Molti numeri. Leggi delle azioni su vari numeri. L'insieme è chiuso sotto l'operazione Relazione tra i complementi di insiemi aperti e chiusi

Dimostriamo ora alcune proprietà speciali degli insiemi chiusi e aperti.

Teorema 1. La somma di un numero finito o numerabile di insiemi aperti è un insieme aperto. Il prodotto di un numero finito di insiemi aperti è un insieme aperto,

Considera la somma di un numero finito o numerabile di insiemi aperti:

Se , allora P appartiene ad almeno uno degli insiemi poiché è un insieme aperto, allora appartiene anche un -intorno di P. Lo stesso -intorno di P appartiene anche alla somma g, da cui segue che g è un insieme aperto. Consideriamo ora il prodotto finale

e sia P appartenere a g. Proviamo, come sopra, che qualche intorno di P appartiene anche a g. Poiché P appartiene a g, allora P appartiene a tutti. Poiché - sono insiemi aperti, allora per ogni esiste un -intorno del punto appartenente a . Se il numero è considerato uguale al più piccolo di cui il numero è finito, allora l'intorno del punto P apparterrà a tutti e, di conseguenza, a g. Si noti che non possiamo affermare che il prodotto di un numero numerabile di insiemi aperti sia un insieme aperto.

Teorema 2. L'insieme CF è aperto e l'insieme CO è chiuso.

Dimostriamo la prima affermazione. Sia P appartenere a CF. È necessario dimostrare che qualche intorno P appartiene a CF. Ciò deriva dal fatto che se ci fossero punti F in qualsiasi intorno di P, il punto P, che non appartiene per condizione, sarebbe un punto limite per F e, a causa della sua chiusura, dovrebbe appartenere, il che porta ad un contraddizione.

Teorema 3. Il prodotto di un numero finito o numerabile di insiemi chiusi è un insieme chiuso. La somma di un numero finito di insiemi chiusi è un insieme chiuso.

Proviamo, ad esempio, che l'insieme

Chiuso. Passando a set aggiuntivi, possiamo scrivere

Per il teorema gli insiemi sono aperti e, per il teorema 1, anche l'insieme è aperto, e quindi l'insieme aggiuntivo g è chiuso. Si noti che la somma di un numero numerabile di insiemi chiusi può anche risultare un insieme aperto.

Teorema 4. Un insieme è un insieme aperto e un insieme chiuso.

È facile verificare le seguenti uguaglianze:

Da questi, in virtù dei teoremi precedenti, segue il Teorema 4.

Diremo che un insieme g è coperto da un sistema M di certi insiemi se ogni punto g è compreso in almeno uno degli insiemi del sistema M.

Teorema 5 (Borel). Se un insieme chiuso limitato F è coperto da un sistema infinito a di insiemi aperti O, allora da questo sistema infinito è possibile estrarre un numero finito di insiemi aperti che ricoprono anche F.

Dimostriamo questo teorema facendo l'inverso. Supponiamo che non copra nessun numero finito di insiemi aperti del sistema a e portiamo questo ad una contraddizione. Poiché F è un insieme limitato, allora tutti i punti di F appartengono a un intervallo bidimensionale finito. Dividiamo questo intervallo chiuso in quattro parti uguali, dividendo gli intervalli a metà. Prenderemo ciascuno dei quattro intervalli risultanti come chiusi. Quei punti di F che cadono su uno di questi quattro intervalli chiusi rappresenteranno, in virtù del Teorema 2, un insieme chiuso, e almeno uno di questi insiemi chiusi non può essere coperto da un numero finito di insiemi aperti del sistema a. Prendiamo uno dei quattro intervalli chiusi sopra indicati dove si verifica questa circostanza. Dividiamo ancora questo intervallo in quattro parti uguali e ragioniamo allo stesso modo di sopra. Otteniamo così un sistema di intervalli annidati di cui ciascuno successivo rappresenta una quarta parte del precedente, e vale la seguente circostanza: l'insieme dei punti F appartenenti a qualsiasi k non può essere coperto da un numero finito di insiemi aperti del sistema UN. Aumentando all'infinito k gli intervalli si restringono all'infinito fino ad un certo punto P, che appartiene a tutti gli intervalli. Poiché per ogni k contengono un numero infinito di punti, il punto P è un punto limite e quindi appartiene a F, poiché F è un insieme chiuso. Quindi il punto P è coperto da un insieme aperto appartenente al sistema a. Qualche intorno del punto P apparterrà anche all'insieme aperto O. Per valori di k sufficientemente grandi, gli intervalli D ricadranno all'interno del suddetto intorno del punto P. Pertanto, questi saranno interamente coperti da un solo insieme aperto O del sistema a, e questo contraddice il fatto che i punti appartenenti a per ogni k non possono essere coperti da un numero finito di insiemi aperti appartenenti ad a. Così il teorema è dimostrato.

Teorema 6. Un insieme aperto può essere rappresentato come la somma di un numero numerabile di intervalli semiaperti in coppie senza punti comuni.

Ricordiamo che chiamiamo intervallo semiaperto in un piano un intervallo finito definito da disuguaglianze della forma .

Disegniamo sul piano una griglia di quadrati con i lati paralleli agli assi e con lunghezza del lato pari a uno. L'insieme di questi quadrati è un insieme numerabile. Da questi quadrati, scegliamo quelli i cui punti appartengono tutti a un dato insieme aperto O. Il numero di tali quadrati può essere finito o numerabile, o forse non ci saranno affatto tali quadrati. Dividiamo ciascuno dei restanti quadrati della griglia in quattro quadrati identici e dai quadrati appena ottenuti selezioniamo nuovamente quelli i cui punti appartengono tutti a O. Dividiamo nuovamente ciascuno dei restanti quadrati in quattro parti uguali e selezioniamo quei quadrati i cui tutti i punti appartengono a O, ecc. Mostriamo che ogni punto P dell'insieme O cadrà in uno dei quadrati selezionati, tutti i punti dei quali appartengono a O. Infatti, sia d la distanza positiva da P al confine di O. Quando raggiungiamo quadrati la cui diagonale è minore di , allora possiamo, ovviamente, affermare che il punto P è già caduto in un quadrato, i cui volumi appartengono tutti a O. Se i quadrati selezionati sono considerati semiaperti, allora non lo faranno hanno punti in comune a coppie e il teorema è dimostrato. Il numero dei quadrati selezionati sarà necessariamente numerabile, poiché la somma finita degli intervalli semiaperti non è ovviamente un insieme aperto. Denotando con DL quei quadrati semiaperti che abbiamo ottenuto come risultato della costruzione di cui sopra, possiamo scrivere

Un insieme numerabile è un insieme infinito i cui elementi possono essere numerati da numeri naturali, oppure è un insieme equivalente all'insieme dei numeri naturali.

A volte gli insiemi di cardinalità uguale a qualsiasi sottoinsieme dell'insieme dei numeri naturali sono chiamati numerabili, cioè anche tutti gli insiemi finiti sono considerati numerabili.

Un insieme numerabile è l'insieme infinito “più piccolo”, cioè in ogni insieme infinito esiste un sottoinsieme numerabile.

Proprietà:

1. Qualsiasi sottoinsieme di un insieme numerabile è al massimo numerabile.

2. L'unione di un numero finito o numerabile di insiemi numerabili è numerabile.

3. Il prodotto diretto di un numero finito di insiemi numerabili è numerabile.

4. L'insieme di tutti i sottoinsiemi finiti di un insieme numerabile è numerabile.

5. L'insieme di tutti i sottoinsiemi di un insieme numerabile è continuo e, in particolare, non è numerabile.

Esempi di insiemi numerabili:

Numeri primi Numeri naturali, Interi, Numeri razionali, Numeri algebrici, Anello dei periodi, Numeri calcolabili, Numeri aritmetici.

Teoria dei numeri reali.

(Vero = reale - promemoria per noi ragazzi.)

L'insieme R contiene numeri razionali e irrazionali.

I numeri reali che non sono razionali si chiamano numeri irrazionali

Teorema: Non esiste un numero razionale il cui quadrato sia uguale al numero 2

Numeri razionali: ½, 1/3, 0,5, 0,333.

Numeri irrazionali: radice di 2=1,4142356…, π=3,1415926…

L'insieme R dei numeri reali ha le seguenti proprietà:

1. È ordinato: per due numeri diversi qualsiasi aeb vale una delle due relazioni UN O a>b

2. L'insieme R è denso: compreso tra due numeri diversi aeb contiene un numero infinito di numeri reali X, cioè numeri che soddisfano la disuguaglianza a

C'è anche una terza proprietà, ma è enorme, mi spiace

Insiemi limitati. Proprietà dei confini superiori e inferiori.

Set limitato- un insieme che in un certo senso ha una dimensione finita.

delimitato sopra se esiste un numero tale che tutti gli elementi non superino:

L'insieme dei numeri reali viene chiamato delimitato inferiormente, se c'è un numero ,

tale che tutti gli elementi siano almeno:

Un insieme limitato superiormente e inferiormente si dice limitato.

Si dice un insieme non limitato illimitato. Come segue dalla definizione, un insieme è illimitato se e solo se esso non limitato dall'alto O non limitato di seguito.

Sequenza numerica. Limite di coerenza. Lemma su due poliziotti.

Sequenza numericaè una sequenza di elementi dello spazio dei numeri.

Sia l'insieme dei numeri reali o l'insieme dei numeri complessi. Quindi viene chiamata la sequenza degli elementi dell'insieme sequenza numerica.

Esempio.

Una funzione è una sequenza infinita di numeri razionali. Gli elementi di questa sequenza, a partire dal primo, hanno la forma .

Limite di sequenza- questo è un oggetto al quale i membri della sequenza si avvicinano man mano che il numero aumenta. In particolare, per le successioni numeriche, un limite è un numero in un qualsiasi intorno del quale giacciono tutti i termini della successione a partire da un certo punto.

Il teorema sui due poliziotti...

Se la funzione è tale che per tutti coloro che si trovano in un intorno del punto , e le funzioni e hanno lo stesso limite in , allora esiste un limite della funzione pari allo stesso valore, cioè

Siano dati due insiemi X e Y, coincidenti o no.
Definizione. Si chiama l'insieme delle coppie ordinate di elementi, dei quali il primo appartiene a X e il secondo a Y Prodotto cartesiano di insiemi ed è designato .
Esempio. Permettere
,
, Poi
.
Se
,
, Poi
.
Esempio. Permettere
, dove R è l'insieme di tutti i numeri reali. Poi
è l'insieme delle coordinate cartesiane dei punti del piano.
Esempio. Permettere
è una certa famiglia di insiemi, allora il prodotto cartesiano di questi insiemi è l’insieme di tutte le stringhe ordinate di lunghezza n:
Se poi. Elementi da
sono vettori riga di lunghezza n.
Strutture algebriche con una operazione binaria
1 Operazioni algebriche binarie
Permettere
– un insieme arbitrario finito o infinito.
Definizione. Binario algebrico operazione ( legge interna di composizione) SU
è una mappatura arbitraria ma fissa di un quadrato cartesiano
V
, cioè.
(1)
(2)
Pertanto, qualsiasi coppia ordinata

. Il fatto che
, è scritto simbolicamente nella forma
.
In genere, le operazioni binarie sono indicate dai simboli
eccetera. Come prima, l'operazione
significa “addizione” e l’operazione “” significa “moltiplicazione”. Differiscono nella forma della notazione e, possibilmente, negli assiomi, che risulteranno chiari dal contesto. Espressione
lo chiameremo un prodotto e
– la somma degli elementi E .
Definizione. Un mucchio di
si dice chiuso nell'operazione  if for any .
Esempio. Consideriamo l'insieme degli interi non negativi
. Come operazioni binarie su
considereremo le operazioni di addizione ordinarie
e moltiplicazione. Poi i set
,
sarà chiuso rispetto a queste operazioni.
Commento. Come segue dalla definizione, specificando un'operazione algebrica * su
, equivale alla chiusura dell'insieme
riguardo a questa operazione. Se risulta così tanto
non è chiuso rispetto ad una determinata operazione *, allora in questo caso si dice che l'operazione * non è algebrica. Ad esempio, l'operazione di sottrazione su un insieme di numeri naturali non è algebrica.
Permettere
E
due set.
Definizione. Per legge esterna composizioni su un set chiamata mappatura
, (3)
quelli. la legge secondo la quale qualsiasi elemento
e qualsiasi elemento
l'elemento è abbinato
. Il fatto che
, indicato dal simbolo
O
.
Esempio. Moltiplicazione di matrici
per numero
è una legge di composizione esterna sull'insieme
. Moltiplicare i numeri in
può essere considerata sia come una legge di composizione interna che come una legge esterna.
distributivo per quanto riguarda la legge interna di composizione * in
, Se
Si chiama la legge esterna della composizione distributivo relativo alla legge interna di composizione * in Y, se
Esempio. Moltiplicazione di matrici
per numero
distributivo sia rispetto alla somma di matrici che rispetto alla somma di numeri, perché,.
Proprietà delle operazioni binarie

Operazione algebrica binaria  su un insieme
chiamato:
Commento. Le proprietà di commutatività e associatività sono indipendenti.
Esempio. Consideriamo l'insieme dei numeri interi. Operazione attivata sarà determinato secondo la regola
. Scegliamo i numeri
ed eseguire l'operazione su questi numeri:
quelli. l'operazione  è commutativa, ma non associativa.
Esempio. Considera l'insieme
– matrici quadrate di dimensione
con coefficienti reali. Come operazione binaria * on
Considereremo le operazioni di moltiplicazione di matrici. Permettere
, Poi
, Tuttavia
, cioè. l'operazione di moltiplicazione su un insieme di matrici quadrate è associativa, ma non commutativa.
Definizione. Elemento
chiamato separare O neutro relativo all'operazione in questione  in poi
, Se
Lemma. Se – elemento unitario dell'insieme
, chiuso sotto l'operazione *, allora è unico.
Prova . Permettere – elemento unitario dell'insieme
, chiuso nell'ambito dell'operazione *. Supponiamo che dentro
c'è un altro elemento unitario
, Poi
, Perché è un singolo elemento e
, Perché – elemento singolo. Quindi,
– l'unico elemento unitario dell'insieme
.
Definizione. Elemento
chiamato inversione O simmetrico all'elemento
, Se
Esempio. Consideriamo l'insieme dei numeri interi con operazione di addizione
. Elemento
, quindi l'elemento simmetrico
ci sarà un elemento
. Veramente,.

L'insieme dei numeri naturali è costituito dai numeri 1, 2, 3, 4, ..., utilizzati per contare gli oggetti. L'insieme di tutti i numeri naturali è solitamente indicato con la lettera N :

N = {1, 2, 3, 4, ..., N, ...} .

Leggi di addizione dei numeri naturali

1. Per qualsiasi numero naturale UN E B l'uguaglianza è vera UN + B = B + UN . Questa proprietà è detta legge commutativa dell’addizione.

2. Per qualsiasi numero naturale UN, B, C l'uguaglianza è vera (UN + B) + C = UN + (B + C) . Questa proprietà è chiamata legge combinata (associativa) dell'addizione.

Leggi della moltiplicazione dei numeri naturali

3. Per qualsiasi numero naturale UN E B l'uguaglianza è vera ab = ba. Questa proprietà è chiamata legge commutativa della moltiplicazione.

4. Per qualsiasi numero naturale UN, B, C l'uguaglianza è vera (UNB)C = UN(BC) . Questa proprietà è chiamata legge combinata (associativa) della moltiplicazione.

5. Per qualsiasi valore UN, B, C l'uguaglianza è vera (UN + B)C = AC + avanti Cristo . Questa proprietà è chiamata legge distributiva della moltiplicazione (relativa all'addizione).

6. Per qualsiasi valore UN l'uguaglianza è vera UN*1 = UN. Questa proprietà è chiamata legge della moltiplicazione per uno.

Il risultato della somma o della moltiplicazione di due numeri naturali è sempre un numero naturale. Oppure, per dirla in altro modo, queste operazioni possono essere eseguite rimanendo nell'insieme dei numeri naturali. Ciò non si può dire per quanto riguarda la sottrazione e la divisione: ad esempio, dal numero 3 è impossibile, rimanendo nell'insieme dei numeri naturali, sottrarre il numero 7; Il numero 15 non può essere diviso completamente per 4.

Cenni di divisibilità dei numeri naturali

Divisibilità di una somma. Se ogni termine è divisibile per un numero, allora la somma è divisibile per quel numero.

Divisibilità di un prodotto. Se in un prodotto almeno uno dei fattori è divisibile per un certo numero, anche il prodotto è divisibile per questo numero.

Queste condizioni, sia per la somma che per il prodotto, sono sufficienti ma non necessarie. Ad esempio, il prodotto 12*18 è divisibile per 36, sebbene né 12 né 18 siano divisibili per 36.

Test di divisibilità per 2. Affinché un numero naturale sia divisibile per 2 è necessario e sufficiente che la sua ultima cifra sia pari.

Test di divisibilità per 5. Affinché un numero naturale sia divisibile per 5 è necessario e sufficiente che la sua ultima cifra sia 0 o 5.

Test di divisibilità per 10. Affinché un numero naturale sia divisibile per 10 è necessario e sufficiente che la cifra delle unità sia 0.

Test di divisibilità per 4. Affinché un numero naturale contenente almeno tre cifre sia divisibile per 4 è necessario e sufficiente che le ultime cifre siano 00, 04, 08 oppure il numero di due cifre formato dalle ultime due cifre di questo numero sia divisibile per 4.

Test di divisibilità per 2 (per 9). Affinché un numero naturale sia divisibile per 3 (per 9), è necessario e sufficiente che la somma delle sue cifre sia divisibile per 3 (per 9).

Insieme di numeri interi

Considera una retta numerica con l'origine nel punto O. La coordinata del numero zero su di esso sarà un punto O. I numeri che si trovano sulla linea numerica in una determinata direzione sono chiamati numeri positivi. Sia dato un punto sulla linea numerica UN con coordinata 3. Corrisponde al numero positivo 3. Tracciamo ora tre volte il segmento unitario dal punto O, nella direzione opposta a quella data. Allora capiamo il punto UN", simmetrico al punto UN rispetto all'origine O. Coordinata del punto UN" ci sarà un numero - 3. Questo numero è l'opposto del numero 3. I numeri situati sulla linea numerica nella direzione opposta a quella data sono chiamati numeri negativi.

I numeri opposti ai numeri naturali formano un insieme di numeri N" :

N" = {- 1, - 2, - 3, - 4, ...} .

Se combiniamo i set N , N" e insieme singleton {0} , quindi otteniamo un set Z tutti numeri interi:

Z = {0} ∪ N ∪ N" .

Per gli interi sono vere tutte le leggi di addizione e moltiplicazione di cui sopra, che sono vere per i numeri naturali. Inoltre, vengono aggiunte le seguenti leggi di sottrazione:

UN - B = UN + (- B) ;

UN + (- UN) = 0 .

Insieme dei numeri razionali

Per rendere fattibile l'operazione di divisione degli interi per qualsiasi numero diverso da zero, si introducono le frazioni:

Dove UN E B- numeri interi e B non uguale a zero.

Se aggiungiamo l'insieme di tutte le frazioni positive e negative all'insieme degli interi, otteniamo l'insieme dei numeri razionali Q :

.

Inoltre ogni intero è anche un numero razionale, poiché, ad esempio, il numero 5 può essere rappresentato nella forma , dove numeratore e denominatore sono numeri interi. Ciò è importante quando si eseguono operazioni su numeri razionali, uno dei quali può essere un numero intero.

Leggi delle operazioni aritmetiche sui numeri razionali

La proprietà principale di una frazione. Se si moltiplicano o dividono numeratore e denominatore di una determinata frazione per lo stesso numero naturale, si ottiene una frazione uguale a quella data:

Questa proprietà viene utilizzata quando si riducono le frazioni.

Aggiunta di frazioni. L'addizione delle frazioni ordinarie è definita come segue:

.

Cioè, per sommare frazioni con denominatori diversi, le frazioni vengono ridotte a un denominatore comune. In pratica, quando si sommano (sottraggono) frazioni con denominatori diversi, le frazioni vengono ridotte al minimo comune denominatore. Ad esempio, in questo modo:

Per sommare frazioni con gli stessi numeratori, basta sommare i numeratori e lasciare invariato il denominatore.

Moltiplicazione delle frazioni. La moltiplicazione delle frazioni ordinarie è definita come segue:

Cioè, per moltiplicare una frazione per una frazione, devi moltiplicare il numeratore della prima frazione per il numeratore della seconda frazione e scrivere il prodotto nel numeratore della nuova frazione, e moltiplicare il denominatore della prima frazione per il denominatore della seconda frazione e scrivi il prodotto al denominatore della nuova frazione.

Dividere le frazioni. La divisione delle frazioni ordinarie è definita come segue:

Cioè, per dividere una frazione per una frazione, devi moltiplicare il numeratore della prima frazione per il denominatore della seconda frazione e scrivere il prodotto al numeratore della nuova frazione, e moltiplicare il denominatore della prima frazione per il numeratore della seconda frazione e scrivi il prodotto al denominatore della nuova frazione.

Elevare una frazione a una potenza con esponente naturale. Questa operazione è definita come segue:

Cioè, per elevare una frazione a una potenza, il numeratore viene elevato a quella potenza e il denominatore viene elevato a quella potenza.

Decimali periodici

Teorema. Qualsiasi numero razionale può essere rappresentato come una frazione periodica finita o infinita.

Per esempio,

.

Un gruppo di cifre che si ripete in sequenza dopo la virgola nella notazione decimale di un numero è chiamato periodo, mentre una frazione decimale finita o infinita che ha tale periodo nella sua notazione è chiamata periodica.

In questo caso, qualsiasi frazione decimale finita è considerata una frazione periodica infinita con uno zero nel periodo, ad esempio:

Anche il risultato di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione (eccetto la divisione per zero) di due numeri razionali è un numero razionale.

Insieme di numeri reali

Sulla linea numerica, che abbiamo considerato in relazione all'insieme dei numeri interi, potrebbero esserci punti che non hanno coordinate sotto forma di numero razionale. Pertanto, non esiste un numero razionale il cui quadrato sia 2. Pertanto, il numero non è un numero razionale. Inoltre, non esistono numeri razionali i cui quadrati siano 5, 7, 9. Pertanto, i numeri , , sono irrazionali. Anche il numero è irrazionale.

Nessun numero irrazionale può essere rappresentato come una frazione periodica. Sono rappresentati come frazioni non periodiche.

L'unione degli insiemi dei numeri razionali e irrazionali è l'insieme dei numeri reali R .

DEFINIZIONE 5. Sia X uno spazio metrico, ММ Х, аОХ. Un punto a si dice punto limite di M se in qualsiasi intorno di a esistono punti dell'insieme M\(a). Quest'ultima significa che in ogni intorno di a esistono punti dell'insieme M diversi da a.

Appunti. 1. Un punto limite può appartenere o meno all'insieme. Ad esempio, 0 e 1 sono punti limite dell'insieme (0,2), ma il primo non vi appartiene, il secondo sì.
2. Un punto di un insieme M non può essere il suo punto limite. In questo caso si chiama punto isolato M. Ad esempio 1 è un punto isolato dell'insieme (-1,0)È(1).
3. Se il punto limite a non appartiene all'insieme M, allora esiste una sequenza di punti x n ОM convergenti ad a in questo spazio metrico. Per dimostrarlo è sufficiente prendere palle aperte in questo punto di raggio 1/n e selezionare da ciascuna palla un punto appartenente a M. È vero anche il contrario, se per a esiste una tale sequenza, allora il punto è a punto limite.
DEFINIZIONE 6. La chiusura di un insieme M è l'unione di M con l'insieme dei suoi punti limite. Designazione
Si noti che la chiusura di una palla non deve necessariamente coincidere con una palla chiusa dello stesso raggio. Ad esempio, in uno spazio discreto, la chiusura della pallina B(a,1) è uguale alla pallina stessa (è costituita da un punto a) mentre la pallina chiusa (a,1) coincide con l'intero spazio.
Descriviamo alcune proprietà della chiusura degli insiemi.
1. MÌ. Ciò deriva direttamente dalla definizione di chiusura.
2. Se M Ì N, allora Ì . Infatti, se a О , a ПМ, allora in ogni intorno di a ci sono punti dell'insieme M. Sono anche punti di N. Quindi aО . Per i punti da M questo è chiaro per definizione.
4. .
5. La chiusura di un insieme vuoto è vuota. Questo accordo non deriva dalla definizione generale, ma è naturale.
DEFINIZIONE 7. Un insieme M Ì X si dice chiuso se = M.
Un insieme M Ì X si dice aperto se l'insieme X\M è chiuso.
Un insieme M Ì X si dice ovunque denso in X se = X.
DEFINIZIONE 8. Un punto a si dice punto interno dell'insieme M se B(a,r)МM per qualche r positivo, cioè il punto interno è incluso nell'insieme insieme a qualche intorno. Un punto a è chiamato punto esterno dell'insieme M se la palla B(a,r)МХ/M per qualche r positivo, cioè il punto interno non è incluso nell'insieme insieme a qualche intorno. I punti che non sono né interni né esterni all'insieme M sono detti punti di frontiera.
Pertanto, i punti di confine sono caratterizzati dal fatto che in ciascuno dei loro intorni ci sono punti sia inclusi che non inclusi in M.
PROPOSIZIONE 4. Affinché un insieme sia aperto è necessario e sufficiente che tutti i suoi punti siano interni.
Esempi di insiemi chiusi su una linea sono , )