In matematica, quando si considera un triangolo, viene prestata molta attenzione ai suoi lati. Perché questi elementi formano questa figura geometrica. I lati di un triangolo vengono utilizzati per risolvere molti problemi di geometria.

Definizione del concetto

I segmenti che uniscono tre punti che non giacciono sulla stessa retta si chiamano lati di un triangolo. Gli elementi in esame delimitano una parte del piano, che si chiama interno di questo figura geometrica.

I matematici nei loro calcoli consentono generalizzazioni riguardanti i lati delle figure geometriche. Pertanto, in un triangolo degenere, tre dei suoi segmenti giacciono su una linea retta.

Caratteristiche del concetto

Il calcolo dei lati di un triangolo implica la determinazione di tutti gli altri parametri della figura. Conoscendo la lunghezza di ciascuno di questi segmenti, puoi facilmente calcolare il perimetro, l'area e persino gli angoli del triangolo.

Riso. 1. Triangolo arbitrario.

Sommando i lati di una data figura, puoi determinare il perimetro.

P=a+b+c, dove a, b, c sono i lati del triangolo

E per trovare l'area di un triangolo, dovresti usare la formula di Heron.

$$S=\sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c))$$

Dove p è il semiperimetro.

Gli angoli di una data figura geometrica vengono calcolati utilizzando il teorema del coseno.

$$cos α=((b^2+c^2-a^2)\over(2bc))$$

Senso

Alcune proprietà di questa figura geometrica sono espresse attraverso il rapporto tra i lati di un triangolo:

• Di fronte al lato più piccolo di un triangolo c'è il suo angolo più piccolo.
• L'angolo esterno della figura geometrica in questione si ottiene prolungando uno dei lati.
• Gli angoli opposti uguali di un triangolo sono lati uguali.
• In ogni triangolo uno dei lati è sempre maggiore della differenza degli altri due segmenti. E la somma di due lati qualsiasi di questa figura è maggiore del terzo.

Uno dei segni che due triangoli sono uguali è il rapporto tra la somma di tutti i lati della figura geometrica. Se questi valori sono gli stessi, i triangoli saranno uguali.

Alcune proprietà di un triangolo dipendono dal suo tipo. Pertanto, dovresti prima prendere in considerazione la dimensione dei lati o degli angoli di questa figura.

Formare triangoli

Se i due lati della figura geometrica in questione sono uguali, allora questo triangolo si dice isoscele.

Riso. 2. Triangolo isoscele.

Quando tutti i segmenti di un triangolo sono uguali, ottieni un triangolo equilatero.

Riso. 3. Triangolo equilatero.

È più conveniente eseguire qualsiasi calcolo nei casi in cui un triangolo arbitrario può essere classificato come un tipo specifico. Perché allora trovare il parametro richiesto di questa figura geometrica sarà notevolmente semplificato.

Sebbene un'equazione trigonometrica scelta correttamente consenta di risolvere molti problemi in cui viene considerato un triangolo arbitrario.

Cosa abbiamo imparato?

Tre segmenti collegati da punti e che non appartengono alla stessa retta formano un triangolo. Questi lati formano un piano geometrico, che viene utilizzato per determinare l'area. Usando questi segmenti puoi trovare molte caratteristiche importanti di una figura, come il perimetro e gli angoli. Le proporzioni di un triangolo aiutano a trovarne il tipo. Alcune proprietà di una data figura geometrica possono essere utilizzate solo se si conoscono le dimensioni di ciascuno dei suoi lati.

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I primi sono i segmenti adiacenti all'angolo retto e l'ipotenusa è la parte più lunga della figura e si trova di fronte all'angolo di 90 gradi. Triangolo pitagorico si chiama quello i cui lati sono uguali numeri naturali; le loro lunghezze in questo caso sono chiamate “triplice pitagorico”.

Triangolo egiziano

Affinché l'attuale generazione possa riconoscere la geometria nella forma in cui viene insegnata ora a scuola, essa si è sviluppata nel corso di diversi secoli. Il punto fondamentale è considerato il teorema di Pitagora. I lati di un rettangolo (conosciuti in tutto il mondo) sono 3, 4, 5.

Poche persone non hanno familiarità con la frase “i pantaloni pitagorici sono uguali in tutte le direzioni”. Ma in realtà il teorema suona così: c 2 (quadrato dell'ipotenusa) = a 2 + b 2 (somma dei quadrati dei cateti).

Tra i matematici, un triangolo con i lati 3, 4, 5 (cm, m, ecc.) è chiamato “egiziano”. La cosa interessante è che ciò che è inscritto nella figura è uguale a uno. Il nome nacque intorno al V secolo a.C., quando i filosofi greci si recarono in Egitto.

Durante la costruzione delle piramidi, architetti e geometri utilizzavano il rapporto 3:4:5. Tali strutture si sono rivelate proporzionali, piacevoli da vedere e spaziose, e anche raramente crollate.

Per costruire un angolo retto, i costruttori hanno utilizzato una corda con 12 nodi legati sopra. In questo caso, la probabilità di costruire esattamente triangolo rettangolo aumentato al 95%.

Segni di uguaglianza delle cifre

• Un angolo acuto in un triangolo rettangolo e un lato lungo, che sono uguali agli stessi elementi nel secondo triangolo, sono un segno indiscutibile dell'uguaglianza delle figure. Tenendo conto della somma degli angoli, è facile dimostrare che anche i secondi angoli acuti sono uguali. Pertanto, i triangoli sono identici secondo il secondo criterio.
• Quando sovrapponiamo due figure una sopra l'altra, le ruotiamo in modo che, una volta combinate, diventino un triangolo isoscele. Secondo la sua proprietà, i lati, o meglio le ipotenuse, sono uguali, così come gli angoli alla base, il che significa che queste figure sono le stesse.

Basandosi sul primo segno, è molto semplice dimostrare che i triangoli sono effettivamente uguali, la cosa principale è che i due lati più piccoli (cioè le gambe) sono uguali tra loro.

I triangoli saranno identici secondo il secondo criterio, la cui essenza è l'uguaglianza della gamba e dell'angolo acuto.

Proprietà del triangolo con angolo retto

L'altezza che si abbassa dall'angolo retto divide la figura in due parti uguali.

I lati di un triangolo rettangolo e la sua mediana si riconoscono facilmente dalla regola: la mediana che cade sull'ipotenusa è pari alla metà di essa. può essere trovato sia dalla formula di Erone che dall'affermazione che è uguale alla metà del prodotto delle gambe.

In un triangolo rettangolo valgono le proprietà degli angoli di 30°, 45° e 60°.

• Con un angolo di 30° si tenga presente che la gamba opposta sarà pari a 1/2 del lato maggiore.
• Se l'angolo è 45°, anche il secondo angolo acuto è 45°. Ciò suggerisce che il triangolo è isoscele e che i suoi cateti sono gli stessi.
• La proprietà di un angolo di 60° è che il terzo angolo ha una misura di gradi di 30°.

L’area può essere facilmente individuata utilizzando una delle tre formule:

1. per l'altezza e il lato su cui discende;
2. secondo la formula di Erone;
3. sui lati e l'angolo tra di loro.

I lati di un triangolo rettangolo, o meglio i cateti, convergono con due altezze. Per trovare il terzo, è necessario considerare il triangolo risultante e quindi, utilizzando il teorema di Pitagora, calcolare la lunghezza richiesta. Oltre a questa formula esiste anche una relazione tra il doppio dell'area e la lunghezza dell'ipotenusa. L'espressione più comune tra gli studenti è la prima, poiché richiede meno calcoli.

Teoremi applicabili al triangolo rettangolo

La geometria del triangolo rettangolo prevede l'uso di teoremi come:

Calcolatore in linea.
Risolvere triangoli.

Risolvere un triangolo significa trovare tutti i suoi sei elementi (cioè tre lati e tre angoli) da tre elementi dati qualsiasi che definiscono il triangolo.

Questo programma matematico trova il lato \(c\), gli angoli \(\alpha \) e \(\beta \) dai lati specificati dall'utente \(a, b\) e l'angolo tra loro \(\gamma \)

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Se non hai familiarità con le regole per l'immissione dei numeri, ti consigliamo di familiarizzare con esse.

Regole per l'immissione dei numeri

I numeri possono essere specificati non solo come numeri interi, ma anche come frazioni.
Le parti intere e frazionarie nelle frazioni decimali possono essere separate da un punto o da una virgola.
Ad esempio, puoi inserire decimali quindi 2,5 circa 2,5

Inserisci i lati \(a, b\) e l'angolo tra loro \(\gamma \) Risolvi il triangolo

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Una piccola teoria.

Teorema dei seni

Teorema

I lati di un triangolo sono proporzionali ai seni degli angoli opposti:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) = \frac(c)(\sin C) $$

Teorema del coseno

Teorema
Sia AB = c, BC = a, CA = b nel triangolo ABC. Poi
Lato quadrato del triangolo pari alla somma quadrati degli altri due lati meno il doppio del prodotto di questi lati moltiplicato per il coseno dell'angolo compreso tra loro.
$$ a^2 = b^2+c^2-2ba \cos A $$

Risolvere triangoli

Risolvere un triangolo significa trovare tutti i suoi sei elementi (cioè tre lati e tre angoli) da tre elementi dati qualsiasi che definiscono il triangolo.

Consideriamo tre problemi che implicano la risoluzione di un triangolo. In questo caso utilizzeremo la seguente notazione per i lati del triangolo ABC: AB = c, BC = a, CA = b.

Risolvere un triangolo utilizzando due lati e l'angolo compreso tra loro

Dati: \(a, b, \angolo C\). Trova \(c, \angolo A, \angolo B\)

Soluzione
1. Utilizzando il teorema del coseno troviamo \(c\):

$$ c = \sqrt( a^2+b^2-2ab \cos C ) $$ 2. Usando il teorema del coseno, abbiamo:
$$ \cos A = \frac( b^2+c^2-a^2 )(2bc) $$

3. \(\angolo B = 180^\circonferenza -\angolo A -\angolo C\)

Risolvere un triangolo misurando i lati e gli angoli adiacenti

Dati: \(a, \angolo B, \angolo C\). Trova \(\angolo A, b, c\)

Soluzione
1. \(\angolo A = 180^\circonferenza -\angolo B -\angolo C\)

2. Utilizzando il teorema del seno, calcoliamo b e c:
$$ b = a \frac(\sin B)(\sin A), \quad c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$

Risolvere un triangolo utilizzando tre lati

Dato: \(a, b, c\). Trova \(\angolo A, \angolo B, \angolo C\)

Soluzione
1. Usando il teorema del coseno otteniamo:
$$ \cos A = \frac(b^2+c^2-a^2)(2bc) $$

Utilizzando \(\cos A\) troviamo \(\angolo A\) utilizzando una microcalcolatrice o utilizzando una tabella.

2. Allo stesso modo, troviamo l'angolo B.
3. \(\angolo C = 180^\circonferenza -\angolo A -\angolo B\)

Risolvere un triangolo utilizzando due lati e un angolo opposto a un lato noto

Dati: \(a, b, \angolo A\). Trova \(c, \angolo B, \angolo C\)

Soluzione
1. Usando il teorema dei seni, troviamo \(\sin B\) otteniamo:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) \Rightarrow \sin B = \frac(b)(a) \cdot \sin A $$

Introduciamo la notazione: \(D = \frac(b)(a) \cdot \sin A \). A seconda del numero D sono possibili i seguenti casi:
Se D > 1, un tale triangolo non esiste, perché \(\sin B\) non può essere maggiore di 1
Se D = 1, esiste un unico \(\angle B: \quad \sin B = 1 \Rightarrow \angle B = 90^\circ \)
Se D Se D 2. \(\angolo C = 180^\circonferenza -\angolo A -\angolo B\)

3. Utilizzando il teorema del seno, calcoliamo il lato c:
$$ c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$

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In geometria, un angolo è una figura formata da due raggi che emergono da un punto (chiamato vertice dell'angolo). Nella maggior parte dei casi, l'unità di misura dell'angolo è il grado (°): ricorda che un angolo completo, o una rivoluzione, è 360°. Puoi trovare il valore dell'angolo di un poligono in base al suo tipo e ai valori degli altri angoli e, se dato un triangolo rettangolo, l'angolo può essere calcolato da due lati. Inoltre, l'angolo può essere misurato utilizzando un goniometro o calcolato utilizzando una calcolatrice grafica.

Passi

Come trovare gli angoli interni di un poligono

Contare il numero di lati del poligono. Per calcolare gli angoli interni di un poligono, devi prima determinare quanti lati ha il poligono. Tieni presente che il numero dei lati di un poligono è uguale al numero dei suoi angoli.

• Ad esempio, un triangolo ha 3 lati e 3 angoli interni, mentre un quadrato ha 4 lati e 4 angoli interni.

1. Calcola la somma di tutti gli angoli interni del poligono. Per fare questo, usa la seguente formula: (n - 2) x 180. In questa formula, n è il numero di lati del poligono. Di seguito sono riportate le somme degli angoli dei poligoni comunemente incontrati:

   • La somma degli angoli di un triangolo (un poligono con 3 lati) è 180°.
   • La somma degli angoli di un quadrilatero (un poligono con 4 lati) è 360°.
   • La somma degli angoli di un pentagono (un poligono con 5 lati) è 540°.
   • La somma degli angoli di un esagono (un poligono con 6 lati) è 720°.
   • La somma degli angoli di un ottagono (un poligono con 8 lati) è 1080°.

2. Dividi la somma di tutti gli angoli di un poligono regolare per il numero degli angoli. Un poligono regolare è un poligono con lati uguali e angoli uguali. Ad esempio, ogni angolo di un triangolo equilatero si calcola come segue: 180 ÷ 3 = 60°, e ogni angolo di un quadrato si calcola come segue: 360 ÷ 4 = 90°.

   • Un triangolo equilatero e un quadrato sono poligoni regolari. E nell'edificio del Pentagono (Washington, USA) e segnale stradale Forma "stop" di un ottagono regolare.

3. Sottrai la somma di tutti gli angoli conosciuti dalla somma totale degli angoli del poligono irregolare. Se i lati di un poligono non sono uguali tra loro e anche i suoi angoli non sono uguali tra loro, somma prima gli angoli noti del poligono. Ora sottrai il valore risultante dalla somma di tutti gli angoli del poligono: in questo modo troverai l'angolo sconosciuto.

   • Ad esempio, se dato che i 4 angoli di un pentagono sono 80°, 100°, 120° e 140°, somma questi numeri: 80 + 100 + 120 + 140 = 440. Ora sottrai questo valore dalla somma di tutti gli angoli angoli del pentagono; questa somma è pari a 540°: 540 - 440 = 100°. Pertanto l'angolo sconosciuto è 100°.

   Consiglio: l'angolo sconosciuto di alcuni poligoni può essere calcolato se si conoscono le proprietà della figura. Ad esempio, in un triangolo isoscele due lati sono uguali e due angoli sono uguali; In un parallelogramma (che è un quadrilatero), i lati opposti sono uguali e gli angoli opposti sono uguali.

   Misura la lunghezza dei due lati del triangolo. Il lato più lungo di un triangolo rettangolo si chiama ipotenusa. Il lato adiacente è il lato vicino all'angolo sconosciuto. Il lato opposto è il lato opposto all'angolo sconosciuto. Misura i due lati per calcolare gli angoli sconosciuti del triangolo.

   Consiglio: utilizza una calcolatrice grafica per risolvere le equazioni oppure trova una tabella online con i valori di seno, coseno e tangente.

   Calcola il seno di un angolo se conosci il cateto opposto e l'ipotenusa. Per fare ciò, inserisci i valori nell'equazione: sin(x) = lato opposto ÷ ipotenusa. Ad esempio, il cateto opposto misura 5 cm e l'ipotenusa misura 10 cm. Dividi 5/10 = 0,5. Quindi sin(x) = 0,5, cioè x = sin -1 (0,5).

ANDREY PROKIP: “IL MIO AMANTE È L'ECOLOGIA RUSSA. DEVI INVESTIRE IN ESSO!”
Il 4 e 5 settembre si è tenuto il forum ambientale “Climatic Shape of Cities”. Il promotore dell'evento è l'organizzazione C40, fondata nel 2005 dalle Nazioni Unite. Il compito principale della forma e delle città è controllare cambiamento climatico città.
Come ha dimostrato la pratica, a differenza degli eventi sociali e degli "incontri nei nightclub", c'erano pochi deputati e personaggi pubblici. Tra coloro che hanno identificato preoccupazioni situazione ambientale era Prokip Adrey Zinovievich. Ha preso parte attiva a tutte le sessioni plenarie insieme al Rappresentante Speciale del Presidente Federazione Russa sulle questioni climatiche Ruslan Edelgeriev, il vicesindaco di Mosca per l'edilizia abitativa e i servizi comunali Pyotr Biryukov, nonché rappresentanti stranieri - il sindaco della città italiana di Savona - Ilario Caprioglio. I partecipanti hanno presentato i loro progetti e discusso anche delle strategie per frenare l'aumento della temperatura globale, nonché delle soluzioni pratiche proposte sviluppo sostenibile città.
ANDREY PROKIP SU SHASHLIK, DEPUTATI E GREEN BUILDING
Di particolare interesse per Lato russo ha provocato un intervento di relatori, tra cui architetti, scienziati europei e il sindaco di Savona. L'argomento del discorso era la direzione TOP: "costruzione verde". Come ha affermato lo stesso Andrey Prokip, “è importante ridistribuire correttamente le risorse, nonché tenere conto degli standard di costruzione europei per una metropoli come Mosca. È necessario che la Russia intraprenda un percorso verso il “finanziamento verde” a livello federale, soprattutto perché è economicamente fattibile e, come dimostra la pratica, redditizio”. Ha inoltre espresso preoccupazione per il deterioramento della salute dei russi a causa dei disastri ambientali e del mancato rispetto delle norme ambientali per lo smaltimento dei rifiuti da parte di grandi e piccoli imprese industriali" I suoi timori sono stati confermati anche grazie all'intervento di Francesco Zambona, professore presso l'Ufficio europeo per gli investimenti nella sanità dell'OMS.
Con umorismo caratteristico, Andrei si è rivolto a personaggi famosi che sono stati invitati al forum, ma non si sono mai presentati, con un appello a “ricordare la natura, non solo quando vogliono fare un barbecue o andare a pescare. Dopotutto, la salute di tutto il popolo dipende dalla benevolenza della natura, che purtroppo li include”.
Oltre ai discorsi appassionati sulla nuova “natura amante” di Andrei Zinovievich e sull’importanza di assumersi la responsabilità ambiente stesso, è stato un evento significativo del forum sessione plenaria sull'argomento "Come crescere una nuova generazione". I partecipanti al forum sono stati unanimi nel ritenere che sia necessario educare non solo i bambini, ma anche la generazione adulta. È molto importante instillare la responsabilità nei confronti della natura nel comportamento quotidiano, così come negli affari.
A Mosca verrà lanciato il progetto speciale “Imparare a vivere civilmente”. Questo progetto educativo per tutti i segmenti della popolazione e le classi di età. Ma non importa quanto siano meravigliose la teoria e le buone intenzioni, il detto “finché il gallo arrosto non becca, lo sciocco non si farà il segno della croce” è ancora rilevante per la Russia.
Secondo Timothy Netter, famoso regista teatrale, l’arte può cambiare tutto. In uno dei suoi discorsi ha parlato di come l'idea di preservare la natura dovrebbe essere presentata nel teatro e nel cinema e di quanto sia importante educare le persone attraverso l'arte ad essere responsabili di ciò che accadrà a noi e alla natura domani.
Gli studenti delle università russe hanno attirato l'attenzione degli operatori Rentv e di Andrey Prokirpa presentando un progetto sulla tecnologia ecologica per la produzione di contenitori resistenti all'umidità e alla temperatura. Questo è un problema molto urgente, poiché in tutto il mondo vengono approvate leggi contro i contenitori di plastica, che, tra l'altro, impiegano più di 30 anni per decomporsi, inquinare il suolo e causare la morte degli animali.
È incoraggiante che Mosca sia una delle 94 città partecipanti all'organizzazione C40 e questa è la terza volta che si tiene il forum, che ogni anno attira l'attenzione di personalità e cittadini sempre più famosi.