Trovare il centro di gravità di un corpo piatto e scrivere l'esperimento. Metodi per determinare le coordinate del baricentro. Prova domande e compiti

Autore: Prendiamo un corpo di forma arbitraria. È possibile appenderlo a un filo in modo che dopo averlo appeso mantenga la sua posizione (cioè non inizi a girare) quando Qualunque orientamento iniziale (Fig. 27.1)?

In altre parole, esiste un punto rispetto al quale la somma dei momenti di gravità agenti sulle varie parti del corpo sarebbe pari a zero Qualunque orientamento del corpo nello spazio?

Lettore: Penso di sì. Questo punto si chiama baricentro del corpo.

Prova. Per semplicità, consideriamo un corpo sotto forma di una lastra piana di forma arbitraria, orientata arbitrariamente nello spazio (Fig. 27.2). Prendiamo il sistema di coordinate X 0A con l'inizio nel centro di massa - punto CON, Poi xC = 0, a C = 0.

Immaginiamo questo corpo come un insieme di un gran numero di masse puntiformi io e io, la posizione di ciascuno dei quali è specificata dal raggio vettore.

Per definizione, il centro di massa è , e la coordinata xC = .

Poiché nel sistema di coordinate che abbiamo adottato xC= 0, quindi . Moltiplichiamo questa uguaglianza per G e otteniamo

Come si può vedere dalla figura. 27.2, | x io| - questa è la spalla del potere. E se x io> 0, quindi il momento della forza Mi> 0 e se x j < 0, то Mj < 0, поэтому с учетом знака можно утверждать, что для любого x io il momento della forza sarà uguale M io = m io gx io . Allora l'uguaglianza (1) è equivalente all'uguaglianza , dove Mi– momento di gravità. Ciò significa che con un orientamento arbitrario del corpo, la somma dei momenti di gravità che agiscono sul corpo sarà pari a zero rispetto al suo centro di massa.

Affinché il corpo che stiamo considerando sia in equilibrio, è necessario applicarlo al punto CON forza T = mg, diretto verticalmente verso l'alto. Il momento di questa forza rispetto al punto CON uguale a zero.

Poiché il nostro ragionamento non dipendeva in alcun modo da come è orientato esattamente il corpo nello spazio, abbiamo dimostrato che il centro di gravità coincide con il centro di massa, che è ciò che dovevamo dimostrare.

Problema 27.1. Trova il centro di gravità di un'asta di lunghezza senza peso l, alle estremità delle quali sono fissate due masse puntiformi T 1 e T 2 .

T 1 T 2 l	Soluzione. Non cercheremo il centro di gravità, ma il centro di massa (poiché sono la stessa cosa). Introduciamo l'asse X(Fig. 27.3). Riso. 27.3
x C =?

Risposta: a distanza dalla massa T 1 .

FERMARE! Decidi tu: B1–B3.

Dichiarazione 1 . Se un corpo piatto omogeneo ha un asse di simmetria, il centro di gravità si trova su questo asse.

Infatti, per qualsiasi massa puntiforme io e io, posto a destra dell'asse di simmetria, c'è la stessa massa puntiforme posta simmetricamente rispetto al primo (Fig. 27.4). In questo caso la somma dei momenti delle forze .

Poiché l'intero corpo può essere rappresentato come diviso in coppie di punti simili, il momento di gravità totale relativo a qualsiasi punto giacente sull'asse di simmetria è uguale a zero, il che significa che il centro di gravità del corpo si trova su questo asse . Ciò porta ad una conclusione importante: se un corpo ha più assi di simmetria, il centro di gravità si trova all'intersezione di questi assi(Fig. 27.5).

Riso. 27.5

Dichiarazione 2. Se due corpi hanno massa T 1 e T 2 sono collegati in uno, quindi il centro di gravità di tale corpo si troverà su un segmento di linea retta che collega i centri di gravità del primo e del secondo corpo (Fig. 27.6).

Riso. 27.6 Riso. 27.7

Prova. Posizioniamo il corpo composto in modo che il segmento che collega i baricentri dei corpi sia verticale. Quindi la somma dei momenti di gravità del primo corpo rispetto al punto CON 1 è uguale a zero e la somma dei momenti di gravità del secondo corpo rispetto al punto CON 2 è uguale a zero (Fig. 27.7).

notare che spalla gravità di qualsiasi punto di massa t io lo stesso rispetto ad ogni punto giacente sul segmento CON 1 CON 2, e quindi il momento di gravità relativo ad un qualsiasi punto giacente sul segmento CON 1 CON 2, lo stesso. Di conseguenza, la forza gravitazionale dell'intero corpo è zero rispetto a qualsiasi punto del segmento CON 1 CON 2. Pertanto, il centro di gravità del corpo composito giace sul segmento CON 1 CON 2 .

Un'importante conclusione pratica segue dalla Dichiarazione 2, che è chiaramente formulata sotto forma di istruzioni.

Istruzioni,

come trovare il centro di gravità di un corpo solido se può essere rotto

in parti, di ciascuna delle quali è nota la posizione dei baricentri

1. Ciascuna parte deve essere sostituita con una massa situata nel baricentro di quella parte.

2. Trova centro di Massa(e questo è lo stesso del centro di gravità) del sistema risultante di masse puntiformi, scegliendo un sistema di coordinate conveniente X 0A, secondo le formule:

Infatti, sistemiamo il corpo composito in modo che il segmento CON 1 CON 2 era orizzontale e appendilo ai fili in alcuni punti CON 1 e CON 2 (figura 27.8, UN). È chiaro che il corpo sarà in equilibrio. E questo equilibrio non verrà disturbato se sostituiamo ogni corpo con masse puntiformi T 1 e T 2 (figura 27.8, B).

Riso. 27.8

FERMARE! Decidi tu stesso: C3.

Problema 27.2. Le sfere di massa sono poste ai due vertici di un triangolo equilatero T ogni. Nel terzo vertice è posta una palla di massa 2 T(Fig. 27.9, UN). Lato del triangolo UN. Determinare il centro di gravità di questo sistema.

T 2T UN	Riso. 27.9
xC = ? a C = ?

Soluzione. Introduciamo il sistema di coordinate X 0A(Fig. 27.9, B). Poi

Risposta: xC = UN/2; ; il baricentro si trova a metà altezza ANNO DOMINI.

Obiettivo del lavoro – determinare analiticamente e sperimentalmente il baricentro di una figura complessa.

Background teorico. I corpi materiali sono costituiti da particelle elementari, la cui posizione nello spazio è determinata dalle loro coordinate. Le forze di attrazione di ciascuna particella verso la Terra possono essere considerate un sistema di forze parallele, la risultante di queste forze è chiamata forza di gravità del corpo o peso del corpo. Il centro di gravità di un corpo è il punto di applicazione della gravità.

Il baricentro è un punto geometrico che può trovarsi all'esterno del corpo (ad esempio un disco con un foro, una palla cava, ecc.). La determinazione del baricentro di piastre sottili piatte omogenee è di grande importanza pratica. Il loro spessore può essere solitamente trascurato e si può supporre che il centro di gravità sia situato su un piano. Se il piano delle coordinate xOy è combinato con il piano della figura, la posizione del baricentro è determinata da due coordinate:

dov'è l'area di parte della figura, ();

– coordinate del baricentro delle parti della figura, mm (cm).

Sezione di una figura	A, mm2	Xc,mm	Sì, mm
	bhh	b/2	h/2
	bh/2	b/3	h/3
	R2a
A 2α = π πR 2 /2

Procedura di lavoro.

Disegna una figura di forma complessa, composta da 3-4 figure semplici (rettangolo, triangolo, cerchio, ecc.) in scala 1:1 e indicane le dimensioni.

Disegna gli assi delle coordinate in modo che coprano l'intera figura, suddividi la figura complessa in parti semplici, determina l'area e le coordinate del baricentro di ciascuna figura semplice rispetto al sistema di coordinate selezionato.

Calcola analiticamente le coordinate del baricentro dell'intera figura. Ritaglia questa figura da cartone sottile o compensato. Praticare due fori, i bordi dei fori dovrebbero essere lisci e il diametro dei fori dovrebbe essere leggermente più grande del diametro dell'ago per appendere la figura.

Per prima cosa appendi la figura in un punto (foro), traccia una linea con una matita che coincide con il filo a piombo. Ripeti lo stesso quando appendi la figura in un altro punto. Il baricentro della figura, trovato sperimentalmente, deve coincidere.

Determinare analiticamente le coordinate del baricentro di una lastra sottile omogenea. Controllare sperimentalmente

Algoritmo risolutivo

1. Metodo analitico.

a) Disegna il disegno in scala 1:1.

b) Suddividere una figura complessa in figure semplici

c) Selezionare e disegnare gli assi delle coordinate (se la figura è simmetrica, lungo l'asse di simmetria, altrimenti lungo il contorno della figura)

d) Calcolare l'area delle figure semplici e della figura intera

e) Segna la posizione del baricentro di ogni figura semplice nel disegno

f) Calcolare le coordinate del baricentro di ciascuna figura

(asse xey)

g) Calcolare le coordinate del baricentro dell'intera figura utilizzando la formula

h) Segnare la posizione del baricentro sul disegno C (

2. Determinazione sperimentale.

La correttezza della soluzione del problema può essere verificata sperimentalmente. Ritaglia questa figura da cartone sottile o compensato. Praticare tre fori, i bordi dei fori dovrebbero essere lisci e il diametro dei fori dovrebbe essere leggermente più grande del diametro dell'ago per appendere la figura.

Per prima cosa appendi la figura in un punto (foro), traccia una linea con una matita che coincide con il filo a piombo. Ripeti lo stesso quando appendi la figura in altri punti. Il valore delle coordinate del baricentro della figura, rilevato appendendo la figura in due punti: . Il baricentro della figura, trovato sperimentalmente, deve coincidere.

3. Conclusione sulla posizione del baricentro durante la determinazione analitica e sperimentale.

Esercizio

Determinare analiticamente e sperimentalmente il baricentro di una sezione piana.

Esempio di esecuzione

Compito

Determinare le coordinate del baricentro di una lastra sottile omogenea.

Metodo analitico

1. Il disegno è in scala (le dimensioni sono generalmente espresse in mm)

2. Suddividiamo una figura complessa in figure semplici.

1- Rettangolo

2- Triangolo (rettangolo)

3- Area del semicerchio (non esiste, segno meno).

Troviamo la posizione del baricentro di semplici figure di punti, e

3. Disegna gli assi delle coordinate come conveniente e segna l'origine delle coordinate.

4. Calcola le aree delle figure semplici e l'area dell'intera figura. [dimensioni in cm]

(3. no, segno -).

Area dell'intera figura

5. Trova le coordinate del punto centrale. e nel disegno.

6. Calcola le coordinate dei punti C 1, C 2 e C 3

7. Calcola le coordinate del punto C

8. Segna un punto sul disegno

II Esperto

Coordinate sperimentali del baricentro.

Domande di controllo.

1. È possibile considerare la forza di gravità di un corpo come un sistema risultante di forze parallele?

2. È possibile localizzare il centro di gravità dell'intero corpo?

3. Qual è l'essenza della determinazione sperimentale del baricentro di una figura piatta?

4. Come viene determinato il centro di gravità di una figura complessa composta da più figure semplici?

5. Come dovrebbe essere razionalmente divisa una figura di forma complessa in figure semplici quando si determina il centro di gravità dell'intera figura?

6. Che segno ha l'area dei fori nella formula per determinare il baricentro?

7. All'intersezione di quali linee del triangolo si trova il suo centro di gravità?

8. Se una figura è difficile da scomporre in un piccolo numero di figure semplici, quale metodo per determinare il centro di gravità può fornire la risposta più rapida?

Lavoro pratico n. 6

“Risolvere problemi complessi”

Obiettivo del lavoro: essere in grado di risolvere problemi complessi (cinematica, dinamica)

Background teorico: La velocità è una misura cinematica del movimento di un punto, che caratterizza la velocità di cambiamento della sua posizione. La velocità di un punto è un vettore che caratterizza la velocità e la direzione del movimento di un punto in un dato momento. Quando si specifica il movimento di un punto tramite equazioni, le proiezioni di velocità sugli assi delle coordinate cartesiane sono uguali a:

Il modulo di velocità di un punto è determinato dalla formula

La direzione della velocità è determinata dai coseni direzionali:

La caratteristica della velocità di variazione della velocità è l'accelerazione a. L'accelerazione di un punto è uguale alla derivata temporale del vettore velocità:

Quando si specifica il movimento di un punto, le equazioni per la proiezione dell'accelerazione sugli assi delle coordinate sono uguali a:

Modulo di accelerazione:

Modulo di accelerazione completo

Il modulo di accelerazione tangenziale è determinato dalla formula

Il modulo di accelerazione normale è determinato dalla formula

dove è il raggio di curvatura della traiettoria in un dato punto.

La direzione dell'accelerazione è determinata dai coseni direzionali

L'equazione del moto rotatorio di un corpo rigido attorno ad un asse fisso ha la forma

Velocità angolare del corpo:

A volte la velocità angolare è caratterizzata dal numero di giri al minuto ed è indicata dalla lettera . La dipendenza tra e ha la forma

Accelerazione angolare del corpo:

Una forza uguale al prodotto della massa di un dato punto per la sua accelerazione e la direzione direttamente opposta all'accelerazione del punto è chiamata forza di inerzia.

La potenza è il lavoro compiuto da una forza nell’unità di tempo.

Equazione dinamica di base per il moto rotatorio

– il momento di inerzia del corpo rispetto all’asse di rotazione, è la somma dei prodotti delle masse dei punti materiali per il quadrato delle loro distanze da questo asse

Esercizio

Un corpo di massa m, con l'ausilio di una fune avvolta su un tamburo di diametro d, si muove verso l'alto o verso il basso lungo un piano inclinato con angolo di inclinazione α. Equazione del movimento del corpo S=f(t), equazione della rotazione del tamburo, dove S è in metri; φ - in radianti; t – in secondi. P e ω sono rispettivamente la potenza e la velocità angolare sull'albero del tamburo al momento della fine dell'accelerazione o dell'inizio della frenata. Tempo t 1 – tempo di accelerazione (da riposo a una determinata velocità) o di frenata (da una determinata velocità a arresto). Il coefficiente di attrito radente tra il corpo e il piano è –f. Trascurare le perdite per attrito sul tamburo, così come la massa del tamburo. Quando risolvi i problemi, prendi g=10 m/s 2

No var	α, gradi	Legge del movimento	Ad esempio, il movimento	m, kg	t1, s	d, m	P,kW	, rad/s	F	sicuramente le quantità
		S=0,8t2	Giù	-	-	0,20	4,0		0,20	m,t1
		φ=4t2	Giù		1,0	0,30	-	-	0,16	P,ω
		S=1,5t-t2	su	-	-	-	4,5		0,20	m, d
		ω=15t-15t 2	su	-	-	0,20	3,0	-	0,14	m,ω
		S=0,5 t 2	Giù		-	-	1,76		0,20	d,t1
		S=1,5 t 2	Giù	-	0,6	0,24	9,9	-	0,10	m,ω
		S=0,9 t 2	Giù		-	0,18	-		0,20	P,t1
		φ=10t 2	Giù		-	0,20	1,92	-	0,20	P,t1
		S=t-1,25t 2	su		-	-	-		0,25	P,d
		φ=8t-20t 2	su		-	0,20	-	-	0,14	P, ω

Esempio di esecuzione

Problema 1(immagine 1).

Soluzione 1. Movimento rettilineo (Figura 1, a). Un punto che si muove uniformemente ad un certo punto nel tempo riceve una nuova legge di movimento e dopo un certo periodo di tempo si ferma. Determinare tutte le caratteristiche cinematiche del movimento del punto per due casi; a) movimento lungo un percorso rettilineo; b) movimento lungo un percorso curvo di raggio di curvatura costante r=100cm

Figura 1(a).

Legge della variazione della velocità del punto

Troviamo la velocità iniziale del punto dalla condizione:

Troviamo il tempo di frenata per fermarci dalla condizione:

a , da qui .

Legge del moto di un punto durante un periodo di moto uniforme

La distanza percorsa dal punto lungo la traiettoria durante il periodo di frenata è

Legge della variazione dell'accelerazione tangenziale di un punto

donde ne consegue che durante il periodo di frenatura la punta si muoveva altrettanto lentamente, poiché l'accelerazione tangenziale è negativa e di valore costante.

L'accelerazione normale di un punto su una traiettoria rettilinea è zero, cioè .

Soluzione 2. Movimento curvilineo (Figura 1, b).

Figura 1(b)

In questo caso, rispetto al caso del moto rettilineo, tutte le caratteristiche cinematiche rimangono invariate, ad eccezione della normale accelerazione.

Legge della variazione dell'accelerazione normale di un punto

Accelerazione normale di un punto al momento iniziale della frenata

La numerazione delle posizioni dei punti sulla traiettoria accettata nel disegno: 1 – posizione attuale del punto in movimento uniforme prima dell'inizio della frenata; 2 – posizione del punto al momento della frenata; 3 – posizione attuale del punto durante il periodo di frenata; 4 – posizione finale del punto.

Compito 2.

Il carico (Fig. 2, a) viene sollevato utilizzando un argano a tamburo. Il diametro del tamburo è d=0,3 m e la legge della sua rotazione è .

L'accelerazione del tamburo durava fino alla velocità angolare. Determinare tutte le caratteristiche cinematiche del movimento del tamburo e del carico.

Soluzione. Legge della variazione della velocità angolare del tamburo. Troviamo la velocità angolare iniziale dalla condizione: ; pertanto, l'accelerazione è iniziata da uno stato di riposo. Troveremo il tempo di accelerazione dalla condizione: . Angolo di rotazione del tamburo durante il periodo di accelerazione.

Dalla legge di variazione dell'accelerazione angolare del tamburo ne consegue che durante il periodo di accelerazione il tamburo ruotava con accelerazione uniforme.

Le caratteristiche cinematiche del carico sono uguali alle caratteristiche corrispondenti di un qualsiasi punto della fune di trazione, e quindi del punto A giacente sul bordo del tamburo (Fig. 2, b). Come è noto, le caratteristiche lineari di un punto di un corpo rotante vengono determinate attraverso le sue caratteristiche angolari.

La distanza percorsa dal carico durante il periodo di accelerazione, . Velocità del carico alla fine dell'accelerazione.

Accelerazione del carico.

Legge sulla circolazione delle merci.

La distanza, la velocità e l'accelerazione del carico potrebbero essere determinate diversamente, attraverso la legge del moto del carico trovata:

Compito 3. Il carico, muovendosi uniformemente verso l'alto lungo un piano di appoggio inclinato, ad un certo punto viene frenato secondo la nuova legge del moto , dove s è in metri e t è in secondi. Massa del carico m = 100 kg, coefficiente di attrito radente tra il carico e il piano f = 0,25. Determinare la forza F e la potenza esercitata sulla fune di trazione per due istanti di tempo: a) movimento uniforme prima che inizi la frenatura;

b) momento iniziale della frenata. Nel calcolo, prendere g=10 m/.

Soluzione. Determiniamo le caratteristiche cinematiche del movimento del carico.

Legge della variazione della velocità del carico

Velocità iniziale del carico (a t=0)

Accelerazione del carico

Poiché l'accelerazione è negativa, il movimento è lento.

1. Movimento uniforme del carico.

Per determinare la forza motrice F consideriamo l'equilibrio del carico, sul quale agisce un sistema di forze convergenti: la forza sul cavo F, la forza gravitazionale del carico G=mg, la reazione normale del piano di appoggio N e la forza di attrito diretta al movimento del corpo. Secondo la legge dell'attrito, . Scegliamo la direzione degli assi delle coordinate, come mostrato nel disegno, e redigiamo due equazioni di equilibrio per il carico:

La potenza sul cavo prima dell'inizio della frenata è determinata dalla formula ben nota

Dov'è m/s.

2. Movimento lento del carico.

Come è noto, con un movimento traslatorio irregolare di un corpo, il sistema di forze che agiscono su di esso nella direzione del movimento non è equilibrato. Secondo il principio di d'Alembert (metodo cinetostatico), il corpo in questo caso può essere considerato in equilibrio condizionato se a tutte le forze che agiscono su di esso aggiungiamo una forza inerziale, il cui vettore è diretto opposto al vettore accelerazione. Il vettore accelerazione nel nostro caso è diretto in modo opposto al vettore velocità, poiché il carico si muove lentamente. Creiamo due equazioni di equilibrio per il carico:

Alimentare il cavo all'inizio della frenata

Domande di controllo.

1. Come determinare il valore numerico e la direzione della velocità di un punto in un dato momento?

2. Cosa caratterizza le componenti normale e tangenziale dell'accelerazione totale?

3. Come passare dall'esprimere la velocità angolare in min -1 all'esprimerla in rad/s?

4. Come si chiama il peso corporeo? Nomina l'unità di misura della massa

5. In quale movimento di un punto materiale nasce la forza d'inerzia? Qual è il suo valore numerico e qual è la sua direzione?

6. Principio di Stato d'Alembert

7. La forza d'inerzia si forma durante il movimento curvilineo uniforme di un punto materiale?

8. Cos'è la coppia?

9. Come viene espressa la relazione tra coppia e velocità angolare per una data potenza trasmessa?

10. Equazione dinamica di base per il moto rotatorio.

Lavoro pratico n. 7

"Calcolo delle strutture per la resistenza"

Obiettivo del lavoro: determinare la resistenza, le dimensioni della sezione trasversale e il carico ammissibile

Background teorico.

Conoscendo i fattori di forza e le caratteristiche geometriche della sezione durante la deformazione a trazione (compressione), possiamo determinare la sollecitazione utilizzando le formule. E per capire se la nostra parte (albero, ingranaggio, ecc.) resisterà al carico esterno. È necessario confrontare questo valore con la tensione consentita.

Quindi, l'equazione della resistenza statica

Sulla base di esso, vengono risolti 3 tipi di problemi:

1) prova di resistenza

2) determinazione delle dimensioni della sezione

3) determinazione del carico ammissibile

Quindi, l'equazione della rigidezza statica

Sulla base di esso, vengono risolti anche 3 tipi di problemi

Equazione della resistenza statica a trazione (compressione).

1) Primo tipo: prova di resistenza

cioè risolviamo il lato sinistro e lo confrontiamo con la tensione ammissibile.

2) Secondo tipo: determinazione delle dimensioni della sezione

dal lato destro l'area della sezione trasversale

Cerchio di sezione

quindi il diametro d

Sezione rettangolare

Sezione quadrata

A = a² (mm²)

Sezione semicircolare

Sezioni: canale, trave a I, angolo, ecc.

Valori dell'area: dalla tabella, accettati secondo GOST

3) Il terzo tipo sta determinando il carico ammissibile;

preso al piccolo, intero

ESERCIZIO

Compito

A) Verifica della resistenza (calcolo del test)

Per una determinata trave, costruire un diagramma delle forze longitudinali e verificare la resistenza in entrambe le sezioni. Per materiale in legno (acciaio St3) accettare

Opzione n.
	12,5	5,3	-			-
		2,3			-	-
		4,2		-	-

B) Scelta della sezione (calcolo progettuale)

Per una data trave, costruire un diagramma delle forze longitudinali e determinare le dimensioni della sezione trasversale in entrambe le sezioni. Per materiale in legno (acciaio St3) accettare

Opzione n.
	1,9	2,5

	2,8	1,9
	3,2

B) Determinazione della forza longitudinale ammissibile

Per una determinata trave, determinare i valori ammissibili dei carichi e,

costruire un diagramma delle forze longitudinali. Per materiale in legno (acciaio St3) accettare . Quando si risolve il problema, si presuppone che il tipo di carico sia lo stesso su entrambe le sezioni della trave.

Opzione n.
	-	-
			-	-
	-	-

Esempio di completamento di un compito

Problema 1(immagine 1).

Controllare la resistenza di una colonna composta da profili a I di una determinata dimensione. Per il materiale della colonna (acciaio St3), accettare le sollecitazioni di trazione ammissibili e durante la compressione . In caso di sovraccarico o sottocarico significativo, selezionare le dimensioni della trave a I che garantiscano una resistenza ottimale della colonna.

Soluzione.

La trave data ha due sezioni 1, 2. I confini delle sezioni sono le sezioni in cui vengono applicate le forze esterne. Poiché le forze che sollecitano la trave si trovano lungo il suo asse longitudinale centrale, nelle sezioni trasversali si verifica solo un fattore di forza interno: la forza longitudinale, cioè c'è tensione (compressione) della trave.

Per determinare la forza longitudinale utilizziamo il metodo della sezione. Conducendo una sezione mentale all'interno di ciascuna sezione, scarteremo la parte fissa inferiore della trave e lasceremo in considerazione la parte superiore. Nella sezione 1, la forza longitudinale è costante e uguale a

Il segno meno indica che la trave è compressa in entrambe le sezioni.

Costruiamo un diagramma delle forze longitudinali. Dopo aver tracciato la linea di base (zero) del diagramma parallela all'asse della trave, tracciamo i valori ottenuti perpendicolari ad essa su una scala arbitraria. Come puoi vedere, il diagramma si è rivelato delineato da linee rette parallele a quella di base.

Controlliamo la resistenza del legno, ad es. Determiniamo lo stress di progetto (per ciascuna sezione separatamente) e lo confrontiamo con quello consentito. Per fare ciò, utilizziamo la condizione di resistenza a compressione

dove l'area è una caratteristica geometrica della resistenza della sezione trasversale. Dalla tabella degli acciai laminati prendiamo:

per trave a I
per trave a I

Prova di forza:

I valori delle forze longitudinali sono presi in valore assoluto.

La resistenza della trave è garantita, tuttavia vi è un sottocarico significativo (oltre il 25%), che è inaccettabile a causa dell'eccessivo consumo di materiale.

Dalla condizione di resistenza, determiniamo le nuove dimensioni della trave a I per ciascuna sezione della trave:
Da qui l'area richiesta

Secondo la tabella GOST, selezioniamo la trave a I n. 16, per la quale;

Da qui l'area richiesta

Secondo la tabella GOST, selezioniamo la trave a I n. 24, per la quale ;

Con le dimensioni della trave a I selezionate si verifica anche un sottocarico, ma è insignificante (meno del 5%)

Compito n. 2.

Per una trave con determinate dimensioni della sezione trasversale, determinare i valori di carico ammissibili e . Per il materiale in legno (acciaio St3), accettare le sollecitazioni di trazione consentite e durante la compressione .

Soluzione.

La trave data ha due sezioni 1, 2. C'è tensione (compressione) della trave.

Utilizzando il metodo delle sezioni, determiniamo la forza longitudinale, esprimendola attraverso le forze richieste e. Eseguendo una sezione all'interno di ciascuna sezione, scarteremo la parte sinistra della trave e lasceremo da considerare la parte destra. Nella sezione 1, la forza longitudinale è costante e uguale a

Nella sezione 2 anche la forza longitudinale è costante e uguale a

Il segno più indica che la trave è allungata in entrambe le sezioni.

Costruiamo un diagramma delle forze longitudinali. Il diagramma è delineato da linee rette parallele a quella di base.

Dalla condizione di resistenza alla trazione, determiniamo i valori di carico ammissibili e avendo precedentemente calcolato le aree delle sezioni trasversali indicate:

Domande di controllo.

1. Quali fattori di forza interni si verificano nella sezione di una trave durante la tensione e la compressione?

2. Annotare le condizioni di resistenza a trazione e compressione.

3. Come vengono assegnati i segni della forza longitudinale e della sollecitazione normale?

4. Come cambierà la tensione se l'area della sezione trasversale aumenta di 4 volte?

5. Le condizioni di resistenza sono diverse per i calcoli di trazione e compressione?

6. In quali unità viene misurata la tensione?

7. Quale caratteristica meccanica viene scelta come stress limite per i materiali duttili e fragili?

8. Qual è la differenza tra stress limite e stress ammissibile?

Lavoro pratico n. 8

“Risoluzione di problemi per determinare i principali momenti centrali di inerzia di figure geometriche piatte”

Obiettivo del lavoro: determinare analiticamente i momenti di inerzia di corpi piatti di forma complessa

Background teorico. Le coordinate del baricentro della sezione possono essere espresse attraverso il momento statico:

dove relativo all'asse del bue

rispetto all'asse Oy

Il momento statico dell'area della figura rispetto all'asse che giace sullo stesso piano è uguale al prodotto dell'area della figura e alla distanza del suo centro di gravità da questo asse. Il momento statico ha una dimensione. Il momento statico può essere positivo, negativo o uguale a zero (rispetto a qualsiasi asse centrale).

Il momento d'inerzia assiale di una sezione è la somma dei prodotti o dell'integrale delle aree elementari prese sull'intera sezione per i quadrati delle loro distanze da un determinato asse giacente nel piano della sezione considerata.

Il momento d'inerzia assiale è espresso in unità - . Il momento d'inerzia assiale è una grandezza sempre positiva e non uguale a zero.

Gli assi passanti per il baricentro della figura sono detti centrali. Il momento d'inerzia attorno all'asse centrale è chiamato momento d'inerzia centrale.

Il momento d'inerzia attorno a qualsiasi asse è uguale al centro

Appunti delle lezioni di fisica, grado 7

Argomento: Determinazione del baricentro

Insegnante di fisica, Argayash Secondary School No. 2

Khidiyatulina Z.A.

Lavoro di laboratorio:

"Determinazione del baricentro di una lastra piana"

Bersaglio : trovare il baricentro di una lastra piana.

Parte teorica:

Tutti i corpi hanno un centro di gravità. Il baricentro di un corpo è il punto rispetto al quale il momento di gravità totale agente sul corpo è nullo. Ad esempio, se appendi un oggetto per il suo centro di gravità, rimarrà a riposo. Cioè, la sua posizione nello spazio non cambierà (non si girerà sottosopra o su un fianco). Perché alcuni corpi si ribaltano mentre altri no? Se tracci una linea perpendicolare al pavimento dal centro di gravità del corpo, se la linea va oltre i limiti del supporto del corpo, il corpo cadrà. Maggiore è l'area di appoggio, più vicino è il baricentro del corpo al punto centrale dell'area di appoggio e alla linea centrale del baricentro, più stabile sarà la posizione del corpo . Ad esempio, il baricentro della famosa Torre Pendente di Pisa si trova a soli due metri dal centro del suo supporto. E la caduta avverrà solo quando questa deviazione sarà di circa 14 metri. Il centro di gravità del corpo umano si trova a circa 20,23 centimetri sotto l'ombelico. Una linea immaginaria tracciata verticalmente dal centro di gravità passa esattamente tra i piedi. Per una bambola tumbler il segreto sta anche nel baricentro del corpo. La sua stabilità si spiega con il fatto che il baricentro del bicchiere si trova proprio in basso, su cui infatti poggia. La condizione per il mantenimento dell’equilibrio di un corpo è il passaggio dell’asse verticale del suo comune baricentro all’interno della zona di appoggio del corpo. Se il baricentro verticale del corpo abbandona l'area di appoggio, il corpo perde l'equilibrio e cade. Pertanto, maggiore è l'area di appoggio, più vicino si trova il baricentro del corpo al punto centrale dell'area di appoggio e alla linea centrale del baricentro, più stabile è la posizione del il corpo sarà. L'area di appoggio quando una persona è in posizione verticale è limitata dallo spazio che si trova sotto le piante dei piedi e tra i piedi. Il punto centrale della linea verticale del baricentro del piede si trova 5 cm davanti al tubercolo del tallone. L'ampiezza sagittale della zona di appoggio prevale sempre su quella frontale, quindi lo spostamento della linea verticale del baricentro avviene più facilmente a destra e a sinistra che all'indietro, ed è particolarmente difficoltoso in avanti. A questo proposito, la stabilità durante le virate durante la corsa veloce è significativamente inferiore rispetto alla direzione sagittale (avanti o indietro). Un piede con le scarpe, soprattutto con tacco largo e suola dura, è più stabile che senza scarpe, poiché acquisisce un'area di appoggio maggiore.

Parte pratica:

Scopo del lavoro: Utilizzando l'attrezzatura proposta, trovare sperimentalmente la posizione del baricentro di due figure di cartone e un triangolo.

Attrezzatura:Treppiede, cartoncino spesso, triangolo preso da un kit scolastico, righello, nastro adesivo, filo, matita...

Compito 1: determinare la posizione del centro di gravità di una figura piatta di forma arbitraria

Usando le forbici, ritaglia una forma casuale dal cartone. Attacca il filo con del nastro adesivo al punto A. Appendi la figura con il filo alla gamba del treppiede. Usando un righello e una matita, segna la linea verticale AB sul cartone.

Spostare il punto di attacco del filo in posizione C. Ripetere i passaggi precedenti.

Punto O dell'intersezione delle linee AB eCDdà la posizione desiderata del baricentro della figura.

Compito 2: Usando solo un righello e una matita, trova la posizione del centro di gravità di una figura piatta

Usando una matita e un righello, dividi la forma in due rettangoli. Per costruzione, trova le posizioni O1 e O2 dei loro centri di gravità. È ovvio che il centro di gravità dell'intera figura si trova sulla linea O1O2

Dividi la figura in due rettangoli in un altro modo. Per costruzione, trova le posizioni dei centri di gravità O3 e O4 di ciascuno di essi. Collega i punti O3 e O4 con una linea. Il punto di intersezione delle linee O1O2 e O3O4 determina la posizione del centro di gravità della figura

Compito 2: Determina la posizione del centro di gravità del triangolo

Utilizzando del nastro adesivo, fissa un'estremità del filo nella parte superiore del triangolo e appendilo alla gamba del treppiede. Usando un righello, segna la direzione AB della linea di gravità (fai un segno sul lato opposto del triangolo)

Ripeti la stessa procedura, appendendo il triangolo al vertice C. Sul lato opposto del vertice C del triangolo, fai un segnoD.

Usando il nastro, attaccare pezzi di filo AB eCD. Il punto O della loro intersezione determina la posizione del centro di gravità del triangolo. In questo caso il centro di gravità della figura è esterno al corpo stesso.

III . Risolvere problemi di qualità

1.A quale scopo gli artisti circensi tengono in mano dei pali pesanti quando camminano su una corda?

2. Perché una persona che trasporta un carico pesante sulla schiena si sporge in avanti?

3. Perché non puoi alzarti da una sedia se non inclini il corpo in avanti?

4.Perché la gru non si inclina verso il carico sollevato? Perché senza carico la gru non si inclina verso il contrappeso?

5. Perché automobili, biciclette, ecc. È meglio frenare le ruote posteriori piuttosto che quelle anteriori?

6. Perché un camion carico di fieno si ribalta più facilmente rispetto allo stesso camion carico di neve?

Disegna uno schema del sistema e segna su di esso il baricentro. Se il centro di gravità trovato è al di fuori del sistema degli oggetti, hai ricevuto una risposta errata. Potresti aver misurato le distanze da diversi punti di riferimento. Ripeti le misurazioni.

Ad esempio, se i bambini sono seduti su un'altalena, il centro di gravità sarà da qualche parte tra i bambini e non a destra o a sinistra dell'altalena. Inoltre il baricentro non coinciderà mai con il punto dove è seduto il bambino.
Questi argomenti sono validi nello spazio bidimensionale. Disegna un quadrato che conterrà tutti gli oggetti del sistema. Il centro di gravità dovrebbe essere all'interno di questo quadrato.

Controlla i tuoi calcoli se ottieni un piccolo risultato. Se il punto di riferimento si trova a un'estremità del sistema, un risultato piccolo posiziona il baricentro vicino all'estremità del sistema. Questa potrebbe essere la risposta corretta, ma nella stragrande maggioranza dei casi questo risultato indica un errore. Quando hai calcolato i momenti, hai moltiplicato i pesi e le distanze corrispondenti? Se invece di moltiplicare aggiungessi i pesi e le distanze, otterresti un risultato molto più piccolo.

Correggi l'errore se hai trovato più centri di gravità. Ogni sistema ha un solo centro di gravità. Se hai trovato più centri di gravità, molto probabilmente non hai sommato tutti i momenti. Il centro di gravità è uguale al rapporto tra il momento “totale” e il peso “totale”. Non c'è bisogno di dividere “ogni” momento per “ogni” peso: in questo modo troverai la posizione di ogni oggetto.

Controlla il punto di riferimento se la risposta differisce di qualche valore intero. Nel nostro esempio, la risposta è 3,4 m. Supponiamo che tu abbia ottenuto la risposta 0,4 m o 1,4 m, o un altro numero che termina con ".4". Questo perché non hai scelto l'estremità sinistra del tabellone come punto di partenza, ma un punto che si trova completamente a destra. In effetti, la tua risposta è corretta, indipendentemente dal punto di riferimento che scegli! Ricorda solo: il punto di riferimento è sempre nella posizione x = 0. Ecco un esempio:

Nel nostro esempio, il punto di riferimento era all'estremità sinistra del tabellone e abbiamo riscontrato che il centro di gravità era a 3,4 m da questo punto di riferimento.
Se scegli come punto di riferimento un punto che si trova a 1 m a destra dall'estremità sinistra del tabellone, otterrai la risposta 2,4 m, ovvero il baricentro è a 2,4 m dal nuovo punto di riferimento, che , a sua volta, si trova a 1 m dall'estremità sinistra del tabellone. Pertanto il baricentro si trova a una distanza di 2,4 + 1 = 3,4 m dall'estremità sinistra della tavola. Si è rivelata una vecchia risposta!
Nota: quando si misurano le distanze, ricordare che le distanze dal punto di riferimento “sinistro” sono negative e quelle dal punto di riferimento “destra” sono positive.

Misurare le distanze in linea retta. Supponiamo che ci siano due bambini su un'altalena, ma un bambino è molto più alto dell'altro, oppure un bambino è appeso sotto l'asse anziché seduto su di essa. Ignora questa differenza e misura le distanze lungo la linea retta della tavola. Misurare le distanze ad angolo darà risultati vicini ma non del tutto accurati.

Per il problema dell'altalena, ricorda che il centro di gravità si trova tra le estremità destra e sinistra della tavola. Successivamente imparerai a calcolare il baricentro dei sistemi bidimensionali più complessi.

Rettangolo. Poiché un rettangolo ha due assi di simmetria, il suo centro di gravità si trova nell'intersezione degli assi di simmetria, cioè nel punto di intersezione delle diagonali del rettangolo.

Triangolo. Il centro di gravità si trova nel punto di intersezione delle sue mediane. Dalla geometria è noto che le mediane di un triangolo si intersecano in un punto e sono divise in rapporto 1:2 dalla base.

Cerchio. Poiché un cerchio ha due assi di simmetria, il suo centro di gravità si trova nell'intersezione degli assi di simmetria.

Semicerchio. Un semicerchio ha un asse di simmetria, quindi il centro di gravità giace su questo asse. Un'altra coordinata del baricentro è calcolata dalla formula: .

Molti elementi strutturali sono realizzati con prodotti laminati standard: angolari, travi a I, canali e altri. Tutte le dimensioni, così come le caratteristiche geometriche dei profili laminati, sono dati tabellari che possono essere trovati nella letteratura di riferimento nelle tabelle di assortimento normale (GOST 8239-89, GOST 8240-89).

Esempio 1. Determinare la posizione del baricentro della figura mostrata in figura.

Soluzione:

Selezioniamo gli assi delle coordinate in modo che l'asse Ox corra lungo la dimensione complessiva più in basso e l'asse Oy vada lungo la dimensione complessiva più a sinistra.

Suddividiamo una figura complessa in un numero minimo di figure semplici:

rettangolo 20x10;

triangolo 15x10;

cerchio R=3 cm.

Calcoliamo l'area di ogni figura semplice e le sue coordinate del baricentro. I risultati del calcolo vengono inseriti nella tabella

Figura n.	Area della figura A,	Coordinate del baricentro
Figura n.	Area della figura A,

Risposta: C(14,5; 4,5)

Esempio 2 . Determinare le coordinate del baricentro di una sezione composita costituita da una lamiera e da profilati laminati.

Soluzione.

Selezioniamo gli assi delle coordinate come mostrato in figura.

Designiamo le cifre con i numeri e scriviamo i dati necessari dalla tabella:

Figura n.	Area della figura A,	Coordinate del baricentro
Figura n.	Area della figura A,

Calcoliamo le coordinate del baricentro della figura utilizzando le formule:

Risposta: C(0; 10)

Lavoro di laboratorio n. 1 “Determinazione del baricentro delle figure piatte composite”

Bersaglio: Determina il centro di gravità di una data figura complessa piatta utilizzando metodi sperimentali e analitici e confronta i loro risultati.

Ordine di lavoro

Disegna la tua figura piatta sui tuoi quaderni in dimensioni, indicando gli assi delle coordinate.

Determinare analiticamente il centro di gravità.

Dividere la figura nel numero minimo di figure di cui sappiamo determinare il baricentro.
Indicare i numeri dell'area e le coordinate del baricentro di ciascuna figura.
Calcola le coordinate del baricentro di ciascuna figura.
Calcola l'area di ciascuna figura.
Calcola le coordinate del baricentro dell'intera figura utilizzando le formule (la posizione del baricentro è tracciata sul disegno della figura):

L'installazione per determinare sperimentalmente le coordinate del baricentro utilizzando il metodo sospeso è costituita da un supporto verticale 1 (vedi figura) a cui è attaccato l'ago 2 . Figura piatta 3 Realizzato in cartone, facile da forare. Fori UN E IN forati in punti posizionati casualmente (preferibilmente alla massima distanza l'uno dall'altro). Una figura piatta è sospesa su un ago, prima in un punto UN , e poi al punto IN . Utilizzando un filo a piombo 4 , attaccato allo stesso ago, tracciare una linea verticale sulla figura con una matita corrispondente al filo del filo a piombo. Centro di gravità CON la figura si troverà nel punto di intersezione delle linee verticali tracciate quando si appenderà la figura nei punti UN E IN .