Qual è un altro nome per il numero pi greco? Qual è il numero PI e cosa significa? Breve storia del calcolo del π

introduzione

L'articolo contiene formule matematiche, quindi per leggerlo andate sul sito per visualizzarle correttamente. Il numero \(\pi\) ha una ricca storia. Questa costante denota il rapporto tra la circonferenza di un cerchio e il suo diametro.

Nella scienza, il numero \(\pi \) viene utilizzato in tutti i calcoli che coinvolgono i cerchi. A partire dal volume di una lattina di soda, fino alle orbite dei satelliti. E non solo cerchi. Nello studio delle linee curve, infatti, il numero \(\pi \) aiuta a comprendere i sistemi periodici e oscillatori. Ad esempio, le onde elettromagnetiche e persino la musica.

Nel 1706, nel libro A New Introduction to Mathematics dello scienziato britannico William Jones (1675-1749), la lettera dell'alfabeto greco \(\pi\) fu usata per la prima volta per rappresentare il numero 3.141592.... Questa designazione deriva dalla lettera iniziale delle parole greche περιϕερεια - cerchio, periferia e περιμετρoς - perimetro. La designazione divenne generalmente accettata dopo il lavoro di Leonhard Euler nel 1737.

Periodo geometrico

La costanza del rapporto tra la lunghezza di un cerchio e il suo diametro è stata notata da molto tempo. Gli abitanti della Mesopotamia usavano un'approssimazione piuttosto approssimativa del numero \(\pi\). Come risulta dai problemi antichi, usano il valore \(\pi ≈ 3\) nei loro calcoli.

Un valore più preciso per \(\pi\) veniva utilizzato dagli antichi egizi. A Londra e New York sono conservati due pezzi di antico papiro egiziano, chiamati “papiro Rinda”. Il papiro fu compilato dallo scriba Armes tra il 2000 e il 1700. aC Armes scrisse nel suo papiro che l'area di un cerchio con raggio \(r\) è uguale all'area di un quadrato con lato uguale a \(\frac(8)(9) \) di il diametro del cerchio \(\frac(8 )(9) \cdot 2r \), cioè \(\frac(256)(81) \cdot r^2 = \pi r^2 \). Quindi \(\pi = 3,16\).

L'antico matematico greco Archimede (287-212 a.C.) fu il primo a porre su basi scientifiche il problema della misurazione di un cerchio. Ha ricevuto un punteggio di \(3\frac(10)(71)< \pi < 3\frac{1}{7}\), рассмотрев отношение периметров вписанного и описанного 96-угольника к диаметру окружности. Архимед выразил приближение числа \(\pi \) в виде дроби \(\frac{22}{7}\), которое до сих называется архимедовым числом.

Il metodo è abbastanza semplice, ma in assenza di tabelle già pronte di funzioni trigonometriche, sarà necessaria l'estrazione delle radici. Inoltre, l'approssimazione converge a \(\pi \) molto lentamente: ad ogni iterazione l'errore diminuisce solo di quattro volte.

Periodo analitico

Nonostante ciò, fino alla metà del XVII secolo, tutti i tentativi degli scienziati europei di calcolare il numero \(\pi\) si riducevano all'aumento dei lati del poligono. Ad esempio, il matematico olandese Ludolf van Zeijlen (1540-1610) calcolò il valore approssimativo del numero \(\pi\) con una precisione di 20 cifre decimali.

Gli ci sono voluti 10 anni per calcolare. Raddoppiando il numero dei lati dei poligoni inscritti e circoscritti secondo il metodo di Archimede, arrivò a \(60 \cdot 2^(29) \) - un triangolo per calcolare \(\pi \) con 20 cifre decimali.

Dopo la sua morte, nei suoi manoscritti furono scoperte altre 15 cifre esatte del numero \(\pi\). Ludolf lasciò in eredità che i segni che trovò fossero scolpiti sulla sua lapide. In suo onore, il numero \(\pi\) veniva talvolta chiamato "numero di Ludolf" o "costante di Ludolf".

Uno dei primi a introdurre un metodo diverso da quello di Archimede fu François Viète (1540-1603). Arrivò alla conclusione che un cerchio il cui diametro è uguale a uno ha un'area:

\[\frac(1)(2 \sqrt(\frac(1)(2)) \cdot \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt(\frac(1 )(2)) \cdot \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt ( \frac(1)(2) \cdots )))) \]

D'altra parte, l'area è \(\frac(\pi)(4)\). Sostituendo e semplificando l'espressione, possiamo ottenere la seguente formula di prodotto infinito per calcolare il valore approssimativo di \(\frac(\pi)(2)\):

\[\frac(\pi)(2) = \frac(2)(\sqrt(2)) \cdot \frac(2)(\sqrt(2 + \sqrt(2))) \cdot \frac(2 )(\sqrt(2+ \sqrt(2 + \sqrt(2)))) \cdots \]

La formula risultante è la prima espressione analitica esatta per il numero \(\pi\). Oltre a questa formula Viet, utilizzando il metodo di Archimede, diede, utilizzando poligoni inscritti e circoscritti, iniziando con un 6-gono e terminando con un poligono con \(2^(16) \cdot 6 \) lati, un'approssimazione del numero \(\pi \) con 9 con i segni giusti.

Il matematico inglese William Brounker (1620-1684), utilizzando la frazione continua, ottenne i seguenti risultati per il calcolo di \(\frac(\pi)(4)\:

\[\frac(4)(\pi) = 1 + \frac(1^2)(2 + \frac(3^2)(2 + \frac(5^2)(2 + \frac(7^2 ) )(2 + \frac(9^2)(2 + \frac(11^2)(2 + \cdots )))))) \]

Questo metodo per calcolare l'approssimazione del numero \(\frac(4)(\pi)\) richiede molti calcoli per ottenere anche una piccola approssimazione.

I valori ottenuti come risultato della sostituzione sono maggiori o minori del numero \(\pi\), e ogni volta si avvicinano al valore reale, ma per ottenere il valore 3.141592 sarà necessario eseguire operazioni piuttosto grandi calcoli.

Un altro matematico inglese John Machin (1686-1751) nel 1706, per calcolare il numero \(\pi\) con 100 cifre decimali, utilizzò la formula derivata da Leibniz nel 1673 e la applicò come segue:

\[\frac(\pi)(4) = 4 arctg\frac(1)(5) – arctg\frac(1)(239) \]

La serie converge rapidamente e con il suo aiuto puoi calcolare il numero \(\pi \) con grande precisione. Questi tipi di formule sono state utilizzate per stabilire diversi record durante l'era dei computer.

Nel XVII secolo con l'inizio del periodo della matematica a valori variabili, iniziò una nuova fase nel calcolo di \(\pi\). Il matematico tedesco Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) nel 1673 trovò una scomposizione del numero \(\pi\), in generale si può scrivere come la seguente serie infinita:

\[ \pi = 1 – 4(\frac(1)(3) + \frac(1)(5) – \frac(1)(7) + \frac(1)(9) – \frac(1) (11) + \cdots) \]

La serie si ottiene sostituendo x = 1 in \(arctg x = x – \frac(x^3)(3) + \frac(x^5)(5) – \frac(x^7)(7) + \frac (x^9)(9) – \cdots\)

Leonhard Euler sviluppa l'idea di Leibniz nei suoi lavori sull'uso delle serie per l'arco x nel calcolo del numero \(\pi\). Il trattato "De variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi" (Sui vari metodi per esprimere la quadratura del cerchio con numeri approssimati), scritto nel 1738, discute i metodi per migliorare i calcoli utilizzando la formula di Leibniz.

Eulero scrive che la serie dell'arcotangente convergerà più velocemente se l'argomento tende a zero. Per \(x = 1\), la convergenza della serie è molto lenta: per calcolare con una precisione di 100 cifre è necessario aggiungere \(10^(50)\) termini della serie. È possibile velocizzare i calcoli diminuendo il valore dell'argomento. Se prendiamo \(x = \frac(\sqrt(3))(3)\), otteniamo la serie

\[ \frac(\pi)(6) = artctg\frac(\sqrt(3))(3) = \frac(\sqrt(3))(3)(1 – \frac(1)(3 \cdot 3) + \frac(1)(5 \cdot 3^2) – \frac(1)(7 \cdot 3^3) + \cdots) \]

Secondo Eulero, se prendiamo 210 termini di questa serie, otterremo 100 cifre corrette del numero. La serie risultante è scomoda perché è necessario conoscere un valore abbastanza accurato del numero irrazionale \(\sqrt(3)\). Eulero usò anche nei suoi calcoli l'espansione degli arcotangenti nella somma degli arcotangenti di argomenti più piccoli:

\[dove x = n + \frac(n^2-1)(m-n), y = m + p, z = m + \frac(m^2+1)(p) \]

Non tutte le formule per calcolare \(\pi\) utilizzate da Eulero nei suoi taccuini furono pubblicate. In articoli e quaderni pubblicati, ha considerato 3 diverse serie per il calcolo dell'arcotangente e ha anche fatto molte affermazioni riguardo al numero di termini sommabili necessari per ottenere un valore approssimativo di \(\pi\) con una data precisione.

Negli anni successivi i miglioramenti al valore del numero \(\pi\) avvennero sempre più velocemente. Ad esempio, nel 1794 Georg Vega (1754-1802) individuò già 140 segni, di cui solo 136 risultarono corretti.

Periodo di calcolo

Il XX secolo è stato caratterizzato da una fase completamente nuova nel calcolo del numero \(\pi\). Il matematico indiano Srinivasa Ramanujan (1887-1920) scoprì molte nuove formule per \(\pi\). Nel 1910 ottenne una formula per calcolare \(\pi\) attraverso l'espansione dell'arcotangente in una serie di Taylor:

\[\pi = \frac(9801)(2\sqrt(2) \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac((1103+26390k) \cdot (4k){(4\cdot99)^{4k} (k!)^2}} .\]!}

Con k=100 si ottiene una precisione di 600 cifre corrette del numero \(\pi\).

L'avvento dei computer ha permesso di aumentare significativamente la precisione dei valori ottenuti in tempi più brevi. Nel 1949, in sole 70 ore, utilizzando l'ENIAC, un gruppo di scienziati guidati da John von Neumann (1903-1957) ottenne 2037 cifre decimali per il numero \(\pi\). Nel 1987 David e Gregory Chudnovsky ottennero una formula con la quale riuscirono a stabilire diversi record nel calcolo di \(\pi\):

\[\frac(1)(\pi) = \frac(1)(426880\sqrt(10005)) \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac((6k)!(13591409+545140134k ))((3k)!(k!)^3(-640320)^(3k)).\]

Ogni membro della serie fornisce 14 cifre. Nel 1989 furono ottenute 1.011.196.691 cifre decimali. Questa formula è adatta per calcolare \(\pi \) sui personal computer. Attualmente i fratelli sono professori al Polytechnic Institute della New York University.

Un importante sviluppo recente è stata la scoperta della formula nel 1997 da parte di Simon Plouffe. Permette di estrarre qualsiasi cifra esadecimale del numero \(\pi\) senza calcolare quelle precedenti. La formula è chiamata “Formula Bailey-Borwain-Plouffe” in onore degli autori dell'articolo in cui la formula fu pubblicata per la prima volta. Sembra questo:

\[\pi = \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac(1)(16^k) (\frac(4)(8k+1) – \frac(2)(8k+4 ) – \frac(1)(8k+5) – \frac(1)(8k+6)) .\]

Nel 2006, Simon, utilizzando PSLQ, ha inventato alcune formule interessanti per calcolare \(\pi\). Per esempio,

\[ \frac(\pi)(24) = \sum\limits_(n=1)^(\infty) \frac(1)(n) (\frac(3)(q^n – 1) – \frac (4)(q^(2n) -1) + \frac(1)(q^(4n) -1)), \]

\[ \frac(\pi^3)(180) = \sum\limits_(n=1)^(\infty) \frac(1)(n^3) (\frac(4)(q^(2n) – 1) – \frac(5)(q^(2n) -1) + \frac(1)(q^(4n) -1)), \]

dove \(q = e^(\pi)\). Nel 2009, gli scienziati giapponesi, utilizzando il supercomputer T2K Tsukuba System, hanno ottenuto il numero \(\pi\) con 2.576.980.377.524 cifre decimali. I calcoli hanno richiesto 73 ore e 36 minuti. Il computer era dotato di 640 processori AMD Opteron quad-core, che fornivano prestazioni di 95 trilioni di operazioni al secondo.

Il successivo risultato nel calcolo di \(\pi\) appartiene al programmatore francese Fabrice Bellard, che alla fine del 2009, sul suo personal computer con Fedora 10, ha stabilito un record calcolando 2.699.999.990.000 cifre decimali del numero \(\pi\ ). Negli ultimi 14 anni, questo è il primo record mondiale stabilito senza l'uso di un supercomputer. Per ottenere prestazioni elevate, Fabrice ha utilizzato la formula dei fratelli Chudnovsky. In totale, il calcolo ha richiesto 131 giorni (103 giorni di calcoli e 13 giorni di verifica del risultato). Il risultato di Bellar ha dimostrato che tali calcoli non richiedono un supercomputer.

Solo sei mesi dopo, il record di Francois fu battuto dagli ingegneri Alexander Yi e Singer Kondo. Per stabilire il record di 5 trilioni di cifre decimali di \(\pi\), è stato utilizzato anche un personal computer, ma con caratteristiche più impressionanti: due processori Intel Xeon X5680 a 3,33 GHz, 96 GB di RAM, 38 TB di memoria su disco e sistema operativo Windows Server 2008 R2 Enterprise x64. Per i calcoli, Alexander e Singer hanno utilizzato la formula dei fratelli Chudnovsky. Il processo di calcolo ha richiesto 90 giorni e 22 TB di spazio su disco. Nel 2011 stabilirono un altro record calcolando 10 trilioni di cifre decimali per il numero \(\pi\). I calcoli hanno avuto luogo sullo stesso computer su cui era stato impostato il record precedente e hanno richiesto un totale di 371 giorni. Alla fine del 2013, Alexander e Singerou hanno migliorato il record portandolo a 12,1 trilioni di cifre del numero \(\pi\), per il cui calcolo hanno impiegato solo 94 giorni. Questo miglioramento delle prestazioni si ottiene ottimizzando le prestazioni del software, aumentando il numero di core del processore e migliorando significativamente la tolleranza agli errori del software.

Il record attuale è quello di Alexander Yee e Singer Kondo, ovvero 12,1 trilioni di cifre decimali \(\pi\).

Pertanto, abbiamo esaminato i metodi per calcolare il numero \(\pi\) utilizzati nei tempi antichi, i metodi analitici e anche i metodi moderni e i documenti per calcolare il numero \(\pi\) sui computer.

Elenco delle fonti

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6. Shumikhin, S. Numero Pi. Una storia di 4000 anni / S. Shumikhin, A. Shumikhina. – M.: Eksmo, 2011. – 192 pag.
7. Borwein, J.M. Ramanujan e il numero Pi. / Borwein, J.M., Borwein P.B. Nel mondo della scienza. 1988 – N. 4. – pp. 58-66.
8. Alex Yee. Mondo dei numeri. Modalità di accesso: numberworld.org

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Raccontare

Pi è uno dei concetti matematici più popolari. Su di lui si scrivono immagini, si girano film, lo si suona con strumenti musicali, gli si dedicano poesie e vacanze, lo si cerca e si trova nei testi sacri.

Chi ha scoperto il pi greco?

Chi e quando scoprì per la prima volta il numero π rimane ancora un mistero. È noto che i costruttori dell'antica Babilonia ne fecero già pieno uso nella loro progettazione. Le tavolette cuneiformi risalenti a migliaia di anni conservano persino problemi che si proponeva di risolvere utilizzando π. È vero, allora si credeva che π fosse uguale a tre. Ciò è testimoniato da una tavoletta rinvenuta nella città di Susa, a duecento chilometri da Babilonia, dove il numero π era indicato come 3 1/8.

Nel processo di calcolo di π, i babilonesi scoprirono che il raggio di un cerchio come corda vi entra sei volte e divisero il cerchio in 360 gradi. E allo stesso tempo hanno fatto lo stesso con l'orbita del sole. Pertanto, hanno deciso di considerare che in un anno ci sono 360 giorni.

Nell'antico Egitto, π era pari a 3,16.
Nell'antica India - 3.088.
In Italia, a cavallo dell'epoca, si credeva che π fosse pari a 3,125.

Nell'antichità, la prima menzione di π si riferisce al famoso problema della quadratura del cerchio, cioè all'impossibilità di utilizzare compasso e righello per costruire un quadrato la cui area sia uguale all'area di un certo cerchio. Archimede equiparava π alla frazione 22/7.

Le persone più vicine al valore esatto di π sono arrivate in Cina. È stato calcolato nel V secolo d.C. e. famoso astronomo cinese Tzu Chun Zhi. π è stato calcolato in modo abbastanza semplice. Bisognava scrivere due volte i numeri dispari: 11 33 55, e poi, dividendoli a metà, porre il primo al denominatore della frazione, e il secondo al numeratore: 355/113. Il risultato concorda con i calcoli moderni di π fino alla settima cifra.

Perché π – π?

Ora anche gli scolari sanno che il numero π è una costante matematica pari al rapporto tra la circonferenza di un cerchio e la lunghezza del suo diametro ed è uguale a π 3,1415926535 ... e poi dopo il punto decimale - all'infinito.

Il numero acquisì la designazione π in modo complesso: inizialmente, nel 1647, il matematico Outrade usò questa lettera greca per descrivere la lunghezza di un cerchio. Ha preso la prima lettera della parola greca περιφέρεια - "periferia". Nel 1706, l'insegnante inglese William Jones nella sua opera "Review of the Achievements of Mathematics" chiamava già il rapporto tra la circonferenza di un cerchio e il suo diametro con la lettera π. E il nome fu consolidato dal matematico del XVIII secolo Leonard Euler, davanti alla cui autorità gli altri chinarono la testa. Quindi π è diventato π.

Unicità del numero

Pi è un numero davvero unico.

1. Gli scienziati ritengono che il numero di cifre del numero π sia infinito. La loro sequenza non si ripete. Inoltre, nessuno sarà mai in grado di trovare ripetizioni. Poiché il numero è infinito, può contenere assolutamente tutto, anche una sinfonia di Rachmaninoff, l'Antico Testamento, il tuo numero di telefono e l'anno in cui avverrà l'Apocalisse.

2. π è associato alla teoria del caos. Gli scienziati sono giunti a questa conclusione dopo aver creato il programma per computer di Bailey, che ha dimostrato che la sequenza di numeri in π è assolutamente casuale, il che è coerente con la teoria.

3. È quasi impossibile calcolare completamente il numero: richiederebbe troppo tempo.

4. π è un numero irrazionale, cioè il suo valore non può essere espresso come frazione.

5. π – numero trascendente. Non può essere ottenuto eseguendo operazioni algebriche sugli interi.

6. Trentanove cifre decimali nel numero π sono sufficienti per calcolare la lunghezza del cerchio che circonda gli oggetti cosmici conosciuti nell'Universo, con un errore del raggio di un atomo di idrogeno.

7. Il numero π è associato al concetto di “sezione aurea”. Durante il processo di misurazione della Grande Piramide di Giza, gli archeologi hanno scoperto che la sua altezza è correlata alla lunghezza della sua base, proprio come il raggio di un cerchio è correlato alla sua lunghezza.

Record relativi a π

Nel 2010, il matematico di Yahoo Nicholas Zhe è riuscito a calcolare due quadrilioni di cifre decimali (2x10) nel numero π. Ci sono voluti 23 giorni e il matematico aveva bisogno di molti assistenti che lavoravano su migliaia di computer, uniti utilizzando la tecnologia informatica distribuita. Il metodo ha permesso di eseguire calcoli a una velocità così fenomenale. Per calcolare la stessa cosa su un singolo computer occorrerebbero più di 500 anni.

Per scrivere tutto questo semplicemente su carta, ci vorrebbe un nastro di carta lungo più di due miliardi di chilometri. Se si espande tale record, la sua fine andrà oltre il sistema solare.

Il cinese Liu Chao ha stabilito un record per aver memorizzato la sequenza di cifre del numero π. Nel giro di 24 ore e 4 minuti, Liu Chao ha pronunciato 67.890 cifre decimali senza commettere un solo errore.

π ha molti fan. Si suona con strumenti musicali e si scopre che "suona" in modo eccellente. Lo ricordano e escogitano varie tecniche per questo. Per divertimento, lo scaricano sul proprio computer e si vantano tra loro di chi ha scaricato di più. Gli vengono eretti monumenti. Ad esempio, esiste un monumento del genere a Seattle. Si trova sulla scalinata di fronte al Museo d'Arte.

π è utilizzato nelle decorazioni e nell'interior design. A lui sono dedicate poesie, è cercato nei libri sacri e negli scavi. Esiste addirittura un “Club π”.
Nella migliore tradizione del π, non uno, ma due giorni interi all'anno sono dedicati al numero! La prima volta che si celebra il π Day è il 14 marzo. Dovete congratularvi a vicenda esattamente a 1 ora, 59 minuti e 26 secondi. Pertanto, la data e l'ora corrispondono alle prime cifre del numero: 3.1415926.

Per la seconda volta, la festa π viene celebrata il 22 luglio. Questo giorno è associato al cosiddetto “π approssimativo”, che Archimede scrisse come frazione.
Di solito in questo giorno, studenti, scolari e scienziati organizzano flash mob e azioni divertenti. I matematici, divertendosi, usano π per calcolare le leggi di un panino che cade e si scambiano ricompense comiche.
E comunque, π si trova effettivamente nei libri sacri. Ad esempio, nella Bibbia. E lì il numero π è uguale a... tre.

A cosa è uguale Pi? sappiamo e ricordiamo dalla scuola. È uguale a 3,1415926 e così via... A una persona comune è sufficiente sapere che questo numero si ottiene dividendo la circonferenza di un cerchio per il suo diametro. Ma molte persone sanno che il numero Pi appare in aree inaspettate non solo della matematica e della geometria, ma anche della fisica. Bene, se approfondisci i dettagli della natura di questo numero, noterai molte cose sorprendenti tra le infinite serie di numeri. È possibile che Pi nasconda i segreti più profondi dell'universo?

Numero infinito

Il numero Pi stesso appare nel nostro mondo come la lunghezza di un cerchio il cui diametro è uguale a uno. Ma, nonostante il segmento uguale a Pi sia abbastanza finito, il numero Pi inizia con 3,1415926 e va all'infinito in file di numeri che non si ripetono mai. Il primo fatto sorprendente è che questo numero, utilizzato in geometria, non può essere espresso come frazione di numeri interi. In altre parole, non puoi scriverlo come il rapporto tra due numeri a/b. Inoltre, il numero Pi è trascendentale. Ciò significa che non esiste un'equazione (polinomio) a coefficienti interi la cui soluzione sarebbe il numero Pi.

La trascendenza del numero Pi fu dimostrata nel 1882 dal matematico tedesco von Lindemann. È stata questa prova che è diventata la risposta alla domanda se sia possibile, usando un compasso e un righello, disegnare un quadrato la cui area è uguale all'area di un dato cerchio. Questo problema è noto come la ricerca della quadratura del cerchio, che preoccupa l'umanità fin dai tempi antichi. Sembrava che questo problema avesse una soluzione semplice e stesse per essere risolto. Ma fu proprio l'incomprensibile proprietà del numero Pi a dimostrare che non esisteva soluzione al problema della quadratura del cerchio.

Da almeno quattro millenni e mezzo l’umanità cerca di ottenere un valore sempre più accurato del Pi greco. Ad esempio, nella Bibbia nel Terzo Libro dei Re (7:23), il numero Pi è considerato 3.

Il valore Pi di notevole precisione si trova nelle piramidi di Giza: il rapporto tra perimetro e altezza delle piramidi è 22/7. Questa frazione dà un valore approssimativo di Pi pari a 3,142... A meno che, ovviamente, gli egiziani non abbiano impostato questo rapporto per sbaglio. Lo stesso valore era già ottenuto in relazione al calcolo del numero Pi nel III secolo aC dal grande Archimede.

Nel Papiro di Ahmes, un antico libro di testo di matematica egiziano che risale al 1650 a.C., Pi è calcolato come 3,160493827.

Negli antichi testi indiani intorno al IX secolo a.C., il valore più accurato era espresso dal numero 339/108, che era pari a 3,1388...

Per quasi duemila anni dopo Archimede, le persone cercarono di trovare modi per calcolare il Pi greco. Tra loro c'erano matematici famosi e sconosciuti. Ad esempio, l'architetto romano Marco Vitruvio Pollione, l'astronomo egiziano Claudio Tolomeo, il matematico cinese Liu Hui, il saggio indiano Aryabhata, il matematico medievale Leonardo da Pisa, detto Fibonacci, lo scienziato arabo Al-Khwarizmi, dal cui nome deriva la parola È apparso "algoritmo". Tutti loro e molte altre persone cercavano i metodi più accurati per calcolare il Pi greco, ma fino al XV secolo non ottennero mai più di 10 cifre decimali a causa della complessità dei calcoli.

Infine, nel 1400, il matematico indiano Madhava di Sangamagram calcolò il Pi greco con una precisione di 13 cifre (anche se si sbagliava ancora nelle ultime due).

Numero di segni

Nel XVII secolo, Leibniz e Newton scoprirono l'analisi delle quantità infinitesime, che permise di calcolare Pi in modo più progressivo, attraverso serie di potenze e integrali. Lo stesso Newton calcolò 16 cifre decimali, ma non lo menzionò nei suoi libri: questo divenne noto dopo la sua morte. Newton affermò di aver calcolato Pi solo per noia.

Nello stesso periodo si fecero avanti anche altri matematici meno conosciuti che proposero nuove formule per calcolare il numero Pi attraverso funzioni trigonometriche.

Ad esempio, questa è la formula utilizzata per calcolare Pi greco dall'insegnante di astronomia John Machin nel 1706: PI / 4 = 4arctg(1/5) – arctg(1/239). Utilizzando metodi analitici, Machin derivò da questa formula il numero Pi fino a cento cifre decimali.

A proposito, nello stesso 1706, il numero Pi ricevette una designazione ufficiale sotto forma di lettera greca: William Jones lo usò nel suo lavoro sulla matematica, prendendo la prima lettera della parola greca "periferia", che significa "cerchio .” Il grande Leonhard Euler, nato nel 1707, rese popolare questa denominazione, ormai nota a qualsiasi scolaro.

Prima dell’era dei computer, i matematici si concentravano sul calcolo del maggior numero possibile di segni. A questo proposito, a volte sono emerse cose divertenti. Il matematico dilettante W. Shanks calcolò 707 cifre del Pi greco nel 1875. Questi settecento segni furono immortalati sul muro del Palais des Discoverys a Parigi nel 1937. Tuttavia, nove anni dopo, matematici attenti scoprirono che solo i primi 527 caratteri erano stati calcolati correttamente. Il museo ha dovuto sostenere spese ingenti per correggere l'errore: ora tutte le cifre sono corrette.

Quando apparvero i computer, il numero di cifre del Pi cominciò a essere calcolato in ordini completamente inimmaginabili.

Uno dei primi computer elettronici, l'ENIAC, creato nel 1946, era di dimensioni enormi e generava così tanto calore che la stanza si riscaldava fino a 50 gradi Celsius, calcolando le prime 2037 cifre del Pi greco. Questo calcolo ha richiesto alla macchina 70 ore.

Con il miglioramento dei computer, la nostra conoscenza del Pi si è spostata sempre più verso l’infinito. Nel 1958 furono calcolate 10mila cifre del numero. Nel 1987 i giapponesi calcolarono 10.013.395 caratteri. Nel 2011, il ricercatore giapponese Shigeru Hondo ha superato la soglia dei 10mila miliardi di caratteri.

Dove altro puoi incontrare Pi?

Quindi, spesso la nostra conoscenza del numero Pi rimane a livello scolastico e sappiamo per certo che questo numero è insostituibile principalmente in geometria.

Oltre alle formule per la lunghezza e l'area di un cerchio, il numero Pi viene utilizzato nelle formule per ellissi, sfere, coni, cilindri, ellissoidi e così via: in alcuni punti le formule sono semplici e facili da ricordare, ma in altri contengono integrali molto complessi.

Quindi possiamo incontrare il numero Pi nelle formule matematiche, dove, a prima vista, la geometria non è visibile. Ad esempio, l'integrale indefinito di 1/(1-x^2) è uguale a Pi.

Pi è spesso utilizzato nell'analisi in serie. Ad esempio, ecco una serie semplice che converge a Pi:

1/1 – 1/3 + 1/5 – 1/7 + 1/9 – …. = PI/4

Tra le serie, Pi appare in modo più inaspettato nella famosa funzione zeta di Riemann. È impossibile parlarne in poche parole, diciamo solo che un giorno il numero Pi aiuterà a trovare una formula per calcolare i numeri primi.

E in modo assolutamente sorprendente: Pi appare in due delle più belle formule "reali" della matematica: la formula di Stirling (che aiuta a trovare il valore approssimativo della funzione fattoriale e gamma) e la formula di Eulero (che collega fino a cinque costanti matematiche).

Tuttavia, la scoperta più inaspettata attendeva i matematici nella teoria della probabilità. C'è anche il numero Pi.

Ad esempio, la probabilità che due numeri siano primi tra loro è 6/PI^2.

Pi appare nel problema del lancio dell'ago di Buffon, formulato nel XVIII secolo: qual è la probabilità che un ago lanciato su un pezzo di carta a righe attraversi una delle linee. Se la lunghezza dell'ago è L e la distanza tra le linee è L e r > L, allora possiamo calcolare approssimativamente il valore di Pi utilizzando la formula di probabilità 2L/rPI. Immagina: possiamo ottenere Pi da eventi casuali. E a proposito, Pi è presente nella normale distribuzione di probabilità, appare nell'equazione della famosa curva gaussiana. Ciò significa che il Pi greco è ancora più fondamentale del semplice rapporto tra circonferenza e diametro?

Possiamo anche incontrare Pi in fisica. Il Pi appare nella legge di Coulomb, che descrive la forza di interazione tra due cariche, nella terza legge di Keplero, che mostra il periodo di rivoluzione di un pianeta attorno al Sole, e appare anche nella disposizione degli orbitali elettronici dell'atomo di idrogeno. E ciò che è ancora più incredibile è che il numero Pi è nascosto nella formula del principio di indeterminazione di Heisenberg, la legge fondamentale della fisica quantistica.

I segreti di Pi

Nel romanzo Contact di Carl Sagan, da cui è tratto l'omonimo film, gli alieni raccontano all'eroina che tra i segni di Pi c'è un messaggio segreto di Dio. Da una certa posizione, i numeri nel numero cessano di essere casuali e rappresentano un codice in cui sono scritti tutti i segreti dell'Universo.

Questo romanzo riflette in realtà un mistero che ha occupato le menti dei matematici di tutto il mondo: Pi è un numero normale in cui le cifre sono sparse con uguale frequenza, o c'è qualcosa che non va in questo numero? E sebbene gli scienziati siano propensi alla prima opzione (ma non possano dimostrarla), il numero Pi sembra molto misterioso. Un giapponese una volta calcolò quante volte i numeri da 0 a 9 ricorrono nei primi trilioni di cifre del Pi greco. E ho visto che i numeri 2, 4 e 8 erano più comuni degli altri. Questo potrebbe essere uno degli indizi che Pi non è del tutto normale, e i numeri in esso contenuti non sono infatti casuali.

Ricordiamo tutto ciò che abbiamo letto sopra e chiediamoci: quale altro numero irrazionale e trascendente si trova così spesso nel mondo reale?

E ci sono altre stranezze in serbo. Ad esempio, la somma delle prime venti cifre del Pi greco è 20, e la somma delle prime 144 cifre è uguale al “numero della bestia” 666.

Il personaggio principale della serie televisiva americana "Suspect", il professor Finch, ha detto agli studenti che, a causa dell'infinito del numero Pi, è possibile trovare qualsiasi combinazione di numeri, dai numeri della data di nascita a numeri più complessi . Ad esempio, nella posizione 762 c'è una sequenza di sei nove. Questa posizione è chiamata punto di Feynman dal nome del famoso fisico che notò questa interessante combinazione.

Sappiamo anche che il numero Pi contiene la sequenza 0123456789, ma si trova alla cifra 17.387.594.880.

Tutto ciò significa che nell'infinito del numero Pi si possono trovare non solo interessanti combinazioni di numeri, ma anche il testo codificato di "Guerra e Pace", la Bibbia e persino il Principale Segreto dell'Universo, se tale esiste.

A proposito, riguardo alla Bibbia. Il famoso divulgatore della matematica, Martin Gardner, affermò nel 1966 che la milionesima cifra del Pi greco (all'epoca ancora sconosciuta) sarebbe il numero 5. Spiegò i suoi calcoli con il fatto che nella versione inglese della Bibbia, nel 3° libro, 14° capitolo, 16 versetto (3-14-16) la settima parola contiene cinque lettere. La milionesima cifra venne raggiunta otto anni dopo. Era il numero cinque.

Vale la pena affermare dopo questo che il numero Pi è casuale?

Per calcolare un numero elevato di segni del pi greco il metodo precedente non è più adatto. Ma ci sono un gran numero di sequenze che convergono verso Pi molto più velocemente. Usiamo, ad esempio, la formula di Gauss:

La dimostrazione di questa formula non è difficile, quindi la ometteremo.

Codice sorgente del programma, inclusa "aritmetica lunga"

Il programma calcola NbDigits delle prime cifre di Pi. La funzione per calcolare l'arcotan si chiama arccot, poiché arctan(1/p) = arccot(p), ma il calcolo viene eseguito secondo la formula di Taylor specifica per l'arcotangente, ovvero arctan(x) = x - x 3 /3 + x 5 /5 - . .. x=1/p, che significa arccot(x) = 1/p - 1 / p 3 / 3 + ... I calcoli avvengono in modo ricorsivo: l'elemento precedente della somma viene diviso e dà il prossimo.