Come trovare manualmente la radice quadrata di un numero. Cos'è una radice quadrata? Qual è la radice quadrata di cento?

Quando risolvono vari problemi da un corso di matematica e fisica, gli alunni e gli studenti si trovano spesso di fronte alla necessità di estrarre radici di secondo, terzo o ennesimo grado. Naturalmente, nel sec Tecnologie informatiche Non sarà difficile risolvere questo problema utilizzando una calcolatrice. Tuttavia, si verificano situazioni in cui è impossibile utilizzare l'assistente elettronico.

Ad esempio, molti esami non consentono di portare dispositivi elettronici. Inoltre, potresti non avere una calcolatrice a portata di mano. In questi casi è utile conoscere almeno alcuni metodi per calcolare manualmente i radicali.

Trovare le radici quadrate utilizzando una tabella dei quadrati

Uno dei modi più semplici per calcolare le radici è quello utilizzando una tabella speciale. Cos'è e come usarlo correttamente?

Usando la tabella, puoi trovare il quadrato di qualsiasi numero da 10 a 99. Le righe della tabella contengono i valori delle decine e le colonne contengono i valori delle unità. La cella all'intersezione di una riga e di una colonna contiene il quadrato di un numero a due cifre. Per calcolare il quadrato di 63, devi trovare una riga con un valore di 6 e una colonna con un valore di 3. All'intersezione troveremo una cella con il numero 3969.

Poiché l'estrazione della radice è l'operazione inversa della quadratura, per eseguire questa azione devi fare il contrario: trovare prima la cella con il numero di cui vuoi calcolare il radicale, quindi utilizzare i valori della colonna e della riga per determinare la risposta . Ad esempio, considera il calcolo radice quadrata 169.

Troviamo una cella con questo numero nella tabella, orizzontalmente determiniamo le decine - 1, verticalmente troviamo le unità - 3. Risposta: √169 = 13.

Allo stesso modo, puoi calcolare il cubo e le radici n-esime utilizzando le tabelle appropriate.

Il vantaggio del metodo è la sua semplicità e l'assenza di calcoli aggiuntivi. Gli svantaggi sono evidenti: il metodo può essere utilizzato solo per un intervallo limitato di numeri (il numero di cui viene trovata la radice deve essere compreso tra 100 e 9801). Inoltre, non funzionerà se il numero indicato non è presente nella tabella.

fattorizzazione in numeri primi

Se la tabella dei quadrati non è a portata di mano o risulta impossibile trovare la radice con il suo aiuto, puoi provare scomporre in fattori primi il numero sotto la radice. I fattori primi sono quelli che possono essere completamente (senza resto) divisibili solo per se stessi o per uno. Gli esempi potrebbero essere 2, 3, 5, 7, 11, 13, ecc.

Diamo un'occhiata al calcolo della radice usando √576 come esempio. Scomponiamolo in fattori primi. Otteniamo il seguente risultato: √576 = √(2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 3) = √(2 ∙ 2 ∙ 2)² ∙ √3². Utilizzando la proprietà di base delle radici √a² = a, elimineremo radici e quadrati e quindi calcoleremo la risposta: 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24.

Cosa fare se uno qualsiasi dei moltiplicatori non ha una propria coppia? Ad esempio, considera il calcolo di √54. Dopo la fattorizzazione, otteniamo il risultato nella seguente forma: √54 = √(2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3) = √3² ∙ √(2 ∙ 3) = 3√6. La parte non rimovibile può essere lasciata sotto la radice. Per la maggior parte dei problemi di geometria e algebra, questa risposta verrà conteggiata come risposta finale. Ma se è necessario calcolare valori approssimativi, è possibile utilizzare i metodi che verranno discussi di seguito.

Il metodo di Airone

Cosa fare quando è necessario sapere almeno approssimativamente a cosa equivale la radice estratta (se è impossibile ottenere un valore intero)? Un risultato rapido e abbastanza accurato si ottiene utilizzando il metodo Heron. La sua essenza è usare una formula approssimativa:

√R = √a + (R - a) / 2√a,

dove R è il numero di cui è necessario calcolare la radice, a è il numero più vicino di cui si conosce il valore della radice.

Diamo un'occhiata a come funziona il metodo nella pratica e valutiamo quanto sia accurato. Calcoliamo a cosa equivale √111. Il numero più vicino a 111, di cui è nota la radice, è 121. Pertanto, R = 111, a = 121. Sostituisci i valori nella formula:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

Ora controlliamo l'accuratezza del metodo:

10,55² = 111,3025.

L'errore del metodo è stato di circa 0,3. Se è necessario migliorare la precisione del metodo, è possibile ripetere i passaggi precedentemente descritti:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

Controlliamo l'esattezza del calcolo:

10.536² = 111.0073.

Dopo aver riapplicato la formula, l'errore è diventato del tutto insignificante.

Calcolo della radice mediante divisione lunga

Questo metodo per trovare il valore della radice quadrata è un po' più complesso dei precedenti. Tuttavia, è il più accurato tra gli altri metodi di calcolo senza calcolatrice.

Diciamo che devi trovare la radice quadrata precisa fino a 4 cifre decimali. Analizziamo l'algoritmo di calcolo utilizzando l'esempio di un numero arbitrario 1308.1912.

Dividi il foglio di carta in 2 parti con una linea verticale, quindi traccia un'altra linea da esso a destra, leggermente sotto il bordo superiore. Scriviamo il numero sul lato sinistro, dividendolo in gruppi di 2 cifre, spostandoci verso destra e lato sinistro dalla virgola. La primissima cifra a sinistra potrebbe essere senza coppia. Se manca il segno a destra del numero, dovresti aggiungere 0. Nel nostro caso, il risultato sarà 13 08.19 12.
Scegliamo il meglio gran numero, il cui quadrato sarà inferiore o uguale al primo gruppo di cifre. Nel nostro caso è 3. Scriviamolo in alto a destra; 3 è la prima cifra del risultato. In basso a destra indichiamo 3×3 = 9; questo sarà necessario per i calcoli successivi. Da 13 nella colonna sottraiamo 9, otteniamo il resto di 4.
Assegniamo la prossima coppia di numeri al resto 4; otteniamo 408.
Moltiplica il numero in alto a destra per 2 e scrivilo in basso a destra, aggiungendovi _ x _ =. Otteniamo 6_ x _ =.
Invece dei trattini, devi sostituire lo stesso numero, inferiore o uguale a 408. Otteniamo 66 × 6 = 396. Scriviamo 6 in alto a destra, poiché questa è la seconda cifra del risultato. Sottraiamo 396 da 408 e otteniamo 12.
Ripetiamo i passaggi 3-6. Poiché le cifre spostate verso il basso si trovano nella parte frazionaria del numero, è necessario posizionare un punto decimale in alto a destra dopo il 6. Scriviamo con trattini il risultato doppio: 72_ x _ =. Un numero adatto sarebbe 1: 721×1 = 721. Scriviamolo come risposta. Sottrai 1219 - 721 = 498.
Eseguiamo la sequenza di azioni indicata nel paragrafo precedente altre tre volte per ottenere il numero richiesto di cifre decimali. Se non ci sono abbastanza caratteri per ulteriori calcoli, devi aggiungere due zeri al numero corrente a sinistra.

Di conseguenza, otteniamo la risposta: √1308.1912 ≈ 36.1689. Se controlli l'azione utilizzando una calcolatrice, puoi assicurarti che tutti i segni siano stati identificati correttamente.

Calcolo della radice quadrata bit per bit

Il metodo è estremamente accurato. Inoltre, è abbastanza comprensibile e non richiede la memorizzazione di formule o un complesso algoritmo di azioni, poiché l'essenza del metodo è selezionare il risultato corretto.

Estraiamo la radice del numero 781. Vediamo in dettaglio la sequenza delle azioni.

Scopriamo quale cifra del valore della radice quadrata sarà la più significativa. Per fare ciò eleviamo al quadrato 0, 10, 100, 1000, ecc. e scopriamo tra quale di essi si trova il numero radicale. Otteniamo quei 10²< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
Scegliamo il valore delle decine. Per fare ciò, eleveremo a turno alla potenza di 10, 20, ..., 90 finché non otterremo un numero maggiore di 781. Nel nostro caso, otteniamo 10² = 100, 20² = 400, 30² = 900. il valore del risultato n sarà compreso tra 20< n <30.
Analogamente al passaggio precedente, viene selezionato il valore della cifra delle unità. Facciamo il quadrato di 21,22, ..., 29 uno per uno: 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28² = 784. Otteniamo 27< n < 28.
Ogni cifra successiva (decimi, centesimi, ecc.) viene calcolata nello stesso modo mostrato sopra. I calcoli vengono eseguiti fino al raggiungimento della precisione richiesta.

video

Questo video ti mostrerà come trovare le radici quadrate senza usare la calcolatrice.

Molto spesso, quando risolviamo i problemi, ci troviamo di fronte a grandi numeri da cui dobbiamo estrarre Radice quadrata. Molti studenti decidono che si tratta di un errore e iniziano a risolvere l'intero esempio. In nessun caso dovresti farlo! Ci sono due ragioni per questo:

Le radici dei grandi numeri appaiono nei problemi. Soprattutto in quelli testuali;
Esiste un algoritmo mediante il quale queste radici vengono calcolate quasi oralmente.

Considereremo questo algoritmo oggi. Forse alcune cose ti sembreranno incomprensibili. Ma se presti attenzione a questa lezione, riceverai un'arma potente contro radici quadrate.

Quindi, l'algoritmo:

Limita la radice richiesta sopra e sotto ai numeri che sono multipli di 10. Pertanto, ridurremo l'intervallo di ricerca a 10 numeri;
Da questi 10 numeri, elimina quelli che sicuramente non possono essere radici. Di conseguenza, rimarranno 1-2 numeri;
Quadra questi 1-2 numeri. Quello il cui quadrato è uguale al numero originale sarà la radice.

Prima di mettere in pratica questo algoritmo, esaminiamo ogni singolo passaggio.

Limitazione della radice

Prima di tutto dobbiamo scoprire tra quali numeri si trova la nostra radice. È altamente auspicabile che i numeri siano multipli di dieci:

10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.

Otteniamo una serie di numeri:

100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.

Cosa ci dicono questi numeri? È semplice: otteniamo dei confini. Prendiamo ad esempio il numero 1296. Si trova tra 900 e 1600. Pertanto la sua radice non può essere inferiore a 30 e maggiore di 40:

[Didascalia dell'immagine]

La stessa cosa vale per qualsiasi altro numero di cui si possa ricavare la radice quadrata. Ad esempio, 3364:

[Didascalia dell'immagine]

Pertanto, invece di un numero incomprensibile, otteniamo un intervallo molto specifico in cui si trova la radice originale. Per restringere ulteriormente l'area di ricerca, passare al secondo passaggio.

Eliminando numeri ovviamente inutili

Quindi, abbiamo 10 numeri: candidati alla radice. Li abbiamo ottenuti molto rapidamente, senza pensieri complessi e moltiplicazioni in una colonna. È ora di andare avanti.

Che tu ci creda o no, ora ridurremo il numero dei numeri candidati a due, ancora una volta senza calcoli complicati! È sufficiente conoscere la regola speciale. Ecco qui:

L'ultima cifra del quadrato dipende solo dall'ultima cifra numero originale.

In altre parole basta guardare l'ultima cifra del quadrato e capiremo subito dove finisce il numero originale.

Ci sono solo 10 cifre che possono arrivare all'ultimo posto. Proviamo a scoprire in cosa si trasformano una volta quadrati. Dai un'occhiata alla tabella:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
1	4	9	6	5	6	9	4	1	0

Questa tabella è un altro passo verso il calcolo della radice. Come puoi vedere, i numeri nella seconda riga si sono rivelati simmetrici rispetto ai cinque. Per esempio:

2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.

Come puoi vedere, l'ultima cifra è la stessa in entrambi i casi. Ciò significa che, ad esempio, la radice di 3364 deve terminare con 2 o 8. Ricordiamo invece la restrizione del paragrafo precedente. Noi abbiamo:

[Didascalia dell'immagine]

I quadrati rossi indicano che non conosciamo ancora questa cifra. Ma la radice si trova nell'intervallo da 50 a 60, su cui ci sono solo due numeri che terminano con 2 e 8:

[Didascalia dell'immagine]

È tutto! Di tutte le possibili radici, abbiamo lasciato solo due opzioni! E questo è nel caso più difficile, perché l'ultima cifra può essere 5 o 0. E poi ci sarà un solo candidato per le radici!

Calcoli finali

Quindi, ci restano 2 numeri candidati. Come fai a sapere qual è la radice? La risposta è ovvia: eleva entrambi i numeri al quadrato. Quello che al quadrato dà il numero originale sarà la radice.

Ad esempio, per il numero 3364 abbiamo trovato due numeri candidati: 52 e 58. Eleviamoli al quadrato:

52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 − 2) 2 = 3600 − 2 60 2 + 4 = 3364.

È tutto! Si è scoperto che la radice è 58! Allo stesso tempo, per semplificare i calcoli, ho utilizzato la formula dei quadrati della somma e della differenza. Grazie a questo, non ho nemmeno dovuto moltiplicare i numeri in una colonna! Questo è un altro livello di ottimizzazione del calcolo, ma, ovviamente, è del tutto facoltativo :)

Esempi di calcolo delle radici

La teoria è, ovviamente, buona. Ma controlliamolo nella pratica.

[Didascalia dell'immagine]

Per prima cosa, scopriamo tra quali numeri si trova il numero 576:

400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2

Ora diamo un'occhiata all'ultimo numero. È uguale a 6. Quando accade questo? Solo se la radice termina con 4 o 6. Otteniamo due numeri:

Non resta che elevare al quadrato ogni numero e confrontarlo con l'originale:

24 2 = (20 + 4) 2 = 576

Grande! Il primo quadrato si è rivelato uguale al numero originale. Quindi questa è la radice.

Compito. Calcola la radice quadrata:
[Didascalia dell'immagine]

900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;

Diamo un'occhiata all'ultima cifra:

1369 → 9;
33; 37.

Quadralo:

33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 − 3) 2 = 1600 − 2 40 3 + 9 = 1369.

Ecco la risposta: 37.

Compito. Calcola la radice quadrata:
[Didascalia dell'immagine]

Limitiamo il numero:

2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;

Diamo un'occhiata all'ultima cifra:

2704 → 4;
52; 58.

Quadralo:

52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;

Abbiamo ricevuto la risposta: 52. Non sarà più necessario elevare al quadrato il secondo numero.

Compito. Calcola la radice quadrata:
[Didascalia dell'immagine]

Limitiamo il numero:

3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;

Diamo un'occhiata all'ultima cifra:

4225 → 5;
65.

Come puoi vedere, dopo il secondo passaggio rimane solo un'opzione: 65. Questa è la radice desiderata. Ma facciamo ancora i conti e controlliamo:

65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;

Tutto è corretto. Scriviamo la risposta.

Conclusione

Ahimè, non meglio. Diamo un'occhiata alle ragioni. Ce ne sono due:

In qualsiasi normale esame di matematica, sia esso l'Esame di Stato o l'Esame di Stato Unificato, è vietato l'uso della calcolatrice. E se porti una calcolatrice in classe, puoi facilmente essere espulso dall'esame.
Non siate come gli stupidi americani. Che non sono come le radici: non possono sommare due numeri primi. E quando vedono le frazioni, generalmente diventano isterici.

Il problema di trovare una radice in matematica è il problema inverso di elevare un numero a potenza. Esistono diverse radici: radici di secondo grado, radici di terzo grado, radici di quarto grado e così via. Dipende dalla potenza a cui è stato originariamente elevato il numero. La radice è indicata dal simbolo: √ è una radice quadrata, cioè la radice del secondo grado; se la radice ha un grado maggiore del secondo, allora sopra al segno della radice viene assegnato il grado corrispondente. Il numero che è sotto il segno della radice è un'espressione radicale. Quando trovi una radice, ci sono diverse regole che ti aiuteranno a non commettere errori nella ricerca della radice:

NON esiste una radice pari (se il grado è 2, 4, 6, 8, ecc.) di un numero negativo. Se l'espressione radicale è negativa, ma si cerca la radice di un grado dispari (3, 5, 7 e così via), il risultato sarà negativo.
La radice di qualsiasi potenza di uno è sempre una: √1 = 1.
La radice di zero è zero: √0 = 0.

Come trovare la radice di 100

Se il problema non dice quale radice di grado deve essere trovata, di solito significa che è necessario trovare la radice di secondo grado (quadrata).
Troviamo √100 = ? Dobbiamo trovare un numero che elevato alla seconda potenza dia il numero 100. Ovviamente tale numero è il numero 10, poiché: 10 2 = 100. Pertanto, √100 = 10: la radice quadrata di 100 è 10.

Cos'è una radice quadrata?

Attenzione!
Ce ne sono altri
materiali della Parte Speciale 555.
Per coloro che sono molto "non molto..."
E per chi “tantissimo…”)

Questo concetto è molto semplice. Naturale, direi. I matematici cercano di trovare una reazione per ogni azione. C'è l'addizione, c'è anche la sottrazione. C'è la moltiplicazione, c'è anche la divisione. C'è la quadratura... Quindi c'è anche prendendo la radice quadrata!È tutto. Questa azione ( radice quadrata) in matematica è indicato da questa icona:

L'icona stessa è chiamata una bella parola " radicale".

Come estrarre la radice? E' meglio guardare esempi.

Qual è la radice quadrata di 9? Quale numero al quadrato ci darà 9? 3 al quadrato ci danno 9! Quelli:

Ma qual è la radice quadrata di zero? Nessun problema! Che numero quadrato fa lo zero? Sì, dà zero! Significa:

Fatto, cos'è la radice quadrata? Poi consideriamo esempi:

Risposte (disordinate): 6; 1; 4; 9; 5.

Deciso? Davvero, quanto è più facile?!

Ma... Cosa fa una persona quando vede qualche compito con radici?

Una persona comincia a sentirsi triste... Non crede nella semplicità e nella leggerezza delle sue radici. Anche se sembra che lo sappia cos'è la radice quadrata...

Questo perché la persona ha ignorato diversi punti importanti durante lo studio delle radici. Poi queste mode si prendono una crudele vendetta su prove ed esami...

Punto uno. Devi riconoscere le radici a vista!

Qual è la radice quadrata di 49? Sette? Giusto! Come facevi a sapere che erano le sette? Sette al quadrato e ottieni 49? Giusto! Tienilo presente estrarre la radice su 49 abbiamo dovuto fare l'operazione inversa - casella 7! E assicurati che non perdiamo. Oppure avrebbero potuto perderlo...

Questa è la difficoltà estrazione delle radici. Piazza Puoi utilizzare qualsiasi numero senza problemi. Moltiplica un numero per se stesso con una colonna: tutto qui. Ma per estrazione delle radici Non esiste una tecnologia così semplice e sicura. Dobbiamo raccolta rispondi e controlla se è corretto elevandolo al quadrato.

Questo complesso processo creativo, ovvero la scelta di una risposta, è notevolmente semplificato se tu Ricordare quadrati di numeri popolari. Come una tavola pitagorica. Se, diciamo, devi moltiplicare 4 per 6, non aggiungi quattro 6 volte, vero? La risposta è subito 24. Anche se non tutti lo capiscono, sì...

Per lavorare liberamente e con successo con le radici, è sufficiente conoscere i quadrati dei numeri da 1 a 20. Inoltre Là E Indietro. Quelli. dovresti essere in grado di recitare facilmente sia, ad esempio, 11 al quadrato che la radice quadrata di 121. Per ottenere questa memorizzazione, ci sono due modi. Il primo è imparare la tavola dei quadrati. Questo sarà di grande aiuto nella risoluzione degli esempi. Il secondo è risolvere più esempi. Questo ti aiuterà molto a ricordare la tabella dei quadrati.

E niente calcolatrici! Solo a scopo di test. Altrimenti rallenterai senza pietà durante l'esame...

COSÌ, cos'è la radice quadrata E come estrarre le radici- Penso che sia chiaro. Ora scopriamo da COSA possiamo estrarli.

Punto due. Root, non ti conosco!

Da quali numeri puoi ricavare le radici quadrate? Sì, quasi tutti. È più facile capire da cosa deriva è vietato estrarli.

Proviamo a calcolare questa radice:

Per fare ciò, dobbiamo scegliere un numero che al quadrato ci darà -4. Selezioniamo.

Cosa, non va bene? 2 2 dà +4. (-2) 2 dà ancora +4! Questo è tutto... Non esistono numeri che, al quadrato, ci diano un numero negativo! Anche se conosco questi numeri. Ma non te lo dico). Vai al college e lo scoprirai da solo.

La stessa storia accadrà con qualsiasi numero negativo. Da qui la conclusione:

Un'espressione in cui c'è un numero negativo sotto il segno della radice quadrata - non ha senso! Questa è un'operazione vietata. È proibito quanto dividere per zero. Ricordate fermamente questo fatto! O in altre parole:

Non è possibile estrarre radici quadrate da numeri negativi!

Ma tra tutti gli altri, è possibile. Ad esempio, è del tutto possibile calcolare

A prima vista, questo è molto difficile. Selezionare le frazioni ed elevarle al quadrato... Non preoccuparti. Quando comprendiamo le proprietà delle radici, tali esempi saranno ridotti alla stessa tabella dei quadrati. La vita diventerà più facile!

Ok, frazioni. Ma incontriamo ancora espressioni come:

Va bene. Tutto uguale. La radice quadrata di due è il numero che, quadrato, ci dà due. Solo che questo numero è completamente dispari... Eccolo:

La cosa interessante è che questa frazione non finisce mai... Tali numeri sono chiamati irrazionali. Nelle radici quadrate questa è la cosa più comune. A proposito, questo è il motivo per cui vengono chiamate le espressioni con radici irrazionale. È chiaro che scrivere continuamente una frazione così infinita è scomodo. Pertanto, invece di una frazione infinita, la lasciano così:

Se, risolvendo un esempio, ti ritrovi con qualcosa che non può essere estratto, come:

allora lo lasciamo così. Questa sarà la risposta.

È necessario comprendere chiaramente il significato delle icone

Naturalmente, se viene presa la radice del numero liscio, devi farlo. La risposta al compito è nella forma, ad esempio

Una risposta abbastanza completa.

E, naturalmente, devi conoscere i valori approssimativi dalla memoria:

Questa conoscenza aiuta molto a valutare la situazione in compiti complessi.

Punto tre. Il più astuto.

La principale confusione nel lavorare con le radici è causata da questo punto. È lui che dà fiducia nelle proprie capacità... Affrontiamo per bene questo punto!

Per prima cosa, prendiamo di nuovo la radice quadrata di quattro di essi. Ti ho già disturbato con questa radice?) Non importa, ora sarà interessante!

Quale numero fa 4 quadrato? Bene, due, due, sento risposte insoddisfatte...

Giusto. Due. Ma anche meno due darà 4 al quadrato... Intanto la risposta

corretto e la risposta

errore grossolano. Come questo.

Allora, qual è il problema?

Infatti, (-2) 2 = 4. E sotto la definizione di radice quadrata di quattro meno due abbastanza adatto... Questa è anche la radice quadrata di quattro.

Ma! Nel corso di matematica scolastica è consuetudine considerare le radici quadrate solo numeri non negativi! Cioè zero e tutti sono positivi. È stato inventato anche un termine speciale: dal numero UN- Questo non negativo numero il cui quadrato è UN. I risultati negativi durante l'estrazione di una radice quadrata aritmetica vengono semplicemente scartati. A scuola, tutto ha radici quadrate - aritmetica. Anche se questo non è particolarmente menzionato.

Ok, è comprensibile. È ancora meglio non preoccuparsi dei risultati negativi. Questa non è ancora confusione.

La confusione inizia quando si risolvono equazioni quadratiche. Ad esempio, devi risolvere la seguente equazione.

L'equazione è semplice, scriviamo la risposta (come insegnato):

Questa risposta (assolutamente corretta, tra l'altro) è solo una versione abbreviata due risposte:

Basta basta! Appena sopra ho scritto che la radice quadrata è un numero Sempre non negativo! Ed ecco una delle risposte: negativo! Disturbo. Questo è il primo (ma non l'ultimo) problema che provoca sfiducia nelle radici... Risolviamo questo problema. Scriviamo le risposte (giusto per capire!) in questo modo:

Le parentesi non cambiano l'essenza della risposta. L'ho semplicemente separato tra parentesi segni da radice. Ora puoi vedere chiaramente che la radice stessa (tra parentesi) è ancora un numero non negativo! E i segnali lo sono risultato della risoluzione dell'equazione. Dopotutto, quando risolviamo qualsiasi equazione dobbiamo scrivere Tutto X che, se sostituite nell'equazione originale, daranno il risultato corretto. La radice di cinque (positiva!) con sia un più che un meno rientra nella nostra equazione.

Come questo. Se tu basta prendere la radice quadrata da qualsiasi cosa, tu Sempre ottieni uno non negativo risultato. Per esempio:

Perché - radice quadrata aritmetica.

Ma se stai risolvendo un'equazione quadratica, come:

Quello Sempre si scopre due risposta (con più e meno):

Perché questa è la soluzione dell'equazione.

Speranza, cos'è la radice quadrata Hai ben chiari i tuoi punti. Ora resta da scoprire cosa si può fare con le radici, quali sono le loro proprietà. E quali sono i punti e le insidie... scusate, sassi!)

Tutto questo è nelle lezioni seguenti.

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Tra i tanti saperi che sono segno di alfabetizzazione, l'alfabeto viene al primo posto. Il successivo elemento altrettanto “segno” sono le abilità di addizione-moltiplicazione e, adiacenti ad esse, ma opposte nel significato, operazioni aritmetiche di sottrazione-divisione. Le competenze apprese nell'infanzia scolastica a distanza servono fedelmente giorno e notte: TV, giornali, SMS e ovunque leggiamo, scriviamo, contiamo, addizioni, sottraiamo, moltiplichiamo. E dimmi, hai dovuto mettere spesso radici nella tua vita, tranne che alla dacia? Ad esempio, un problema così divertente, come la radice quadrata del numero 12345... C'è ancora polvere da sparo nei fiaschi? Possiamo gestirlo? Niente potrebbe essere più semplice! Dov'è la mia calcolatrice... E senza di essa il combattimento corpo a corpo è debole?

Innanzitutto, chiariamo cos'è: la radice quadrata di un numero. In generale, “fare la radice di un numero” significa eseguire l'operazione aritmetica opposta all'elevazione a potenza: qui abbiamo l'unità degli opposti nell'applicazione della vita. Diciamo che un quadrato è la moltiplicazione di un numero per se stesso, cioè, come insegnato a scuola, X * X = A o in un'altra notazione X2 = A, e in parole - "X al quadrato è uguale ad A". Allora il problema inverso suona così: la radice quadrata del numero A è il numero X, che, al quadrato, è uguale ad A.

Prendendo la radice quadrata

Dal corso di aritmetica scolastica sono noti metodi di calcolo “in colonna”, che aiutano a eseguire qualsiasi calcolo utilizzando le prime quattro operazioni aritmetiche. Ahimè... Per le radici quadrate, e non solo quadrate, tali algoritmi non esistono. E in questo caso, come estrarre la radice quadrata senza calcolatrice? Sulla base della definizione di radice quadrata, c'è solo una conclusione: è necessario selezionare il valore del risultato enumerando in sequenza i numeri il cui quadrato si avvicina al valore dell'espressione radicale. È tutto! Prima che sia trascorsa un'ora o due, puoi calcolare, utilizzando il noto metodo di moltiplicazione in una “colonna”, qualsiasi radice quadrata. Se hai le competenze, ci vorranno solo un paio di minuti. Anche un utente non così avanzato di una calcolatrice o di un PC può farlo in un colpo solo: progresso.

Ma sul serio, il calcolo della radice quadrata viene spesso eseguito utilizzando la tecnica della “forchetta d'artiglieria”: prima si prende un numero il cui quadrato corrisponde approssimativamente all'espressione radicale. È meglio se il “nostro quadrato” sia leggermente più piccolo di questa espressione. Quindi aggiustano il numero in base alla propria abilità e comprensione, ad esempio moltiplicandolo per due e... quadrandolo di nuovo. Se il risultato è maggiore del numero sotto la radice, aggiustare successivamente il numero originale, avvicinandosi gradualmente al suo “collega” sotto la radice. Come puoi vedere, nessuna calcolatrice, solo la capacità di contare "in una colonna". Naturalmente, esistono molti algoritmi scientificamente provati e ottimizzati per il calcolo della radice quadrata, ma per "uso domestico" la tecnica di cui sopra dà il 100% di fiducia nel risultato.

Sì, quasi dimenticavo, per confermare la nostra maggiore alfabetizzazione, calcoliamo la radice quadrata del numero 12345 precedentemente indicato. Lo facciamo passo dopo passo:

1. Prendiamo, in modo puramente intuitivo, X=100. Calcoliamo: X * X = 10000. L'intuizione è al suo meglio: il risultato è inferiore a 12345.

2. Proviamo, anche in modo puramente intuitivo, X = 120. Quindi: X * X = 14400. E ancora, l'intuizione è corretta: il risultato è superiore a 12345.

3. Sopra abbiamo una "forchetta" di 100 e 120. Scegliamo nuovi numeri: 110 e 115. Otteniamo rispettivamente 12100 e 13225: la forchetta si restringe.

4. Proviamo "forse" X=111. Otteniamo X * X = 12321. Questo numero è già abbastanza vicino a 12345. In base alla precisione richiesta, l'adattamento può essere continuato o interrotto al risultato ottenuto. È tutto. Come promesso, tutto è molto semplice e senza calcolatrice.

Solo un po' di storia...

I Pitagorici, studenti della scuola e seguaci di Pitagora, ebbero l'idea di utilizzare le radici quadrate, 800 anni a.C. e poi ci siamo “imbattuti” in nuove scoperte nel campo dei numeri. E da dove viene?

1. Risolvere il problema con l'estrazione della radice fornisce il risultato sotto forma di numeri di una nuova classe. Erano chiamati irrazionali, in altre parole, “irragionevoli”, perché. non sono scritti come un numero completo. L'esempio più classico di questo tipo è la radice quadrata di 2. Questo caso corrisponde al calcolo della diagonale di un quadrato con lato uguale a 1: questa è l'influenza della scuola pitagorica. Si è scoperto che in un triangolo con una dimensione unitaria di lati molto specifica, l'ipotenusa ha una dimensione espressa da un numero che "non ha fine". Ecco come apparivano in matematica

2. È noto che si è scoperto che questa operazione matematica contiene un altro problema: quando si estrae la radice, non sappiamo quale numero, positivo o negativo, sia il quadrato dell'espressione radicale. Questa incertezza, il doppio risultato di una operazione, si registra in questo modo.

Lo studio dei problemi legati a questo fenomeno è diventato una direzione della matematica chiamata teoria delle variabili complesse, che ha una grande importanza pratica nella fisica matematica.

È curioso che lo stesso onnipresente I. Newton abbia utilizzato la designazione della radice - radicale - nella sua "Aritmetica universale", e proprio la forma moderna di notazione della radice è nota dal 1690 dal libro del francese Rolle "Manuale dell’Algebra”.