Metodo dei volumi finiti. Metodo dei volumi finiti Proprietà dei circuiti discreti

Qualche tempo fa stavo cercando una descrizione delle operazioni e dei processi che si verificano nella libreria di modellazione numerica OpenFOAM. Ho trovato molte descrizioni astratte del funzionamento del metodo dei volumi finiti, schemi di differenze classiche e varie equazioni fisiche. Volevo sapere più in dettaglio: da dove provengono questi valori in questo o quel file di output in questa o quella iterazione, quali espressioni si trovano dietro determinati parametri nei file di impostazioni fvSchemes, fvSolution?
Per coloro che sono interessati anche a questo, questo articolo. Coloro che conoscono bene OpenFOAM o i metodi in esso implementati scrivono degli errori e delle imprecisioni riscontrati in un messaggio personale.

C'erano già un paio di articoli su OpenFOAM su Habré:

Pertanto, non mi soffermerò sul fatto che si tratta di "una piattaforma aperta (GPL) per la simulazione numerica, progettata per simulazioni associate alla risoluzione di equazioni differenziali parziali utilizzando il metodo dei volumi finiti, ed è ampiamente utilizzata per risolvere problemi nella meccanica del continuo".

Oggi utilizzerò un semplice esempio per descrivere le operazioni che avvengono durante i calcoli in OpenFOAM.

Quindi, data la geometria, un cubo con un lato di 1 metro:

Ci troviamo di fronte al compito di modellare la propagazione del flusso di un certo campo scalare (temperatura, quantità di materia), che è dato dalla seguente equazione di trasporto (1) all'interno del volume del corpo.

(1)
,

Dove una quantità scalare, ad esempio, esprime la temperatura [K] o la concentrazione di una determinata sostanza, ed esprime il trasferimento di una sostanza, il flusso di massa [kg/s].

Questa equazione viene utilizzata, ad esempio, per modellare la propagazione del calore
,
dove k è la conduttività termica e la temperatura [K].

L'operatore di divergenza è in realtà

operatore.
Lascia che ti ricordi che esiste un operatore nabla (operatore Hamilton), che è scritto come segue:
,

Dove i, j, k sono vettori unitari.
Se moltiplichiamo scalarmente l'operatore nabla per una quantità vettoriale, otteniamo la divergenza di questo vettore:

“Dal punto di vista della fisica, la divergenza di un campo vettoriale è un indicatore della misura in cui un dato punto nello spazio è sorgente o pozzo di questo campo”

Se moltiplichi l'operatore nabla per uno scalare, ottieni il gradiente di quello scalare:

Un gradiente mostra un aumento o una diminuzione in una certa direzione della grandezza di uno scalare.

Le condizioni al contorno del problema sono le seguenti: c'è una faccia di ingresso, una faccia di uscita e le restanti facce sono pareti lisce.

Dividere il volume di un cubo in volumi finiti

La nostra griglia sarà molto semplice: dividiamo il cubo in 5 celle uguali lungo l'asse Z.

Tante formule

Il metodo dei volumi finiti prevede che (1) in forma integrale (2) sarà soddisfatto per ogni volume finito.

(2)
,

Dov'è il centro geometrico del volume finale.

Centro del volume finale

Semplifichiamo e trasformiamo il primo termine dell'espressione (2) come segue:

(2.1) (HJ-3.12)*

Come puoi vedere, abbiamo assunto che la quantità scalare cambi linearmente all'interno del volume finito e il valore della quantità in un punto all'interno del volume finito può essere calcolato come:

Per semplificare il secondo termine dell'espressione (2), utilizziamo il teorema generalizzato di Gauss-Ostrogradsky: l'integrale della divergenza del campo vettoriale sul volume è uguale al flusso vettoriale attraverso la superficie che delimita il volume dato. Nel linguaggio umano, “la somma di tutti i flussi dentro/da un volume finito è uguale alla somma dei flussi attraverso le facce di questo volume finito”:

(2.3)
,

Dov'è la superficie chiusa che limita il volume,
- vettore diretto lungo la normale al volume.

vettore s

Considerando che il volume finito è limitato da un insieme di facce piane, l’espressione (2.3) può essere trasformata nella somma degli integrali sulla superficie:

(2.4) (HJ-3.13)
,

Dove esprime il valore della variabile al centro della faccia,
- vettore d'area, uscente dal centro della faccia, diretto lontano dalla cellula (localmente), lontano dalla cellula con indice più basso verso la cella con indice più alto (globale).

Qualcosa in più sul vettore S

Per non memorizzare due volte gli stessi parametri vettoriali, perché È ovvio che per due celle vicine il vettore normale al bordo tra le celle, diretto verso il centro della cella, differirà solo nel segno di direzione. Pertanto, è stata creata una relazione proprietario-vicino tra il bordo e la cella. Se il vettore dell'area (direzione globale e positiva da una cella con un indice inferiore a una cella con un indice maggiore) indica DAL centro della cella, tale relazione tra la cella e il vettore, o più precisamente tra la cella e il bordo, è indicato come proprietario). Se questo vettore punta all'interno della cella in questione, allora il vicino. La direzione influenza il segno del valore (+ per il proprietario e - per il vicino) e questo è importante quando si somma, vedi sotto.

A proposito di schemi di differenza

Il valore al centro del viso viene calcolato attraverso i valori al centro delle celle adiacenti: questo metodo di espressione è chiamato schema di differenza. In OpenFOAM, il tipo di schema di differenza è specificato nel file /system/fvSchemes:

DivSchemes ( predefinito nessuno; div(phi,psi) Gauss lineare; )

Gauss- significa che è selezionato lo schema della differenza centrale;
lineare- significa che l'interpolazione dai centri delle celle ai centri delle facce avverrà in modo lineare.

Supponiamo che la nostra quantità scalare cambi linearmente all'interno del volume finito dal centro verso i bordi. Successivamente verrà calcolato il valore approssimato al centro del viso secondo la formula:

Dove sono i pesi e vengono calcolati come

Dove sono i volumi delle celle.
Per i casi di celle inclinate, esistono formule più complesse per il calcolo dei pesi di approssimazione.

Pertanto, i valori phi_f ai centri dei bordi delle celle vengono calcolati in base ai valori ai centri delle celle. I valori del gradiente grad(phi) vengono calcolati in base ai valori phi_f.
E l'intero algoritmo può essere rappresentato sotto forma del seguente pseudocodice.
1. Dichiariamo un array di gradienti di volumi finiti, inizializziamolo con zeri 2. Esaminiamo tutte le facce interne (che non sono confine) > Calcoliamo flusso_f = phi_f*S_f. Calcola i valori phi_f in base ai valori phi in centesimi di cella > Aggiungi flux_f al gradiente dell'elemento proprietario e -flux_f al gradiente dell'elemento vicino 3. Itera su tutte le facce di confine > Calcola flux_f = phi_f*S_f > Aggiungi flux_f al gradiente dell'elemento proprietario (vicino: le facce di confine non hanno elementi) 4. Esaminiamo tutti gli elementi > Dividi la somma del gradiente risultante per il volume dell'elemento

Campionamento temporale

Tenendo conto della (2.1) e della (2.4), l'espressione (2) assume la forma:

(3)

Secondo il metodo dei volumi finiti, viene effettuata la discretizzazione temporale e l'espressione (3) viene scritta come:

(4)

Integriamo (4):

(4.1)

Dividiamo i lati sinistro e destro in:

(5)

Dati per la matrice di campionamento

Ora possiamo ottenere un sistema di equazioni lineari per ogni volume finito.

Di seguito la numerazione dei nodi della griglia che utilizzeremo.

Le coordinate dei nodi sono memorizzate in /constant/polyMesh/points

24 ((0 0 0) (1 0 0) (0 1 0) (1 1 0) (0 0 0.2) (1 0 0.2) (0 1 0.2) (1 1 0.2) (0 0 0.4) (1 0 0.4) (0 1 0.4) (1 1 0.4) (0 0 0.6) (1 0 0.6) (0 1 0.6) (1 1 0.6) (0 0 0.8) (1 0 0.8) (0 1 0.8) (1 1 0.8) (0 0 1) (1 0 1) (0 1 1) (1 1 1))

Numerazione dei centri dei nodi delle celle (50, 51 - centri delle facce di confine):

Numerazione dei nodi centrali della faccia:

Volumi degli elementi:

Coefficienti di interpolazione necessari per calcolare i valori sulle facce delle celle. Il pedice "e" indica il "bordo destro della cella". A destra rispetto alla vista, come nella figura “Numerazione dei nodi-centri delle celle”:

Formazione della matrice di campionamento

Per P = 0.
Espressione (5) che descrive il comportamento della quantità

Verrà trasformato in un sistema di equazioni algebriche lineari, ciascuna della forma:

Oppure, secondo gli indici dei punti sulle facce

E tutti i flussi da/verso una cella possono essere espressi come somma

Dove, ad esempio, è il coefficiente di linearizzazione del flusso nel punto centrale della cella E,
- coefficiente di linearizzazione del flusso nel punto centrale della faccia,
- parte non lineare (ad esempio costante).

A seconda della numerazione dei volti l'espressione assumerà la forma:

Tenendo conto delle condizioni al contorno per l'elemento P_0, l'equazione algebrica lineare può essere rappresentata come

...sostituire i coefficienti ottenuti in precedenza...

Il flusso proveniente dall'ingresso"a è diretto nella cella e quindi ha segno negativo.

Poiché nella nostra espressione di controllo abbiamo anche, oltre al termine di diffusione, un termine temporale, ma l'equazione finale assomiglia

Per P = 1.

Per P = 4.

Un sistema di equazioni algebriche lineari (SLAE) può essere rappresentato in forma matriciale come

A(i,j) === 40,5 0,5 0 0 0 -0,5 40 0,5 0 0 0 -0,5 40 0,5 0 0 0 -0,5 40 0,5 0 0 0 -0,5 40,5

Psi = dimensioni; InternalField Elenco non uniforme 5(0,0246875 0,000308546 3,85622e-06 4,81954e-08 5,95005e-10);

In base al quale si ottengono i valori per il vettore

Quindi il vettore viene sostituito nello SLAE e avviene una nuova iterazione del calcolo del vettore.

E così via fino a quando la discrepanza raggiunge i limiti richiesti.

Collegamenti

* Alcune equazioni in questo articolo sono tratte dalla tesi di Jasak Hrvoje (HJ è il numero dell'equazione) e se qualcuno vuole saperne di più a riguardo (

In precedenza è stato menzionato il metodo dei sottodomini, che è servito come punto di partenza per una serie di metodi numerici. Uno di questi metodi è il metodo dei volumi finiti. Questo stesso metodo è un rappresentante di un'altra classe diffusa: i metodi integrali. Dalla forma classica di notazione del metodo dei sottodomini si prende la divisione del dominio computazionale in sottodomini e l'integrazione del residuo sul sottodominio. La differenza sta nell'assenza di una registrazione esplicita della funzione di approssimazione (test). Ma, come prima, stiamo cercando di risolvere “esattamente” l’equazione in ciascun sottodominio. Pertanto, l'equazione originale è integrata nel sottodominio. I metodi integrali sono caratterizzati dal fatto che prima viene preso l'integrale dell'equazione differenziale e si ottiene una forma integrale di scrittura dell'equazione. L'equazione in questa forma viene quindi applicata alle singole celle della griglia. In questo caso, celle e sottoaree sono la stessa cosa.

Infatti, la forma integrale di scrittura delle equazioni ha (dal punto di vista della fisica) un campo di applicazione ancora più ampio rispetto a quella differenziale. Il fatto è che in presenza di discontinuità di funzioni, le equazioni differenziali non sono applicabili e i loro analoghi integrali continuano a funzionare, funzionare e funzionare…. Sfortunatamente, quando vengono implementati numericamente, questo vantaggio a volte viene perso.

Di norma, gli integrali delle equazioni hanno un significato fisico semplice e comprensibile. Consideriamo ad esempio l’equazione di continuità. Viene scritta l'equazione differenziale originale

Integriamolo sul volume V, che ha una superficie S, e sul tempo nell'intervallo da t 0 a t 1. Quando integriamo le derivate, usiamo la formula di Stokes (i suoi casi speciali sono chiamati formule di Green e Ostrogradsky-Gauss). Di conseguenza otteniamo

In questa notazione, la differenza tra i primi due integrali indica la variazione di massa in un dato volume nell'intervallo di tempo considerato. E il doppio integrale mostra la massa che fluisce in un dato volume attraverso la superficie che lo delimita nello stesso periodo di tempo. Naturalmente, trattandosi di metodi numerici, questi integrali vengono calcolati in modo approssimativo. E qui iniziano le questioni di approssimazione, simili a quelle considerate nel metodo delle differenze finite.

Consideriamo uno dei casi più semplici: una griglia uniforme rettangolare bidimensionale. Nel metodo dei volumi finiti, i valori delle funzioni sono solitamente determinati non nei nodi della griglia, ma nei centri delle celle. Di conseguenza, ad essere indicizzate non sono le linee della griglia in ciascuna direzione, ma gli strati di celle (vedi figura).

j-1

j+1

k-1

k+1

In questo caso, la forma integrale dell'equazione verrà scritta come segue

Come puoi vedere, in questo caso abbiamo ricevuto un'equazione ordinaria, che potremmo anche scrivere utilizzando il metodo delle differenze finite. Ciò significa che ad esso possono essere applicati gli stessi metodi di studio della stabilità. (Una domanda veloce: questo schema è stabile?)

Ma se ottenessimo la stessa cosa, allora valeva la pena costruire l’intero giardino? Nei casi più semplici, non otteniamo davvero alcun beneficio. Ma in situazioni più complesse emergono i vantaggi. Innanzitutto, come notato sopra, tali metodi (anche in un'implementazione così semplice) descrivono molto meglio le discontinuità e le aree con gradienti elevati. Allo stesso tempo, è garantito l'adempimento delle leggi di conservazione della massa, della quantità di moto e dell'energia, poiché sono osservate in ciascuna cella. In secondo luogo, questi metodi possono resistere a un’ampia varietà di abusi sulla rete. Anche le griglie curvilinee, irregolari e irregolari non sviano questi metodi. Questi vantaggi si avvertono particolarmente spesso quando vengono specificate le condizioni al contorno.

j-1

j+1

k-1

k+1

Ad esempio, per il caso mostrato in figura, la forma integrale dell'equazione avrà la forma

cioè semplicemente dove abbiamo preso l'integrale sull'area della cella intera, ora lo portiamo sulla zona “rifilata”, dove abbiamo preso l'integrale su tutto il bordo, ora lo portiamo sulla restante parte di essa . È stato aggiunto un integrale sulla sezione limite. Ma si trova facilmente dalle condizioni al contorno. In particolare, se attraverso la parete non viene fornito alcun flusso di massa (e inoltre non viene portata via massa dalla superficie e/o si trascura il flusso di massa degli ioni che perdono carica sulla parete), allora tale integrale è semplicemente uguale a zero. In una forma simile di equazione energetica, di regola, deve essere preso in considerazione il flusso attraverso la parete. Ma non è difficile trovarlo anche dalle condizioni al contorno (se sono impostate correttamente).

Per rafforzare ciò, descriviamo come apparirà l'applicazione del metodo dei volumi finiti a una delle equazioni di conservazione della quantità di moto. Prendiamo il caso stazionario piatto per ioni caricati singolarmente. Trascuriamo la viscosità e gli urti elastici. Otteniamo l'equazione

Per una mesh rettangolare (vedi figura sopra) otteniamo

L’approssimazione più semplice di tale equazione può essere scritta come segue:

dopo le riduzioni otteniamo la formula

programma di modellazione di algoritmi

Il punto di partenza del metodo dei volumi finiti (FVM) è la formulazione integrale delle leggi di conservazione della massa, della quantità di moto, dell'energia, ecc. Le relazioni di equilibrio sono scritte per un piccolo volume di controllo; il loro analogo discreto si ottiene sommando su tutte le facce del volume selezionato i flussi di massa, quantità di moto, ecc., calcolati utilizzando alcune formule di quadratura. Poiché la formulazione integrale delle leggi di conservazione non impone restrizioni sulla forma del volume di controllo, MCM è adatto per discretizzare equazioni fluidodinamiche su griglie sia strutturate che non strutturate con diverse forme di celle, il che, in linea di principio, risolve completamente il problema del complesso geometria del dominio computazionale.

Va notato, tuttavia, che l’uso di mesh non strutturate è piuttosto complesso in termini algoritmici, richiede molto lavoro da implementare e richiede molte risorse per eseguire calcoli, soprattutto quando si risolvono problemi tridimensionali. Ciò è dovuto sia alla varietà delle possibili forme delle celle della griglia computazionale, sia alla necessità di utilizzare metodi più complessi per risolvere un sistema di equazioni algebriche che non ha una struttura specifica. La pratica degli ultimi anni dimostra che lo sviluppo avanzato di strumenti informatici basati sull'uso di griglie non strutturate è possibile solo per aziende abbastanza grandi con risorse umane e finanziarie adeguate. È molto più economico utilizzare griglie strutturate a blocchi, che comportano la divisione della regione di flusso in diverse sottoregioni (blocchi) di forma relativamente semplice, in ciascuna delle quali è costruita la propria griglia computazionale. In generale, una tale mesh composita non è strutturata, ma all'interno di ciascun blocco viene mantenuta la consueta numerazione degli indici dei nodi, il che consente l'uso di algoritmi efficienti sviluppati per mesh strutturate. Infatti, per passare da una griglia a blocco singolo a una griglia a più blocchi, è sufficiente organizzare l'unione dei blocchi, ovvero scambio di dati tra sottozone adiacenti per tenere conto della loro reciproca influenza. Si noti inoltre che la divisione di un'attività in blocchi separati relativamente indipendenti rientra naturalmente nel concetto di elaborazione parallela su sistemi cluster con elaborazione di singoli blocchi su diversi processori (computer). Tutto ciò rende l'uso di mesh strutturate a blocchi in combinazione con MCM un mezzo relativamente semplice ma estremamente efficace per espandere la geometria dei problemi da risolvere, il che è estremamente importante per piccoli gruppi universitari che sviluppano i propri programmi nel campo della fluidodinamica.

I vantaggi sopra menzionati di MKO sono serviti come base per il fatto che all'inizio degli anni '90. È questo approccio, incentrato sull'uso di griglie strutturate a blocchi, che è stato scelto dagli autori come base per sviluppare il proprio pacchetto software ad ampio profilo per problemi di fluidodinamica e trasferimento di calore convettivo.

Descrizione

Informale

Viene selezionata una certa regione chiusa di flusso di liquido o gas, per la quale vengono ricercati campi di quantità macroscopiche (ad esempio velocità, pressione) che descrivono lo stato del mezzo nel tempo e soddisfano determinate leggi formulate matematicamente. Le più comunemente usate sono le leggi di conservazione nelle variabili di Eulero.

Per qualsiasi valore, in ogni punto dello spazio, circondato da alcuni volume finito chiuso, al momento esiste la seguente relazione: l'importo totale di una quantità nel volume può variare a causa dei seguenti fattori:

In altre parole, quando si formula l'MKO, viene utilizzata l'interpretazione fisica della quantità studiata. Ad esempio, quando si risolvono i problemi di trasferimento del calore, viene utilizzata la legge di conservazione del calore in ciascun volume di controllo.

Matematico

Modifiche

Letteratura

Patankar S.V. Soluzione numerica di problemi di conduzione termica e trasferimento di calore convettivo durante il flusso nei canali = Calcolo della conduzione e del trasferimento di calore del flusso nei condotti: trad. dall'inglese - M.: Casa editrice MPEI, 2003. - 312 p.

Guarda anche

Fondazione Wikimedia. 2010.

Metodo del setaccio quadratico
Metodo dei rapporti finiti

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MKO- Dizionario della sala macchine-caldaia: S. Fadeev. Dizionario delle abbreviazioni della lingua russa moderna. San Pietroburgo: Politekhnika, 1997. 527 p. Comitato interamericano di difesa militare ICE. Dizionario: dizionario delle abbreviazioni e delle abbreviazioni dell'esercito e dei servizi speciali. Comp. AA.... ... Dizionario delle abbreviazioni e delle abbreviazioni

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Utilizzo metodo dei volumi finiti (di controllo). Dimostriamo usando l'esempio di un'equazione del calore stazionaria bidimensionale:

Riso. 13. Griglia di calcolo utilizzata per risolvere l'equazione (31)

metodo dei volumi finiti

Usando il teorema del valore medio possiamo scrivere

dove Δx, Δу sono le lunghezze delle facce della cella, x W è l'ascissa del bordo sinistro (“occidentale”) della cella A, x E è l'ascissa del bordo destro (“orientale”), y N è l'ordinata del confine superiore (“nord”), y S è l’ordinata del confine inferiore (“sud”), S * – tasso medio di rilascio di calore della cella. L'indice sulle derivate (*), a sinistra della (32), indica che esse dovrebbero essere considerate come valori medi, determinati in modo tale da rappresentare correttamente i flussi di calore a ciascuno dei confini. Tenendo conto di questa circostanza, un analogo discreto della (32) può essere ottenuto senza difficoltà [Patankar].

Pertanto, l'equazione (32) descrive il bilancio termico (la legge di conservazione dell'energia) all'interno della cella A. A condizione che i flussi di calore tra le celle siano descritti correttamente, un sistema composto da equazioni della forma (32) applicate a ciascun volume di controllo funzionerà correttamente descrivere il bilancio termico nell’intero dominio computazionale.

In chiusura del paragrafo si precisa che in casi particolari le formule di calcolo ottenute con i metodi sopra descritti possono coincidere, e le differenze più significative si manifestano quando si utilizzano griglie di calcolo curvilinee non ortogonali.

5. Proprietà dei circuiti discreti

5.1 Precisione

Precisione caratterizza l'accettabilità dello schema numerico per il suo uso pratico. Valutare l'accuratezza di un circuito discreto sembra essere un compito molto difficile, poiché risulta quasi impossibile separare gli errori derivanti dalle proprietà del circuito dagli errori derivanti da altri fattori (come ad esempio errori di arrotondamento, imprecisione nella specificazione delle condizioni al contorno e iniziali, ecc.).

Quando si parla di accuratezza di uno schema discreto si intende solitamente l'errore nell'approssimazione delle derivate 27 . In particolare, se l'errore di approssimazione è paragonabile alla seconda potenza del passo della griglia di calcolo, allora si dice che lo schema discreto ha un'accuratezza del secondo ordine. La questione è stata discussa più dettagliatamente nel § 3.

5.2 Coerenza

Il circuito discreto viene chiamato concordato con l’equazione differenziale originaria, se, quando la maglia computazionale viene affinata, l’errore di approssimazione (vedi § 3) tende a zero,

Sono noti schemi di calcolo in cui devono essere soddisfatte condizioni aggiuntive per ottenere la coerenza [Anderson e K]. Poiché verificare la coerenza degli schemi di calcolo è compito degli sviluppatori di software (e non degli utenti) del software, questo problema non verrà discusso in maggiore dettaglio in questa sede.