Metodo di variazione delle costanti arbitrarie. ODU. Metodo di variazione di una costante arbitraria. Equazioni differenziali lineari Metodo di variazione di una costante

Il metodo della variazione delle costanti arbitrarie viene utilizzato per risolvere equazioni differenziali disomogenee. Questa lezione è destinata a quegli studenti che sono già più o meno esperti nell'argomento. Se hai appena iniziato a prendere confidenza con il telecomando, ad es. Se sei un teiera, ti consiglio di iniziare con la prima lezione: Equazioni differenziali del primo ordine. Esempi di soluzioni. E se hai già finito, scarta il possibile preconcetto che il metodo sia difficile. Perché è semplice.

In quali casi viene utilizzato il metodo di variazione delle costanti arbitrarie?

1) Per risolvere è possibile utilizzare il metodo della variazione di una costante arbitraria DE lineare disomogeneo del 1° ordine. Poiché l'equazione è del primo ordine, anche la costante è una.

2) Per risolverne alcuni si utilizza il metodo della variazione delle costanti arbitrarie equazioni lineari disomogenee del secondo ordine. Qui variano due costanti.

È logico supporre che la lezione sarà composta da due paragrafi... Così ho scritto questa frase e per circa 10 minuti ho pensato dolorosamente a quali altre sciocchezze intelligenti avrei potuto aggiungere per passare senza intoppi agli esempi pratici. Ma per qualche motivo non ho pensieri dopo le vacanze, anche se non mi sembra di aver abusato di nulla. Andiamo quindi direttamente al primo paragrafo.

Metodo di variazione di una costante arbitraria
per lineare equazione disomogenea primo ordine

Prima di considerare il metodo di variazione di una costante arbitraria, è consigliabile conoscere l'articolo Lineare equazioni differenziali primo ordine. In quella lezione ci siamo esercitati prima soluzione DE disomogeneo del 1° ordine. Questa prima soluzione, ti ricordo, si chiama metodo di sostituzione O Metodo Bernoulli(da non confondere con Equazione di Bernoulli!!!)

Ora guarderemo seconda soluzione– metodo di variazione di una costante arbitraria. Farò solo tre esempi, e li prenderò dalla lezione suddetta. Perché così pochi? Perché in effetti la soluzione del secondo modo sarà molto simile alla soluzione del primo. Inoltre, secondo le mie osservazioni, il metodo di variazione delle costanti arbitrarie viene utilizzato meno frequentemente rispetto al metodo di sostituzione.

Esempio 1

(Differenza dall'Esempio n. 2 della lezione Equazioni differenziali lineari disomogenee del 1° ordine)

Soluzione: Questa equazione è lineare disomogenea e ha una forma familiare:

Nella prima fase, è necessario risolvere un'equazione più semplice:
Cioè, resettiamo stupidamente il lato destro e scriviamo invece zero.
L'equazione chiamerò equazione ausiliaria.

In questo esempio, è necessario risolvere la seguente equazione ausiliaria:

Prima di noi equazione separabile, la cui soluzione (spero) non ti sarà più difficile:

Così:
– soluzione generale dell'equazione ausiliaria.

Al secondo passo sostituiremo qualche costante per adesso funzione sconosciuta che dipende da "x":

Da qui il nome del metodo: variamo la costante. In alternativa, la costante potrebbe essere una funzione che ora dobbiamo trovare.

IN originale equazione disomogenea facciamo una sostituzione:

Sostituiamo e nell'equazione :

Punto di controllo - i due termini a sinistra si annullano. Se ciò non accade, dovresti cercare l'errore sopra.

Come risultato della sostituzione, è stata ottenuta un'equazione con variabili separabili. Separiamo le variabili e integriamo.

Che benedizione, gli esponenti cancellano anche:

Aggiungiamo una costante “normale” alla funzione trovata:

Nella fase finale, ricordiamo la nostra sostituzione:

La funzione è stata appena trovata!

Quindi la soluzione generale è:

Risposta: decisione comune:

Se stampate le due soluzioni noterete facilmente che in entrambi i casi abbiamo trovato gli stessi integrali. L'unica differenza sta nell'algoritmo di soluzione.

Ora, per qualcosa di più complicato, commenterò anche il secondo esempio:

Esempio 2

Trovare la soluzione generale dell'equazione differenziale
(Differenza dall'Esempio n. 8 della lezione Equazioni differenziali lineari disomogenee del 1° ordine)

Soluzione: Riduciamo l'equazione alla forma :

Ripristiniamo il membro di destra e risolviamo l'equazione ausiliaria:

Soluzione generale dell'equazione ausiliaria:

Nell'equazione disomogenea effettuiamo la sostituzione:

Secondo la regola della differenziazione del prodotto:

Sostituiamo e nell'equazione disomogenea originale:

I due termini a sinistra si annullano, il che significa che siamo sulla strada giusta:

Integriamo per parti. La gustosa lettera della formula di integrazione per parti è già coinvolta nella soluzione, quindi utilizziamo, ad esempio, le lettere “a” e “be”:

Ora ricordiamo la sostituzione:

Risposta: decisione comune:

E un esempio per decisione indipendente:

Esempio 3

Trovare una soluzione particolare dell'equazione differenziale corrispondente alla condizione iniziale data.

,
(Differenza dall'Esempio n. 4 della lezione Equazioni differenziali lineari disomogenee del 1° ordine)
Soluzione:
Questo DE è lineare disomogeneo. Utilizziamo il metodo della variazione delle costanti arbitrarie. Risolviamo l'equazione ausiliaria:

Separiamo le variabili e integriamo:

Decisione comune:
Nell'equazione disomogenea effettuiamo la sostituzione:

Eseguiamo la sostituzione:

Quindi la soluzione generale è:

Troviamo una soluzione particolare corrispondente alla condizione iniziale data:

Risposta: soluzione privata:

La soluzione alla fine della lezione può servire da esempio per portare a termine il compito.

Metodo di variazione delle costanti arbitrarie
per un'equazione lineare del secondo ordine disomogenea
a coefficienti costanti

Ho spesso sentito l'opinione che il metodo per variare le costanti arbitrarie per un'equazione del secondo ordine non è una cosa facile. Ma presumo quanto segue: molto probabilmente, il metodo sembra difficile a molti perché non si verifica così spesso. Ma in realtà non ci sono particolari difficoltà: il corso della decisione è chiaro, trasparente e comprensibile. E bellissimo.

Per padroneggiare il metodo, è auspicabile essere in grado di risolvere equazioni disomogenee del secondo ordine selezionando una particolare soluzione basata sulla forma del secondo membro. Questo metodo è discusso in dettaglio nell'articolo. DE di 2° ordine disomogenei. Ricordiamo che un'equazione lineare disomogenea del secondo ordine a coefficienti costanti ha la forma:

Il metodo di selezione, discusso nella lezione precedente, funziona solo in un numero limitato di casi quando il lato destro contiene polinomi, esponenziali, seni e coseni. Ma cosa fare quando a destra, ad esempio, c'è una frazione, un logaritmo, una tangente? In una situazione del genere, il metodo di variazione delle costanti viene in soccorso.

Esempio 4

Trovare la soluzione generale di un'equazione differenziale del secondo ordine

Soluzione: C'è una frazione sul lato destro di questa equazione, quindi possiamo immediatamente dire che il metodo per selezionare una particolare soluzione non funziona. Utilizziamo il metodo della variazione delle costanti arbitrarie.

Non ci sono segni di temporale, l'inizio della soluzione è del tutto normale:

Lo troveremo decisione comune adeguata omogeneo equazioni:

Componiamo e risolviamo l'equazione caratteristica:


– si ottengono radici complesse coniugate, quindi la soluzione generale è:

Prestare attenzione all'inserimento soluzione generale– se ci sono parentesi, aprile.

Ora facciamo quasi lo stesso trucco dell'equazione del primo ordine: variamo le costanti, sostituendole con funzioni sconosciute. Questo è, soluzione generale di disomogeneo cercheremo le equazioni nella forma:

Dove - per adesso funzioni sconosciute.

Sembra una discarica di rifiuti domestici, ma ora sistemeremo tutto.

Le incognite sono le derivate delle funzioni. Il nostro obiettivo è trovare le derivate e le derivate trovate devono soddisfare sia la prima che la seconda equazione del sistema.

Da dove vengono i “Greci”? Li porta la cicogna. Consideriamo la soluzione generale ottenuta in precedenza e scriviamo:

Troviamo le derivate:

Le parti di sinistra sono state trattate. Cosa c'è a destra?

è il lato destro dell'equazione originale, in in questo caso:

Il coefficiente è il coefficiente della derivata seconda:

In pratica, quasi sempre, e il nostro esempio non fa eccezione.

Tutto è chiaro, ora puoi creare un sistema:

Il sistema è solitamente risolto secondo le formule di Cramer utilizzando l'algoritmo standard. L'unica differenza è che al posto dei numeri abbiamo le funzioni.

Troviamo il principale determinante del sistema:

Se hai dimenticato come viene rivelato il determinante due per due, fai riferimento alla lezione Come calcolare il determinante? Il collegamento porta al forum della vergogna =)

Quindi: questo significa che il sistema ha una soluzione unica.

Trovare la derivata:

Ma non è tutto, finora abbiamo trovato solo la derivata.
La funzione stessa viene ripristinata mediante l'integrazione:

Consideriamo la seconda funzione:

Qui aggiungiamo una costante “normale”.

Nella fase finale della soluzione, ricordiamo in quale forma stavamo cercando una soluzione generale all'equazione disomogenea? In tale:

Le funzioni di cui hai bisogno sono appena state trovate!

Non resta che effettuare la sostituzione e scrivere la risposta:

Risposta: decisione comune:

In linea di principio la risposta avrebbe potuto allargare le parentesi.

Un controllo completo della risposta viene effettuato secondo lo schema standard, discusso nella lezione. DE di 2° ordine disomogenei. Ma la verifica non sarà facile, poiché è necessario trovare derivati ​​piuttosto pesanti ed effettuare sostituzioni macchinose. Questa è una caratteristica spiacevole quando si risolvono tali diffusori.

Esempio 5

Risolvere un'equazione differenziale variando costanti arbitrarie

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo. Infatti sul lato destro c'è anche una frazione. Ricordiamo formula trigonometrica, a proposito, dovrà essere applicato durante la soluzione.

Il metodo di variazione delle costanti arbitrarie è il metodo più universale. Può risolvere qualsiasi equazione che può essere risolta metodo per selezionare una soluzione particolare in base alla forma del lato destro. La domanda sorge spontanea: perché non utilizzare anche lì il metodo della variazione delle costanti arbitrarie? La risposta è ovvia: la scelta di una soluzione particolare, di cui si è discusso in classe Equazioni disomogenee del secondo ordine, accelera notevolmente la soluzione e accorcia la registrazione, senza problemi con determinanti e integrali.

Diamo un'occhiata a due esempi con Problema di Cauchy.

Esempio 6

Trovare una soluzione particolare dell'equazione differenziale corrispondente alle condizioni iniziali date

,

Soluzione: Anche in questo caso la frazione e l'esponente si trovano in una posizione interessante.
Utilizziamo il metodo della variazione delle costanti arbitrarie.

Lo troveremo decisione comune adeguata omogeneo equazioni:



– si ottengono diverse radici reali, quindi la soluzione generale è:

Soluzione generale di disomogeneo cerchiamo le equazioni nella forma: , dove – per adesso funzioni sconosciute.

Creiamo un sistema:

In questo caso:
,
Trovare le derivate:
,

Così:

Risolviamo il sistema utilizzando le formule di Cramer:
, il che significa che il sistema ha una soluzione unica.

Ripristiniamo la funzione mediante integrazione:

Usato qui Metodo per sussumere una funzione sotto il segno differenziale.

Ripristiniamo la seconda funzione mediante integrazione:

Questo integrale è risolto metodo di sostituzione delle variabili:

Dalla sostituzione stessa esprimiamo:

Così:

Questo integrale può essere trovato metodo di estrazione quadrato completo, ma negli esempi con diffusori preferisco espandere la frazione metodo dei coefficienti indeterminati:

Entrambe le funzioni trovate:

Di conseguenza, la soluzione generale dell’equazione disomogenea è:

Troviamo una soluzione particolare che soddisfi le condizioni iniziali .

Tecnicamente, la ricerca di una soluzione viene effettuata in modo standard, di cui si è parlato nell'articolo Equazioni differenziali disomogenee del secondo ordine.

Aspetta, ora troveremo la derivata della soluzione generale trovata:

Questa è una vera vergogna. Non è necessario semplificarlo, è più semplice creare immediatamente un sistema di equazioni. Secondo le condizioni iniziali :

Sostituiamo i valori trovati delle costanti alla soluzione generale:

Nella risposta, i logaritmi possono essere leggermente compressi.

Risposta: soluzione privata:

Come puoi vedere, possono sorgere difficoltà negli integrali e nelle derivate, ma non nell'algoritmo stesso del metodo di variazione delle costanti arbitrarie. Non sono io che ti ho intimidito, è tutta la collezione di Kuznetsov!

Per rilassarti, un ultimo esempio più semplice per risolverlo da solo:

Esempio 7

Risolvi il problema di Cauchy

,

L'esempio è semplice, ma creativo, quando crei un sistema guardalo attentamente prima di decidere ;-),




Di conseguenza, la soluzione generale è:

Troviamo una soluzione particolare corrispondente alle condizioni iniziali .



Sostituiamo i valori trovati delle costanti nella soluzione generale:

Risposta: soluzione privata:

Il metodo di variazione di una costante arbitraria, o metodo di Lagrange, è un altro modo per risolvere le equazioni differenziali lineari del primo ordine e l'equazione di Bernoulli.

Le equazioni differenziali lineari del primo ordine sono equazioni della forma y’+p(x)y=q(x). Se c'è uno zero sul lato destro: y'+p(x)y=0, allora questo è lineare omogeneo Equazione del primo ordine. Di conseguenza, un’equazione con un membro destro diverso da zero, y’+p(x)y=q(x), è eterogeneo equazione lineare 1° ordine.

Metodo di variazione di una costante arbitraria (metodo di Lagrange) è come segue:

1) Cerchiamo una soluzione generale dell’equazione omogenea y’+p(x)y=0: y=y*.

2) Nella soluzione generale consideriamo C non una costante, ma una funzione di x: C = C (x). Troviamo la derivata della soluzione generale (y*)’ e sostituiamo l’espressione risultante per y* e (y*)’ nella condizione iniziale. Dall'equazione risultante troviamo la funzione C(x).

3) Nella soluzione generale dell'equazione omogenea, al posto di C, sostituiamo l'espressione trovata C(x).

Diamo un'occhiata ad esempi del metodo per variare una costante arbitraria. Prendiamo gli stessi compiti di in, confrontiamo lo stato di avanzamento della soluzione e assicuriamoci che le risposte ottenute coincidano.

1) y’=3x-y/x

Riscriviamo l'equazione in forma standard (a differenza del metodo di Bernoulli, dove avevamo bisogno della forma della notazione solo per vedere che l'equazione è lineare).

y’+y/x=3x (I). Ora procediamo secondo il piano.

1) Risolvi l'equazione omogenea y’+y/x=0. Questa è un'equazione con variabili separabili. Immagina y’=dy/dx, sostituisci: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Moltiplichiamo entrambi i membri dell'equazione per dx e dividiamo per xy≠0: dy/y=-dx/x. Integriamo:

2) Nella risultante soluzione generale dell'equazione omogenea, considereremo C non una costante, ma una funzione di x: C=C(x). Da qui

Sostituiamo le espressioni risultanti nella condizione (I):

Integriamo entrambi i lati dell'equazione:

qui C è già una nuova costante.

3) Nella soluzione generale dell'equazione omogenea y=C/x, dove abbiamo assunto C=C(x), cioè y=C(x)/x, al posto di C(x) sostituiamo l'espressione trovata x³ +C: y=(x³ +C)/x oppure y=x²+C/x. Abbiamo ottenuto la stessa risposta di quando risolvevamo con il metodo di Bernoulli.

Risposta: y=x²+C/x.

2) y’+y=cosx.

Qui l'equazione è già scritta in forma standard; non è necessario trasformarla.

1) Risolvere l’equazione lineare omogenea y’+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Integriamo:

Per ottenere una forma di notazione più comoda, prendiamo l'esponente alla potenza di C come il nuovo C:

Questa trasformazione è stata eseguita per rendere più conveniente trovare la derivata.

2) Nella soluzione generale risultante dell'equazione lineare omogenea, consideriamo C non una costante, ma una funzione di x: C=C(x). In questa condizione

Sostituiamo le espressioni risultanti y e y’ nella condizione:

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per

Integriamo entrambi i lati dell'equazione utilizzando la formula di integrazione per parti, otteniamo:

Qui C non è più una funzione, ma una costante ordinaria.

3) Nella soluzione generale dell'equazione omogenea

sostituire la funzione trovata C(x):

Abbiamo ottenuto la stessa risposta di quando risolvevamo con il metodo di Bernoulli.

Per risolvere è applicabile anche il metodo di variazione di una costante arbitraria.

y'x+y=-xy².

Portiamo l'equazione nella forma standard: y’+y/x=-y² (II).

1) Risolvi l'equazione omogenea y’+y/x=0. dy/dx=-y/x. Moltiplichiamo entrambi i membri dell'equazione per dx e dividiamo per y: dy/y=-dx/x. Adesso integriamo:

Sostituiamo le espressioni risultanti nella condizione (II):

Semplifichiamo:

Abbiamo ottenuto un'equazione con variabili separabili per C e x:

Qui C è già una costante ordinaria. Durante il processo di integrazione abbiamo scritto semplicemente C invece di C(x), per non sovraccaricare la notazione. E alla fine siamo tornati a C(x), per non confondere C(x) con il nuovo C.

3) Nella soluzione generale dell'equazione omogenea y=C(x)/x sostituiamo la funzione trovata C(x):

Abbiamo ottenuto la stessa risposta di quando lo abbiamo risolto utilizzando il metodo Bernoulli.

Esempi di autotest:

1. Riscriviamo l'equazione nella forma standard: y’-2y=x.

1) Risolvi l'equazione omogenea y’-2y=0. y’=dy/dx, quindi dy/dx=2y, moltiplica entrambi i lati dell’equazione per dx, dividi per y e integra:

Da qui troviamo y:

Sostituiamo le espressioni y e y’ nella condizione (per brevità useremo C invece di C(x) e C’ invece di C"(x)):

Per trovare l'integrale a destra usiamo la formula dell'integrazione per parti:

Ora sostituiamo u, du e v nella formula:

Qui C =cost.

3) Ora sostituiamo omogeneo nella soluzione

Consideriamo ora l'equazione lineare disomogenea
. (2)
Sia y 1 ,y 2 ,.., y n un sistema fondamentale di soluzioni, e sia la soluzione generale della corrispondente equazione omogenea L(y)=0. Analogamente al caso delle equazioni del primo ordine, cercheremo una soluzione all'equazione (2) nella forma
. (3)
Assicuriamoci che esista una soluzione in questa forma. Per fare ciò, sostituiamo la funzione nell'equazione. Per sostituire questa funzione nell'equazione, troviamo le sue derivate. La derivata prima è uguale a
. (4)
Quando si calcola la derivata seconda, appariranno quattro termini sul lato destro di (4), quando si calcola la derivata terza, appariranno otto termini e così via. Pertanto, per comodità di ulteriori calcoli, il primo termine in (4) è posto uguale a zero. Tenendo conto di ciò, la derivata seconda è uguale a
. (5)
Per gli stessi motivi di prima, anche nella (5) poniamo il primo termine uguale a zero. Infine, la derivata ennesima è
. (6)
Sostituendo i valori ottenuti delle derivate nell'equazione originale, abbiamo
. (7)
Il secondo termine della (7) è uguale a zero, poiché le funzioni y j , j=1,2,..,n, sono soluzioni della corrispondente equazione omogenea L(y)=0. Combinando con il precedente, otteniamo un sistema di equazioni algebriche per trovare le funzioni C" j (x)
(8)
Il determinante di questo sistema è il determinante di Wronski del sistema fondamentale di soluzioni y 1 ,y 2 ,..,y n della corrispondente equazione omogenea L(y)=0 e quindi non è uguale a zero. Di conseguenza esiste un’unica soluzione del sistema (8). Trovatolo, otteniamo le funzioni C" j (x), j=1,2,…,n, e, di conseguenza, C j (x), j=1,2,…,n Sostituendo questi valori in (3), otteniamo una soluzione ad un'equazione lineare disomogenea.
Il metodo presentato è chiamato metodo di variazione di una costante arbitraria o metodo di Lagrange.

Esempio n. 1. Troviamo la soluzione generale dell'equazione y"" + 4y" + 3y = 9e -3 x. Consideriamo la corrispondente equazione omogenea y"" + 4y" + 3y = 0. Le radici della sua equazione caratteristica r 2 + 4r + 3 = 0 sono uguali a -1 e - 3. Pertanto, il sistema fondamentale di soluzioni di un'equazione omogenea è costituito dalle funzioni y 1 = e - x e y 2 = e -3 x. Cerchiamo una soluzione all'equazione disomogenea nella forma y = C 1 (x)e - x + C 2 (x)e -3 x. Per trovare le derivate C" 1 , C" 2 componiamo un sistema di equazioni (8)
C′ 1 ·e -x +C′ 2 ·e -3x =0
-C′ 1 ·e -x -3C′ 2 ·e -3x =9e -3x
risolvendo il quale, troviamo, Integrando le funzioni ottenute, abbiamo
Finalmente otteniamo

Esempio n.2. Risolvi equazioni differenziali lineari del secondo ordine con coefficienti costanti utilizzando il metodo della variazione delle costanti arbitrarie:

y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3

Soluzione:
Questa equazione differenziale si riferisce a equazioni differenziali lineari con coefficienti costanti.
Cercheremo una soluzione dell'equazione nella forma y = e rx. Per fare ciò, componiamo l'equazione caratteristica di un'equazione differenziale omogenea lineare a coefficienti costanti:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 - 4 1 8 = 4

Radici dell'equazione caratteristica: r 1 = 4, r 2 = 2
Di conseguenza il sistema fondamentale delle soluzioni è costituito dalle funzioni: y 1 =e 4x, y 2 =e 2x
La soluzione generale dell'equazione omogenea ha la forma: y =C 1 e 4x +C 2 e 2x
Cerca una soluzione particolare con il metodo della variazione di una costante arbitraria.
Per trovare le derivate di C" i componiamo un sistema di equazioni:
C′ 1 ·e 4x +C′ 2 ·e 2x =0
C′1 (4e 4x) + C′2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
Esprimiamo C" 1 dalla prima equazione:
C"1 = -c2e -2x
e sostituirlo nel secondo. Di conseguenza otteniamo:
C"1 = 2/(e 2x +2e 4x)
C"2 = -2e 2x /(e 2x +2e 4x)
Integriamo le funzioni ottenute C" i:
C1 = 2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1
C2 = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2

Poiché y =C 1 ·e 4x +C 2 ·e 2x, scriviamo le espressioni risultanti nella forma:
C 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
Pertanto, la soluzione generale dell'equazione differenziale ha la forma:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
O
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x

Troviamo una soluzione particolare sotto la condizione:
y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3

Sostituendo x = 0 nell'equazione trovata, otteniamo:
y(0) = 2 ln(3) - 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
Troviamo la derivata prima della soluzione generale ottenuta:
y’ = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
Sostituendo x = 0, otteniamo:
y’(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3

Otteniamo un sistema di due equazioni:
3ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C1 + 2C2 +10ln(3) -4 = 10ln3
O
C*1+C*2=2
4CH 1 + 2CH 2 = 4
O
C*1+C*2=2
2C1 + C2 = 2
Da: C 1 = 0, C * 2 = 2
La soluzione privata sarà scritta come:
y = 2e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + 2 e 2x

Lezione 44. Equazioni lineari disomogenee del secondo ordine. Metodo di variazione delle costanti arbitrarie. Equazioni lineari disomogenee del secondo ordine a coefficienti costanti. (speciale lato destro).

Trasformazioni sociali. Stato e Chiesa.

Politica sociale I bolscevichi erano in gran parte dettati dal loro approccio di classe. Con decreto del 10 novembre 1917, il sistema di classi fu distrutto, i gradi, i titoli e i premi pre-rivoluzionari furono aboliti. È stata stabilita l'elezione dei giudici; fu attuata la secolarizzazione degli stati civili. Furono istituite l'istruzione gratuita e l'assistenza medica (decreto del 31 ottobre 1918). Alle donne furono concessi gli stessi diritti degli uomini (decreti del 16 e 18 dicembre 1917). Il Decreto sul Matrimonio ha introdotto l’istituto del matrimonio civile.

Con decreto del Consiglio dei commissari del popolo del 20 gennaio 1918 la chiesa fu separata dallo stato e dal sistema educativo. La maggior parte dei beni della chiesa furono confiscati. Patriarca di Mosca e di tutta la Rus' Tikhon (eletto il 5 novembre 1917) anatemizzato il 19 gennaio 1918 Il potere sovietico e invocò la lotta contro i bolscevichi.

Consideriamo un'equazione lineare disomogenea del secondo ordine

La struttura della soluzione generale di tale equazione è determinata dal seguente teorema:

Teorema 1. La soluzione generale dell'equazione disomogenea (1) è rappresentata come la somma di una soluzione particolare di questa equazione e della soluzione generale della corrispondente equazione omogenea

Prova. È necessario dimostrare che l'importo

è una soluzione generale dell'equazione (1). Dimostriamo innanzitutto che la funzione (3) è una soluzione dell'equazione (1).

Sostituendo la somma nell'equazione (1) invece di A, avrà

Poiché esiste una soluzione all'equazione (2), l'espressione tra le prime parentesi è identicamente uguale a zero. Poiché esiste una soluzione all'equazione (1), l'espressione tra le seconde parentesi è uguale a f(x). Pertanto, l’uguaglianza (4) è un’identità. La prima parte del teorema è quindi dimostrata.

Dimostriamo la seconda affermazione: l'espressione (3) è generale soluzione dell'equazione (1). Dobbiamo dimostrare che le costanti arbitrarie incluse in questa espressione possono essere selezionate in modo che le condizioni iniziali siano soddisfatte:

qualunque siano i numeri x0,y0 e (se solo x0è stata prelevata dall'area in cui si svolgono le funzioni un 1, un 2 E f(x) continuo).

Notando che può essere rappresentato nella forma . Quindi, in base alle condizioni (5), avremo

Risolviamo questo sistema e determiniamo C1 E C2. Riscriviamo il sistema nella forma:

Si noti che il determinante di questo sistema è il determinante di Wronski per le funzioni alle 1 E alle 2 al punto x=x0. Poiché queste funzioni sono linearmente indipendenti dalla condizione, il determinante di Wronski non è uguale a zero; quindi il sistema (6) ha una soluzione definita C1 E C2, cioè. ci sono tali significati C1 E C2, in base alla quale la formula (3) determina la soluzione dell'equazione (1) che soddisfa le condizioni iniziali date. Q.E.D.

Passiamo al metodo generale per trovare soluzioni parziali di un'equazione disomogenea.

Scriviamo la soluzione generale dell'equazione omogenea (2)

Cercheremo una soluzione particolare all'equazione disomogenea (1) nella forma (7), considerando C1 E C2 come alcune funzioni ancora sconosciute di X.

Differenziamo l'uguaglianza (7):

Selezioniamo le funzioni che stai cercando C1 E C2 in modo che valga l'uguaglianza

Se teniamo conto di questa condizione aggiuntiva, la derivata prima assumerà la forma

Differenziando ora questa espressione, troviamo:

Sostituendo nell'equazione (1), otteniamo

Le espressioni nelle prime due parentesi diventano zero, since sì 1 E sì 2– soluzioni di un'equazione omogenea. Pertanto, l'ultima uguaglianza assume la forma

Pertanto, la funzione (7) sarà una soluzione all'equazione disomogenea (1) se le funzioni C1 E C2 soddisfare le equazioni (8) e (9). Creiamo un sistema di equazioni dalle equazioni (8) e (9).

Poiché il determinante di questo sistema è il determinante di Wronski per soluzioni linearmente indipendenti sì 1 E sì 2 equazione (2), allora non è uguale a zero. Pertanto, risolvendo il sistema, troveremo entrambe le funzioni determinate di X:

Risolvendo questo sistema, troviamo , da dove, come risultato dell'integrazione, otteniamo . Successivamente, sostituiamo le funzioni trovate nella formula, otteniamo una soluzione generale dell'equazione disomogenea, dove sono costanti arbitrarie.

Metodo di variazione delle costanti arbitrarie

Metodo di variazione di costanti arbitrarie per costruire una soluzione a un'equazione differenziale lineare disomogenea

UN N (T)z (N) (T) + UN N − 1 (T)z (N − 1) (T) + ... + UN 1 (T)z"(T) + UN 0 (T)z(T) = F(T)

consiste nel sostituire costanti arbitrarie C K nella soluzione generale

z(T) = C 1 z 1 (T) + C 2 z 2 (T) + ... + C N z N (T)

corrispondente equazione omogenea

UN N (T)z (N) (T) + UN N − 1 (T)z (N − 1) (T) + ... + UN 1 (T)z"(T) + UN 0 (T)z(T) = 0

per le funzioni ausiliarie C K (T) , le cui derivate soddisfano il sistema algebrico lineare

Il determinante del sistema (1) è il Wronskiano delle funzioni z 1 ,z 2 ,...,z N , che ne garantisce la risolubilità unica rispetto a .

Se sono derivative per , prese a valori fissi delle costanti di integrazione, allora la funzione

è una soluzione dell'equazione differenziale lineare disomogenea originale. L'integrazione di un'equazione disomogenea in presenza di una soluzione generale alla corrispondente equazione omogenea viene così ridotta a quadrature.

Metodo di variazione di costanti arbitrarie per costruire soluzioni di un sistema di equazioni differenziali lineari in forma normale vettoriale

consiste nel costruire una particolare soluzione (1) nella forma

Dove Z(T) è la base delle soluzioni alla corrispondente equazione omogenea, scritta sotto forma di matrice, e la funzione vettoriale , che ha sostituito il vettore delle costanti arbitrarie, è definita dalla relazione . La soluzione particolare richiesta (con valori iniziali pari a zero a T = T 0 assomiglia

Per un sistema a coefficienti costanti l’ultima espressione è semplificata:

Matrice Z(T)Z− 1 (τ) chiamato Matrice di Cauchy operatore l = UN(T) .