Come trovare l'area di un parallelogramma? Come si trova l'area di un parallelogramma?

Parallelogrammaè un quadrilatero i cui lati sono paralleli a coppie.

In questa figura i lati e gli angoli opposti sono uguali tra loro. Le diagonali di un parallelogramma si intersecano in un punto e lo dividono in due. Le formule per l'area di un parallelogramma ti consentono di trovare il valore utilizzando i lati, l'altezza e le diagonali. In casi particolari può essere presentato anche un parallelogramma. Sono considerati un rettangolo, un quadrato e un rombo.
Innanzitutto, consideriamo un esempio di calcolo dell'area di un parallelogramma in base all'altezza e al lato su cui è abbassato.

Questo caso è considerato classico e non richiede ulteriori indagini. È meglio considerare la formula per calcolare l'area attraverso due lati e l'angolo tra di loro. Lo stesso metodo viene utilizzato nei calcoli. Se vengono forniti i lati e l'angolo compreso tra loro, l'area viene calcolata come segue:

Supponiamo di avere un parallelogramma con i lati a = 4 cm, b = 6 cm e l'angolo compreso tra loro è α = 30°. Troviamo l'area:

Area di un parallelogramma passante per le diagonali

La formula per l'area di un parallelogramma utilizzando le diagonali consente di trovare rapidamente il valore.
Per i calcoli avrai bisogno della dimensione dell'angolo situato tra le diagonali.

Consideriamo un esempio di calcolo dell'area di un parallelogramma utilizzando le diagonali. Sia dato un parallelogramma con le diagonali D = 7 cm, d = 5 cm e l'angolo compreso tra loro è α = 30°. Sostituiamo i dati nella formula:

Un esempio di calcolo dell'area di un parallelogramma attraverso la diagonale ci ha dato un risultato eccellente: 8,75.

Conoscendo la formula per l'area di un parallelogramma attraverso la diagonale, puoi risolvere molti problemi interessanti. Diamo un'occhiata a uno di loro.

Compito: Dato un parallelogramma con area di 92 mq. vedi Il punto F si trova a metà del suo lato BC. Andiamo troviamo la zona trapezio ADFB, che si troverà nel nostro parallelogramma. Per prima cosa disegniamo tutto ciò che abbiamo ricevuto in base alle condizioni.
Arriviamo alla soluzione:

Secondo le nostre condizioni, ah =92 e, di conseguenza, l'area del nostro trapezio sarà uguale a

Cos'è un parallelogramma? Un parallelogramma è un quadrilatero i cui lati opposti sono paralleli a coppie.

1. L'area di un parallelogramma è calcolata dalla formula:

\[ \GRANDE S = a \cdot h_(a)\]

Dove:
a è il lato del parallelogramma,
h a – altezza tracciata da questo lato.

2. Se si conoscono le lunghezze di due lati adiacenti di un parallelogramma e l'angolo tra di essi, l'area del parallelogramma viene calcolata con la formula:

\[ \LARGE S = a \cdot b \cdot sin(\alpha) \]

3. Se vengono fornite le diagonali di un parallelogramma e l'angolo tra di esse è noto, l'area del parallelogramma viene calcolata con la formula:

\[ \LARGE S = \frac(1)(2) \cdot d_(1) \cdot d_(2) \cdot sin(\alpha) \]

Proprietà di un parallelogramma

In un parallelogramma i lati opposti sono uguali: \(AB = CD\), \(BC = AD\)

In un parallelogramma gli angoli opposti sono uguali: \(\angolo A = \angolo C\), \(\angolo B = \angolo D\)

Le diagonali di un parallelogramma nel punto di intersezione sono divise a metà \(AO = OC\) , \(BO = OD\)

La diagonale di un parallelogramma lo divide in due triangoli uguali.

La somma degli angoli di un parallelogramma adiacenti ad un lato è 180°:

\(\angolo A + \angolo B = 180^(o)\), \(\angolo B + \angolo C = 180^(o)\)

\(\angolo C + \angolo D = 180^(o)\), \(\angolo D + \angolo A = 180^(o)\)

Le diagonali e i lati di un parallelogramma sono legati dalla seguente relazione:

\(d_(1)^(2) + d_(2)^2 = 2a^(2) + 2b^(2) \)

In un parallelogramma l'angolo formato dalle altezze è uguale al suo angolo acuto: \(\angolo K B H =\angolo A\) .

Le bisettrici degli angoli adiacenti ad un lato di un parallelogramma sono mutuamente perpendicolari.

Le bisettrici di due angoli opposti di un parallelogramma sono parallele.

Segni di un parallelogramma

Un quadrilatero sarà un parallelogramma se:

\(AB = CD\) e \(AB || CD\)

\(AB = CD\) e \(BC = AD\)

\(AO = OC\) e \(BO = OD\)

\(\angolo A = \angolo C\) e \(\angolo B = \angolo D\)

Area di un parallelogramma

Teorema 1

L'area di un parallelogramma è definita come il prodotto della lunghezza del suo lato e dell'altezza ad esso collegata.

dove $a$ è un lato del parallelogramma, $h$ è l'altezza disegnata su questo lato.

Prova.

Sia dato un parallelogramma $ABCD$ con $AD=BC=a$. Disegniamo le quote $DF$ e $AE$ (Fig. 1).

Immagine 1.

Ovviamente, la cifra $ FDAE $ è un rettangolo.

\[\angolo BAE=(90)^0-\angolo A,\ \] \[\angolo CDF=\angolo D-(90)^0=(180)^0-\angolo A-(90)^0 =(90)^0-\angolo A=\angolo BAE\]

Di conseguenza, poiché $CD=AB,\DF=AE=h$, per il criterio $I$ di uguaglianza dei triangoli $\triangle BAE=\triangle CDF$. Poi

Quindi, secondo il teorema sull'area di un rettangolo:

Il teorema è stato dimostrato.

Teorema 2

L'area di un parallelogramma è definita come il prodotto della lunghezza dei suoi lati adiacenti per il seno dell'angolo compreso tra questi lati.

Matematicamente questo può essere scritto come segue

dove $a,\b$ sono i lati del parallelogramma, $\alpha$ è l'angolo compreso tra loro.

Prova.

Sia dato un parallelogramma $ABCD$ con $BC=a,\CD=b,\ \angle C=\alpha $. Disegniamo l'altezza $DF=h$ (Fig. 2).

Figura 2.

Per definizione di seno, otteniamo

Quindi

Quindi, per il Teorema $1$:

Il teorema è stato dimostrato.

Area di un triangolo

Teorema 3

L'area di un triangolo è definita come la metà del prodotto della lunghezza del suo lato e dell'altezza ad esso collegata.

Matematicamente questo può essere scritto come segue

dove $a$ è un lato del triangolo, $h$ è l'altezza disegnata su questo lato.

Prova.

Figura 3.

Quindi, per il Teorema $1$:

Il teorema è stato dimostrato.

Teorema 4

L'area di un triangolo è definita come la metà del prodotto della lunghezza dei suoi lati adiacenti e del seno dell'angolo compreso tra questi lati.

Matematicamente questo può essere scritto come segue

dove $a,\b$ sono i lati del triangolo, $\alpha$ è l'angolo compreso tra loro.

Prova.

Sia dato un triangolo $ABC$ con $AB=a$. Troviamo l'altezza $CH=h$. Costruiamolo in un parallelogramma $ABCD$ (Fig. 3).

Ovviamente, per il criterio $I$ per l'uguaglianza dei triangoli, $\triangle ACB=\triangle CDB$. Poi

Quindi, per il Teorema $1$:

Il teorema è stato dimostrato.

Area del trapezio

Teorema 5

L'area di un trapezio è definita come la metà del prodotto della somma delle lunghezze delle sue basi e della sua altezza.

Matematicamente questo può essere scritto come segue

Prova.

Sia dato un trapezio $ABCK$, dove $AK=a,\BC=b$. Disegniamo in esso le altezze $BM=h$ e $KP=h$, nonché la diagonale $BK$ (Fig. 4).

Figura 4.

Per il Teorema $3$, otteniamo

Il teorema è stato dimostrato.

Compito di esempio

Esempio 1

Trova l'area di un triangolo equilatero se la sua lunghezza del lato è $a.$

Soluzione.

Poiché il triangolo è equilatero, tutti i suoi angoli sono uguali a $(60)^0$.

Allora, per il Teorema $4$, abbiamo

Risposta:$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$.

Nota che il risultato di questo problema può essere utilizzato per trovare l'area di qualsiasi triangolo equilatero con un dato lato.

Formula per l'area di un parallelogramma

L'area di un parallelogramma è uguale al prodotto del suo lato per l'altezza di quel lato.

Prova

Se il parallelogramma è un rettangolo, l'uguaglianza è soddisfatta dal teorema sull'area del rettangolo. Supponiamo quindi che gli angoli del parallelogramma non siano retti.

Sia $\angolo BAD$ un angolo acuto nel parallelogramma $ABCD$ e $AD > AB$. Altrimenti, rinomineremo i vertici. Allora l'altezza $BH$ dal vertice $B$ alla retta $AD$ cade sul lato $AD$, poiché il cateto $AH$ è più corto dell'ipotenusa $AB$, e $AB< AD$. Основание $K$ высоты $CK$ из точки $C$ на прямую $AB$ лежит на продолжении отрезка $AD$ за точку $D$, так как угол $\angle BAD$ острый, а значит $\angle CDA$ тупой. Вследствие параллельности прямых $BA$ и $CD$ $\angle BAH = \angle CDK$. В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, по стороне и двум углам, треугольники $\triangle ABH = \triangle DCK$ равны.

Confrontiamo l'area del parallelogramma $ABCD$ e l'area del rettangolo $HBCK$. L'area di un parallelogramma è maggiore dell'area $\triangolo ABH$, ma minore dell'area $\triangolo DCK$. Poiché questi triangoli sono uguali, le loro aree sono uguali. Ciò significa che l'area di un parallelogramma è uguale all'area di un rettangolo con i lati lunghezza per lato e l'altezza del parallelogramma.

Formula per l'area di un parallelogramma utilizzando lati e seno

L'area di un parallelogramma è uguale al prodotto dei lati adiacenti per il seno dell'angolo compreso tra loro.

Prova

L'altezza del parallelogramma $ABCD$ caduto sul lato $AB$ è uguale al prodotto del segmento $BC$ per il seno dell'angolo $\angolo ABC$. Resta da applicare l'affermazione precedente.

Formula per l'area di un parallelogramma utilizzando le diagonali

L'area di un parallelogramma è uguale alla metà del prodotto delle diagonali per il seno dell'angolo compreso tra loro.

Prova

Lascia che le diagonali del parallelogramma $ABCD$ si intersechino nel punto $O$ con un angolo $\alpha$. Quindi $AO=OC$ e $BO=OD$ per la proprietà del parallelogramma. I seni degli angoli la cui somma dà $180^\circ$ sono uguali, $\angle AOB = \angle COD = 180^\circ - \angle BOC = 180^\circ - \angle AOD$. Ciò significa che i seni degli angoli all'intersezione delle diagonali sono uguali a $\sin \alpha$.

$S_(ABCD)=S_(\triangolo AOB) + S_(\triangolo BOC) + S_(\triangolo COD) + S_(\triangolo AOD)$

secondo l’assioma della misurazione dell’area. Applichiamo la formula dell'area del triangolo $S_(ABC) = \dfrac(1)(2) \cdot AB \cdot BC \sin \angle ABC$ per questi triangoli e angoli quando le diagonali si intersecano. I lati di ciascuno sono uguali alla metà delle diagonali e anche i seni sono uguali. Pertanto, le aree di tutti e quattro i triangoli sono uguali a $S = \dfrac(1)(2) \cdot \dfrac(AC)(2) \cdot \dfrac(BD)(2) \cdot \sin \alpha = \ dfrac(AC \ cdot BD)(8) \sin \alpha$. Riassumendo tutto quanto sopra, otteniamo

$S_(ABCD) = 4S = 4 \cdot \dfrac(AC \cdot BD)(8) \sin \alpha = \dfrac(AC \cdot BD \cdot \sin \alpha)(2)$

Come nella geometria euclidea il punto e la retta sono gli elementi principali della teoria dei piani, così il parallelogramma è una delle figure chiave dei quadrilateri convessi. Da esso, come i fili di una palla, fluiscono i concetti di “rettangolo”, “quadrato”, “rombo” e altre quantità geometriche.

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Definizione di parallelogramma

quadrilatero convesso, costituito da segmenti, di cui ciascuna coppia è parallela, è noto in geometria come parallelogramma.

L'aspetto di un parallelogramma classico è rappresentato da un quadrilatero ABCD. I lati si chiamano basi (AB, BC, CD e AD), la perpendicolare tracciata da un vertice qualsiasi al lato opposto a tale vertice si chiama altezza (BE e BF), le linee AC e BD si chiamano diagonali.

Attenzione! Quadrato, rombo e rettangolo sono casi particolari di parallelogramma.

Lati e angoli: caratteristiche della relazione

Le proprietà chiave, in generale, predeterminato dalla designazione stessa, sono dimostrati dal teorema. Queste caratteristiche sono le seguenti:

1. I lati opposti sono identici a coppie.
2. Gli angoli opposti tra loro sono uguali a coppie.

Dimostrazione: Consideriamo ∆ABC e ∆ADC, che si ottengono dividendo il quadrilatero ABCD con la retta AC. ∠BCA=∠CAD e ∠BAC=∠ACD, poiché AC è comune per loro (angoli verticali per BC||AD e AB||CD, rispettivamente). Ne consegue: ∆ABC = ∆ADC (il secondo segno di uguaglianza dei triangoli).

I segmenti AB e BC in ∆ABC corrispondono a coppie alle linee CD e AD in ∆ADC, il che significa che sono identici: AB = CD, BC = AD. Pertanto, ∠B corrisponde a ∠D e sono uguali. Poiché ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, anch'essi identici a coppie, allora ∠A = ∠C. La proprietà è stata dimostrata.

Caratteristiche delle diagonali di una figura

Caratteristica principale di queste linee di un parallelogramma: il punto di intersezione le divide a metà.

Dimostrazione: Sia i.e. il punto di intersezione delle diagonali AC e BD della figura ABCD. Formano due triangoli commisurati: ∆ABE e ∆CDE.

AB=CD poiché sono opposti. Secondo linee e secanti, ∠ABE = ∠CDE e ∠BAE = ∠DCE.

Per il secondo criterio di uguaglianza, ∆ABE = ∆CDE. Ciò significa che gli elementi ∆ABE e ∆CDE: AE = CE, BE = DE e allo stesso tempo sono parti proporzionali di AC e BD. La proprietà è stata dimostrata.

Caratteristiche degli angoli adiacenti

I lati adiacenti hanno la somma degli angoli pari a 180°, poiché giacciono dalla stessa parte delle rette parallele e di una trasversale. Per il quadrilatero ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Proprietà della bisettrice:

1. , abbassati da un lato, sono perpendicolari;
2. i vertici opposti hanno bisettrici parallele;
3. il triangolo ottenuto disegnando una bisettrice sarà isoscele.

Determinazione delle caratteristiche di un parallelogramma mediante il teorema

Le caratteristiche di questa figura derivano dal suo teorema principale, che afferma quanto segue: un quadrilatero è considerato un parallelogramma nel caso in cui le sue diagonali si intersecano e questo punto le divide in segmenti uguali.

Dimostrazione: si intersechino le rette AC e BD del quadrilatero ABCD i.e. Poiché ∠AED = ∠BEC e AE+CE=AC BE+DE=BD, allora ∆AED = ∆BEC (per il primo criterio di uguaglianza dei triangoli). Cioè, ∠EAD = ∠BCE. Sono anche gli angoli trasversali interni della secante AC per le rette AD e BC. Quindi, per definizione di parallelismo - AD || AVANTI CRISTO. Si deriva anche una proprietà simile delle linee BC e CD. Il teorema è stato dimostrato.

Calcolo dell'area di una figura

Area di questa figura trovato con diversi metodi uno dei più semplici: moltiplicare l'altezza e la base a cui è disegnato.

Dimostrazione: traccia le perpendicolari BE e CF dai vertici B e C. ∆ABE e ∆DCF sono uguali, poiché AB = CD e BE = CF. ABCD ha le stesse dimensioni del rettangolo EBCF, poiché sono costituiti da cifre proporzionate: S ABE e S EBCD, nonché S DCF e S EBCD. Ne consegue che l'area di questo figura geometrica si trova allo stesso modo di un rettangolo:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

Per determinare formula generale L'area del parallelogramma è indicata dall'altezza come hb, e il lato - B. Rispettivamente:

Altri modi per trovare l'area

Calcoli dell'area attraverso i lati del parallelogramma e l'angolo, che formano, è il secondo metodo noto.

,

Spr-ma: zona;

aeb sono i suoi lati

α è l'angolo tra i segmenti a e b.

Questo metodo è praticamente basato sul primo, ma non è noto nel caso in cui. si interrompe sempre triangolo rettangolo, i cui parametri sono trovati da identità trigonometriche, cioè . Trasformando la relazione, otteniamo . Nell'equazione del primo metodo sostituiamo l'altezza con questo prodotto e otteniamo una prova della validità di questa formula.

Attraverso le diagonali di un parallelogramma e l'angolo, che creano quando si intersecano, puoi anche trovare l'area.

Dimostrazione: AC e BD si intersecano per formare quattro triangoli: ABE, BEC, CDE e AED. La loro somma è uguale all'area di questo quadrilatero.

L'area di ciascuno di questi ∆ può essere trovata dall'espressione , dove a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Dal momento che , i calcoli utilizzano un singolo valore seno. Questo è . Poiché AE+CE=AC= d 1 e BE+DE=BD= d 2, la formula dell'area si riduce a:

.

Applicazioni in algebra vettoriale

Le caratteristiche delle parti costitutive di questo quadrilatero hanno trovato applicazione nell'algebra vettoriale, ovvero nell'addizione di due vettori. Lo afferma la regola del parallelogramma se dati i vettoriENonsono collineari, la loro somma sarà uguale alla diagonale di questa figura, le cui basi corrispondono a questi vettori.

Dimostrazione: da un inizio scelto arbitrariamente - cioè - costruire vettori e . Successivamente, costruiamo un parallelogramma OASV, dove i segmenti OA e OB sono lati. Pertanto, il sistema operativo si trova sul vettore o sulla somma.

Formule per il calcolo dei parametri di un parallelogramma

Le identità sono assegnate alle seguenti condizioni:

1. aeb, α - lati e l'angolo tra loro;
2. d 1 e d 2, γ - diagonali e nel punto della loro intersezione;
3. h a e h b - altezze ribassate ai lati a e b;

Parametro	Formula
Trovare i lati
lungo le diagonali e il coseno dell'angolo compreso tra loro
lungo le diagonali e i lati
attraverso l'altezza e il vertice opposto
Trovare la lunghezza delle diagonali
sui lati e la dimensione dell'apice tra di loro
lungo i lati e una delle diagonali	 Conclusione Il parallelogramma, come una delle figure chiave della geometria, viene utilizzato nella vita, ad esempio, nella costruzione quando si calcola l'area di un sito o altre misurazioni. Pertanto, la conoscenza di caratteristiche distintive e i modi per calcolarne i vari parametri possono essere utili in qualsiasi momento della vita.