella formula l Effettuiamo trasformazioni equivalenti, otteniamo: .

5) Dal punto 4 segue: , .

6) Distribuzione dei posti nel torneo: Anton era terzo, Boris era quinto, Victor era secondo, Grigory era primo ed Evgeniy era quarto.

Compito 2:“Ivanov, Petrov, Sidorov sono comparsi in tribunale con l'accusa di rapina. L’indagine ha stabilito:

1. se Ivanov non è colpevole o Petrov è colpevole, allora Sidorov è colpevole;

2. se Ivanov non è colpevole, allora Sidorov non è colpevole.

Ivanov è colpevole?

1) Considera le affermazioni:

UN: “Ivanov è colpevole”, IN: “Petrov è colpevole”, CON: “Sidorov è colpevole”.

2) Fatti accertati dall'indagine: , .

3) Singola espressione logica: . È vero.

Creiamo una tabella di verità per questo.

UN	IN	CON	l

Risolvere un problema significa indicare a quali valori di A l'affermazione complessa risultante L è vera. Se è così, allora l'indagine non dispone di fatti sufficienti per accusare Ivanov di un crimine. L'analisi della tabella mostra e, vale a dire Ivanov è colpevole di rapina.

Domande e compiti.

1. Componi l'RKS per le formule:

2. Semplifica l'RKS:

3. Utilizzando questo circuito di commutazione, costruire una formula logica corrispondente.

4. Verificare l'equivalenza dell'RKS:

5. Costruisci un circuito di tre interruttori e una lampadina in modo che la lampadina si accenda solo quando esattamente due interruttori sono in posizione "on".

6. Utilizzando questa tabella di conduttività, costruisci un circuito di elementi funzionali con tre ingressi e un'uscita che implementi la formula.

X	sì	z	F

7. Analizza il diagramma mostrato in figura e scrivi la formula per la funzione F.

1) Claude ha affermato che Jacques mentiva.

2) Jacques ha accusato Dick di mentire.

3) Dick ha cercato di convincere l'investigatore a non credere né a Claude né a Jacques.

Ma l'investigatore li ha portati subito alla luce senza porre loro una sola domanda. Quale testimone ha detto la verità?

9. Determinare quale dei quattro studenti ha superato l'esame se è noto che:

1) Se passa il primo, passa anche il secondo.

2) Se è passato il secondo, allora è passato il terzo oppure non è passato il primo.

3) Se il quarto non passava, allora passava il primo e non passava il terzo.

4) Se passa il quarto, passa il primo.

1.a) ( commutatività della disgiunzione );

B)

(commutatività della congiunzione );

2.a) ( associatività della disgiunzione );

B) ( associatività di congiunzione );

3.a) ( distributività della disgiunzione rispetto alla congiunzione );

B) ( distributività della congiunzione rispetto alla disgiunzione );

4.

E

–leggi di de Morgan .

5.

;

;

;

6.

(O

) (legge del terzo escluso );

(O

(legge di contraddizione );

7.

(O

);

(O

);

(O

);

(O

).

Le proprietà fornite vengono solitamente utilizzate per trasformare e semplificare le formule logiche. Qui vengono fornite le proprietà di sole tre operazioni logiche (disgiunzione, congiunzione e negazione), ma verrà inoltre mostrato che tutte le altre operazioni possono essere espresse attraverso di esse.

Con l'aiuto dei connettivi logici, puoi comporre equazioni logiche e risolvere problemi logici nello stesso modo in cui i problemi aritmetici vengono risolti utilizzando sistemi di equazioni ordinarie.

Esempio. Un giorno, l'investigatore dovette interrogare contemporaneamente tre testimoni: Claude, Jacques e Dick. Le loro testimonianze si contraddicevano a vicenda e ognuno di loro accusava qualcuno di mentire. Claude affermò che Jacques mentiva, Jacques accusò Dick di mentire e Dick convinse l'investigatore a non credere né a Claude né a Jacques. Ma l'investigatore li ha portati subito alla luce senza porre loro una sola domanda. Quale testimone ha detto la verità?

Soluzione. Diamo un'occhiata alle dichiarazioni:

(Claude sta dicendo la verità);

(Jacques dice la verità);

(Dick sta dicendo la verità).

Non sappiamo quali siano vere, ma sappiamo quanto segue:

1) o Claude ha detto la verità, e poi Jacques ha mentito, oppure Claude ha mentito, e poi Jacques ha detto la verità;

2) o Jacques ha detto la verità, e poi Dick ha mentito, oppure Jacques ha mentito, e poi Dick ha detto la verità;

3) o Dick ha detto la verità, e quindi Claude e Jacques hanno mentito, oppure Dick ha mentito, e quindi non è vero che entrambi gli altri testimoni hanno mentito (cioè almeno uno di questi testimoni ha detto la verità).

Esprimiamo queste affermazioni sotto forma di un sistema di equazioni:

La condizione del problema sarà soddisfatta se queste tre affermazioni sono contemporaneamente vere, il che significa che la loro congiunzione è vera. Moltiplichiamo queste uguaglianze (cioè prendiamo la loro congiunzione)

Ma

se e solo se

, UN

. Pertanto, Jacques dice la verità e Claude e Dick mentono.

Qualunque -operazione membro, indicata, ad esempio,

, sarà completamente determinato se viene stabilito a quali valori delle dichiarazioni

il risultato sarà vero o falso. Un modo per specificare tale operazione è compilare una tabella di valori:

Nella tabella dei significati dell'affermazione formata da detti semplici

, disponibile linee. Anche la colonna del valore ha posizioni. Pertanto, c'è

diverse opzioni per riempirlo e, di conseguenza, il numero di tutti -le operazioni dei membri sono uguali a

. A

il numero di operazioni a un termine è 4, con

il numero dei binomiali è 16, con

numero di quelli a tre termini – 256, ecc.

Diamo un'occhiata ad alcuni tipi speciali di formule.

La formula si chiama congiunzione elementare , se è una congiunzione di variabili e negazioni di variabili. Ad esempio, le formule ,

,

,

– congiunzioni elementari.

Viene chiamata una formula che rappresenta una disgiunzione (possibilmente un termine) di congiunzioni elementari forma normale disgiuntiva (DNF). Ad esempio, le formule ,

,

.

Teorema 1(relativo alla riduzione a D.N.F.). Per qualsiasi formula , che è un dottore in scienze. F. .

Questo teorema ed il successivo Teorema 2 verranno dimostrati nella prossima sezione. Applicando questi teoremi è possibile standardizzare la forma delle formule logiche.

La formula si chiama disgiunzione elementare , se è una disgiunzione di variabili e negazioni di variabili. Ad esempio, le formule

,

,

eccetera.

Viene chiamata una formula che è una congiunzione (possibilmente un termine) di disgiunzioni elementari forma normale congiuntiva (Dottorato). Ad esempio, le formule

,

.

Teorema 2(sulla riduzione al dottorato). Per qualsiasi formula si può trovare una formula equivalente , che è un dottorato di ricerca. F.

Un giorno, l'investigatore dovette interrogare contemporaneamente tre testimoni: Claude, Jacques e Dick. Le loro testimonianze si contraddicevano a vicenda e ognuno di loro accusava qualcuno di mentire. Claude affermò che Jacques mentiva, Jacques accusò Dick di mentire e Dick convinse l'investigatore a non credere né a Claude né a Jacques. Ma l'investigatore li ha portati subito alla luce senza porre loro una sola domanda. Quale dei testimoni ha detto la verità?

Ilya Muromets, Dobrynya Nikitich e Alyosha Popovich hanno ricevuto 6 monete per il loro fedele servizio: 3 d'oro e 3 d'argento. Tutti hanno ricevuto due monete. Ilya Muromets non sa quali monete sono andate a Dobrynya e quali ad Alyosha, ma sa quali monete ha ricevuto. Fai una domanda alla quale Ilya Muromets risponderà "sì", "no" o "non lo so", e dalla risposta alla quale puoi capire quali monete ha ottenuto

Regole dei sillogismi 1. Un sillogismo deve contenere solo tre affermazioni e solo tre termini. ZhG Tutti gli escursionisti sono fuggiti in direzioni diverse, Petrov è un escursionista, il che significa che è fuggito in direzioni diverse. 3. Se entrambe le premesse sono affermazioni private, non è possibile trarre la conclusione. 2. Se una delle premesse è una dichiarazione privata, la conclusione deve essere privata. 4. Se una delle premesse è un'affermazione negativa, la conclusione è un'affermazione negativa. 5. Se entrambe le premesse sono affermazioni negative, non è possibile trarre la conclusione 6. Medio termine devono essere distribuiti in almeno uno dei pacchi. 7. Un termine non può essere distribuito nella conclusione se non è distribuito nella premessa.

Tutti i gatti hanno quattro zampe. Tutti i cani hanno quattro zampe. Tutti i cani sono gatti. Tutte le persone sono mortali. Tutti i cani non sono persone. I cani sono immortali (non mortali). L'Ucraina occupa un territorio enorme. La Crimea fa parte dell'Ucraina. La Crimea occupa un territorio enorme

Problema 35

Una persona ha trovato lavoro con uno stipendio di 1.000 dollari all’anno. Durante la discussione sulle condizioni per l'ammissione gli fu promesso che se avesse ottenuto buoni risultati, il suo stipendio sarebbe stato aumentato. Inoltre, puoi scegliere l'importo dell'aumento tra due opzioni a tua discrezione: in un caso veniva offerto un aumento di $ 50 ogni sei mesi, a partire dalla seconda metà, nell'altro - 200 $ ogni anno, a partire dalla seconda. Fornendo la libertà di scelta, i datori di lavoro volevano non solo cercare di risparmiare sui salari, ma anche testare la rapidità di ragionamento del nuovo dipendente. Dopo averci pensato un attimo, ha indicato con sicurezza i termini dell'aumento.

Quale opzione è stata preferita?

Problema 36

Un giorno, l'investigatore dovette interrogare contemporaneamente tre testimoni: Claude, Jacques e Dick. Le loro testimonianze si contraddicevano a vicenda e ognuno di loro accusava qualcuno di mentire. Claude ha affermato che Jacques mentiva. Jacques ha accusato Dick di mentire e Dick ha cercato di persuadere l'investigatore a non credere né a Claude né a Jacques. Ma l'investigatore li ha portati subito allo scoperto senza fare loro una sola domanda.

Quale testimone ha detto la verità?

Problema 37

Un terribile incidente, ispettore, disse l'impiegato del museo. - Non puoi immaginare quanto sono emozionato. Ti dirò tutto in ordine. Sono rimasto al museo oggi per lavorare e mettere in ordine i nostri affari finanziari. Ero seduto a questa scrivania e guardavo i conti quando all'improvviso ho visto un'ombra sul lato destro. La finestra era aperta.

E non hai sentito nessun fruscio? - chiese l'ispettore.

Assolutamente nessuno. La radio trasmetteva musica e inoltre ero troppo appassionato di quello che stavo facendo. Distogliendo lo sguardo dal fuoco, ho visto un uomo saltare fuori dalla finestra. Ho subito acceso la luce e ho scoperto che due scatole con una preziosa collezione di monete, che avevo portato in ufficio per lavoro, erano scomparse. È in condizioni terribili: dopotutto, questa collezione vale 10mila marchi.

Credi che io davvero; Crederò alle tue invenzioni?

- osservò irritato il commissario. “Nessuno è mai riuscito a ingannarmi, e tu non sarai il primo.”

Come ha fatto l'ispettore a rendersi conto che stavano cercando di ingannarlo?

Problema 38

Il corpo della persona scomparsa è stato trovato avvolto in un lenzuolo su cui era impressa un'etichetta della lavanderia. È stata identificata una famiglia che utilizzava tali tag, tuttavia, durante il processo di verifica si è scoperto che i membri di questa famiglia non si conoscevano e non avevano alcun contatto con il defunto e i suoi parenti. Non è stata stabilita alcuna altra prova del loro coinvolgimento nell'omicidio.

Durante il processo di verifica si sono verificati errori nella completezza e correttezza delle informazioni ricevute?

Problema 39

Potapov, Shchedrin e Semenov prestano servizio nell'unità dell'aviazione. Konovalov e Samoilov. Le loro specialità sono: pilota, navigatore, meccanico di volo, operatore radio e meteorologo.

Determina quale specialità ha ciascuno di loro se sono noti i seguenti fatti.

Shchedrin e Konovalov non hanno familiarità con i comandi dell'aereo;

Potapov e Konovalov si preparano a diventare navigatori; gli appartamenti di Shchedrin e Samoilov si trovano accanto all'appartamento dell'operatore radiofonico;

Semyon, mentre era in una casa di riposo, incontrò Shchedrin e la sorella del meteorologo: Potapov e Shchedrin, nel tempo libero dal lavoro, giocano a scacchi con il meccanico di volo e il pilota; Konovalov, Semenov e il meteorologo amano la boxe; L'operatore radiofonico non è interessato alla boxe.

Problema 40

La zia, che aspettava il nipote, il commissario, gli corse incontro, non nascondendo la sua impazienza.

Una donna proprio adesso; mi ha strappato la borsa con i soldi ed è subito scomparsa.

Molto probabilmente è scomparsa nella cassa di risparmio dove ti trovavi tu", osservò l'ispettore. - Proviamo a trovarla.

E infatti la zia vide subito la sua borsa, che stava sulla panchina tra le due donne. È stato rivelato. Quando l'ispettore diede un'occhiata attenta alla borsa, entrambe le donne, notandolo, si alzarono e andarono dall'altra parte della stanza. La borsa è rimasta sulla panchina.

Ma non so chi mi ha rubato la borsa. "Yana non ha avuto il tempo di vederla", ha detto sua zia.

"Beh, non è niente", rispose il nipote. - Li interrogheremo entrambi, ma penso che quello che ti ha rubato la borsa fosse quello di...

Quale?

Problema 41

Avendo ricevuto la notizia che una Chevrolet grigia con targa che inizia con il sei aveva investito una donna ed era fuggita, l'ispettore e il suo assistente si sono recati presso la villa di un signore la cui auto sembrava corrispondere alla descrizione. Era passata meno di mezz'ora prima che fossero lì.

Davanti alla casa era parcheggiata una Chevrolet grigia. Vedendo la polizia, il proprietario è sceso da loro in pigiama.

"Non sono andato da nessuna parte oggi", ha detto dopo aver ascoltato l'ispettore. - Sì, e non potevo: ieri ho perso la chiave di accensione, e quella nuova sarà pronta solo venerdì.

L'assistente, essendo nel frattempo riuscito a ispezionare l'auto, sussurrò al commissario:

A quanto pare sta dicendo la verità. Non ci sono segni di collisione sull'auto.

Il commissario, appoggiandosi al cofano dell'auto, rispose:

Questo non significa niente, il colpo non è stato forte, perché la vittima è viva. E il suo alibi, signore, mi sembra estremamente sospetto. Perché stai cercando di nascondermi che sei appena arrivato qui proprio con questa macchina?

Cosa ha dato motivo all'ispettore di sospettare che il gentiluomo menta?

Problema 42

Il presidente della società informa l'investigatore di un furto commesso nella sua abitazione.

Arrivando al lavoro, mi sono ricordato di qualcosa che avevo dimenticato a casa Documenti richiesti. Ho dato la chiave della cassaforte di casa al mio assistente e l'ho mandato a prendere una cartella di documenti. Lavoriamo insieme da molto tempo, mi fido di lui da molto tempo e spesso lo mandavo a casa a prendere qualcosa dalla cassaforte. Questa volta, poco dopo essere uscito, mi ha chiamato al telefono e mi ha detto che, entrando nella stanza, ha visto che la porta della cassaforte a muro era aperta e le carte erano sparse per tutto l'ufficio. Sono arrivato a casa e ho scoperto che, oltre ai documenti sparsi, dalla cassaforte erano scomparsi gioielli e denaro.

Testimonianza dell'assistente: “Quando sono arrivato, il maggiordomo mi ha fatto entrare e sono salito al secondo piano dell'appartamento. Entrando nell'ufficio, ho trovato dei documenti sparsi sul pavimento e una porta della cassaforte aperta. Ho chiamato immediatamente il mio capo e ho riferito quello che avevo visto. Dopodiché saltai sul pianerottolo e chiamai il maggiordomo. In risposta al mio grido, dal soggiorno al piano inferiore è apparsa una cameriera e mi ha chiesto cosa stesse succedendo. Le ho raccontato quello che ho visto. Alla sua chiamata, il maggiordomo accorse dal cortile. Quando ho chiesto, hanno detto che nessuno è venuto nell'appartamento dopo che il proprietario se n'era andato e non hanno sentito alcun rumore in casa.

Il maggiordomo ha spiegato: “Dopo che il proprietario se n'è andato la mattina, stavo facendo il mio solito lavoro al piano terra e non ho visto nessuno né sentito nulla di insolito. La cameriera non lasciò la cucina davanti a me. Quando arrivò un dipendente del nostro titolare, che mi conosceva da molto tempo, salì le scale fino al secondo piano e uscì nel cortile. Pochi minuti dopo mi ha chiamato il cuoco e sono entrato in casa, dove l’assistente mi ha raccontato del furto nell’ufficio del proprietario”.

La cameriera ha detto che dopo colazione era in cucina, non è andata da nessuna parte, e solo quando ha sentito il grido dell'assistente è uscita in soggiorno. L'assistente ha denunciato un furto in casa e ha chiesto di conoscere il maggiordomo.

Interrogato dall'investigatore, l'assistente ha risposto di non aver toccato nulla nell'ufficio tranne il telefono e di non averlo riorganizzato. Il maggiordomo e la cameriera hanno detto che non sono entrati affatto in ufficio.

Durante l'ispezione dell'ufficio, l'investigatore non ha trovato tracce di dita sulla porta dell'ufficio, sulla porta della cassaforte, su oggetti o sul telefono sul tavolo. Dopo aver esaminato la serratura della porta della cassaforte, lo specialista non ha trovato sulle sue parti tracce di alcun oggetto o chiave estranea.

Problema 35

Quale opzione è stata preferita?

Problema 36

Un giorno, l'investigatore dovette interrogare contemporaneamente tre testimoni: Claude, Jacques e Dick. Le loro testimonianze si contraddicevano a vicenda e ognuno di loro accusava qualcuno di mentire. Claude ha affermato che Jacques mentiva. Jacques ha accusato Dick di mentire e Dick ha cercato di persuadere l'investigatore a non credere né a Claude né a Jacques. Ma l'investigatore li ha portati subito allo scoperto senza fare loro una sola domanda.

Quale testimone ha detto la verità?

Problema 37

E non hai sentito nessun fruscio? - chiese l'ispettore.

Credi che io davvero; Crederò alle tue invenzioni?

- osservò irritato il commissario. “Nessuno è mai riuscito a ingannarmi, e tu non sarai il primo.”

Come ha fatto l'ispettore a rendersi conto che stavano cercando di ingannarlo?

Problema 38

Durante il processo di verifica si sono verificati errori nella completezza e correttezza delle informazioni ricevute?

Problema 39

Potapov, Shchedrin e Semenov prestano servizio nell'unità dell'aviazione. Konovalov e Samoilov. Le loro specialità sono: pilota, navigatore, meccanico di volo, operatore radio e meteorologo.

Determina quale specialità ha ciascuno di loro se sono noti i seguenti fatti.

Shchedrin e Konovalov non hanno familiarità con i comandi dell'aereo;

Potapov e Konovalov si preparano a diventare navigatori; gli appartamenti di Shchedrin e Samoilov si trovano accanto all'appartamento dell'operatore radiofonico;

Problema 40

La zia, che aspettava il nipote, il commissario, gli corse incontro, non nascondendo la sua impazienza.

Una donna proprio adesso; mi ha strappato la borsa con i soldi ed è subito scomparsa.

Molto probabilmente è scomparsa nella cassa di risparmio dove ti trovavi tu", osservò l'ispettore. - Proviamo a trovarla.

Ma non so chi mi ha rubato la borsa. "Yana non ha avuto il tempo di vederla", ha detto sua zia.

"Beh, non è niente", rispose il nipote. - Li interrogheremo entrambi, ma penso che quello che ti ha rubato la borsa fosse quello di...

Quale?

Problema 41

Davanti alla casa era parcheggiata una Chevrolet grigia. Vedendo la polizia, il proprietario è sceso da loro in pigiama.

"Non sono andato da nessuna parte oggi", ha detto dopo aver ascoltato l'ispettore. - Sì, e non potevo: ieri ho perso la chiave di accensione, e quella nuova sarà pronta solo venerdì.

L'assistente, essendo nel frattempo riuscito a ispezionare l'auto, sussurrò al commissario:

A quanto pare sta dicendo la verità. Non ci sono segni di collisione sull'auto.

Il commissario, appoggiandosi al cofano dell'auto, rispose:

Cosa ha dato motivo all'ispettore di sospettare che il gentiluomo menta?

Problema 42

Il presidente della società informa l'investigatore di un furto commesso nella sua abitazione.

Arrivando al lavoro, mi sono ricordato di aver dimenticato a casa i documenti necessari. Ho dato la chiave della cassaforte di casa al mio assistente e l'ho mandato a prendere una cartella di documenti. Lavoriamo insieme da molto tempo, mi fido di lui da molto tempo e spesso lo mandavo a casa a prendere qualcosa dalla cassaforte. Questa volta, poco dopo essere uscito, mi ha chiamato al telefono e mi ha detto che, entrando nella stanza, ha visto che la porta della cassaforte a muro era aperta e le carte erano sparse per tutto l'ufficio. Sono arrivato a casa e ho scoperto che, oltre ai documenti sparsi, dalla cassaforte erano scomparsi gioielli e denaro.