Come determinare l'aspettativa di scacco matto. Formula delle aspettative matematiche. Nozioni di base sulla teoria della probabilità

Aspettativa matematica di un discreto variabile casualeè la somma dei prodotti di tutti i suoi possibili valori e delle loro probabilità.

Se una variabile casuale assume solo valori di probabilità rispettivamente uguali, l'aspettativa matematica di una variabile casuale è determinata dall'uguaglianza

Se una variabile casuale discreta assume un insieme numerabile di possibili valori, allora

Inoltre, l'aspettativa matematica esiste se la serie a destra dell'uguaglianza converge assolutamente.

Commento. Dalla definizione segue che l'aspettativa matematica di una variabile casuale discreta è una quantità non casuale (costante).

Definizione di aspettativa matematica nel caso generale

Determiniamo l'aspettativa matematica di una variabile casuale la cui distribuzione non è necessariamente discreta. Cominciamo con il caso delle variabili casuali non negative. L'idea sarà quella di approssimare tali variabili casuali utilizzando variabili discrete, per le quali l'aspettativa matematica è già stata determinata, e porre l'aspettativa matematica uguale al limite aspettative matematiche di variabili casuali discrete che la approssimano. A proposito, questa è un'idea generale molto utile, ovvero che alcune caratteristiche vengono prima determinate per oggetti semplici, e poi per oggetti più complessi vengono determinate approssimandoli a quelli più semplici.

Lemma 1. Sia una variabile casuale arbitraria non negativa. Allora esiste una sequenza di variabili casuali discrete tale che

Prova. Dividiamo il semiasse in segmenti di uguale lunghezza e determiniamo

Quindi le proprietà 1 e 2 seguono facilmente dalla definizione di variabile casuale, e

Lemma 2. Sia una variabile casuale non negativa e due sequenze di variabili casuali discrete che possiedono le proprietà 1-3 del Lemma 1. Allora

Prova. Si noti che per variabili casuali non negative consentiamo

A causa della proprietà 3, è facile vedere che esiste una sequenza numeri positivi, tale che

Ne consegue che

Utilizzando le proprietà delle aspettative matematiche per variabili casuali discrete, otteniamo

Passando al limite a si ottiene l'enunciato del Lemma 2.

Definizione 1. Sia una variabile casuale non negativa, - una sequenza di variabili casuali discrete che hanno le proprietà 1-3 del Lemma 1. L'aspettativa matematica di una variabile casuale è il numero

Il Lemma 2 garantisce che esso non dipende dalla scelta della sequenza approssimante.

Sia ora una variabile casuale arbitraria. Definiamo

Dalla definizione ne consegue facilmente

Definizione 2. L'aspettativa matematica di una variabile casuale arbitraria è il numero

Se almeno uno dei numeri a destra di questa uguaglianza è finito.

Proprietà dell'aspettativa matematica

Proprietà 1. Valore atteso il valore costante è uguale alla costante stessa:

Prova. Considereremo una costante come una variabile casuale discreta che ha un valore possibile e lo assume con probabilità, quindi,

Osservazione 1. Definiamo il prodotto di una variabile costante per una variabile casuale discreta come un casuale discreto i cui valori possibili sono uguali ai prodotti della costante per i valori possibili; le probabilità dei valori possibili sono uguali alle probabilità dei corrispondenti valori possibili. Ad esempio, se la probabilità di un valore possibile è uguale allora è uguale anche la probabilità che il valore assuma quel valore

Proprietà 2. Il fattore costante può essere tolto dal segno dell'aspettativa matematica:

Prova. Sia la variabile casuale data dalla legge della distribuzione di probabilità:

Tenendo conto dell'Osservazione 1, scriviamo la legge di distribuzione della variabile casuale

Osservazione 2. Prima di passare alla proprietà successiva, facciamo presente che due variabili aleatorie si dicono indipendenti se la legge di distribuzione di una di esse non dipende da quali possibili valori ha assunto l'altra variabile. Altrimenti le variabili casuali sono dipendenti. Diverse variabili casuali sono dette mutuamente indipendenti se le leggi di distribuzione di un numero qualsiasi di esse non dipendono dai possibili valori assunti dalle restanti variabili.

Osservazione 3. Definiamo il prodotto di variabili casuali indipendenti e come una variabile casuale i cui valori possibili sono uguali ai prodotti di ogni valore possibile per ogni valore possibile, le probabilità dei possibili valori del prodotto sono uguali a i prodotti delle probabilità dei possibili valori dei fattori. Ad esempio, se la probabilità di un valore possibile è, la probabilità di un valore possibile è, allora la probabilità di un valore possibile è

Proprietà 3. L'aspettativa matematica del prodotto di due variabili casuali indipendenti è uguale al prodotto delle loro aspettative matematiche:

Prova. Lasciamo che le variabili casuali indipendenti siano specificate dalle loro stesse leggi di distribuzione di probabilità:

Compiliamo tutti i valori che può assumere una variabile casuale. Per fare ciò, moltiplichiamo tutti i valori possibili per ciascun valore possibile; Di conseguenza, otteniamo e, tenendo conto dell'Osservazione 3, scriviamo la legge di distribuzione, assumendo per semplicità che tutti i possibili valori del prodotto siano diversi (se così non è, la dimostrazione viene eseguita in un modo simile):

L'aspettativa matematica è uguale alla somma dei prodotti di tutti i valori possibili e delle loro probabilità:

Conseguenza. L'aspettativa matematica del prodotto di diverse variabili casuali reciprocamente indipendenti è uguale al prodotto delle loro aspettative matematiche.

Proprietà 4. L'aspettativa matematica della somma di due variabili casuali è uguale alla somma delle aspettative matematiche dei termini:

Prova. Lasciamo variabili casuali e specificate dalle seguenti leggi di distribuzione:

Compiliamo tutti i possibili valori di una quantità. Per fare ciò, aggiungiamo ogni possibile valore a ogni possibile valore; otteniamo: assumiamo per semplicità che questi possibili valori siano diversi (se così non fosse, la dimostrazione viene eseguita in modo simile) e denotiamo le loro probabilità rispettivamente con e

L'aspettativa matematica di un valore è uguale alla somma dei prodotti di valori possibili e delle loro probabilità:

Proviamo che un Evento che assumerà valore (la probabilità di questo evento è uguale) comporta un evento che assumerà valore o (la probabilità di questo evento per il teorema di addizione è uguale), e viceversa. Ne consegue quindi che le uguaglianze si dimostrano in modo simile

Sostituendo i membri destri di queste uguaglianze nella relazione (*), otteniamo

o infine

Varianza e deviazione standard

In pratica, spesso è necessario stimare la dispersione dei possibili valori di una variabile casuale attorno al suo valore medio. Nell'artiglieria, ad esempio, è importante sapere quanto vicino cadranno i proiettili al bersaglio da colpire.

A prima vista, può sembrare che il modo più semplice per stimare la dispersione sia calcolare tutte le possibili deviazioni di una variabile casuale e quindi trovare il loro valore medio. Tuttavia, questo percorso non darà nulla, poiché il valore medio della deviazione, ad es. per ogni variabile casuale è uguale a zero. Questa proprietà si spiega con il fatto che alcune possibili deviazioni sono positive, mentre altre sono negative; per effetto del loro reciproco annullamento il valore medio dello scostamento risulta pari a zero. Queste considerazioni indicano l'opportunità di sostituire eventuali deviazioni valori assoluti o i loro quadrati. Questo è quello che fanno in pratica. È vero, nel caso in cui le possibili deviazioni siano sostituite da valori assoluti, è necessario operare con valori assoluti, il che a volte porta a serie difficoltà. Pertanto, molto spesso prendono una strada diversa, ad es. calcolare il valore medio della deviazione quadrata, che si chiama dispersione.

L'aspettativa matematica è la definizione

L'attesa dello scacco matto lo è uno di i concetti più importanti V statistica matematica e teoria della probabilità, che caratterizza la distribuzione dei valori o probabilità variabile casuale. Tipicamente espresso come media ponderata di tutti i possibili parametri di una variabile casuale. Ampiamente usato in analisi tecnica, ricerca serie di numeri, lo studio dei processi continui e a lungo termine. È importante per valutare i rischi, prevedere gli indicatori di prezzo durante le negoziazioni sui mercati finanziari e viene utilizzato nello sviluppo di strategie e metodi di tattiche di gioco in teorie del gioco d'azzardo.

Scacco matto in attesa- Questo valore medio di una variabile casuale, distribuzione probabilità la variabile casuale è considerata nella teoria della probabilità.

L'attesa dello scacco matto lo è una misura del valore medio di una variabile casuale nella teoria della probabilità. Scacco matto all'aspettativa di una variabile casuale X denotato da M(x).

L'aspettativa matematica (media della popolazione) è

L'attesa dello scacco matto lo è

L'attesa dello scacco matto lo è nella teoria della probabilità, media ponderata di tutti i possibili valori che può assumere una variabile casuale.

L'attesa dello scacco matto lo è la somma dei prodotti di tutti i possibili valori di una variabile casuale e le probabilità di questi valori.

L'aspettativa matematica (media della popolazione) è

L'attesa dello scacco matto lo è il beneficio medio derivante da una particolare decisione, a condizione che tale decisione possa essere considerata nel quadro della teoria dei grandi numeri e delle lunghe distanze.

L'attesa dello scacco matto lo è nella teoria del gioco d'azzardo, l'importo delle vincite che uno speculatore può guadagnare o perdere, in media, su ciascuna scommessa. Nel linguaggio del gioco d'azzardo speculatori questo a volte viene chiamato "vantaggio" speculatore" (se è positivo per lo speculatore) o "margine della casa" (se è negativo per lo speculatore).

L'aspettativa matematica (media della popolazione) è

Ci saranno anche compiti per decisione indipendente, a cui puoi vedere le risposte.

Aspettativa e varianza sono le caratteristiche numeriche più comunemente utilizzate di una variabile casuale. Caratterizzano le caratteristiche più importanti della distribuzione: la sua posizione e il grado di dispersione. Il valore atteso è spesso chiamato semplicemente media. variabile casuale. Dispersione di una variabile casuale - caratteristica della dispersione, diffusione di una variabile casuale sulla sua aspettativa matematica.

In molti problemi pratici, una caratteristica completa ed esaustiva di una variabile casuale - la legge di distribuzione - non può essere ottenuta o non è affatto necessaria. In questi casi ci si limita ad una descrizione approssimativa di una variabile casuale utilizzando caratteristiche numeriche.

Aspettativa di una variabile casuale discreta

Veniamo al concetto di aspettativa matematica. Lascia che la massa di una sostanza sia distribuita tra i punti dell'asse x X1 , X 2 , ..., X N. Inoltre, ogni punto materiale ha una massa corrispondente con una probabilità di P1 , P 2 , ..., P N. È necessario selezionare un punto sull'asse delle ascisse, che caratterizza la posizione dell'intero sistema punti materiali, tenendo conto delle loro masse. È naturale considerare come tale il centro di massa del sistema di punti materiali. Questa è la media ponderata della variabile casuale X, a cui l'ascissa di ciascun punto Xio entra con un “peso” pari alla probabilità corrispondente. Il valore medio della variabile casuale ottenuto in questo modo Xè detta aspettativa matematica.

L'aspettativa matematica di una variabile casuale discreta è la somma dei prodotti di tutti i suoi possibili valori e delle probabilità di questi valori:

Esempio 1.È stata organizzata una lotteria vantaggiosa per tutti. Ci sono 1000 vincite, di cui 400 sono 10 rubli. 300 - 20 rubli ciascuno. 200 - 100 rubli ciascuno. e 100-200 rubli ciascuno. Qual è la vincita media per chi acquista un biglietto?

Soluzione. Troveremo la vincita media se dividiamo l'importo totale delle vincite, ovvero 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50.000 rubli, per 1000 (importo totale delle vincite). Quindi otteniamo 50000/1000 = 50 rubli. Ma l'espressione per calcolare la vincita media può essere presentata nella forma seguente:

D'altra parte, in queste condizioni, l'importo della vincita è una variabile casuale, che può assumere valori di 10, 20, 100 e 200 rubli. con probabilità pari rispettivamente a 0,4; 0,3; 0,2; 0,1. Pertanto, il profitto medio atteso pari alla somma prodotti dell'entità delle vincite e della probabilità di riceverle.

Esempio 2. L'editore ha deciso di pubblicare nuovo libro. Ha intenzione di vendere il libro per 280 rubli, di cui lui stesso ne riceverà 200, 50 dalla libreria e 30 dall'autore. La tabella fornisce informazioni sui costi di pubblicazione di un libro e sulla probabilità di vendere un certo numero di copie del libro.

Trova il profitto atteso dell'editore.

Soluzione. La variabile casuale “profitto” è pari alla differenza tra il ricavo delle vendite e il costo dei costi. Ad esempio, se vengono vendute 500 copie di un libro, il reddito derivante dalla vendita sarà 200 * 500 = 100.000 e il costo di pubblicazione sarà di 225.000 rubli. Pertanto, l'editore subisce una perdita di 125.000 rubli. La tabella seguente riassume i valori attesi della variabile casuale - profitto:

Numero	Profitto Xio	Probabilità Pio	Xio P io
500	-125000	0,20	-25000
1000	-50000	0,40	-20000
2000	100000	0,25	25000
3000	250000	0,10	25000
4000	400000	0,05	20000
Totale:		1,00	25000

Pertanto, otteniamo l’aspettativa matematica del profitto dell’editore:

.

Esempio 3. Probabilità di colpire con un colpo P= 0,2. Determinare il consumo di proiettili che forniscono un'aspettativa matematica del numero di colpi pari a 5.

Soluzione. Dalla stessa formula matematica dell'aspettativa che abbiamo usato finora, esprimiamo X- consumo del guscio:

.

Esempio 4. Determinare l'aspettativa matematica di una variabile casuale X numero di colpi con tre colpi, se la probabilità di un colpo con ogni colpo P = 0,4 .

Suggerimento: trova la probabilità di valori di variabili casuali in base a La formula di Bernoulli .

Proprietà dell'aspettativa matematica

Consideriamo le proprietà dell'aspettativa matematica.

Proprietà 1. L'aspettativa matematica di un valore costante è uguale a questa costante:

Proprietà 2. Il fattore costante può essere estratto dal segno dell'aspettativa matematica:

Proprietà 3. L'aspettativa matematica della somma (differenza) delle variabili casuali è uguale alla somma (differenza) delle loro aspettative matematiche:

Proprietà 4. L'aspettativa matematica di un prodotto di variabili casuali è uguale al prodotto delle loro aspettative matematiche:

Proprietà 5. Se tutti i valori di una variabile casuale X diminuire (aumentare) dello stesso numero CON, allora la sua aspettativa matematica diminuirà (aumenterà) dello stesso numero:

Quando non puoi limitarti solo alle aspettative matematiche

Nella maggior parte dei casi, solo l'aspettativa matematica non può caratterizzare sufficientemente una variabile casuale.

Consideriamo le variabili casuali X E Y sono dati dalle seguenti leggi di distribuzione:

Senso X	Probabilità
-0,1	0,1
-0,01	0,2
0	0,4
0,01	0,2
0,1	0,1

Senso Y	Probabilità
-20	0,3
-10	0,1
0	0,2
10	0,1
20	0,3

Le aspettative matematiche di queste quantità sono le stesse - pari a zero:

Tuttavia, i loro modelli di distribuzione sono diversi. Valore casuale X può assumere solo valori che differiscono poco dall'aspettativa matematica e dalla variabile casuale Y può assumere valori che si discostano significativamente dall'aspettativa matematica. Un esempio simile: il salario medio non consente di giudicare la quota di lavoratori alto e basso retribuiti. In altre parole, non si può giudicare dalle aspettative matematiche quali deviazioni da esse, almeno in media, siano possibili. Per fare ciò, devi trovare la varianza della variabile casuale.

Varianza di una variabile casuale discreta

Varianza variabile casuale discreta Xè chiamata aspettativa matematica del quadrato della sua deviazione dall'aspettativa matematica:

La deviazione standard di una variabile casuale X il valore aritmetico della radice quadrata della sua varianza si chiama:

.

Esempio 5. Calcolare varianze e deviazioni standard di variabili casuali X E Y, le cui leggi di distribuzione sono riportate nelle tabelle sopra.

Soluzione. Aspettative matematiche delle variabili casuali X E Y, come sopra riscontrato, sono pari a zero. Secondo la formula di dispersione a E(X)=E(sì)=0 otteniamo:

Quindi le deviazioni standard delle variabili casuali X E Y trucco

.

Quindi, con le stesse aspettative matematiche, la varianza della variabile casuale X molto piccola, ma una variabile casuale Y- significativo. Questa è una conseguenza delle differenze nella loro distribuzione.

Esempio 6. L'investitore ha 4 progetti di investimento alternativi. La tabella riassume il profitto atteso in questi progetti con la corrispondente probabilità.

Progetto 1	Progetto 2	Progetto 3	Progetto 4
500, P=1	1000, P=0,5	500, P=0,5	500, P=0,5
	0, P=0,5	1000, P=0,25	10500, P=0,25
		0, P=0,25	9500, P=0,25

Trova l'aspettativa matematica, la varianza e la deviazione standard per ciascuna alternativa.

Soluzione. Mostriamo come vengono calcolati questi valori per la 3a alternativa:

La tabella riassume i valori trovati per tutte le alternative.

Tutte le alternative hanno le stesse aspettative matematiche. Ciò significa che nel lungo periodo tutti hanno lo stesso reddito. La deviazione standard può essere interpretata come una misura del rischio: più è alta, maggiore è il rischio dell'investimento. Un investitore che non vuole rischiare molto sceglierà il progetto 1 poiché ha la deviazione standard più piccola (0). Se l'investitore preferisce il rischio e rendimenti elevati in un breve periodo, sceglierà il progetto con la deviazione standard maggiore: progetto 4.

Proprietà di dispersione

Presentiamo le proprietà della dispersione.

Proprietà 1. La varianza di un valore costante è zero:

Proprietà 2. Il fattore costante può essere eliminato dal segno di dispersione elevandolo al quadrato:

.

Proprietà 3. La varianza di una variabile casuale è pari all'aspettativa matematica del quadrato di tale valore, da cui viene sottratto il quadrato dell'aspettativa matematica del valore stesso:

,

Dove .

Proprietà 4. La varianza della somma (differenza) delle variabili casuali è uguale alla somma (differenza) delle loro varianze:

Esempio 7.È noto che una variabile casuale discreta X assume solo due valori: −3 e 7. Inoltre, l'aspettativa matematica è nota: E(X) = 4 . Trova la varianza di una variabile casuale discreta.

Soluzione. Indichiamo con P la probabilità con cui una variabile casuale assume un valore X1 = −3 . Quindi la probabilità del valore X2 = 7 sarà 1 − P. Deriviamo l'equazione per l'aspettativa matematica:

E(X) = X 1 P + X 2 (1 − P) = −3P + 7(1 − P) = 4 ,

dove otteniamo le probabilità: P= 0,3 e 1 − P = 0,7 .

Legge di distribuzione di una variabile casuale:

X	−3	7
P	0,3	0,7

Calcoliamo la varianza di questa variabile casuale utilizzando la formula della proprietà 3 della dispersione:

D(X) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

Trova tu stesso l'aspettativa matematica di una variabile casuale e poi guarda la soluzione

Esempio 8. Variabile casuale discreta X assume solo due valori. Accetta il maggiore dei valori 3 con probabilità 0,4. Inoltre, è nota la varianza della variabile casuale D(X) = 6 . Trova l'aspettativa matematica di una variabile casuale.

Esempio 9. In un'urna ci sono 6 palline bianche e 4 nere. Dall'urna si estraggono 3 palline. Il numero di palline bianche tra quelle estratte è una variabile casuale discreta X. Trova l'aspettativa matematica e la varianza di questa variabile casuale.

Soluzione. Valore casuale X può assumere valori 0, 1, 2, 3. Le probabilità corrispondenti possono essere calcolate da regola della moltiplicazione delle probabilità. Legge di distribuzione di una variabile casuale:

X	0	1	2	3
P	1/30	3/10	1/2	1/6

Da qui l'aspettativa matematica di questa variabile casuale:

M(X) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

La varianza di una determinata variabile casuale è:

D(X) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

Aspettativa e varianza di una variabile casuale continua

Per una variabile casuale continua, l'interpretazione meccanica dell'aspettativa matematica manterrà lo stesso significato: il centro di massa per un'unità di massa distribuita continuamente sull'asse x con densità F(X). A differenza di una variabile casuale discreta, il cui argomento della funzione Xio cambia bruscamente; per una variabile casuale continua, l’argomento cambia continuamente. Ma l’aspettativa matematica di una variabile casuale continua è legata anche al suo valore medio.

Per trovare l'aspettativa matematica e la varianza di una variabile casuale continua, è necessario trovare integrali definiti . Se viene data la funzione di densità di una variabile casuale continua, allora entra direttamente nell'integrando. Se viene fornita una funzione di distribuzione della probabilità, differenziandola è necessario trovare la funzione di densità.

La media aritmetica di tutti i possibili valori di una variabile casuale continua è chiamata sua aspettativa matematica, indicato con o .

2. Nozioni di base della teoria della probabilità

Valore atteso

Consideriamo una variabile casuale con valori numerici. Spesso è utile associare un numero a questa funzione: il suo "valore medio" o, come si suol dire, " valore medio", "indice di tendenza centrale". Per una serie di ragioni, alcune delle quali saranno chiare in seguito, l’aspettativa matematica viene solitamente utilizzata come “valore medio”.

Definizione 3. Aspettativa matematica di una variabile casuale X numero chiamato

quelli. l'aspettativa matematica di una variabile casuale è una somma ponderata dei valori di una variabile casuale con pesi pari alle probabilità dei corrispondenti eventi elementari.

Esempio 6. Calcoliamo la speranza matematica del numero che appare sulla faccia superiore del dado. Ne consegue direttamente dalla Definizione 3 che

Dichiarazione 2. Consideriamo la variabile casuale X assume valori x1, x2,…, xM. Allora l'uguaglianza è vera

(5)

quelli. L'aspettativa matematica di una variabile casuale è una somma ponderata dei valori della variabile casuale con pesi pari alle probabilità che la variabile casuale assuma determinati valori.

A differenza della (4), dove la somma viene effettuata direttamente su eventi elementari, un evento casuale può essere costituito da più eventi elementari.

A volte la relazione (5) viene presa come definizione dell'aspettativa matematica. Tuttavia, utilizzando la Definizione 3, come mostrato di seguito, è più semplice stabilire le proprietà dell'aspettativa matematica necessaria per costruire modelli probabilistici di fenomeni reali rispetto all'utilizzo della relazione (5).

Per dimostrare la relazione (5), raggruppiamo in (4) termini con valori identici della variabile casuale:

Poiché il fattore costante può essere eliminato dal segno della somma, allora

Determinando la probabilità di un evento

Utilizzando le ultime due relazioni otteniamo quanto richiesto:

Il concetto di aspettativa matematica nella teoria probabilistico-statistica corrisponde al concetto di baricentro nella meccanica. Mettiamolo per punti x1, x2,…, xM sull'asse dei numeri di massa P(X= X 1 ), P(X= X 2 ),…, P(X= x m) rispettivamente. Allora l’uguaglianza (5) mostra che il centro di gravità di questo sistema di punti materiali coincide con l’aspettativa matematica, il che dimostra la naturalezza della Definizione 3.

Dichiarazione 3. Permettere X- valore casuale, M(X)– la sua aspettativa matematica, UN– un certo numero. Poi

1) M(a)=a; 2) M(X-M(X))=0; 3M[(X- UN) 2 ]= M[(X- M(X)) 2 ]+(UN- M(X)) 2 .

Per dimostrarlo, consideriamo prima una variabile casuale costante, cioè la funzione mappa lo spazio degli eventi elementari in un unico punto UN. Poiché il moltiplicatore costante può essere portato oltre il segno della somma, allora

Se ogni membro di una somma è diviso in due termini, allora l'intera somma è divisa in due somme, di cui la prima è composta dai primi termini, e la seconda è composta dai secondi. Pertanto, l'aspettativa matematica della somma di due variabili casuali X+Y, definita sullo stesso spazio degli eventi elementari, è pari alla somma delle aspettative matematiche M(X) E M(U) queste variabili casuali:

M(X+Y) = M(X) + M(Y).

E quindi M(X-M(X)) = M(X) - M(M(X)). Come mostrato sopra, M(M(X)) = M(X). Quindi, M(X-M(X)) = M(X) - M(X) = 0.

Perché il (X - a)2 = ((X – M(X)) + (M(X) - UN)} 2 = (X - M(X)) 2 + 2(X - M(X))(M(X) - UN) + (M(X) – UN) 2 , Quello M[(X - a)2] =M(X - M(X)) 2 + M{2(X - M(X))(M(X) - UN)} + M[(M(X) – UN) 2 ]. Semplifichiamo l'ultima uguaglianza. Come mostrato all'inizio della dimostrazione dell'Enunciato 3, l'aspettativa matematica di una costante è la costante stessa, e quindi M[(M(X) – UN) 2 ] = (M(X) – UN) 2 . Poiché il moltiplicatore costante può essere portato oltre il segno della somma, allora M{2(X - M(X))(M(X) - UN)} = 2(M(X) - UN)M(X - M(X)). Il lato destro dell'ultima uguaglianza è 0 perché, come mostrato sopra, M(X-M(X))=0. Quindi, M[(X- UN) 2 ]= M[(X- M(X)) 2 ]+(UN- M(X)) 2 , che era ciò che doveva essere dimostrato.

Da quanto sopra ne consegue che M[(X- UN) 2 ] raggiunge il minimo UN, uguale M[(X- M(X)) 2 ], A un = M(X), poiché il secondo termine dell'uguaglianza 3) è sempre non negativo e vale 0 solo per il valore specificato UN.

Dichiarazione 4. Consideriamo la variabile casuale X assume valori x1, x2,…, xM, e f è una funzione dell'argomento numerico. Poi

Per dimostrarlo, raggruppiamo sul lato destro dell'uguaglianza (4), che definisce l'aspettativa matematica, i termini con gli stessi valori:

Utilizzando il fatto che il fattore costante può essere estratto dal segno della somma e la definizione della probabilità di un evento casuale (2), otteniamo

Q.E.D.

Dichiarazione 5. Permettere X E U– variabili casuali definite sullo stesso spazio degli eventi elementari, UN E B- alcuni numeri. Poi M(ascia+ di)= Sono(X)+ bM(Y).

Utilizzando la definizione dell'aspettativa matematica e le proprietà del simbolo di sommatoria, otteniamo una catena di uguaglianze:

La richiesta è stata dimostrata.

Quanto sopra mostra come l'aspettativa matematica dipenda dalla transizione ad un altro punto di riferimento e ad un'altra unità di misura (transizione Y=ascia+B), nonché a funzioni di variabili casuali. I risultati ottenuti vengono costantemente utilizzati nell'analisi tecnica ed economica, nella valutazione delle attività finanziarie ed economiche di un'impresa, durante il passaggio da una valuta all'altra nei calcoli economici esteri, nella documentazione normativa e tecnica, ecc. I risultati in esame consentono il utilizzo delle stesse formule di calcolo per diversi parametri di scala e spostamento.

Precedente

– il numero di maschi su 10 neonati.

È assolutamente chiaro che questo numero non è noto in anticipo e che i prossimi dieci bambini nati potrebbero includere:

O ragazzi - uno ed uno solo dalle opzioni elencate.

E, per mantenersi in forma, un po' di educazione fisica:

– salto in lungo (in alcune unità).

Anche un maestro dello sport non può prevederlo :)

Tuttavia, le vostre ipotesi?

2) Variabile casuale continua – accetta Tutto valori numerici da un intervallo finito o infinito.

Nota :V letteratura educativa abbreviazioni popolari DSV e NSV

Innanzitutto, analizziamo la variabile casuale discreta, quindi: continuo.

Legge di distribuzione di una variabile casuale discreta

- Questo corrispondenza tra i possibili valori di questa quantità e le loro probabilità. Molto spesso, la legge è scritta in una tabella:

Il termine appare abbastanza spesso riga distribuzione, ma in alcune situazioni sembra ambiguo, quindi mi atterrò alla "legge".

E adesso Molto punto importante : poiché la variabile casuale Necessariamente accetterà uno dei valori, quindi si formano gli eventi corrispondenti gruppo completo e la somma delle probabilità del loro verificarsi è pari a uno:

oppure, se scritto in forma condensata:

Quindi, ad esempio, la legge della distribuzione di probabilità dei punti lanciati su un dado ha la seguente forma:

Non ci sono commenti.

Potresti avere l'impressione che una variabile casuale discreta possa assumere solo valori interi "buoni". Dissolviamo l'illusione: possono essere qualsiasi cosa:

Esempio 1

Alcuni giochi hanno la seguente legge di distribuzione vincente:

...probabilmente sogni questo tipo di compiti da molto tempo :) Ti svelo un segreto, anch'io. Soprattutto dopo aver finito di lavorare teoria del campo.

Soluzione: poiché una variabile casuale può assumere solo uno dei tre valori, si formano gli eventi corrispondenti gruppo completo, il che significa che la somma delle loro probabilità è uguale a uno:

Smascherare il “partigiano”:

– quindi, la probabilità di vincere unità convenzionali è 0,4.

Controllo: questo è ciò di cui dovevamo essere sicuri.

Risposta:

Non è raro che tu stesso debba redigere una legge sulla distribuzione. Per questo usano definizione classica di probabilità, teoremi di moltiplicazione/addizione per la probabilità di eventi e altri chip tervera:

Esempio 2

La scatola contiene 50 biglietti della lotteria, di cui 12 vincenti, 2 di essi vincono 1000 rubli ciascuno e il resto 100 rubli ciascuno. Elabora una legge per la distribuzione di una variabile casuale: l'entità della vincita, se un biglietto viene estratto a caso dalla scatola.

Soluzione: come hai notato, i valori di una variabile casuale vengono solitamente inseriti in ordine crescente. Pertanto, iniziamo con la vincita più piccola, ovvero i rubli.

Ci sono 50 biglietti di questo tipo in totale - 12 = 38 e secondo definizione classica:
– la probabilità che un biglietto estratto a caso risulti perdente.

In altri casi tutto è semplice. La probabilità di vincere rubli è:

Controlla: – e questo è un momento particolarmente piacevole di tali compiti!

Risposta: la legge desiderata di distribuzione delle vincite:

Il seguente compito spetta a te risolverlo da solo:

Esempio 3

La probabilità che il tiratore colpisca il bersaglio è . Elabora una legge di distribuzione per una variabile casuale: il numero di colpi dopo 2 colpi.

...sapevo che ti era mancato :) Ricordiamolo Teoremi di moltiplicazione e addizione. La soluzione e la risposta sono alla fine della lezione.

La legge della distribuzione descrive completamente una variabile casuale, ma in pratica può essere utile (e talvolta più utile) conoscerne solo alcune caratteristiche numeriche .

Aspettativa di una variabile casuale discreta

A proposito di in un linguaggio semplice, Questo valore medio atteso quando il test viene ripetuto più volte. Lascia che la variabile casuale assuma valori con probabilità rispettivamente. Quindi l'aspettativa matematica di questa variabile casuale è uguale a somma di prodotti tutti i suoi valori alle probabilità corrispondenti:

o compresso:

Calcoliamo, ad esempio, l'aspettativa matematica di una variabile casuale - il numero di punti lanciati su un dado:

Ora ricordiamo il nostro ipotetico gioco:

La domanda sorge spontanea: è davvero redditizio giocare a questo gioco? ...chi ha qualche impressione? Quindi non puoi dirlo “disinvolto”! Ma a questa domanda si può facilmente rispondere calcolando l'aspettativa matematica, essenzialmente: media ponderata per probabilità di vincita:

Quindi, l'aspettativa matematica di questo gioco perdere.

Non fidarti delle tue impressioni: fidati dei numeri!

Sì, qui puoi vincere 10 o anche 20-30 volte di seguito, ma alla lunga ci aspetta un'inevitabile rovina. E non ti consiglierei di giocare a giochi del genere :) Beh, forse solo per divertimento.

Da tutto quanto sopra ne consegue che l'aspettativa matematica non è più un valore CASUALE.

Compito creativo per la ricerca indipendente:

Esempio 4

Il signor X gioca alla roulette europea utilizzando il seguente sistema: scommette costantemente 100 rubli sul “rosso”. Elabora una legge di distribuzione di una variabile casuale: le sue vincite. Calcola l'aspettativa matematica di vincita e arrotondala al centesimo più vicino. Quanti media Il giocatore perde per ogni cento che scommette?

Riferimento : La roulette europea contiene 18 settori rossi, 18 neri e 1 verde (“zero”). Se appare un “rosso”, il giocatore viene pagato il doppio della scommessa, altrimenti va alle entrate del casinò

Esistono molti altri sistemi di roulette per i quali puoi creare le tue tabelle di probabilità. Ma questo è il caso in cui non abbiamo bisogno di leggi o tabelle di distribuzione, perché è stabilito con certezza che l’aspettativa matematica del giocatore sarà esattamente la stessa. L'unica cosa che cambia da sistema a sistema è