Polinomi. Fattorizzazione di un polinomio: metodi, esempi. Lezione di algebra "diversi modi di fattorizzazione" Fattorizzazione di un trinomio quadratico

PIANO DELLE LEZIONI lezione di algebra in 7a elementare

Insegnante Prilepova O.A.

Obiettivi della lezione:

Mostrare l'uso di vari metodi per fattorizzare un polinomio

Ripetere i metodi di fattorizzazione e consolidare le conoscenze durante gli esercizi

Sviluppare le competenze e le abilità degli studenti nell'uso delle formule di moltiplicazione abbreviate.

Sviluppare il pensiero logico e l’interesse degli studenti per l’argomento.

Compiti:

nella direzione crescita personale:

Sviluppare l'interesse per la creatività matematica e le abilità matematiche;

Sviluppo di iniziativa e attività nella risoluzione di problemi matematici;

Sviluppare la capacità di prendere decisioni indipendenti.

nella direzione del metasoggetto :

Formazione metodi comuni l'attività intellettuale, caratteristica della matematica e che è alla base della cultura cognitiva;

Utilizzo della tecnologia ICT;

nell'area tematica:

Padronanza delle conoscenze e delle competenze matematiche necessarie per la formazione continua;

Sviluppare negli studenti la capacità di cercare modi per fattorizzare un polinomio e trovarli per un polinomio che può essere fattorizzato.

Attrezzatura:dispense, schede percorso con criteri di valutazione,proiettore multimediale, presentazione.

Tipo di lezione:ripetizione, generalizzazione e sistematizzazione del materiale trattato

Forme di lavoro:lavoro in coppia e in gruppo, individuale, collettivo,lavoro autonomo e frontale.

Durante le lezioni:

La fattorizzazione dei polinomi è una trasformazione dell'identità, a seguito della quale un polinomio viene trasformato nel prodotto di diversi fattori: polinomi o monomi.

Esistono diversi modi per fattorizzare i polinomi.

Metodo 1. Togliere il fattore comune tra parentesi.

Questa trasformazione si basa sulla legge distributiva della moltiplicazione: ac + bc = c(a + b). L'essenza della trasformazione è isolare il fattore comune nelle due componenti in esame e “toglierlo” tra parentesi.

Fattorizziamo il polinomio 28x 3 – 35x 4.

Soluzione.

1. Trova gli elementi 28x 3 e 35x 4 divisore comune. Per il 28 e il 35 saranno 7; per x 3 e x 4 – x 3. In altre parole, il nostro fattore comune è 7x3.

2. Rappresentiamo ciascuno degli elementi come un prodotto di fattori, uno dei quali
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x.

3. Togliamo il fattore comune tra parentesi
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x).

Metodo 2. Utilizzo di formule di moltiplicazione abbreviate. La “padronanza” nell'uso di questo metodo sta nel notare una delle formule di moltiplicazione abbreviate nell'espressione.

Fattorizziamo il polinomio x 6 – 1.

Soluzione.

1. Possiamo applicare la formula della differenza dei quadrati a questa espressione. Per fare ciò, immagina x 6 come (x 3) 2 e 1 come 1 2, cioè 1. L'espressione assumerà la forma:
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1).

2. Possiamo applicare la formula per la somma e la differenza dei cubi all'espressione risultante:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

COSÌ,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2+x+1).

Metodo 3. Raggruppamento. Il metodo di raggruppamento consiste nel combinare le componenti di un polinomio in modo tale che sia facile eseguire operazioni su di esse (addizione, sottrazione, sottrazione di un fattore comune).

Fattorizziamo il polinomio x 3 – 3x 2 + 5x – 15.

Soluzione.

1. Raggruppiamo i componenti in questo modo: 1° con 2° e 3° con 4°
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15).

2. Nell'espressione risultante, togliamo i fattori comuni tra parentesi: x 2 nel primo caso e 5 nel secondo.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3).

3. Prendiamo il fattore comune x – 3 tra parentesi e otteniamo:
x 2 (x – 3) + 5 (x – 3) = (x – 3)(x 2 + 5).

COSÌ,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5 ).

Mettiamo al sicuro il materiale.

Fattorizza il polinomio a 2 – 7ab + 12b 2 .

Soluzione.

1. Rappresentiamo il monomio 7ab come la somma 3ab + 4ab. L’espressione assumerà la forma:
a2 – (3ab + 4ab) + 12b2.

Apriamo le parentesi e otteniamo:
a2 – 3ab – 4ab + 12b 2.

2. Raggruppiamo le componenti del polinomio in questo modo: 1° con 2° e 3° con 4°. Noi abbiamo:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).

3. Togliamo i fattori comuni tra parentesi:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = a(a – 3b) – 4b(a – 3b).

4. Prendiamo il fattore comune (a – 3b) tra parentesi:
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

COSÌ,
a2 – 7ab + 12b2 =
= a2 – (3ab + 4ab) + 12b2 =
= a2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= a(a – 3b) – 4b(a – 3b) =
= (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

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Lezione pubblica

matematica

nel 7° grado

"Utilizzo di vari metodi per fattorizzare un polinomio."

Prokofieva Natalia Viktorovna,

Insegnante di matematica

Obiettivi della lezione

Educativo:

1. ripetere formule di moltiplicazione abbreviate
2. formazione e consolidamento primario della capacità di fattorizzare i polinomi in vari modi.

Educativo:

1. sviluppo della consapevolezza, pensiero logico, attenzione, capacità di sistematizzare e applicare le conoscenze acquisite, discorso matematicamente alfabetizzato.

Educativo:

1. sviluppare l'interesse nella risoluzione di esempi;
2. coltivare un senso di mutua assistenza, autocontrollo e cultura matematica.

Tipo di lezione: lezione combinata

Attrezzatura: proiettore, presentazione, lavagna, libro di testo.

Preparazione preliminare alla lezione:

1. Gli studenti dovrebbero conoscere i seguenti argomenti:

1. Quadratura della somma e della differenza di due espressioni
2. Fattorizzazione utilizzando le formule della somma quadrata e della differenza quadrata
3. Moltiplicare la differenza di due espressioni per la loro somma
4. Fattorizzazione di una differenza di quadrati
5. Fattorizzare la somma e la differenza dei cubi

1. Avere capacità di lavorare con formule di moltiplicazione abbreviate.

Piano di lezione

1. Momento organizzativo (focalizzare gli studenti sulla lezione)
2. Controllo dei compiti (correzione errori)
3. Esercizi orali
4. Imparare nuovo materiale
5. Esercizi di allenamento
6. Esercizi di ripetizione
7. Riassumendo la lezione
8. Messaggio dei compiti

Durante le lezioni

I. Momento organizzativo.

La lezione richiederà che tu conosca le formule di moltiplicazione abbreviate, sappia applicarle e, ovviamente, presti attenzione.

II. Controllo dei compiti.

Domande sui compiti.

Analisi della soluzione alla lavagna.

II. Esercizi orali.

Serve la matematica
È impossibile senza di lei
Insegniamo, insegniamo, amici,
Cosa ricordiamo la mattina?

Facciamo un riscaldamento.

Fattorizzare (Diapositiva 3)

8a – 16b

17x² + 5x

c(x+y)+5(x+y)

4a² - 25 (Diapositiva 4)

1 - y³

ax + ay + 4x + 4y Diapositiva 5)

III. Lavoro indipendente.

Ognuno di voi ha un tavolo sul tavolo. Firma il tuo lavoro in alto a destra. Compila la tabella. Il tempo di lavoro è di 5 minuti. Iniziamo.

Sono state fatte.

Per favore, scambia lavoro con il tuo vicino.

Posarono le penne e presero le matite.

Controlliamo il lavoro: prestiamo attenzione alla diapositiva. (Diapositiva 6)

Mettiamo un segno - (Diapositiva 7)

7(+) - 5

6-5(+) - 4

4(+) - 3

Metti le formule al centro della tabella. Iniziamo a imparare nuovo materiale.

IV. Imparare nuovo materiale

Nei quaderni annotiamo la data, il lavoro in classe e l'argomento della lezione di oggi.

Insegnante.

1. Quando si fattorizzano i polinomi, a volte non si utilizza uno, ma diversi metodi, applicandoli in sequenza.
2. Esempi:

1. 5a² - 20 = 5 (a² - 4) = 5 (a-2)(a+2). (Diapositiva 8)

Usiamo il fattore comune tra parentesi e la formula della differenza dei quadrati.

1. 18x³ + 12x² + 2x = 2x (9x² + 6x + 1) = 2x (3x + 1)². (Diapositiva 9)

Cosa puoi fare con l'espressione? Quale metodo utilizzeremo per fattorizzare?

Qui usiamo tra parentesi il fattore comune e la formula della somma quadrata.

1. ab³ – 3b³ + ab²у – 3b²у = b² (ab – 3b + ay – 3y) = b² ((ab – 3b) + (ay – 3y)) = b² (b(a – 3) + y(a – 3)) = b² (a – 3)(b +y). (Diapositiva 10)

Cosa puoi fare con l'espressione? Quale metodo utilizzeremo per fattorizzare?

In questo caso il fattore comune è stato tolto dalle parentesi ed è stato applicato il metodo del raggruppamento.

1. Ordine di fattorizzazione: (Diapositiva 11)

1. Non tutti i polinomi possono essere fattorizzati. Ad esempio: x² + 1; 5x² + x + 2, ecc. (Diapositiva 12)

V. Esercizi di allenamento

Prima di iniziare, facciamo una sessione di allenamento fisico (Diapositiva 13)

Si alzarono velocemente e sorrisero.

Si estendevano sempre più in alto.

Avanti, raddrizza le spalle,

Sollevalo un pò meno.

Gira a destra, gira a sinistra,

Si sedettero e si alzarono. Si sedettero e si alzarono.

E corsero sul posto.

E ancora un po' di ginnastica per gli occhi:

1. Chiudi bene gli occhi per 3-5 secondi, quindi aprili per 3-5 secondi. Ripeti 6 volte.
2. Posiziona il pollice a una distanza di 20-25 cm dagli occhi, guarda con entrambi gli occhi l'estremità del dito per 3-5c, quindi guarda con entrambi gli occhi la pipa. Ripeti 10 volte.

Ben fatto, siediti.

Compito della lezione:

N. 934 avd

№935 av

№937

N. 939 avd

N. 1007 avd

VI.Esercizi di ripetizione.

№ 933

VII. Riassumendo la lezione

L'insegnante pone domande e gli studenti rispondono a piacimento.

1. Nome metodi conosciuti fattorizzazione di un polinomio.

1. Togli il fattore comune tra parentesi
2. Fattorizzare un polinomio utilizzando formule di moltiplicazione abbreviate.
3. metodo di raggruppamento

1. Ordine di fattorizzazione:

1. Inserisci il fattore comune tra parentesi (se ce n'è uno).
2. Prova a fattorizzare un polinomio utilizzando formule di moltiplicazione abbreviate.
3. Se i metodi precedenti non hanno portato all'obiettivo, prova a utilizzare il metodo di raggruppamento.

Alza una mano:

1. Se il tuo atteggiamento nei confronti della lezione è "Non ho capito niente e non ci sono riuscito affatto"
2. Se il tuo atteggiamento nei confronti della lezione è “ci sono state difficoltà, ma ce l’ho fatta”
3. Se il tuo atteggiamento verso la lezione è “Sono riuscito in quasi tutto”

Fattorizzare 4 a² - 25 = 1 - y³ = (2a – 5) (2a + 5) (1 – y) (1+y+y ²) Fattorizzare un polinomio utilizzando formule di moltiplicazione abbreviate

Fattorizzare ax+ay+4x+4y= =a(x+y)+4(x+y)= (ax+ay)+(4x+4y)= (x+y) (a+4) Metodo di raggruppamento

(a + b) ² a ² + 2ab + b ² Quadrato della somma a² - b² (a – b)(a + b) Differenza dei quadrati (a – b)² a² - 2ab + b² Quadrato della differenza a³ + b ³ (a + b) (a² - ab + b²) Somma dei cubi (a + b) ³ a³ + 3 a²b+3ab² + b³ Cubo di somma (a - b) ³ a³ - 3a²b+3ab² - b³ Cubo di differenza a³ - b³ (a – b) (a² + ab + b²) Differenza di cubi

IMPOSTA I SEGNI 7 (+) = 5 6 o 5 (+) = 4 4 (+) = 3

Esempio n. 1. 5 a² - 20 = = 5(a² - 4) = = 5(a – 2) (a+2) Prendendo il fattore comune tra parentesi Formula per la differenza dei quadrati

Esempio n.2. 18 x³ + 12x ² + 2x = =2x (9x ² +6x+1)= =2x(3x+1) ² Prendendo il fattore comune tra parentesi Formula per la somma quadrata

Esempio n.3. ab³ –3b³+ab²y–3b²y= = b²(ab–3b+ay-3y)= =b²((a b -3 b)+(a y -3 y)= =b²(b(a-3)+y(a -3))= =b²(a-3)(b+y) Posiziona il fattore fuori dalle parentesi Raggruppa i termini tra parentesi Posiziona i fattori fuori dalle parentesi Posiziona il fattore comune fuori dalle parentesi

Ordine di fattorizzazione: inserisci il fattore comune tra parentesi (se presente). Prova a fattorizzare un polinomio utilizzando formule di moltiplicazione abbreviate. 3. Se i metodi precedenti non hanno portato all'obiettivo, prova ad applicare il metodo di raggruppamento.

Non tutti i polinomi possono essere fattorizzati. Ad esempio: x² +1 5x² + x + 2

MINUTO FISICO

Compito di lezione N. 934 avd N. 935 avd N. 937 N. 939 avd N. 1007 avd

Alza la mano: Se il tuo atteggiamento nei confronti della lezione è "Non ho capito niente e non ci sono riuscito affatto" Se il tuo atteggiamento nei confronti della lezione "ci sono state difficoltà, ma ce l'ho fatta" Se il tuo atteggiamento nei confronti della lezione “Sono riuscito in quasi tutto”

Compiti a casa: pag. 38 N. 936 N. 938 N. 954

I concetti di "polinomio" e "fattorizzazione di un polinomio" in algebra si incontrano molto spesso, perché è necessario conoscerli per eseguire facilmente calcoli con grandi numeri a più cifre. Questo articolo descriverà diversi metodi di scomposizione. Tutti sono abbastanza facili da usare; devi solo scegliere quello giusto per ogni caso specifico.

Il concetto di polinomio

Un polinomio è una somma di monomi, cioè espressioni contenenti solo l'operazione di moltiplicazione.

Ad esempio, 2 * x * y è un monomio, ma 2 * x * y + 25 è un polinomio composto da 2 monomi: 2 * x * y e 25. Tali polinomi sono chiamati binomi.

A volte, per comodità di risolvere esempi con valori multivalore, un'espressione deve essere trasformata, ad esempio, scomposta in un certo numero di fattori, cioè numeri o espressioni tra i quali viene eseguita l'azione di moltiplicazione. Esistono diversi modi per fattorizzare un polinomio. Vale la pena considerarli, a cominciare da quello più primitivo, utilizzato nella scuola primaria.

Raggruppamento (record in forma generale)

La formula per fattorizzare un polinomio utilizzando il metodo di raggruppamento in generale è simile alla seguente:

ac + bd + bc + ad = (ac + bc) + (ad + bd)

È necessario raggruppare i monomi in modo che ciascun gruppo abbia un fattore comune. Nella prima parentesi questo è il fattore c, e nella seconda - d. Questo va fatto per poi spostarlo fuori dalla staffa, semplificando così i calcoli.

Algoritmo di decomposizione utilizzando un esempio specifico

Di seguito è riportato l'esempio più semplice di fattorizzazione di un polinomio utilizzando il metodo del raggruppamento:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)

Nella prima parentesi devi prendere i termini con il fattore a, che sarà comune, e nella seconda - con il fattore b. Presta attenzione ai segni + e - nell'espressione finita. Mettiamo davanti al monomio il segno che c'era nell'espressione iniziale. Cioè, devi lavorare non con l'espressione 25a, ma con l'espressione -25. Il segno meno sembra essere “incollato” all’espressione sottostante e sempre preso in considerazione durante il calcolo.

Nel passaggio successivo, devi togliere il moltiplicatore, che è comune, tra parentesi. Questo è esattamente lo scopo del raggruppamento. Mettere fuori parentesi significa scrivere prima della parentesi (omettendo il segno di moltiplicazione) tutti quei fattori che si ripetono esattamente in tutti i termini che stanno tra parentesi. Se in una parentesi non ci sono 2, ma 3 o più termini, il fattore comune deve essere contenuto in ciascuno di essi, altrimenti non può essere tolto dalla parentesi.

Nel nostro caso ci sono solo 2 termini tra parentesi. Il moltiplicatore complessivo è immediatamente visibile. Nella prima parentesi è a, nella seconda è b. Qui è necessario prestare attenzione ai coefficienti digitali. Nella prima fascia entrambi i coefficienti (10 e 25) sono multipli di 5. Ciò significa che non solo a, ma anche 5a può essere tolto dalla fascia. Prima della parentesi scrivi 5a, quindi dividi ciascuno dei termini tra parentesi per il fattore comune che è stato tolto, e scrivi anche il quoziente tra parentesi, senza dimenticare i segni + e -. Fai lo stesso con la seconda parentesi, elimina 7b, nonché 14 e 35 multipli di 7.

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5).

Abbiamo 2 termini: 5a(2c - 5) e 7b(2c - 5). Ognuno di essi contiene un fattore comune (l'intera espressione tra parentesi qui è la stessa, il che significa che è un fattore comune): 2c - 5. Deve anche essere tolto dalla parentesi, cioè rimangono i termini 5a e 7b nella seconda parentesi:

5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Quindi l'espressione completa è:

10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a(2c - 5) + 7b(2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).

Pertanto, il polinomio 10ac + 14bc - 25a - 35b viene scomposto in 2 fattori: (2c - 5) e (5a + 7b). Il segno di moltiplicazione tra loro può essere omesso durante la scrittura

A volte ci sono espressioni di questo tipo: 5a 2 + 50a 3, qui puoi mettere tra parentesi non solo a o 5a, ma anche 5a 2. Dovresti sempre cercare di escludere il massimo fattore comune dalla parentesi. Nel nostro caso, se dividiamo ogni termine per un fattore comune, otteniamo:

5a2 / 5a2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(nel calcolo del quoziente di più potenze con basi uguali, si conserva la base e si sottrae l'esponente). Quindi, l'unità rimane tra parentesi (non dimenticare in nessun caso di scriverne una se si toglie uno dei termini dalla parentesi) e il quoziente di divisione: 10a. Si scopre che:

5a2 + 50a3 = 5a2 (1 + 10a)

Formule quadrate

Per facilitare il calcolo sono state derivate diverse formule. Queste sono chiamate formule di moltiplicazione abbreviate e vengono utilizzate abbastanza spesso. Queste formule aiutano a fattorizzare i polinomi contenenti potenze. Questo è un altro modo efficace per fattorizzare. Quindi eccoli qui:

• a2 + 2ab + b2 = (a+b)2 - una formula chiamata "quadrato della somma", poiché come risultato della scomposizione in un quadrato, viene presa la somma dei numeri racchiusi tra parentesi, cioè il valore di questa somma viene moltiplicato per se stesso 2 volte, e quindi è un moltiplicatore.
• a2 + 2ab - b2 = (a - b) 2 - la formula del quadrato della differenza è simile alla precedente. Il risultato è la differenza, racchiusa tra parentesi, contenuta nella potenza quadrata.
• a2 - b2 = (a + b)(a - b)- questa è una formula per la differenza dei quadrati, poiché inizialmente il polinomio è costituito da 2 quadrati di numeri o espressioni, tra i quali viene eseguita la sottrazione. Forse, dei tre citati, è quello usato più spesso.

Esempi di calcoli utilizzando formule quadrate

I calcoli per loro sono abbastanza semplici. Per esempio:

1. 25x2 + 20xy + 4a 2 - utilizzare la formula “quadrato della somma”.
2. 25x2 è il quadrato di 5x. 20xy è il doppio prodotto di 2*(5x*2y) e 4y 2 è il quadrato di 2y.
3. Pertanto, 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y)(5x + 2y). Questo polinomio è scomposto in 2 fattori (i fattori sono gli stessi, quindi è scritto come un'espressione con una potenza quadrata).

Le azioni che utilizzano la formula della differenza quadrata vengono eseguite in modo simile a queste. La formula rimanente è la differenza dei quadrati. Esempi di questa formula sono molto facili da definire e trovare tra le altre espressioni. Per esempio:

• 25a 2 - 400 = (5a - 20)(5a + 20). Poiché 25a 2 = (5a) 2 e 400 = 20 2
• 36x 2 - 25a 2 = (6x - 5a) (6x + 5a). Poiché 36x 2 = (6x) 2 e 25y 2 = (5y 2)
• c2 - 169b2 = (c - 13b)(c + 13b). Poiché 169b 2 = (13b) 2

È importante che ciascuno dei termini sia un quadrato di qualche espressione. Quindi questo polinomio deve essere scomposto utilizzando la formula della differenza dei quadrati. Per questo non è necessario che il secondo grado sia superiore al numero. Esistono polinomi che contengono gradi elevati, ma si adattano comunque a queste formule.

a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2

In questo esempio, un 8 può essere rappresentato come (a 4) 2, cioè il quadrato di una certa espressione. 25 è 5 2 e 10a è 4 - questo è il doppio prodotto dei termini 2*a4*5. Questo è questa espressione, nonostante la presenza di gradi con grandi esponenti, può essere scomposto in 2 fattori per poter successivamente lavorare con essi.

Formule del cubo

Esistono le stesse formule per fattorizzare i polinomi contenenti cubi. Sono un po’ più complicati di quelli con i quadrati:

• a3 + b3 = (a+b)(a2 - ab + b2)- questa formula è chiamata somma dei cubi, poiché nella sua forma iniziale il polinomio è la somma di due espressioni o numeri racchiusi in un cubo.
• a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2) - una formula identica alla precedente viene designata come differenza di cubi.
• a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - cubo di una somma, come risultato dei calcoli, la somma di numeri o espressioni è racchiusa tra parentesi e moltiplicata per se stessa 3 volte, cioè situata in un cubo
• a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 - la formula, compilata per analogia con la precedente, cambiando solo alcuni segni delle operazioni matematiche (più e meno), è chiamata “cubo delle differenze”.

Le ultime due formule non vengono praticamente utilizzate per fattorizzare un polinomio, poiché sono complesse, ed è abbastanza raro trovare polinomi che corrispondano esattamente a questa struttura in modo da poterli fattorizzare utilizzando queste formule. Ma devi ancora conoscerli, poiché saranno necessari quando si opera nella direzione opposta, quando si aprono le parentesi.

Esempi di formule cubiche

Diamo un'occhiata ad un esempio: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2 ).

Qui vengono presi numeri abbastanza semplici, quindi puoi immediatamente vedere che 64a 3 è (4a) 3 e 8b 3 è (2b) 3. Pertanto, questo polinomio viene espanso secondo la formula della differenza dei cubi in 2 fattori. Le azioni che utilizzano la formula per la somma dei cubi vengono eseguite per analogia.

È importante capire che non tutti i polinomi possono essere espansi almeno in un modo. Ma ci sono espressioni che contengono potenze maggiori di un quadrato o di un cubo, ma possono anche essere espanse in forme di moltiplicazione abbreviate. Ad esempio: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y) ( x 8 − 5x 4 y + 25y 2).

Questo esempio contiene fino al 12° grado. Ma anche questo può essere fattorizzato utilizzando la formula della somma dei cubi. Per fare ciò, devi immaginare x 12 come (x 4) 3, cioè come un cubo di qualche espressione. Ora, invece di a, devi sostituirlo nella formula. Ebbene, l'espressione 125y 3 è un cubo di 5y. Successivamente, è necessario comporre il prodotto utilizzando la formula ed eseguire calcoli.

All'inizio, o in caso di dubbio, puoi sempre verificare mediante la moltiplicazione inversa. Devi solo aprire le parentesi nell'espressione risultante ed eseguire azioni con termini simili. Questo metodo si applica a tutti i metodi di riduzione elencati: sia per lavorare con un fattore comune e un raggruppamento, sia per lavorare con formule di cubi e potenze quadratiche.

Sezioni: Matematica

Tipo di lezione:

• secondo la modalità di erogazione - una lezione laboratoriale;
• Di scopo didattico– una lezione sull’applicazione di conoscenze e abilità.

Bersaglio: sviluppare la capacità di fattorizzare un polinomio.

Compiti:

• Didattico: sistematizzare, espandere e approfondire le conoscenze e le abilità degli studenti, applicare vari metodi per fattorizzare un polinomio. Sviluppare la capacità di applicare la fattorizzazione polinomiale mediante combinazione varie tecniche. Implementare conoscenze e competenze sull'argomento: "Scomposizione di un polinomio" per completare compiti sia a livello base che compiti di maggiore complessità.
• Sviluppo: sviluppare l'attività mentale attraverso la risoluzione di vari tipi di problemi, imparare a trovare e analizzare i metodi di soluzione più razionali, contribuire alla formazione della capacità di generalizzare i fatti studiati, esprimere i propri pensieri in modo chiaro e chiaro.
• Educativo: sviluppare capacità di lavoro autonomo e di gruppo, capacità di autocontrollo.

Metodi di lavoro:

• verbale;
• visivo;
• pratico.

Attrezzatura per le lezioni: lavagna interattiva o lavagna luminosa, tabelle con formule di moltiplicazione abbreviate, istruzioni, dispense per il lavoro di gruppo.

Struttura della lezione:

1. Organizzare il tempo. 1 minuto
2. Formulare l'argomento, lo scopo e gli obiettivi della lezione pratica. 2 minuti
3. Controllo dei compiti. 4 minuti
4. Aggiornamento delle conoscenze e delle competenze di base degli studenti. 12 minuti
5. Minuto di educazione fisica. 2 minuti
6. Istruzioni su come completare le attività del workshop. 2 minuti
7. Svolgere compiti in gruppi. 15 minuti
8. Controllo e discussione dei compiti. Analisi del lavoro. 3 minuti
9. Impostazione dei compiti. 1 minuto
10. Prenota posti di lavoro. 3 minuti

Durante le lezioni

1. Momento organizzativo

L'insegnante verifica la disponibilità della classe e degli studenti per la lezione.

2. Formulare l'argomento, lo scopo e gli obiettivi della lezione laboratoriale

• Messaggio sulla lezione finale sull'argomento.
• Motivazione per le attività di apprendimento degli studenti.
• Formulare l'obiettivo e stabilire gli obiettivi della lezione (insieme agli studenti).

3. Controllo dei compiti

Alla lavagna ci sono esempi di soluzioni degli esercizi per casa n. 943 (a, c); N. 945 (c, d). I campioni sono stati realizzati dagli studenti della classe. (Questo gruppo di studenti è stato identificato nella lezione precedente; hanno formalizzato la loro decisione durante la pausa). Gli studenti si preparano a “difendere” le soluzioni.

Insegnante:

Controlla la presenza dei compiti nei quaderni degli studenti.

Invita gli studenti della classe a rispondere alla domanda: “Quali difficoltà ha causato il completamento del compito?”

Si offre di verificare la tua soluzione con la soluzione sulla lavagna.

Invita gli studenti alla lavagna a rispondere alle domande che gli studenti hanno sul posto durante il controllo utilizzando i campioni.

Commenta le risposte degli studenti, integra le risposte e chiarisce (se necessario).

Riassume il completamento dei compiti.

Studenti:

Presente compiti a casa all'insegnante.

Si scambiano i quaderni (in coppia) e si controllano a vicenda.

Rispondi alle domande dell'insegnante.

Controlla la tua soluzione con i campioni.

Fanno da avversari, fanno aggiunte, correzioni, scrivono un metodo diverso se il metodo di soluzione sul quaderno differisce dal metodo sulla lavagna.

Chiedere agli studenti e all'insegnante le spiegazioni necessarie.

Trovare modi per verificare i risultati ottenuti.

Partecipare alla valutazione della qualità dei compiti svolti nel consiglio.

4. Aggiornamento delle conoscenze e delle competenze di base degli studenti

1. Lavoro orale

Insegnante:

Rispondere alle domande:

1. Cosa significa fattorizzare un polinomio?
2. Quanti metodi di decomposizione conosci?
3. Quali sono i loro nomi?
4. Qual è il più comune?

2. I polinomi sono scritti alla lavagna:

1.14x3 – 14x5

2. 16x 2 – (2 + x) 2

3. 9 – x 2 – 2хy – y 2

4.x3 - 3x – 2

Insegnante invita gli studenti a fattorizzare i polinomi n. 1-3:

• Opzione I – applicando un fattore comune;
• Opzione II – utilizzo di formule di moltiplicazione abbreviate;
• Opzione III - secondo il metodo di raggruppamento.

Ad uno studente viene chiesto di fattorizzare il polinomio n. 4 (un compito individuale di maggiore difficoltà, il compito viene completato nel formato A 4). Quindi sulla lavagna viene visualizzata una soluzione di esempio per i compiti n. 1-3 (eseguita dall'insegnante), una soluzione di esempio per il compito n. 4 (eseguita dallo studente).

3. Riscaldamento

L'insegnante dà istruzioni per fattorizzare e selezionare la lettera associata alla risposta corretta. Aggiungendo le lettere si ottiene il nome del più grande matematico del XVII secolo, che diede un enorme contributo allo sviluppo della teoria della risoluzione delle equazioni. (Cartesio)

5. Lezione di educazione fisica Le dichiarazioni vengono lette agli studenti. Se l'affermazione è vera, gli studenti dovrebbero alzare la mano e, se è falsa, sedersi ai loro banchi. (Appendice 2)

6. Istruzioni su come completare le attività del workshop.

SU lavagna interattiva o un poster separato con una tabella con le istruzioni.

Quando si fattorizza un polinomio, è necessario osservare il seguente ordine:

1. mettere tra parentesi il fattore comune (se presente);

2. applicare formule di moltiplicazione abbreviate (se possibile);

3. applicare il metodo del raggruppamento;

4. controlla il risultato ottenuto dalla moltiplicazione.

Insegnante:

Presenta le istruzioni agli studenti (si concentra sul passaggio 4).

Offre il completamento dei compiti del workshop in gruppi.

Distribuisce ai gruppi fogli di lavoro, fogli con carta carbone per la preparazione dei compiti sui quaderni e il loro successivo controllo.

Imposta il tempo per lavorare in gruppi e lavorare sui notebook.

Studenti:

Leggi le istruzioni.

Gli insegnanti ascoltano attentamente.

Seduti in gruppi (4-5 persone).

Prepararsi a svolgere un lavoro pratico.

7. Svolgere compiti in gruppi

Fogli di lavoro con compiti per gruppi. (Appendice 3)

Insegnante:

Gestisce lavoro indipendente in gruppi.

Valuta la capacità degli studenti di lavorare in modo indipendente, la capacità di lavorare in gruppo e la qualità della progettazione del foglio di lavoro.

Studenti:

Completa le attività sui fogli di carta carbone inclusi nella cartella di lavoro.

Discutere i modi per prendere decisioni razionali.

Preparare un foglio di lavoro dal gruppo.

Preparati a difendere il lavoro completato.

8. Controllare e discutere il completamento dell'attività

Risposte sulla lavagna interattiva.

Insegnante:

Raccoglie copie delle decisioni.

Gestisce la reportistica degli studenti sui fogli di lavoro.

Offre un'autovalutazione del tuo lavoro, confrontando le risposte di quaderni, fogli di lavoro ed esempi alla lavagna.

Mi ricorda i criteri per l'assegnazione dei voti al lavoro e per la partecipazione alla sua realizzazione.

Fornisce chiarimenti sulle decisioni emergenti o sui problemi di autovalutazione.

Riassume i primi risultati del lavoro pratico e della riflessione.

Riassume (insieme agli studenti) la lezione.

Si dice che i risultati finali saranno riassunti dopo aver controllato le copie del lavoro completato dagli studenti.

Studenti:

Consegnare copie all'insegnante.

I fogli di lavoro sono allegati alla lavagna.

Relazione sull'ultimazione dei lavori.

Effettuare l'autoesame e l'autovalutazione della prestazione lavorativa.

9. Impostazione dei compiti

I compiti sono scritti alla lavagna: n. 1016 (a, b); 1017 (c,d); N. 1021 (g,d,f)*

Insegnante:

Si offre di annotare la parte obbligatoria del compito per casa.

Fornisce un commento sulla sua implementazione.

Invita gli studenti più preparati a scrivere il n. 1021 (g, e, f)*.

Ti dice di prepararti per la prossima lezione di ripasso