Integrali per manichini: come risolverli, regole di calcolo, spiegazione. Proprietà fondamentali dell'integrale indefinito Proprietà degli integrali indefiniti di moltiplicazione

In questo articolo elencheremo le principali proprietà dell'integrale definito. La maggior parte di queste proprietà sono dimostrate sulla base dei concetti di integrale definito di Riemann e Darboux.

Il calcolo dell'integrale definito viene fatto molto spesso utilizzando le prime cinque proprietà, quindi faremo riferimento ad esse quando necessario. Le restanti proprietà dell'integrale definito vengono utilizzate principalmente per valutare varie espressioni.

Prima di andare avanti proprietà fondamentali dell'integrale definito, concordiamo che a non supera b.

Per la funzione y = f(x) definita in x = a, l'uguaglianza è vera.

Cioè il valore di un integrale definito con gli stessi limiti di integrazione è uguale a zero. Questa proprietà è una conseguenza della definizione dell'integrale di Riemann, poiché in questo caso ogni somma integrale per qualsiasi partizione dell'intervallo e qualsiasi scelta di punti è uguale a zero, poiché, quindi, il limite delle somme integrali è zero.

Per una funzione integrabile su un intervallo, .

In altre parole, quando i limiti superiore e inferiore dell'integrazione cambiano di posizione, il valore dell'integrale definito cambia al contrario. Questa proprietà di un integrale definito deriva anche dal concetto di integrale di Riemann, solo la numerazione della partizione del segmento dovrebbe iniziare dal punto x = b.

per funzioni integrabili su un intervallo y = f(x) e y = g(x) .

Prova.

Scriviamo la somma integrale della funzione per una data partizione di un segmento e una data scelta di punti:

dove e sono le somme integrali delle funzioni y = f(x) e y = g(x) rispettivamente per una data partizione del segmento.

Andando al limite a otteniamo che, per la definizione dell'integrale di Riemann, equivale all'enunciato della proprietà dimostrata.

Il fattore costante può essere tolto dal segno dell'integrale definito. Cioè, per una funzione y = f(x) integrabile su un intervallo e un numero arbitrario k, vale la seguente uguaglianza: .

La dimostrazione di questa proprietà dell’integrale definito è assolutamente simile alla precedente:


Sia la funzione y = f(x) integrabile sull'intervallo X, e poi .

Questa proprietà è vera sia per , che per .

La dimostrazione può essere effettuata basandosi sulle proprietà precedenti dell'integrale definito.

Se una funzione è integrabile su un intervallo, allora è integrabile su qualsiasi intervallo interno.

La dimostrazione si basa sulla proprietà delle somme di Darboux: se nuovi punti vengono aggiunti a una partizione esistente di un segmento, la somma di Darboux inferiore non diminuirà e quella superiore non aumenterà.

Se la funzione y = f(x) è integrabile sull'intervallo e per qualsiasi valore dell'argomento, allora .

Questa proprietà è dimostrata attraverso la definizione dell'integrale di Riemann: qualsiasi somma integrale per qualsiasi scelta di punti di partizione del segmento e punti a sarà non negativa (non positiva).

Conseguenza.

Per le funzioni y = f(x) e y = g(x) integrabili su un intervallo valgono le seguenti disuguaglianze:


Questa affermazione significa che l’integrazione delle disuguaglianze è ammissibile. Utilizzeremo questo corollario per dimostrare le seguenti proprietà.

Sia la funzione y = f(x) integrabile sull'intervallo , allora vale la disuguaglianza .

Prova.

E' ovvio . Nella proprietà precedente abbiamo scoperto che la disuguaglianza può essere integrata termine per termine, quindi è vera . Questa doppia disuguaglianza può essere scritta come .

Siano le funzioni y = f(x) e y = g(x) integrabili sull'intervallo e per qualsiasi valore dell'argomento , allora , Dove E .

La dimostrazione si svolge in modo simile. Poiché m e M sono i più piccoli e valore più alto funzione y = f(x) sul segmento , allora . Moltiplicando la doppia disuguaglianza per una funzione non negativa y = g(x) ci porta a quanto segue doppia disuguaglianza. Integrandolo sull'intervallo , arriviamo all'affermazione da dimostrare.

Conseguenza.

Se prendiamo g(x) = 1, la disuguaglianza assume la forma .

Prima formula media.

Sia la funzione y = f(x) integrabile sull'intervallo, E , allora esiste un numero tale che .

Conseguenza.

Se la funzione y = f(x) è continua nell'intervallo, allora esiste un numero tale che .

La prima formula del valore medio in forma generalizzata.

Siano le funzioni y = f(x) e y = g(x) integrabili sull'intervallo, E e g(x) > 0 per qualsiasi valore dell'argomento . Quindi c'è un numero tale .

Seconda formula media.

Se su un intervallo la funzione y = f(x) è integrabile e y = g(x) è monotona, allora esiste un numero tale che l'uguaglianza .

Il compito principale del calcolo differenzialeè trovare la derivata F'(X) o differenziale df=F'(X)dx funzioni F(X). Nel calcolo integrale si risolve il problema inverso. Di data funzione F(X) è necessario trovare una funzione del genere F(X), Che cosa F'(x)=F(X) O dF(x)=F'(X)dx=F(X)dx.

Così, il compito principale del calcolo integraleè il ripristino della funzione F(X) dalla nota derivata (differenziale) di questa funzione. Il calcolo integrale ha numerose applicazioni in geometria, meccanica, fisica e tecnologia. Fornisce un metodo generale per trovare aree, volumi, centri di gravità, ecc.

Definizione. FunzioneF(x), , è detta antiderivativa della funzioneF(x) sull'insieme X se è differenziabile per qualsiasi eF'(x)=F(x) odF(x)=F(X)dx.

Teorema. Qualsiasi linea continua sull'intervallo [UN;b] funzioneF(x) ha un'antiderivativa su questo segmentoF(x).

Teorema. SeF1 (x) eF2 (x) – due diversi antiderivativi della stessa funzioneF(x) sull'insieme x, allora differiscono tra loro per un termine costante, cioèF2 (x)=F1x)+C, dove C è una costante.

Non integrale definito, le sue proprietà.

Definizione. TotalitàF(x)+Da tutte le funzioni antiderivativeF(x) sull'insieme X è detto integrale indefinito e si denota:

- (1)

Nella formula (1) F(X)dx chiamato espressione integrando,F(x) – funzione integranda, x – variabile di integrazione, UN C – costante di integrazione.

Diamo un'occhiata alle proprietà integrale indefinito, derivante dalla sua definizione.

1. La derivata dell'integrale indefinito è uguale all'integrando, il differenziale dell'integrale indefinito è uguale all'integrando:

E .

2. Integrale indefinito del differenziale di qualche funzione pari alla somma questa funzione e una costante arbitraria:

3. Il fattore costante a (a≠0) può essere preso come segno dell'integrale indefinito:

4. L'integrale indefinito della somma algebrica di un numero finito di funzioni è uguale alla somma algebrica degli integrali di queste funzioni:

5. SeF(x) – antiderivativa della funzioneF(x), quindi:

6 (invarianza delle formule di integrazione). Qualsiasi formula di integrazione mantiene la sua forma se la variabile di integrazione viene sostituita da qualsiasi funzione differenziabile di questa variabile:

Doveu è una funzione differenziabile.

Tavola degli integrali indefiniti.

Diamo regole di base per l'integrazione delle funzioni.

Diamo tabella degli integrali indefiniti di base.(Si noti che qui, come nel calcolo differenziale, la lettera tu può essere designata come variabile indipendente (u=X) e una funzione della variabile indipendente (u=u(X)).)

(n≠-1). (a >0, a≠1). (a≠0). (a≠0). (|u| > |a|).(|u|< |a|).

Vengono chiamati gli integrali 1 – 17 tabellare.

Alcune delle formule sopra riportate nella tabella degli integrali, che non hanno un analogo nella tabella delle derivate, vengono verificate differenziando i loro membri di destra.

Cambio di variabile e integrazione per parti nell'integrale indefinito.

Integrazione per sostituzione (sostituzione di variabile). Sia necessario calcolare l'integrale

, che non è tabellare. L'essenza del metodo di sostituzione è che nell'integrale la variabile X sostituire con una variabile T secondo la formula x=φ(T), Dove dx=φ’(T)dt.

Teorema. Lasciamo la funzionex=φ(t) è definita e differenziabile su un certo insieme T e sia X l'insieme dei valori di questa funzione su cui è definita la funzioneF(X). Quindi se sul set X la funzioneF(

Antiderivativa e integrale indefinito.

Una primitiva di una funzione f(x) sull'intervallo (a; b) è una funzione F(x) tale che l'uguaglianza vale per qualsiasi x dell'intervallo dato.

Se teniamo conto del fatto che la derivata della costante C è uguale a zero, allora l'uguaglianza è vera . Pertanto, la funzione f(x) ha un insieme di antiderivative F(x)+C, per una costante arbitraria C, e queste antiderivative differiscono l'una dall'altra per un valore costante arbitrario.

L'intero insieme delle derivate della funzione f(x) è chiamato integrale indefinito di questa funzione ed è denotato .

L'espressione è chiamata integrando e f(x) è chiamata integrando. L'integrando rappresenta il differenziale della funzione f(x).

L'azione di trovare una funzione sconosciuta dato il suo differenziale è chiamata integrazione indefinita, perché il risultato dell'integrazione non è una funzione F(x), ma un insieme delle sue antiderivative F(x)+C.

Integrali di tabella

Le proprietà più semplici degli integrali

1. La derivata del risultato dell'integrazione è uguale all'integrando.

2. L'integrale indefinito del differenziale di una funzione è uguale alla somma della funzione stessa e di una costante arbitraria.

3. Il coefficiente può essere estratto dal segno dell'integrale indefinito.

4. L'integrale indefinito della somma/differenza delle funzioni è uguale alla somma/differenza degli integrali indefiniti delle funzioni.

Per chiarimenti vengono fornite le uguaglianze intermedie della prima e della seconda proprietà dell'integrale indefinito.

Per dimostrare la terza e la quarta proprietà è sufficiente trovare le derivate dei membri di destra delle uguaglianze:

Queste derivate sono uguali agli integrandi, il che è una prova dovuta alla prima proprietà. Viene utilizzato anche nelle ultime transizioni.

Pertanto, il problema dell’integrazione è l’inverso del problema della differenziazione, ed esiste una connessione molto stretta tra questi problemi:

la prima proprietà permette di verificare l'integrazione. Per verificare la correttezza dell'integrazione effettuata è sufficiente calcolare la derivata del risultato ottenuto. Se la funzione ottenuta dalla differenziazione risulta essere uguale all'integrando, ciò significherà che l'integrazione è stata effettuata correttamente;

la seconda proprietà dell'integrale indefinito permette di trovare la sua antiderivativa da un differenziale noto di una funzione. Il calcolo diretto degli integrali indefiniti si basa su questa proprietà.

1.4.Invarianza delle forme di integrazione.

L'integrazione invariante è un tipo di integrazione per funzioni i cui argomenti sono elementi di un gruppo o punti di uno spazio omogeneo (qualsiasi punto in tale spazio può essere trasferito a un altro mediante una determinata azione del gruppo).

la funzione f(x) si riduce al calcolo dell'integrale della forma differenziale f.w, dove

Di seguito è riportata una formula esplicita per r(x). La condizione dell'accordo ha la forma .

qui Tg indica l'operatore di spostamento su X utilizzando gОG: Tgf(x)=f(g-1x). Sia X=G una topologia, un gruppo che agisce su se stesso mediante spostamenti a sinistra. Io e. esiste se e solo se G è localmente compatto (in particolare, su gruppi a dimensione infinita I.I. non esiste). Per un sottoinsieme di I. e. la funzione caratteristica cA (uguale a 1 su A e 0 fuori A) specifica la misura Xaar sinistra m(A). La proprietà che definisce questa misura è la sua invarianza per spostamenti a sinistra: m(g-1A)=m(A) per ogni gОG. La misura Haar sinistra su un gruppo è definita in modo univoco fino a un fattore scalare positivo. Se la misura Haar m è nota, allora I. e. la funzione f è data dalla formula . La misura Haar destra ha proprietà simili. Esiste un omomorfismo continuo (mappa che preserva la proprietà del gruppo) DG del gruppo G nel gruppo (rispetto alla moltiplicazione) post. numeri per i quali

dove dmr e dmi sono le misure Haar destra e sinistra. Viene richiamata la funzione DG(g). modulo del gruppo G. Se , allora viene chiamato il gruppo G. unimodulare; in questo caso le misure di Haar destra e sinistra coincidono. I gruppi compatti, semisemplici e nilpotenti (in particolare commutativi) sono unimodulari. Se G è un gruppo di Lie n-dimensionale e q1,...,qn è una base nello spazio delle forme 1 invarianti a sinistra su G, allora la misura di Haar sinistra su G è data dalla forma n. Nelle coordinate locali per il calcolo

forme qi, è possibile utilizzare qualsiasi matrice realizzativa del gruppo G: viene lasciata invariante la matrice 1-forma g-1dg, ed il suo coefficiente. sono forme scalari 1 invarianti a sinistra da cui viene selezionata la base richiesta. Ad esempio, il gruppo completo di matrici GL(n, R) è unimodulare e la misura di Haar su di esso è data dalla forma. Permettere X=G/H è uno spazio omogeneo per il quale il gruppo localmente compatto G è un gruppo di trasformazione, e il sottogruppo chiuso H è lo stabilizzatore di un certo punto. Affinché esista un i.i. su X è necessario e sufficiente che per ogni hОH valga l’uguaglianza DG(h)=DH(h). In particolare, questo vale nel caso in cui H sia compatto o semisemplice. Teoria completa di I. e. non esiste su varietà a dimensione infinita.

Sostituzione delle variabili.

Queste proprietà vengono utilizzate per effettuare trasformazioni dell'integrale al fine di ridurlo a uno degli integrali elementari e ulteriori calcoli.

1. La derivata dell'integrale indefinito è uguale all'integrando:

2. Il differenziale dell'integrale indefinito è uguale all'integrando:

3. L'integrale indefinito del differenziale di una certa funzione è uguale alla somma di questa funzione e di una costante arbitraria:

4. Il fattore costante può essere eliminato dal segno integrale:

Inoltre, a ≠ 0

5. L'integrale della somma (differenza) è uguale alla somma (differenza) degli integrali:

6. La proprietà è una combinazione delle proprietà 4 e 5:

Inoltre, a ≠ 0 ˄ b ≠ 0

7. Proprietà di invarianza dell'integrale indefinito:

Se poi

8. Proprietà:

Se poi

In effetti, questa proprietà è un caso speciale di integrazione utilizzando il metodo della variazione variabile, discusso più dettagliatamente nella sezione successiva.

Diamo un'occhiata ad un esempio:

Prima abbiamo applicato la proprietà 5, poi la proprietà 4, poi abbiamo utilizzato la tabella delle antiderivative e abbiamo ottenuto il risultato.

L'algoritmo del nostro calcolatore integrale online supporta tutte le proprietà sopra elencate e può essere facilmente trovato soluzione dettagliata per il tuo integrale.

Risolvere gli integrali è un compito facile, ma solo per pochi eletti. Questo articolo è per coloro che vogliono imparare a comprendere gli integrali, ma non ne sanno nulla o quasi. Integrale... Perché serve? Come calcolarlo? Cosa sono gli integrali definiti e indefiniti?

Se l'unico utilizzo che conosci di un integrale è usare un uncinetto a forma di icona integrale per ottenere qualcosa di utile da luoghi difficili da raggiungere, allora benvenuto! Scopri come risolvere gli integrali più semplici e altri e perché non puoi farne a meno in matematica.

Studiamo il concetto « integrante »

L'integrazione era già nota Antico Egitto. Certo, non nella sua forma moderna, ma comunque. Da allora, i matematici hanno scritto molti libri su questo argomento. Si sono particolarmente distinti Newton E Leibniz , ma l'essenza delle cose non è cambiata.

Come comprendere gli integrali da zero? Non c'è modo! Per comprendere questo argomento avrai comunque bisogno di una conoscenza di base delle nozioni di base. analisi matematica. Abbiamo già informazioni sui limiti e sulle derivate, necessarie per comprendere gli integrali, sul nostro blog.

Integrale indefinito

Cerchiamo di avere qualche funzione f(x) .

Funzione integrale indefinita f(x) si chiama questa funzione F(x) , la cui derivata è uguale alla funzione f(x) .

In altre parole, un integrale è una derivata al contrario o un'antiderivativa. A proposito, leggi il nostro articolo su come calcolare i derivati.

L'antiderivativa esiste per tutti funzioni continue. Inoltre, all'antiderivativa viene spesso aggiunto un segno costante, poiché le derivate di funzioni che differiscono per una costante coincidono. Il processo per trovare l'integrale è chiamato integrazione.

Esempio semplice:

Per non calcolare costantemente gli antiderivativi funzioni elementari, è conveniente riassumerli in una tabella e utilizzare valori già pronti.

Tavola completa degli integrali per gli studenti

Integrale definito

Quando si tratta del concetto di integrale, abbiamo a che fare con quantità infinitesimali. L'integrale aiuterà a calcolare l'area della figura, la massa di un corpo non uniforme, la distanza percorsa durante un movimento irregolare e molto altro. Va ricordato che un integrale è la somma di un numero infinitamente grande di termini infinitesimi.

Ad esempio, immagina il grafico di una funzione.

Come trovare l'area di una figura delimitata dal grafico di una funzione? Utilizzando un integrale! Dividiamo il trapezio curvilineo, limitato dagli assi coordinati e dal grafico della funzione, in segmenti infinitesimi. In questo modo la figura verrà divisa in colonne sottili. La somma delle aree delle colonne sarà l'area del trapezio. Ma ricorda che un tale calcolo darà un risultato approssimativo. Tuttavia, quanto più piccoli e stretti saranno i segmenti, tanto più accurato sarà il calcolo. Se li riduciamo a tal punto che la lunghezza tende a zero, allora la somma delle aree dei segmenti tenderà all'area della figura. Questo è un integrale definito, che si scrive così:

I punti a e b sono detti limiti di integrazione.

« Integrante »

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Regole per il calcolo degli integrali per le manichine

Proprietà dell'integrale indefinito

Come risolvere un integrale indefinito? Qui esamineremo le proprietà dell'integrale indefinito, che sarà utile per la risoluzione degli esempi.

• La derivata dell'integrale è uguale all'integrando:

• La costante può essere estratta da sotto il segno di integrale:

• L'integrale della somma è uguale alla somma degli integrali. Questo vale anche per la differenza:

Proprietà di un integrale definito

• Linearità:

• Il segno dell'integrale cambia se si invertono i limiti di integrazione:

• A Qualunque punti UN, B E Con:

Abbiamo già scoperto che un integrale definito è il limite di una somma. Ma come ottenere un valore specifico quando si risolve un esempio? Per questo esiste la formula di Newton-Leibniz:

Esempi di risoluzione di integrali

Di seguito considereremo l'integrale indefinito ed esempi con soluzioni. Ti suggeriamo di capire tu stesso le complessità della soluzione e, se qualcosa non è chiaro, fai domande nei commenti.

Per rafforzare il materiale, guarda un video su come vengono risolti nella pratica gli integrali. Non disperare se l'integrale non viene dato subito. Rivolgiti ad un servizio professionale per studenti e qualsiasi integrale triplo o curvo su una superficie chiusa sarà in tuo potere.