Studio di una funzione per monotonicità e punti estremi. Lezione "studiare una funzione per monotonicità"

Estremi e convessità.

Asintoti del grafico di una funzione

Definizione.Punto critico funzioni A = F(X) è il punto in cui la derivata è zero o non esiste.

Teorema. Se nell'intervallo (a; b) la derivata positivo/negativo, la funzione aumenta/diminuisce in questo intervallo.

Teorema. Se, passando per il punto critico, la derivata cambia segno da “+” a “−” (da “−” a “+”), quindi − è il punto massimo (minimo) della funzione

Definizione. Funzione chiamato convesso verso l'alto (verso il basso) nell'intervallo (a; b), se in questo intervallo i punti del grafico si trovano sotto (sopra) le tangenti costruite in questi punti. Punto di flessoè un punto nel grafico di una funzione che la divide in parti con diverse direzioni di convessità.

Esempio 2.3.

Esplora la funzione per monotonia ed estremi, convessità.

1. Esaminiamo la funzione per la monotonia e gli estremi.

Facciamo un disegno ( riso. 2.1).

sì"

−

sì

problema giù

problema su

problema giù

Riso. 2.2. Studio di una funzione per convessità

Calcoliamo le ordinate dei punti di flesso del grafico:

Coordinate dei punti di flesso: (0; 0), (1; −1).

2.32. Esaminare la funzione per monotonicità ed estremi:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

2.33. Trova i valori più piccoli e più grandi della funzione:

1) sull'intervallo;

2) sull'intervallo [−1; 1];

3) sull'intervallo [−4; 4];

4) sull'intervallo [−2; 1].

2.34. I costi di produzione C (cu) dipendono dal volume della produzione X(unità): Trova i costi di produzione più alti se X cambiamenti nell'intervallo. Trova valore X, in corrispondenza del quale il profitto sarà massimo se il ricavo derivante dalla vendita di un'unità di produzione è pari a 15 c.u. e.

2.35. È necessario assegnare un terreno rettangolare di 512 m2, recintarlo e dividerlo con una recinzione in tre parti uguali parallele ad uno dei lati del sito. Quale dovrebbe essere la dimensione del sito in modo che venga utilizzata la minor quantità di materiale per la recinzione?

2.36. Dato il perimetro di una finestra rettangolare, trova le sue dimensioni tali da far entrare la maggior quantità di luce.

2.37. Trova il profitto massimo se il reddito R e i costi C sono determinati dalle formule: dove X− quantità di beni venduti.

2.38. Dipendenza dal volume di produzione W dai costi di capitale A determinato dalla funzione
Trova l'intervallo di modifica A, dove l’aumento dei costi di capitale è inefficace.

2.39. La funzione di costo ha la forma Il reddito derivante dalla vendita di un'unità di produzione è pari a 200. Trova il valore ottimale della produzione per il produttore.

2.40. La dipendenza del volume della produzione (in unità monetarie) dai costi di capitale è determinata dalla funzione Trova l'intervallo di valori in cui l'aumento dei costi di capitale è inefficace.

2.41. Si ritiene che l'aumento delle vendite derivante dai costi pubblicitari (milioni di rubli) sia determinato dal rapporto Il reddito derivante dalla vendita di un'unità di produzione è pari a 20 mila rubli. Trova il livello dei costi pubblicitari al quale l'azienda riceverà il massimo profitto.

2.42. Il reddito derivante dalla produzione di prodotti utilizzando unità di risorsa è uguale a Il costo di un'unità di risorsa è 10 den. unità Quanta risorsa dovrebbe essere acquistata affinché il profitto sia maggiore?

2.43. La funzione di costo ha la forma Il reddito derivante dalla vendita di un'unità di produzione è 50. Trova il massimo valore di profitto che il produttore può ricevere.

2.44. La dipendenza del reddito di monopolio dalla quantità di output è definita come: La funzione di costo in questo intervallo ha la forma Trovare il valore di output ottimale per il monopolio.

2.45. Il prezzo per i prodotti di un produttore monopolistico è fissato in base al rapporto identificato come . In corrispondenza di quale valore della produzione del prodotto il reddito derivante dalle sue vendite sarà maggiore?

2.46. La funzione di costo ha la seguente forma A A . Attualmente il livello di produzione A quali condizioni sul parametro PÈ redditizio per un’impresa ridurre la produzione se il reddito derivante dalla vendita di un’unità di produzione è pari a 50?

Lezione e presentazione di algebra in terza media sull'argomento: "Investigazione su una funzione per la monotonicità. Algoritmo di ricerca"

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Cosa studieremo:
1. Funzioni decrescenti e crescenti.
2. Relazione tra derivata e monotonicità di una funzione.
3. Due importanti teoremi sulla monotonicità.
4. Esempi.

Ragazzi, prima abbiamo esaminato molte funzioni diverse e le abbiamo tracciate. Ora introduciamo nuove regole che funzionano per tutte le funzioni che abbiamo considerato e che continueremo a considerare.

Funzioni decrescenti e crescenti

Diamo un'occhiata al concetto di funzioni crescenti e decrescenti. Ragazzi, cos'è una funzione?

Una funzione è una corrispondenza y= f(x), in cui ogni valore di x è associato a un singolo valore di y.

Diamo un'occhiata al grafico di alcune funzioni:

Il nostro grafico mostra: maggiore è x, minore è y. Quindi definiamo una funzione decrescente. Una funzione si dice decrescente se a un valore maggiore dell'argomento corrisponde un valore minore della funzione.

Se x2 > x1, allora f(x2) Ora guardiamo il grafico di questa funzione:
Questo grafico mostra che maggiore è x, maggiore è y. Quindi definiamo una funzione crescente. Una funzione si dice crescente se a un valore maggiore dell'argomento corrisponde un valore maggiore della funzione.
Se x2 > x1, allora f(x2 > f(x1) ovvero: maggiore x, maggiore y.

Se una funzione aumenta o diminuisce in un certo intervallo si dice così è monotono su questo intervallo.

Relazione tra derivata e monotonicità di una funzione

Ragazzi, ora pensiamo a come applicare il concetto di derivata quando studiate i grafici delle funzioni. Disegniamo un grafico di una funzione differenziabile crescente e disegniamo un paio di tangenti al nostro grafico.

Se guardi le nostre tangenti o disegni visivamente qualsiasi altra tangente, noterai che l'angolo tra la tangente e la direzione positiva dell'asse x sarà acuto. Ciò significa che la tangente ha pendenza positiva. Pendenza tangente uguale al valore derivata nell'ascissa del punto di tangenza. Pertanto, il valore del derivato è positivo in tutti i punti del nostro grafico. Per una funzione crescente vale la seguente disuguaglianza: f"(x) ≥ 0, per ogni punto x.

Ragazzi, ora diamo un'occhiata al grafico di una funzione decrescente e costruiamo le tangenti al grafico della funzione.

Diamo un'occhiata alle tangenti e disegniamo visivamente qualsiasi altra tangente. Noteremo che l'angolo tra la tangente e la direzione positiva dell'asse x è ottuso, il che significa che la tangente ha una pendenza negativa. Pertanto, il valore del derivato è negativo in tutti i punti del nostro grafico. Per una funzione decrescente vale la seguente disuguaglianza: f"(x) ≤ 0, per qualsiasi punto x.

Quindi la monotonia di una funzione dipende dal segno della derivata:

Se una funzione aumenta su un intervallo e ha una derivata su questo intervallo, allora questa derivata non sarà negativa.

Se una funzione decresce su un intervallo e ha una derivata su questo intervallo, allora questa derivata non sarà positiva.

Importante, per cui gli intervalli su cui consideriamo la funzione sono aperti!

Due importanti teoremi sulla monotonia

Teorema 1. Se la disuguaglianza f'(x) ≥ 0 vale in tutti i punti di un intervallo aperto X (e l'uguaglianza della derivata a zero non vale o vale, ma solo in un insieme finito di punti), allora la funzione y= f(x) aumenta sull'intervallo X.

Teorema 2. Se la disuguaglianza f'(x) ≤ 0 vale in tutti i punti di un intervallo aperto X (e l'uguaglianza della derivata a zero non vale o vale, ma solo in un insieme finito di punti), allora la funzione y= f(x) diminuisce sull'intervallo X.

Teorema 3. Se in tutti i punti dell'intervallo aperto X l'uguaglianza
f’(x)= 0, allora la funzione y= f(x) è costante su questo intervallo.

Esempi di studio di una funzione per la monotonicità

1) Dimostrare che la funzione y= x 7 + 3x 5 + 2x - 1 è crescente su tutta la retta numerica.

Soluzione: Troviamo la derivata della nostra funzione: y"= 7 6 + 15x 4 + 2. Poiché il grado in x è pari, la funzione potenza assume solo valori positivi. Quindi y" > 0 per qualsiasi x, che significa per il Teorema 1, la nostra funzione aumenta lungo tutta la linea numerica.

2) Dimostrare che la funzione è decrescente: y= sin(2x) - 3x.

Troviamo la derivata della nostra funzione: y"= 2cos(2x) - 3.
Risolviamo la disuguaglianza:
2cos(2x) - 3 ≤ 0,
2cos(2x) ≤ 3,
cos(2x) ≤ 3/2.
Perché -1 ≤ cos(x) ≤ 1, il che significa che la nostra disuguaglianza è soddisfatta per ogni x, allora per il Teorema 2 la funzione y= sin(2x) - 3x diminuisce.

3) Esaminare la monotonia della funzione: y= x 2 + 3x - 1.

Soluzione: Troviamo la derivata della nostra funzione: y"= 2x + 3.
Risolviamo la disuguaglianza:
2x + 3 ≥ 0,
x≥ -3/2.
Quindi la nostra funzione aumenta per x ≥ -3/2 e diminuisce per x ≤ -3/2.
Risposta: Per x ≥ -3/2 la funzione aumenta, per x ≤ -3/2 la funzione diminuisce.

4) Esaminare la monotonia della funzione: y= $\sqrt(3x - 1)$.

Soluzione: troviamo la derivata della nostra funzione: y"= $\frac(3)(2\sqrt(3x - 1))$.
Risolviamo la disuguaglianza: $\frac(3)(2\sqrt(3x - 1))$ ≥ 0.

La nostra disuguaglianza è maggiore o uguale a zero:
$\quadrato(3x - 1)$ ≥ 0,
3x - 1 ≥ 0,
x≥ 1/3.
Risolviamo la disuguaglianza:
$\frac(3)(2\sqrt(3x-1))$ ≤ 0,

$\quadrato(3x-1)$ ≤ 0,
3x - 1 ≤ 0.
Ma questo è impossibile, perché Radice quadrataè definito solo per espressioni positive, il che significa che la nostra funzione non ha intervalli decrescenti.
Risposta: per x ≥ 1/3 la funzione aumenta.

Problemi da risolvere in autonomia

a) Dimostrare che la funzione y= x 9 + 4x 3 + 1x - 10 è crescente lungo tutta la retta numerica.
b) Dimostrare che la funzione è decrescente: y= cos(5x) - 7x.
c) Esaminare la monotonia della funzione: y= 2x 3 + 3x 2 - x + 5.
d) Esaminare la monotonia della funzione: y = $\frac(3x-1)(3x+1)$.

Ci siamo incontrati per la prima volta in un corso di algebra di seconda media. Osservando il grafico della funzione, abbiamo preso le informazioni corrispondenti: se, muovendoci lungo il grafico da sinistra a destra, ci muoviamo contemporaneamente dal basso verso l'alto (come se scalassimo una collina), allora abbiamo dichiarato la funzione essere in aumento (Fig. 124); se ci spostiamo dall'alto verso il basso (scendiamo da una collina), abbiamo dichiarato che la funzione è decrescente (Fig. 125).

Tuttavia, i matematici non amano molto questo metodo di studio delle proprietà di una funzione. Credono che le definizioni dei concetti non dovrebbero essere basate su un disegno: il disegno dovrebbe solo illustrare l'una o l'altra proprietà di una funzione sul suo grafica. Diamo definizioni rigorose dei concetti di funzioni crescenti e decrescenti.

Definizione 1. La funzione y = f(x) si dice crescente sull'intervallo X se, dalla disuguaglianza x 1< х 2 - где хг и х2 - любые две точки промежутка X, следует неравенство f(x 1) < f(x 2).

Definizione 2. Si dice che la funzione y = f(x) decresce sull'intervallo X se la disuguaglianza x 1< х 2 , где х 1 и х 2 - любые две точки промежутка X, следует disuguaglianza f(x1) > f(x2).

In pratica è più conveniente utilizzare le seguenti formulazioni:

una funzione aumenta se a un valore maggiore dell'argomento corrisponde un valore maggiore della funzione;
una funzione diminuisce se un valore maggiore dell'argomento corrisponde a un valore minore della funzione.

Utilizzando queste definizioni e le proprietà delle disuguaglianze numeriche stabilite nel § 33, saremo in grado di motivare le conclusioni sull'aumento o sulla diminuzione delle funzioni precedentemente studiate.

1. Funzione lineare y = kx +m

Se k > 0, allora la funzione aumenta ovunque (Fig. 126); se k< 0, то функция убывает на всей числовой прямой (рис. 127).

Prova. Sia f(x) = kx +m. Se x1< х 2 и k >Oh, allora, secondo la proprietà di 3 disuguaglianze numeriche (vedi § 33), kx 1< kx 2 . Далее, согласно свойству 2, из kx 1 < kx 2 следует, что kx 1 + m < kx 2 + m, т. е. f(х 1) < f(х 2).

Quindi, dalla disuguaglianza x 1< х 2 следует, что f(х 1) < f(x 2). Это и означает возрастание функции у = f(х), т.е. lineare funzioni y = kx+ m.

Se x1< х 2 и k < 0, то, согласно свойству 3 числовых неравенств, kx 1 >kx 2 , e secondo la proprietà 2, da kx 1 > kx 2 segue che kx 1 + m> kx 2 + cioè

Quindi, dalla disuguaglianza x 1< х 2 следует, что f(х 1) >f(x2). Ciò significa una diminuzione della funzione y = f(x), cioè della funzione lineare y = kx + m.

Se una funzione aumenta (diminuisce) in tutto il suo dominio di definizione, allora può essere chiamata crescente (diminuente) senza indicare l'intervallo. Ad esempio della funzione y = 2x - 3 possiamo dire che è crescente lungo tutta la linea numerica, ma possiamo anche dirlo più brevemente: y = 2x - 3 - crescente
funzione.

2. Funzione y = x2

1. Considera la funzione y = x 2 sulla semiretta. Prendiamo due numeri non positivi x 1 e x 2 tali che x 1< х 2 . Тогда, согласно свойству 3 числовых неравенств, выполняется неравенство - х 1 >-x2. Poiché i numeri - x 1 e - x 2 sono non negativi, elevando al quadrato entrambi i lati dell'ultima disuguaglianza, otteniamo una disuguaglianza dello stesso significato (-x 1) 2 > (-x 2) 2, cioè Ciò significa che f(x 1) > f(x 2).

Quindi, dalla disuguaglianza x 1< х 2 следует, что f(х 1) >f(x2).

Pertanto la funzione y = x 2 decresce sul raggio (- 00, 0] (Fig. 128).

1. Considera una funzione sull'intervallo (0, + 00).
Sia x1< х 2 . Так как х 1 и х 2 - , то из х 1 < x 2 следует (см. пример 1 из § 33), т. е. f(x 1) >f(x2).

Quindi, dalla disuguaglianza x 1< х 2 следует, что f(x 1) >f(x2). Ciò significa che la funzione decresce sul raggio aperto (0, + 00) (Fig. 129).

2. Considera una funzione sull'intervallo (-oo, 0). Sia x 1< х 2 , х 1 и х 2 - numeri negativi. Allora - x 1 > - x 2, ed entrambi i membri dell'ultima disuguaglianza sono numeri positivi, e quindi (abbiamo usato ancora la disuguaglianza dimostrata nell'esempio 1 del § 33). Poi abbiamo da dove veniamo.

Quindi, dalla disuguaglianza x 1< х 2 следует, что f(x 1) >f(x 2) cioè la funzione diminuisce sul raggio aperto (- 00 , 0)

Di solito i termini "funzione crescente" e "funzione decrescente" sono combinati sotto il nome generale di funzione monotona, e lo studio di una funzione per aumentare e diminuire è chiamato studio di una funzione per monotonia.

Soluzione.

1) Tracciamo la funzione y = 2x2 e prendiamo il ramo di questa parabola in x< 0 (рис. 130).

2) Costruisci e seleziona la sua parte sul segmento (Fig. 131).

3) Costruiamo un'iperbole e selezioniamo la sua parte sul raggio aperto (4, + 00) (Fig. 132).
4) Rappresentiamo tutti e tre i "pezzi" in un sistema di coordinate: questo è il grafico della funzione y = f(x) (Fig. 133).

Leggiamo il grafico della funzione y = f(x).

1. Il dominio di definizione della funzione è l'intera linea numerica.

2. y = 0 in x = 0; y > 0 per x > 0.

3. La funzione decresce sul raggio (-oo, 0], aumenta sul segmento, diminuisce sul raggio, è convessa verso l'alto sul segmento, convessa verso il basso sul raggio)