Come risolvere le equazioni utilizzando il metodo di sostituzione. Risoluzione di sistemi di equazioni. Metodi semplici e complessi per la risoluzione di sistemi di equazioni

2. Metodo dell'addizione algebrica.
3. Metodo di introduzione di una nuova variabile (metodo di sostituzione delle variabili).

Definizione: Un sistema di equazioni si riferisce a più equazioni per una o più variabili che devono essere eseguite contemporaneamente, ad es. con gli stessi valori delle variabili per tutte le equazioni. Le equazioni nel sistema sono combinate con un segno di sistema: una parentesi graffa.
Esempio 1:

- un sistema di due equazioni con due variabili X E sì.
La soluzione al sistema sono le radici. Quando questi valori vengono sostituiti, le equazioni diventano vere identità:

Risoluzione di sistemi di equazioni lineari.

Il metodo più comune per risolvere un sistema è il metodo di sostituzione.

Metodo di sostituzione.

Il metodo di sostituzione per risolvere sistemi di equazioni consiste nell'esprimere una variabile di un'equazione del sistema in termini di altre e sostituire questa espressione nelle restanti equazioni del sistema invece della variabile espressa.
Esempio 2:
Risolvi il sistema di equazioni:

Soluzione:
Viene fornito un sistema di equazioni che deve essere risolto utilizzando il metodo di sostituzione.
Esprimiamo la variabile sì dalla seconda equazione del sistema.
Commento:“Esprimere una variabile” significa trasformare l'uguaglianza in modo che questa variabile rimanga a sinistra del segno di uguale con un coefficiente pari a 1, e tutti gli altri termini si spostino a destra dell'uguaglianza.
Seconda equazione del sistema:

Lasciamo solo a sinistra sì:

E sostituiamo (da qui il nome del metodo) nella prima equazione invece di A l'espressione a cui è uguale, cioè .
Prima equazione:

Sostituiamo:

Risolviamo questa banale equazione quadratica. Per coloro che hanno dimenticato come farlo, c'è un articolo Risolvere le equazioni quadratiche. .

Quindi i valori delle variabili X trovato.
Sostituiamo questi valori nell'espressione della variabile sì. Ci sono due significati qui X, cioè. per ognuno di essi dovresti trovare un valore sì .
1) Lascia
Lo sostituiamo nell'espressione.

2) Lascia
Lo sostituiamo nell'espressione.

A tutto si può rispondere:
Commento: In questo caso la risposta va scritta a coppie per non confondere quale valore della variabile y corrisponde a quale valore della variabile x.
Risposta:
Commento: Nell’esempio 1 viene indicata solo una coppia come soluzione del sistema, ovvero questa coppia è una soluzione al sistema, ma non completa. Pertanto, come risolvere un'equazione o un sistema significa indicare la soluzione e dimostrare che non esistono altre soluzioni. Ed ecco un'altra coppia.

Formalizziamo la soluzione a questo sistema in stile scolastico:

Commento: Il segno “” significa “equivalentemente”, cioè il sistema o l'espressione successiva è equivalente alla precedente.

Analizziamo due tipi di soluzioni ai sistemi di equazioni:

1. Risolvere il sistema utilizzando il metodo di sostituzione.
2. Risolvere il sistema mediante addizione (sottrazione) termine per termine delle equazioni del sistema.

Per risolvere il sistema di equazioni con il metodo di sostituzione devi seguire un semplice algoritmo:
1. Esprimere. Da qualsiasi equazione esprimiamo una variabile.
2. Sostituto. Sostituiamo il valore risultante in un'altra equazione invece della variabile espressa.
3. Risolvi l'equazione risultante con una variabile. Troviamo una soluzione al sistema.

Risolvere sistema mediante il metodo di addizione (sottrazione) termine per termine bisogno di:
1. Seleziona una variabile per la quale creeremo coefficienti identici.
2. Aggiungiamo o sottraiamo equazioni, ottenendo un'equazione con una variabile.
3. Risolvi l'equazione lineare risultante. Troviamo una soluzione al sistema.

La soluzione del sistema sono i punti di intersezione dei grafici delle funzioni.

Consideriamo in dettaglio la soluzione dei sistemi utilizzando esempi.

Esempio 1:

Risolviamo con il metodo di sostituzione

Risoluzione di un sistema di equazioni utilizzando il metodo di sostituzione

2x+5y=1 (1 equazione)
x-10y=3 (2a equazione)

1. Esprimere
Si può vedere che nella seconda equazione c'è una variabile x con un coefficiente pari a 1, il che significa che è più semplice esprimere la variabile x dalla seconda equazione.
x=3+10y

2.Dopo averlo espresso, sostituiamo 3+10y nella prima equazione al posto della variabile x.
2(3+10a)+5a=1

3. Risolvi l'equazione risultante con una variabile.
2(3+10y)+5y=1 (aprire le parentesi)
6+20a+5a=1
25 anni=1-6
25a=-5 |: (25)
y=-5:25
y=-0,2

La soluzione del sistema di equazioni sono i punti di intersezione dei grafici, quindi dobbiamo trovare xey, perché il punto di intersezione è formato da xey.Troviamo x, nel primo punto in cui l'abbiamo espresso sostituiamo y.
x=3+10y
x=3+10*(-0,2)=1

È consuetudine scrivere i punti, in primo luogo scriviamo la variabile x e in secondo luogo la variabile y.
Risposta: (1; -0,2)

Esempio n.2:

Risolviamo utilizzando il metodo di addizione (sottrazione) termine per termine.

Risoluzione di un sistema di equazioni utilizzando il metodo dell'addizione

3x-2y=1 (1 equazione)
2x-3y=-10 (2a equazione)

1. Scegliamo una variabile, diciamo che scegliamo x. Nella prima equazione, la variabile x ha un coefficiente di 3, nella seconda - 2. Dobbiamo rendere uguali i coefficienti, per questo abbiamo il diritto di moltiplicare le equazioni o dividerle per qualsiasi numero. Moltiplichiamo la prima equazione per 2 e la seconda per 3 e otteniamo un coefficiente totale di 6.

3x-2y=1 |*2
6x-4y=2

2x-3y=-10 |*3
6x-9y=-30

2. Sottrai il secondo dalla prima equazione per eliminare la variabile x. Risolvi l'equazione lineare.
__6x-4y=2

5a=32 | :5
y=6,4

3. Trova x. Sostituiamo la y trovata in una qualsiasi delle equazioni, diciamo nella prima equazione.
3x-2a=1
3x-2*6,4=1
3x-12,8=1
3x=1+12,8
3x=13,8 |:3
x=4,6

Il punto di intersezione sarà x=4.6; y=6,4
Risposta: (4.6; 6.4)

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In questo caso è conveniente esprimere x in termini di y dalla seconda equazione del sistema e sostituire l'espressione risultante al posto di x nella prima equazione:

La prima equazione è un'equazione con una variabile y. Risolviamolo:

5(7-3a)-2a = -16

Sostituiamo il valore y risultante nell'espressione per x:

Risposta: (-2; 3).

In questo sistema, è più semplice esprimere y in termini di x dalla prima equazione e sostituire l'espressione risultante invece di y nella seconda equazione:

La seconda equazione è un'equazione con una variabile x. Risolviamolo:

3x-4(-1,5-3,5x)=23

Nell'espressione per y, invece di x, sostituiamo x=1 e troviamo y:

Risposta: (1; -5).

Qui è più conveniente esprimere y in termini di x dalla seconda equazione (poiché dividere per 10 è più facile che dividere per 4, -9 o 3):

Risolviamo la prima equazione:

4x-9(1,6-0,3x)= -1

4x-14,4+2,7x= -1

Sostituisci x=2 e trova y:

Risposta: (2; 1).

Prima di applicare il metodo di sostituzione, questo sistema dovrebbe essere semplificato. Entrambi i lati della prima equazione possono essere moltiplicati per il minimo comune denominatore, nella seconda equazione apriamo le parentesi e presentiamo termini simili:

Abbiamo ottenuto un sistema di equazioni lineari con due variabili. Ora applichiamo la sostituzione. È conveniente esprimere da a a b dalla seconda equazione:

Risolviamo la prima equazione del sistema:

3(21,5 + 2,5b) – 7b = 63

Resta da trovare il valore di a:

Secondo le regole di formattazione, scriviamo la risposta tra parentesi separate da un punto e virgola in ordine alfabetico.

Risposta: (14; -3).

Quando si esprime una variabile attraverso un'altra, a volte è più conveniente lasciarla con un determinato coefficiente.

Di solito le equazioni del sistema sono scritte in una colonna una sotto l'altra e combinate con una parentesi graffa

Un sistema di equazioni di questo tipo, dove a, b, c- numeri e x, y- vengono chiamate le variabili sistema di equazioni lineari.

Quando si risolve un sistema di equazioni, vengono utilizzate le proprietà valide per la risoluzione delle equazioni.

Risoluzione di un sistema di equazioni lineari utilizzando il metodo di sostituzione

Diamo un'occhiata a un esempio

1) Esprimi la variabile in una delle equazioni. Ad esempio, esprimiamo sì nella prima equazione, otteniamo il sistema:

2) Sostituisci nella seconda equazione del sistema invece di sì espressione 3x-7:

3) Risolvi la seconda equazione risultante:

4) Sostituiamo la soluzione risultante nella prima equazione del sistema:

Un sistema di equazioni ha un'unica soluzione: una coppia di numeri x=1, y=-4. Risposta: (1; -4) , scritto tra parentesi, in prima posizione il valore X, Sul secondo - sì.

Risoluzione di un sistema di equazioni lineari mediante addizione

Risolviamo il sistema di equazioni dell'esempio precedente metodo di addizione.

1) Trasformare il sistema in modo che i coefficienti di una delle variabili diventino opposti. Moltiplichiamo la prima equazione del sistema per "3".

2) Somma le equazioni del sistema termine per termine. Riscriviamo la seconda equazione del sistema (qualsiasi) senza modifiche.

3) Sostituiamo la soluzione risultante nella prima equazione del sistema:

Risoluzione grafica di un sistema di equazioni lineari

La soluzione grafica di un sistema di equazioni a due variabili si riduce a trovare le coordinate dei punti comuni dei grafici delle equazioni.

Il grafico di una funzione lineare è una linea retta. Due rette su un piano possono intersecarsi in un punto, essere parallele o coincidere. Pertanto un sistema di equazioni può: a) avere un'unica soluzione; b) non hanno soluzioni; c) avere un numero infinito di soluzioni.

2) La soluzione del sistema di equazioni è il punto (se le equazioni sono lineari) di intersezione dei grafici.

Soluzione grafica del sistema

Metodo per introdurre nuove variabili

La modifica delle variabili può portare alla risoluzione di un sistema di equazioni più semplice di quello originale.

Consideriamo la soluzione del sistema

Introduciamo quindi la sostituzione

Passiamo alle variabili iniziali

Casi speciali

Senza risolvere un sistema di equazioni lineari, puoi determinare il numero delle sue soluzioni dai coefficienti delle variabili corrispondenti.

Un sistema di equazioni lineari in due incognite è costituito da due o più equazioni lineari per le quali è necessario trovare tutte le soluzioni comuni. Considereremo sistemi di due equazioni lineari in due incognite. La vista generale di un sistema di due equazioni lineari in due incognite è presentata nella figura seguente:

( a1*x + b1*y = c1,
( a2*x + b2*y = c2

Qui xey sono variabili sconosciute, a1, a2, b1, b2, c1, c2 sono alcuni numeri reali. Una soluzione a un sistema di due equazioni lineari in due incognite è una coppia di numeri (x,y) tale che se sostituiamo questi numeri nelle equazioni del sistema, ciascuna delle equazioni del sistema si trasforma in un'uguaglianza vera. Considera uno dei modi per risolvere un sistema di equazioni lineari, vale a dire il metodo di sostituzione.

Algoritmo risolutivo mediante metodo di sostituzione

Algoritmo per risolvere un sistema di equazioni lineari utilizzando il metodo di sostituzione:

1. Seleziona un'equazione (è meglio scegliere quella in cui i numeri sono più piccoli) ed esprimi una variabile da essa in termini di un'altra, ad esempio x in termini di y. (puoi anche usare da y a x).

2. Sostituisci l'espressione risultante invece della variabile corrispondente in un'altra equazione. Pertanto, otteniamo un'equazione lineare con un'incognita.

3. Risolvi l'equazione lineare risultante e ottieni una soluzione.

4. Sostituiamo la soluzione risultante nell'espressione ottenuta nel primo paragrafo e otteniamo la seconda incognita dalla soluzione.

5. Controllare la soluzione risultante.

Esempio

Per renderlo più chiaro, risolviamo un piccolo esempio.

Esempio 1. Risolvi il sistema di equazioni:

(x+2*y =12
(2*x-3*y=-18

Soluzione:

1. Dalla prima equazione di questo sistema esprimiamo la variabile x. Abbiamo x= (12 -2*y);

2. Sostituiamo questa espressione nella seconda equazione, otteniamo 2*x-3*y=-18; 2*(12 -2*y) - 3*y = -18; 24 - 4a - 3*a = -18;

3. Risolvi l'equazione lineare risultante: 24 - 4y - 3*y = -18; 24-7*y =-18; -7*y = -42; y=6;

4. Sostituire il risultato ottenuto nell'espressione ottenuta nel primo paragrafo. x= (12 -2*y); x=12-2*6 = 0; x=0;

5. Controlliamo la soluzione risultante, per fare ciò sostituiamo i numeri trovati nel sistema originale.

(x+2*y =12;
(2*x-3*y=-18;

{0+2*6 =12;
{2*0-3*6=-18;

{12 =12;
{-18=-18;

Abbiamo ottenuto le uguaglianze corrette, quindi abbiamo trovato la soluzione correttamente.