Definizione del triangolo

Triangoloè una figura geometrica che si forma come risultato dell'intersezione di tre segmenti, le cui estremità non giacciono sulla stessa linea retta. Ogni triangolo ha tre lati, tre vertici e tre angoli.

Calcolatore in linea

Ci sono triangoli vari tipi. Ad esempio, esiste un triangolo equilatero (quello in cui tutti i lati sono uguali), isoscele (due lati sono uguali) e un triangolo rettangolo (in cui uno degli angoli è dritto, cioè uguale a 90 gradi).

È possibile trovare l'area di un triangolo diversi modi a seconda di quali elementi della figura sono noti dalle condizioni del problema, siano essi angoli, lunghezze o anche i raggi dei cerchi associati al triangolo. Diamo un'occhiata a ciascun metodo separatamente con esempi.

Formula per l'area di un triangolo in base alla base e all'altezza

S = 1 2 ⋅ a ⋅ h S= \frac(1)(2)\cdot a\cdot hS=2 1 ​ ⋅ un ⋅H,

Aa UN- base del triangolo;
h h H- l'altezza del triangolo disegnato con la base data a.

Esempio

Trova l'area di un triangolo se si conosce la lunghezza della sua base, pari a 10 (cm) e l'altezza tracciata su questa base, pari a 5 (cm).

Soluzione

A = 10 a = 10 un =1 0
h = 5 h = 5 h =5

Sostituiamolo nella formula dell'area e otteniamo:
S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 = 25 S=\frac(1)(2)\cdot10\cdot 5=25S=2 1 ​ ⋅ 1 0 ⋅ 5 = 2 5 (vedi mq.)

Risposta: 25 (cmq.)

Formula per l'area di un triangolo basata sulle lunghezze di tutti i lati

S = p ⋅ (p − a) ⋅ (p − b) ⋅ (p − c) S= \sqrt(p\cdot(p-a)\cdot (p-b)\cdot (p-c))S=p ⋅ (p - un ) ⋅ (p - b ) ⋅ (p - c )​ ,

A, b, c, a, b, c a, b, c- lunghezze dei lati del triangolo;
p p P- metà della somma di tutti i lati del triangolo (cioè metà del perimetro del triangolo):

P = 1 2 (a + b + c) p=\frac(1)(2)(a+b+c)p =2 1 ​ (un +b+C)

Questa formula si chiama La formula di Erone.

Esempio

Trova l'area di un triangolo se si conoscono le lunghezze dei suoi tre lati, pari a 3 (cm), 4 (cm), 5 (cm).

Soluzione

A = 3 a = 3 un =3
b = 4 b = 4 b =4
c = 5 c = 5 c =5

Troviamo metà del perimetro p p P:

P = 1 2 (3 + 4 + 5) = 1 2 ⋅ 12 = 6 p=\frac(1)(2)(3+4+5)=\frac(1)(2)\cdot 12=6p =2 1 ​ (3 + 4 + 5 ) = 2 1 ​ ⋅ 1 2 = 6

Quindi, secondo la formula di Erone, l’area del triangolo è:

S = 6 ⋅ (6 − 3) ⋅ (6 − 4) ⋅ (6 − 5) = 36 = 6 S=\sqrt(6\cdot(6-3)\cdot(6-4)\cdot(6- 5))=\quadrato(36)=6S=6 ⋅ (6 − 3 ) ⋅ (6 − 4 ) ⋅ (6 − 5 ) ​ = 3 6 ​ = 6 (vedi mq.)

Risposta: 6 (vedi quadrato)

Formula per l'area di un triangolo dati un lato e due angoli

S = a 2 2 ⋅ peccato ⁡ β peccato ⁡ γ peccato ⁡ (β + γ) S=\frac(a^2)(2)\cdot \frac(\sin(\beta)\sin(\gamma))( \sin(\beta+\gamma))S=2 UN 2 ​ ⋅ peccato(β + γ)peccato β peccato γ ​ ,

Aa UN- lunghezza del lato del triangolo;
β , γ \beta, \gamma β , γ - angoli adiacenti al lato aa UN.

Esempio

Dati un lato di un triangolo pari a 10 (cm) e due angoli adiacenti di 30 gradi. Trova l'area del triangolo.

Soluzione

A = 10 a = 10 un =1 0
β = 3 0 ∘ \beta=30^(\circ)β = 3 0 ∘
γ = 3 0 ∘ \gamma=30^(\circ)γ = 3 0 ∘

Secondo la formula:

S = 1 0 2 2 ⋅ peccato ⁡ 3 0 ∘ peccato ⁡ 3 0 ∘ peccato ⁡ (3 0 ∘ + 3 0 ∘) = 50 ⋅ 1 2 3 ≈ 14,4 S=\frac(10^2)(2)\cdot \frac(\sin(30^(\circ))\sin(30^(\circ)))(\sin(30^(\circ)+30^(\circ)))=50\cdot\frac( 1)(2\quadrato(3))\circa14,4S=2 1 0 2 ​ ⋅ peccato(3 0 ∘ + 3 0 ∘ ) peccato 3 0 ∘ peccato 3 0 ∘ ​ = 5 0 ⋅ 2 3 ​ 1 ​ ≈ 1 4 . 4 (vedi mq.)

Risposta: 14,4 (vedi mq.)

Formula per l'area di un triangolo basata su tre lati e il raggio della circonferenza circoscritta

S = a ⋅ b ⋅ c 4 R S=\frac(a\cdot b\cdot c)(4R)S=4Run ⋅ b ⋅ c​ ,

A, b, c, a, b, c a, b, c- lati del triangolo;
R.R R- raggio della circonferenza circoscritta al triangolo.

Esempio

Prendiamo i numeri dal nostro secondo problema e aggiungiamo loro il raggio R.R R cerchi. Lascia che sia uguale a 10 (cm.).

Soluzione

A = 3 a = 3 un =3
b = 4 b = 4 b =4
c = 5 c = 5 c =5
R = 10 R = 10 R=1 0

S = 3 ⋅ 4 ⋅ 5 4 ⋅ 10 = 60 40 = 1,5 S=\frac(3\cdot 4\cdot 5)(4\cdot 10)=\frac(60)(40)=1,5S=4 ⋅ 1 0 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ​ = 4 0 6 0 ​ = 1 . 5 (vedi mq.)

Risposta: 1,5 (cm²)

Formula per l'area di un triangolo basata su tre lati e il raggio del cerchio inscritto

S = p ⋅ r S=p\cpunto rS= P⋅ R,

p pP- metà del perimetro del triangolo:

p = a + b + c 2 p=\frac(a+b+c)(2)P= 2 UN+ B+ C​ ,

a, b, c a, b, cUN, B, C- lati del triangolo;
r rR- il raggio del cerchio inscritto nel triangolo.

Esempio

Sia il raggio del cerchio inscritto 2 (cm). Prenderemo le lunghezze dei lati dal problema precedente.

Soluzione

$UN=3b\; =\; 4\; b\; =\; 4B=4c\; =\; 5\; c\; =\; 5C=5r\; =\; 2\; r\; =\; 2R=2$

$P=23+4+5=6$

S = 6 ⋅ 2 = 12 S=6\cdot 2=12S= 6 ⋅ 2 = 1 2 (vedi mq.)

Risposta: 12 (cmq.)

Formula per l'area di un triangolo basata su due lati e l'angolo compreso tra loro

S = 1 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ sin ⁡ (α) S=\frac(1)(2)\cdot b\cdot c\cdot\sin(\alpha)S= 2 1 ​ ⋅ B⋅ C⋅ peccato(α ) ,

b, cb, cB, C- lati del triangolo;

α\alfaα - angolo tra i lati b bB E ccC.

Esempio

I lati del triangolo sono 5 (cm) e 6 (cm), l'angolo tra loro è di 30 gradi. Trova l'area del triangolo.

Soluzione

$B=5c\; =\; 6\; c\; =\; 6C=6\alpha \; =\; 3\; 0\; \circ \; \backslash alpha=30^(\backslash circ)\alpha =30^{\circ }$

S = 1 2 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 7,5 S=\frac(1)(2)\cdot 5\cdot 6\cdot\sin(30^(\circ))=7,5S= 2 1 ​ ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ peccato(3 0 ∘ ) = 7 . 5 (vedi mq.)

Risposta: 7,5 (cmq)

Inserisci i dati del triangolo noto

Lato a

Lato B

Lato c

Angolo A in gradi

Angolo B in gradi

Angolo C in gradi

Mediana lato a

Mediana al lato b

Mediana sul lato c

Altezza sul lato a

Altezza sul lato b

Altezza sul lato c

Coordinate del vertice A

X Y

Coordinate del vertice B

X Y

Coordinate del vertice C

X Y

Area del triangolo S

Semiperimetro dei lati di un triangolo p

Ti presentiamo una calcolatrice che ti permette di calcolare tutti i possibili...

Vorrei attirare la vostra attenzione sul fatto che Questo è un bot universale. Calcola tutti i parametri di un triangolo arbitrario, con un arbitrario parametri dati. Non troverai un bot come questo da nessuna parte.

Conosci il lato e le due altezze? o due lati e una mediana? Oppure la bisettrice di due angoli e la base di un triangolo?

Per eventuali richieste possiamo ottenere il calcolo corretto dei parametri del triangolo.

Non è necessario cercare formule ed eseguire i calcoli da soli. Per te è già stato fatto tutto.

Crea una richiesta e ottieni una risposta accurata.

Viene mostrato un triangolo arbitrario. Chiariamo subito come e cosa viene indicato, affinché in futuro non si creino confusioni ed errori nei calcoli.

Anche i lati opposti a qualsiasi angolo si chiamano solo con la lettera minuscola. Cioè, l'angolo opposto A è il lato del triangolo, il lato C è opposto all'angolo C.

ma è la medina ricadente sul lato a; vi sono quindi anche le mediane mb e mc ricadenti sui lati corrispondenti.

lb è la bisettrice che cade sul lato b, rispettivamente, ci sono anche le bisettrici la e lc che cadono sui lati corrispondenti.

hb è l'altezza che cade rispettivamente sul lato b, ci sono anche altezze ha e hc che cadono sui lati corrispondenti.

Bene, in secondo luogo, ricorda che un triangolo è una figura in cui c'è fondamentale regola:

La somma di qualsiasi (!) due lati deve essere maggioreterzo.

Quindi non sorprenderti se ricevi un errore P Per tali dati, un triangolo non esiste quando si tenta di calcolare i parametri di un triangolo con i lati 3, 3 e 7.

Sintassi

Per coloro che consentono i client XMPP, la richiesta è questa treug<список параметров>

Per gli utenti del sito, tutto è fatto in questa pagina.

Elenco dei parametri: parametri noti, separati da punto e virgola

il parametro è scritto come parametro=valore

Ad esempio, se è noto il lato a con il valore 10, allora scriviamo a=10

Inoltre, i valori possono essere non solo sotto forma di numero reale, ma anche, ad esempio, come risultato di qualche tipo di espressione

Ed ecco l'elenco dei parametri che possono comparire nei calcoli.

Lato a

Lato B

Lato c

Semiperimetro pag

Angolo A

Angolo B

Angolo C

Area del triangolo S

Altezza ha sul lato a

Altezza hb sul lato b

Altezza hc sul lato c

Mediana ma al lato a

Mediana mb al lato b

Mediana mc al lato c

Coordinate del vertice (xa,ya) (xb,yb) (xc,yc)

Esempi

noi scriviamo treug a=8;C=70;ha=2

Parametri del triangolo secondo parametri dati

Lato a = 8

Lato b = 2.1283555449519

Lato c = 7,5420719851515

Semiperimetro p = 8,8352137650517

Angolo A = 2,1882518638666 in gradi 125,37759631119

Angolo B = 2,873202966917 in gradi 164,62240368881

Angolo C = 1,221730476396 in 70 gradi

Area del triangolo S = 8

Altezza ha sul lato a = 2

Altezza hb lato b = 7,5175409662872

Altezza hc sul lato c = 2,1214329472723

Mediana ma per lato a = 3,8348889915443

Mediana mb per lato b = 7,7012304590352

Mediana mc per lato c = 4,4770789813853

Questo è tutto, tutti i parametri del triangolo.

La domanda è perché abbiamo chiamato la squadra UN, ma no V O Con? Ciò non influisce sulla decisione. L’importante è resistere alla condizione che ho già menzionato” I lati opposti a qualsiasi angolo si chiamano uguali, solo con la lettera minuscola"E poi disegna un triangolo nella tua mente e applicalo alla domanda posta.

Potrebbe essere preso invece UN V, ma allora l'angolo adiacente non lo sarà CON UN UN beh, l'altezza sarà hb. Il risultato se controlli sarà lo stesso.

Ad esempio, in questo modo (xa,ya) =3,4 (xb,yb) =-6,14 (xc,yc)=-6,-3

scrivere una richiesta treug xa=3;ya=4;xb=-6;yb=14;xc=-6;yc=-3

e otteniamo

Parametri del triangolo secondo parametri dati

Lato a = 17

Lato b = 11.401754250991

Lato c = 13,453624047073

Semiperimetro p = 20,927689149032

Angolo A = 1,4990243938603 in gradi 85,887771155351

Angolo B = 0,73281510178655 in gradi 41,987212495819

Angolo C = 0,90975315794426 in gradi 52,125016348905

Area del triangolo S = 76,5

Altezza ha sul lato a = 9

Altezza hb lato b = 13,418987695398

Altezza hc lato c = 11,372400437582

Mediana ma per lato a = 9,1241437954466

Mediana mb per lato b = 14,230249470757

Mediana mc per lato c = 12,816005617976

Buoni calcoli!!

ANDREY PROKIP: “IL MIO AMANTE È L'ECOLOGIA RUSSA. DEVI INVESTIRE IN ESSO!”
Il 4 e 5 settembre si è tenuto il forum ambientale “Climatic Shape of Cities”. Il promotore dell'evento è l'organizzazione C40, fondata nel 2005 dalle Nazioni Unite. Il compito principale della forma e delle città è controllare cambiamento climatico città.
Come ha dimostrato la pratica, a differenza degli eventi sociali e degli "incontri nei nightclub", c'erano pochi deputati e personaggi pubblici. Tra coloro che hanno identificato preoccupazioni situazione ambientale era Prokip Adrey Zinovievich. Ha preso parte attiva a tutte le sessioni plenarie insieme al Rappresentante Speciale del Presidente Federazione Russa sulle questioni climatiche Ruslan Edelgeriev, il vicesindaco di Mosca per l'edilizia abitativa e i servizi comunali Pyotr Biryukov, nonché rappresentanti stranieri - il sindaco della città italiana di Savona - Ilario Caprioglio. I partecipanti hanno presentato i loro progetti e discusso anche delle strategie per frenare l'aumento della temperatura globale, nonché delle soluzioni pratiche proposte sviluppo sostenibile città.
ANDREY PROKIP SU SHASHLIK, DEPUTATI E GREEN BUILDING
Di particolare interesse per Lato russo ha provocato un intervento di relatori, tra cui architetti, scienziati europei e il sindaco di Savona. L'argomento del discorso era la direzione TOP: "costruzione verde". Come ha affermato lo stesso Andrey Prokip, “è importante ridistribuire correttamente le risorse, nonché tenere conto degli standard di costruzione europei per una metropoli come Mosca. È necessario che la Russia intraprenda un percorso verso il “finanziamento verde” a livello federale, soprattutto perché è economicamente fattibile e, come dimostra la pratica, redditizio”. Ha inoltre espresso preoccupazione per il deterioramento della salute dei russi a causa dei disastri ambientali e del mancato rispetto delle norme ambientali per lo smaltimento dei rifiuti da parte di grandi e piccoli imprese industriali" I suoi timori sono stati confermati anche grazie all'intervento di Francesco Zambona, professore presso l'Ufficio europeo per gli investimenti nella sanità dell'OMS.
Con umorismo caratteristico, Andrei si è rivolto a personaggi famosi che sono stati invitati al forum, ma non si sono mai presentati, con un appello a “ricordare la natura, non solo quando vogliono fare un barbecue o andare a pescare. Dopotutto, la salute di tutto il popolo dipende dalla benevolenza della natura, che purtroppo li include”.
Oltre ai discorsi appassionati sulla nuova “natura amante” di Andrei Zinovievich e sull’importanza di assumersi la responsabilità ambiente stesso, è stato un evento significativo del forum sessione plenaria sull'argomento "Come crescere una nuova generazione". I partecipanti al forum sono stati unanimi nel ritenere che sia necessario educare non solo i bambini, ma anche la generazione adulta. È molto importante instillare la responsabilità nei confronti della natura nel comportamento quotidiano, così come negli affari.
A Mosca verrà lanciato il progetto speciale “Imparare a vivere civilmente”. Questo progetto educativo per tutti i segmenti della popolazione e le classi di età. Ma non importa quanto siano meravigliose la teoria e le buone intenzioni, il detto “finché il gallo arrosto non becca, lo sciocco non si farà il segno della croce” è ancora rilevante per la Russia.
Secondo Timothy Netter, famoso regista teatrale, l’arte può cambiare tutto. In uno dei suoi discorsi ha parlato di come l'idea di preservare la natura dovrebbe essere presentata nel teatro e nel cinema e di quanto sia importante educare le persone attraverso l'arte ad essere responsabili di ciò che accadrà a noi e alla natura domani.
Gli studenti delle università russe hanno attirato l'attenzione degli operatori Rentv e di Andrey Prokirpa presentando un progetto sulla tecnologia ecologica per la produzione di contenitori resistenti all'umidità e alla temperatura. Questo è un problema molto urgente, poiché in tutto il mondo vengono approvate leggi contro i contenitori di plastica, che, tra l'altro, impiegano più di 30 anni per decomporsi, inquinare il suolo e causare la morte degli animali.
È incoraggiante che Mosca sia una delle 94 città partecipanti all'organizzazione C40 e questa è la terza volta che si tiene il forum, che ogni anno attira l'attenzione di personalità e cittadini sempre più famosi.

Un triangolo rettangolo si trova in realtà quasi ad ogni angolo. La conoscenza delle proprietà di una determinata figura, nonché la capacità di calcolarne l'area, ti saranno senza dubbio utili non solo per risolvere problemi di geometria, ma anche in situazioni di vita.

Geometria del triangolo

Nella geometria elementare, un triangolo rettangolo è una figura composta da tre segmenti collegati che formano tre angoli (due acuti e uno dritto). Il triangolo rettangolo è una figura originale caratterizzata da una serie di importanti proprietà che costituiscono il fondamento della trigonometria. A differenza di un triangolo regolare, i lati di una figura rettangolare hanno i propri nomi:

• L'ipotenusa è il lato più lungo di un triangolo, opposto all'angolo retto.
• Le gambe sono segmenti che formano un angolo retto. A seconda dell'angolo considerato, la gamba può essere adiacente ad esso (formando questo angolo con l'ipotenusa) o opposta (situata di fronte all'angolo). Non ci sono cateti per i triangoli non rettangoli.

È il rapporto tra cateti e ipotenusa che costituisce la base della trigonometria: seni, tangenti e secanti sono definiti come il rapporto tra i lati di un triangolo rettangolo.

Triangolo rettangolo nella realtà

Questa cifra è diventata molto diffusa nella realtà. I triangoli sono utilizzati nel design e nella tecnologia, quindi il calcolo dell'area di una figura deve essere effettuato da ingegneri, architetti e designer. Le basi dei tetraedri o dei prismi - figure tridimensionali facili da incontrare nella vita di tutti i giorni - hanno la forma di un triangolo. Inoltre, un quadrato è la rappresentazione più semplice di un triangolo rettangolo "piatto" nella realtà. Un quadrato è uno strumento per la lavorazione dei metalli, il disegno, la costruzione e la carpenteria utilizzato per costruire angoli sia dagli scolari che dagli ingegneri.

Area di un triangolo

Piazza figura geometricaè una valutazione quantitativa di quanto del piano è delimitato dai lati del triangolo. L'area di un triangolo ordinario può essere trovata in cinque modi, utilizzando la formula di Erone o utilizzando variabili come la base, il lato, l'angolo e il raggio del cerchio inscritto o circoscritto. Più formula semplice l'area è espressa come:

dove a è il lato del triangolo, h è la sua altezza.

La formula per calcolare l'area di un triangolo rettangolo è ancora più semplice:

dove a e b sono le gambe.

Lavorando con il nostro calcolatore online, puoi calcolare l'area di un triangolo utilizzando tre coppie di parametri:

• due gambe;
• gamba e angolo adiacente;
• gamba e angolo opposto.

Nei problemi o nelle situazioni quotidiane ti verranno fornite diverse combinazioni di variabili, quindi questa forma di calcolatrice ti consente di calcolare l'area di un triangolo in diversi modi. Diamo un'occhiata ad un paio di esempi.

Esempi di vita reale

Piastrelle di ceramica

Diciamo che vuoi rivestire le pareti della cucina con piastrelle di ceramica, che hanno la forma di un triangolo rettangolo. Per determinare il consumo di piastrelle è necessario conoscere l'area di un elemento di rivestimento e l'area totale della superficie da trattare. Supponiamo di dover elaborare 7 metri quadrati. La lunghezza delle gambe di un elemento è di 19 cm, quindi l'area della piastrella sarà uguale a:

Ciò significa che l'area di un elemento è 24,5 centimetri quadrati o 0,01805 metri quadrati. Conoscendo questi parametri si può calcolare che per rifinire 7 mq di muro occorrono 7/0,01805 = 387 elementi di piastrelle da rivestimento.

Compito scolastico

Diciamo che in un problema di geometria scolastica devi trovare l'area di un triangolo rettangolo, sapendo solo che il lato di una gamba è di 5 cm e l'angolo opposto è di 30 gradi. Il nostro calcolatore online viene fornito con un'illustrazione che mostra i lati e gli angoli di un triangolo rettangolo. Se il lato a = 5 cm, allora il suo angolo opposto è l'angolo alfa, pari a 30 gradi. Inserisci questi dati nel modulo della calcolatrice e ottieni il risultato:

Pertanto, la calcolatrice non solo calcola l'area di un dato triangolo, ma determina anche la lunghezza della gamba e dell'ipotenusa adiacenti, nonché il valore del secondo angolo.

Conclusione

I triangoli rettangoli si trovano nella nostra vita letteralmente ad ogni angolo. Determinare l'area di tali figure ti sarà utile non solo durante la risoluzione compiti scolastici nella geometria, ma anche nelle attività quotidiane e professionali.

Calcolatore in linea.
Risolvere triangoli.

Risolvere un triangolo significa trovare tutti i suoi sei elementi (cioè tre lati e tre angoli) da tre elementi dati qualsiasi che definiscono il triangolo.

Questo programma matematico trova il lato \(c\), gli angoli \(\alpha \) e \(\beta \) dai lati specificati dall'utente \(a, b\) e l'angolo tra loro \(\gamma \)

Il programma non solo fornisce la risposta al problema, ma mostra anche il processo per trovare una soluzione.

Questo calcolatore online può essere utile per gli studenti delle scuole superiori scuola secondaria in preparazione per test ed esami, per testare le conoscenze prima dell'Esame di Stato Unificato, per consentire ai genitori di controllare la soluzione di molti problemi di matematica e algebra. O forse è troppo costoso per te assumere un tutor o acquistare nuovi libri di testo? O vuoi semplicemente farlo il più velocemente possibile? compiti a casa in matematica o algebra? In questo caso potete anche utilizzare i nostri programmi con soluzioni dettagliate.

In questo modo potrete condurre la vostra formazione e/o la formazione dei vostri fratelli o sorelle più piccoli, mentre aumenta il livello di istruzione nel campo della risoluzione dei problemi.

Se non hai familiarità con le regole per l'immissione dei numeri, ti consigliamo di familiarizzare con esse.

Regole per l'immissione dei numeri

I numeri possono essere specificati non solo come numeri interi, ma anche come frazioni.
Le parti intere e frazionarie nelle frazioni decimali possono essere separate da un punto o da una virgola.
Ad esempio, puoi inserire decimali quindi 2,5 circa 2,5

Inserisci i lati \(a, b\) e l'angolo tra loro \(\gamma \) Risolvi il triangolo

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Una piccola teoria.

Teorema dei seni

Teorema

I lati di un triangolo sono proporzionali ai seni degli angoli opposti:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) = \frac(c)(\sin C) $$

Teorema del coseno

Teorema
Sia AB = c, BC = a, CA = b nel triangolo ABC. Poi
Lato quadrato del triangolo pari alla somma quadrati degli altri due lati meno il doppio del prodotto di questi lati moltiplicato per il coseno dell'angolo compreso tra loro.
$$ a^2 = b^2+c^2-2ba \cos A $$

Risolvere triangoli

Risolvere un triangolo significa trovare tutti i suoi sei elementi (cioè tre lati e tre angoli) da tre elementi dati qualsiasi che definiscono il triangolo.

Consideriamo tre problemi che implicano la risoluzione di un triangolo. In questo caso utilizzeremo la seguente notazione per i lati del triangolo ABC: AB = c, BC = a, CA = b.

Risolvere un triangolo utilizzando due lati e l'angolo compreso tra loro

Dati: \(a, b, \angolo C\). Trova \(c, \angolo A, \angolo B\)

Soluzione
1. Utilizzando il teorema del coseno troviamo \(c\):

$$ c = \sqrt( a^2+b^2-2ab \cos C ) $$ 2. Usando il teorema del coseno, abbiamo:
$$ \cos A = \frac( b^2+c^2-a^2 )(2bc) $$

3. \(\angolo B = 180^\circonferenza -\angolo A -\angolo C\)

Risolvere un triangolo misurando i lati e gli angoli adiacenti

Dati: \(a, \angolo B, \angolo C\). Trova \(\angolo A, b, c\)

Soluzione
1. \(\angolo A = 180^\circonferenza -\angolo B -\angolo C\)

2. Utilizzando il teorema del seno, calcoliamo b e c:
$$ b = a \frac(\sin B)(\sin A), \quad c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$

Risolvere un triangolo utilizzando tre lati

Dato: \(a, b, c\). Trova \(\angolo A, \angolo B, \angolo C\)

Soluzione
1. Usando il teorema del coseno otteniamo:
$$ \cos A = \frac(b^2+c^2-a^2)(2bc) $$

Utilizzando \(\cos A\) troviamo \(\angolo A\) utilizzando una microcalcolatrice o utilizzando una tabella.

2. Allo stesso modo, troviamo l'angolo B.
3. \(\angolo C = 180^\circonferenza -\angolo A -\angolo B\)

Risolvere un triangolo utilizzando due lati e un angolo opposto a un lato noto

Dati: \(a, b, \angolo A\). Trova \(c, \angolo B, \angolo C\)

Soluzione
1. Usando il teorema dei seni, troviamo \(\sin B\) otteniamo:
$$ \frac(a)(\sin A) = \frac(b)(\sin B) \Rightarrow \sin B = \frac(b)(a) \cdot \sin A $$

Introduciamo la notazione: \(D = \frac(b)(a) \cdot \sin A \). A seconda del numero D sono possibili i seguenti casi:
Se D > 1, un tale triangolo non esiste, perché \(\sin B\) non può essere maggiore di 1
Se D = 1, esiste un unico \(\angle B: \quad \sin B = 1 \Rightarrow \angle B = 90^\circ \)
Se D Se D 2. \(\angolo C = 180^\circonferenza -\angolo A -\angolo B\)

3. Utilizzando il teorema del seno, calcoliamo il lato c:
$$ c = a \frac(\sin C)(\sin A) $$

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