Aspettativa matematica della tavola di distribuzione. Proprietà dell'aspettativa matematica. Funzione di distribuzione di una variabile casuale discreta
Come è già noto, la legge di distribuzione caratterizza completamente una variabile casuale. Spesso però la legge di distribuzione è sconosciuta e ci si deve limitare a meno informazioni. A volte è ancora più vantaggioso utilizzare numeri che descrivono la variabile casuale in totale; vengono chiamati tali numeri caratteristiche numeriche variabile casuale .
Una delle caratteristiche numeriche importanti è l'aspettativa matematica.
Valore atteso approssimativamente uguale al valore medio della variabile casuale.
Aspettativa matematica di una variabile casuale discretaè la somma dei prodotti di tutti i suoi possibili valori e delle loro probabilità.
Se una variabile casuale è caratterizzata da una serie di distribuzione finita:
| X | x1 | x2 | x3 | … | x n |
| R | pag 1 | pag 2 | pag 3 | … | r p |
poi l'aspettativa matematica M(X) determinato dalla formula:
L'aspettativa matematica di una variabile casuale continua è determinata dall'uguaglianza:
dove è la densità di probabilità della variabile casuale X.
Esempio 4.7. Trova l'aspettativa matematica del numero di punti che appaiono quando si lancia un dado.
Soluzione:
Valore casuale X assume i valori 1, 2, 3, 4, 5, 6. Creiamo la legge della sua distribuzione:
| X | ||||||
| R |
Quindi l'aspettativa matematica è:
Proprietà dell'aspettativa matematica:
1. L'aspettativa matematica di un valore costante è uguale alla costante stessa:
M(S) = S.
2. Il fattore costante può essere estratto dal segno dell'aspettativa matematica:
M(CX) = CM(X).
3. L'aspettativa matematica del prodotto di due variabili casuali indipendenti è uguale al prodotto delle loro aspettative matematiche:
M(XY) = M(X)M(Y).
Esempio 4.8. Variabili casuali indipendenti X E Y sono dati dalle seguenti leggi di distribuzione:
| X | Y | ||||||
| R | 0,6 | 0,1 | 0,3 | R | 0,8 | 0,2 |
Trova l'aspettativa matematica della variabile casuale XY.
Soluzione.
Troviamo le aspettative matematiche di ciascuna di queste quantità:
Variabili casuali X E Y indipendente, quindi l’aspettativa matematica richiesta è:
M(XY) = M(X)M(Y)=
Conseguenza. L'aspettativa matematica del prodotto di diverse variabili casuali reciprocamente indipendenti è uguale al prodotto delle loro aspettative matematiche.
4. L'aspettativa matematica della somma di due variabili casuali è uguale alla somma delle aspettative matematiche dei termini:
M(X + Y) = M(X) + M(Y).
Conseguenza. L'aspettativa matematica della somma di più variabili casuali è uguale alla somma delle aspettative matematiche dei termini.
Esempio 4.9. Vengono sparati 3 colpi con probabilità di colpire il bersaglio pari a pag 1 = 0,4; p2= 0,3 e pag 3= 0,6. Trova l'aspettativa matematica del numero totale di risultati.
Soluzione.
Il numero di colpi al primo colpo è una variabile casuale X1, che può assumere solo due valori: 1 (hit) con probabilità pag 1= 0,4 e 0 (mancato) con probabilità q1 = 1 – 0,4 = 0,6.
L'aspettativa matematica del numero di colpi al primo colpo è uguale alla probabilità di un colpo:
Allo stesso modo, troviamo le aspettative matematiche del numero di colpi per il secondo e il terzo colpo:
M(X2)= 0,3 e M(X3)= 0,6.
Anche il numero totale di colpi a segno è una variabile casuale costituita dalla somma dei colpi a segno in ciascuno dei tre colpi:
X = X1 + X2 + X3.
L'aspettativa matematica richiesta X Lo troviamo utilizzando il teorema sull'aspettativa matematica della somma.
Grandezza
Caratteristiche numeriche fondamentali del casuale
La legge della distribuzione della densità caratterizza una variabile casuale. Ma spesso non si sa e bisogna limitarsi a meno informazioni. A volte è ancora più vantaggioso utilizzare numeri che descrivono una variabile casuale in totale. Tali numeri vengono chiamati caratteristiche numeriche variabile casuale. Diamo un'occhiata a quelli principali.
Definizione:L'aspettativa matematica M(X) di una variabile casuale discreta è la somma dei prodotti di tutti i possibili valori di questa quantità e delle loro probabilità:
Se una variabile casuale discreta X assume quindi un numero numerabile di valori possibili
Inoltre, l'aspettativa matematica esiste se questa serie è assolutamente convergente.
Dalla definizione ne consegue che M(X) una variabile casuale discreta è una variabile non casuale (costante).
Esempio: Permettere X– numero di occorrenze dell'evento UN in una prova, P(A) = p. Dobbiamo trovare l'aspettativa matematica X.
Soluzione: Creiamo una legge di distribuzione tabulare X:
| X | 0 | 1 |
| P | 1 - pag | P |
Troviamo l'aspettativa matematica:
Così, l'aspettativa matematica del numero di occorrenze di un evento in una prova è uguale alla probabilità di questo evento.
Origine del termine valore atteso associato al periodo iniziale dell'emergere della teoria della probabilità (secoli XVI-XVII), quando l'ambito della sua applicazione era limitato al gioco d'azzardo. Il giocatore era interessato al valore medio della vincita attesa, ad es. aspettativa matematica di vincita.
Consideriamo significato probabilistico dell'aspettativa matematica.
Lascia che sia prodotto N test in cui la variabile casuale X accettato m1 valore volte x1, m2 valore volte x2, e così via, e alla fine accettò m k valore volte xk, E m1 + m2 +…+ + mk = n.
Quindi la somma di tutti i valori assunti dalla variabile casuale X, è uguale x1 m1+x2 m2 +…+x k m k.
Media aritmetica di tutti i valori assunti da una variabile casuale X,equivale:
poiché è la frequenza relativa di un valore per qualsiasi valore io = 1,...,k.
Come è noto, se il numero di test Nè sufficientemente grande, allora la frequenza relativa è approssimativamente uguale alla probabilità che l'evento si verifichi, quindi,
Così, .
Conclusione:L'aspettativa matematica di una variabile casuale discreta è approssimativamente uguale (più accurata è la quantità di test) alla media aritmetica dei valori osservati della variabile casuale.
Consideriamo le proprietà di base dell'aspettativa matematica.
Proprietà 1:L'aspettativa matematica di un valore costante è uguale al valore costante stesso:
M(C) = C.
Prova: Costante CON può essere considerato , che ha un possibile significato CON e lo accetta con probabilità p = 1. Quindi, M(C) =C 1=S.
Definiamo prodotto di una variabile costante C e di una variabile casuale discreta X come variabile casuale discreta CX, i cui possibili valori sono uguali ai prodotti della costante CON ai valori possibili X CX pari alle probabilità dei corrispondenti valori possibili X:
| CX | C | C | … | C |
| X | … | |||
| R | … |
Proprietà 2:Il fattore costante può essere estratto dal segno dell'aspettativa matematica:
M(CX) = CM(X).
Prova: Consideriamo la variabile casuale Xè data dalla legge della distribuzione di probabilità:
| X | … | |||
| P | … |
Scriviamo la legge della distribuzione di probabilità di una variabile casuale CX:
| CX | C | C | … | C |
| P | … |
M(CX) = C +C =C + ) =C M(X).
Definizione:Due variabili casuali si dicono indipendenti se la legge di distribuzione di una di esse non dipende da quali possibili valori ha assunto l'altra variabile. Altrimenti le variabili casuali sono dipendenti.
Definizione:Si dice che più variabili casuali siano mutuamente indipendenti se le leggi di distribuzione di un qualsiasi numero di esse non dipendono dai possibili valori assunti dalle rimanenti variabili.
Definiamo prodotto di variabili casuali discrete indipendenti X e Y come variabile casuale discreta XY, i cui valori possibili sono uguali ai prodotti di ciascun valore possibile X per ogni valore possibile Y. Probabilità di valori possibili XY sono uguali ai prodotti delle probabilità dei possibili valori dei fattori.
Sia data la distribuzione delle variabili casuali X E Y:
| X | … | |||
| P | … |
| Y | … | |||
| G | … |
Quindi la distribuzione della variabile casuale XY ha la forma:
| XY | … | |||
| P | … |
Alcune opere potrebbero essere uguali. In questo caso la probabilità di un possibile valore del prodotto è pari alla somma delle probabilità corrispondenti. Ad esempio, se = , la probabilità del valore è
Proprietà 3:L'aspettativa matematica del prodotto di due variabili casuali indipendenti è uguale al prodotto delle loro aspettative matematiche:
M(XY) = M(X) MIO).
Prova: Consideriamo le variabili casuali indipendenti X E Y sono specificati dalle proprie leggi di distribuzione della probabilità:
| X | ||
| P |
| Y | ||
| G |
Per semplificare i calcoli ci limiteremo ad un numero ristretto di valori possibili. Nel caso generale la dimostrazione è simile.
Creiamo una legge di distribuzione di una variabile casuale XY:
| XY | ||||
| P |
M(XY) =
M(X) MIO).
Conseguenza:L'aspettativa matematica del prodotto di diverse variabili casuali reciprocamente indipendenti è uguale al prodotto delle loro aspettative matematiche.
Prova: Dimostriamo il caso di tre variabili casuali reciprocamente indipendenti X,Y,Z. Variabili casuali XY E Z indipendente, allora otteniamo:
M(XYZ) = M(XY Z) = M(XY) M(Z) = M(X) MIO) M(Z).
Per un numero arbitrario di variabili casuali reciprocamente indipendenti, la dimostrazione viene effettuata mediante il metodo dell'induzione matematica.
Esempio: Variabili casuali indipendenti X E Y
| X | 5 | 2 | |
| P | 0,6 | 0,1 | 0,3 |
| Y | 7 | 9 |
| G | 0,8 | 0,2 |
Ho bisogno di trovare M(XY).
Soluzione: Da variabili casuali X E Y sono indipendenti, quindi M(XY)=M(X) M(Y)=(5 0,6+2 0,1+4 0,3) (7 0,8+9 0,2)= 4,4 7,4 = =32,56.
Definiamo somma delle variabili casuali discrete X e Y come variabile casuale discreta X+Y, i cui valori possibili sono uguali alle somme di ciascun valore possibile X con ogni valore possibile Y. Probabilità di valori possibili X+Y per variabili casuali indipendenti X E Y sono uguali ai prodotti delle probabilità dei termini e, per le variabili casuali dipendenti, ai prodotti della probabilità di un termine per la probabilità condizionata del secondo.
Se = e le probabilità di questi valori sono rispettivamente uguali, allora la probabilità (uguale a ) è uguale a .
Proprietà 4:L'aspettativa matematica della somma di due variabili casuali (dipendenti o indipendenti) è uguale alla somma delle aspettative matematiche dei termini:
M(X+Y) = M(X) + M(Y).
Prova: Consideriamo due variabili casuali X E Y sono dati dalle seguenti leggi di distribuzione:
| X | ||
| P |
| Y | ||
| G |
Per semplificare la conclusione ci limiteremo a due possibili valori di ciascuna grandezza. Nel caso generale la dimostrazione è simile.
Componiamo tutti i possibili valori di una variabile casuale X+Y(assumiamo, per semplicità, che questi valori siano diversi; in caso contrario, la dimostrazione è simile):
| X+Y | ||||
| P |
Troviamo l'aspettativa matematica di questo valore.
M(X+Y) = + + + +
Dimostriamo che + = .
Evento X = ( la sua probabilità P(X= ) implica l'evento che la variabile casuale X+Y assumerà il valore o (la probabilità che si verifichi questo evento, secondo il teorema dell'addizione, è pari a ) e viceversa. Allora = .
Le uguaglianze = = = si dimostrano in modo simile
Sostituendo i membri a destra di queste uguaglianze nella formula risultante per l'aspettativa matematica, otteniamo:
M(X + Y) = + ) = M(X) + M(Y).
Conseguenza:L'aspettativa matematica della somma di più variabili casuali è uguale alla somma delle aspettative matematiche dei termini.
Prova: Dimostriamo per tre variabili casuali X,Y,Z. Troviamo l'aspettativa matematica delle variabili casuali X+Y E Z:
M(X+Y+Z)=M((X+Y Z)=M(X+Y) M(Z)=M(X)+M(Y)+M(Z)
Per un numero arbitrario di variabili casuali, la dimostrazione viene effettuata mediante il metodo dell'induzione matematica.
Esempio: Trova la media della somma del numero di punti che si possono ottenere lanciando due dadi.
Soluzione: Permettere X– il numero di punti che possono apparire sul primo dado, Y- Sul secondo. È ovvio che le variabili casuali X E Y hanno le stesse distribuzioni. Annotiamo i dati di distribuzione X E Y in un'unica tabella:
| X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Y | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| P | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
M(X) = M(Y) (1+2+3+4+5+6) = =
M(X + Y) = 7.
Quindi, il valore medio della somma del numero di punti che possono apparire quando si lanciano due dadi è 7 .
Teorema:L'aspettativa matematica M(X) del numero di occorrenze dell'evento A in n prove indipendenti è pari al prodotto del numero di prove e della probabilità del verificarsi dell'evento in ciascuna prova: M(X) = np.
Prova: Permettere X– numero di occorrenze dell'evento UN V N test indipendenti. Ovviamente, numero totale X occorrenze dell'evento UN in queste prove è la somma del numero di occorrenze dell'evento nelle singole prove. Quindi, se il numero di occorrenze di un evento nella prima prova, nella seconda e così via, infine, è il numero di occorrenze dell'evento in N-esimo test, il numero totale di occorrenze dell'evento viene calcolato con la formula:
Di proprietà 4 dell'aspettativa matematica abbiamo:
M(X) = M( ) + … + M( ).
Poiché l'aspettativa matematica del numero di occorrenze di un evento in una prova è uguale alla probabilità dell'evento, allora
M( ) = M( )= … = M( ) = pag.
Quindi, M(X) = np.
Esempio: La probabilità di colpire il bersaglio quando si spara con una pistola è p = 0,6. Trova il numero medio di colpi se realizzati 10 colpi.
Soluzione: La centratura di ogni colpo non dipende dagli esiti degli altri colpi, pertanto gli eventi considerati sono indipendenti e, quindi, l'aspettativa matematica richiesta è pari a:
M(X) = np = 10 0,6 = 6.
Quindi il numero medio di risultati è 6.
Consideriamo ora l'aspettativa matematica di una variabile casuale continua.
Definizione:L'aspettativa matematica di una variabile casuale continua X, i cui possibili valori appartengono all'intervallo,chiamato integrale definito:
dove f(x) è la densità della distribuzione di probabilità.
Se i possibili valori di una variabile casuale continua X appartengono all’intero asse Ox, allora
Si presume che questo integrale improprio converge assolutamente, cioè l'integrale converge Se questo requisito non fosse soddisfatto, allora il valore dell'integrale dipenderebbe dalla velocità con cui (separatamente) il limite inferiore tende a -∞ e il limite superiore tende a +∞.
Questo può essere dimostrato tutte le proprietà dell'aspettativa matematica di una variabile casuale discreta sono preservate per una variabile casuale continua. La dimostrazione si basa sulle proprietà degli integrali definiti e impropri.
È ovvio che l'aspettativa matematica M(X) maggiore del valore più piccolo e inferiore al valore più grande possibile della variabile casuale X. Quelli. sull'asse dei numeri, i possibili valori di una variabile casuale si trovano a sinistra e a destra della sua aspettativa matematica. In questo senso, l'aspettativa matematica M(X) caratterizza la posizione della distribuzione ed è quindi spesso chiamato centro di distribuzione.
1. L'aspettativa matematica di un valore costante è uguale alla costante stessa M(S)=C
.
2. Il fattore costante può essere estratto dal segno dell'aspettativa matematica: M(CX)=CM(X)
3. L'aspettativa matematica del prodotto di due variabili casuali indipendenti è uguale al prodotto delle loro aspettative matematiche: M(XY)=M(X) M(Y).
4. L'aspettativa matematica della somma di due variabili casuali è uguale alla somma delle aspettative matematiche dei termini: M(X+Y)=M(X)+M(Y).
Teorema. L'aspettativa matematica M(x) del numero di occorrenze degli eventi A in n prove indipendenti è uguale al prodotto di queste prove per la probabilità di occorrenza degli eventi in ciascuna prova: M(x) = np.
Permettere X - variabile casuale e M(X) – la sua aspettativa matematica. Consideriamo come nuova variabile casuale la differenza X-M(X).
La deviazione è la differenza tra una variabile casuale e la sua aspettativa matematica.
La deviazione ha la seguente legge di distribuzione:
Soluzione: troviamo l'aspettativa matematica:
2 =(1-2.3) 2 =1.69
2 =(2-2.3) 2 =0.09
2 =(5-2.3) 2 =7.29
Scriviamo la legge di distribuzione della deviazione quadrata:
Soluzione: Troviamo l'aspettativa matematica di M(x): M(x)=2 0.1+3 0.6+5 0.3=3.5
Scriviamo la legge di distribuzione della variabile casuale X 2
| X2 | |||
| P | 0.1 | 0.6 | 0.3 |
Troviamo l'aspettativa matematica M(x2):M(x2) = 4 0.1+9 0.6+25 0.3=13.5
La varianza richiesta è D(x)=M(x 2)- 2 =13,3-(3,5) 2 =1,05
Proprietà di dispersione:
1. Varianza di un valore costante CON
uguale a zero: D(C)=0
2. Il fattore costante può essere eliminato dal segno di dispersione elevandolo al quadrato. D(Cx)=C2D(x)
3. La varianza della somma delle variabili casuali indipendenti è uguale alla somma delle varianze di queste variabili. D(X 1 +X 2 +...+X n)=D(X 1)+D(X 2)+...+D(X n)
4. Varianza distribuzione binomiale pari al prodotto del numero di prove per la probabilità che si verifichi o meno un evento in una prova D(X)=npq
Per stimare la dispersione dei possibili valori di una variabile casuale attorno al suo valore medio, oltre alla dispersione, vengono utilizzate anche alcune altre caratteristiche. Questi includono la deviazione standard.
Deviazione standard di una variabile casuale X si chiama radice quadrata della varianza:
σ(X) = √D(X) (4)
Esempio. La variabile casuale X è data dalla legge di distribuzione
| X | |||
| P | 0.1 | 0.4 | 0.5 |
Trova la deviazione standard σ(x)
Soluzione: Troviamo l'aspettativa matematica di X: M(x)=2 0.1+3 0.4+10 0.5=6.4
Troviamo l'aspettativa matematica di X 2: M(x 2)=2 2 0.1+3 2 0.4+10 2 0.5=54
Troviamo la varianza: D(x)=M(x 2)=M(x 2)- 2 =54-6,4 2 =13,04
La deviazione standard richiesta σ(X)=√D(X)=√13,04≈3,61
Teorema. La deviazione standard della somma di un numero finito di variabili casuali reciprocamente indipendenti è uguale a radice quadrata dalla somma dei quadrati delle deviazioni standard di queste quantità:
Esempio. Su uno scaffale di 6 libri, 3 libri di matematica e 3 di fisica. Si scelgono a caso tre libri. Trova la legge di distribuzione del numero di libri di matematica tra i libri selezionati. Trova l'aspettativa matematica e la varianza di questa variabile casuale.
D(X)= M(X2) - M(X) 2 = 2,7 – 1,5 2 = 0,45
Soluzione:
6.1.2 Proprietà dell'aspettativa matematica
1. L'aspettativa matematica di un valore costante è uguale alla costante stessa.
2. Il fattore costante può essere eliminato come segno dell'aspettativa matematica. 
3. L'aspettativa matematica del prodotto di due variabili casuali indipendenti è uguale al prodotto delle loro aspettative matematiche.
Questa proprietà è vera per un numero arbitrario di variabili casuali.
4. L'aspettativa matematica della somma di due variabili casuali è uguale alla somma delle aspettative matematiche dei termini.
Questa proprietà è vera anche per un numero arbitrario di variabili casuali.
Esempio: M(X) = 5, MIO)= 2. Trova l'aspettativa matematica di una variabile casuale Z, applicando le proprietà dell'aspettativa matematica, se è noto Z=2X+3Y.
Soluzione: M(Z) = M(2X + 3Y) = M(2X) + M(3Y) = 2M(X) + 3M(Y) = 2∙5+3∙2 =
1) l'aspettativa matematica della somma è uguale alla somma delle aspettative matematiche
2) il fattore costante può essere tolto dal segno dell'aspettativa matematica
Si effettuino n prove indipendenti, la probabilità che si verifichi l'evento A in cui è pari a p. Allora vale il seguente teorema:
Teorema. L'aspettativa matematica M(X) del numero di occorrenze dell'evento A in n prove indipendenti è pari al prodotto del numero di prove e della probabilità del verificarsi dell'evento in ciascuna prova.
6.1.3 Dispersione di una variabile casuale discreta
L'aspettativa matematica non può caratterizzare pienamente un processo casuale. Oltre all'aspettativa matematica, è necessario inserire un valore che caratterizzi la deviazione dei valori della variabile casuale dall'aspettativa matematica.
Questa deviazione è uguale alla differenza tra la variabile casuale e la sua aspettativa matematica. In questo caso, l'aspettativa matematica della deviazione è zero. Ciò è spiegato dal fatto che alcune possibili deviazioni sono positive, altre sono negative e, come risultato della loro reciproca cancellazione, si ottiene zero.
Dispersione (scattering) di una variabile casuale discreta è l'aspettativa matematica della deviazione al quadrato della variabile casuale dalla sua aspettativa matematica.
In pratica, questo metodo di calcolo della varianza è scomodo, perché porta a calcoli complicati per un gran numero di valori di variabili casuali.
Pertanto, viene utilizzato un altro metodo.
Teorema. La varianza è uguale alla differenza tra l'aspettativa matematica del quadrato della variabile casuale X e il quadrato della sua aspettativa matematica.
Prova. Tenendo conto del fatto che il valore atteso matematico M(X) e il quadrato del valore atteso matematico M2(X) sono quantità costanti, possiamo scrivere:
Esempio. Trova la varianza di una variabile casuale discreta data dalla legge di distribuzione.
| X | ||||
| X2 | ||||
| R | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Soluzione: .
6.1.4 Proprietà di dispersione
1. La varianza di un valore costante è zero. .
2. Il fattore costante può essere eliminato dal segno di dispersione elevandolo al quadrato. 
.
3. La varianza della somma di due variabili casuali indipendenti è uguale alla somma delle varianze di queste variabili. .
4. La varianza della differenza tra due variabili casuali indipendenti è uguale alla somma delle varianze di queste variabili. .
Teorema. La varianza del numero di occorrenze dell'evento A in n prove indipendenti, in ciascuna delle quali la probabilità p del verificarsi dell'evento è costante, è pari al prodotto del numero di prove per le probabilità di accadimento e non- verificarsi dell'evento in ciascuna prova.
Esempio: trovare la varianza di DSV X - il numero di occorrenze dell'evento A in 2 prove indipendenti, se la probabilità del verificarsi dell'evento in queste prove è la stessa ed è noto che M(X) = 1,2.
Applichiamo il teorema della sezione 6.1.2:
M(X) = np
M(X) = 1,2; N= 2. Troviamo P:
1,2 = 2∙P
P = 1,2/2
Q = 1 – P = 1 – 0,6 = 0,4
Troviamo la varianza utilizzando la formula:
D(X) = 2∙0,6∙0,4 = 0,48
6.1.5 Deviazione standard di una variabile casuale discreta
Deviazione standard la variabile casuale X è detta radice quadrata della varianza.
(25)
Teorema. La deviazione standard della somma di un numero finito di variabili casuali reciprocamente indipendenti è uguale alla radice quadrata della somma dei quadrati delle deviazioni standard di queste variabili.
6.1.6 Moda e mediana di una variabile casuale discreta
Moda M o DSV viene chiamato il valore più probabile di una variabile casuale (cioè il valore che ha la probabilità più alta)
Mediana M e DSVè il valore di una variabile casuale che divide a metà la serie di distribuzione. Se il numero di valori di una variabile casuale è pari, la mediana si trova come media aritmetica di due valori medi.
Esempio: trovare la moda e la mediana del DSV X:
| X | ||||
| P | 0.2 | 0.3 | 0.1 | 0.4 |
Me = = 5,5
Progresso
1. Familiarizzare con la parte teorica di questo lavoro (lezioni frontali, libro di testo).
2. Completa l'attività secondo la tua versione.
3. Fai una relazione sul lavoro.
4. Proteggi il tuo lavoro.
2. Scopo del lavoro.
3. Avanzamento dei lavori.
4. Risolvere la propria opzione.
6.4 Opzioni attività per lavoro indipendente
Opzione 1
1. Trova l'aspettativa matematica, la dispersione, la deviazione standard, la modalità e la mediana del DSV X, dati dalla legge di distribuzione.
| X | ||||
| P | 0.1 | 0.6 | 0.2 | 0.1 |
2. Trova l'aspettativa matematica della variabile casuale Z se le aspettative matematiche di X e Y sono note: M(X)=6, M(Y)=4, Z=5X+3Y.
3. Trova la varianza di DSV X - il numero di occorrenze dell'evento A in due prove indipendenti, se le probabilità di occorrenza degli eventi in queste prove sono le stesse ed è noto che M (X) = 1.
4. Viene fornito un elenco di possibili valori di una variabile casuale discreta X: x1 = 1, x2 = 2, x3= 5, e sono note anche le aspettative matematiche di questo valore e del suo quadrato: , . Trovare le probabilità , , , corrispondenti ai possibili valori di , , e redigere la legge di distribuzione DSV.
Opzione n. 2
| X | ||||
| P | 0.3 | 0.1 | 0.2 | 0.4 |
2. Trova l'aspettativa matematica della variabile casuale Z se le aspettative matematiche di X e Y sono note: M(X)=5, M(Y)=8, Z=6X+2Y.
3. Trova la varianza di DSV X - il numero di occorrenze dell'evento A in tre prove indipendenti, se le probabilità di occorrenza degli eventi in queste prove sono le stesse ed è noto che M (X) = 0,9.
4. Viene fornito un elenco di possibili valori di una variabile casuale discreta X: x1 = 1, x2 = 2, x3 = 4, x4= 10, e sono note anche le aspettative matematiche di questo valore e del suo quadrato: , . Trovare le probabilità , , , corrispondenti ai possibili valori di , , e redigere la legge di distribuzione DSV.
Opzione n.3
1. Trova l'aspettativa matematica, la dispersione e la deviazione standard di DSV X, date dalla legge di distribuzione.
| X | ||||
| P | 0.5 | 0.1 | 0.2 | 0.3 |
2. Trova l'aspettativa matematica della variabile casuale Z se le aspettative matematiche di X e Y sono note: M(X)=3, M(Y)=4, Z=4X+2Y.
3. Trova la varianza di DSV X - il numero di occorrenze dell'evento A in quattro prove indipendenti, se le probabilità di occorrenza degli eventi in queste prove sono le stesse ed è noto che M (x) = 1,2.
Il concetto di aspettativa matematica può essere considerato usando l'esempio del lancio di un dado. Ad ogni lancio vengono registrati i punti persi. Per esprimerli vengono utilizzati valori naturali compresi tra 1 e 6.
Dopo un certo numero di lanci, mediante semplici calcoli, si può ricavare la media aritmetica dei punti lanciati.
Proprio come il verificarsi di uno qualsiasi dei valori nell'intervallo, questo valore sarà casuale.
Cosa succede se aumenti il numero di lanci più volte? Con un gran numero di lanci, la media aritmetica dei punti si avvicinerà ad un numero specifico, che nella teoria della probabilità è chiamato aspettativa matematica.
Quindi, per aspettativa matematica intendiamo il valore medio di una variabile casuale. Questo indicatore può anche essere presentato come una somma ponderata di valori di valore probabili.
Questo concetto ha diversi sinonimi:
- valore medio;
- valore medio;
- indicatore di tendenza centrale;
- primo momento.
In altre parole non è altro che un numero attorno al quale sono distribuiti i valori di una variabile casuale.
Nelle diverse sfere dell’attività umana, gli approcci alla comprensione delle aspettative matematiche saranno leggermente diversi.
Può essere considerato come:
- il beneficio medio ottenuto dal prendere una decisione, quando tale decisione è considerata dal punto di vista della teoria dei grandi numeri;
- l'eventuale importo di vincita o perdita (teoria del gioco d'azzardo), calcolato in media per ciascuna scommessa. In gergo suonano come “vantaggio del giocatore” (positivo per il giocatore) o “vantaggio del casinò” (negativo per il giocatore);
- percentuale del profitto ricevuto dalle vincite.
L'aspettativa non è obbligatoria per tutte le variabili casuali. È assente per chi ha una discrepanza nella somma o nell'integrale corrispondente.
Proprietà dell'aspettativa matematica
Come ogni parametro statistico, l'aspettativa matematica ha le seguenti proprietà:
Formule di base per l'aspettativa matematica
Il calcolo del valore atteso matematico può essere effettuato sia per variabili aleatorie caratterizzate sia da continuità (formula A) che da discretezza (formula B):
- M(X)=∑i=1nxi⋅pi, dove xi sono i valori della variabile casuale, pi sono le probabilità:
- M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, dove f(x) è la densità di probabilità data.
Esempi di calcolo delle aspettative matematiche
Esempio A.
È possibile scoprire l'altezza media dei nani nella fiaba di Biancaneve. È noto che ciascuno dei 7 nani aveva una certa altezza: 1,25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 e 0,81 m.
L'algoritmo di calcolo è abbastanza semplice:
- troviamo la somma di tutti i valori dell'indicatore di crescita (variabile casuale):
1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31; - Dividi l'importo risultante per il numero di gnomi:
6,31:7=0,90.
Pertanto, l'altezza media degli gnomi in una fiaba è di 90 cm, in altre parole, questa è l'aspettativa matematica della crescita degli gnomi.
Formula di lavoro - M(x)=4 0,2+6 0,3+10 0,5=6
Implementazione pratica dell'aspettativa matematica
Il calcolo dell'indicatore statistico dell'aspettativa matematica viene utilizzato in varie aree di attività pratica. Parliamo innanzitutto della sfera commerciale. Dopotutto, l'introduzione di questo indicatore da parte di Huygens è associata alla determinazione delle probabilità che possono essere favorevoli o, al contrario, sfavorevoli per qualche evento.
Questo parametro è ampiamente utilizzato per valutare i rischi, soprattutto quando si tratta di investimenti finanziari.
Pertanto, negli affari, il calcolo delle aspettative matematiche funge da metodo per valutare il rischio nel calcolo dei prezzi.
Questo indicatore può essere utilizzato anche per calcolare l'efficacia di determinate misure, ad esempio la tutela del lavoro. Grazie ad esso è possibile calcolare la probabilità che si verifichi un evento.
Un altro ambito di applicazione di questo parametro è la gestione. Può anche essere calcolato durante il controllo qualità del prodotto. Ad esempio, utilizzando mat. aspettative, è possibile calcolare il possibile numero di parti difettose prodotte.
L'aspettativa matematica risulta essere insostituibile anche quando si effettuano elaborazioni statistiche dei risultati ottenuti durante ricerca scientifica risultati. Consente di calcolare la probabilità di un risultato desiderato o indesiderato di un esperimento o studio a seconda del livello di raggiungimento dell'obiettivo. Dopotutto, il suo raggiungimento può essere associato a guadagno e beneficio, e il suo fallimento può essere associato a perdita o perdita.
Utilizzo delle aspettative matematiche nel Forex
Uso pratico questo parametro statistico è possibile quando si effettuano operazioni sul mercato dei cambi. Con il suo aiuto, puoi analizzare il successo delle transazioni commerciali. Inoltre, un aumento del valore dell’aspettativa indica un aumento del loro successo.
È anche importante ricordare che l’aspettativa matematica non deve essere considerata come l’unico parametro statistico utilizzato per analizzare la performance di un trader. L'uso di diversi parametri statistici insieme al valore medio aumenta significativamente la precisione dell'analisi.
Questo parametro si è dimostrato efficace nel monitoraggio delle osservazioni dei conti di trading. Grazie ad esso viene effettuata una rapida valutazione del lavoro svolto sul conto deposito. Nei casi in cui l’attività del trader ha successo ed evita perdite, non è consigliabile utilizzare esclusivamente il calcolo delle aspettative matematiche. In questi casi i rischi non vengono presi in considerazione, il che riduce l’efficacia dell’analisi.
Gli studi condotti sulle tattiche dei trader indicano che:
- Le tattiche più efficaci sono quelle basate sull'inserimento casuale;
- Le meno efficaci sono le tattiche basate su input strutturati.
Per ottenere risultati positivi, non meno importanti sono:
- tattiche di gestione del denaro;
- strategie di uscita.
Utilizzando un indicatore come l'aspettativa matematica, puoi prevedere quale sarà il profitto o la perdita quando investi 1 dollaro. È noto che questo indicatore, calcolato per tutti i giochi praticati nel casinò, è a favore dello stabilimento. Questo è ciò che ti permette di fare soldi. Nel caso di una lunga serie di giochi, la probabilità che un cliente perda denaro aumenta in modo significativo.
I giochi giocati da giocatori professionisti sono limitati a brevi periodi di tempo, il che aumenta la probabilità di vincere e riduce il rischio di perdere. Lo stesso schema si osserva quando si eseguono operazioni di investimento.
Un investitore può guadagnare una somma significativa avendo aspettative positive ed effettuando un gran numero di transazioni in un breve periodo di tempo.
Le aspettative possono essere pensate come la differenza tra la percentuale di profitto (PW) moltiplicata per il profitto medio (AW) e la probabilità di perdita (PL) moltiplicata per la perdita media (AL).
Ad esempio, possiamo considerare quanto segue: posizione – 12,5 mila dollari, portafoglio – 100 mila dollari, rischio di deposito – 1%. La redditività delle transazioni è del 40% dei casi con un profitto medio del 20%. In caso di perdita, la perdita media è del 5%. Calcolando l'aspettativa matematica per la transazione si ottiene un valore di $ 625.
Caricamento...