Matrici, loro classificazione, operazioni aritmetiche sulle matrici. Matrici. Definizioni fondamentali e tipi di matrici. Azioni sulle matrici. Il concetto di rango di matrice. Operazioni sulle matrici. Concetto e ricerca di una matrice inversa Tipi speciali di matrici

Una matrice è un oggetto speciale in matematica. È raffigurato sotto forma di tavolo rettangolare o quadrato, composto da un certo numero di righe e colonne. In matematica esiste un'ampia varietà di tipi di matrici, che variano per dimensioni o contenuto. I numeri delle sue righe e colonne sono chiamati ordini. Questi oggetti vengono utilizzati in matematica per organizzare la registrazione dei sistemi equazioni lineari e una comoda ricerca dei risultati. Le equazioni che utilizzano una matrice vengono risolte utilizzando il metodo di Carl Gauss, Gabriel Cramer, minori e addizioni algebriche, nonché molti altri metodi. L'abilità di base quando si lavora con le matrici è la riduzione a. Tuttavia, per prima cosa, scopriamo quali tipi di matrici si distinguono per i matematici.

Tipo nullo

Tutti i componenti di questo tipo di matrice sono zero. Nel frattempo, il numero delle sue righe e colonne è completamente diverso.

Tipo quadrato

Il numero di colonne e righe di questo tipo di matrice è lo stesso. In altre parole, è un tavolo dalla forma “quadrata”. Il numero delle sue colonne (o righe) è chiamato ordine. Casi particolari sono considerati l'esistenza di una matrice del secondo ordine (matrice 2x2), del quarto ordine (4x4), del decimo ordine (10x10), del diciassettesimo ordine (17x17) e così via.

Vettore di colonna

Questo è uno dei tipi più semplici di matrici, contenente solo una colonna, che include tre valori numerici. Rappresenta un numero di termini liberi (numeri indipendenti dalle variabili) in sistemi di equazioni lineari.

Vista simile alla precedente. È costituito da tre elementi numerici, a loro volta organizzati in un'unica riga.

Tipo diagonale

I valori numerici nella forma diagonale della matrice assumono solo le componenti della diagonale principale (evidenziate in verde). La diagonale principale inizia rispettivamente con l'elemento situato nell'angolo in alto a sinistra e termina rispettivamente con l'elemento in basso a destra. Le restanti componenti sono pari a zero. Il tipo diagonale è solo una matrice quadrata di qualche ordine. Tra le matrici diagonali si può distinguere quella scalare. Tutti i suoi componenti assumono gli stessi valori.

Un sottotipo di matrice diagonale. Tutta lei valori numerici sono unità. Utilizzando un singolo tipo di tabella di matrice, si eseguono le sue trasformazioni di base o si trova una matrice inversa a quella originale.

Tipo canonico

La forma canonica della matrice è considerata una delle principali; Ridursi a esso è spesso necessario per lavoro. Il numero di righe e colonne in una matrice canonica varia e non appartiene necessariamente al tipo quadrato. È in qualche modo simile alla matrice identità, ma nel suo caso non tutte le componenti della diagonale principale assumono valore pari a uno. Possono esserci due o quattro unità diagonali principali (tutto dipende dalla lunghezza e larghezza della matrice). Oppure potrebbero non esserci affatto unità (quindi è considerato zero). Le restanti componenti di tipo canonico, nonché gli elementi diagonali e unitari, sono pari a zero.

Tipo triangolare

Uno dei tipi di matrice più importanti, utilizzato durante la ricerca del suo determinante e durante l'esecuzione di semplici operazioni. Il tipo triangolare deriva dal tipo diagonale, quindi anche la matrice è quadrata. Il tipo di matrice triangolare è diviso in triangolare superiore e triangolare inferiore.

In una matrice triangolare superiore (Fig. 1), solo gli elementi che sono al di sopra della diagonale principale assumono un valore pari a zero. I componenti della diagonale stessa e la parte della matrice situata sotto di essa contengono valori numerici.

Nella matrice triangolare inferiore (Fig. 2), invece, gli elementi situati nella parte inferiore della matrice sono uguali a zero.

Il tipo è necessario per trovare il rango di una matrice, nonché per le operazioni elementari su di esse (insieme al tipo triangolare). La matrice a passi è così chiamata perché contiene caratteristici "passi" di zeri (come mostrato in figura). Nel tipo passo, si forma una diagonale di zeri (non necessariamente quella principale) e anche tutti gli elementi sotto questa diagonale hanno valori uguali a zero. Un prerequisito è il seguente: se nella matrice dei passi è presente una riga zero, anche le restanti righe sottostanti non contengono valori numerici.

Pertanto, abbiamo esaminato i tipi più importanti di matrici necessarie per lavorare con loro. Consideriamo ora il problema di convertire la matrice nella forma richiesta.

Riduzione alla forma triangolare

Come portare una matrice alla forma triangolare? Molto spesso nei compiti è necessario trasformare una matrice in una forma triangolare per trovare il suo determinante, altrimenti chiamato determinante. Quando si esegue questa procedura, è estremamente importante “preservare” la diagonale principale della matrice, poiché il determinante di una matrice triangolare è uguale al prodotto delle componenti della sua diagonale principale. Vorrei anche ricordare metodi alternativi per trovare il determinante. Il determinante del tipo quadrato si trova utilizzando formule speciali. Ad esempio, puoi utilizzare il metodo del triangolo. Per le altre matrici viene utilizzato il metodo della scomposizione per riga, colonna o loro elementi. Puoi anche utilizzare il metodo dei minori e delle addizioni di matrici algebriche.

Analizziamo in dettaglio il processo di riduzione di una matrice in una forma triangolare utilizzando esempi di alcuni compiti.

Esercizio 1

È necessario trovare il determinante della matrice presentata utilizzando il metodo per ridurla alla forma triangolare.

La matrice che ci viene fornita è una matrice quadrata del terzo ordine. Pertanto, per trasformarlo in una forma triangolare, dovremo azzerare due componenti della prima colonna e una componente della seconda.

Per portarlo alla forma triangolare, iniziamo la trasformazione dall'angolo in basso a sinistra della matrice - dal numero 6. Per portarlo a zero, moltiplica la prima riga per tre e sottraila dall'ultima riga.

Importante! La riga superiore non cambia, ma rimane la stessa della matrice originale. Non è necessario scrivere una stringa quattro volte più grande di quella originale. Ma i valori delle stringhe i cui componenti devono essere impostati su zero cambiano costantemente.

Rimane solo l'ultimo valore: l'elemento della terza riga della seconda colonna. Questo è il numero (-1). Per portarlo a zero, sottrai il secondo dalla prima riga.

Controlliamo:

detA = 2 x (-1) x 11 = -22.

Ciò significa che la risposta al compito è -22.

Compito 2

È necessario trovare il determinante della matrice riducendola alla forma triangolare.

La matrice presentata appartiene al tipo quadrato ed è una matrice del quarto ordine. Ciò significa che è necessario azzerare tre componenti della prima colonna, due componenti della seconda colonna e un componente della terza.

Iniziamo a ridurlo con l'elemento situato nell'angolo in basso a sinistra, con il numero 4. Dobbiamo portare questo numero a zero. Il modo più semplice per farlo è moltiplicare la riga superiore per quattro e poi sottrarla dalla quarta. Scriviamo il risultato della prima fase di trasformazione.

Quindi il componente della quarta riga è impostato su zero. Passiamo al primo elemento della terza riga, al numero 3. Eseguiamo un'operazione simile. Moltiplichiamo la prima riga per tre, sottraiamola dalla terza riga e annotiamo il risultato.

Siamo riusciti a portare a zero tutti i componenti della prima colonna di questa matrice quadrata, ad eccezione del numero 1, un elemento della diagonale principale che non richiede trasformazione. Ora è importante preservare gli zeri risultanti, quindi eseguiremo le trasformazioni con le righe, non con le colonne. Passiamo alla seconda colonna della matrice presentata.

Ricominciamo dal basso, con l'elemento della seconda colonna dell'ultima riga. Questo numero è (-7). Tuttavia, dentro in questo casoÈ più conveniente iniziare con il numero (-1), l'elemento della seconda colonna della terza riga. Per portarlo a zero, sottrai il secondo dalla terza riga. Quindi moltiplichiamo la seconda riga per sette e la sottraiamo dalla quarta. Abbiamo ottenuto zero invece dell'elemento situato nella quarta riga della seconda colonna. Passiamo ora alla terza colonna.

In questa colonna dobbiamo trasformare solo un numero in zero - 4. Questo non è difficile da fare: aggiungiamo semplicemente un terzo all'ultima riga e vediamo lo zero di cui abbiamo bisogno.

Dopo tutte le trasformazioni effettuate, abbiamo portato la matrice proposta ad una forma triangolare. Ora, per trovare il suo determinante, devi solo moltiplicare gli elementi risultanti della diagonale principale. Noi abbiamo: detA = 1 x (-1) x (-4) x 40 = 160. Pertanto la soluzione è 160.

Quindi, ora la questione di ridurre la matrice alla forma triangolare non ti disturberà.

Riduzione a una forma a gradini

Per le operazioni elementari sulle matrici, la forma a gradini è meno “richiesta” di quella triangolare. Viene spesso utilizzato per trovare il rango di una matrice (ovvero il numero delle sue righe diverse da zero) o per determinare righe linearmente dipendenti e indipendenti. Tuttavia, il tipo di matrice a gradini è più universale, poiché è adatto non solo al tipo quadrato, ma anche a tutti gli altri.

Per ridurre una matrice alla forma graduale, devi prima trovare il suo determinante. I metodi sopra indicati sono adatti a questo. Lo scopo di trovare il determinante è scoprire se può essere convertito in una matrice a gradini. Se il determinante è maggiore o minore di zero, puoi procedere tranquillamente all'attività. Se è uguale a zero non sarà possibile ridurre la matrice ad una forma graduale. In questo caso bisogna verificare se ci sono errori nella registrazione o nelle trasformazioni della matrice. Se non ci sono tali imprecisioni, il compito non può essere risolto.

Diamo un'occhiata a come ridurre una matrice a una forma graduale utilizzando esempi di diverse attività.

Esercizio 1. Trova il rango della tabella della matrice data.

Davanti a noi c'è una matrice quadrata del terzo ordine (3x3). Sappiamo che per trovare il rango è necessario ridurlo ad una forma graduale. Pertanto, per prima cosa dobbiamo trovare il determinante della matrice. Usiamo il metodo del triangolo: detA = (1 x 5 x 0) + (2 x 1 x 2) + (6 x 3 x 4) - (1 x 1 x 4) - (2 x 3 x 0) - (6 x 5 x 2) = 12.

Determinante = 12. È maggiore di zero, il che significa che la matrice può essere ridotta a una forma graduale. Iniziamo a trasformarlo.

Iniziamo con l'elemento della colonna sinistra della terza riga: il numero 2. Moltiplica la riga superiore per due e sottraila dalla terza. Grazie a questa operazione, sia l'elemento di cui abbiamo bisogno che il numero 4 - l'elemento della seconda colonna della terza riga - sono diventati zero.

Vediamo che come risultato della riduzione si è formata una matrice triangolare. Nel nostro caso non possiamo continuare la trasformazione, poiché le restanti componenti non possono essere ridotte a zero.

Ciò significa che concludiamo che il numero di righe contenenti valori numerici in questa matrice (o il suo rango) è 3. La risposta al compito: 3.

Compito 2. Determina il numero di righe linearmente indipendenti di questa matrice.

Dobbiamo trovare stringhe che non possono essere convertite in zero mediante alcuna trasformazione. Dobbiamo infatti trovare il numero di righe diverse da zero, ovvero il rango della matrice presentata. Per fare ciò, semplifichiamolo.

Vediamo una matrice che non appartiene al tipo quadrato. Misura 3x4. Iniziamo anche la riduzione con l'elemento dell'angolo in basso a sinistra: il numero (-1).

Le sue ulteriori trasformazioni sono impossibili. Ciò significa che concludiamo che il numero di linee linearmente indipendenti in esso contenute e la risposta al compito è 3.

Ora ridurre la matrice a una forma a gradini non è un compito impossibile per te.

Utilizzando esempi di questi compiti, abbiamo esaminato la riduzione di una matrice a una forma triangolare e a una forma a gradini. Per portare a zero i valori desiderati delle tabelle a matrice, in alcuni casi è necessario usare la propria immaginazione e convertire correttamente le loro colonne o righe. Buona fortuna in matematica e nel lavoro con le matrici!

Concetto/definizione di matrice. Tipi di matrici

Definizione di matrice. Una matrice è una tabella rettangolare di numeri contenente un certo numero di m righe e un certo numero di n colonne.

Concetti base della matrice: I numeri m e n sono detti ordini della matrice. Se m=n, la matrice viene chiamata piazza, e il numero m=n è il suo ordine.

Nel seguito verrà utilizzata la notazione per scrivere la matrice: Anche se talvolta la notazione si trova in letteratura: Tuttavia, per denotare brevemente una matrice, viene spesso utilizzata una lettera grande dell'alfabeto latino (ad esempio, A), o il simbolo ||aij||, e talvolta con una spiegazione: A=||aij||=(aij ) (i=1, 2,…,m; j=1,2,…n)

I numeri aij inclusi in questa matrice sono detti suoi elementi. Nella voce aij, il primo indice i è il numero di riga e il secondo indice j è il numero di colonna.

Ad esempio, matrice questa è una matrice di ordine 2×3, i suoi elementi sono a11=1, a12=x, a13=3, a21=-2y, ...

Abbiamo quindi introdotto la definizione di matrice. Consideriamo i tipi di matrici e diamo le definizioni corrispondenti.

Tipi di matrici

Introduciamo il concetto di matrici: quadrato, diagonale, unità e zero.

Definizione di matrice quadrata: Matrice quadrata Una matrice di ordine n è detta matrice n×n.

Nel caso di una matrice quadrata Viene introdotto il concetto di diagonale principale e secondaria. La diagonale principale della matrice si chiama diagonale che va dall'angolo superiore sinistro della matrice al suo angolo inferiore destro. Diagonale laterale della stessa matrice è detta diagonale che va dall'angolo in basso a sinistra all'angolo in alto a destra. Il concetto di matrice diagonale: Diagonaleè una matrice quadrata in cui tutti gli elementi esterni alla diagonale principale sono uguali a zero. Il concetto di matrice identità: Separare(indicato con E a volte I) è chiamata matrice diagonale con quelli sulla diagonale principale. Il concetto di matrice nulla: Nulloè una matrice i cui elementi sono tutti zero. Due matrici A e B si dicono uguali (A=B) se hanno la stessa dimensione (cioè hanno lo stesso numero di righe e lo stesso numero di colonne e i loro elementi corrispondenti sono uguali). Quindi se allora A=B, se a11=b11, a12=b12, a21=b21, a22=b22

Questo materiale è stato preso dal sito highmath.ru

BILANCIO DELLO STATO FEDERALE ISTITUTO EDUCATIVO DI ISTRUZIONE SUPERIORE

"UNIVERSITÀ AGRICOLA STATALE DI ORENBURG"

Dipartimento " Informatica e Matematica applicata»

ISTRUZIONI METODOLOGICHE PER GLI STUDENTI

SULLA DISCIPLINA PADRONALE

Matematica

Direzione della formazione (specialità): 040400Assistenza sociale (livello universitario)

Profilo del programma educativo Lavoro sociale

Forma di studio: corrispondenza

Orenburg 2016

1. Appunti delle lezioni……………………………………………………...

1.1 Lezione n. 1……………………....................................

1.2 Lezione n. 2…………………………………….

1.3 Lezione n. 3………………………………………

1.4 Lezione n. 4………………………………………………….

1.5 Lezione n. 5……………………

1.6 Lezione n. 6………………………………………..

1.7 Lezione n. 7 ……………………………………………………………………..….

1.8Lezione n. 8.……………………...…………………………….

Lezione n. 9

2. Linee guida per la formazione pratica………

2.1 Lezione pratica n. PZ -1………………….

2.2 Lezione pratica n. PZ -2 ……………………

2.3 Lezione pratica n. PZ -3……………………...

2.4 Lezione pratica n. PZ -4……………………...

2.5 Lezione pratica n. PZ -5……………………..

2.6 Lezione pratica n. PZ -6 ………………………………………………….

2.7 Lezione pratica n. PZ -7…………………………………………………….

2.8 Lezione pratica n. PZ -8…………………………………………………...

2.9 Lezione pratica n. PZ -9……………………………………………………...

2.10 Lezione pratica n. PZ -10…………………..

2.11 Lezione pratica n. PZ -11……………………..

2.12 Lezione pratica n. PZ -12………………………………………………..

2.13 Lezione pratica n. PZ -13………………………………………………….

2.14 Lezione pratica n. PZ -14-15………………………………………………

2.15 Lezione pratica n. PZ - 16………………

2.16 Lezione pratica n. PZ - 17………………

2.17 Lezione pratica n. PZ - 18 ………………

NOTE DI LETTURA

1.1Lezione 1(2 ore)

Soggetto: Elementi di teoria delle matrici e dei determinanti. Elementi di algebra lineare. Elementi di geometria analitica

1.1.1 Domande della lezione:

1.Matrici, loro classificazione, operazioni aritmetiche sulle matrici.

2. Determinanti del 2° e 3° ordine, metodi di calcolo.

3. Sistemi di equazioni lineari, metodi risolutivi.

4. Equazione di una retta su un piano, metodi per definire una retta su un piano.

1.1.2. Riepilogo delle domande:

Matrici, loro classificazione, operazioni aritmetiche sulle matrici.

Matriceè una tabella composta da n righe e m colonne. Gli elementi della matrice possono essere numeri o altri oggetti matematici.

A= B= C=

Tavolo rettangolare contenente T linee P vengono chiamate le colonne di numeri reali matrice numerica.

E m´n =
.

I numeri a ij che compongono la matrice si chiamano its elementi, dove i=1,2,…m è il numero di riga, j=1,2,…n è il numero di colonna.

Le matrici sono indicate con lettere maiuscole dell'alfabeto latino A, B, C..., gli elementi con lettere minuscole.

Se il numero di righe e colonne di una matrice è uguale al numero di righe e colonne di un'altra matrice, vengono chiamate matrici unidimensionali.

Viene chiamata una matrice il cui numero di righe è uguale al numero di colonne matrice quadrata. Una matrice quadrata di dimensione n´n si chiama matrice ennesimo ordine.

A2´2= - matrice quadrata del 2° ordine

a 11 e a 22 elementi della diagonale principale

a 12, a 21 elementi della diagonale secondaria

A 3 ´ 3 = matrice quadrata del 3° ordine

a 11, a 22 e 33 sono elementi della diagonale principale

a 13, a 22, a 31 elementi della diagonale secondaria

Viene chiamata una matrice quadrata in cui tutti gli elementi sopra (sotto) la diagonale principale sono uguali a zero matrice triangolare.

Viene chiamata una matrice quadrata in cui tutti gli elementi tranne quelli sulla diagonale principale sono uguali a zero matrice diagonale.

Si dice una matrice diagonale in cui tutti gli elementi diversi da zero sono uguali matrice scalare.

Viene detta una matrice diagonale i cui elementi diversi da zero sono tutti 1 matrice unitaria.

E= Matrice identità del 3° ordine

Si dice una matrice i cui elementi sono tutti zero matrice zero (0).

A= ; B=

Una matrice di dimensione 1´1, composta da un numero, viene identificata con questo numero, ovvero (5) 1 ´ 1 è 5.

Matrici unidimensionali uguali tra loro, se tutti gli elementi corrispondenti di queste matrici sono uguali.

Si chiama la matrice quadrata A -1 inversione rispetto alla matrice A. se e solo se A*A -1 =A -1 *A=E

In questo argomento considereremo il concetto di matrice e i tipi di matrici. Poiché ci sono molti termini in questo argomento, aggiungerò riepilogo per facilitare la navigazione nel materiale.

Definizione di matrice e suo elemento. Notazione.

Matriceè una tabella di $m$ righe e $n$ colonne. Gli elementi di una matrice possono essere oggetti di natura completamente diversa: numeri, variabili o, ad esempio, altre matrici. Ad esempio, la matrice $\left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$ contiene 3 righe e 2 colonne; i suoi elementi sono numeri interi. La matrice $\left(\begin(array) (cccc) a & a^9+2 & 9 & \sin x \\ -9 & 3t^2-4 & u-t & 8\end(array) \right)$ contiene 2 righe e 4 colonne.

Diversi modi di scrivere matrici: mostra\nascondi

La matrice può essere scritta non solo tra parentesi tonde, ma anche tra parentesi quadre o doppie. Di seguito è riportata la stessa matrice in diverse forme di notazione:

$$ \left(\begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right);\;\; \left[ \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right]; \;\; \left \Vert \begin(array) (cc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right \Vert $$

Viene chiamato il prodotto $m\volte n$ dimensione della matrice. Ad esempio, se una matrice contiene 5 righe e 3 colonne, allora si parla di una matrice di dimensione $5\volte 3$. La matrice $\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ ha dimensione $3 \times 2$.

Tipicamente, le matrici sono indicate con lettere maiuscole dell'alfabeto latino: $A$, $B$, $C$ e così via. Ad esempio, $B=\left(\begin(array) (ccc) 5 & 3 \\ 0 & -87 \\ 8 & 0 \end(array) \right)$. La numerazione delle righe va dall'alto al basso; colonne: da sinistra a destra. Ad esempio, la prima riga della matrice $B$ contiene gli elementi 5 e 3 e la seconda colonna contiene gli elementi 3, -87, 0.

Gli elementi delle matrici sono solitamente indicati in lettere minuscole. Ad esempio, gli elementi della matrice $A$ sono indicati con $a_(ij)$. Il doppio indice $ij$ contiene informazioni sulla posizione dell'elemento nella matrice. Il numero $i$ è il numero della riga e il numero $j$ è il numero della colonna, alla cui intersezione si trova l'elemento $a_(ij)$. Ad esempio, all'intersezione della seconda riga e della quinta colonna della matrice $A=\left(\begin(array) (cccccc) 51 & 37 & -9 & 0 & 9 & 97 \\ 1 & 2 & 3 & 41 & 59 & 6 \ \ -17 & -15 & -13 & -11 & -8 & -5 \\ 52 & 31 & -4 & -1 & 17 & 90 \end(array) \right)$ elemento $a_(25)= $59:

Allo stesso modo, all'intersezione della prima riga e della prima colonna abbiamo l'elemento $a_(11)=51$; all'intersezione della terza riga e della seconda colonna - l'elemento $a_(32)=-15$ e così via. Tieni presente che la voce $a_(32)$ legge “a tre due”, ma non “a trentadue”.

Per abbreviare la matrice $A$, la cui dimensione è $m\times n$, viene utilizzata la notazione $A_(m\times n)$. Viene spesso utilizzata la seguente notazione:

$$ A_(m\volte(n))=(a_(ij)) $$

Qui $(a_(ij))$ indica la designazione degli elementi della matrice $A$, cioè dice che gli elementi della matrice $A$ si indicano come $a_(ij)$. In forma espansa, la matrice $A_(m\times n)=(a_(ij))$ può essere scritta come segue:

$$ A_(m\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(m1) & a_(m2) & \ldots & a_(mn) \end(array) \right) $$

Introduciamo un altro termine: matrici uguali.

Due matrici della stessa dimensione $A_(m\times n)=(a_(ij))$ e $B_(m\times n)=(b_(ij))$ sono chiamate pari, se i loro elementi corrispondenti sono uguali, cioè $a_(ij)=b_(ij)$ per tutti $i=\overline(1,m)$ e $j=\overline(1,n)$.

Spiegazione per la voce $i=\overline(1,m)$: mostra\nascondi

La notazione "$i=\overline(1,m)$" significa che il parametro $i$ varia da 1 a m. Ad esempio, la notazione $i=\overline(1,5)$ indica che il parametro $i$ assume i valori 1, 2, 3, 4, 5.

Quindi, affinché le matrici siano uguali, devono essere soddisfatte due condizioni: coincidenza delle dimensioni e uguaglianza degli elementi corrispondenti. Ad esempio, la matrice $A=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ non è uguale alla matrice $B=\left(\ Begin(array)(cc) 8 & -9\\0 & -87 \end(array)\right)$ perché la matrice $A$ ha dimensione $3\times 2$ e matrice $B$ ha dimensione $2\volte $2. Inoltre, la matrice $A$ non è uguale alla matrice $C=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\98 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ , poiché $a_( 21)\neq c_(21)$ (cioè $0\neq 98$). Ma per la matrice $F=\left(\begin(array)(cc) 5 & 3\\0 & -87\\8 & 0\end(array)\right)$ possiamo tranquillamente scrivere $A= F$ perché sia le dimensioni che gli elementi corrispondenti delle matrici $A$ e $F$ coincidono.

Esempio n. 1

Determina la dimensione della matrice $A=\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 1 \\ 5 & 9 & -8 \\ -6 & 8 & 23 \\ 11 & -12 & -5 \ \4 & 0 & -10 \\ \end(array) \right)$. Indicare a cosa corrispondono gli elementi $a_(12)$, $a_(33)$, $a_(43)$.

Questa matrice contiene 5 righe e 3 colonne, quindi la sua dimensione è $5\volte 3$. Puoi anche usare la notazione $A_(5\times 3)$ per questa matrice.

L'elemento $a_(12)$ si trova all'intersezione tra la prima riga e la seconda colonna, quindi $a_(12)=-2$. L'elemento $a_(33)$ si trova all'intersezione della terza riga e della terza colonna, quindi $a_(33)=23$. L'elemento $a_(43)$ si trova all'intersezione tra la quarta riga e la terza colonna, quindi $a_(43)=-5$.

Risposta: $a_(12)=-2$, $a_(33)=23$, $a_(43)=-5$.

Tipi di matrici a seconda della loro dimensione. Diagonali principali e secondarie. Traccia della matrice.

Sia data una certa matrice $A_(m\times n)$. Se $m=1$ (la matrice è composta da una riga), viene chiamata la matrice data riga di matrice. Se $n=1$ (la matrice è composta da una colonna), viene chiamata tale matrice matrice-colonna. Ad esempio, $\left(\begin(array) (ccccc) -1 & -2 & 0 & -9 & 8 \end(array) \right)$ è una matrice di righe e $\left(\begin(array ) (c) -1 \\ 5 \\ 6 \end(array) \right)$ è una matrice di colonne.

Se la matrice $A_(m\times n)$ soddisfa la condizione $m\neq n$ (cioè il numero di righe non è uguale al numero di colonne), allora si dice spesso che $A$ è una matrice rettangolare matrice. Ad esempio, la matrice $\left(\begin(array) (cccc) -1 & -2 & 0 & 9 \\ 5 & 9 & 5 & 1 \end(array) \right)$ ha dimensione $2\times 4 $, quelli. contiene 2 righe e 4 colonne. Poiché il numero di righe non è uguale al numero di colonne, questa matrice è rettangolare.

Se la matrice $A_(m\times n)$ soddisfa la condizione $m=n$ (ovvero, il numero di righe è uguale al numero di colonne), allora $A$ si dice che sia una matrice quadrata di ordine $ n$. Ad esempio, $\left(\begin(array) (cc) -1 & -2 \\ 5 & 9 \end(array) \right)$ è una matrice quadrata del secondo ordine; $\left(\begin(array) (ccc) -1 & -2 & 9 \\ 5 & 9 & 8 \\ 1 & 0 & 4 \end(array) \right)$ è una matrice quadrata del terzo ordine. In generale, la matrice quadrata $A_(n\times n)$ può essere scritta come segue:

$$ A_(n\times n)=\left(\begin(array)(cccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1n) \\ a_(21) & a_(22) & \ldots & a_(2n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ a_(n1) & a_(n2) & \ldots & a_(nn) \end(array) \right) $$

Gli elementi $a_(11)$, $a_(22)$, $\ldots$, $a_(nn)$ si dicono su diagonale principale matrici $A_(n\volte n)$. Questi elementi sono chiamati principali elementi diagonali(o solo elementi diagonali). Gli elementi $a_(1n)$, $a_(2 \; n-1)$, $\ldots$, $a_(n1)$ sono su diagonale laterale (minore).; sono chiamati elementi diagonali laterali. Ad esempio, per la matrice $C=\left(\begin(array)(cccc)2&-2&9&1\\5&9&8& 0\\1& 0 & 4 & -7 \\ -4 & -9 & 5 & 6\end( array) \right)$ abbiamo:

Gli elementi $c_(11)=2$, $c_(22)=9$, $c_(33)=4$, $c_(44)=6$ sono gli elementi diagonali principali; gli elementi $c_(14)=1$, $c_(23)=8$, $c_(32)=0$, $c_(41)=-4$ sono elementi diagonali laterali.

Si chiama la somma degli elementi diagonali principali seguito dalla matrice ed è indicato con $\Tr A$ (o $\Sp A$):

$$ \Tr A=a_(11)+a_(22)+\ldots+a_(nn) $$

Ad esempio, per la matrice $C=\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1\\5 & 9 & 8 & 0\\1 & 0 & 4 & -7\\- 4 & -9 & 5 & 6 \end(array)\right)$ abbiamo:

$$ \Tr C=2+9+4+6=21. $$

Il concetto di elementi diagonali viene utilizzato anche per matrici non quadrate. Ad esempio, per la matrice $B=\left(\begin(array) (ccccc) 2 & -2 & 9 & 1 & 7 \\ 5 & -9 & 8 & 0 & -6 \\ 1 & 0 & 4 & - 7 & -6 \end(array) \right)$ gli elementi diagonali principali saranno $b_(11)=2$, $b_(22)=-9$, $b_(33)=4$.

Tipi di matrici a seconda dei valori dei loro elementi.

Se tutti gli elementi della matrice $A_(m\times n)$ sono uguali a zero, allora viene chiamata tale matrice nullo ed è solitamente indicato con la lettera $O$. Ad esempio, $\left(\begin(array) (cc) 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 0 \end(array) \right)$, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ - matrici zero.

Consideriamo una riga diversa da zero della matrice $A$, ovvero una stringa che contiene almeno un elemento diverso da zero. Elemento protagonista di una stringa diversa da zero chiamiamo il suo primo elemento diverso da zero (contando da sinistra a destra). Consideriamo ad esempio la seguente matrice:

$$W=\left(\begin(array)(cccc) 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 12\\ 0 & -9 & 5 & 9 \end(array)\right)$ $

Nella seconda riga l'elemento principale sarà il quarto elemento, cioè $w_(24)=12$, e nella terza riga l'elemento principale sarà il secondo elemento, cioè $w_(32)=-9$.

Viene chiamata la matrice $A_(m\times n)=\left(a_(ij)\right)$ fatto un passo, se soddisfa due condizioni:

Le righe nulle, se presenti, si trovano sotto tutte le righe non nulle.
I numeri degli elementi iniziali delle righe diverse da zero formano una sequenza strettamente crescente, cioè se $a_(1k_1)$, $a_(2k_2)$, ..., $a_(rk_r)$ sono gli elementi iniziali di righe diverse da zero della matrice $A$, allora $k_1\lt(k_2)\ lt\ldots\lt( k_r)$.

Esempi di matrici a gradini:

$$ \left(\begin(array)(cccccc) 0 & 0 & 2 & 0 & -4 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -9 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right);\; \left(\begin(array)(cccc) 5 & -2 & 2 & -8\\ 0 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -10 \end(array)\right). $$

Per confronto: matrice $Q=\left(\begin(array)(ccccc) 2 & -2 & 0 & 1 & 9\\0 & 0 & 0 & 7 & 9\\0 & -5 & 0 & 10 & 6\end(array)\right)$ non è una matrice a passi, poiché la seconda condizione nella definizione di una matrice a passi è violata. Gli elementi iniziali nella seconda e terza riga $q_(24)=7$ e $q_(32)=10$ hanno i numeri $k_2=4$ e $k_3=2$. Per una matrice a gradini deve essere soddisfatta la condizione $k_2\lt(k_3)$, che in questo caso è violata. Vorrei notare che se scambiamo la seconda e la terza riga, otteniamo una matrice a passi: $\left(\begin(array)(ccccc) 2 & -2 & 0 & 1 & 9\\0 & -5 & 0 & 10 & 6 \\0 & 0 & 0 & 7 & 9\end(array)\right)$.

Viene chiamata una matrice a passi trapezoidale O trapezoidale, se gli elementi iniziali $a_(1k_1)$, $a_(2k_2)$, ..., $a_(rk_r)$ soddisfano le condizioni $k_1=1$, $k_2=2$,..., $k_r = r$, cioè i principali sono gli elementi diagonali. In generale, una matrice trapezoidale può essere scritta come segue:

$$ A_(m\times(n)) =\left(\begin(array) (cccccc) a_(11) & a_(12) & \ldots & a_(1r) & \ldots & a_(1n)\\ 0 & a_(22) & \ldots & a_(2r) & \ldots & a_(2n)\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & \ldots & a_(rr) & \ldots & a_(rn)\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ 0 & 0 & \ldots & 0 & \ldots & 0 \end(array)\right) $$

Esempi di matrici trapezoidali:

$$ \left(\begin(array)(cccccc) 4 & 0 & 2 & 0 & -4 & 1\\ 0 & -2 & 0 & 0 & -9 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end(array)\right);\; \left(\begin(array)(cccc) 5 & -2 & 2 & -8\\ 0 & 4 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -3 & -10 \end(array)\right). $$

Diamo qualche altra definizione per le matrici quadrate. Se tutti gli elementi di una matrice quadrata situati sotto la diagonale principale sono uguali a zero, viene chiamata tale matrice matrice triangolare superiore. Ad esempio, $\left(\begin(array) (cccc) 2 & -2 & 9 & 1 \\ 0 & 9 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \end(array) \right)$ è una matrice triangolare superiore. Si noti che la definizione di matrice triangolare superiore non dice nulla sui valori degli elementi situati sopra la diagonale principale o sulla diagonale principale. Possono essere zero o meno, non importa. Ad esempio, $\left(\begin(array) (ccc) 0 & 0 & 9 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ è anche una matrice triangolare superiore.

Se tutti gli elementi di una matrice quadrata situati sopra la diagonale principale sono uguali a zero, viene chiamata tale matrice matrice triangolare inferiore. Ad esempio, $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ -5 & 1 & 0 & 0 \\ 8 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 0 & 6 \ end(array) \right)$ - matrice triangolare inferiore. Si noti che la definizione di matrice triangolare inferiore non dice nulla sui valori degli elementi situati sotto o sulla diagonale principale. Potrebbero essere zero o meno, non importa. Ad esempio, $\left(\begin(array) (ccc) -5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 9 \end(array) \right)$ e $\left(\ Begin (array) (ccc) 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end(array) \right)$ sono anche matrici triangolari inferiori.

La matrice quadrata si chiama diagonale, se tutti gli elementi di questa matrice che non giacciono sulla diagonale principale sono uguali a zero. Esempio: $\left(\begin(array) (cccc) 3 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \ end(array)\right)$. Gli elementi sulla diagonale principale possono essere qualsiasi cosa (uguali a zero o meno), non importa.

La matrice diagonale si chiama separare, se tutti gli elementi di questa matrice situati sulla diagonale principale sono uguali a 1. Ad esempio, $\left(\begin(array) (cccc) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)\right)$ - matrice identità del quarto ordine; $\left(\begin(array) (cc) 1 & 0 \\ 0 & 1 \end(array)\right)$ è la matrice identità del secondo ordine.

Si noti che gli elementi della matrice non possono essere solo numeri. Immaginiamo che tu stia descrivendo i libri che sono sulla tua libreria. Lascia che il tuo scaffale sia in ordine e che tutti i libri siano in posti rigorosamente definiti. Anche la tabella, che conterrà la descrizione della tua biblioteca (per scaffali e ordine dei libri sullo scaffale), sarà una matrice. Ma tale matrice non sarà numerica. Un altro esempio. Al posto dei numeri ci sono funzioni diverse, accomunate da qualche dipendenza. La tabella risultante verrà chiamata anche matrice. In altre parole, una Matrix è qualsiasi tavolo rettangolare composto da omogeneo elementi. Qui e più avanti parleremo di matrici composte da numeri.

Invece delle parentesi, per scrivere le matrici vengono utilizzate parentesi quadre o doppie linee verticali diritte

(2.1*)

Definizione 2. Se nell'espressione(1) m = n, poi ne parlano matrice quadrata, e se , allora oh rettangolare.

A seconda dei valori di m e n, si distinguono alcuni tipi speciali di matrici:

La caratteristica più importante piazza matrice è lei determinante O determinante, che è costituito da elementi di matrice ed è denotato

Ovviamente D E =1; .

Definizione 3. Se , poi la matrice UN chiamato non degenerato O Non è speciale.

Definizione 4. Se detA = 0 , poi la matrice UN chiamato degenerare O speciale.

Definizione 5. Due matrici UN E B sono chiamati pari e scrivi A = B se hanno le stesse dimensioni e i loro elementi corrispondenti sono uguali, cioè.

Ad esempio, le matrici e sono uguali, perché hanno dimensioni uguali e ogni elemento di una matrice è uguale all'elemento corrispondente dell'altra matrice. Ma le matrici non possono essere definite uguali, sebbene i determinanti di entrambe le matrici siano uguali e le dimensioni delle matrici siano le stesse, ma non tutti gli elementi situati negli stessi posti sono uguali. Le matrici sono diverse perché hanno dimensioni diverse. La prima matrice ha dimensioni 2x3 e la seconda è 3x2. Sebbene il numero di elementi sia lo stesso - 6 e gli elementi stessi siano gli stessi 1, 2, 3, 4, 5, 6, ma si trovano in posti diversi in ciascuna matrice. Ma le matrici sono uguali, secondo la Definizione 5.

Definizione 6. Se aggiusti un certo numero di colonne della matrice UN e lo stesso numero di righe, allora gli elementi all'intersezione delle colonne e delle righe indicate formano una matrice quadrata N- ordine, il cui determinante chiamato minore K - matrice dell'esimo ordine UN.

Esempio. Scrivi tre minori del secondo ordine della matrice