Un poliedro inscritto in una sfera. Matematica. L'intero corso è ripetibile. Lezione aperta sulla geometria

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autonomo comunale Istituto d'Istruzione media scuola comprensiva № 45 Kit di strumenti per studenti dell'11a elementare Compilato da un'insegnante di matematica della più alta categoria, Elena Vyacheslavovna Gavinskaya. Kaliningrad 2016-2017 anno accademico

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Poliedri inscritti in una sfera. L'argomento è simile a quello del corso di planimetria, dove si diceva che i cerchi possono essere descritti attorno a triangoli e n-angoli regolari. L'analogo di un cerchio nello spazio è una sfera e un poligono è un poliedro. In questo caso, l'analogo del triangolo è un prisma triangolare e l'analogo dei poligoni regolari sono i poliedri regolari. Definizione. Un poliedro si dice inscritto in una sfera se tutti i suoi vertici appartengono a questa sfera. Si dice che la sfera stessa sia circoscritta al poliedro.

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“Una sfera può essere descritta attorno a un prisma diritto se e solo se attorno alla base di questo prisma si può descrivere un cerchio.” Dimostrazione: Se una sfera è circoscritta attorno a un prisma rettilineo, allora tutti i vertici della base del prisma appartengono alla sfera e, quindi, al cerchio, che è la linea di intersezione della sfera con il piano della base. Viceversa, sia descritta una circonferenza con centro nel punto O1 e raggio r vicino alla base di un prisma rettilineo. Quindi, attorno alla seconda base del prisma, si può descrivere un cerchio con il centro nel punto O2 e lo stesso raggio. Sia O1O2=d, O – la metà di O1O2. Allora la sfera di centro O e raggio R= sarà la sfera circoscritta desiderata. Teorema 1.

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"Una sfera può essere descritta attorno a qualsiasi piramide triangolare, e solo una." Prova. Passiamo ad una dimostrazione simile a quella del corso di planimetria. Innanzitutto dobbiamo trovare il luogo dei punti equidistanti dai due vertici del triangolo. Ad esempio, A e B. Tale posizione geometrica è la bisettrice perpendicolare tracciata sul segmento AB. Troviamo poi il luogo dei punti equidistanti da A e C. Questa è la bisettrice perpendicolare al segmento AC. Il punto di intersezione di queste perpendicolari bisettoriali sarà il centro desiderato O del cerchio circoscritto al triangolo ABC. Teorema 2.

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Consideriamo ora la situazione spaziale e realizziamo costruzioni simili. Sia data una piramide triangolare DABC, e i punti A, B e C definiscano il piano α. Il luogo geometrico dei punti equidistanti dai punti A, B e C è una retta a, perpendicolare al piano α e passante per il centro O1 della circonferenza circoscritta al triangolo ABC. Il luogo geometrico dei punti equidistanti dai punti A e D è il piano β, perpendicolare al segmento AD e passante per il suo vertice - punto E. Il piano β e la retta a si intersecano nel punto O, che sarà il centro desiderato del sfera circoscritta alla piramide triangolare DABC. Infatti, in virtù della costruzione, il punto O è equidistante da tutti i vertici della piramide DABC. Inoltre, tale punto sarà unico, poiché la retta e il piano che si intersecano hanno un unico punto in comune.

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La palla descritta piramide regolare. La palla può essere descritta attorno a qualsiasi piramide regolare. Il centro della palla giace su una retta passante per l'altezza della piramide e coincide con il centro di un cerchio circoscritto ad un triangolo isoscele, il cui lato è lo spigolo laterale della piramide, e l'altezza è l'altezza di la piramide. Il raggio della palla è uguale al raggio di questo cerchio. Il raggio della pallina R, l'altezza della piramide H e il raggio del cerchio r descritto vicino alla base della piramide sono legati dalla relazione: R2=(H-R)2+r2 Questa relazione è valida anche nel caso in cui H< R.

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Il problema riguarda una palla circoscritta ad una piramide regolare. “Una sfera con centro nel punto O e raggio 9√3 m è descritta vicino alla piramide regolare PABC. La retta PO, contenente l'altezza della piramide, interseca la base della piramide nel punto H in modo che PH:OH = 2:1. Trova il volume della piramide se ciascuno dei suoi bordi laterali forma un angolo di 45 gradi con il piano della base.

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Dato: PABC – piramide regolare; la palla (O;R=9√3 m) è descritta vicino alla piramide; RO∩(ABC)=N; PH:OH=2:1; ∟RAN=∟ RVN=∟ RSN=45o. Trova: Vpir. Soluzione: Poiché RN:OH=2:1 (per condizione), allora RN:OR=2:3 RN:9√3 =2:3 RN=6√3 (m) 2. RN _ (ABC) (come altezza della piramide) => => RN _ AN (per definizione) => RAS - rettangolare. 3. PRESSO RAS:

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4. Poiché per condizione RABC è una piramide regolare e PH è la sua altezza, allora per definizione ABC è corretto; H è il centro di un cerchio circoscritto ad ABC, che significa 5. Risposta: 486 m3.

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Una sfera circoscritta attorno ad un prisma. Una sfera può essere descritta attorno ad un prisma se è diritta e le sue basi sono poligoni inscritti in una circonferenza. Il centro della palla si trova nel punto medio dell'altezza del prisma che collega i centri dei cerchi descritti attorno alle basi del prisma. Il raggio della sfera R, l'altezza del prisma H e il raggio del cerchio r descritto attorno alla base del prisma sono legati dalla relazione:

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Il problema riguarda una sfera circoscritta attorno ad un prisma. “Un prisma regolare ABCDA1B1C1D1 di altezza 6 cm è inscritto in una sfera (quindi; R = 5 cm). Trova l'area della sezione trasversale del prisma su un piano parallelo ai piani della base e passante per il punto O - il centro della palla."

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Dato: ABCDA1B1C1D1 – prisma regolare; attorno ad un prisma è descritta una palla (O;R=5 cm); l'altezza del prisma h è 6 cm; α║(ABC); O con α. Trova: Ssec α, Soluzione: Poiché, per condizione, il prisma è inscritto in una palla, allora (r è il raggio del cerchio circoscritto attorno alla base del prisma) Ma per condizione, è dato un prisma regolare, il che significa

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a) (АВВ1) ║(СС1D1) (per la proprietà del prisma rettilineo) α ∩ (АВВ1)=КМ α ∩ (СС1D1)=РН => KM ║ HP (per la proprietà dei piani paralleli) Ho (BCC1) ║ (ADD1) (per la proprietà del prisma retto) => KM=NR (per la proprietà dei piani paralleli). Ciò significa che KMNR è un parallelogramma (per attributo) => MN=KR e MN ║ KR b) α ║ (ABC) (per costruzione) α ∩ (ABB1)=KM (ABC) ∩ (ABB1)=AB => KM ║ AB (secondo la proprietà dei piani paralleli) 2. 3. Poiché secondo la condizione ABCDA1B1C1D1 è un prisma regolare, e la sezione del piano α è parallela alle basi, allora la figura formata dalla sezione è un quadrato. Dimostriamolo: => => =>

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KMH= ABC=90o (come angoli con i lati corrispondentemente allineati) Ciò significa che il rombo KMNR è un quadrato (per definizione), che è ciò che doveva essere dimostrato. Inoltre i quadrati KMNR e ABCD sono uguali. Pertanto per proprietà le loro aree sono uguali e, quindi, Ssezione α.=SABCD=32 (cm2) Risposta: 32 cm2. c) KM ║ AB (dimostrato) (BCC1) ║(ADD1) (per la proprietà del prisma retto) => KM=AB=4√2 cm (per la proprietà dei piani paralleli). d) Analogamente è dimostrato che MN ║ BC e MN = BC = 4√2 cm, ciò significa che MN = KM => il parallelogramma MNRK è un rombo (per definizione). e) MN ║ BC (provato) KM ║ AB (provato) => =>

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Un cilindro circoscritto attorno ad un prisma. Un cilindro può essere descritto attorno ad un prisma rettilineo se la sua base è un poligono inscritto in una circonferenza. Il raggio del cilindro R è uguale al raggio di questo cerchio. L'asse del cilindro giace sulla stessa retta con l'altezza H del prisma, che collega i centri dei cerchi descritti vicino alle basi del prisma. Nel caso di un prisma quadrangolare (se la base è un rettangolo), l'asse del cilindro passa per il punto di intersezione delle diagonali delle basi del prisma.

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Il problema riguarda un cilindro circoscritto attorno ad un prisma. Il prisma rettilineo ABCDA1B1C1D1, la cui base è un rettangolo, è inscritto in un cilindro, la cui generatrice è di 7 cm e il raggio è di 3 cm Trova l'area della superficie laterale del prisma se l'angolo tra le diagonali ABCD è 60 gradi. ОО1 – asse del cilindro.

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Dato: ABCDA1B1C1D1 – prisma diritto; il cilindro è descritto vicino al prisma; generatrice del cilindro AA1=7 cm; il raggio della base del cilindro è 3 cm; l'angolo formato dalle diagonali ABCD è 60°; ОО1 – asse del cilindro. Trova: prisma Sside. Soluzione: Poiché, secondo la condizione, un prisma quadrangolare, alla base del quale è un rettangolo, è inscritto in una palla, allora secondo la proprietà AC∩ВD=O. Ciò significa AOB=60° e AO=OB=3 cm. 2. In AOB utilizzando il teorema del coseno.

Poliedri inscritti in una sfera Un poliedro convesso si dice inscritto se tutti i suoi vertici giacciono su una sfera. Questa sfera si dice descritta per un dato poliedro. Il centro di questa sfera è un punto equidistante dai vertici del poliedro. È il punto di intersezione dei piani, ciascuno dei quali passa per il centro del bordo del poliedro perpendicolare ad esso.

Formula per trovare il raggio di una sfera circoscritta Sia SABC una piramide con spigoli laterali uguali, h è la sua altezza, R è il raggio del cerchio circoscritto alla base. Troviamo il raggio della sfera circoscritta. Nota la somiglianza dei triangoli rettangoli SKO1 e SAO. Allora SO 1 /SA = KS/SO; R 1 = KS · SA/SO Ma KS = SA/2. Allora R1 = SA2/(2SO); R1 = (h2 + R2)/(2h); R 1 = b 2 /(2h), dove b è un bordo laterale.

Un parallelepipedo inscritto in una sfera Teorema: Una sfera può essere descritta attorno a un parallelepipedo se e solo se il parallelepipedo è rettangolare, poiché in in questo casoè dritto e attorno alla sua base - un parallelogramma - si può descrivere un cerchio (poiché la base è un rettangolo).

Problema 1 Trova il raggio di una sfera circoscritta a un tetraedro regolare con bordo a. Soluzione: SO 1 = SA 2 /(2SO); SO = = = a SO 1 = a 2 /(2 a) = a /4. Risposta: SO 1 = a /4. Costruiamo prima un'immagine del centro di una palla circoscritta utilizzando l'immagine di un tetraedro regolare SABC. Disegniamo gli apotemi SD e AD (SD = AD). Nel triangolo isoscele ASD ogni punto della mediana DN è equidistante dagli estremi del segmento AS. Pertanto, il punto O 1 è l'intersezione dell'altezza SO e del segmento DN. Usando la formula da R 1 = b 2 /(2h), otteniamo:

Problema 2 Soluzione: Usando la formula R 1 =b 2 /(2h) per trovare il raggio della palla circoscritta, troviamo SC e SO. SC = a/(2sen(α /2)); SO 2 = (a/(2sin(α /2)) 2 – (a /2)2 = = a 2 /(4sin 2 (α /2)) – 2a 2 /4 = = a 2 /(4sin 2 ( α /2)) · (1 – 2sin 2 (α /2)) = = a 2 /(4sin 2 (α /2)) · cos α In una piramide regolare quadrangolare il lato della base è uguale ad a, e l'angolo piano al vertice è uguale a α . Trova il raggio della palla circoscritta. R 1 = a 2 /(4sin 2 (α /2)) · 1/(2a/(2sin(α /2))) =a/(4sin(α /2) ·). Risposta: R 1 = a/(4sin(α /2) ·).

Poliedri circoscritti ad una sfera Un poliedro convesso si dice circoscritto se tutte le sue facce toccano una sfera. Questa sfera si dice inscritta per un dato poliedro. Il centro di una sfera inscritta è un punto equidistante da tutte le facce del poliedro.

Posizione del centro di una sfera inscritta Concetto di piano bisettore di un angolo diedro. Un piano bisettore è un piano che divide un angolo diedro in due angoli diedro uguali. Ciascun punto di questo piano è equidistante dalle facce dell'angolo diedro. Nel caso generale, il centro di una sfera inscritta in un poliedro è il punto di intersezione dei piani bisettori di tutti gli angoli diedri del poliedro. Si trova sempre all'interno del poliedro.

Una piramide circoscritta attorno ad una palla Una palla si dice inscritta in una piramide (arbitraria) se tocca tutte le facce della piramide (sia laterali che base). Teorema: se le facce laterali hanno la stessa inclinazione rispetto alla base, allora una palla può essere inscritta in una tale piramide. Poiché gli angoli diedri alla base sono uguali, anche le loro metà sono uguali e le bisettrici si intersecano in un punto all'altezza della piramide. Questo punto appartiene a tutti i piani bisettori alla base della piramide ed è equidistante da tutte le facce della piramide: il centro della palla inscritta.

Formula per trovare il raggio di una sfera inscritta Sia SABC una piramide con bordi laterali uguali, h è la sua altezza, r è il raggio del cerchio inscritto. Troviamo il raggio della sfera circoscritta. Sia SO = h, OH = r, O 1 O = r 1. Allora, per la proprietà della bisettrice dell'angolo interno di un triangolo, O 1 O/OH = O 1 S/SH; r 1 /r = (h – r 1)/ ; r 1 · = dx – rr 1 ; r 1 · (+ r) = dx; r 1 = dx/(+ r). Risposta: r 1 = rh/(+ r).

Un parallelepipedo e un cubo descritti attorno ad una sfera Teorema: Una sfera può essere inscritta in un parallelepipedo se e solo se il parallelepipedo è diritto e la sua base è un rombo, e l'altezza di questo rombo è il diametro della sfera inscritta, che, a sua volta è pari all'altezza del parallelepipedo. (Di tutti i parallelogrammi, solo un cerchio può essere inscritto in un rombo) Teorema: Una sfera può sempre essere inscritta in un cubo. Il centro di questa sfera è il punto di intersezione delle diagonali del cubo e il raggio è pari alla metà della lunghezza dello spigolo del cubo.

Combinazioni di figure Prismi inscritti e circoscritti Un prisma circoscritto ad un cilindro è un prisma i cui piani di base sono i piani delle basi del cilindro, e le facce laterali toccano il cilindro. Un prisma inscritto in un cilindro è un prisma i cui piani di base sono i piani delle basi del cilindro, e i bordi laterali sono i generatori del cilindro. Un piano tangente ad un cilindro è un piano passante per la generatrice del cilindro e perpendicolare al piano della sezione assiale contenente tale generatrice.

Piramidi inscritte e circoscritte Una piramide inscritta in un cono è una piramide la cui base è un poligono inscritto nel cerchio della base del cono, e l'apice è il vertice del cono. Gli spigoli laterali di una piramide inscritta in un cono formano il cono. Una piramide circoscritta ad un cono è una piramide la cui base è un poligono circoscritto alla base del cono, e l'apice coincide con l'apice del cono. I piani delle facce laterali della piramide descritta sono tangenti al piano del cono. Un piano tangente ad un cono è un piano passante per la generatrice e perpendicolare al piano della sezione assiale contenente tale generatrice.

Altri tipi di configurazioni Un cilindro è inscritto in una piramide se il cerchio di una delle sue basi tocca tutte le facce laterali della piramide, e l'altra sua base giace sulla base della piramide. Un cono è inscritto in un prisma se il suo vertice si trova sulla base superiore del prisma e la sua base è un cerchio inscritto in un poligono, la base inferiore del prisma. Un prisma è inscritto in un cono se tutti i vertici della base superiore del prisma giacciono sulla superficie laterale del cono, e la base inferiore del prisma giace sulla base del cono.

Problema 1 In una piramide quadrangolare regolare, il lato della base è uguale ad a, e l'angolo piano al vertice è uguale ad α. Trova il raggio della palla inscritta nella piramide. Soluzione: Esprimiamo i lati di SOK in termini di a e α. OK = a/2. SK = lettino KC(α /2); SK = (a · ctg(α /2))/2. SO = = (a/2) Utilizzando la formula r 1 = rh/(+ r), troviamo il raggio della pallina inscritta: r 1 = OK · SO/(SK + OK); r 1 = (a/2) · (a/2) /((a/2) · ctg(α /2) + (a/2)) = = (a/2) /(ctg(α /2) + 1) = (a/2)= = (a/2) Risposta: r 1 = (a/2)

Conclusione L'argomento "Poliedri" è studiato dagli studenti delle classi 10 e 11, ma in curriculum c'è pochissimo materiale sull'argomento “Poliedri inscritti e circoscritti”, sebbene sia molto grande interesse studenti, poiché lo studio delle proprietà dei poliedri contribuisce allo sviluppo di concetti astratti e pensiero logico, che poi ci sarà utile nello studio, nel lavoro, nella vita. Mentre lavoravamo a questo saggio, abbiamo studiato tutto il materiale teorico sull'argomento "Poliedri inscritti e circoscritti", abbiamo esaminato le possibili combinazioni di figure e abbiamo imparato ad applicare nella pratica tutto il materiale studiato. I problemi che coinvolgono la combinazione dei corpi sono la domanda più difficile nel corso di stereometria dell'11° grado. Ma ora possiamo dire con sicurezza che non avremo problemi a risolvere tali problemi, poiché durante il ns lavoro di ricerca abbiamo stabilito e dimostrato le proprietà dei poliedri inscritti e circoscritti. Molto spesso gli studenti hanno difficoltà nel costruire un disegno per un problema questo argomento. Ma, avendo imparato che per risolvere i problemi che coinvolgono la combinazione di una palla e un poliedro, l'immagine della palla a volte non è necessaria ed è sufficiente indicarne il centro e il raggio, possiamo essere certi che non incontreremo queste difficoltà. Grazie a questo saggio siamo riusciti a comprendere questo argomento difficile ma molto affascinante. Speriamo che ora non avremo alcuna difficoltà nell'applicare il materiale studiato nella pratica.

Poliedri inscritti in una sfera Un poliedro si dice inscritto in una sfera se tutti i suoi vertici appartengono a questa sfera. Si dice che la sfera stessa sia circoscritta al poliedro. Teorema. Una sfera può essere descritta attorno a una piramide se e solo se è possibile descrivere un cerchio attorno alla base di questa piramide.

Poliedri inscritti in una sfera Teorema. Una sfera può essere descritta vicino a un prisma rettilineo se e solo se un cerchio può essere descritto vicino alla base di questo prisma. Il suo centro sarà il punto O, che è il punto medio del segmento che collega i centri dei cerchi descritti vicino alle basi del prisma. Il raggio della sfera R si calcola con la formula dove h è l'altezza del prisma, r è il raggio del cerchio circoscritto alla base del prisma.

Esercizio 3 La base della piramide è un triangolo regolare, il cui lato è uguale a 3. Uno degli spigoli laterali è uguale a 2 ed è perpendicolare al piano della base. Trova il raggio della sfera circoscritta. Soluzione. Sia O il centro della sfera circoscritta, Q il centro del cerchio circoscritto alla base, E il punto medio di SC. Il quadrilatero CEOQ è un rettangolo in cui CE = 1, CQ = quindi R=OC=2. Risposta: R = 2.

Esercizio 4 La figura mostra la piramide SABC, per la quale lo spigolo SC è uguale a 2 ed è perpendicolare al piano della base ABC, l'angolo ACB è uguale a 90 o, AC = BC = 1. Costruisci il centro della sfera circoscritto a questa piramide e trova il suo raggio. Soluzione. Attraverso il centro D del bordo AB tracciamo una linea parallela a SC. Attraverso il centro E del bordo SC tracciamo una linea retta parallela a CD. Il loro punto di intersezione O sarà il centro desiderato della sfera circoscritta. Nel triangolo rettangolo OCD abbiamo: OD = CD = Per il teorema di Pitagora troviamo

Esercizio 5 Trova il raggio di una sfera circoscritta ad una piramide triangolare regolare, i cui bordi laterali sono uguali a 1 e gli angoli piani al vertice sono uguali a 90 gradi. Soluzione. Nel tetraedro SABC abbiamo: AB = AE = SE = Nel triangolo rettangolo OAE abbiamo: Risolvendo questa equazione per R, troviamo

Esercizio 4 Trova il raggio di una sfera circoscritta ad un prisma triangolare retto, alla base del quale triangolo rettangolo con cateti pari a 1 e altezza del prisma pari a 2. Risposta: Soluzione. Il raggio della sfera è pari alla metà della diagonale A 1 C del rettangolo ACC 1 A 1. Abbiamo: AA 1 = 2, AC = Pertanto, R =

Esercizio Trova il raggio di una sfera circoscritta ad una piramide regolare a 6 angoli, i cui spigoli sono uguali a 1 e gli spigoli laterali sono uguali a 2. Soluzione. Il triangolo SAD è equilatero con il lato 2. Il raggio R della sfera circoscritta è uguale al raggio del cerchio circoscritto al triangolo SAD. Quindi,

Esercizio Trovare il raggio della sfera circoscritta all'icosaedro unitario. Soluzione. Nel rettangolo ABCD, AB = CD = 1, BC e AD sono le diagonali dei pentagoni regolari di lato 1. Pertanto, BC = AD = Per il teorema di Pitagora, AC = Il raggio richiesto è uguale alla metà di questa diagonale, cioè

Esercizio Trovare il raggio di una sfera circoscritta ad un dodecaedro unitario. Soluzione. ABCDE è un pentagono regolare con lato Nel rettangolo ACGF AF = CG = 1, AC e FG sono le diagonali del pentagono ABCDE e, quindi, AC = FG = Per il teorema di Pitagora FC = Il raggio richiesto è pari alla metà di questo diagonale, cioè

Esercizio La figura mostra un tetraedro troncato ottenuto tagliando gli angoli di un tetraedro regolare di piramidi triangolari, le cui facce sono esagoni regolari e triangoli. Trova il raggio di una sfera circoscritta a un tetraedro troncato i cui bordi sono uguali a 1.

Esercizio La figura mostra un ottaedro troncato ottenuto tagliando dagli angoli dell'ottaedro piramidi triangolari, le cui facce sono esagoni e triangoli regolari. Trova il raggio della sfera circoscritta a un ottaedro troncato i cui spigoli sono uguali a 1. Esercizio La figura mostra un icosaedro troncato ottenuto tagliando gli angoli dell'icosaedro di piramidi pentagonali, le cui facce sono esagoni e pentagoni regolari. Trova il raggio di una sfera circoscritta a un icosaedro troncato i cui bordi sono uguali a 1.
Esercizio La figura mostra un dodecaedro troncato ottenuto tagliando dagli angoli del dodecaedro piramidi triangolari, le cui facce sono decagoni e triangoli regolari. Trova il raggio di una sfera circoscritta a un dodecaedro troncato i cui bordi sono uguali a 1.
Esercizio Trovare il raggio di una sfera circoscritta ad un cubottaedro unitario. Soluzione. Ricordiamo che un cubottaedro si ottiene da un cubo tagliando piramidi triangolari regolari con vertici ai vertici del cubo e spigoli laterali pari alla metà dello spigolo del cubo. Se lo spigolo dell'ottaedro è uguale a 1, allora lo spigolo del cubo corrispondente è uguale a Il raggio della sfera circoscritta è uguale alla distanza dal centro del cubo al centro del suo spigolo, cioè è uguale a 1. Risposta: R = 1.

Insegnante di matematica Scuola superiore №2,

città di Taldykorgan N.Yu.Lozovich

Lezione pubblica nella geometria

Argomento della lezione: “Palla. IscrittoEpoliedri descritti"

Obiettivi della lezione:

- educativo - garantire durante la lezione la ripetizione, il consolidamento e la verifica della padronanza delle definizioni da parte degli studenti palla E sfere, e concetti correlati ( centro, raggi, diametri,punti diametralmente opposti, piani tangenti E Dritto); concetti di poliedri inscritti e circoscritti, conoscenza dei teoremi sulla sezione di una palla mediante un piano (20.3), sulla simmetria di una palla (20.4), sul piano tangente ad una palla (20.5), sull'intersezione di due sfere (20.6), sulla costruzione del centro di una sfera circoscritta (inscritta) una piramide e la costruzione del centro di una sfera descritta attorno a un prisma regolare;

continuare a sviluppare le capacità per applicare in modo indipendente l'intero corpo di queste conoscenze in situazioni variabili basate sul modello e non standard, che richiedono attività creativa;

educativo - instillare negli studenti la responsabilità dei risultati dei loro studi, la perseveranza nel raggiungimento degli obiettivi, la fiducia in se stessi, il desiderio di ottenere grandi risultati, il senso della bellezza (la bellezza delle forme geometriche, una soluzione elegante e bella a un problema).

sviluppando - sviluppare negli studenti: la capacità di pensiero specifico e generalizzato, immaginazione creativa e spaziale; associatività (la capacità di fare affidamento su diverse connessioni: per somiglianza, analogia, contrasto, causa-effetto), la capacità di esprimere i propri pensieri in modo logico e coerente, la necessità di apprendimento e sviluppo, di creare condizioni nella lezione per la manifestazione dell’attività cognitiva degli studenti.

Tipo di lezione

lezione di verifica e correzione di conoscenze e abilità.

Metodi di insegnamento

Conversazione introduttiva (stabilire lo scopo della lezione, motivare le attività di apprendimento degli studenti, creare l'atmosfera emotiva e morale necessaria, istruire gli studenti sull'organizzazione del lavoro durante la lezione).

Indagine frontale (verifica orale della conoscenza da parte degli studenti di concetti di base, teoremi, capacità di spiegarne l'essenza e di giustificare il proprio ragionamento).

Lavoro indipendente livellato, basato sul principio di un graduale aumento del livello di conoscenze e competenze, ad es. dal livello riproduttivo al livello produttivo e creativo. L'essenza del metodo è il lavoro individuale e indipendente degli studenti, costantemente controllato e incoraggiato dall'insegnante.

Ausili visivi didattici

Modelli stereometrici corpi geometrici, poster, disegni, flashcard individuali lavoro indipendente.

Aggiornamento

a) Conoscenze di base.

È necessario attivare i concetti: tangente ad una circonferenza, poligoni convessi inscritti in una circonferenza e circoscritti ad una circonferenza, calcolo dei raggi dei cerchi inscritti e circoscritti per poligoni regolari da planimetria; dal corso di 10° elementare, la definizione di simmetria rispetto a un piano, il concetto di figure simmetriche rispetto a un punto, a un asse (retta) e a un piano.

b) Modi per motivare e suscitare interesse.

In conversazione introduttiva assicurarsi che gli studenti comprendano l'obiettivo, riconoscere il loro interesse personale nel raggiungerlo, rivelare il significato dell'obiettivo agli studenti stessi, sottolineare il significato di questo argomento non solo in sé, ma anche la sua natura propedeutica per lo studio dell'argomento successivo, saturare l'argomento lezione con materiale di carattere emozionale (la bellezza delle forme geometriche, delle bolle di sapone, della Terra e della Luna); sottolineare il carattere di livello del lavoro indipendente: da un lato ciò garantirà un elevato livello scientifico del materiale studiato e, dall'altro, l'accessibilità, il punto degli studenti è che ognuno di loro ha diritto al supporto pedagogico ( “assicurazione”) per identificare, analizzare i problemi reali o potenziali del bambino, progettare congiuntamente una possibile via d'uscita da essi; sistema di valutazione la valutazione delle conoscenze costituisce un ulteriore incentivo per i bambini.

c) Forme di monitoraggio dello stato di avanzamento dei lavori, controllo reciproco. Il controllo reciproco (scambio di quaderni) viene effettuato dopo che gli studenti hanno completato la prima parte del 1° livello (studente) di lavoro indipendente - risposte scritte degli studenti alle domande orali dell'insegnante (dettato matematico).

Dopo lo scambio dei quaderni, tutte le risposte corrette vengono pronunciate ad alta voce (se possibile vengono utilizzati ausili visivi: modelli di corpi stereometrici, disegni, poster). Quindi i ragazzi procedono alla valutazione della prima parte del lavoro indipendente: alla risposta completa corretta viene assegnato 1 punto, se ci sono commenti minori, quindi - 0,5 punti, altrimenti - 0 punti. Il numero di punti ottenuti da ogni studente viene registrato sulla lavagna dal docente. Dopodiché i ragazzi iniziano a lavorare sulle singole carte. Coloro che hanno completato i compiti del 1° livello e ricevuto il via libera dal docente passano al completamento del compito del livello successivo. Il successo nella risoluzione del problema non dovrebbe essere lasciato senza attenzione, incoraggiamento e lode. Allo stesso tempo, l'insegnante svolge un lavoro correzionale: comprendendo i punti di forza e di debolezza dello studente, lo aiuta a fare affidamento sui propri punti di forza e lo completa laddove lo studente, non importa quanto ci provi, non è ancora oggettivamente in grado di far fronte a qualcosa.

Quando si controlla il funzionamento, viene utilizzato il seguente sistema di notazione:

Il problema non è risolto;

Il problema non è risolto, ma nel lavoro ci sono alcune considerazioni ragionevoli;

Viene data solo la risposta a un problema per il quale una risposta chiaramente non è sufficiente;

± - il problema è risolto, ma la soluzione contiene piccole omissioni e imprecisioni;

Il problema è completamente risolto;

+! – la soluzione al problema contiene idee brillanti e inaspettate.

Grande importanza allegato ad un foglio di contabilità aperta delle attività dei bambini, che viene compilato man mano che viene completato il lavoro autonomo.

Ciò garantisce le condizioni indispensabili per valutare le conoscenze degli studenti in classe: obiettività, efficienza, buona volontà e trasparenza.

Livello

Dettatura matematica.

1)I opzione. Che proprietà hanno tutti i vertici di un poliedro inscritto in una sfera?

II opzione. Che proprietà ha ciascuna faccia di un poliedro inscritto in una sfera?

2) Io opzione. Se una sfera può essere descritta attorno a un poliedro, come si può costruire il suo centro?

II opzione. DI Quanti parallelepipedi possono essere usati per descrivere una sfera? Spiega la tua risposta.

3) Io opzione. Dove si trova il centro della sfera descritta sul corretto P- prisma di carbonio?

II opzione. Dov'è il centro della sfera descritta attorno ad una piramide regolare?

4) Io opzione. Come costruire il centro di una sfera inscritta in una piramide regolare n-gonale?

// opzione.È possibile inserire una sfera in un prisma regolare?

Opzione I

Livello

Il raggio della palla è 6 cm; attraverso l'estremità del raggio passa un piano che forma un angolo di 60° rispetto ad esso. Trova l'area della sezione trasversale.

Livello II

Un prisma regolare quadrangolare è inscritto in una sfera di raggio 5 cm. Lo spigolo della base del prisma misura 4 cm. Trova l'altezza del prisma.

Livello III

Calcola il raggio di una sfera inscritta in un tetraedro regolare con lo spigolo di 4 cm.

IV livello

Una palla di raggio R è inscritta in un tronco di cono. L'angolo di inclinazione della generatrice rispetto al piano della base inferiore del cono è uguale a UN. Trova i raggi delle basi e la generatrice del tronco di cono.

Opzione II

Livello

Una sfera il cui raggio è 10 cm è intersecata da un piano distante 6 cm dal centro. Trova l'area della sezione trasversale.

Livello II

Trovare il raggio di una sfera circoscritta ad un cubo con il lato di 4 cm.

Livello III.

UN. Trova il raggio della sfera circoscritta.

IV livello

Una palla di raggio R è inscritta in un tronco di cono. L'angolo di inclinazione della generatrice rispetto al piano della base inferiore del cono è pari ad a. Trova i raggi delle basi e la generatrice del tronco di cono.

Opzione Ø

Livello

Un piano ad esso perpendicolare passa attraverso il centro del raggio della palla. In che modo l'area del cerchio massimo si riferisce all'area della sezione trasversale risultante?

Livello II

Un prisma triangolare regolare è inscritto in una sfera di raggio 4 cm. Lo spigolo della base del prisma misura 3 cm. Trova l'altezza del prisma.

Livello III

In una piramide quadrangolare regolare il lato della base misura 4 cm e l'angolo piano al vertice è UN. Trova il raggio della sfera inscritta.

IV livello

Una piramide triangolare regolare con angoli piani è inscritta in una palla di raggio R UN al suo vertice. Trova l'altezza della piramide.

IV opzione

IO livello

Vengono assegnati tre punti sulla superficie della palla. Le distanze in linea retta tra loro sono 6 cm, 8 cm, 10 cm. Il raggio della palla è 11 cm. Trova la distanza dal centro della palla al piano che passa per questi punti.

II livello

Un prisma esagonale regolare è inscritto in una sfera di raggio 5 cm. Il bordo della base del prisma è di 3 cm. Trova l'altezza della tecnica.

Ø livello

Trovare il raggio di una sfera circoscritta ad una piramide regolare n-gonale se il lato della base è di 4 cm e lo spigolo laterale è inclinato rispetto al piano della base di un angolo UN.

IV livello

Una piramide triangolare regolare con gli angoli piatti a al vertice è inscritta in una palla di raggio R. Trova l'altezza della piramide.

Riepilogo della lezione

I risultati del lavoro indipendente vengono annunciati e analizzati. Studenti che hanno bisogno lavoro correzionale, sono invitati alle lezioni di correzione.

Impostato compiti a casa(con i dovuti commenti), composto da parti obbligatorie e parti variabili.

Parte obbligatoria: paragrafi 187 - 193 - ripetere; N. 44,45,39

Parte variabile N. 35