Come espandere il logaritmo di una somma. Equazione logaritmica: formule e tecniche di base. Funzione trigonometrica inversa
Equazioni e disequazioni logaritmiche nell'Esame di Stato Unificato di Matematica a cui è dedicato problema C3 . Ogni studente deve imparare a risolvere i compiti C3 dell'Esame di Stato Unificato di matematica se vuole superare il prossimo esame con "buono" o "eccellente". Questo articolo fornisce una breve panoramica delle equazioni e disequazioni logaritmiche più comuni, nonché dei metodi di base per risolverle.
Quindi, diamo un'occhiata ad alcuni esempi oggi. equazioni e disequazioni logaritmiche, che venivano proposti agli studenti dell'Esame di Stato Unificato di Matematica degli anni precedenti. Ma inizierà con un breve riassunto dei principali punti teorici che ci serviranno per risolverli.
Funzione logaritmica
Definizione
Funzione della forma
0,\, a\ne 1 \]" title="Renderizzato da QuickLaTeX.com">!}
chiamato funzione logaritmica.
Proprietà di base
Proprietà fondamentali della funzione logaritmica sì=log ascia:
Il grafico di una funzione logaritmica è curva logaritmica:
Proprietà dei logaritmi
Logaritmo del prodotto due numeri positivi è uguale alla somma dei logaritmi di questi numeri:
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Logaritmo del quoziente due numeri positivi è uguale alla differenza tra i logaritmi di questi numeri:
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Se UN E B UN≠ 1, quindi per qualsiasi numero R l'uguaglianza è vera:
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Uguaglianza tronco d'albero UN T=log UN S, Dove UN > 0, UN ≠ 1, T > 0, S> 0, valido se e solo se T = S.
Se UN, B, C sono numeri positivi e UN E C sono diversi dall'unità, allora l'uguaglianza ( formula per passare a una nuova base logaritmica):
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Teorema 1. Se F(X) > 0 e G(X) > 0, quindi il log dell'equazione logaritmica una f(X) = logaritmo un g(X) (Dove UN > 0, UN≠ 1) è equivalente all'equazione F(X) = G(X).
Risoluzione di equazioni e disequazioni logaritmiche
Esempio 1. Risolvi l'equazione:
Soluzione. L'intervallo di valori accettabili include solo quelli X, per il quale l'espressione sotto il segno del logaritmo è maggiore di zero. Questi valori sono determinati dal seguente sistema di disuguaglianze:
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Considerando che
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otteniamo l'intervallo che definisce l'intervallo di valori consentiti di questa equazione logaritmica:
Sulla base del Teorema 1, le cui condizioni qui sono soddisfatte, procediamo alla seguente equazione quadratica equivalente:
L'intervallo di valori accettabili include solo la prima radice.
Risposta: x = 7.
Esempio 2. Risolvi l'equazione:
Soluzione. L'intervallo di valori accettabili dell'equazione è determinato dal sistema di disuguaglianze:
ql-destra-eqno">
Soluzione. L'intervallo di valori accettabili dell'equazione è determinato qui facilmente: X > 0.
Usiamo la sostituzione:
L'equazione diventa:
Sostituzione inversa:
Entrambi risposta rientrano nell'intervallo dei valori accettabili dell'equazione perché sono numeri positivi.
Esempio 4. Risolvi l'equazione:
Soluzione. Ricominciamo la soluzione determinando l'intervallo di valori accettabili dell'equazione. È determinato dal seguente sistema di disuguaglianze:
ql-destra-eqno">
Le basi dei logaritmi sono le stesse, quindi nell'intervallo di valori accettabili possiamo procedere alla seguente equazione quadratica:
La prima radice non rientra nell'intervallo dei valori accettabili dell'equazione, ma la seconda lo è.
Risposta: X = -1.
Esempio 5. Risolvi l'equazione:
Soluzione. Cercheremo soluzioni intermedie X > 0, X≠1. Trasformiamo l'equazione in una equivalente:
Entrambi risposta rientrano nell'intervallo di valori accettabili dell'equazione.
Esempio 6. Risolvi l'equazione:
Soluzione. Il sistema di disuguaglianze che definisce l'intervallo di valori consentiti dell'equazione questa volta ha la forma:
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Utilizzando le proprietà del logaritmo, trasformiamo l'equazione in un'equazione equivalente nell'intervallo di valori accettabili:
Usando la formula per passare a una nuova base logaritmica, otteniamo:
L'intervallo di valori accettabili ne include solo uno risposta: X = 4.
Passiamo ora a disuguaglianze logaritmiche . Questo è esattamente ciò che dovrai affrontare all'Esame di Stato Unificato di matematica. Per risolvere ulteriori esempi abbiamo bisogno del seguente teorema:
Teorema 2. Se F(X) > 0 e G(X) > 0, quindi:
A UN> 1 disuguaglianza logaritmica log a F(X) > registro a G(X) equivale a una disuguaglianza dello stesso significato: F(X) > G(X);
a 0< UN < 1 логарифмическое неравенство log a F(X) > registro a G(X) equivale ad una disuguaglianza dal significato opposto: F(X) < G(X).
Esempio 7. Risolvi la disuguaglianza:
Soluzione. Cominciamo definendo l'intervallo di valori accettabili della disuguaglianza. L'espressione sotto il segno della funzione logaritmica deve assumere solo valori positivi. Ciò significa che l'intervallo richiesto di valori accettabili è determinato dal seguente sistema di disuguaglianze:
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Poiché la base del logaritmo è un numero minore di uno, la corrispondente funzione logaritmica sarà decrescente e quindi, secondo il Teorema 2, la transizione alla seguente disuguaglianza quadratica sarà equivalente:
Infine, tenendo conto dell'intervallo di valori accettabili, otteniamo risposta:
Esempio 8. Risolvi la disuguaglianza:
Soluzione. Ricominciamo definendo l'intervallo di valori accettabili:
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Sull'insieme dei valori ammissibili della disuguaglianza effettuiamo trasformazioni equivalenti:
Dopo la riduzione e il passaggio alla disuguaglianza equivalente mediante il Teorema 2, otteniamo:
Tenendo conto dell'intervallo di valori accettabili, otteniamo il finale risposta:
Esempio 9. Risolvere la disuguaglianza logaritmica:
Soluzione. L'intervallo di valori accettabili di disuguaglianza è determinato dal seguente sistema:
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Si vede che nell'intervallo dei valori accettabili l'espressione alla base del logaritmo è sempre maggiore di uno, e quindi, secondo il Teorema 2, il passaggio alla seguente disuguaglianza sarà equivalente:
Tenendo conto dell'intervallo di valori accettabili, otteniamo la risposta finale:
Esempio 10. Risolvi la disuguaglianza:
Soluzione.
L'intervallo di valori accettabili di disuguaglianza è determinato dal sistema di disuguaglianze:
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Metodo I Usiamo la formula per la transizione a una nuova base del logaritmo e passiamo a una disuguaglianza equivalente nell'intervallo di valori accettabili.
I logaritmi, come qualsiasi numero, possono essere aggiunti, sottratti e trasformati in ogni modo. Ma poiché i logaritmi non sono esattamente numeri ordinari, ci sono delle regole che vengono chiamate principali proprietà.
Devi assolutamente conoscere queste regole: senza di esse non è possibile risolvere un solo problema logaritmico serio. Inoltre, ce ne sono pochissimi: puoi imparare tutto in un giorno. Quindi iniziamo.
Somma e sottrazione di logaritmi
Consideriamo due logaritmi con le stesse basi: log UN X e registrare UN sì. Quindi possono essere aggiunti e sottratti e:
- tronco d'albero UN X+ registro UN sì=log UN (X · sì);
- tronco d'albero UN X− registro UN sì=log UN (X : sì).
Quindi, la somma dei logaritmi è uguale al logaritmo del prodotto e la differenza è uguale al logaritmo del quoziente. Nota: il punto chiave qui è motivi identici. Se i motivi sono diversi, queste regole non funzionano!
Queste formule ti aiuteranno a calcolare un'espressione logaritmica anche quando le sue singole parti non vengono considerate (vedi lezione “Cos'è un logaritmo”). Dai un'occhiata agli esempi e vedi:
Ceppo 6 4 + ceppo 6 9.
Poiché i logaritmi hanno le stesse basi, usiamo la formula di somma:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.
Compito. Trova il valore dell'espressione: log 2 48 − log 2 3.
Le basi sono le stesse, usiamo la formula della differenza:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.
Compito. Trova il valore dell'espressione: log 3 135 − log 3 5.
Anche in questo caso le basi sono le stesse, quindi abbiamo:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.
Come puoi vedere, le espressioni originali sono composte da logaritmi “cattivi”, che non vengono calcolati separatamente. Ma dopo le trasformazioni si ottengono numeri del tutto normali. Molti test si basano su questo fatto. Sì, le espressioni simili ai test vengono offerte in tutta serietà (a volte praticamente senza modifiche) durante l'Esame di Stato unificato.
Estrarre l'esponente dal logaritmo
Ora complichiamo un po' il compito. Cosa succede se la base o l'argomento di un logaritmo è una potenza? Quindi l'esponente di questo grado può essere estratto dal segno del logaritmo secondo le seguenti regole:
È facile vedere che l'ultima regola segue le prime due. Ma è comunque meglio ricordarlo: in alcuni casi ridurrà significativamente la quantità di calcoli.
Naturalmente tutte queste regole hanno senso se si rispetta l'ODZ del logaritmo: UN > 0, UN ≠ 1, X> 0. E ancora una cosa: impara ad applicare tutte le formule non solo da sinistra a destra, ma anche viceversa, cioè Puoi inserire i numeri prima del segno del logaritmo nel logaritmo stesso. Questo è ciò che più spesso viene richiesto.
Compito. Trova il valore dell'espressione: log 7 49 6 .
Eliminiamo la laurea nell'argomento utilizzando la prima formula:
logaritmo 7 49 6 = 6 logaritmo 7 49 = 6 2 = 12
Compito. Trova il significato dell'espressione:
[Didascalia dell'immagine]
Nota che il denominatore contiene un logaritmo, la cui base e argomento sono potenze esatte: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Abbiamo:
[Didascalia dell'immagine] Penso che l’ultimo esempio richieda alcuni chiarimenti. Dove sono finiti i logaritmi? Fino all'ultimo momento lavoriamo solo con il denominatore. Abbiamo presentato la base e l'argomento del logaritmo sotto forma di potenze e abbiamo eliminato gli esponenti: abbiamo ottenuto una frazione "a tre piani".
Ora diamo un'occhiata alla frazione principale. Il numeratore e il denominatore contengono lo stesso numero: log 2 7. Poiché log 2 7 ≠ 0, possiamo ridurre la frazione: 2/4 rimarranno nel denominatore. Secondo le regole dell'aritmetica, il quattro può essere trasferito al numeratore, e così è stato fatto. Il risultato è stata la risposta: 2.
Transizione ad una nuova fondazione
Parlando delle regole per aggiungere e sottrarre i logaritmi, ho sottolineato in particolare che funzionano solo con le stesse basi. E se i motivi fossero diversi? E se non fossero potenze esatte dello stesso numero?
Le formule per il passaggio a una nuova fondazione vengono in soccorso. Formuliamoli sotto forma di teorema:
Sia dato il logaritmo UN X. Quindi per qualsiasi numero C tale che C> 0 e C≠ 1, l'uguaglianza è vera:
[Didascalia dell'immagine]
In particolare, se mettiamo C = X, noi abbiamo:
[Didascalia dell'immagine]
Dalla seconda formula segue che la base e l'argomento del logaritmo possono essere invertiti, ma in questo caso l'intera espressione viene “capovolta”, cioè il logaritmo appare al denominatore.
Queste formule si trovano raramente nelle comuni espressioni numeriche. È possibile valutare quanto siano convenienti solo quando si risolvono equazioni e disequazioni logaritmiche.
Tuttavia, ci sono problemi che non possono essere risolti se non passando a una nuova fondazione. Diamo un'occhiata ad un paio di questi:
Compito. Trova il valore dell'espressione: log 5 16 log 2 25.
Nota che gli argomenti di entrambi i logaritmi contengono potenze esatte. Togliamo gli indicatori: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;
Adesso “invertiamo” il secondo logaritmo:
[Didascalia dell'immagine]Poiché il prodotto non cambia quando si riorganizzano i fattori, abbiamo moltiplicato con calma quattro per due e poi ci siamo occupati dei logaritmi.
Compito. Trova il valore dell'espressione: log 9 100 lg 3.
La base e l'argomento del primo logaritmo sono potenze esatte. Scriviamolo ed eliminiamo gli indicatori:
[Didascalia dell'immagine]Ora eliminiamo il logaritmo decimale spostandoci su una nuova base:
[Didascalia dell'immagine]Identità logaritmica di base
Spesso nel processo risolutivo è necessario rappresentare un numero come logaritmo in base data. In questo caso ci aiuteranno le seguenti formule:
Nel primo caso, il numero N diventa un indicatore del grado di validità dell'argomentazione. Numero N può essere assolutamente qualsiasi cosa, perché è solo un valore logaritmico.
La seconda formula è in realtà una definizione parafrasata. Si chiama così: identità logaritmica di base.
In effetti, cosa accadrà se il numero B elevare a una potenza tale che il numero B a questa potenza dà il numero UN? Esatto: ottieni questo stesso numero UN. Leggi di nuovo attentamente questo paragrafo: molte persone rimangono bloccate.
Come le formule per passare a una nuova base, l'identità logaritmica di base è talvolta l'unica soluzione possibile.
Compito. Trova il significato dell'espressione:
[Didascalia dell'immagine]
Nota che log 25 64 = log 5 8 - prende semplicemente il quadrato dalla base e dall'argomento del logaritmo. Tenendo conto delle regole per moltiplicare le potenze con la stessa base, otteniamo:
[Didascalia dell'immagine]Se qualcuno non lo sa, questo è stato un vero compito dell'Esame di Stato Unificato :)
Unità logaritmica e zero logaritmico
In conclusione, darò due identità che difficilmente possono essere chiamate proprietà, ma piuttosto sono conseguenze della definizione del logaritmo. Appaiono costantemente nei problemi e, sorprendentemente, creano problemi anche agli studenti “avanzati”.
- tronco d'albero UN UN= 1 è un'unità logaritmica. Ricorda una volta per tutte: logaritmo in base qualsiasi UN da questa stessa base è uguale a uno.
- tronco d'albero UN 1 = 0 è zero logaritmico. Base UN può essere qualsiasi cosa, ma se l'argomento ne contiene uno, il logaritmo è uguale a zero! Perché UN 0 = 1 è una conseguenza diretta della definizione.
Queste sono tutte le proprietà. Assicurati di esercitarti a metterli in pratica! Scarica il cheat sheet all'inizio della lezione, stampalo e risolvi i problemi.
In relazione con
è possibile impostare il compito di trovare uno qualsiasi dei tre numeri tra gli altri due indicati. Se a e poi N sono dati, si trovano mediante esponenziazione. Se N e allora a sono dati prendendo la radice del grado x (o elevandola a potenza). Consideriamo ora il caso in cui, dati a e N, dobbiamo trovare x.
Sia il numero N positivo: il numero a sia positivo e diverso da uno: .
Definizione. Il logaritmo del numero N in base a è l'esponente a cui bisogna elevare a per ottenere il numero N; il logaritmo è indicato con
Pertanto, nell'uguaglianza (26.1) l'esponente si trova come il logaritmo di N in base a. Messaggi
hanno lo stesso significato. L'uguaglianza (26.1) è talvolta chiamata l'identità principale della teoria dei logaritmi; in realtà esprime la definizione del concetto di logaritmo. Secondo questa definizione la base del logaritmo a è sempre positiva e diversa dall'unità; il numero logaritmico N è positivo. I numeri negativi e lo zero non hanno logaritmi. Si può dimostrare che qualsiasi numero con una data base ha un logaritmo ben definito. Quindi l’uguaglianza implica. Si noti che qui la condizione è essenziale; altrimenti la conclusione non sarebbe giustificata, poiché l’uguaglianza è vera per qualsiasi valore di x e y.
Esempio 1. Trova
Soluzione. Per ottenere un numero è necessario elevare la base 2 alla potenza Pertanto.
Puoi prendere appunti quando risolvi tali esempi nel seguente modulo:
Esempio 2. Trova .
Soluzione. Abbiamo
Negli esempi 1 e 2 abbiamo trovato facilmente il logaritmo desiderato rappresentando il numero del logaritmo come una potenza della base con esponente razionale. Nel caso generale, ad esempio, per ecc., ciò non è possibile, poiché il logaritmo ha un valore irrazionale. Prestiamo attenzione a una questione relativa a questa affermazione. Nel paragrafo 12 abbiamo dato il concetto della possibilità di determinare qualsiasi potenza reale di un dato numero positivo. Ciò si è reso necessario per l'introduzione dei logaritmi, che, in generale, possono essere numeri irrazionali.
Consideriamo alcune proprietà dei logaritmi.
Proprietà 1. Se il numero e la base sono uguali, allora il logaritmo è uguale a uno e, al contrario, se il logaritmo è uguale a uno, allora il numero e la base sono uguali.
Prova. Sia per la definizione di logaritmo che abbiamo e da dove
Viceversa, sia Allora per definizione
Proprietà 2. Il logaritmo di uno su qualsiasi base è uguale a zero.
Prova. Per definizione di logaritmo (la potenza zero di qualsiasi base positiva è uguale a uno, vedere (10.1)). Da qui
Q.E.D.
È vera anche l'affermazione inversa: se , allora N = 1. In effetti, abbiamo .
Prima di formulare la prossima proprietà dei logaritmi, concordiamo nel dire che due numeri aeb stanno dalla stessa parte del terzo numero c se sono entrambi maggiori di c o minori di c. Se uno di questi numeri è maggiore di c e l'altro è minore di c, allora diremo che si trovano su lati opposti di c.
Proprietà 3. Se il numero e la base stanno dalla stessa parte dell'uno, allora il logaritmo è positivo; Se il numero e la base si trovano su lati opposti dell'uno, il logaritmo è negativo.
La dimostrazione della proprietà 3 si basa sul fatto che la potenza di a è maggiore di uno se la base è maggiore di uno e l'esponente è positivo oppure la base è minore di uno e l'esponente è negativo. Una potenza è minore di uno se la base è maggiore di uno e l'esponente è negativo oppure la base è minore di uno e l'esponente è positivo.
Ci sono quattro casi da considerare:
Ci limiteremo ad analizzare il primo, il resto lo considererà il lettore da solo.
Supponiamo quindi che nell'uguaglianza l'esponente non possa essere né negativo né uguale a zero, quindi è positivo, cioè come richiesto per essere dimostrato.
Esempio 3. Scopri quali dei logaritmi seguenti sono positivi e quali sono negativi:
Soluzione, a) poiché il numero 15 e la base 12 si trovano sullo stesso lato dell'uno;
b) poiché 1000 e 2 sono posti su un lato dell'unità; in questo caso non è importante che la base sia maggiore del numero logaritmico;
c) poiché 3.1 e 0.8 giacciono su lati opposti dell'unità;
G) ; Perché?
D) ; Perché?
Le seguenti proprietà 4-6 sono spesso chiamate regole della logaritma: consentono, conoscendo i logaritmi di alcuni numeri, di trovare i logaritmi del loro prodotto, quoziente e grado di ciascuno di essi.
Proprietà 4 (regola del logaritmo del prodotto). Il logaritmo del prodotto di più numeri positivi su una data base è uguale alla somma dei logaritmi di questi numeri sulla stessa base.
Prova. Lascia che i numeri dati siano positivi.
Per il logaritmo del loro prodotto scriviamo l'uguaglianza (26.1) che definisce il logaritmo:
Da qui troveremo
Confrontando gli esponenti della prima e dell'ultima espressione, otteniamo l'uguaglianza richiesta:
Si noti che la condizione è essenziale; il logaritmo del prodotto di due numeri negativi ha senso, ma in questo caso otteniamo
In generale, se il prodotto di più fattori è positivo, allora il suo logaritmo è uguale alla somma dei logaritmi dei valori assoluti di questi fattori.
Proprietà 5 (regola per ricavare i logaritmi dei quozienti). Il logaritmo di un quoziente di numeri positivi è uguale alla differenza tra i logaritmi del dividendo e del divisore, presi sulla stessa base. Prova. Troviamo costantemente
Q.E.D.
Proprietà 6 (regola del logaritmo delle potenze). Il logaritmo della potenza di qualsiasi numero positivo è uguale al logaritmo di quel numero moltiplicato per l'esponente.
Prova. Riscriviamo l'identità principale (26.1) del numero:
Q.E.D.
Conseguenza. Il logaritmo di una radice di un numero positivo è uguale al logaritmo del radicale diviso per l'esponente della radice:
La validità di questo corollario può essere dimostrata immaginando come e utilizzando la proprietà 6.
Esempio 4. Prendi il logaritmo in base a:
a) (si presuppone che tutti i valori b, c, d, e siano positivi);
b) (si presuppone che ).
Soluzione, a) È conveniente passare alle potenze frazionarie in questa espressione:
Basandosi sulle uguaglianze (26.5)-(26.7), possiamo ora scrivere:
Notiamo che sui logaritmi dei numeri vengono eseguite operazioni più semplici che sui numeri stessi: quando si moltiplicano i numeri, i loro logaritmi vengono aggiunti, quando si dividono, vengono sottratti, ecc.
Ecco perché nella pratica informatica si utilizzano i logaritmi (cfr. paragrafo 29).
L'azione inversa del logaritmo si chiama potenziamento, vale a dire: il potenziamento è l'azione mediante la quale si trova il numero stesso da un dato logaritmo di un numero. In sostanza, il potenziamento non è un'azione speciale: si tratta di elevare una base a una potenza (pari al logaritmo di un numero). Il termine "potenziamento" può essere considerato sinonimo del termine "elevamento a potenza".
Quando si potenzia bisogna usare le regole inverse a quelle della logaritma: sostituire la somma dei logaritmi con il logaritmo del prodotto, la differenza dei logaritmi con il logaritmo del quoziente, ecc. In particolare, se c'è un fattore davanti del segno del logaritmo, poi durante il potenziamento dovrà essere trasferito ai gradi dell'esponente sotto il segno del logaritmo.
Esempio 5. Trova N se è noto
Soluzione. In connessione con la regola di potenziamento appena enunciata, trasferiremo i fattori 2/3 e 1/3 che stanno davanti ai segni dei logaritmi sul lato destro di questa uguaglianza in esponenti sotto i segni di questi logaritmi; noi abbiamo
Ora sostituiamo la differenza dei logaritmi con il logaritmo del quoziente:
per ottenere l'ultima frazione di questa catena di uguaglianze, abbiamo liberato la frazione precedente dall'irrazionalità al denominatore (clausola 25).
Proprietà 7. Se la base è maggiore di uno, allora il numero più grande ha un logaritmo più grande (e quello più piccolo ne ha uno più piccolo), se la base è inferiore a uno, allora il numero più grande ha un logaritmo più piccolo (e quello più piccolo uno ne ha uno più grande).
Questa proprietà è formulata anche come regola per prendere i logaritmi delle disuguaglianze, entrambi i lati delle quali sono positivi:
Quando si portano i logaritmi delle disuguaglianze su una base maggiore di uno, il segno della disuguaglianza viene conservato, e quando si portano i logaritmi su una base inferiore a uno, il segno della disuguaglianza cambia al contrario (vedi anche il paragrafo 80).
La dimostrazione si basa sulle proprietà 5 e 3. Consideriamo il caso in cui Se , allora e, prendendo i logaritmi, otteniamo
(a e N/M giacciono sullo stesso lato dell'unità). Da qui
Nel caso seguente, il lettore lo capirà da solo.
Con questo video inizio una lunga serie di lezioni sulle equazioni logaritmiche. Ora hai tre esempi davanti a te, sulla base dei quali impareremo a risolvere i problemi più semplici, che si chiamano: protozoi.
logaritmo 0,5 (3x − 1) = −3
logaritmo (x + 3) = 3 + 2 logaritmo 5
Permettimi di ricordarti che l'equazione logaritmica più semplice è la seguente:
logaritmo a f (x) = b
In questo caso è importante che la variabile x sia presente solo all'interno dell'argomento, cioè solo nella funzione f (x). E i numeri aeb sono solo numeri e in nessun caso sono funzioni contenenti la variabile x.
Metodi risolutivi di base
Esistono molti modi per risolvere tali strutture. Ad esempio, la maggior parte degli insegnanti a scuola offre questo metodo: esprimere immediatamente la funzione f (x) utilizzando la formula F ( x) = un b. Cioè, quando incontri la costruzione più semplice, puoi immediatamente passare alla soluzione senza azioni e costruzioni aggiuntive.
Sì, certo, la decisione sarà corretta. Tuttavia, il problema con questa formula è che la maggior parte degli studenti non capire, da dove viene e perché eleviamo la lettera a alla lettera b.
Di conseguenza, spesso vedo errori molto fastidiosi quando, ad esempio, queste lettere vengono scambiate. Questa formula deve essere compresa o inventata, e il secondo metodo porta a errori nei momenti più inopportuni e cruciali: durante esami, prove, ecc.
Ecco perché suggerisco a tutti i miei studenti di abbandonare la formula scolastica standard e di utilizzare il secondo approccio per risolvere le equazioni logaritmiche, che, come probabilmente hai intuito dal nome, si chiama forma canonica.
L’idea della forma canonica è semplice. Riprendiamo il nostro problema: a sinistra abbiamo log a, e con la lettera a intendiamo un numero, e in nessun caso una funzione contenente la variabile x. Di conseguenza, questa lettera è soggetta a tutte le restrizioni imposte sulla base del logaritmo. vale a dire:
1 ≠ un > 0
D'altra parte, dalla stessa equazione vediamo che il logaritmo deve essere uguale al numero b, e su questa lettera non vengono imposte restrizioni, perché può assumere qualsiasi valore, sia positivo che negativo. Tutto dipende da quali valori assume la funzione f(x).
E qui ricordiamo la nostra meravigliosa regola secondo cui qualsiasi numero b può essere rappresentato come un logaritmo in base a di a elevato a b:
b = log a a b
Come ricordare questa formula? Sì, molto semplice. Scriviamo la seguente costruzione:
b = b 1 = b log a a
Naturalmente in questo caso si presentano tutte le restrizioni che abbiamo annotato all'inizio. Usiamo ora la proprietà di base del logaritmo e introduciamo il moltiplicatore b come potenza di a. Noi abbiamo:
b = b 1 = b log a a = log a a b
Di conseguenza, l'equazione originale verrà riscritta come segue:
log a f (x) = log a a b → f (x) = a b
È tutto. La nuova funzione non contiene più un logaritmo e può essere risolta utilizzando tecniche algebriche standard.
Naturalmente, qualcuno ora obietterà: perché è stato necessario inventare una sorta di formula canonica, perché eseguire due passaggi aggiuntivi non necessari se fosse possibile passare immediatamente dal progetto originale alla formula finale? Sì, se non altro perché la maggior parte degli studenti non capisce da dove viene questa formula e, di conseguenza, commette regolarmente errori quando la applica.
Ma questa sequenza di azioni, composta da tre passaggi, ti consente di risolvere l'equazione logaritmica originale, anche se non capisci da dove viene la formula finale. A proposito, questa voce è chiamata formula canonica:
logaritmo a f (x) = logaritmo a a b
La comodità della forma canonica sta anche nel fatto che può essere utilizzata per risolvere una classe molto ampia di equazioni logaritmiche, e non solo quelle più semplici che consideriamo oggi.
Esempi di soluzioni
Ora diamo un'occhiata ad esempi reali. Quindi, decidiamo:
logaritmo 0,5 (3x − 1) = −3
Riscriviamolo così:
logaritmo 0,5 (3x − 1) = logaritmo 0,5 0,5 −3
Molti studenti hanno fretta e cercano di elevare immediatamente il numero 0,5 alla potenza che ci è venuta dal problema originale. Infatti, quando sei già ben addestrato a risolvere tali problemi, puoi eseguire immediatamente questo passaggio.
Tuttavia, se stai appena iniziando a studiare questo argomento, è meglio non correre da nessuna parte per evitare di commettere errori offensivi. Quindi abbiamo la forma canonica. Abbiamo:
3x − 1 = 0,5 −3
Questa non è più un'equazione logaritmica, ma lineare rispetto alla variabile x. Per risolverlo, diamo prima un'occhiata al numero 0,5 elevato a −3. Nota che 0,5 è 1/2.
(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8
Converti tutte le frazioni decimali in frazioni comuni quando risolvi un'equazione logaritmica.
Riscriviamo e otteniamo:
3x−1 = 8
3x = 9
x = 3
Questo è tutto, abbiamo la risposta. Il primo problema è stato risolto.
Secondo compito
Passiamo al secondo compito:
Come vediamo, questa equazione non è più la più semplice. Se non altro perché c'è una differenza a sinistra e non un singolo logaritmo su una base.
Pertanto, dobbiamo in qualche modo eliminare questa differenza. In questo caso, tutto è molto semplice. Diamo uno sguardo più da vicino alle basi: a sinistra c'è il numero sotto la radice:
Raccomandazione generale: in tutte le equazioni logaritmiche, cercare di eliminare i radicali, cioè dalle voci con radici e passare alle funzioni di potenza, semplicemente perché gli esponenti di queste potenze vengono facilmente tolti dal segno del logaritmo e, in definitiva, tali una voce semplifica e accelera notevolmente i calcoli. Scriviamolo così:
Ricordiamo ora la notevole proprietà del logaritmo: le potenze si possono ricavare dall'argomento, oltre che dalla base. In caso di motivi si verifica quanto segue:
log a k b = 1/k loga b
In altre parole, il numero che era nella potenza base viene anticipato e allo stesso tempo invertito, cioè diventa un numero reciproco. Nel nostro caso il grado base era 1/2. Pertanto, possiamo considerarlo 2/1. Noi abbiamo:
5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18
Nota: in nessun caso dovresti eliminare i logaritmi in questo passaggio. Ricorda la matematica di 4a-5a elementare e l'ordine delle operazioni: prima viene eseguita la moltiplicazione e solo dopo l'addizione e la sottrazione. In questo caso, sottraiamo uno degli stessi elementi da 10 elementi:
9 logaritmo 5 x = 18
logaritmo 5 x = 2
Ora la nostra equazione appare come dovrebbe. Questa è la costruzione più semplice e la risolviamo utilizzando la forma canonica:
logaritmo 5 x = logaritmo 5 5 2
x = 5 2
x = 25
È tutto. Il secondo problema è stato risolto.
Terzo esempio
Passiamo al terzo compito:
logaritmo (x + 3) = 3 + 2 logaritmo 5
Permettimi di ricordarti la seguente formula:
logaritmo b = logaritmo 10 b
Se per qualche motivo sei confuso dalla notazione log b , quando esegui tutti i calcoli puoi semplicemente scrivere log 10 b . Puoi lavorare con i logaritmi decimali allo stesso modo degli altri: prendi potenze, aggiungi e rappresenta qualsiasi numero nella forma lg 10.
Sono queste proprietà che ora utilizzeremo per risolvere il problema, poiché non è quello più semplice che abbiamo scritto all'inizio della nostra lezione.
Innanzitutto, nota che il fattore 2 davanti a lg 5 può essere aggiunto e diventa una potenza di base 5. Inoltre, il termine libero 3 può anche essere rappresentato come logaritmo - questo è molto facile da osservare dalla nostra notazione.
Giudica tu stesso: qualsiasi numero può essere rappresentato come logaritmo in base 10:
3 = logaritmo 10 10 3 = logaritmo 10 3
Riscriviamo il problema originale tenendo conto delle modifiche ottenute:
log (x − 3) = log 1000 + log 25
logaritmo (x − 3) = logaritmo 1000 25
logaritmo (x − 3) = logaritmo 25.000
Abbiamo di nuovo davanti a noi la forma canonica e l'abbiamo ottenuta senza passare attraverso la fase di trasformazione, ad es. l'equazione logaritmica più semplice non è apparsa da nessuna parte.
Questo è esattamente ciò di cui ho parlato all'inizio della lezione. La forma canonica consente di risolvere una classe più ampia di problemi rispetto alla formula scolastica standard fornita dalla maggior parte degli insegnanti.
Bene, questo è tutto, eliminiamo il segno del logaritmo decimale e otteniamo una semplice costruzione lineare:
x + 3 = 25.000
x = 24.997
Tutto! Il problema è risolto.
Una nota sulla portata
Qui vorrei fare un'osservazione importante riguardo all'ambito della definizione. Sicuramente ora ci saranno studenti e insegnanti che diranno: “Quando risolviamo espressioni con i logaritmi, dobbiamo ricordare che l’argomento f (x) deve essere maggiore di zero!” A questo proposito sorge una domanda logica: perché non abbiamo richiesto che questa disuguaglianza fosse soddisfatta in nessuno dei problemi considerati?
Non preoccuparti. In questi casi non appariranno radici aggiuntive. E questo è un altro ottimo trucco che ti permette di velocizzare la soluzione. Sappiate solo che se nel problema la variabile x ricorre solo in un posto (o meglio, in un unico argomento di un unico logaritmo), e da nessun'altra parte nel nostro caso compare la variabile x, allora scrivete il dominio di definizione non c'è bisogno, perché verrà eseguito automaticamente.
Giudicate voi stessi: nella prima equazione abbiamo ottenuto che 3x − 1, cioè l'argomento dovrebbe essere uguale a 8. Ciò significa automaticamente che 3x − 1 sarà maggiore di zero.
Con lo stesso successo possiamo scrivere che nel secondo caso x dovrebbe essere uguale a 5 2, cioè sicuramente maggiore di zero. E nel terzo caso, dove x + 3 = 25.000, cioè, ancora una volta, ovviamente maggiore di zero. In altre parole, l'ambito è soddisfatto automaticamente, ma solo se x ricorre solo nell'argomento di un solo logaritmo.
Questo è tutto quello che devi sapere per risolvere i problemi più semplici. Questa regola da sola, insieme alle regole di trasformazione, ti permetterà di risolvere una classe molto ampia di problemi.
Ma siamo onesti: per comprendere finalmente questa tecnica, per imparare ad applicare la forma canonica dell'equazione logaritmica, non basta guardare solo una video lezione. Pertanto, scarica subito le opzioni per soluzioni indipendenti allegate a questa video lezione e inizia a risolvere almeno uno di questi due lavori indipendenti.
Ci vorranno letteralmente pochi minuti. Ma l'effetto di tale formazione sarà molto più elevato che se guardassi semplicemente questa lezione video.
Spero che questa lezione ti aiuti a comprendere le equazioni logaritmiche. Usa la forma canonica, semplifica le espressioni usando le regole per lavorare con i logaritmi e non avrai paura di alcun problema. Questo è tutto quello che ho per oggi.
Tenendo conto del dominio di definizione
Parliamo ora del dominio di definizione della funzione logaritmica e di come questo influisce sulla soluzione delle equazioni logaritmiche. Consideriamo una costruzione della forma
logaritmo a f (x) = b
Tale espressione è definita la più semplice: contiene solo una funzione e i numeri aeb sono solo numeri e in nessun caso una funzione che dipende dalla variabile x. Si può risolvere in modo molto semplice. Devi solo usare la formula:
b = log a a b
Questa formula è una delle proprietà chiave del logaritmo e sostituendo nella nostra espressione originale otteniamo quanto segue:
logaritmo a f (x) = logaritmo a a b
f(x) = ab
Questa è una formula familiare dai libri di testo scolastici. Molti studenti probabilmente avranno una domanda: poiché nell'espressione originale la funzione f (x) è sotto il segno di logaritmo, le vengono imposte le seguenti restrizioni:
f(x) > 0
Questa limitazione si applica perché il logaritmo dei numeri negativi non esiste. Quindi forse, a causa di questa limitazione, bisognerebbe introdurre un controllo sulle risposte? Forse devono essere inseriti nella fonte?
No, nelle equazioni logaritmiche più semplici non sono necessari ulteriori controlli. Ed ecco perché. Dai un'occhiata alla nostra formula finale:
f(x) = ab
Il fatto è che il numero a è comunque maggiore di 0: questo requisito è imposto anche dal logaritmo. Il numero a è la base. In questo caso non vengono imposte restrizioni al numero b. Ma questo non ha importanza, perché non importa a quale potenza eleviamo un numero positivo, otterremo comunque un numero positivo in uscita. Pertanto il requisito f(x) > 0 è automaticamente soddisfatto.
Ciò che vale davvero la pena controllare è il dominio della funzione sotto il segno di registro. Potrebbero esserci strutture piuttosto complesse ed è sicuramente necessario tenerle d'occhio durante il processo di soluzione. Diamo un'occhiata.
Primo compito:
Primo passo: converti la frazione a destra. Noi abbiamo:
Eliminiamo il segno del logaritmo e otteniamo la solita equazione irrazionale:
Delle radici ottenute, solo la prima è adatta a noi, poiché la seconda radice è inferiore a zero. L'unica risposta sarà il numero 9. Ecco, il problema è risolto. Non sono necessari ulteriori controlli per garantire che l'espressione sotto il segno del logaritmo sia maggiore di 0, perché non solo è maggiore di 0, ma secondo la condizione dell'equazione è uguale a 2. Pertanto, il requisito “maggiore di zero " è soddisfatto automaticamente.
Passiamo al secondo compito:
Tutto è uguale qui. Riscriviamo la costruzione, sostituendo la tripla:
Eliminiamo i segni del logaritmo e otteniamo un'equazione irrazionale:
Quadratiamo entrambi i lati tenendo conto delle restrizioni e otteniamo:
4 − 6x − x 2 = (x − 4) 2
4 − 6x − x 2 = x 2 + 8x + 16
x2 + 8x + 16 −4 + 6x + x 2 = 0
2x2 + 14x + 12 = 0 |:2
x2 + 7x + 6 = 0
Risolviamo l'equazione risultante attraverso il discriminante:
D = 49 − 24 = 25
x1 = −1
x2 = −6
Ma x = −6 non ci va bene, perché se sostituiamo questo numero nella nostra disuguaglianza, otteniamo:
−6 + 4 = −2 < 0
Nel nostro caso è necessario che sia maggiore di 0 o, in casi estremi, uguale. Ma x = −1 ci va bene:
−1 + 4 = 3 > 0
L'unica risposta nel nostro caso sarà x = −1. Questa è la soluzione. Torniamo all'inizio dei nostri calcoli.
L'aspetto principale di questa lezione è che non è necessario verificare i vincoli su una funzione in semplici equazioni logaritmiche. Perché durante il processo di soluzione tutti i vincoli vengono soddisfatti automaticamente.
Tuttavia, ciò non significa in alcun modo che puoi dimenticarti del tutto di controllare. Nel processo di lavoro su un'equazione logaritmica, potrebbe trasformarsi in un'equazione irrazionale, che avrà le sue restrizioni e requisiti per la parte destra, che abbiamo visto oggi in due diversi esempi.
Sentiti libero di risolvere tali problemi e presta particolare attenzione se c'è una radice nella discussione.
Equazioni logaritmiche con basi diverse
Continuiamo a studiare le equazioni logaritmiche e esaminiamo altre due tecniche piuttosto interessanti con le quali è di moda risolvere costruzioni più complesse. Ma prima ricordiamo come si risolvono i problemi più semplici:
logaritmo a f (x) = b
In questa voce aeb sono numeri e nella funzione f (x) deve essere presente la variabile x, e solo lì, cioè x deve essere solo nell'argomento. Trasformeremo tali equazioni logaritmiche utilizzando la forma canonica. Per fare ciò, tienilo presente
b = log a a b
Inoltre, a b è precisamente un argomento. Riscriviamo questa espressione come segue:
logaritmo a f (x) = logaritmo a a b
Questo è esattamente ciò che stiamo cercando di ottenere, in modo che ci sia un logaritmo per basare a sia a sinistra che a destra. In questo caso possiamo, in senso figurato, cancellare i segni del registro e da un punto di vista matematico possiamo dire che stiamo semplicemente equiparando gli argomenti:
f(x) = ab
Di conseguenza, otterremo una nuova espressione che sarà molto più facile da risolvere. Applichiamo questa regola ai nostri problemi di oggi.
Quindi, il primo progetto:
Innanzitutto noto che a destra c'è una frazione il cui denominatore è log. Quando vedi un'espressione come questa, è una buona idea ricordare una meravigliosa proprietà dei logaritmi:
Tradotto in russo, ciò significa che qualsiasi logaritmo può essere rappresentato come il quoziente di due logaritmi con qualsiasi base c. Ovviamente 0< с ≠ 1.
Quindi: questa formula ha un meraviglioso caso speciale, quando la variabile c è uguale alla variabile B. In questo caso otteniamo una costruzione del tipo:
Questa è esattamente la costruzione che vediamo dal segno a destra nella nostra equazione. Sostituiamo questa costruzione con log a b , otteniamo:
In altre parole, rispetto al compito originale, abbiamo scambiato argomento e base del logaritmo. Invece abbiamo dovuto invertire la frazione.
Ricordiamo che qualsiasi grado può essere derivato dalla base secondo la seguente regola:
In altre parole, il coefficiente k, che è la potenza della base, si esprime come una frazione invertita. Rendiamolo come una frazione invertita:
Il fattore frazionario non può essere lasciato davanti, perché in questo caso non saremo in grado di rappresentare questa notazione come una forma canonica (dopo tutto, nella forma canonica non c'è alcun fattore aggiuntivo prima del secondo logaritmo). Pertanto, aggiungiamo la frazione 1/4 all'argomento come potenza:
Ora uguagliamo argomenti le cui basi sono le stesse (e le nostre basi sono davvero le stesse) e scriviamo:
x + 5 = 1
x = −4
È tutto. Abbiamo la risposta alla prima equazione logaritmica. Nota: nel problema originale, la variabile x appare solo in un log e nel suo argomento. Pertanto non è necessario verificare il dominio e il nostro numero x = −4 è effettivamente la risposta.
Passiamo ora alla seconda espressione:
log 56 = log 2 log 2 7 − 3 log (x + 4)
Qui, oltre ai soliti logaritmi, dovremo lavorare con log f (x). Come risolvere una simile equazione? A uno studente impreparato può sembrare un compito difficile, ma in realtà tutto può essere risolto in modo elementare.
Consideriamo attentamente il termine lg 2 log 2 7. Cosa possiamo dire a riguardo? Le basi e gli argomenti di log e lg sono gli stessi e questo dovrebbe dare alcune idee. Ricordiamo ancora una volta come vengono tolti i poteri da sotto il segno del logaritmo:
log a b n = nlog a b
In altre parole, quella che nell'argomentazione era una potenza di b diventa un fattore di fronte al log stesso. Applichiamo questa formula all'espressione lg 2 log 2 7. Non lasciarti spaventare da lg 2: questa è l'espressione più comune. Puoi riscriverlo come segue:
Per esso valgono tutte le regole che valgono per qualsiasi altro logaritmo. In particolare, il fattore in primo piano può essere aggiunto alla portata dell'argomentazione. Scriviamolo:
Molto spesso gli studenti non vedono direttamente questa azione, perché non è bene inserire un registro sotto il segno di un altro. In realtà, non c'è nulla di criminale in questo. Inoltre, otteniamo una formula facile da calcolare se ricordi una regola importante:
Questa formula può essere considerata sia come una definizione che come una delle sue proprietà. In ogni caso, se stai convertendo un'equazione logaritmica, dovresti conoscere questa formula proprio come conosceresti la rappresentazione logaritmica di qualsiasi numero.
Torniamo al nostro compito. Lo riscriviamo tenendo conto del fatto che il primo termine a destra del segno uguale sarà semplicemente uguale a lg 7. Abbiamo:
lg56 = lg7 − 3lg (x + 4)
Spostiamo lg 7 a sinistra, otteniamo:
lg56 − lg7 = −3lg (x + 4)
Sottraiamo le espressioni a sinistra perché hanno la stessa base:
lg (56/7) = −3 lg (x + 4)
Ora diamo uno sguardo più da vicino all'equazione che abbiamo ottenuto. È praticamente la forma canonica, ma c'è un fattore −3 a destra. Aggiungiamolo all'argomento lg destro:
logaritmo 8 = logaritmo (x + 4) −3
Davanti a noi c'è la forma canonica dell'equazione logaritmica, quindi cancelliamo i segni lg e equiparamo gli argomenti:
(x + 4) −3 = 8
x+4 = 0,5
È tutto! Abbiamo risolto la seconda equazione logaritmica. In questo caso non sono necessari ulteriori controlli, perché nel problema originale x era presente in un solo argomento.
Vorrei elencare nuovamente i punti chiave di questa lezione.
La formula principale che viene insegnata in tutte le lezioni di questa pagina dedicata alla risoluzione delle equazioni logaritmiche è la forma canonica. E non lasciarti spaventare dal fatto che la maggior parte dei libri di testo scolastici ti insegnano a risolvere questi problemi in modo diverso. Questo strumento funziona in modo molto efficace e ti consente di risolvere una classe di problemi molto più ampia di quelli più semplici che abbiamo studiato all'inizio della nostra lezione.
Inoltre, per risolvere equazioni logaritmiche sarà utile conoscerne le proprietà fondamentali. Vale a dire:
- La formula per spostarsi su una base e il caso speciale quando si inverte il logaritmo (questo ci è stato molto utile nel primo problema);
- Formula per sommare e sottrarre potenze dal segno del logaritmo. Qui molti studenti rimangono bloccati e non vedono che il titolo preso e introdotto può contenere esso stesso log f (x). Non c'è niente di sbagliato in questo. Possiamo introdurre un logaritmo secondo il segno dell'altro e allo stesso tempo semplificare notevolmente la soluzione del problema, che è ciò che osserviamo nel secondo caso.
In conclusione, vorrei aggiungere che non è necessario controllare il dominio di definizione in ciascuno di questi casi, perché ovunque la variabile x è presente in un solo segno di log, e allo stesso tempo è nel suo argomento. Di conseguenza, tutti i requisiti del campo di applicazione vengono soddisfatti automaticamente.
Problemi con base variabile
Oggi esamineremo le equazioni logaritmiche, che per molti studenti sembrano non standard, se non del tutto irrisolvibili. Stiamo parlando di espressioni basate non su numeri, ma su variabili e persino su funzioni. Risolveremo tali costruzioni utilizzando la nostra tecnica standard, ovvero attraverso la forma canonica.
Innanzitutto, ricordiamo come vengono risolti i problemi più semplici, in base ai numeri ordinari. Quindi, si chiama la costruzione più semplice
logaritmo a f (x) = b
Per risolvere tali problemi possiamo utilizzare la seguente formula:
b = log a a b
Riscriviamo la nostra espressione originale e otteniamo:
logaritmo a f (x) = logaritmo a a b
Quindi uguagliamo gli argomenti, cioè scriviamo:
f(x) = ab
Pertanto, eliminiamo il segno di registro e risolviamo il solito problema. In questo caso, le radici ottenute dalla soluzione saranno le radici dell'equazione logaritmica originale. Inoltre, un record in cui sia la sinistra che la destra si trovano nello stesso logaritmo con la stessa base è appunto chiamato forma canonica. È a un tale record che proveremo a ridurre i progetti di oggi. Quindi andiamo.
Primo compito:
logaritmo x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1
Sostituisci 1 con log x − 2 (x − 2) 1 . Il grado che osserviamo nel ragionamento è in realtà il numero b che si trovava a destra del segno uguale. Quindi, riscriviamo la nostra espressione. Noi abbiamo:
log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = log x − 2 (x − 2)
Cosa vediamo? Davanti a noi c'è la forma canonica dell'equazione logaritmica, quindi possiamo tranquillamente equiparare gli argomenti. Noi abbiamo:
2x2 − 13x + 18 = x − 2
Ma la soluzione non finisce qui, perché questa equazione non è equivalente a quella originaria. Dopotutto, la costruzione risultante è costituita da funzioni definite sull'intera linea numerica e i nostri logaritmi originali non sono definiti ovunque e non sempre.
Pertanto, dobbiamo scrivere separatamente il dominio di definizione. Non spacchiamo i capelli per il pelo e scriviamo prima tutti i requisiti:
Innanzitutto, l'argomento di ciascuno dei logaritmi deve essere maggiore di 0:
2x2 − 13x + 18 > 0
x−2 > 0
In secondo luogo, la base non solo deve essere maggiore di 0, ma anche diversa da 1:
x − 2 ≠ 1
Di conseguenza, otteniamo il sistema:
Ma non allarmarti: quando si elaborano equazioni logaritmiche, un tale sistema può essere notevolmente semplificato.
Giudicate voi stessi: da un lato, ci viene richiesto che la funzione quadratica sia maggiore di zero e, dall'altro, questa funzione quadratica sia equiparata a una certa espressione lineare, che è anche richiesta che sia maggiore di zero.
In questo caso, se richiediamo che x − 2 > 0, allora sarà automaticamente soddisfatto il requisito 2x 2 − 13x + 18 > 0. Pertanto, possiamo tranquillamente eliminare la disuguaglianza contenente la funzione quadratica. Pertanto, il numero di espressioni contenute nel nostro sistema sarà ridotto a tre.
Naturalmente, con lo stesso successo potremmo eliminare la disuguaglianza lineare, cioè eliminare x − 2 > 0 e richiedere che 2x 2 − 13x + 18 > 0. Ma concorderai che risolvere la disuguaglianza lineare più semplice è molto più veloce e più semplice di quello quadratico, anche a condizione che come risultato della risoluzione dell'intero sistema otteniamo le stesse radici.
In generale, cerca di ottimizzare i calcoli quando possibile. E nel caso delle equazioni logaritmiche, cancella le disuguaglianze più difficili.
Riscriviamo il nostro sistema:
Ecco un sistema di tre espressioni, di due delle quali in effetti abbiamo già trattato. Scriviamo separatamente l'equazione quadratica e risolviamola:
2x2 − 14x + 20 = 0
x2 − 7x + 10 = 0
Davanti a noi c’è un trinomio quadratico ridotto e, quindi, possiamo usare le formule di Vieta. Noi abbiamo:
(x − 5)(x − 2) = 0
x1 = 5
x2 = 2
Ora torniamo al nostro sistema e troviamo che x = 2 non ci soddisfa, perché ci viene richiesto che x sia strettamente maggiore di 2.
Ma x = 5 ci si addice perfettamente: il numero 5 è maggiore di 2, e allo stesso tempo 5 non è uguale a 3. Pertanto, l'unica soluzione di questo sistema sarà x = 5.
Questo è tutto, il problema è risolto, anche tenendo conto dell'ODZ. Passiamo alla seconda equazione. Calcoli più interessanti e informativi ci aspettano qui:
Il primo passo: come l'ultima volta, portiamo l'intera questione in forma canonica. Per fare ciò, possiamo scrivere il numero 9 come segue:
Non è necessario toccare la base con la radice, ma è meglio trasformare l’argomento. Passiamo dalla radice alla potenza con esponente razionale. Scriviamo:
Vorrei non riscrivere tutta la nostra grande equazione logaritmica, ma semplicemente uguagliare immediatamente gli argomenti:
x3 + 10x2 + 31x + 30 = x3 + 9x2 + 27x + 27
x2 + 4x + 3 = 0
Davanti a noi c'è un trinomio quadratico appena ridotto, usiamo le formule di Vieta e scriviamo:
(x + 3)(x + 1) = 0
x1 = −3
x2 = −1
Quindi abbiamo le radici, ma nessuno ci ha garantito che si adatterebbero all'equazione logaritmica originale. Dopotutto, i segni del registro impongono ulteriori restrizioni (qui avremmo dovuto scrivere il sistema, ma a causa della natura ingombrante dell'intera struttura, ho deciso di calcolare separatamente il dominio di definizione).
Innanzitutto ricordiamo che gli argomenti devono essere maggiori di 0, ovvero:
Questi sono i requisiti imposti dall'ambito di definizione.
Notiamo subito che poiché equiparamo tra loro le prime due espressioni del sistema, possiamo cancellarne qualcuna. Cancelliamo il primo perché sembra più minaccioso del secondo.
Inoltre, si noti che la soluzione alla seconda e alla terza disuguaglianza saranno gli stessi insiemi (il cubo di un numero è maggiore di zero, se questo numero stesso è maggiore di zero; allo stesso modo, con una radice di terzo grado - queste disuguaglianze sono completamente analoghi, quindi possiamo cancellarli).
Ma con la terza disuguaglianza questo non funzionerà. Eliminiamo il segno radicale a sinistra elevando entrambe le parti a cubo. Noi abbiamo:
Quindi otteniamo i seguenti requisiti:
−2 ≠x > −3
Quale delle nostre radici: x 1 = −3 o x 2 = −1 soddisfa questi requisiti? Ovviamente solo x = −1, perché x = −3 non soddisfa la prima disuguaglianza (poiché la nostra disuguaglianza è stretta). Quindi, tornando al nostro problema, otteniamo una radice: x = −1. Questo è tutto, problema risolto.
Ancora una volta, i punti chiave di questo compito:
- Sentiti libero di applicare e risolvere equazioni logaritmiche utilizzando la forma canonica. Gli studenti che prendono tale notazione, invece di passare direttamente dal problema originale a una costruzione come log a f (x) = b, commettono molti meno errori di quelli che si affrettano da qualche parte, saltando i passaggi intermedi dei calcoli;
- Non appena in un logaritmo compare una base variabile, il problema cessa di essere il più semplice. Pertanto, nel risolverlo, è necessario tenere conto del dominio di definizione: gli argomenti devono essere maggiori di zero e le basi non solo devono essere maggiori di 0, ma non devono nemmeno essere uguali a 1.
I requisiti finali possono essere applicati alle risposte finali in diversi modi. Ad esempio, puoi risolvere un intero sistema contenente tutti i requisiti per il dominio di definizione. D'altra parte, puoi prima risolvere il problema stesso, quindi ricordare il dominio di definizione, elaborarlo separatamente sotto forma di un sistema e applicarlo alle radici ottenute.
Quale metodo scegliere per risolvere una particolare equazione logaritmica dipende da te. In ogni caso la risposta sarà la stessa.
Come sai, quando si moltiplicano le espressioni per potenze, i loro esponenti si sommano sempre (a b *a c = a b+c). Questa legge matematica fu derivata da Archimede e più tardi, nell'VIII secolo, il matematico Virasen creò una tabella di esponenti interi. Sono stati loro a servire all'ulteriore scoperta dei logaritmi. Esempi di utilizzo di questa funzione possono essere trovati quasi ovunque sia necessario semplificare moltiplicazioni complesse mediante semplici addizioni. Se dedichi 10 minuti a leggere questo articolo, ti spiegheremo cosa sono i logaritmi e come lavorare con essi. In un linguaggio semplice e accessibile.
Definizione in matematica
Un logaritmo è un'espressione nella seguente forma: log a b=c, ovvero il logaritmo di qualsiasi numero non negativo (ovvero qualsiasi numero positivo) “b” in base “a” è considerato la potenza “c ” alla quale bisogna alzare la base “a” per ottenere alla fine il valore “b”. Analizziamo il logaritmo usando esempi, diciamo che c'è un'espressione log 2 8. Come trovare la risposta? È molto semplice, devi trovare una potenza tale che da 2 alla potenza richiesta ottieni 8. Dopo aver fatto alcuni calcoli a mente, otteniamo il numero 3! E questo è vero, perché 2 elevato a 3 dà la risposta come 8.
Tipi di logaritmi
Per molti alunni e studenti questo argomento sembra complicato e incomprensibile, ma in realtà i logaritmi non sono così spaventosi, l'importante è comprenderne il significato generale e ricordare le loro proprietà e alcune regole. Esistono tre tipi distinti di espressioni logaritmiche:
- Logaritmo naturale ln a, dove la base è il numero di Eulero (e = 2,7).
- Decimale a, dove la base è 10.
- Logaritmo di qualsiasi numero b in base a>1.
Ciascuno di essi viene risolto in modo standard, inclusa la semplificazione, la riduzione e la successiva riduzione a un singolo logaritmo utilizzando teoremi logaritmici. Per ottenere i valori corretti dei logaritmi, dovresti ricordare le loro proprietà e la sequenza di azioni durante la loro risoluzione.
Regole e alcune restrizioni
In matematica esistono diverse regole-vincoli che vengono accettate come assiomi, cioè non sono oggetto di discussione e sono la verità. Ad esempio, è impossibile dividere i numeri per zero, ed è anche impossibile estrarre la radice pari dei numeri negativi. Anche i logaritmi hanno le loro regole, seguendo le quali puoi facilmente imparare a lavorare anche con espressioni logaritmiche lunghe e capienti:
- La base “a” deve essere sempre maggiore di zero, e non uguale a 1, altrimenti l'espressione perde di significato, perché “1” e “0” in qualunque misura sono sempre uguali ai loro valori;
- se a > 0, allora a b >0, risulta che anche “c” deve essere maggiore di zero.
Come risolvere i logaritmi?
Ad esempio, viene assegnato il compito di trovare la risposta all'equazione 10 x = 100. Questo è molto semplice, devi scegliere una potenza elevando il numero dieci a cui otteniamo 100. Questo, ovviamente, è 10 2 = 100.
Ora rappresentiamo questa espressione in forma logaritmica. Otteniamo log 10 100 = 2. Quando si risolvono i logaritmi, tutte le azioni convergono praticamente per trovare la potenza alla quale è necessario inserire la base del logaritmo per ottenere un dato numero.
Per determinare con precisione il valore di un grado sconosciuto, devi imparare come lavorare con una tabella dei gradi. Sembra questo:
Come puoi vedere, alcuni esponenti possono essere indovinati intuitivamente se hai una mente tecnica e conoscenza della tavola pitagorica. Tuttavia, per valori maggiori sarà necessaria una tabella di potenza. Può essere utilizzato anche da chi non sa nulla di argomenti matematici complessi. La colonna di sinistra contiene numeri (base a), la riga superiore di numeri è il valore della potenza c a cui viene elevato il numero a. All'intersezione, le celle contengono i valori numerici che costituiscono la risposta (a c = b). Prendiamo, ad esempio, la prima cella con il numero 10 e la eleviamo al quadrato, otteniamo il valore 100, che è indicato all'intersezione delle nostre due celle. Tutto è così semplice e facile che anche il più vero umanista capirà!
Equazioni e disuguaglianze
Si scopre che in determinate condizioni l'esponente è il logaritmo. Pertanto, qualsiasi espressione numerica matematica può essere scritta come un'uguaglianza logaritmica. Ad esempio, 3 4 =81 può essere scritto come il logaritmo in base 3 di 81 uguale a quattro (log 3 81 = 4). Per le potenze negative le regole sono le stesse: 2 -5 = 1/32 lo scriviamo come logaritmo, otteniamo log 2 (1/32) = -5. Una delle sezioni più affascinanti della matematica è il tema dei “logaritmi”. Di seguito esamineremo esempi e soluzioni di equazioni, subito dopo aver studiato le loro proprietà. Ora diamo un'occhiata a come appaiono le disuguaglianze e come distinguerle dalle equazioni.
È data la seguente espressione: log 2 (x-1) > 3 - è una disuguaglianza logaritmica, poiché il valore sconosciuto “x” è sotto il segno logaritmico. E anche nell'espressione si confrontano due quantità: il logaritmo del numero desiderato in base due è maggiore del numero tre.
La differenza più importante tra equazioni e disuguaglianze logaritmiche è che le equazioni con logaritmi (ad esempio, il logaritmo 2 x = √9) implicano uno o più valori numerici specifici nella risposta, mentre quando si risolve una disuguaglianza, sia l'intervallo di accettabilità i valorie i punti vengono determinati interrompendo questa funzione. Di conseguenza, la risposta non è un semplice insieme di singoli numeri, come nella risposta a un'equazione, ma una serie o insieme continuo di numeri.
Teoremi fondamentali sui logaritmi
Quando si risolvono compiti primitivi per trovare i valori del logaritmo, le sue proprietà potrebbero non essere note. Tuttavia, quando si tratta di equazioni o disequazioni logaritmiche, prima di tutto è necessario comprendere chiaramente e applicare nella pratica tutte le proprietà di base dei logaritmi. In seguito esamineremo esempi di equazioni; esaminiamo prima ciascuna proprietà in modo più dettagliato.
- L'identità principale assomiglia a questa: a logaB =B. Si applica solo quando a è maggiore di 0, non uguale a uno, e B è maggiore di zero.
- Il logaritmo del prodotto può essere rappresentato nella seguente formula: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. In questo caso la condizione obbligatoria è: d, s 1 e s 2 > 0; a≠1. Puoi dare una dimostrazione di questa formula logaritmica, con esempi e soluzioni. Sia log a s 1 = f 1 e log a s 2 = f 2, quindi a f1 = s 1, a f2 = s 2. Otteniamo che s 1 * s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (proprietà di gradi ), e quindi per definizione: log a (s 1 * s 2) = f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, che è ciò che doveva essere dimostrato.
- Il logaritmo del quoziente è simile a questo: log a (s 1/ s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- Il teorema sotto forma di formula assume la seguente forma: log a q b n = n/q log a b.
Questa formula è chiamata “proprietà del grado del logaritmo”. Assomiglia alle proprietà dei gradi ordinari e non è sorprendente, perché tutta la matematica si basa su postulati naturali. Diamo un'occhiata alla prova.
Sia log a b = t, risulta a t = b. Se eleviamo entrambe le parti alla potenza m: a tn = b n ;
ma poiché a tn = (a q) nt/q = b n, quindi log a q b n = (n*t)/t, allora log a q b n = n/q log a b. Il teorema è stato dimostrato.
Esempi di problemi e disuguaglianze
I tipi più comuni di problemi sui logaritmi sono esempi di equazioni e disequazioni. Si trovano in quasi tutti i libri di problemi e sono anche una parte obbligatoria degli esami di matematica. Per entrare in un'università o superare gli esami di ammissione in matematica, devi sapere come risolvere correttamente tali compiti.
Sfortunatamente, non esiste un unico piano o schema per risolvere e determinare il valore sconosciuto del logaritmo, ma alcune regole possono essere applicate a ciascuna disuguaglianza matematica o equazione logaritmica. Innanzitutto bisognerebbe verificare se l'espressione può essere semplificata o ridotta ad una forma generale. Puoi semplificare le espressioni logaritmiche lunghe se utilizzi correttamente le loro proprietà. Conosciamoli velocemente.
Quando risolviamo equazioni logaritmiche, dobbiamo determinare quale tipo di logaritmo abbiamo: un'espressione di esempio può contenere un logaritmo naturale o decimale.
Ecco gli esempi ln100, ln1026. La loro soluzione si riduce al fatto che devono determinare la potenza alla quale la base 10 sarà uguale a 100 e 1026, rispettivamente. Per risolvere i logaritmi naturali, è necessario applicare le identità logaritmiche o le loro proprietà. Diamo un'occhiata ad esempi di risoluzione di problemi logaritmici di vario tipo.
Come utilizzare le formule dei logaritmi: con esempi e soluzioni
Quindi, diamo un'occhiata agli esempi di utilizzo dei teoremi di base sui logaritmi.
- La proprietà del logaritmo di un prodotto può essere utilizzata in compiti in cui è necessario scomporre un grande valore del numero b in fattori più semplici. Ad esempio, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. La risposta è 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1.5 - come puoi vedere, utilizzando la quarta proprietà della potenza del logaritmo, siamo riusciti a risolvere un'espressione apparentemente complessa e irrisolvibile. Devi solo fattorizzare la base e poi togliere i valori dell'esponente dal segno del logaritmo.
Compiti dell'Esame di Stato Unificato
I logaritmi si trovano spesso negli esami di ammissione, in particolare molti problemi logaritmici nell'Esame di Stato Unificato (esame di stato per tutti i diplomati). In genere, questi compiti sono presenti non solo nella parte A (la parte più semplice dell'esame), ma anche nella parte C (i compiti più complessi e voluminosi). L'esame richiede una conoscenza accurata e perfetta dell'argomento “Logaritmi naturali”.
Esempi e soluzioni ai problemi sono tratti dalle versioni ufficiali dell'Esame di Stato Unificato. Vediamo come vengono risolti tali compiti.
Dato log 2 (2x-1) = 4. Soluzione:
riscriviamo l'espressione semplificandola un po' log 2 (2x-1) = 2 2, per definizione del logaritmo otteniamo che 2x-1 = 2 4, quindi 2x = 17; x = 8,5.
- È meglio ridurre tutti i logaritmi alla stessa base in modo che la soluzione non sia complicata e confusa.
- Tutte le espressioni sotto il segno del logaritmo sono indicate come positive, quindi, quando l'esponente di un'espressione che è sotto il segno del logaritmo e la cui base viene tolta come moltiplicatore, l'espressione che rimane sotto il logaritmo deve essere positiva.
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