1°

1°. Equazioni del piano tangente e normale per il caso di definizione esplicita della superficie.

Consideriamo una delle applicazioni geometriche delle derivate parziali di una funzione di due variabili. Lasciamo la funzione z = F (X ;sì) differenziabile nel punto (x0; sì 0) qualche zona DÎ R2. Tagliamo la superficie S, che rappresenta la funzione z, aerei x = x 0 E y = y0(Fig. 11).

Aereo X = x0 interseca la superficie S lungo una certa linea z0 (sì), la cui equazione si ottiene sostituendo nell'espressione della funzione originale z ==F (X ;sì) invece di X numeri x0. Punto M0 (x0;sì 0,F (x0;sì 0)) appartiene alla curva z0 (sì). A causa della funzione differenziabile z al punto M0 funzione z0 (sì)è anche differenziabile in quel punto y = y 0 . Pertanto, a questo punto dell'aereo x = x 0 alla curva z0 (sì) si può tracciare una tangente l1.

Facendo un ragionamento simile per la sezione A = sì 0, costruiamo una tangente l2 alla curva z0 (X) al punto X = x0- Diretto 1 1 E 1 2 definire un piano chiamato piano tangente alla superficie S al punto M0.

Creiamo la sua equazione. Poiché l'aereo passa per il punto Mo(x0;e0;z0), allora la sua equazione può essere scritta come

A(x - xo) + B(y - yo) + C (z - zo) = 0,

che può essere riscritto così:

z -z 0 = A 1 (x – x 0) + B 1 (y – y 0) (1)

(dividendo l'equazione per -C e denotando ).

Lo troveremo UN 1 e B1.

Equazioni tangenti 1 1 E 1 2 assomigliare

rispettivamente.

Tangente l1 giace nel piano a , quindi, le coordinate di tutti i punti l1 soddisfare l'equazione (1). Questo fatto può essere scritto sotto forma di sistema

Risolvendo questo sistema rispetto a B 1 otteniamo che effettuando un ragionamento simile per la tangente l3, è facile stabilirlo.

Sostituendo i valori UN 1 e B 1 nell'equazione (1), otteniamo l'equazione del piano tangente desiderata:

Retta passante per un punto M0 e perpendicolare al piano tangente costruito in questo punto sulla superficie è chiamato suo normale.

Utilizzando la condizione di perpendicolarità della retta e del piano, è facile ottenere le equazioni normali canoniche:

Commento. Le formule per il piano tangente e la normale alla superficie si ottengono per punti ordinari, cioè non speciali, della superficie. Punto M0 si chiama superficie speciale, se a questo punto tutte le derivate parziali sono uguali a zero o almeno una di esse non esiste. Non consideriamo questi punti.

Esempio. Scrivi le equazioni per il piano tangente e la normale alla superficie nel suo punto M(2; -1; 1).

Soluzione. Troviamo le derivate parziali di questa funzione e i loro valori nel punto M

Da qui, applicando le formule (2) e (3), avremo: z-1=2(x-2)+2(y+1) O 2х+2у-z-1=0- Equazione del piano tangente e - equazioni normali.

2°. Equazioni del piano tangente e normale per il caso di definizione implicita della superficie.

Se la superficie S dato dall'equazione F (X ; sì;z)= 0, allora le equazioni (2) e (3), tenendo conto del fatto che le derivate parziali possono essere trovate come derivate di una funzione implicita.

Equazione del piano normale

1.

4.

Piano tangente e normale alla superficie

Sia data una certa superficie, A sia un punto fisso della superficie e B sia un punto variabile della superficie,

(Fig. 1).

Vettore diverso da zero

→

N

chiamato vettore normale alla superficie nel punto A, se

lim B→A j = π 2 .

Un punto della superficie F (x, y, z) = 0 si dice ordinario se in questo punto

1. le derivate parziali F " x , F " y , F " z sono continue;
2. (F " x )2 + (F " y )2 + (F " z )2 ≠ 0 .

Se almeno una di queste condizioni viene violata, viene chiamato il punto della superficie punto speciale della superficie .

Teorema 1. Se M(x 0 , y 0 , z 0 ) è un punto ordinario della superficie F (x , y , z) = 0 , allora il vettore

→ N = grado F (x 0 , y 0 , z 0 ) = F " x (x 0 , y 0 , z 0 ) → io + F " y (x 0 , y 0 , z 0 ) → J + F " z (x 0 , y 0 , z 0 ) → K

(1)

è normale a questa superficie nel punto M (x 0 , y 0 , z 0 ) .

Prova riportato nel libro di I.M. Petrushko, L.A. Kuznetsova, V.I. Prokhorenko, V.F. Safonova ``Corso matematica superiore: Calcolo integrale. Funzioni di più variabili. Equazioni differenziali. M.: Casa editrice MPEI, 2002 (p. 128).

Normale alla superficie ad un certo punto esiste una linea retta il cui vettore direzione è normale alla superficie in questo punto e che passa per questo punto.

Canonico equazioni normali può essere rappresentato nella forma

x−x0 F "x (x0, y0, z0) = y − y 0 F " y (x 0 , y 0 , z 0 ) = z − z 0 F " z ( x 0 , y 0 , z 0 ) .

(2)

Piano tangente alla superficie in un certo punto è un piano che passa per questo punto perpendicolare alla normale alla superficie in questo punto.

Da questa definizione ne consegue che Equazione del piano tangente ha la forma:

(3)

Se un punto su una superficie è singolare, allora in quel punto il vettore normale alla superficie potrebbe non esistere e, quindi, la superficie potrebbe non avere un piano normale e un piano tangente.

Significato geometrico del differenziale totale di una funzione di due variabili

Sia la funzione z = f (x, y) differenziabile nel punto a (x 0, y 0). Il suo grafico è la superficie

f(x, y) − z = 0.

Poniamo z 0 = f (x 0 , y 0 ) . Allora il punto A (x 0 , y 0 , z 0 ) appartiene alla superficie.

Le derivate parziali della funzione F (x, y, z) = f (x, y) − z sono

F " x = f " x , F " y = f " y , F " z = − 1

e nel punto A (x 0 , y 0 , z 0 )

1. sono continui;
2. F "2 x + F "2 y + F "2 z = f "2 x + f "2 y + 1 ≠ 0.

Pertanto A è un punto ordinario della superficie F (x, y, z) e in questo punto esiste un piano tangente alla superficie. Secondo la (3), l’equazione del piano tangente ha la forma:

f " X (x 0 , y 0 ) (x - x 0 ) + f " y (x 0 , y 0 ) (y - y 0 ) - (z - z 0 ) = 0.

Lo spostamento verticale di un punto sul piano tangente quando ci si sposta dal punto a (x 0, y 0) a un punto arbitrario p (x, y) è B Q (Fig. 2). Il corrispondente incremento degli applicati è

(z - z 0 ) = f " x (x 0 , y 0 ) (x - x 0 ) + f " y (x 0 , y 0 ) (y - y 0 )

Qui sul lato destro c'è un differenziale D funzione z z = f (x, y) nel punto a (x 0, x 0). Quindi,
D f(x0,y0). è l'incremento dell'applicata di un punto del piano tangente al grafico della funzione f (x, y) nel punto (x 0, y 0, z 0 = f (x 0, y 0)).

Dalla definizione di differenziale segue che la distanza tra il punto P sul grafico di una funzione e il punto Q sul piano tangente è infinitesimamente maggiore ordine elevato rispetto alla distanza dal punto p al punto a.

Ad un certo punto e ha derivate parziali continue, almeno una delle quali non si annulla, allora in prossimità di questo punto la superficie definita dall'equazione (1) sarà la giusta superficie.

In aggiunta a quanto sopra modo implicito di specificare la superficie può essere definita ovviamente, se una delle variabili, ad esempio z, può essere espressa in termini delle altre:

C'è anche parametrico modalità di assegnazione. In questo caso, la superficie è determinata dal sistema di equazioni:

Il concetto di superficie semplice

Più accuratamente, superficie semplice è chiamata l'immagine di una mappatura omeomorfa (cioè una mappatura uno a uno e mutuamente continua) dell'interno di un quadrato unitario. A questa definizione può essere data un'espressione analitica.

Sia dato un quadrato su un piano con un sistema di coordinate rettangolari u e v, le cui coordinate dei punti interni soddisfano le disuguaglianze 0< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для vari punti(u, v) e (u", v") erano diversi punti corrispondenti (x, y, z) e (x", y", z").

Esempio superficie sempliceè un emisfero. L'intera sfera non lo è superficie semplice. Ciò richiede un’ulteriore generalizzazione del concetto di superficie.

Un sottoinsieme dello spazio, ciascun punto del quale ha un intorno superficie semplice, chiamato la giusta superficie .

Superficie in geometria differenziale

Elicoide

Catenoide

La metrica non determina in modo univoco la forma della superficie. Ad esempio, la metrica di un elicoide e di una catenoide, parametrizzate di conseguenza, coincide, cioè esiste una corrispondenza tra le loro regioni che preserva tutte le lunghezze (isometria). Vengono chiamate le proprietà conservate nelle trasformazioni isometriche geometria interna superfici. La geometria interna non dipende dalla posizione della superficie nello spazio e non cambia quando viene piegata senza tensione o compressione (ad esempio, quando un cilindro viene piegato a cono).

I coefficienti metrici determinano non solo le lunghezze di tutte le curve, ma anche in generale i risultati di tutte le misurazioni all'interno della superficie (angoli, aree, curvatura, ecc.). Pertanto, tutto ciò che dipende solo dalla metrica si riferisce alla geometria interna.

Sezione normale e normale

Vettori normali ai punti della superficie

Una delle caratteristiche principali di una superficie è la sua normale- vettore unitario perpendicolare al piano tangente in un dato punto:

.

Il segno della normale dipende dalla scelta delle coordinate.

Una sezione di una superficie mediante un piano contenente la normale (in un dato punto) forma una certa curva sulla superficie, che viene chiamata sezione normale superfici. La normale principale di una sezione normale coincide con la normale alla superficie (fino al segno).

Se la curva sulla superficie non è una sezione normale, la sua normale principale forma un certo angolo θ con la normale alla superficie. Poi la curvatura K curva relativa alla curvatura K N sezione normale (con la stessa tangente) dalla formula di Meunier:

Le coordinate del vettore unitario normale per diversi metodi di definizione di una superficie sono riportate nella tabella:

	Coordinate normali in un punto della superficie
assegnazione implicita
assegnazione esplicita
specifica parametrica

Curvatura

Per direzioni diverse in un dato punto della superficie, si ottiene una diversa curvatura della sezione normale, che viene chiamata curvatura normale; gli viene assegnato un segno più se la normale principale della curva va nella stessa direzione della normale alla superficie, oppure un segno meno se le direzioni delle normali sono opposte.

In generale, in ogni punto di una superficie ci sono due direzioni perpendicolari e 1 e e 2, in cui la curvatura normale assume valori minimo e massimo; vengono chiamate queste direzioni principale. L'eccezione è il caso in cui la curvatura normale in tutte le direzioni è la stessa (ad esempio, vicino a una sfera o all'estremità di un ellissoide di rivoluzione), quindi tutte le direzioni in un punto sono principali.

Superfici con curvatura negativa (sinistra), zero (centro) e positiva (destra).

Si chiamano curvature normali nelle direzioni principali curvature principali; denotiamoli κ 1 e κ 2. Misurare:

K= κ 1 κ 2

chiamato Curvatura gaussiana, curvatura completa o semplicemente curvatura superfici. C'è anche il termine curvatura scalare, che implica il risultato della convoluzione del tensore di curvatura; in questo caso la curvatura scalare è due volte più grande della curvatura gaussiana.

La curvatura gaussiana può essere calcolata tramite una metrica, ed è quindi oggetto della geometria intrinseca delle superfici (si noti che le curvature principali non appartengono alla geometria intrinseca). È possibile classificare i punti della superficie in base al segno di curvatura (vedi figura). La curvatura del piano è zero. La curvatura di una sfera di raggio R è uguale ovunque. C'è anche una superficie di curvatura negativa costante: la pseudosfera.

Linee geodetiche, curvatura geodetica

La curva sulla superficie si chiama linea geodetica, o semplicemente geodetico, se in tutti i suoi punti la normale principale alla curva coincide con la normale alla superficie. Esempio: su un piano, le geodetiche sono linee rette e segmenti di linee rette, su una sfera - cerchi massimi e loro segmenti.

Definizione equivalente: per una linea geodetica, la proiezione della sua normale principale sul piano osculatore è il vettore zero. Se la curva non è geodetica, la proiezione specificata è diversa da zero; si chiama la sua lunghezza curvatura geodetica K G curva sulla superficie. Esiste una relazione:

,

Dove K- curvatura di questa curva, K N- la curvatura della sua sezione normale con la stessa tangente.

Le linee geodetiche si riferiscono alla geometria interna. Elenchiamo le loro principali proprietà.

• Attraverso questo punto Sulle superfici in una data direzione esiste una ed una sola geodetica.
• Su un'area sufficientemente piccola della superficie, due punti possono sempre essere collegati da una geodetica e, inoltre, solo da uno. Spiegazione: su una sfera, i poli opposti sono collegati da un numero infinito di meridiani, e due punti vicini possono essere collegati non solo da un segmento di un cerchio grande, ma anche dalla sua aggiunta a un cerchio completo, in modo che l'unicità sia mantenuta solo nel piccolo.
• Una geodetica è il percorso più breve. Più rigorosamente: su un piccolo pezzo di superficie il percorso più breve tra determinati punti si trova lungo una geodetica.

Piazza

Un altro attributo importante della superficie è il suo piazza, che si calcola con la formula:

Il grafico di una funzione di 2 variabili z = f(x,y) è una superficie proiettata sul piano XOY nel dominio di definizione della funzione D.
Considera la superficie σ , data dall'equazione z = f(x,y), dove f(x,y) è una funzione differenziabile, e sia M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) un punto fisso sulla superficie σ, cioè z0 = f(x0,y0). Scopo. Il calcolatore online è progettato per trovare Equazioni del piano tangente e delle normali alla superficie. La soluzione è redatta in formato Word. Se hai bisogno di trovare l'equazione di una tangente ad una curva (y = f(x)), allora devi utilizzare questo servizio.

Regole per l'immissione delle funzioni:

Regole per l'immissione delle funzioni:

1. Tutte le variabili sono espresse tramite x,y,z

Piano tangente alla superficie σ a suo punto M 0 è il piano in cui giacciono le tangenti a tutte le curve disegnate sulla superficie σ attraverso il punto M 0 .
L'equazione del piano tangente alla superficie definita dall'equazione z = f(x,y) nel punto M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) ha la forma:

z – z 0 = f’ x (x 0 ,y 0)(x – x 0) + f’ y (x 0 ,y 0)(y – y 0)

Il vettore è chiamato vettore normale alla superficie σ nel punto M0. Il vettore normale è perpendicolare al piano tangente.
Normale alla superficie σ al punto M 0 è una linea retta passante per questo punto e avente la direzione del vettore N.
Le equazioni canoniche della normale alla superficie definita dall'equazione z = f(x,y) nel punto M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0), dove z 0 = f(x 0 ,y 0), hanno la forma:

Esempio n. 1. La superficie è data dall'equazione x 3 +5y. Trovare l'equazione del piano tangente alla superficie nel punto M 0 (0;1).
Soluzione. Scriviamo le equazioni tangenti in forma generale: z - z 0 = f" x (x 0 ,y 0 ,z 0)(x - x 0) + f" y (x 0 ,y 0 ,z 0)(y - sì 0 )
Secondo le condizioni del problema, x 0 = 0, y 0 = 1, quindi z 0 = 5
Troviamo le derivate parziali della funzione z = x^3+5*y:
f" x (x,y) = (x 3 +5 y)" x = 3 x 2
f" x (x,y) = (x 3 +5 y)" y = 5
Nel punto M 0 (0,1) i valori delle derivate parziali sono:
f"x(0;1) = 0
f"y(0;1) = 5
Utilizzando la formula, otteniamo l'equazione del piano tangente alla superficie nel punto M 0: z - 5 = 0(x - 0) + 5(y - 1) oppure -5 y+z = 0

Esempio n.2. La superficie è definita implicitamente y 2 -1/2*x 3 -8z. Trova l'equazione del piano tangente alla superficie nel punto M 0 (1;0;1).
Soluzione. Trovare le derivate parziali di una funzione. Poiché la funzione è specificata in modo implicito, cerchiamo le derivate utilizzando la formula:

Per la nostra funzione:

Poi:

Al punto M 0 (1,0,1) valori delle derivate parziali:
f"x(1;0;1) = -3/16
f"y(1;0;1) = 0
Utilizzando la formula, otteniamo l'equazione del piano tangente alla superficie nel punto M 0: z - 1 = -3 / 16 (x - 1) + 0(y - 0) oppure 3 / 16 x+z- 19 / 16 = 0

Esempio. Superficie σ dato dall'equazione z= y/x + xy – 5X 3. Trovare l'equazione del piano tangente e normale alla superficie σ al punto M 0 (X 0 ,sì 0 ,z 0), appartenente a lei, se X 0 = –1, sì 0 = 2.
Troviamo le derivate parziali della funzione z= F(X,sì) = y/x + xy – 5X 3:
f x '( X,sì) = (y/x + xy – 5X 3)’ x = – y/x 2 + sì – 15X 2 ;
sì '( X,sì) = (y/x + xy – 5X 3)’ y = 1/x + X.
Punto M 0 (X 0 ,sì 0 ,z 0) appartiene alla superficie σ , quindi possiamo calcolare z 0 , sostituendo il dato X 0 = –1 e sì 0 = 2 nell'equazione della superficie:

z= y/x + xy – 5X 3

z 0 = 2/(-1) + (–1) 2 – 5 (–1) 3 = 1.
Al punto M 0 (–1, 2, 1) valori della derivata parziale:
f x '( M 0) = –1/(-1) 2 + 2 – 15(–1) 2 = –15; f y '( M 0) = 1/(-1) – 1 = –2.
Usando la formula (5) otteniamo l'equazione del piano tangente alla superficie σ al punto M 0:
z – 1= –15(X + 1) – 2(sì – 2) z – 1= –15X – 15 – 2sì+ 4 15X + 2sì + z + 10 = 0.
Usando la formula (6) otteniamo le equazioni canoniche della normale alla superficie σ al punto M 0: .
Risposte: equazione del piano tangente: 15 X + 2sì + z+10 = 0; equazioni normali: .

Esempio n. 1. Data una funzione z=f(x,y) e due punti A(x 0, y 0) e B(x 1, y 1). Richiesto: 1) calcolare il valore z 1 della funzione nel punto B; 2) calcolare il valore approssimativo z 1 della funzione nel punto B in base al valore z 0 della funzione nel punto A, sostituendo l'incremento della funzione quando ci si sposta dal punto A al punto B con un differenziale; 3) creare un'equazione per il piano tangente alla superficie z = f(x,y) nel punto C(x 0 ,y 0 ,z 0).
Soluzione.
Scriviamo le equazioni tangenti in forma generale:
z - z 0 = f" x (x 0 ,y 0 ,z 0)(x - x 0) + f" y (x 0 ,y 0 ,z 0)(y - y 0)
Secondo le condizioni del problema, x 0 = 1, y 0 = 2, quindi z 0 = 25
Troviamo le derivate parziali della funzione z = f(x,y)x^2+3*x*y*+y^2:
f" x (x,y) = (x 2 +3 x y +y 2)" x = 2 x+3 y 3
f" x (x,y) = (x 2 +3 x y +y 2)" y = 9 x y 2
Nel punto M 0 (1,2) i valori delle derivate parziali sono:
f" x (1;2) = 26
f"y(1;2) = 36
Utilizzando la formula, otteniamo l'equazione del piano tangente alla superficie nel punto M 0:
z - 25 = 26(x - 1) + 36(y - 2)
O
-26 x-36 y+z+73 = 0

Esempio n.2. Scrivi le equazioni del piano tangente e normale al paraboloide ellittico z = 2x 2 + y 2 nel punto (1;-1;3).

I piani tangenti svolgono un ruolo importante in geometria. La costruzione dei piani tangenti è di importanza pratica, poiché la loro presenza permette di determinare la direzione della normale alla superficie nel punto di contatto. Questo problema è ampiamente utilizzato nella pratica ingegneristica. I piani tangenti vengono utilizzati anche per costruire schizzi. forme geometriche, limitato da superfici chiuse. Teoricamente, i piani tangenti ad una superficie vengono utilizzati in geometria differenziale per studiare le proprietà di una superficie nella regione del punto di contatto.

Concetti e definizioni di base

Il piano tangente alla superficie è da considerarsi come posizione limite del piano secante (per analogia con la linea tangente alla curva, definita anche come posizione limite della secante).

Un piano tangente ad una superficie in un dato punto della superficie è l'insieme di tutte le linee rette tangenti tracciate alla superficie attraverso un dato punto.

In geometria differenziale è dimostrato che tutte le tangenti ad una superficie disegnata in un punto ordinario sono complanari (appartenenti allo stesso piano).

Scopriamo come disegnare una linea retta tangente alla superficie. La tangente t alla superficie β in un punto M specificato sulla superficie (Fig. 203) rappresenta la posizione limite della secante l j che interseca la superficie in due punti (MM 1, MM 2, ..., MM n) quando il i punti di intersezione coincidono (M ≡ M n , l n ≡ l M). Ovviamente (M 1, M 2, ..., M n) ∈ g, poiché g ⊂ β. Da quanto sopra segue la seguente definizione: tangente ad una superficie è una retta tangente a qualsiasi curva appartenente alla superficie.

Poiché il piano è definito da due rette che si intersecano, per definire un piano tangente alla superficie in un dato punto, è sufficiente tracciare due linee arbitrarie appartenenti alla superficie (preferibilmente di forma semplice) attraverso questo punto, e costruire le tangenti a ciascuno di essi nel punto di intersezione di queste linee. Le tangenti costruite determinano in modo univoco il piano tangente. Una rappresentazione visiva del disegno di un piano α tangente alla superficie β in un dato punto M è fornita in Fig. 204. Questa figura mostra anche la normale n alla superficie β.

La normale alla superficie in un dato punto è una linea retta perpendicolare al piano tangente e passante per il punto di tangenza.

La linea di intersezione della superficie con il piano passante per la normale è detta sezione normale della superficie. A seconda del tipo di superficie, il piano tangente può avere uno o più punti (linea) con la superficie. La linea di tangenza può essere allo stesso tempo la linea di intersezione della superficie con il piano.

Ci sono anche casi in cui sulla superficie sono presenti punti in cui è impossibile tracciare una tangente alla superficie; tali punti sono detti singolari. Come esempio di punti singolari si possono citare i punti appartenenti al bordo di ritorno della superficie del torso, oppure il punto di intersezione del meridiano della superficie di rivoluzione con il suo asse, se il meridiano e l'asse non si intersecano a destra angoli.

I tipi di tocco dipendono dalla natura della curvatura della superficie.

Curvatura della superficie

I problemi della curvatura della superficie furono studiati dal matematico francese F. Dupin (1784-1873), che propose un modo visivo per rappresentare i cambiamenti nella curvatura delle sezioni normali di una superficie.

Per fare ciò, nel piano tangente alla superficie considerata nel punto M (fig. 205, 206), sulle tangenti a le sezioni normali su entrambi i lati di questo punto. Un insieme di punti: le estremità dei segmenti definiscono una curva chiamata Indicatore di Dupin. L'algoritmo per costruire l'indicatrice di Dupin (Fig. 205) può essere scritto:

1. M ∈ α, M ∈ β ∧ α β;

2. = √(R l 1), = √(R l 2),..., = √(R l n)

dove R è il raggio di curvatura.

(A 1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A n) è l'indicatrice di Dupin.

Se l'indicatrice di Dupin di una superficie è un'ellisse, allora il punto M si dice ellittico, e la superficie si dice superficie con punti ellittici(Fig. 206). In questo caso, il piano tangente ha un solo punto comune con la superficie e tutte le linee appartenenti alla superficie e che si intersecano nel punto considerato si trovano su un lato del piano tangente. Esempi di superfici con punti ellittici sono: un paraboloide di rivoluzione, un ellissoide di rivoluzione, una sfera (in questo caso l'indicatrice di Dupin è un cerchio, ecc.).

Quando si traccia un piano tangente alla superficie del busto, il piano toccherà questa superficie lungo una generatrice diritta. I punti su questa retta si chiamano parabolico e la superficie è una superficie con punti parabolici. L'indicatore di Dupin in questo caso è costituito da due linee parallele (Fig. 207*).

Nella fig. 208 mostra una superficie costituita da punti in cui

* Una curva del secondo ordine - una parabola - in determinate condizioni può dividersi in due linee parallele reali, due linee parallele immaginarie, due linee coincidenti. Nella fig. 207 si tratta di due rette parallele reali.

Qualsiasi piano tangente interseca la superficie. Tale superficie si chiama iperbolico, e i punti ad esso appartenenti sono punti iperbolici. Indicatore di Dupin in questo caso- iperbole.

Una superficie, i cui punti sono tutti iperbolici, ha la forma di una sella (piano obliquo, iperboloide a foglio singolo, superfici di rivoluzione concave, ecc.).

Una superficie può avere punti tipi diversi ad esempio, in prossimità della superficie del torso (Fig. 209) il punto M è ellittico; il punto N è parabolico; il punto K è iperbolico.

Nel corso della geometria differenziale si dimostra che le sezioni normali in cui i valori di curvatura K j = 1/R j (dove R j è il raggio di curvatura della sezione considerata) hanno valori estremi si trovano in due piani reciprocamente perpendicolari.

Tali curvature K 1 = 1/R max. K 2 = 1/R min sono chiamati i valori principali, e i valori H = (K 1 + K 2)/2 e K = K 1 K 2 sono, rispettivamente, la curvatura media della superficie e quella totale ( Gaussiana) curvatura della superficie nel punto in esame. Per punti ellittici K > 0, punti iperbolici K

Specificare un piano tangente a una superficie su un diagramma di Monge

Di seguito in poi esempi specifici Mostreremo la costruzione di un piano tangente ad una superficie con punti ellittici (esempio 1), parabolici (esempio 2) e iperbolici (esempio 3).

ESEMPIO 1. Costruisci un piano α tangente alla superficie di rivoluzione β con punti ellittici. Consideriamo due opzioni per risolvere questo problema: a) punto M ∈ β e b) punto M ∉ β

Opzione a (Fig. 210).

Il piano tangente è determinato da due tangenti t 1 e t 2 tracciate nel punto M al parallelo e al meridiano della superficie β.

Le proiezioni della tangente t 1 al parallelo h della superficie β saranno t" 1 ⊥ (S"M") et" 1 || asse x La proiezione orizzontale della tangente t" 2 al meridiano d della superficie β passante per il punto M coinciderà con la proiezione orizzontale del meridiano. Per trovare la proiezione frontale della tangente t" 2, il piano meridionale γ(γ ∋ M) viene trasferito nella posizione γ ruotando attorno all'asse della superficie β 1, parallela al piano π 2. In questo caso il punto M → M 1 (M" 1, M" 1). La proiezione della tangente t" 2 rarr; t" 2 1 è determinata da (M" 1 S"). Se ora riportiamo il piano γ 1 nella sua posizione originale, il punto S" rimarrà al suo posto (come appartenente all'asse di rotazione), e M" 1 → M" e la proiezione frontale della tangente t" 2 resteranno essere determinato (M" S")

Due tangenti t 1 e t 2 che si intersecano in un punto M ∈ β definiscono un piano α tangente alla superficie β.

Opzione b (Fig. 211)

Per costruire un piano tangente ad una superficie passante per un punto che non appartiene alla superficie si deve procedere dalle seguenti considerazioni: attraverso un punto esterno alla superficie costituito da punti ellittici si possono tracciare più piani tangenti alla superficie. L'involucro di queste superfici sarà una superficie conica. Pertanto, se non ci sono istruzioni aggiuntive, allora il problema ha molte soluzioni e in questo caso si riduce a disegnare una superficie conica γ tangente ad una data superficie β.

Nella fig. 211 mostra la costruzione di una superficie conica γ tangente alla sfera β. Qualsiasi piano α tangente alla superficie conica γ sarà tangente alla superficie β.

Per costruire proiezioni della superficie γ dai punti M" e M" disegniamo le tangenti ai cerchi h" ed f" - le proiezioni della sfera. Contrassegnare i punti di contatto 1 (1" e 1"), 2 (2" e 2"), 3 (3" e 3") e 4 (4" e 4"). Proiezione orizzontale di un cerchio - la linea di tangenza della superficie conica e della sfera viene proiettata in [ 1"2"] Per trovare i punti dell'ellisse in cui questo cerchio verrà proiettato sul piano frontale delle proiezioni, utilizzeremo i paralleli della sfera.

Nella fig. 211 si determinano in questo modo le proiezioni frontali dei punti E ed F (E" ed F"). Avendo una superficie conica γ, costruiamo ad essa un piano tangente α. La natura e la sequenza della grafica

Le costruzioni da realizzare a tale scopo sono riportate nell'esempio seguente.

ESEMPIO 2 Costruisci un piano α tangente alla superficie β con punti parabolici

Come nell'Esempio 1, consideriamo due soluzioni: a) punto N ∈ β; b) punto N ∉ β

Opzione a (Fig. 212).

Per superficie conica si intendono superfici con punti parabolici (vedi Fig. 207.) Un piano tangente ad una superficie conica la tocca lungo una generatrice rettilinea. Per costruirla è necessario:

1) attraverso un dato punto N tracciare un generatore SN (S"N" e S"N");

2) segnare il punto di intersezione della generatrice (SN) con la guida d: (SN) ∩ d = A;

3) soffierà anche sulla tangente da t a d nel punto A.

La generatrice (SA) e la tangente t che la interseca definiscono il piano α tangente alla superficie conica β in un dato punto N*.

Disegnare un piano α, tangente alla superficie conica β e passante per il punto N, non appartiene a

* Poiché la superficie β è costituita da punti parabolici (ad eccezione del vertice S), il piano tangente α ad essa avrà in comune non un punto N, ma una linea retta (SN).

premendo una data superficie è necessario:

1) per un dato punto N e il vertice S della superficie conica β tracciare una retta a (a" e ​​a") ;

2) determinare la traccia orizzontale di tale retta H a;

3) attraverso H a tracciare le tangenti t" 1 et" 2 della curva h 0β - la traccia orizzontale della superficie conica;

4) collegare i punti di tangenza A (A" e A") e B (B" e B") al vertice della superficie conica S (S" e S").

Le linee che si intersecano t 1, (AS) e t 2, (BS) determinano i piani tangenti desiderati α 1 e α 2

ESEMPIO 3. Costruisci un piano α tangente alla superficie β con punti iperbolici.

Il punto K (Fig. 214) si trova sulla superficie del globoide (la superficie interna dell'anello).

Per determinare la posizione del piano tangente α è necessario:

1) tracciare un parallelo alla superficie β h(h", h") passante per il punto K;

2) per il punto K" tracciare una tangente t" 1 (t" 1 ≡ h");

3) per determinare le direzioni delle proiezioni della tangente alla sezione meridionale, è necessario tracciare il piano γ attraverso il punto K e l'asse della superficie, la proiezione orizzontale t" 2 coinciderà con h 0γ; per costruire la proiezione frontale della tangente t" 2, trasliamo prima il piano γ ruotandolo attorno all'asse della superficie di rotazione nella posizione γ 1 || π2. In questo caso, la sezione meridionale del piano γ si allineerà con l'arco di contorno sinistro della proiezione frontale - semicerchio g".

Il punto K (K", K"), appartenente alla curva della sezione meridionale, si sposterà nella posizione K 1 (K" 1, K" 1). Attraverso K" 1 disegniamo una proiezione frontale della tangente t" 2 1, combinata con il piano γ 1 || π 2 posizione e segnare il punto della sua intersezione con la proiezione frontale dell'asse di rotazione S" 1. Riportiamo il piano γ 1 nella sua posizione originale, punto K" 1 → K" (punto S" 1 ≡ S") La proiezione frontale della tangente t" 2 è determinata dai punti K" e S".

Le tangenti t 1 e t 2 definiscono il piano tangente desiderato α, che interseca la superficie β lungo la curva l.

ESEMPIO 4. Costruisci un piano α tangente alla superficie β nel punto K. Il punto K si trova sulla superficie di un iperboloide di rivoluzione a un foglio (Fig. 215).

Questo problema può essere risolto rispettando l'algoritmo utilizzato nell'esempio precedente, ma tenendo conto che la superficie di un iperboloide di rivoluzione a un foglio è una superficie rigata che ha due famiglie di generatori rettilinei, e ciascuno dei generatori di uno famiglia interseca tutti i generatori dell'altra famiglia (vedi § 32, fig. 138). Attraverso ogni punto di questa superficie si possono tracciare due linee rette intersecanti - generatori, che saranno contemporaneamente tangenti alla superficie di un iperboloide di rivoluzione a un foglio.

Queste tangenti definiscono il piano tangente, cioè il piano tangente alla superficie di un iperboloide di rivoluzione a un foglio che interseca questa superficie lungo due rette g 1 e g 2. Per costruire le proiezioni di queste rette è sufficiente portare la proiezione orizzontale del punto K e delle tangenti t" 1 e t" 2 all'orizzontale

proiezione tal del cerchio d" 2 - la gola della superficie di un iperboloide di rivoluzione a foglio singolo; determinare i punti 1" e 2 in cui t" 1 e t" 2 si intersecano uno e le superfici direttrici d 1. Da 1" e 2" troviamo 1" e 2", che insieme a K" determinano le proiezioni frontali delle linee richieste.