Quali sono i casi della posizione relativa di una retta e di un piano. La posizione relativa di una linea retta e di un piano, due piani. Prisma. Definizione. Elementi. Tipi di prismi
Una retta può appartenere o meno ad un piano. Appartiene ad un piano se almeno due dei suoi punti giacciono sul piano. La Figura 93 mostra il piano Somma (axb). Dritto l appartiene al piano Somma, poiché i suoi punti 1 e 2 appartengono a questo piano.
Se una linea non appartiene al piano, può essere parallela ad esso oppure intersecarlo.
Una retta è parallela ad un piano se è parallela ad un'altra retta giacente su quel piano. Nella Figura 93 c'è una linea retta m || Somma, poiché è parallelo alla retta l appartenenti a questo piano.
Una retta può intersecare un piano con angoli diversi e, in particolare, essere ad esso perpendicolare. La costruzione delle linee di intersezione di una retta con un piano è data nel §61.
Figura 93 - Una retta appartenente ad un piano
Un punto rispetto al piano può essere localizzato nel modo seguente: appartenergli o non appartenergli. Un punto appartiene ad un piano se si trova su una retta situata in questo piano. La Figura 94 mostra un disegno complesso del piano Somma definito da due linee parallele l E P. C'è una linea nell'aereo M. Il punto A giace nel piano della Somma, poiché giace sulla retta M. Punto IN non appartiene al piano, poiché la sua seconda proiezione non giace sulle corrispondenti proiezioni della linea.
Figura 94 - Disegno complesso di un piano definito da due linee parallele
Superfici coniche e cilindriche
Le superfici coniche includono superfici formate dal movimento di una generatrice rettilinea l lungo una guida curva M. La particolarità della formazione di una superficie conica è che in questo caso un punto della generatrice è sempre immobile. Questo punto è il vertice della superficie conica (Figura 95, UN). Il determinante di una superficie conica include il vertice S e guida M, in cui l"~S; l"^ M.
Le superfici cilindriche sono quelle formate da una generatrice diritta/che si muove lungo una guida curva T parallelamente alla direzione data S(Figura 95, B). Una superficie cilindrica può essere considerata come un caso speciale di superficie conica con vertice all'infinito S.
Il determinante di una superficie cilindrica è costituito da una guida T e le direzioni S che si formano l, mentre l" || S; l"^m.
Se i generatori di una superficie cilindrica sono perpendicolari al piano di proiezione, viene chiamata tale superficie proiettando. Nella Figura 95, Vè mostrata una superficie cilindrica sporgente orizzontalmente.
Sulle superfici cilindriche e coniche i punti dati vengono costruiti utilizzando generatrici che li attraversano. Linee su superfici, come una linea UN alla figura 95, V o orizzontale H nella figura 95, un, b, sono costruiti utilizzando singoli punti appartenenti a queste linee.
Figura 95 - Superfici coniche e cilindriche
Superfici del busto
Una superficie del torso è una superficie formata da una generatrice rettilinea l, toccando durante il suo movimento in tutte le sue posizioni qualche curva spaziale T, chiamato bordo di ritorno(Figura 96). Il bordo di ritorno definisce completamente il busto ed è una parte geometrica della superficie determinante. La parte algoritmica è l'indicazione della tangenza dei generatori allo spigolo della cuspide.
Una superficie conica è un caso speciale di un torso, che ha un bordo di ritorno T degenerato in un punto S- la parte superiore della superficie conica. Una superficie cilindrica è un caso speciale di un torso, il cui bordo di ritorno è un punto all'infinito.
Figura 96 – Superficie del tronco
Superfici sfaccettate
Le superfici sfaccettate includono superfici formate dal movimento di una generatrice rettilinea l lungo una guida rotta M. Inoltre, se un punto S la generatrice è immobile, si crea una superficie piramidale (Figura 97), se la generatrice è parallela ad una determinata direzione quando si muove S, viene quindi creata una superficie prismatica (Figura 98).
Gli elementi delle superfici sfaccettate sono: vertice S(vicino ad una superficie prismatica è all'infinito), faccia (parte del piano limitata da una sezione della guida M e le posizioni estreme della generatrice rispetto ad essa l) e bordo (linea di intersezione delle facce adiacenti).
Il determinante di una superficie piramidale include il vertice S, attraverso il quale passano i generatori e le guide: l" ~ S; l^ T.
Determinante di una superficie prismatica diversa da guida T, contiene la direzione S, a cui tutti i generatori sono paralleli l superfici: l||S; l^ t.
Figura 97 - Superficie della piramide
Figura 98 - Superficie prismatica
Le superfici sfaccettate chiuse formate da un certo numero (almeno quattro) di facce sono chiamate poliedri. Tra i poliedri si distingue un gruppo di poliedri regolari, in cui tutte le facce sono poligoni regolari e congruenti, e gli angoli poliedrici ai vertici sono convessi e contengono lo stesso numero di facce. Ad esempio: esaedro - cubo (Figura 99, UN), tetraedro - quadrilatero regolare (Figura 99, 6) ottaedro - poliedro (Figura 99, V). I cristalli hanno la forma di vari poliedri.
Figura 99 - Poliedri
Piramide- un poliedro, la cui base è un poligono arbitrario e le facce laterali sono triangoli con un vertice comune S.
In un disegno complesso, una piramide è definita dalle proiezioni dei suoi vertici e dei suoi bordi, tenendo conto della loro visibilità. La visibilità di un bordo viene determinata utilizzando punti concorrenti (Figura 100).
Figura 100 – Determinazione della visibilità del bordo utilizzando punti concorrenti
Prisma- un poliedro la cui base è costituita da due poligoni identici e paralleli tra loro, e le facce laterali sono parallelogrammi. Se i bordi del prisma sono perpendicolari al piano della base, tale prisma si dice diritto. Se i bordi di un prisma sono perpendicolari a qualsiasi piano di proiezione, allora superficie laterale si chiama proiezione. La Figura 101 mostra un disegno completo di un prisma quadrangolare retto con una superficie sporgente orizzontalmente.
Figura 101 - Disegno complesso di un prisma quadrangolare retto con superficie sporgente orizzontalmente
Quando lavori con un disegno complesso di un poliedro, devi costruire linee sulla sua superficie e, poiché una linea è un insieme di punti, devi essere in grado di costruire punti sulla superficie.
Qualsiasi punto su una superficie sfaccettata può essere costruito utilizzando una generatrice passante per questo punto. Nella figura ce ne sono 100 in faccia sindrome coronarica acuta punto costruito M utilizzando la generatrice S-5.
Superfici elicoidali
Le superfici elicoidali includono superfici create dal movimento elicoidale di una generatrice rettilinea. Vengono chiamate superfici elicoidali rigate elicoidi.
Un elicoide rettilineo è formato dal movimento di una generatrice rettilinea io lungo due guide: elica T e i suoi assi io; mentre si forma l interseca l'asse della vite ad angolo retto (Figura 102, a). L'elicoide dritto viene utilizzato per creare scale a chiocciola, coclee e filettature di potenza nelle macchine utensili.
Muovendo la generatrice lungo una guida a vite si forma un elicoide inclinato T e i suoi assi io in modo che il generatore l attraversa l'asse io ad un angolo costante φ, diverso da una retta, cioè in qualsiasi posizione la generatrice l parallelo ad una delle generatrici del cono guida con angolo al vertice pari a 2φ (Figura 102, B). Elicoidi inclinati limitano le superfici delle filettature.
Figura 102 – Elicoidi
Superfici di rivoluzione
Le superfici di rivoluzione includono superfici formate dalla rotazione di una linea l attorno ad una linea retta io , che è l'asse di rotazione. Possono essere lineari, come un cono o un cilindro di rivoluzione, e non lineari o curvi, come una sfera. La determinante della superficie di rivoluzione include la generatrice l e asse io . Durante la rotazione, ciascun punto della generatrice descrive un cerchio, il cui piano è perpendicolare all'asse di rotazione. Tali cerchi della superficie di rivoluzione sono chiamati paralleli. Si chiama il più grande dei paralleli equatore. L'equatore determina il contorno orizzontale della superficie se i _|_ P 1 . In questo caso i paralleli sono gli orizzontali di questa superficie.
Vengono chiamate curve di una superficie di rivoluzione risultanti dall'intersezione della superficie con piani passanti per l'asse di rotazione meridiani. Tutti i meridiani di una superficie sono congruenti. Il meridiano frontale è chiamato meridiano principale; determina il contorno frontale della superficie di rotazione. Il meridiano del profilo determina il contorno del profilo della superficie di rotazione.
È più conveniente costruire un punto su superfici curve di rivoluzione utilizzando superfici parallele. Ci sono 103 punti nella figura M costruito sul parallelo h4.
Figura 103 – Costruzione di un punto su una superficie curva
Le superfici della rivoluzione hanno trovato la più ampia applicazione nella tecnologia. Limitano le superfici della maggior parte delle parti tecniche.
Una superficie conica di rivoluzione si forma ruotando una linea retta io attorno alla linea retta che si interseca con essa: l'asse io(Figura 104, UN). Punto M in superficie è costruito utilizzando una generatrice l e paralleli H. Questa superficie è anche chiamata cono di rivoluzione o cono circolare retto.
Una superficie cilindrica di rivoluzione si forma ruotando una linea retta l attorno ad un asse ad esso parallelo io(Figura 104, B). Questa superficie è anche chiamata cilindro o cilindro circolare retto.
Una sfera si forma ruotando un cerchio attorno al suo diametro (Figura 104, V). Il punto A sulla superficie della sfera appartiene al primo meridiano F, punto IN- equatore H, un punto M costruito su un parallelo ausiliario H".
Figura 104 - Formazione delle superfici di rivoluzione
Un toro si forma ruotando un cerchio o il suo arco attorno ad un asse giacente nel piano del cerchio. Se l'asse si trova all'interno del cerchio risultante, tale toro viene chiamato chiuso (Figura 105, a). Se l'asse di rotazione è esterno al cerchio, tale toro viene chiamato aperto (Figura 105, B). Un toro aperto è anche chiamato anello.
Figura 105 – Formazione di un toro
Le superfici di rivoluzione possono essere formate anche da altre curve del secondo ordine. Ellissoide di rotazione (Figura 106, UN) formato ruotando un'ellisse attorno a uno dei suoi assi; paraboloide di rivoluzione (Figura 106, B) - rotazione della parabola attorno al proprio asse; iperboloide di rivoluzione a foglio singolo (Figura 106, V) si forma ruotando un'iperbole attorno a un asse immaginario e un due fogli (Figura 106, G) - rotazione dell'iperbole attorno all'asse reale.
Figura 106 – Formazione di superfici di rivoluzione mediante curve del secondo ordine
Nel caso generale le superfici sono rappresentate come non limitate nella direzione di propagazione delle generatrici (vedi Figure 97, 98). Per soluzioni compiti specifici e ricevere forme geometriche limitato ai piani di taglio. Ad esempio, per ottenere un cilindro circolare è necessario limitare una sezione della superficie cilindrica ai piani di taglio (vedi Figura 104, B). Di conseguenza, otteniamo le sue basi superiore e inferiore. Se i piani di taglio sono perpendicolari all'asse di rotazione il cilindro risulterà diritto altrimenti il cilindro sarà inclinato.
Per ottenere un cono circolare (vedi Figura 104, UN), è necessario rifilare lungo la parte superiore ed oltre. Se il piano di taglio della base del cilindro è perpendicolare all'asse di rotazione, il cono sarà diritto; altrimenti sarà inclinato. Se entrambi i piani di taglio non passano per il vertice, il cono risulterà troncato.
Usando il piano di taglio, puoi ottenere un prisma e una piramide. Ad esempio, una piramide esagonale sarà diritta se tutti i suoi bordi hanno la stessa inclinazione rispetto al piano di taglio. In altri casi sarà inclinato. Se è completato Con utilizzando piani di taglio e nessuno di essi passa per il vertice: la piramide viene troncata.
Un prisma (vedi Figura 101) può essere ottenuto limitando una sezione della superficie prismatica a due piani di taglio. Se il piano di taglio è perpendicolare ai bordi, ad esempio, di un prisma ottagonale, è diritto; se non è perpendicolare, è inclinato.
Scegliendo la posizione opportuna dei piani di taglio si possono ottenere forme diverse di figure geometriche a seconda delle condizioni del problema da risolvere.
Elemento remoto.
elemento remoto.
- a) non hanno punti comuni;
Teorema.
Designazione dei tagli
GOST 2.305-2008 fornisce i seguenti requisiti per la designazione di una sezione:
1. La posizione del piano di taglio è indicata nel disegno da una linea di sezione.
2. Per la linea di sezione deve essere utilizzata una linea aperta (spessore da S a 1,5S, lunghezza della linea 8-20 mm).
3. In caso di taglio complesso, i tratti vengono eseguiti anche all'intersezione dei piani di taglio tra loro.
4. Sul tratto iniziale e finale devono essere posizionate delle frecce che indicano la direzione della visuale; le frecce devono essere posizionate a una distanza di 2-3 mm dall'estremità esterna del tratto.
5. Le dimensioni delle frecce devono corrispondere a quelle indicate in Figura 14.
6. I tratti iniziale e finale non devono intersecare il contorno dell'immagine corrispondente.
7. All'inizio e alla fine della linea di sezione e, se necessario, all'intersezione dei piani di taglio, posizionare la stessa lettera maiuscola Alfabeto russo. Le lettere sono posizionate vicino alle frecce che indicano la direzione della vista e nei punti di intersezione dall'angolo esterno (Figura 24).
Figura 24 – Esempi di designazione di sezione
8. Il taglio deve essere contrassegnato con una scritta del tipo “AA” (sempre due lettere separate da un trattino).
9. Quando il piano secante coincide con il piano di simmetria dell'oggetto nel suo insieme e le immagini corrispondenti si trovano sullo stesso foglio in collegamento diretto con la proiezione e non sono separate da altre immagini, per le sezioni orizzontali, frontali e di profilo si applica non è segnalata la posizione del piano secante e l'incisione non è accompagnata da iscrizione.
10. Alle sezioni frontale e di profilo, di regola, viene assegnata una posizione corrispondente a quella accettata per un dato oggetto nell'immagine principale del disegno.
11. Le sezioni orizzontali, frontali e di profilo possono essere posizionate al posto delle corrispondenti viste principali.
12. È consentito posizionare la sezione in qualsiasi punto del campo di disegno, nonché con una rotazione con l'aggiunta di una designazione grafica convenzionale: l'icona "Ruotata" (Figura 25).
Figura 25 - Simbolo grafico – Icona “Ruotata”.
La designazione delle sezioni è simile designazione dei tagli ed è costituito dalle tracce di un piano secante e da una freccia che indica la direzione della vista, nonché da una lettera posta all'esterno della freccia (Figura 1c, Figura 3). La sezione sfalsata non è etichettata e il piano di taglio non è mostrato se la linea di sezione coincide con l'asse di simmetria della sezione, e la sezione stessa si trova sulla continuazione della traccia del piano di taglio o in uno spazio tra parti di la vista. Per una sezione sovrapposta simmetrica non viene mostrato nemmeno il piano di taglio. Se la sezione è asimmetrica e si trova in uno spazio vuoto o è sovrapposta (Figura 2 b), la linea di sezione è disegnata con frecce, ma non è contrassegnata con lettere.
La sezione può essere posizionata con una rotazione, prevedendo la scritta sopra la sezione con la scritta “ruotato”. Per più sezioni identiche relative ad un oggetto, le linee di sezione vengono contrassegnate con la stessa lettera e viene disegnata una sezione. Nei casi in cui la sezione risulta essere composta da parti separate, è necessario utilizzare dei tagli.
Dritto posizione generale
Una linea retta in posizione generale (Fig. 2.2) è una linea retta che non è parallela a nessuno dei piani di proiezione indicati. Qualsiasi segmento di tale linea retta viene proiettato in modo distorto in un dato sistema di piani di proiezione. Anche gli angoli di inclinazione di questa retta rispetto ai piani di proiezione vengono proiettati in modo distorto.
Riso. 2.2.
Disposizioni private dirette
Le linee di posizione particolare includono linee parallele a uno o due piani di proiezione.
Qualsiasi linea (retta o curva) parallela al piano di proiezione è chiamata linea di livello. Nella grafica ingegneristica, ci sono tre linee di livello principali: linee orizzontali, frontali e di profilo.
Riso. 2.3-a
L'orizzontale è qualsiasi linea parallela al piano orizzontale delle proiezioni (Fig. 2.3-a). La proiezione frontale dell'orizzontale è sempre perpendicolare alle linee di comunicazione. Qualsiasi segmento orizzontale sul piano di proiezione orizzontale viene proiettato nelle sue dimensioni reali. Su questo piano viene proiettata la grandezza reale e l'angolo di inclinazione della linea orizzontale (linea retta) rispetto al piano frontale delle proiezioni. Ad esempio, la Fig. 2.3-a mostra un'immagine visiva e un disegno orizzontale completo H, propenso all'aereo P 2 ad angolo B . 
Riso. 2.3-b
Il frontale è la linea parallela al piano frontale delle proiezioni (Fig. 2.3-b). La proiezione orizzontale del fronte è sempre perpendicolare alle linee di comunicazione. Qualsiasi segmento del frontale sul piano frontale delle proiezioni viene proiettato nella sua dimensione reale. La vera grandezza è proiettata su questo piano e l'angolo di inclinazione della frontale (linea retta) rispetto al piano orizzontale delle proiezioni (angolo UN). 
Riso. 2.3-v
Una linea del profilo è una linea parallela al piano del profilo delle proiezioni (Fig. 2.3-c). Le proiezioni orizzontali e frontali della linea del profilo sono parallele alle linee di collegamento di queste proiezioni. Qualsiasi segmento di una linea di profilo (linea retta) viene proiettato sul piano del profilo nelle sue dimensioni reali. Gli angoli di inclinazione della retta del profilo rispetto ai piani di proiezione vengono proiettati sullo stesso piano in grandezza reale. P 1 e P 2. Quando si specifica una linea di profilo in un disegno complesso, è necessario specificare due punti di questa linea.
Le linee di livello parallele a due piani di proiezione saranno perpendicolari al terzo piano di proiezione. Tali linee sono chiamate linee sporgenti. Esistono tre linee di proiezione principali: linee di proiezione orizzontale, frontale e di profilo. 
Riso. 2,3 g 
Riso. 2.3-d 
Riso. 2.3
Una linea retta che si proietta orizzontalmente (Fig. 2.3-d) è una linea retta perpendicolare al piano P 1 . Qualsiasi segmento di questa linea viene proiettato sul piano P P 1 - al punto.
La retta che si proietta frontalmente (Fig. 2.H-e) si chiama retta perpendicolare al piano P 2. Qualsiasi segmento di questa linea viene proiettato sul piano P 1 senza distorsioni, ma su un aereo P 2 - al punto.
Un profilo che proietta una linea retta (Fig. 2.3-f) è una linea retta perpendicolare al piano P 3, cioè retta parallela ai piani di proiezione P 1 e P 2. Qualsiasi segmento di questa linea viene proiettato sul piano P 1 e P 2 senza distorsioni, ma su un aereo P 3 - al punto.
Linee principali dell'aereo
Tra le rette appartenenti al piano un posto speciale lo occupano le rette che occupano una particolare posizione nello spazio:
1. Orizzontali h - linee rette che giacciono in un dato piano e parallele al piano orizzontale delle proiezioni (h//P1) (Fig. 6.4).
Figura 6.4 Orizzontale
2. Fronti f - linee rette, situate nel piano e parallele al piano frontale delle proiezioni (f//P2) (Fig. 6.5).
Figura 6.5 Parte anteriore
3. Linee rette del profilo p - linee rette che si trovano su un dato piano e parallele al piano del profilo delle proiezioni (p//P3) (Fig. 6.6). Va notato che le tracce dell'aereo possono essere attribuite anche alle linee principali. La traccia orizzontale è l'orizzontale del piano, il frontale è il frontale e il profilo è la linea di profilo del piano.
Figura 6.6 Profilo dritto
4. La linea della pendenza maggiore e la sua proiezione orizzontale formano un angolo lineare j, che misura l'angolo diedro formato da questo piano e dal piano orizzontale delle proiezioni (Fig. 6.7). Ovviamente, se una retta non ha due punti in comune con un piano, allora o è parallela al piano oppure lo interseca.
Figura 6.7 Linea di massima pendenza
Metodo cinematico di formazione della superficie. Specificare una superficie in un disegno.
Nella grafica ingegneristica, una superficie è considerata come un insieme di posizioni successive di una linea che si muove nello spazio secondo una determinata legge. Durante la formazione della superficie, la linea 1 può rimanere invariata o cambiare forma.
Per chiarezza dell'immagine della superficie in un disegno complesso, è consigliabile specificare graficamente la legge del movimento sotto forma di una famiglia di linee (a, b, c). La legge di movimento della linea 1 può essere specificata da due linee (aeb) o una (a) e condizioni aggiuntive che chiariscono la legge di movimento 1.
La linea mobile 1 è detta generatrice, le linee fisse a, b, c sono chiamate guide.
Consideriamo il processo di formazione della superficie utilizzando l'esempio mostrato in Fig. 3.1.
Qui si prende come generatrice la retta 1. La legge del movimento della generatrice è data dalla guida a e dalla retta b. Ciò significa che la generatrice 1 scorre lungo la guida a, rimanendo sempre parallela alla retta b.
Questo metodo di formazione della superficie è chiamato cinematico. Con il suo aiuto, puoi creare e definire varie superfici nel disegno. In particolare, la Fig. 3.1 mostra il caso più generale di una superficie cilindrica.
Riso. 3.1.
Un altro modo per formare una superficie e rappresentarla in un disegno è specificare la superficie con un insieme di punti o linee ad essa appartenenti. In questo caso, vengono scelti punti e linee in modo tale da consentire di determinare la forma della superficie con un grado sufficiente di precisione e di risolvere vari problemi su di essa.
L'insieme di punti o linee che definiscono una superficie è chiamato cornice.
A seconda che la cornice della superficie sia definita da punti o linee, le cornici si dividono in puntiformi e lineari.
La Figura 3.2 mostra un telaio di superficie costituito da due famiglie di linee disposte ortogonalmente a1, a2, a3, ..., an e b1, b2, b3, ..., bn.
Riso. 3.2.
Sezioni coniche.
SEZIONI CONICHE, curve piatte che si ottengono intersecando un cono circolare retto con un piano che non passa per il suo vertice (Fig. 1). Dal punto di vista della geometria analitica, una sezione conica è il luogo dei punti che soddisfano un'equazione del secondo ordine. Ad eccezione dei casi degeneri discussi nell'ultima sezione, le sezioni coniche sono ellissi, iperboli o parabole.
Le sezioni coniche si trovano spesso in natura e nella tecnologia. Ad esempio, le orbite dei pianeti che ruotano attorno al Sole hanno la forma di ellissi. Un cerchio è un caso particolare di ellisse in cui l'asse maggiore è uguale a quello minore. Uno specchio parabolico ha la proprietà che tutti i raggi incidenti paralleli al suo asse convergono in un punto (fuoco). Viene utilizzato nella maggior parte dei telescopi riflettenti che utilizzano specchi parabolici, nonché nelle antenne radar e nei microfoni speciali con riflettori parabolici. Un fascio di raggi paralleli emana da una sorgente luminosa posta al fuoco di un riflettore parabolico. Ecco perché gli specchi parabolici vengono utilizzati nei faretti ad alta potenza e nei fari delle automobili. Un'iperbole è un grafico di molte importanti relazioni fisiche, come la legge di Boyle (che mette in relazione pressione e volume gas ideale) e la legge di Ohm, che specifica la corrente elettrica in funzione della resistenza a tensione costante.
STORIA ANTICA
Lo scopritore delle sezioni coniche sarebbe considerato Menecmo (IV secolo a.C.), allievo di Platone e maestro di Alessandro Magno. Menecmo utilizzò una parabola e un'iperbole equilatera per risolvere il problema del raddoppio di un cubo.
Trattati sulle sezioni coniche scritti da Aristeo ed Euclide alla fine del IV secolo. aC, andarono perduti, ma i materiali provenienti da essi furono inclusi nelle famose Sezioni coniche di Apollonio di Perga (260–170 aC circa), che sono sopravvissute fino ai giorni nostri. Apollonio abbandonò l'esigenza che il piano secante della generatrice del cono fosse perpendicolare e, variando l'angolo della sua inclinazione, ottenne tutte le sezioni coniche da un cono circolare, dritto o inclinato. Ad Apollonio dobbiamo anche i nomi moderni delle curve: ellisse, parabola e iperbole.
Nelle sue costruzioni Apollonio usò un cono circolare a due fogli (come in Fig. 1), quindi per la prima volta divenne chiaro che un'iperbole è una curva con due rami. Fin dai tempi di Apollonio le sezioni coniche sono state suddivise in tre tipologie a seconda dell'inclinazione del piano di taglio rispetto alla generatrice del cono. Un'ellisse (Fig. 1a) si forma quando il piano di taglio interseca tutte le generatrici del cono nei punti di una sua cavità; parabola (Fig. 1,b) - quando il piano di taglio è parallelo a uno dei piani tangenti al cono; iperbole (Fig. 1, c) - quando il piano di taglio interseca entrambe le cavità del cono.
COSTRUZIONE DI SEZIONI CONICHE
Studiando le sezioni coniche come intersezioni di piani e coni, gli antichi matematici greci le consideravano anche come traiettorie di punti su un piano. Si è riscontrato che un'ellisse può essere definita come il luogo dei punti, la somma delle distanze da cui partono due punti dati è costante; parabola - come luogo di punti equidistanti da dato punto e una determinata linea retta; iperbole - come luogo di punti, la differenza nelle distanze da due punti dati è costante.
Queste definizioni di sezioni coniche come curve piane suggeriscono anche un metodo per costruirle utilizzando una corda tesa.
Ellisse.
Se le estremità di un filo di una determinata lunghezza sono fissate nei punti F1 e F2 (Fig. 2), la curva descritta dalla punta di una matita che scorre lungo un filo teso ha la forma di un'ellisse. I punti F1 e F2 sono chiamati fuochi dell'ellisse, e i segmenti V1V2 e v1v2 tra i punti di intersezione dell'ellisse con gli assi coordinati sono gli assi maggiore e minore. Se i punti F1 e F2 coincidono, l'ellisse diventa un cerchio.
riso. 2 Ellissi
Iperbole.
Quando si costruisce un'iperbole, il punto P, la punta di una matita, è fissato su un filo, che scorre liberamente lungo i pioli installati nei punti F1 e F2, come mostrato in Fig. 3, a. Le distanze vengono selezionate in modo che il segmento PF2 sia più lungo del segmento PF1 di un importo fisso inferiore alla distanza F1F2. In questo caso un'estremità del filo passa sotto il perno F1 ed entrambe le estremità del filo passano sopra il perno F2. (La punta della matita non deve scivolare lungo il filo, quindi deve essere fissata facendo un piccolo cappio sul filo e facendo passare la punta attraverso di esso.) Disegniamo un ramo dell'iperbole (PV1Q), assicurandoci che il filo rimane sempre teso, e tirando entrambe le estremità del filo verso il basso oltre il punto F2, e quando il punto P è sotto il segmento F1F2, tenendo il filo su entrambe le estremità e incidendolo (cioè rilasciandolo) con attenzione. Disegniamo il secondo ramo dell'iperbole (PўV2Qў), avendo precedentemente scambiato i ruoli dei perni F1 e F2.
riso. 3 iperbole
I rami dell'iperbole si avvicinano a due rette che si intersecano tra i rami. Queste linee, chiamate asintoti dell'iperbole, sono costruite come mostrato in Fig. 3, b. I coefficienti angolari di queste rette sono pari a ± (v1v2)/(V1V2), dove v1v2 è il segmento bisettrice dell'angolo compreso tra gli asintoti, perpendicolare al segmento F1F2; il segmento v1v2 è chiamato asse coniugato dell'iperbole, e il segmento V1V2 è il suo asse trasversale. Pertanto gli asintoti sono le diagonali di un rettangolo i cui lati passano per quattro punti v1, v2, V1, V2 paralleli agli assi. Per costruire questo rettangolo, è necessario specificare la posizione dei punti v1 e v2. Sono alla stessa distanza, uguali
dal punto di intersezione degli assi O. Questa formula presuppone la costruzione triangolo rettangolo con cateti Ov1 e V2O e ipotenusa F2O.
Se gli asintoti di un'iperbole sono tra loro perpendicolari l'iperbole si dice equilatera. Due iperboli che hanno asintoti comuni, ma con assi trasversali e coniugati riorganizzati, sono chiamate reciprocamente coniugate.
Parabola.
I fuochi dell'ellisse e dell'iperbole erano noti ad Apollonio, ma il fuoco della parabola fu apparentemente stabilito per primo da Pappo (seconda metà del III secolo), che definì questa curva come il luogo dei punti equidistanti da un dato punto (fuoco). e una determinata retta, che si chiama regista. La costruzione di una parabola mediante un filo teso, basata sulla definizione di Pappo, fu proposta da Isidoro di Mileto (VI secolo). Posizioniamo il righello in modo che il suo bordo coincida con la direttrice LLў (Fig. 4) e fissiamo la gamba AC del triangolo disegnato ABC a questo bordo. Fissiamo un capo del filo di lunghezza AB al vertice B del triangolo, e l'altro al fuoco della parabola F. Dopo aver tirato il filo con la punta di una matita, premiamo la punta nel punto variabile P al gamba libera AB del triangolo disegnato. Mentre il triangolo si muove lungo il righello, il punto P descriverà l'arco di una parabola con fuoco F e direttrice LLў, poiché la lunghezza totale del filo è uguale ad AB, il pezzo di filo è adiacente alla gamba libera del triangolo, e quindi il restante pezzo di filo PF deve essere uguale alle rimanenti parti della gamba AB, cioè PAPÀ. Il punto di intersezione di V della parabola con l'asse si chiama vertice della parabola, la retta passante per F e V è l'asse della parabola. Se attraverso il fuoco si traccia una linea retta perpendicolare all'asse, il segmento di questa linea retta tagliato dalla parabola si chiama parametro focale. Per un'ellisse e un'iperbole, il parametro focale è determinato in modo simile.
RISPOSTE AI BIGLIETTI: N. 1 (non completamente), 2 (non completamente), 3 (non completamente), 4, 5, 6, 7, 12, 13, 14 (non completamente), 16, 17, 18, 20, 21, 22, 23, 26,
Elemento remoto.
Quando si realizzano disegni, in alcuni casi diventa necessario costruire un'immagine separata aggiuntiva di qualsiasi parte dell'oggetto che richieda spiegazioni riguardanti la forma, le dimensioni o altri dati. Questa immagine si chiama elemento remoto. Di solito viene eseguito ingrandito. Il dettaglio può essere disposto come vista o come sezione.
Quando si costruisce un elemento di richiamo, il punto corrispondente dell'immagine principale è contrassegnato da una linea sottile e continua chiusa, solitamente un ovale o un cerchio, ed è indicato con una lettera maiuscola dell'alfabeto russo sullo scaffale della linea guida. Per l'elemento remoto viene effettuata una voce di tipo A (5:1). Nella fig. 191 mostra un esempio di realizzazione di un elemento remoto. Viene posizionato il più vicino possibile al punto corrispondente nell'immagine dell'oggetto.
1. Metodo di proiezione rettangolare (ortogonale). Proprietà invarianti fondamentali della proiezione rettangolare. Epur Monge.
La proiezione ortogonale (rettangolare) è un caso speciale di proiezione parallela, quando tutti i raggi proiettanti sono perpendicolari al piano di proiezione. Le proiezioni ortogonali hanno tutte le proprietà delle proiezioni parallele, ma con la proiezione rettangolare la proiezione di un segmento, se non è parallela al piano di proiezione, è sempre più piccola del segmento stesso (Fig. 58). Ciò è spiegato dal fatto che il segmento stesso nello spazio è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo e la sua proiezione è una gamba: А "В" = ABcos a.
Con la proiezione rettangolare, un angolo retto viene proiettato a grandezza naturale quando entrambi i suoi lati sono paralleli al piano di proiezione e quando solo uno dei suoi lati è parallelo al piano di proiezione e il secondo lato non è perpendicolare a questo piano di proiezione.
La posizione relativa di una retta e di un piano.
Una linea retta e un piano nello spazio possono farlo:
- a) non hanno punti comuni;
- b) hanno esattamente un punto in comune;
- c) avere almeno due punti in comune.
Nella fig. 30 descrive tutte queste possibilità.
Nel caso a) la retta b è parallela al piano: b || .
Nel caso b) la retta l interseca il piano in un punto O; l = O.
Nel caso c) la retta a appartiene al piano: a oppure a.
Teorema. Se la retta b è parallela ad almeno una retta a appartenente al piano, allora la retta è parallela al piano.
Supponiamo che la linea m intersechi il piano nel punto Q. Se m è perpendicolare a ogni linea del piano che passa per il punto Q, allora la linea m si dice perpendicolare al piano.
Le rotaie del tram dimostrano che le linee rette appartengono al piano terrestre. Le linee elettriche sono parallele al piano terrestre e i tronchi degli alberi sono esempi di linee rette che attraversano la superficie terrestre, alcune perpendicolari al piano terrestre, altre non perpendicolari (oblique).
Posizione
Cartello: se una linea che non giace in un dato piano è parallela a una linea che giace in questo piano, allora è parallela al piano dato.
1. se un piano passa per una data linea parallela ad un altro piano e interseca questo piano, allora la linea di intersezione dei piani è parallela alla linea data.
2. se una delle 2 rette è parallela ad una data, allora anche l'altra retta è parallela ad un dato piano oppure giace in questo piano.
POSIZIONE RECIPROCA DEI PIANI. PARALLELITÀ DEI PIANI
Posizione
1. gli aerei hanno almeno 1 punto in comune, cioè si intersecano in una linea retta
2. i piani non si intersecano, cioè non hanno 1 punto in comune, nel qual caso si chiamano paralleli.
cartello
se 2 rette che si intersecano di 1 piano sono rispettivamente parallele a 2 rette di un altro piano, allora questi piani sono paralleli.
Santo
1. se 2 piani paralleli si intersecano 3, le linee della loro intersezione sono parallele
2. i segmenti di rette parallele compresi tra piani paralleli sono uguali.
PERPENDICOLARITÀ DELLA RETTA E DEL PIANO. SEGNO DI PERPENDICOLARITÀ DEL RETTO E DEL PIANO.
Nomi diretti perpendicolare, se si intersecano sotto<90.
Lemma: Se 1 delle 2 rette parallele è perpendicolare alla terza retta, allora l'altra retta è perpendicolare a questa retta.
Una retta si dice perpendicolare ad un piano, se è perpendicolare a una qualsiasi retta del piano.
Teorema: Se 1 delle 2 rette parallele è perpendicolare ad un piano, allora l'altra retta è perpendicolare a questo piano.
Teorema: Se 2 rette sono perpendicolari ad un piano allora sono parallele.
Cartello
Se una linea è perpendicolare a 2 linee che si intersecano giacenti su un piano, allora è perpendicolare a questo piano.
PERPENDICOLARE E OBLIQUA
Costruiamo un aereo e così via, non appartenente all'aereo. Sulla loro t.A tracceremo una linea retta, perpendicolare al piano. Il punto di intersezione della retta con il piano è indicato con H. Il segmento AN è una perpendicolare tracciata dal punto A al piano. T.N – base della perpendicolare. Prendiamo il piano t.M, che non coincide con H. Il segmento AM è inclinato, tracciato da t.A al piano. M – base inclinata. Il segmento MH è una proiezione di un piano inclinato su un piano. Perpendicolare AN - la distanza da t.A all'aereo. Qualsiasi distanza fa parte di una perpendicolare.
Teorema delle 3 perpendicolari:
Una linea retta condotta in un piano passante per la base di un piano inclinato perpendicolare alla sua proiezione su questo piano è anche perpendicolare all'inclinato stesso.
ANGOLO TRA UNA RETTA ED UN PIANO
L'angolo tra una linea retta e Un piano è l'angolo tra questa linea e la sua proiezione sul piano.
ANGOLO DIEDRO. ANGOLO FRA I PIANI
Angolo diedro chiamata figura formata da una retta e da 2 semipiani con confine comune a, non appartenenti allo stesso piano.
Confine a – spigolo di un angolo diedro. Mezzi aerei – facce angolari diedro. Per misurare l'angolo diedro. Devi costruire un angolo lineare al suo interno. Segniamo un punto sul bordo dell'angolo diedro e disegniamo un raggio da questo punto su ciascuna faccia, perpendicolare al bordo. L'angolo formato da questi raggi si chiama angolo diedro lineare. All'interno di un angolo diedro possono essercene infiniti. Hanno tutti la stessa dimensione.
PERPENDICOLARITÀ DI DUE PIANI
Vengono chiamati due piani che si intersecano perpendicolare, se l'angolo tra loro è 90.
Cartello:
Se 1 dei 2 piani passa attraverso una linea perpendicolare ad un altro piano, allora tali piani sono perpendicolari.
POLIedri
Poliedro– una superficie composta da poligoni e che delimita un determinato corpo geometrico. Bordi– poligoni da cui sono formati i poliedri. Costolette– lati dei volti. Picchi- estremità delle costole. Diagonale di un poliedro chiamato segmento che collega 2 vertici che non appartengono a 1 faccia. Un piano su entrambi i lati del quale ci sono punti si chiama poliedro . piano di taglio. Si chiama la parte comune del poliedro e l'area secante sezione trasversale di un poliedro. I poliedri possono essere convessi o concavi. Il poliedro si chiama convesso, se si trova su un lato del piano di ciascuna delle sue facce (tetraedro, parallelepipedo, ottaedro). In un poliedro convesso, la somma di tutti gli angoli piani in ciascun vertice è inferiore a 360.
PRISMA
Si chiama un poliedro composto da 2 poligoni uguali situati su piani paralleli e n - parallelogrammi prisma.
Poligoni A1A2..A(p) e B1B2..B(p) – base prismatica. А1А2В2В1…- parallelogrammi, A(p)A1B1B(p) – bordi laterali. Segmenti A1B1, A2B2..A(p)B(p) – nervature laterali. A seconda del poligono sottostante il prisma, il prisma chiamato p-carbone. Si chiama perpendicolare tracciata da un punto qualsiasi di una base al piano di un'altra base altezza. Se i bordi laterali del prisma sono perpendicolari alla base, allora il prisma - Dritto, e se non perpendicolare – è inclinato. L'altezza di un prisma diritto è uguale alla lunghezza del suo bordo laterale. Il prisma diretto è corretto, se la sua base è costituita da poligoni regolari, tutte le facce laterali sono rettangoli uguali.
PARALLEPIPEDO
ABCD//A1B1S1D1, AA1//BB1//CC1//DD1, AA1=BB1=CC1=DD1 (a seconda della natura dei piani paralleli)
Un parallelepipedo è formato da 6 parallelogrammi. Si chiamano parallelogrammi bordi. ABCD e А1В1С1Д1 sono le basi, le restanti facce si chiamano laterale. Punti A B C D A1 B1 C1 D1 – cime. Segmenti di linea che collegano i vertici - costolette AA1, BB1, SS1, DD1 – nervature laterali.
La diagonale del parallelepipedo è chiamato segmento che collega 2 vertici che non appartengono a 1 faccia.
Santi
1. Le facce opposte del parallelepipedo sono parallele e uguali. 2. Le diagonali del parallelepipedo si intersecano in un punto e sono divise in due da questo punto.
PIRAMIDE
Consideriamo il poligono A1A2..A(n), un punto P che non giace nel piano di questo poligono. Colleghiamo il punto P con i vertici del poligono e otteniamo n triangoli: RA1A2, RA2A3....RA(p)A1.
Poliedro composto da n-gon e n-triangoli chiamata piramide. Poligono – fondazione. Triangoli - bordi laterali. R - sommità della piramide. Segmenti A1P, A2P..A(p)P – nervature laterali. A seconda del poligono che giace alla base viene chiamata piramide p-carbone. Altezza della piramide detta perpendicolare tracciata dall'alto al piano della base. La piramide è chiamata corretta, se la sua base contiene un poligono regolare e la sua altezza cade nel centro della base. Apotema– l'altezza della faccia laterale di una piramide regolare.
PIRAMIDE TRONCA
Consideriamo la piramide PA1A2A3A(n). Disegniamo un piano di taglio parallelo alla base. Questo piano divide la nostra piramide in 2 parti: quella superiore è una piramide simile a questa, quella inferiore è una piramide tronca. La superficie laterale è costituita da un trapezio. Nervature laterali collegano le parti superiori delle basi.
Teorema: L'area della superficie laterale di una piramide regolare tronca è pari al prodotto della metà della somma dei perimetri delle basi e dell'apotema.
POLIEDI REGOLARI
Un poliedro convesso si dice regolare, se tutte le sue facce sono poligoni regolari uguali e lo stesso numero di spigoli convergono in ciascuno dei suoi vertici. Un esempio di poliedro regolare è il cubo. Tutte le sue facce sono quadrati uguali e in ciascun vertice si incontrano 3 spigoli.
Tetraedro regolare composto da 4 triangoli equilateri. Ogni vertice è il vertice di 3 triangoli. La somma degli angoli piani in ciascun vertice è 180.
Ottaedro regolare composto da 8 triangoli equilateri. Ogni vertice è il vertice di 4 triangoli. Somma degli angoli piani in ciascun vertice = 240
Icosaedro regolare composto da 20 triangoli equilateri. Ogni vertice è un triangolo con 5 vertici. La somma degli angoli piani in ciascun vertice è 300.
Cubo composto da 6 quadrati. Ogni vertice è il vertice di 3 quadrati. La somma degli angoli piani in ciascun vertice = 270.
Dodecaedro regolare composto da 12 pentagoni regolari. Ogni vertice è il vertice di 3 pentagoni regolari. La somma degli angoli piani in ciascun vertice = 324.
Non esistono altri tipi di poliedri regolari.
CILINDRO
Un corpo delimitato da una superficie cilindrica e da due cerchi con bordi L e L1 si chiama cilindro. Si chiamano i cerchi L e L1 le basi del cilindro. Segmenti MM1, AA1 – formativo. Formare una superficie cilindrica o laterale di un cilindro. Retta che collega i centri delle basi O e O1 asse del cilindro. Lunghezza del generatore – altezza del cilindro. Raggio della base (r) – raggio del cilindro.
Sezioni del cilindro
Assiale passa per l'asse e il diametro della base
Perpendicolare all'asse
Un cilindro è un corpo di rotazione. Si ottiene ruotando il rettangolo attorno ad uno dei suoi lati.
CONO
Consideriamo un cerchio (o;r) e una linea retta OP perpendicolare al piano di questo cerchio. Per ogni punto del cerchio L ecc. disegneremo dei segmenti; ce ne sono infiniti. Formano una superficie conica e si chiamano formativo.
R- vertice, O - asse della superficie conica.
Un corpo delimitato da una superficie conica e da un cerchio con bordo L chiamato cono. Cerchio - base del cono. Parte superiore della superficie conica - la parte superiore del cono. Formare una superficie conica - formando un cono. Superficie conica – superficie laterale del cono. RO- asse del cono. Distanza da P a O – altezza del cono. Un cono è un corpo di rotazione. Si ottiene ruotando un triangolo rettangolo attorno ad una gamba.
Sezione del cono
Sezione assiale
Sezione perpendicolare all'asse
SFERA E SFERA
Sfera chiamata superficie costituita da tutti i punti dello spazio situati ad una data distanza da un dato punto. Questo punto è centro della sfera. Questa distanza è raggio della sfera.
Un segmento che collega 2 punti di una sfera e passante per il suo centro chiamato diametro della sfera.
Un corpo delimitato da una sfera chiamata palla. Si chiamano centro, raggio e diametro della sfera centro, raggio e diametro della sfera.
Una sfera e una palla sono corpi di rotazione. Sfera si ottiene ruotando un semicerchio attorno al diametro, e palla ottenuto ruotando un semicerchio attorno al diametro.
in un sistema di coordinate rettangolari, l'equazione di una sfera di raggio R con centro C(x(0), y(0), Z(0) ha la forma (x-x(0))(2)+(y-y(0) )(2 )+(z-z(0))(2)= R(2)
Lattina diretta appartengono all'aereo, sii lei parallelo O attraverso aereo. Una linea appartiene ad un piano se due punti appartenenti alla linea e al piano hanno la stessa elevazione. Il corollario che segue da quanto detto: un punto appartiene ad un piano se appartiene ad una retta giacente su tale piano.
Una retta è parallela ad un piano se è parallela ad una retta giacente su questo piano.
Una linea retta che interseca un piano. Per trovare il punto di intersezione di una linea retta con un piano, è necessario (Fig. 3.28):
1) tracciare un piano ausiliario per una data retta m T;
2) costruire una linea N intersezione di un dato piano Σ con un piano ausiliario T;
3) segnare il punto di intersezione R, data la retta M con la linea di intersezione N.
Consideriamo il problema (Fig. 3.29): la retta m è definita sul piano da un punto UN 6 e un angolo di inclinazione di 35°. Attraverso questa linea viene tracciato un piano verticale ausiliario T, che interseca il piano Σ lungo la retta N (B2C3). Si passa quindi dalla posizione relativa di una retta e di un piano alla posizione relativa di due rette giacenti sullo stesso piano verticale. Questo problema viene risolto costruendo i profili di queste linee rette. Intersezione di linee M E N sul profilo determina il punto desiderato R. Elevazione del punto R determinato dalla scala della scala verticale.
Retta perpendicolare al piano. Una linea retta è perpendicolare ad un piano se è perpendicolare a due linee qualunque di questo piano che si intersecano. La Figura 3.30 mostra una linea retta M, perpendicolare al piano Σ e che lo interseca nel punto A. In pianta, la proiezione della retta M e i piani orizzontali sono reciprocamente perpendicolari (un angolo retto, un lato del quale è parallelo al piano di proiezione, viene proiettato senza distorsioni. Entrambe le linee giacciono nello stesso piano verticale, quindi le posizioni di tali linee sono in grandezza l'una rispetto all'altra : l m = LL tu. Ma l uΣ = lΣ, quindi l m = LLΣ, cioè la posizione della retta m è inversamente proporzionale alla posizione del piano. Le cadute di una retta e di un piano hanno direzioni diverse.
3.4. Proiezioni con segni numerici. Superfici
3.4.1.Poliedri e superfici curve. Superficie topografica
In natura molte sostanze hanno una struttura cristallina sotto forma di poliedri. Un poliedro è un insieme di poligoni piatti che non giacciono sullo stesso piano, dove ciascun lato di uno di essi è anche lato dell'altro. Quando si raffigura un poliedro, è sufficiente indicare le proiezioni dei suoi vertici, collegandoli in un certo ordine con linee rette - proiezioni dei bordi. In questo caso è necessario indicare nel disegno i bordi visibili e invisibili. Nella fig. La Figura 3.31 mostra un prisma e una piramide, oltre a trovare i segni dei punti appartenenti a queste superfici.
Un gruppo speciale di poligoni convessi è il gruppo di poligoni regolari in cui tutte le facce sono poligoni regolari uguali e tutti gli angoli poligonali sono uguali. Esistono cinque tipi di poligoni regolari.
Tetraedro- un quadrilatero regolare, delimitato da triangoli equilateri, ha 4 vertici e 6 spigoli (Fig. 3.32 a).
Esaedro- esagono regolare (cubo) - 8 vertici, 12 spigoli (Fig. 3.32b).
Ottaedro- un ottaedro regolare, delimitato da otto triangoli equilateri - 6 vertici, 12 spigoli (Fig. 3.32c).
Dodecaedro- un dodecaedro regolare, delimitato da dodici pentagoni regolari, collegati da tre in prossimità di ciascun vertice.
Ha 20 vertici e 30 spigoli (Fig. 3.32 d).
Icosaedro- un triangolo regolare di venti lati, delimitato da venti triangoli equilateri, collegati da cinque vicino a ciascun vertice. 12 vertici e 30 spigoli (Fig. 3.32 d).
Quando si costruisce un punto giacente sulla faccia di un poliedro, è necessario tracciare una linea retta appartenente a questa faccia e segnare la proiezione del punto sulla sua proiezione.
Le superfici coniche si formano spostando una generatrice rettilinea lungo una guida curva in modo che in tutte le posizioni la generatrice passi attraverso un punto fisso: il vertice della superficie. Le superfici coniche generali in pianta sono rappresentate da una linea orizzontale e da un vertice. Nella fig. La Figura 3.33 mostra la posizione di un punto sulla superficie di una superficie conica.
Un cono circolare rettilineo è rappresentato da una serie di cerchi concentrici disegnati a intervalli uguali (Fig. 3.34a). Cono ellittico con base circolare - una serie di cerchi eccentrici (Fig. 3.34 b)
Superfici sferiche. Una superficie sferica è classificata come superficie di rivoluzione. Si forma ruotando un cerchio attorno al suo diametro. In pianta, una superficie sferica è definita dal centro A e la proiezione di una delle sue linee orizzontali (l'equatore della sfera) (Fig. 3.35).
Superficie topografica. Una superficie topografica è classificata come superficie geometricamente irregolare, poiché non possiede una legge geometrica di formazione. Per caratterizzare una superficie, determinare la posizione dei suoi punti caratteristici rispetto al piano di proiezione. Nella fig. 3.3 b a riporta un esempio di sezione di una superficie topografica, che mostra le proiezioni dei suoi singoli punti. Sebbene un tale piano consenta di farsi un'idea della forma della superficie raffigurata, ciò non è molto chiaro. Per conferire maggiore chiarezza al disegno e quindi facilitarne la lettura, le proiezioni di punti con segni identici sono collegate da linee curve lisce, chiamate orizzontali (isoline) (Fig. 3.36 b).
Le linee orizzontali di una superficie topografica sono talvolta definite come le linee di intersezione di questa superficie con piani orizzontali distanziati tra loro alla stessa distanza (Fig. 3.37). La differenza di elevazione tra due linee orizzontali adiacenti è chiamata altezza della sezione.
Quanto minore è la differenza di elevazione tra due linee orizzontali adiacenti, tanto più precisa è l'immagine di una superficie topografica. Nelle piante le curve di livello vengono chiuse all'interno o all'esterno del disegno. Sui pendii più ripidi le proiezioni superficiali delle curve di livello si avvicinano; sui pendii pianeggianti le loro proiezioni divergono.
La distanza più breve tra le proiezioni di due linee orizzontali adiacenti sul piano è detta lay. Nella fig. 3.38 fino al punto UN Sulla superficie topografica vengono disegnati diversi segmenti di retta E TU E ANNO DOMINI. Hanno tutti diversi angoli di incidenza. Il segmento ha l'angolo di incidenza maggiore AC, la cui ubicazione è di minima importanza. Pertanto, sarà una proiezione della linea di incidenza della superficie in una determinata posizione.
Nella fig. 3.39 mostra un esempio di costruzione di una proiezione della linea di incidenza attraverso un dato punto UN. Dal punto Un 100, come dal centro, traccia un arco di cerchio che tocchi la linea orizzontale più vicina nel punto A 90. Punto A 90, orizzontale ore 90, apparterrà alla linea di caduta. Dal punto A 90 tracciare un arco tangente alla linea orizzontale successiva in quel punto Da 80, ecc. Dal disegno risulta chiaro che la linea di incidenza della superficie topografica è una linea spezzata, ciascun collegamento della quale è perpendicolare all'orizzontale, passante per l'estremità inferiore del collegamento, che ha una quota inferiore.
3.4.2.Intersezione di una superficie conica con un piano
Se un piano di taglio passa per il vertice di una superficie conica, lo interseca lungo le linee rette che formano la superficie. In tutti gli altri casi la linea di sezione sarà una curva piatta: un cerchio, un'ellisse, ecc. Consideriamo il caso di una superficie conica che interseca un piano.
Esempio 1. Costruisci la proiezione della linea di intersezione di un cono circolare Φ( h o , S5) con un piano Ω parallelo alla generatrice della superficie conica.
Una superficie conica con una determinata posizione nel piano si interseca lungo una parabola. Dopo aver interpolato la generatrice T costruiamo linee orizzontali di un cono circolare - cerchi concentrici con un centro S 5 . Quindi determiniamo i punti di intersezione degli stessi orizzontali del piano e del cono (Fig. 3.40).
3.4.3. Intersezione di una superficie topografica con un piano e una retta
Il caso dell'intersezione di una superficie topografica con un piano si incontra più spesso nella risoluzione di problemi geologici. Nella fig. 3.41 fornisce un esempio di costruzione dell'intersezione di una superficie topografica con il piano Σ. La curva che sto cercando M sono determinati dai punti di intersezione degli stessi piani orizzontali e della superficie topografica.
Nella fig. 3.42 fornisce un esempio di costruzione di una vista reale di una superficie topografica con un piano verticale Σ. La linea richiesta m è determinata da punti A, B, C...intersezione degli orizzontali della superficie topografica con il piano di taglio Σ. In pianta la proiezione della curva degenera in una retta coincidente con la proiezione del piano: M≡Σ. Il profilo della curva m è costruito tenendo conto della posizione delle proiezioni dei suoi punti sulla pianta, nonché delle loro quote.
3.4.4. Superficie di uguale pendenza
Una superficie di uguale pendenza è una superficie rigata, le cui tutte le rette formano un angolo costante con il piano orizzontale. Tale superficie può essere ottenuta spostando un cono circolare rettilineo con asse perpendicolare al piano del piano, in modo che la sua sommità scorra lungo una certa guida, e l'asse rimanga verticale in qualsiasi posizione.
Nella fig. La Figura 3.43 mostra una superficie di uguale pendenza (i=1/2), la cui guida è una curva spaziale A, B, C, D.
Laurea dell'aereo. Ad esempio, consideriamo i piani inclinati della carreggiata.
Esempio 1. Pendenza longitudinale della carreggiata i=0, pendenza del rilevato i n =1:1,5, (Fig. 3.44a). È necessario tracciare linee orizzontali ogni 1 m. La soluzione si riduce a quanto segue. Disegniamo la scala della pendenza del piano perpendicolare al bordo della carreggiata, segniamo i punti ad una distanza pari ad un intervallo di 1,5 m preso dalla scala lineare e determiniamo i segni 49, 48 e 47. Attraverso i punti ottenuti noi tracciare i contorni del pendio parallelamente al bordo della strada.
Esempio 2. Pendenza longitudinale della strada i≠0, pendenza del rilevato i n =1:1,5, (Fig. 3.44b). Il piano della carreggiata è livellato. La pendenza della carreggiata è classificata come segue. Nel punto con vertice 50.00 (o altro punto) posizioniamo il vertice del cono, descriviamo una circonferenza di raggio pari all'intervallo della pendenza del rilevato (nel nostro esempio l= 1,5 m). L'elevazione di questa linea orizzontale del cono sarà inferiore di una unità all'elevazione del vertice, cioè 49m. Disegniamo una serie di cerchi, otteniamo i segni orizzontali 48, 47, tangenti ai quali dai punti del bordo con i segni 49, 48, 47 disegniamo le orizzontali della pendenza del terrapieno.
Graduazione delle superfici.
Esempio 3. Se la pendenza longitudinale della strada è i = 0 e la pendenza del terrapieno è i n = 1: 1,5, le curve di livello delle pendenze vengono tracciate attraverso i punti della scala di pendenza, il cui intervallo è uguale all'intervallo delle pendenze del rilevato (Fig. 3.45a). La distanza tra due proiezioni di linee orizzontali adiacenti nella direzione della norma generale (scala della pendenza) è la stessa ovunque.
Esempio 4. Se la pendenza longitudinale della strada è i≠0, e la pendenza del rilevato è i n =1:1,5, (Fig. 3.45b), allora le curve di livello sono costruite allo stesso modo, tranne che la pendenza i contorni non sono disegnati in linee rette, ma in curve.
3.4.5. Determinazione della linea limite dello scavo
Poiché la maggior parte dei terreni non è in grado di mantenere pareti verticali, è necessario costruire pendii (strutture artificiali). La pendenza impartita da una pendenza dipende dal terreno.
Per conferire ad una sezione della superficie terrestre l'aspetto di un piano con una certa pendenza, è necessario conoscere la linea dei limiti degli scavi e dei lavori di scavo. Tale linea, delimitante l'area pianificata, è rappresentata dalle linee di intersezione dei versanti dei rilevati e degli scavi con una data superficie topografica.
Poiché ogni superficie (comprese quelle piane) è rappresentata utilizzando i contorni, la linea di intersezione delle superfici è costruita come un insieme di punti di intersezione dei contorni con gli stessi segni. Diamo un'occhiata agli esempi.
Esempio 1. Nella fig. 3.46 mostra una struttura in terra cruda a forma di piramide tronca quadrangolare, poggiante su un piano N. Base superiore ABCD la piramide ha un segno 4m e dimensioni dei lati 2×2,5 mt. Le facce laterali (pendii del rilevato) hanno pendenza 2:1 e 1:1, la cui direzione è indicata dalle frecce.
È necessario costruire una linea di intersezione delle pendenze della struttura con il piano N e tra loro, oltre a costruire un profilo longitudinale lungo l'asse di simmetria.
Per prima cosa viene costruito un diagramma delle pendenze, degli intervalli e delle scale dei depositi e delle pendenze date. Perpendicolarmente a ciascun lato del sito, le scale dei pendii vengono disegnate ad intervalli specificati, dopo di che le proiezioni delle curve di livello con gli stessi segni delle facce adiacenti sono le linee di intersezione dei pendii, che sono proiezioni dei bordi laterali del questa piramide.
La base inferiore della piramide coincide con le pendenze orizzontali zero. Se questa struttura di terra è attraversata da un piano verticale Q, nella sezione trasversale otterrai una linea spezzata: il profilo longitudinale della struttura.
Esempio 2. Costruire una linea di intersezione delle pendenze della fossa con una pendenza piana e tra loro. Metter il fondo a ( ABCD) la fossa è un'area rettangolare con un'altezza di 10 me dimensioni di 3x4 m. L'asse del sito forma un angolo di 5° con la linea sud-nord. Le pendenze degli scavi presentano le stesse pendenze di 2:1 (Fig. 3.47).
La linea dei lavori zero è stabilita secondo la planimetria del sito. È costruito nei punti di intersezione delle omonime proiezioni delle linee orizzontali delle superfici in esame. Nei punti di intersezione dei contorni dei pendii e della superficie topografica con gli stessi segni, si trova la linea di intersezione dei pendii, che sono proiezioni dei bordi laterali di un dato pozzo.
In questo caso le pendenze laterali degli scavi sono adiacenti al fondo della fossa. Linea abcd– la linea di intersezione desiderata. Laa, Sib, Dos, Red– i bordi della fossa, le linee di intersezione dei pendii tra loro.
4. Domande per l'autocontrollo e compiti per il lavoro indipendente sull'argomento "Proiezioni rettangolari"
Punto
4.1.1. L'essenza del metodo di proiezione.
4.1.2. Cos'è la proiezione puntiforme?
4.1.3. Come vengono chiamati e designati i piani di proiezione?
4.1.4. Cosa sono le linee di connessione di proiezione in un disegno e come si trovano nel disegno rispetto agli assi di proiezione?
4.1.5. Come costruire la terza proiezione (profilo) di un punto?
4.1.6. Costruisci tre proiezioni dei punti A, B, C su un disegno composto da tre immagini, annota le loro coordinate e compila la tabella.
4.1.7. Costruisci gli assi di proiezione mancanti, x A =25, y A =20. Costruire una proiezione del profilo del punto A.
4.1.8. Costruisci tre proiezioni di punti in base alle loro coordinate: A(25,20,15), B(20,25,0) e C(35,0,10). Indicare la posizione dei punti rispetto ai piani e agli assi delle proiezioni. Quale punto è più vicino al piano P3?
4.1.9. I punti materiali A e B iniziano a cadere contemporaneamente. In quale posizione si troverà il punto B quando il punto A toccherà il suolo? Determinare la visibilità dei punti. Traccia i punti nella nuova posizione.
4.1.10. Costruisci tre proiezioni del punto A, se il punto si trova nel piano P 3 e la distanza da esso al piano P 1 è 20 mm, al piano P 2 - 30 mm. Annotare le coordinate del punto.
Dritto
4.2.1. Come si può definire una linea retta in un disegno?
4.2.2. Quale linea è chiamata linea in posizione generale?
4.2.3. Quale posizione può occupare una retta rispetto ai piani di proiezione?
4.2.4. In quale caso la proiezione di una retta si trasforma in un punto?
4.2.5. Qual è la caratteristica di un disegno a livello rettilineo complesso?
4.2.6. Determina la posizione relativa di queste linee.
a...b a...b a...b
4.2.7. Costruire proiezioni di un segmento di retta AB lungo 20 mm, parallelo ai piani: a) P 2; b) P1; c) Asse del bue. Indicare gli angoli di inclinazione del segmento rispetto ai piani di proiezione.
4.2.8. Costruisci proiezioni del segmento AB utilizzando le coordinate delle sue estremità: A(30,10,10), B(10,15,30). Costruisci proiezioni del punto C dividendo il segmento nel rapporto AC:CB = 1:2.
4.2.9. Determina e registra il numero di bordi di questo poliedro e la loro posizione rispetto ai piani di proiezione.
4.2.10. Attraverso il punto A tracciare una linea orizzontale e una frontale che intersecano la retta m.
4.2.11. Determina la distanza tra la linea b e il punto A
4.2.12. Costruire proiezioni di un segmento AB lungo 20 mm, passante per il punto A e perpendicolare al piano a) P 2; b) P1; c) P 3.
Stereometria
Disposizione reciproca di rette e piani
Nello spazio
Parallelismo di rette e piani
Si chiamano due linee nello spazio parallelo , se giacciono sullo stesso piano e non si intersecano.
Si chiamano retta e piano parallelo , se non si intersecano.
I due aerei vengono chiamati parallelo , se non si intersecano.
Si chiamano rette che non si intersecano e non giacciono sullo stesso piano incrocio .
Segno di parallelismo tra una linea e un piano. Se una linea che non appartiene ad un piano è parallela a qualche linea di questo piano, allora è parallela al piano stesso.
Segno dei piani paralleli. Se due rette che si intersecano di un piano sono rispettivamente parallele a due rette di un altro piano, allora questi piani sono paralleli.
Segno di attraversamento delle linee. Se una delle due rette giace su un piano e l'altra interseca questo piano in un punto che non appartiene alla prima retta, queste rette si intersecano.
Teoremi sulle rette parallele e sui piani paralleli.
1. Due rette parallele a una terza retta sono parallele.
2. Se una delle due rette parallele interseca un piano, anche l'altra retta interseca questo piano.
3. Per un punto esterno a una linea data si può tracciare una linea parallela a quella data, e una sola.
4. Se una linea è parallela a ciascuno dei due piani che si intersecano, allora è parallela alla loro linea di intersezione.
5. Se due piani paralleli sono intersecati da un terzo piano, le linee di intersezione sono parallele.
6. Per un punto che non giace in un piano dato si può tracciare un piano parallelo a quello dato, e uno solo.
7. Due piani paralleli al terzo sono paralleli tra loro.
8. I segmenti di linee parallele compresi tra piani paralleli sono uguali.
Angoli tra rette e piani
L'angolo tra una linea retta e un piano viene chiamato l'angolo tra una retta e la sua proiezione su un piano (l'angolo in Fig. 1).
Angolo tra le linee che si intersecanoè l'angolo tra le linee intersecanti parallele alle linee intersecanti date.
Angolo diedroè una figura formata da due semipiani con una linea comune. Si chiamano semipiani bordi , Dritto - bordo angolo diedro.
Angolo lineare l'angolo diedro è l'angolo tra le semirette appartenenti alle facce dell'angolo diedro, emanante da un punto sul bordo e perpendicolare al bordo (l'angolo in Fig. 2).
La misura in gradi (radianti) di un angolo diedro è uguale alla misura in gradi (radianti) del suo angolo lineare.
Perpendicolarità delle rette e dei piani
Si chiamano due rette perpendicolare se si intersecano ad angolo retto.
Si chiama retta che interseca un piano perpendicolare questo piano se è perpendicolare a una qualsiasi linea del piano passante per il punto di intersezione di questa linea e del piano.
I due aerei vengono chiamati perpendicolare , se si intersecano, formano angoli diedri retti.
Segno di perpendicolarità di una retta e di un piano. Se una linea che interseca un piano è perpendicolare a due linee che si intersecano in questo piano, allora è perpendicolare al piano.
Segno di perpendicolarità di due piani. Se un piano passa per una linea perpendicolare ad un altro piano, questi piani sono perpendicolari.
Teoremi sulle rette e sui piani perpendicolari.
1. Se un piano è perpendicolare a una delle due rette parallele, allora è anche perpendicolare all'altra.
2. Se due rette sono perpendicolari allo stesso piano, allora sono parallele.
3. Se una linea è perpendicolare a uno dei due piani paralleli, allora è anche perpendicolare all'altro.
4. Se due piani sono perpendicolari alla stessa linea, allora sono paralleli.
Perpendicolare e obliquo
Teorema. Se da un punto esterno al piano si tracciano linee perpendicolari e inclinate, allora:
1) quelli obliqui aventi sporgenze uguali sono uguali;
2) dei due inclinati è maggiore quello la cui sporgenza è maggiore;
3) obliqui uguali hanno proiezioni uguali;
4) delle due proiezioni, quella che corrisponde a quella obliqua maggiore è maggiore.
Teorema delle tre perpendicolari. Affinché una retta giacente in un piano sia perpendicolare ad una inclinata, è necessario e sufficiente che tale retta sia perpendicolare alla proiezione di quella inclinata (Fig. 3).
Teorema sull'area della proiezione ortogonale di un poligono su un piano. L'area della proiezione ortogonale di un poligono su un piano è uguale al prodotto dell'area del poligono e del coseno dell'angolo compreso tra il piano del poligono e il piano di proiezione.
Costruzione.
1. Su un aereo UN conduciamo una diretta UN.
3. In aereo B attraverso il punto UN facciamo una diretta B, parallelo alla linea UN.
4. È stata costruita una linea retta B parallelo al piano UN.
Prova. Basato sul parallelismo di una linea retta e di un piano, una linea retta B parallelo al piano UN, poiché è parallelo alla retta UN, appartenente all'aereo UN.
Studio. Il problema ha infinite soluzioni, a partire dalla retta UN sull'aereo UN viene scelto in modo casuale.
Esempio 2. Determina a quale distanza dal piano si trova il punto UN, se dritto AB interseca il piano con un angolo di 45º, la distanza dal punto UN al punto IN appartenente al piano è pari a cm?
Soluzione. Facciamo un disegno (Fig. 5):
AC– perpendicolare al piano UN, AB– inclinato, angolo ABC– angolo tra la retta AB e aereo UN. Triangolo ABC– rettangolare perché AC– perpendicolare. La distanza richiesta dal punto UN all'aereo: questa è la gamba AC triangolo rettangolo. Conoscendo l'angolo e l'ipotenusa cm, troveremo la gamba AC:
Risposta: 3 cm.
Esempio 3. Determinare a quale distanza dal piano di un triangolo isoscele si trova un punto situato a 13 cm da ciascuno dei vertici del triangolo se la base e l'altezza del triangolo sono uguali a 8 cm?
Soluzione. Facciamo un disegno (Fig. 6). Punto S lontano dai punti UN, IN E CON alla stessa distanza. Quindi, propenso SA, S.B. E SC pari, COSÌ– la perpendicolare comune di questi inclinati. Per il teorema delle oblique e delle proiezioni AO = VO = CO.
Punto DI– il centro di un cerchio circoscritto ad un triangolo ABC. Troviamo il suo raggio:
Dove Sole– basamento;
ANNO DOMINI– l'altezza di un dato triangolo isoscele.
Trovare i lati di un triangolo ABC da un triangolo rettangolo ABD secondo il teorema di Pitagora:
Ora troviamo OB:
Considera un triangolo SINGHIOZZARE: S.B.= 13 centimetri, OB= = 5 cm Trova la lunghezza della perpendicolare COSÌ secondo il teorema di Pitagora:
Risposta: 12 cm.
Esempio 4. Dati piani paralleli UN E B. Attraverso il punto M, che non appartiene a nessuno di essi, vengono disegnate linee rette UN E B quella croce UN in punti UN 1 e IN 1 e l'aereo B– in punti UN 2 e IN 2. Trovare UN 1 IN 1 se è noto MA 1 = 8 centimetri, UN 1 UN 2 = 12 centimetri, UN 2 IN 2 = 25 cm.
Soluzione. Poiché la condizione non dice come si trova il punto rispetto a entrambi i piani M, allora sono possibili due opzioni: (Fig. 7, a) e (Fig. 7, b). Diamo un'occhiata a ciascuno di essi. Due linee che si intersecano UN E B definire un piano. Questo piano interseca due piani paralleli UN E B lungo linee parallele UN 1 IN 1 e UN 2 IN 2 secondo il Teorema 5 sulle rette parallele e sui piani paralleli.
triangoli MA 1 IN 1 e MA 2 IN 2 sono simili (angoli UN 2 MV 2 e UN 1 MV 1 – verticale, angoli MA 1 IN 1 e MA 2 IN 2 – interno disposto trasversalmente con linee parallele UN 1 IN 1 e UN 2 IN 2 e secante UN 1 UN 2). Dalla somiglianza dei triangoli segue la proporzionalità dei lati:
Opzione a):
Opzione b):
Risposta: 10 cm e 50 cm.
Esempio 5. Attraverso il punto UN aereo Gè stata tracciata una linea diretta AB, formando un angolo con il piano UN. Tramite diretto AB viene disegnato un aereo R, formandosi con l'aereo G angolo B. Trova l'angolo formato dalla proiezione di una linea retta AB all'aereo G e aereo R.
Soluzione. Facciamo un disegno (Fig. 8). Dal punto IN abbandonare la perpendicolare al piano G. Angolo diedro lineare tra i piani G E R- questo è un angolo retto ANNO DOMINI DBC, basato sulla perpendicolarità di una linea e di un piano, nonché Basato sulla perpendicolarità dei piani, un piano R perpendicolare al piano del triangolo DBC, poiché passa attraverso la linea ANNO DOMINI. Costruiamo l'angolo desiderato rilasciando la perpendicolare dal punto CON all'aereo R, lo denotiamo Trova il seno di questo angolo di un triangolo rettangolo ME STESSA. Introduciamo un segmento ausiliario a = a.C. Da un triangolo ABC: Da un triangolo Marina Militare troveremo
Quindi l'angolo richiesto
Risposta:
Compiti per una soluzione indipendente
Livello
1.1. Attraverso un punto tracciare una linea perpendicolare a due rette che si intersecano.
1.2. Determina quanti piani diversi possono essere disegnati:
1) attraverso tre punti diversi;
2) attraverso quattro punti diversi, di cui non tre giacciono sullo stesso piano?
1.3. Attraverso i vertici del triangolo ABC giacendo su uno dei due piani paralleli, vengono disegnate linee parallele che intersecano il secondo piano in punti UN 1 , IN 1 , CON 1 . Dimostrare l'uguaglianza dei triangoli ABC E UN 1 IN 1 CON 1 .
1.4. Dall'alto UN rettangolo ABCD perpendicolare ripristinata SONO al suo aereo.
1) dimostrare che i triangoli MBC E MDC– rettangolare;
2) indicare tra i segmenti M.B., M.C., MD E MA segmento di lunghezza maggiore e minore.
1.5. Le facce di un angolo diedro sono corrispondentemente parallele alle facce dell'altro. Determina la relazione tra i valori di questi angoli diedri.
1.6. Trova il valore dell'angolo diedro se la distanza da un punto preso su una faccia al bordo è 2 volte maggiore della distanza dal punto al piano della seconda faccia.
1.7. Da un punto separato dal piano da una distanza si disegnano due pendii inclinati uguali, che formano un angolo di 60º. Le proiezioni oblique sono reciprocamente perpendicolari. Trova le lunghezze di quelli inclinati.
1.8. Dall'alto IN piazza ABCD perpendicolare ripristinata ESSERE al piano del quadrato. Angolo di inclinazione del piano del triangolo ASSO al piano del quadrato è uguale J, il lato del quadrato è UN ASSO.
Livello II
2.1. Per un punto che non appartiene a una delle due rette che si intersecano, traccia una linea che interseca entrambe le rette date.
2.2. Linee parallele UN, B E Con non giacciono sullo stesso piano. Attraverso il punto UN su una linea retta UN si tracciano le perpendicolari alle rette B E Con, intersecandoli rispettivamente nei punti IN E CON. Dimostrare che la linea Sole perpendicolare alle rette B E Con.
2.3. Attraverso l'alto UN triangolo rettangolo ABC si traccia un piano parallelo a Sole. Gambe di un triangolo AC= 20 centimetri, Sole= 15 cm La proiezione di una delle gambe sul piano è 12 cm Trova la proiezione dell'ipotenusa.
2.4. In una delle facce dell'angolo diedro pari a 30º c'è un punto M. La distanza da esso al bordo dell'angolo è di 18 cm Trova la distanza dalla proiezione del punto M alla seconda faccia alla prima faccia.
2.5. Estremità del segmento AB appartengono alle facce di un angolo diedro pari a 90º. Distanza dai punti UN E IN al bordo sono rispettivamente uguali aa 1 = 3 centimetri, BB 1 = 6 cm, distanza tra i punti sul bordo Trova la lunghezza del segmento AB.
2.6. Da un punto situato a una certa distanza dall'aereo UN, se ne disegnano due inclinati, che formano con il piano angoli di 45º e 30º e tra loro un angolo di 90º. Trova la distanza tra le basi di quelli inclinati.
2.7. I lati del triangolo misurano 15 cm, 21 cm e 24 cm M rimosso dal piano del triangolo di 73 cm e situato alla stessa distanza dai suoi vertici. Trova questa distanza.
2.8. Dal centro DI cerchio inscritto in un triangolo ABC, viene ripristinata una perpendicolare al piano del triangolo OM. Trova la distanza dal punto M ai lati del triangolo, se AB = BC = 10 cm, AC= 12 centimetri, OM= 4cm.
2.9. Distanze dal punto M ai lati e al vertice dell'angolo retto misurano rispettivamente 4 cm, 7 cm e 8 cm Trovare la distanza dal punto M al piano di un angolo retto.
2.10. Attraverso la base AB triangolo isoscele ABC l'aereo è disegnato ad angolo B al piano del triangolo. Vertice CON rimosso dall'aereo a una certa distanza UN. Trova l'area del triangolo ABC, se la base AB di un triangolo isoscele è uguale alla sua altezza.
Livello III
3.1. Disposizione rettangolare ABCD con i partiti UN E B piegato in diagonale B.D in modo che i piani dei triangoli CATTIVO E GAV divennero reciprocamente perpendicolari. Trova la lunghezza del segmento AC.
3.2. Due trapezi rettangolari con angoli di 60º giacciono su piani perpendicolari e hanno la base comune maggiore. I lati maggiori misurano cm 4 e cm 8. Trova la distanza tra i vertici delle rette ed i vertici degli angoli ottusi dei trapezi se i vertici dei loro angoli acuti coincidono.
3.3.Cubo dato ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Trova l'angolo formato dalla linea retta CD 1 e aereo BDC 1 .
3.4. Al limite AB Cuba ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 punto preso R- il centro di questa costola. Costruisci una sezione del cubo con un piano passante per i punti C 1 P.D. e trova l'area di questa sezione se lo spigolo del cubo è uguale a UN.
3.5. Di lato ANNO DOMINI rettangolo ABCD viene disegnato un aereo UN in modo che la diagonale B.D forma un angolo di 30º con questo piano. Trova l'angolo tra il piano del rettangolo e il piano UN, Se AB = UN, d.C. = b. Determina in quale rapporto UN E B il problema ha una soluzione.
3.6. Trova il luogo dei punti equidistanti dalle rette definite dai lati del triangolo.
Prisma. Parallelepipedo
Prismaè un poliedro le cui due facce sono n-angoli uguali (basi) , che giacciono su piani paralleli, e le rimanenti n facce sono parallelogrammi (facce laterali) . Nervatura laterale Il lato di un prisma che non appartiene alla base si chiama lato del prisma.
Si chiama prisma i cui bordi laterali sono perpendicolari ai piani delle basi Dritto prisma (Fig. 1). Se i bordi laterali non sono perpendicolari ai piani delle basi, allora si chiama prisma inclinato . Corretto Un prisma è un prisma retto le cui basi sono poligoni regolari.
Altezza prisma è la distanza tra i piani delle basi. Diagonale Un prisma è un segmento che collega due vertici che non appartengono alla stessa faccia. Sezione diagonale si chiama sezione di un prisma mediante un piano passante per due spigoli laterali che non appartengono alla stessa faccia. Sezione perpendicolare si chiama sezione di un prisma lungo un piano perpendicolare al bordo laterale del prisma.
Superficie laterale di un prisma è la somma delle aree di tutte le facce laterali. Superficie totale è detta somma delle aree di tutte le facce del prisma (cioè somma delle aree delle facce laterali e delle aree delle basi).
Per un prisma arbitrario valgono le seguenti formule::
Dove l– lunghezza della costa laterale;
H- altezza;
P
Q
Lato S
S pieno
Base S– area delle basi;
V– volume del prisma.
Per un prisma diritto valgono le seguenti formule:
Dove P– perimetro di base;
l– lunghezza della costa laterale;
H- altezza.
parallelepipedo chiamato prisma la cui base è un parallelogramma. Si chiama parallelepipedo i cui bordi laterali sono perpendicolari alle basi diretto (Fig. 2). Se gli spigoli laterali non sono perpendicolari alle basi si chiama parallelepipedo inclinato . Un parallelepipedo retto la cui base è un rettangolo si chiama rettangolare. Si chiama parallelepipedo rettangolare con tutti gli spigoli uguali cubo
Le facce di un parallelepipedo che non hanno vertici in comune si chiamano opposto . Vengono chiamate le lunghezze degli spigoli che partono da un vertice misurazioni parallelepipedo. Poiché un parallelepipedo è un prisma, i suoi elementi principali sono definiti allo stesso modo in cui sono definiti per i prismi.
Teoremi.
1. Le diagonali di un parallelepipedo si intersecano in un punto e lo dividono in due.
2. In un parallelepipedo rettangolare, il quadrato della lunghezza della diagonale è uguale alla somma dei quadrati delle sue tre dimensioni:
3. Tutte e quattro le diagonali di un parallelepipedo rettangolare sono uguali tra loro.
Per un parallelepipedo qualunque valgono le seguenti formule:
Dove l– lunghezza della costa laterale;
H- altezza;
P– perimetro della sezione perpendicolare;
Q– Area della sezione trasversale perpendicolare;
Lato S– superficie laterale;
S pieno– superficie totale;
Base S– area delle basi;
V– volume del prisma.
Per un parallelepipedo retto sono corrette le seguenti formule:
Dove P– perimetro di base;
l– lunghezza della costa laterale;
H– altezza di un parallelepipedo retto.
Per un parallelepipedo rettangolare sono corrette le seguenti formule:
Dove P– perimetro di base;
H- altezza;
D– diagonale;
a, b, c– misure di un parallelepipedo.
Le seguenti formule sono corrette per un cubo:
Dove UN– lunghezza della costola;
D- diagonale del cubo.
Esempio 1. La diagonale di un parallelepipedo rettangolare è 33 dm e le sue dimensioni sono nel rapporto 2: 6: 9. Trova le dimensioni del parallelepipedo.
Soluzione. Per trovare le dimensioni del parallelepipedo usiamo la formula (3), cioè dal fatto che il quadrato dell'ipotenusa di un cuboide è uguale alla somma dei quadrati delle sue dimensioni. Indichiamo con K fattore di proporzionalità. Allora le dimensioni del parallelepipedo saranno pari a 2 K, 6K e 9 K. Scriviamo la formula (3) per i dati del problema:
Risolvere questa equazione per K, noi abbiamo:
Ciò significa che le dimensioni del parallelepipedo sono 6 dm, 18 dm e 27 dm.
Risposta: 6 DM, 18 DM, 27 DM.
Esempio 2. Trova il volume di un prisma triangolare inclinato, la cui base è un triangolo equilatero con un lato di 8 cm, se il bordo laterale è uguale al lato della base ed è inclinato di un angolo di 60º rispetto alla base.
Soluzione . Facciamo un disegno (Fig. 3).
Per trovare il volume di un prisma inclinato, devi conoscere l'area della sua base e dell'altezza. L'area della base di questo prisma è l'area di un triangolo equilatero con il lato di 8 cm Calcoliamolo:
L'altezza di un prisma è la distanza tra le sue basi. Dall'alto UN 1 della base superiore, abbassare la perpendicolare al piano della base inferiore UN 1 D. La sua lunghezza sarà l'altezza del prisma. Consideriamo D UN 1 ANNO DOMINI: poiché questo è l'angolo di inclinazione del bordo laterale UN 1 UN al piano base, UN 1 UN= 8 cm Da questo triangolo troviamo UN 1 D:
Ora calcoliamo il volume utilizzando la formula (1):
Risposta: 192 cm3.
Esempio 3. Il bordo laterale di un prisma esagonale regolare è di 14 cm L'area della sezione diagonale maggiore è di 168 cm 2. Trova la superficie totale del prisma.
Soluzione. Facciamo un disegno (Fig. 4)
La sezione diagonale più grande è un rettangolo AA. 1 GG 1 dalla diagonale ANNO DOMINI esagono regolare A B C D E Fè il più largo. Per calcolare la superficie laterale del prisma è necessario conoscere il lato della base e la lunghezza del bordo laterale.
Conoscendo l'area della sezione diagonale (rettangolo), troviamo la diagonale della base.
Da allora
Da allora AB= 6cm.
Allora il perimetro della base è:
Troviamo l'area della superficie laterale del prisma:
L'area di un esagono regolare di lato 6 cm è:
Trova la superficie totale del prisma:
Risposta:
Esempio 4. La base di un parallelepipedo retto è un rombo. Le aree della sezione trasversale diagonale sono 300 cm2 e 875 cm2. Trova l'area della superficie laterale del parallelepipedo.
Soluzione. Facciamo un disegno (Fig. 5).
Indichiamo il lato del rombo con UN, diagonali di un rombo D 1 e D 2, altezza parallelepipedo H. Per trovare l'area della superficie laterale di un parallelepipedo retto, è necessario moltiplicare il perimetro della base per l'altezza: (formula (2)). Perimetro di base p = AB + BC + CD + DA = 4AB = 4a, Perché ABCD- rombo H = AA 1 = H. Quello. Ho bisogno di trovare UN E H.
Consideriamo le sezioni diagonali. aa 1 SS 1 – un rettangolo, un lato del quale è la diagonale di un rombo AC = D 1, secondo – bordo laterale aa 1 = H, Poi
Allo stesso modo per la sezione BB 1 GG 1 otteniamo:
Utilizzando la proprietà di un parallelogramma tale che la somma dei quadrati delle diagonali è uguale alla somma dei quadrati di tutti i suoi lati, otteniamo l'uguaglianza. Otteniamo quanto segue:
Esprimiamo dalle prime due uguaglianze e sostituiamole nella terza. Otteniamo: allora
1.3. In un prisma triangolare inclinato si traccia una sezione perpendicolare allo spigolo laterale pari a 12 cm. Nel triangolo risultante due lati di lunghezza cm e 8 cm formano un angolo di 45°. Trova la superficie laterale del prisma.
1.4. La base di un parallelepipedo retto è un rombo con il lato di 4 cm e l'angolo acuto di 60°. Trova le diagonali del parallelepipedo se la lunghezza del bordo laterale è 10 cm.
1.5. La base di un parallelepipedo retto è un quadrato con la diagonale pari a cm. Lo spigolo laterale del parallelepipedo misura 5 cm. Trova la superficie totale del parallelepipedo.
1.6. La base di un parallelepipedo inclinato è un rettangolo con i lati di cm 3 e cm 4. Uno spigolo laterale pari a cm è inclinato rispetto al piano della base di un angolo di 60°. Trova il volume del parallelepipedo.
1.7. Calcola la superficie di un parallelepipedo rettangolo se due bordi e una diagonale uscente da un vertice misurano rispettivamente 11 cm, cm e 13 cm.
1.8. Determina il peso di una colonna di pietra a forma di parallelepipedo rettangolare con dimensioni di 0,3 m, 0,3 me 2,5 m, se il peso specifico del materiale è 2,2 g/cm 3.
1.9. Trova l'area della sezione trasversale diagonale di un cubo se la diagonale della sua faccia è uguale a dm.
1.10. Trovare il volume di un cubo se la distanza tra due dei suoi vertici che non giacciono sulla stessa faccia è pari a cm.
Livello II
2.1. La base del prisma inclinato è un triangolo equilatero di lato cm. Lo spigolo laterale è inclinato rispetto al piano della base di un angolo di 30°. Trova l'area della sezione trasversale del prisma passante per il bordo laterale e l'altezza del prisma se è noto che uno dei vertici della base superiore è proiettato al centro del lato della base inferiore.
2.2. La base del prisma inclinato è un triangolo equilatero ABC con il lato pari a 3 cm.Il vertice A 1 è proiettato nel centro del triangolo ABC. La nervatura AA 1 forma un angolo di 45° con il piano di base. Trova la superficie laterale del prisma.
2.3. Calcola il volume di un prisma triangolare inclinato se i lati della base sono 7 cm, 5 cm e 8 cm e l'altezza del prisma è uguale all'altezza minore del triangolo di base.
2.4. La diagonale di un prisma quadrangolare regolare è inclinata rispetto alla faccia laterale di un angolo di 30°. Trova l'angolo di inclinazione rispetto al piano della base.
2.5. La base di un prisma rettilineo è un trapezio isoscele, le cui basi misurano 4 cm e 14 cm, la diagonale misura 15 cm e le due facce laterali del prisma sono quadrate. Trova la superficie totale del prisma.
2.6. Le diagonali di un prisma esagonale regolare misurano 19 cm e 21 cm. Trovane il volume.
2.7. Trovare le misure di un parallelepipedo rettangolo la cui diagonale è 8 dm e forma con le facce laterali angoli di 30° e 40°.
2.8. Le diagonali della base di un parallelepipedo retto misurano 34 cm e 38 cm, e le aree delle facce laterali sono 800 cm 2 e 1200 cm 2. Trova il volume del parallelepipedo.
2.9. Determina il volume di un parallelepipedo rettangolo in cui le diagonali delle facce laterali uscenti da un vertice misurano 4 cm e 5 cm e formano un angolo di 60°.
2.10. Trova il volume di un cubo se la distanza dalla sua diagonale al bordo che non si interseca con essa è mm.
Livello III
3.1. In un prisma triangolare regolare, viene tracciata una sezione attraverso il lato della base e il centro del bordo laterale opposto. L'area di base è 18 cm 2 e la diagonale della faccia laterale è inclinata rispetto alla base di un angolo di 60°. Trova l'area della sezione trasversale.
3.2. Alla base del prisma si trova un quadrato ABCD, i cui vertici sono tutti equidistanti dal vertice A 1 della base superiore. L'angolo tra il bordo laterale e il piano di base è di 60°. Il lato della base misura cm 12. Costruisci una sezione del prisma con un piano passante per il vertice C, perpendicolare allo spigolo AA 1 e calcolane l'area.
3.3. La base di un prisma rettilineo è un trapezio isoscele. L'area della sezione trasversale diagonale e l'area delle facce laterali parallele sono rispettivamente 320 cm 2 , 176 cm 2 e 336 cm 2 . Trova la superficie laterale del prisma.
3.4. L'area della base di un prisma triangolare retto è 9 cm 2, l'area delle facce laterali è 18 cm 2, 20 cm 2 e 34 cm 2. Trova il volume del prisma.
3.5. Trova le diagonali di un parallelepipedo rettangolo, sapendo che le diagonali delle sue facce sono 11 cm, 19 cm e 20 cm.
3.6. Gli angoli formati dalla diagonale della base di un parallelepipedo rettangolare con il lato della base e dalla diagonale del parallelepipedo sono rispettivamente uguali ad a e b. Trova la superficie laterale del parallelepipedo se la sua diagonale è d.
3.7. L'area della sezione del cubo che è un esagono regolare è pari a cm 2. Trova la superficie del cubo.
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