Trovare la funzione inversa di un dato. Funzioni inverse: definizione e proprietà. Nota sulla registrazione
Siano inclusi gli insiemi $X$ e $Y$ nell'insieme dei numeri reali. Introduciamo il concetto di funzione invertibile.
Definizione 1
Una funzione $f:X\to Y$ che mappa un insieme $X$ in un insieme $Y$ è detta invertibile se per qualsiasi elemento $x_1,x_2\in X$, dal fatto che $x_1\ne x_2$ ne consegue che $f(x_1 )\ne f(x_2)$.
Ora possiamo introdurre il concetto di funzione inversa.
Definizione 2
Sia invertibile la funzione $f:X\to Y$ che mappa l'insieme $X$ nell'insieme $Y$. Quindi la funzione $f^(-1):Y\to X$ che mappa l'insieme $Y$ nell'insieme $X$ definito dalla condizione $f^(-1)\left(y\right)=x$ è detta inversa per $f( x)$.
Formuliamo il teorema:
Teorema 1
Sia definita la funzione $y=f(x)$, monotonicamente crescente (diminuente) e continua in qualche intervallo $X$. Quindi nell'intervallo $Y$ corrispondente dei valori di questa funzione ha una funzione inversa, che aumenta (diminuisce) anche monotonicamente ed è continua sull'intervallo $Y$.
Introduciamo ora direttamente il concetto di funzioni mutuamente inverse.
Definizione 3
Nell'ambito della Definizione 2, le funzioni $f(x)$ e $f^(-1)\left(y\right)$ sono chiamate funzioni reciprocamente inverse.
Proprietà delle funzioni mutuamente inverse
Siano allora le funzioni $y=f(x)$ e $x=g(y)$ reciprocamente inverse
$y=f(g\sinistra(y\destra))$ e $x=g(f(x))$
Il dominio di definizione della funzione $y=f(x)$ è uguale al dominio di valore della funzione $\ x=g(y)$. E il dominio di definizione della funzione $x=g(y)$ è uguale al dominio di valore della funzione $\ y=f(x)$.
I grafici delle funzioni $y=f(x)$ e $x=g(y)$ sono simmetrici rispetto alla retta $y=x$.
Se una delle funzioni aumenta (diminuisce), anche l'altra funzione aumenta (diminuisce).
Trovare la Funzione Inversa
L'equazione $y=f(x)$ è risolta rispetto alla variabile $x$.
Dalle radici ottenute si trovano quelle che appartengono all'intervallo $X$.
I $x$ trovati corrispondono al numero $y$.
Esempio 1
Trova la funzione inversa della funzione $y=x^2$ sull'intervallo $X=[-1,0]$
Poiché questa funzione è decrescente e continua sull'intervallo $X$, allora sull'intervallo $Y=$, anch'esso decrescente e continuo su questo intervallo (Teorema 1).
Calcoliamo $x$:
\ \
Seleziona $x$ adatti:
Risposta: funzione inversa $y=-\sqrt(x)$.
Problemi nel trovare funzioni inverse
In questa parte considereremo per alcune funzioni inverse funzioni elementari. Risolveremo i problemi secondo lo schema sopra riportato.
Esempio 2
Trova la funzione inversa per la funzione $y=x+4$
Troviamo $x$ dall'equazione $y=x+4$:
Esempio 3
Trova la funzione inversa per la funzione $y=x^3$
Soluzione.
Poiché la funzione è crescente e continua nell'intero dominio della definizione, allora, secondo il Teorema 1, ha su di sé una funzione inversa continua e crescente.
Troviamo $x$ dall'equazione $y=x^3$:
Trovare valori adatti di $x$
Il valore è adatto nel nostro caso (poiché il dominio di definizione è composto da tutti i numeri)
Ridefiniamo le variabili, otteniamo che la funzione inversa ha la forma
Esempio 4
Trova la funzione inversa per la funzione $y=cosx$ sull'intervallo $$
Soluzione.
Consideriamo la funzione $y=cosx$ sull'insieme $X=\left$. È continua e decrescente sull'insieme $X$ e mappa l'insieme $X=\left$ sull'insieme $Y=[-1,1]$, quindi, per il teorema sull'esistenza di una funzione monotona continua inversa, la funzione $y=cosx$ nell'insieme $ Y$ esiste una funzione inversa, anch'essa continua e crescente nell'insieme $Y=[-1,1]$ e mappa l'insieme $[-1,1]$ all'insieme $\left$.
Troviamo $x$ dall'equazione $y=cosx$:
Trovare valori adatti di $x$
Ridefiniamo le variabili, otteniamo che la funzione inversa ha la forma
Esempio 5
Trova la funzione inversa per la funzione $y=tgx$ sull'intervallo $\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$.
Soluzione.
Consideriamo la funzione $y=tgx$ sull'insieme $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$. È continua e crescente sull'insieme $X$ e mappa l'insieme $X=\left(-\frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$ sull'insieme $Y =R$, quindi, per il teorema sull'esistenza di una funzione monotona continua inversa, la funzione $y=tgx$ nell'insieme $Y$ ha una funzione inversa, anch'essa continua e crescente nell'insieme $Y=R $ e mappa l'insieme $R$ sull'insieme $\left(- \frac(\pi )(2),\frac(\pi )(2)\right)$
E(y) =
y(-x) = arccos(-x) = π - arccos x – la funzione non è né pari né dispari.
arccos x = 0 in x = 1
arcocos x > 0 con x є [-1;1)
Troviamo $x$ dall'equazione $y=tgx$:
Trovare valori adatti di $x$
Ridefiniamo le variabili, otteniamo che la funzione inversa ha la forma
2.Teoria delle funzioni inverse
Funzioni trigonometriche inverse
Definizione di funzione inversa
Definizione. Se una funzione f(x) definisce una corrispondenza biunivoca tra il suo dominio X e il suo dominio Y (in altre parole, se a valori diversi dell'argomento corrispondono valori diversi della funzione), allora la si dice che abbia la funzione f(x). funzione inversa o cosa funzioneF(X) è reversibile.
Definizione. La funzione inversa è una regola che dice ogni numero Aє U corrisponde al numero Xє X e y=f(x). Dominio inverso
una funzione è un insieme Y, l'intervallo di valori è X.
Teorema della radice. Lascia che la funzione f aumenti (o diminuisca) sull'intervallo I, il numero a è uno qualsiasi dei valori accettati da f su questo intervallo. Allora l'equazione f(x)=a ha una radice singola nell'intervallo I.
Prova. Consideriamo una funzione f crescente (nel caso di una funzione decrescente il ragionamento è simile). Per condizione, nell'intervallo I esiste un numero b tale che f(b)=a. Mostriamo che b è l'unica radice dell'equazione f(x)=a.
Supponiamo che ci sia un altro numero nell'intervallo I c≠
b, tale che f(c)=a. Poi o con
Teorema della funzione inversa. Se una funzione f aumenta (o diminuisce) nell'intervallo I, allora è invertibile. Anche la funzione g, inversa a f, definita nell'intervallo di valori di f è crescente (rispettivamente decrescente).
Prova. Per chiarezza, supponiamo che la funzione f sia crescente. L'invertibilità della funzione f è un'ovvia conseguenza del teorema della radice. Resta quindi da dimostrare che la funzione g, inversa a f, è crescente sull'insieme E(f).
Siano x 1 e x 2 valori arbitrari di E(f), tali che x 2 > x 1 e siano y 1 = g (x 1), y 2 = g ( x2 ). Per definizione della funzione inversa, x 1 = f(y 1) e x 2 = f(y 2).
Usando la condizione che f sia una funzione crescente, troviamo che l'ipotesi y 1≥ y 2 porta alla conclusione f(y 1) > f(y 2), cioè x 1 > x 2. Questo
contraddice l'ipotesi x 2 > x 1 Pertanto, y 1 > y 2, cioè dalla condizione x 2 > x 1 segue che g(x 2)> g(x 1). Q.E.D.
La funzione originaria e la sua inversa sono reciprocamente inversione.
Grafici di funzioni mutuamente inverse
Teorema. I grafici delle funzioni mutuamente inverse sono simmetrici rispetto alla retta y=x.
Prova. Notiamo che dal grafico della funzione f possiamo trovare valore numerico funzione g inversa a f in un punto arbitrario a. Per fare ciò, è necessario prendere un punto con una coordinata non sull'asse orizzontale (come di solito si fa), ma su quello verticale. Dalla definizione della funzione inversa segue che il valore di g(a) è uguale a b.
Per rappresentare il grafico di g nel consueto sistema di coordinate è necessario visualizzare il grafico di f relativo alla retta y=x.
Algoritmo per comporre la funzione inversa per la funzione y=f(x), X
X.
1. Assicurati che la funzione y=f(x) sia invertibile su X.
2. Dall'equazione y=f(x) x esprimere tramite y, tenendo conto che x є X .
Z. Nell'uguaglianza risultante, scambia xey.
2.2.Definizione, proprietà e grafici della trigonometria inversa
funzioni
arcoseno
La funzione seno aumenta sul segmento 
e assume tutti i valori da -1 a 1. Pertanto, per il teorema della radice, per qualsiasi numero a tale che 
, nell'intervallo c'è un'unica radice dell'equazione sin x = a. Questo numero è chiamato arcoseno del numero a ed è indicato con arcoseno a.
Definizione. L'arcoseno di un numero a, dove , è un numero di un segmento il cui seno è uguale ad a.
Proprietà.
D(y) = [ -1;1 ]
E(y) = [-π/2;π/2]
y (-x) = arcosen(-x) = - arcosen x – funzione strana, il grafico è simmetrico rispetto al punto O(0;0).
arcoseno x = 0 in x = 0.
arcoseno x > 0 con x є (0;1]
arcoseno x< 0 при х є [-1;0)
y = arcosen x aumenta per ogni x є [-1;1]
1 ≤ x 1< х 2 ≤ 1 <=>arcoseno x 1< arcsin х 2 – функция возрастающая.
arco coseno
La funzione coseno decresce sul segmento e assume tutti i valori da -1 a 1. Pertanto, per qualsiasi numero a tale che |a|1, sul segmento esiste un'unica radice dell'equazione cosx=a. Questo numero b è chiamato arcocoseno del numero a e si indica con arcos a.
Definizione . L'arcocoseno di un numero a, dove -1 a 1, è un numero del segmento il cui coseno è uguale ad a.
Proprietà.
arccos x< 0 – нет решений
y = arcocos x diminuisce per ogni x є [-1;1]
1 ≤ x 1< х 2 ≤ 1 <=>arcsin x 1 ≥ arcsin x 2 – decrescente.
Arcotangente
La funzione tangente aumenta sul segmento - 
Pertanto, per il teorema della radice, l'equazione tgx=a, dove a è un numero reale qualsiasi, ha un'unica radice x sull'intervallo -. Questa radice è chiamata arcotangente del numero a ed è denotata arctga.
Definizione. Arcotangente del numero UNR questo numero è chiamato x , la cui tangente è uguale ad a.
Proprietà.
E(y) = (-π/2;π/2)
y(-x) = y = arctg(-x) = - arctg x – la funzione è dispari, il grafico è simmetrico rispetto al punto O(0;0).
arctg x = 0 in x = 0
La funzione aumenta per ogni x є R
-∞ < х 1 < х 2 < +∞ <=>arcog x 1< arctg х 2
Arcotangente
La funzione cotangente sull'intervallo (0;) diminuisce e assume tutti i valori da R. Pertanto, per qualsiasi numero a nell'intervallo (0;) esiste una radice unica dell'equazione cotg x = a. Questo numero a è chiamato arcotangente del numero a ed è indicato con arcctg a.
Definizione. L'arco cotangente di un numero a, dove a R, è un numero dell'intervallo (0;) , la cui cotangente è uguale ad a.
Proprietà.
E(y) = (0;π)
y(-x) = arcctg(-x) = π - arcctg x – la funzione non è né pari né dispari.
arcoctg x = 0– non esiste.
Funzione y = arco x diminuisce per qualsiasi x є R
-∞ < х 1 < х 2 < + ∞ <=>arcctg x 1 > arcctg x 2
La funzione è continua per ogni x є R.
2.3 Trasformazioni identiche di espressioni contenenti funzioni trigonometriche inverse
Esempio 1. Semplifica l'espressione:
UN) 
Dove 
Soluzione. Mettiamo 
. Poi 
E 
Per trovare 
, usiamo la relazione 
Otteniamo 
Ma . In questo segmento il coseno assume solo valori positivi. Così, 
, cioè dove 
.
B) 
Soluzione.
Soluzione. Mettiamo 
. Poi 
E 
Troviamo prima, per il quale usiamo la formula 
, Dove 
Poiché in questo intervallo il coseno assume solo valori positivi, allora 
.
Espressioni corrispondenti che si invertono. Per capire cosa significa, vale la pena considerare esempio concreto. Diciamo che abbiamo y = cos(x). Se prendi il coseno dall'argomento, puoi trovare il valore di y. Ovviamente, per questo è necessario avere X. Ma cosa succederebbe se il gioco fosse stato inizialmente regalato? È qui che si arriva al nocciolo della questione. Per risolvere il problema è necessario utilizzare la funzione inversa. Nel nostro caso è l'arcocoseno.
Dopo tutte le trasformazioni otteniamo: x = arccos(y).
Cioè, per trovare una funzione inversa a una data, è sufficiente esprimere semplicemente un argomento da essa. Ma questo funziona solo se il risultato risultante ha un unico significato (ne parleremo più avanti).
In termini generali, questo fatto può essere scritto come segue: f(x) = y, g(y) = x.
Definizione
Sia f una funzione il cui dominio è l'insieme X e il cui dominio è l'insieme Y. Allora, se esiste una g i cui domini svolgono compiti opposti, allora f è invertibile.
Inoltre, in questo caso g è unico, il che significa che esiste esattamente una funzione che soddisfa questa proprietà (né più né meno). Allora si chiama funzione inversa, e per iscritto si denota come segue: g(x) = f -1 (x).
In altre parole, possono essere pensati come una relazione binaria. La reversibilità si verifica solo quando un elemento dell'insieme corrisponde a un valore di un altro.
La funzione inversa non esiste sempre. Per fare ciò, ogni elemento y є Y deve corrispondere al più a un x є X. Allora f è detta biunivoca o iniezione. Se f -1 appartiene a Y, allora ogni elemento di questo insieme deve corrispondere a qualche x ∈ X. Le funzioni con questa proprietà sono chiamate suriezioni. Vale per definizione se Y è un'immagine di f, ma non è sempre così. Per essere inversa, una funzione deve essere sia un'iniezione che una suriezione. Tali espressioni sono chiamate biiezioni.
Esempio: funzioni quadrata e radice
La funzione è definita su )
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