Integrali e loro proprietà. Proprietà fondamentali dell'integrale indefinito. Proprietà fondamentali dell'integrale definito

Lasciamo la funzione sì = F(X) è definito sull'intervallo [ UN, B ], UN < B. Eseguiamo le seguenti operazioni:

1) dividiamo [ UN, B] punti UN = X 0 < X 1 < ... < X io- 1 < X io < ... < X N = B SU N segmenti parziali [ X 0 , X 1 ], [X 1 , X 2 ], ..., [X io- 1 , X io ], ..., [X N- 1 , X N ];

2) in ciascuno dei segmenti parziali [ X io- 1 , X io ], io = 1, 2, ... N, scegli un punto arbitrario e calcola il valore della funzione in questo punto: F(z io ) ;

3) trovare le opere F(z io ) · Δ X io , dov'è la lunghezza del segmento parziale [ X io- 1 , X io ], io = 1, 2, ... N;

4) facciamo pace somma integrale funzioni sì = F(X) sul segmento [ UN, B ]:

CON punto geometrico Da un punto di vista visivo, questa somma σ è la somma delle aree dei rettangoli le cui basi sono segmenti parziali [ X 0 , X 1 ], [X 1 , X 2 ], ..., [X io- 1 , X io ], ..., [X N- 1 , X N ] e le altezze sono uguali F(z 1 ) , F(z 2 ), ..., F(zn) di conseguenza (Fig. 1). Indichiamo con λ lunghezza del segmento parziale più lungo:

5) trovare il limite della somma integrale quando λ → 0.

Definizione. Se esiste un limite finito della somma integrale (1) e non dipende dal metodo di partizionamento del segmento [ UN, B] a segmenti parziali, né dalla selezione di punti z io in essi, quindi viene chiamato questo limite integrale definito dalla funzione sì = F(X) sul segmento [ UN, B] ed è indicato

Così,

In questo caso la funzione F(X) è chiamato integrabile SU [ UN, B]. Numeri UN E B sono chiamati rispettivamente limite inferiore e superiore di integrazione, F(X) – funzione integranda, F(X ) dx– espressione dell'integrando, X– variabile di integrazione; segmento [ UN, B] è chiamato intervallo di integrazione.

Teorema 1. Se la funzione sì = F(X) è continua sull'intervallo [ UN, B], allora è integrabile su questo intervallo.

L'integrale definito con gli stessi limiti di integrazione è uguale a zero:

Se UN > B, allora, per definizione, assumiamo

2. Significato geometrico dell'integrale definito

Lasciamo il segmento [ UN, B] viene specificata una funzione continua non negativa sì = F(X ) . Trapezio curvilineoè una figura delimitata superiormente dal grafico di una funzione sì = F(X), dal basso - lungo l'asse del Bue, a sinistra e a destra - linee rette x = a E x = b(Fig. 2).

Integrale definito di una funzione non negativa sì = F(X) dal punto di vista geometrico uguale all'area trapezio curvilineo delimitato superiormente dal grafico della funzione sì = F(X), sinistro e destro – segmenti di linea x = a E x = b, dal basso - un segmento dell'asse del Bue.

3. Proprietà fondamentali dell'integrale definito

1. Senso integrale definito non dipende dalla designazione della variabile di integrazione:

2. Il fattore costante può essere tolto dal segno dell'integrale definito:

3. L'integrale definito della somma algebrica di due funzioni è uguale alla somma algebrica degli integrali definiti di queste funzioni:

4.Se funzione sì = F(X) è integrabile su [ UN, B] E UN < B < C, Quello

5. (teorema del valore medio). Se la funzione sì = F(X) è continua sull'intervallo [ UN, B], allora su questo segmento c'è un punto tale che

4. Formula di Newton–Leibniz

Teorema 2. Se la funzione sì = F(X) è continua sull'intervallo [ UN, B] E F(X) è una delle sue antiderivative su questo segmento, allora è valida la seguente formula:

che è chiamato Formula di Newton-Leibniz. Differenza F(B) - F(UN) è solitamente scritto come segue:

dove il simbolo è chiamato doppio jolly.

Pertanto, la formula (2) può essere scritta come:

Esempio 1. Calcola l'integrale

Soluzione. Per l'integrando F(X ) = X 2 un'antiderivativa arbitraria ha la forma

Poiché nella formula di Newton-Leibniz è possibile utilizzare qualsiasi antiderivativa, per calcolare l'integrale prendiamo l'antiderivativa che ha la forma più semplice:

5. Cambio di variabile in un integrale definito

Teorema 3. Lasciamo la funzione sì = F(X) è continua sull'intervallo [ UN, B]. Se:

1) funzione X = φ ( T) e la sua derivata φ "( T) sono continui per ;

2) un insieme di valori di funzione X = φ ( T) perché è il segmento [ UN, B ];

3) φ ( UN) = UN, φ ( B) = B, allora la formula è valida

che è chiamato formula per trasformare una variabile in un integrale definito .

A differenza di integrale indefinito, V in questo caso non necessario per tornare alla variabile di integrazione originale - è sufficiente trovare nuovi limiti di integrazione α e β (per questo è necessario risolvere la variabile T equazioni φ ( T) = UN e φ ( T) = B).

Invece di sostituzione X = φ ( T) puoi usare la sostituzione T = G(X). In questo caso, trovare nuovi limiti di integrazione su una variabile T semplifica: α = G(UN) , β = G(B) .

Esempio 2. Calcola l'integrale

Soluzione. Introduciamo una nuova variabile utilizzando la formula. Elevando al quadrato entrambi i lati dell'uguaglianza, otteniamo 1 + x = T 2 , Dove x = T 2 - 1, dx = (T 2 - 1)"dt= 2tdt. Troviamo nuovi limiti di integrazione. Per fare ciò, sostituiamo i vecchi limiti nella formula x = 3 e x = 8. Otteniamo: , da dove T= 2 e α = 2; , Dove T= 3 e β = 3. Quindi,

Esempio 3. Calcolare

Soluzione. Permettere tu= registro X, Poi , v = X. Secondo la formula (4)

Antiderivativa e integrale indefinito.

Una primitiva di una funzione f(x) sull'intervallo (a; b) è una funzione F(x) tale che l'uguaglianza vale per qualsiasi x dell'intervallo dato.

Se teniamo conto del fatto che la derivata della costante C è uguale a zero, allora l'uguaglianza è vera . Pertanto, la funzione f(x) ha un insieme di antiderivative F(x)+C, per una costante arbitraria C, e queste antiderivative differiscono l'una dall'altra per un valore costante arbitrario.

L'intero insieme delle derivate della funzione f(x) è chiamato integrale indefinito di questa funzione ed è denotato .

L'espressione è chiamata integrando e f(x) è chiamata integrando. L'integrando rappresenta il differenziale della funzione f(x).

L'azione di trovare una funzione sconosciuta dato il suo differenziale è chiamata integrazione indefinita, perché il risultato dell'integrazione non è una funzione F(x), ma un insieme delle sue antiderivative F(x)+C.

Integrali di tabella

Le proprietà più semplici degli integrali

1. La derivata del risultato dell'integrazione è uguale all'integrando.

2. Integrale indefinito della funzione differenziale pari alla somma la funzione stessa e una costante arbitraria.

3. Il coefficiente può essere estratto dal segno dell'integrale indefinito.

4. L'integrale indefinito della somma/differenza delle funzioni è uguale alla somma/differenza degli integrali indefiniti delle funzioni.

Per chiarimenti vengono fornite le uguaglianze intermedie della prima e della seconda proprietà dell'integrale indefinito.

Per dimostrare la terza e la quarta proprietà è sufficiente trovare le derivate dei membri di destra delle uguaglianze:

Queste derivate sono uguali agli integrandi, il che è una prova dovuta alla prima proprietà. Viene utilizzato anche nelle ultime transizioni.

Pertanto, il problema dell’integrazione è l’inverso del problema della differenziazione, ed esiste una connessione molto stretta tra questi problemi:

la prima proprietà permette di verificare l'integrazione. Per verificare la correttezza dell'integrazione effettuata è sufficiente calcolare la derivata del risultato ottenuto. Se la funzione ottenuta dalla differenziazione risulta essere uguale all'integrando, ciò significherà che l'integrazione è stata effettuata correttamente;

la seconda proprietà dell'integrale indefinito permette di trovare la sua antiderivativa da un differenziale noto di una funzione. Il calcolo diretto degli integrali indefiniti si basa su questa proprietà.

1.4.Invarianza delle forme di integrazione.

L'integrazione invariante è un tipo di integrazione per funzioni i cui argomenti sono elementi di un gruppo o punti di uno spazio omogeneo (qualsiasi punto in tale spazio può essere trasferito a un altro mediante una determinata azione del gruppo).

la funzione f(x) si riduce al calcolo dell'integrale della forma differenziale f.w, dove

Di seguito è riportata una formula esplicita per r(x). La condizione dell'accordo ha la forma .

qui Tg indica l'operatore di spostamento su X utilizzando gОG: Tgf(x)=f(g-1x). Sia X=G una topologia, un gruppo che agisce su se stesso mediante spostamenti a sinistra. Io e. esiste se e solo se G è localmente compatto (in particolare, su gruppi a dimensione infinita I.I. non esiste). Per un sottoinsieme di I. e. la funzione caratteristica cA (uguale a 1 su A e 0 fuori A) specifica la misura Xaar sinistra m(A). La proprietà che definisce questa misura è la sua invarianza per spostamenti a sinistra: m(g-1A)=m(A) per ogni gОG. La misura Haar sinistra su un gruppo è definita in modo univoco fino a un fattore scalare positivo. Se la misura Haar m è nota, allora I. e. la funzione f è data dalla formula . La misura Haar destra ha proprietà simili. Esiste un omomorfismo continuo (mappa che preserva la proprietà del gruppo) DG del gruppo G nel gruppo (rispetto alla moltiplicazione) post. numeri per i quali

dove dmr e dmi sono le misure Haar destra e sinistra. Viene richiamata la funzione DG(g). modulo del gruppo G. Se , allora viene chiamato il gruppo G. unimodulare; in questo caso le misure di Haar destra e sinistra coincidono. I gruppi compatti, semisemplici e nilpotenti (in particolare commutativi) sono unimodulari. Se G è un gruppo di Lie n-dimensionale e q1,...,qn è una base nello spazio delle forme 1 invarianti a sinistra su G, allora la misura di Haar sinistra su G è data dalla forma n. Nelle coordinate locali per il calcolo

forme qi, è possibile utilizzare qualsiasi matrice realizzativa del gruppo G: viene lasciata invariante la matrice 1-forma g-1dg, ed il suo coefficiente. sono forme scalari 1 invarianti a sinistra da cui viene selezionata la base richiesta. Ad esempio, il gruppo completo di matrici GL(n, R) è unimodulare e la misura di Haar su di esso è data dalla forma. Permettere X=G/H è uno spazio omogeneo per il quale il gruppo localmente compatto G è un gruppo di trasformazione, e il sottogruppo chiuso H è lo stabilizzatore di un certo punto. Affinché esista un i.i. su X è necessario e sufficiente che per ogni hОH valga l’uguaglianza DG(h)=DH(h). In particolare, questo vale nel caso in cui H sia compatto o semisemplice. Teoria completa di I. e. non esiste su varietà a dimensione infinita.

Sostituzione delle variabili.

Risolvere gli integrali è un compito facile, ma solo per pochi eletti. Questo articolo è per coloro che vogliono imparare a comprendere gli integrali, ma non ne sanno nulla o quasi. Integrale... Perché serve? Come calcolarlo? Cosa sono gli integrali definiti e indefiniti?

Se l'unico utilizzo che conosci di un integrale è usare un uncinetto a forma di icona integrale per ottenere qualcosa di utile da luoghi difficili da raggiungere, allora benvenuto! Scopri come risolvere gli integrali più semplici e altri e perché non puoi farne a meno in matematica.

Studiamo il concetto « integrante »

L'integrazione era già nota Antico Egitto. Certo, non nella sua forma moderna, ma comunque. Da allora, i matematici hanno scritto molti libri su questo argomento. Si sono particolarmente distinti Newton E Leibniz , ma l'essenza delle cose non è cambiata.

Come comprendere gli integrali da zero? Non c'è modo! Per comprendere questo argomento avrai comunque bisogno di una conoscenza di base delle nozioni di base. analisi matematica. Abbiamo già informazioni su , necessarie per comprendere gli integrali, sul nostro blog.

Integrale indefinito

Cerchiamo di avere qualche funzione f(x) .

Funzione integrale indefinita f(x) si chiama questa funzione F(x) , la cui derivata è uguale alla funzione f(x) .

In altre parole, un integrale è una derivata al contrario o un'antiderivativa. A proposito, leggi come nel nostro articolo.

Esiste una primitiva per tutte le funzioni continue. Inoltre, all'antiderivativa viene spesso aggiunto un segno costante, poiché le derivate di funzioni che differiscono per una costante coincidono. Il processo per trovare l'integrale è chiamato integrazione.

Esempio semplice:

Per non calcolare costantemente gli antiderivativi funzioni elementari, è conveniente riassumerli in una tabella e utilizzare valori già pronti.

Tavola completa degli integrali per gli studenti

Integrale definito

Quando si tratta del concetto di integrale, abbiamo a che fare con quantità infinitesimali. L'integrale aiuterà a calcolare l'area della figura, la massa di un corpo non uniforme, la distanza percorsa durante un movimento irregolare e molto altro. Va ricordato che un integrale è la somma di un numero infinitamente grande di termini infinitesimi.

Ad esempio, immagina il grafico di una funzione.

Come trovare l'area di una figura delimitata dal grafico di una funzione? Utilizzando un integrale! Dividiamo il trapezio curvilineo, limitato dagli assi coordinati e dal grafico della funzione, in segmenti infinitesimi. In questo modo la figura verrà divisa in colonne sottili. La somma delle aree delle colonne sarà l'area del trapezio. Ma ricorda che un tale calcolo darà un risultato approssimativo. Tuttavia, quanto più piccoli e stretti saranno i segmenti, tanto più accurato sarà il calcolo. Se li riduciamo a tal punto che la lunghezza tende a zero, allora la somma delle aree dei segmenti tenderà all'area della figura. Questo è un integrale definito, che si scrive così:

I punti a e b sono detti limiti di integrazione.

« Integrante »

A proposito! Per i nostri lettori ora c'è uno sconto del 10% su

Regole per il calcolo degli integrali per le manichine

Proprietà dell'integrale indefinito

Come risolvere un integrale indefinito? Qui esamineremo le proprietà dell'integrale indefinito, che sarà utile per la risoluzione degli esempi.

• La derivata dell'integrale è uguale all'integrando:

• La costante può essere estratta da sotto il segno di integrale:

• L'integrale della somma è uguale alla somma degli integrali. Questo vale anche per la differenza:

Proprietà di un integrale definito

• Linearità:

• Il segno dell'integrale cambia se si invertono i limiti di integrazione:

• A Qualunque punti UN, B E Con:

Abbiamo già scoperto che un integrale definito è il limite di una somma. Ma come ottenere un valore specifico quando si risolve un esempio? Per questo esiste la formula di Newton-Leibniz:

Esempi di risoluzione di integrali

Di seguito considereremo l'integrale indefinito ed esempi con soluzioni. Ti suggeriamo di capire tu stesso le complessità della soluzione e, se qualcosa non è chiaro, fai domande nei commenti.

Per rafforzare il materiale, guarda un video su come vengono risolti nella pratica gli integrali. Non disperare se l'integrale non viene dato subito. Rivolgiti ad un servizio professionale per studenti e qualsiasi integrale triplo o curvo su una superficie chiusa sarà in tuo potere.

Questo articolo parla in dettaglio delle principali proprietà dell'integrale definito. Si dimostrano utilizzando il concetto di integrale di Riemann e Darboux. Il calcolo di un integrale definito avviene grazie a 5 proprietà. I restanti vengono utilizzati per valutare varie espressioni.

Prima di passare alle principali proprietà dell'integrale definito, è necessario assicurarsi che a non superi b.

Proprietà fondamentali dell'integrale definito

La funzione y = f (x) definita in x = a è simile alla giusta uguaglianza ∫ a a f (x) d x = 0.

Prova 1

Da ciò vediamo che il valore dell'integrale con limiti coincidenti è uguale a zero. Questa è una conseguenza dell'integrale di Riemann, perché ogni somma integrale σ per qualsiasi partizione sull'intervallo [ a ; a] e qualsiasi scelta di punti ζ i è uguale a zero, perché x i - x i - 1 = 0 , i = 1 , 2 , . . . , n , il che significa che troviamo che il limite delle funzioni integrali è zero.

Definizione 2

Per una funzione integrabile sull'intervallo [a; b ] , la condizione ∫ a b f (x) d x = - ∫ b a f (x) d x è soddisfatta.

Prova 2

In altre parole, se si scambiano i limiti superiore e inferiore dell'integrazione, il valore dell'integrale cambierà al valore opposto. Questa proprietà è ricavata dall'integrale di Riemann. Tuttavia la numerazione della partizione del segmento inizia dal punto x = b.

Definizione 3

∫ a b f x ± g (x) d x = ∫ a b f (x) d x ± ∫ a b g (x) d x si applica alle funzioni integrabili del tipo y = f (x) e y = g (x) definite sull'intervallo [ a ; B ] .

Prova 3

Scrivere la somma integrale della funzione y = f (x) ± g (x) per la suddivisione in segmenti con una data scelta di punti ζ i: σ = ∑ i = 1 n f ζ i ± g ζ i · x i - x i - 1 = = ∑ i = 1 n f (ζ i) · x i - x i - 1 ± ∑ i = 1 n g ζ i · x i - x i - 1 = σ f ± σ g

dove σ f e σ g sono le somme integrali delle funzioni y = f (x) e y = g (x) per il partizionamento del segmento. Dopo essere passato al limite in λ = m a x i = 1, 2, . . . , n (x i - x i - 1) → 0 otteniamo che lim λ → 0 σ = lim λ → 0 σ f ± σ g = lim λ → 0 σ g ± lim λ → 0 σ g .

Dalla definizione di Riemann, questa espressione è equivalente.

Definizione 4

Estendere il fattore costante oltre il segno dell'integrale definito. Funzione integrata dall'intervallo [a; b ] con un valore arbitrario k ha una discreta disuguaglianza della forma ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x .

Dimostrazione 4

La dimostrazione della proprietà integrale definita è simile alla precedente:

σ = ∑ i = 1 n k · f ζ i · (x i - x i - 1) = = k · ∑ i = 1 n f ζ i · (x i - x i - 1) = k · σ f ⇒ lim λ → 0 σ = lim λ → 0 (k · σ f) = k · lim λ → 0 σ f ⇒ ∫ a b k · f (x) d x = k · ∫ a b f (x) d x

Definizione 5

Se una funzione della forma y = f (x) è integrabile su un intervallo x con a ∈ x, b ∈ x, otteniamo che ∫ a b f (x) d x = ∫ a c f (x) d x + ∫ c b f (x) d X.

Prova 5

La proprietà è considerata valida per c ∈ a; b, per c ≤ a e c ≥ b. La dimostrazione è simile alle proprietà precedenti.

Definizione 6

Quando una funzione può essere integrabile dal segmento [a; b], allora ciò è fattibile per qualsiasi segmento interno c; d ∈ un ; B.

Dimostrazione 6

La dimostrazione si basa sulla proprietà di Darboux: se si aggiungono punti a una partizione esistente di un segmento, la somma di Darboux inferiore non diminuirà e quella superiore non aumenterà.

Definizione 7

Quando una funzione è integrabile su [a; b ] da f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 per qualsiasi valore x ∈ a ; b , allora otteniamo che ∫ a b f (x) d x ≥ 0 ∫ a b f (x) ≤ 0 .

La proprietà può essere dimostrata utilizzando la definizione dell'integrale di Riemann: qualsiasi somma integrale per qualsiasi scelta di punti di partizione del segmento e punti ζ i con la condizione che f (x) ≥ 0 f (x) ≤ 0 sia non negativa .

Prova 7

Se le funzioni y = f (x) e y = g (x) sono integrabili sull'intervallo [ a ; b], allora si considerano valide le seguenti disuguaglianze:

∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b g (x) d x , f (x) ≤ g (x) ∀ x ∈ a ; b ∫ a b f (x) d x ≥ ∫ a b g (x) d x , f (x) ≥ g (x) ∀ x ∈ a ; B

Grazie alla dichiarazione sappiamo che l'integrazione è consentita. Questo corollario verrà utilizzato nella dimostrazione di altre proprietà.

Definizione 8

Per una funzione integrabile y = f (x) dall'intervallo [ a ; b ] abbiamo una discreta disuguaglianza della forma ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .

Dimostrazione 8

Abbiamo che - f (x) ≤ f (x) ≤ f (x) . Dalla proprietà precedente abbiamo trovato che la disuguaglianza può essere integrata termine per termine e corrisponde ad una disuguaglianza della forma - ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x . Questa doppia disuguaglianza può essere scritta in un'altra forma: ∫ a b f (x) d x ≤ ∫ a b f (x) d x .

Definizione 9

Quando le funzioni y = f (x) e y = g (x) sono integrate dall'intervallo [ a ; b ] per g (x) ≥ 0 per ogni x ∈ a ; b , otteniamo una disuguaglianza della forma m · ∫ a b g (x) d x ≤ ∫ a b f (x) · g (x) d x ≤ M · ∫ a b g (x) d x , dove m = m i n x ∈ a ; b f (x) e M = m a x x ∈ a ; bf(x) .

Prova 9

La dimostrazione si svolge in modo simile. M e m sono considerati i valori più grande e più piccolo della funzione y = f (x) definita dal segmento [a; b] , allora m ≤ f (x) ≤ M . È necessario moltiplicare la doppia disuguaglianza per la funzione y = g (x), che dà il valore doppia disuguaglianza della forma m · g (x) ≤ f (x) · g (x) ≤ M · g (x) . È necessario integrarlo sull'intervallo [a; b] , allora dobbiamo dimostrare l'affermazione.

Conseguenza: Per g (x) = 1, la disuguaglianza assume la forma m · b - a ≤ ∫ a b f (x) d x ≤ M · (b - a) .

Prima formula media

Per y = f (x) integrabile sull'intervallo [ a ; b] con m = m io n X ∈ a ; b f (x) e M = m a x x ∈ a ; b f (x) esiste un numero μ ∈ m; M , che si adatta ∫ a b f (x) d x = μ · b - a .

Conseguenza: Quando la funzione y = f (x) è continua dall'intervallo [ a ; b], allora esiste un numero c ∈ a; b, che soddisfa l'uguaglianza ∫ a b f (x) d x = f (c) b - a.

La prima formula media in forma generalizzata

Quando le funzioni y = f (x) e y = g (x) sono integrabili dall'intervallo [ a ; b] con m = m io n X ∈ a ; b f (x) e M = m a x x ∈ a ; b f (x) e g (x) > 0 per qualsiasi valore x ∈ a ; B. Da qui si ha che esiste un numero μ ∈ m; M , che soddisfa l'uguaglianza ∫ a b f (x) · g (x) d x = μ · ∫ a b g (x) d x .

Seconda formula media

Quando la funzione y = f (x) è integrabile dall'intervallo [ a ; b], e y = g (x) è monotono, allora esiste un numero che c ∈ a; b , dove otteniamo una discreta uguaglianza della forma ∫ a b f (x) · g (x) d x = g (a) · ∫ a c f (x) d x + g (b) · ∫ c b f (x) d x

Se noti un errore nel testo, evidenzialo e premi Ctrl+Invio

Nel calcolo differenziale il problema è risolto: sotto questa funzione ƒ(x) trova la sua derivata(o differenziale). Il calcolo integrale risolve il problema inverso: trovare la funzione F(x), conoscendo la sua derivata F "(x)=ƒ(x) (o differenziale). La funzione cercata F(x) è chiamata antiderivativa della funzione ƒ(x ).

Viene chiamata la funzione F(x). antiderivativo funzione ƒ(x) sull'intervallo (a; b), se per qualsiasi x є (a; b) l'uguaglianza

F " (x)=ƒ(x) (o dF(x)=ƒ(x)dx).

Per esempio, l'antiderivativa della funzione y = x 2, x є R, è la funzione, poiché

Ovviamente anche eventuali funzioni saranno antiderivative

dove C è una costante, poiché

Teorema 29. 1. Se la funzione F(x) è un'antiderivativa della funzione ƒ(x) su (a;b), allora l'insieme di tutte le antiderivative per ƒ(x) è dato dalla formula F(x)+ C, dove C è un numero costante.

▲ La funzione F(x)+C è una antiderivativa di ƒ(x).

Infatti, (F(x)+C) " =F " (x)=ƒ(x).

Sia Ф(х) un'altra antiderivativa della funzione ƒ(x), diversa da F(x), cioè Ф "(x)=ƒ(х). Allora per ogni x є (а; b) abbiamo

E questo significa (vedi Corollario 25.1) questo

dove C è un numero costante. Pertanto, Ф(x)=F(x)+С.▼

Viene chiamato l'insieme di tutte le funzioni antiderivative F(x)+С per ƒ(x). integrale indefinito della funzione ƒ(x) ed è indicato con il simbolo ∫ ƒ(x) dx.

Quindi, per definizione

∫ ƒ(x)dx= F(x)+C.

Qui viene chiamato ƒ(x). funzione integranda, ƒ(x)dx — espressione integrando, X - variabile di integrazione, ∫ -segno dell'integrale indefinito.

L'operazione per trovare l'integrale indefinito di una funzione si chiama integrazione di questa funzione.

Geometricamente, l'integrale indefinito è una famiglia di curve “parallele” y=F(x)+C (ogni valore numerico di C corrisponde ad una curva specifica della famiglia) (vedi Fig. 166). Viene chiamato il grafico di ciascuna antiderivativa (curva). curva integrale.

Ogni funzione ha un integrale indefinito?

Esiste un teorema che afferma che “ogni funzione continua su (a;b) ha una primitiva su questo intervallo” e, di conseguenza, un integrale indefinito.

Notiamo alcune proprietà dell'integrale indefinito che derivano dalla sua definizione.

1. Il differenziale dell'integrale indefinito è uguale all'integrando e la derivata dell'integrale indefinito è uguale all'integrando:

D(∫ ƒ(x)dx)=ƒ(x)dх, (∫ ƒ(x)dx) " =ƒ(x).

Infatti, d(∫ ƒ(x) dx)=d(F(x)+C)=dF(x)+d(C)=F " (x) dx =ƒ(x) dx

(∫ ƒ (x) dx) " =(F(x)+C)"=F"(x)+0 =ƒ (x).

Grazie a questa proprietà, la correttezza dell'integrazione viene verificata mediante differenziazione. Ad esempio, l'uguaglianza

∫(3x 2 + 4) dx=х з +4х+С

vero, poiché (x 3 +4x+C)"=3x 2 +4.

2. L'integrale indefinito del differenziale di una certa funzione è uguale alla somma di questa funzione e di una costante arbitraria:

∫dF(x)= F(x)+C.

Veramente,

3. Il fattore costante può essere eliminato dal segno integrale:

α ≠ 0 è una costante.

Veramente,

(metti C 1 / a = C.)

4. L'integrale indefinito della somma algebrica di un numero finito di funzioni continue è uguale alla somma algebrica degli integrali degli addendi delle funzioni:

Sia F"(x)=ƒ(x) e G"(x)=g(x). Poi

dove C1±C2=C.

5. (Invarianza della formula di integrazione).

Se , dove u=φ(x) è una funzione arbitraria con derivata continua.

▲ Sia x una variabile indipendente, ƒ(x) - funzione continua e F(x) è il suo antigene. Poi

Poniamo ora u=φ(x), dove φ(x) è una funzione continuamente differenziabile. Consideriamo la funzione complessa F(u)=F(φ(x)). A causa dell'invarianza della forma del primo differenziale della funzione (vedi p. 160), abbiamo

Da qui▼

Pertanto, la formula per l'integrale indefinito rimane valida indipendentemente dal fatto che la variabile di integrazione sia la variabile indipendente o qualsiasi sua funzione che abbia una derivata continua.

Quindi, dalla formula sostituendo x con u (u=φ(x)) otteniamo

In particolare,

Esempio 29.1. Trova l'integrale

dove C=C1+C2 +C3 +C4.

Esempio 29.2. Trova la soluzione integrale:

• 29.3. Tabella degli integrali indefiniti di base

Sfruttando il fatto che l'integrazione è l'azione inversa della differenziazione, si può ottenere una tabella degli integrali di base invertendo le corrispondenti formule del calcolo differenziale (tabella dei differenziali) e utilizzando le proprietà dell'integrale indefinito.

Per esempio, Perché

d(peccato u)=cos u . du

La derivazione di alcune formule nella tabella verrà fornita considerando i metodi di integrazione di base.

Gli integrali nella tabella seguente sono detti tabulari. Dovrebbero essere conosciuti a memoria. Nel calcolo integrale non esistono regole semplici e universali per trovare le antiderivative delle funzioni elementari, come nel calcolo differenziale. I metodi per trovare le antiderivative (cioè integrare una funzione) si riducono a indicare tecniche che portano un dato integrale (cercato) a uno tabellare. Pertanto è necessario conoscere gli integrali di tabella ed essere in grado di riconoscerli.

Si noti che nella tabella degli integrali di base, la variabile di integrazione può denotare sia una variabile indipendente che una funzione della variabile indipendente (secondo la proprietà di invarianza della formula di integrazione).

La validità delle formule seguenti può essere verificata prendendo il differenziale sul lato destro, che sarà uguale all'integrando sul lato sinistro della formula.

Dimostriamo, ad esempio, la validità della formula 2. La funzione 1/u è definita e continua per tutti i valori di e diversi da zero.

Se u > 0, allora ln|u|=lnu, allora Ecco perché

Se tu<0, то ln|u|=ln(-u). НоSignifica

Quindi la formula 2 è corretta. Allo stesso modo, controlliamo la formula 15:

Tavola dei principali integrali

Amici! Vi invitiamo a discutere. Se hai una tua opinione, scrivici nei commenti.