Trovare il minimo comune multiplo: metodi, esempi per trovare MCM. Trovare il minimo comune multiplo: metodi, esempi per trovare MCM Come trovare il minimo comune multiplo dei numeri

Continuiamo la conversazione sul minimo comune multiplo, che abbiamo iniziato nella sezione "LCM - minimo comune multiplo, definizione, esempi". In questo argomento esamineremo i modi per trovare l'LCM di tre o più numeri e esamineremo la questione su come trovare l'LCM di un numero negativo.

Calcolo del minimo comune multiplo (LCM) tramite GCD

Abbiamo già stabilito la relazione tra il minimo comune multiplo e il massimo comun divisore. Ora impariamo come determinare l'LCM tramite GCD. Per prima cosa, scopriamo come farlo numeri positivi.

Definizione 1

Trova il minimo comune multiplo attraverso il massimo divisore comune può essere fatto utilizzando la formula MCM (a , b) = a · b: MCD (a , b) .

Esempio 1

Devi trovare l'LCM dei numeri 126 e 70.

Soluzione

Prendiamo a = 126, b = 70. Sostituiamo i valori nella formula per calcolare il minimo comune multiplo attraverso il massimo comun divisore MCM (a, b) = a · b: MCD (a, b) .

Trova il mcd dei numeri 70 e 126. Per questo abbiamo bisogno dell'algoritmo euclideo: 126 = 70 1 + 56, 70 = 56 1 + 14, 56 = 14 4, quindi MCD (126 , 70) = 14 .

Calcoliamo il LCM: LCD (126, 70) = 126 70: GCD (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Risposta: MCM(126, 70) = 630.

Esempio 2

Trova il numero 68 e 34.

Soluzione

GCD dentro in questo caso Questo non è difficile, poiché 68 è divisibile per 34. Calcoliamo il minimo comune multiplo utilizzando la formula: MCM (68, 34) = 68 34: MCD (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Risposta: MCM(68, 34) = 68.

In questo esempio, abbiamo utilizzato la regola per trovare il minimo comune multiplo degli interi positivi a e b: se il primo numero è divisibile per il secondo, il MCM di quei numeri sarà uguale al primo numero.

Trovare il LCM fattorizzando i numeri in fattori primi

Ora diamo un'occhiata al metodo per trovare l'LCM, che si basa sulla fattorizzazione dei numeri in fattori primi.

Definizione 2

Per trovare il minimo comune multiplo dobbiamo eseguire alcuni semplici passaggi:

• componiamo il prodotto di tutti i fattori primi dei numeri per i quali dobbiamo trovare il MCM;
• escludiamo tutti i fattori primi dai loro prodotti risultanti;
• il prodotto ottenuto dopo aver eliminato i fattori primi comuni sarà uguale al MCM dei numeri dati.

Questo metodo per trovare il minimo comune multiplo si basa sull'uguaglianza MCM (a, b) = a · b: MCD (a, b). Se guardi la formula, diventerà chiaro: il prodotto dei numeri aeb è uguale al prodotto di tutti i fattori che partecipano alla scomposizione di questi due numeri. In questo caso, il MCD di due numeri è uguale al prodotto di tutti i fattori primi presenti contemporaneamente nella fattorizzazione di questi due numeri.

Esempio 3

Abbiamo due numeri 75 e 210. Possiamo fattorizzarli come segue: 75 = 3 5 5 E 210 = 2 3 5 7. Se componi il prodotto di tutti i fattori dei due numeri originali, ottieni: 2 3 3 5 5 5 7.

Se escludiamo i fattori comuni ai numeri 3 e 5, otteniamo un prodotto della forma seguente: 2 3 5 5 7 = 1050. Questo prodotto sarà il nostro LCM per i numeri 75 e 210.

Esempio 4

Trova il LCM dei numeri 441 E 700 , fattorizzando entrambi i numeri in fattori primi.

Soluzione

Troviamo tutti i fattori primi dei numeri indicati nella condizione:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Otteniamo due catene di numeri: 441 = 3 3 7 7 e 700 = 2 2 5 5 7.

Il prodotto di tutti i fattori che hanno partecipato alla scomposizione di questi numeri avrà la forma: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Troviamo i fattori comuni. Questo è il numero 7. Escludiamolo dal prodotto totale: 2 2 3 3 5 5 7 7. Si scopre che NOC (441, 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Risposta: LOC(441, 700) = 44.100.

Diamo un'altra formulazione del metodo per trovare il MCM scomponendo i numeri in fattori primi.

Definizione 3

In precedenza, abbiamo escluso dal numero totale i fattori comuni a entrambi i numeri. Ora lo faremo diversamente:

• Scomponiamo entrambi i numeri in fattori primi:
• aggiungi al prodotto dei fattori primi del primo numero i fattori mancanti del secondo numero;
• otteniamo il prodotto, che sarà il MCM desiderato di due numeri.

Esempio 5

Torniamo ai numeri 75 e 210, per i quali abbiamo già cercato l'LCM in uno degli esempi precedenti. Suddividiamoli in semplici fattori: 75 = 3 5 5 E 210 = 2 3 5 7. Al prodotto dei fattori 3, 5 e 5 i numeri 75 aggiungono i fattori mancanti 2 E 7 numeri 210. Noi abbiamo: 2 · 3 · 5 · 5 · 7 . Questo è il LCM dei numeri 75 e 210.

Esempio 6

È necessario calcolare il LCM dei numeri 84 e 648.

Soluzione

Scomponiamo i numeri della condizione in fattori semplici: 84 = 2 2 3 7 E 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Aggiungiamo al prodotto i fattori 2, 2, 3 e 7 numeri 84 fattori mancanti 2, 3, 3 e
3 numeri 648. Otteniamo il prodotto 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536. Questo è il minimo comune multiplo tra 84 e 648.

Risposta: VLCM(84, 648) = 4.536.

Trovare il MCM di tre o più numeri

Indipendentemente dal numero di numeri con cui abbiamo a che fare, l'algoritmo delle nostre azioni sarà sempre lo stesso: troveremo in sequenza il MCM di due numeri. C'è un teorema per questo caso.

Teorema 1

Supponiamo di avere numeri interi un 1 , un 2 , ... , un k. NOC m k questi numeri si trovano calcolando in sequenza m 2 = LCM (a 1, a 2), m 3 = LCM (m 2, a 3), ..., m k = LCM (m k − 1, a k).

Vediamo ora come applicare il teorema per risolvere problemi specifici.

Esempio 7

Devi calcolare il minimo comune multiplo di quattro numeri 140, 9, 54 e 250 .

Soluzione

Introduciamo la notazione: a 1 = 140, a 2 = 9, a 3 = 54, a 4 = 250.

Cominciamo calcolando m 2 = LCM (a 1 , a 2) = LCM (140, 9). Applichiamo l'algoritmo euclideo per calcolare il MCD dei numeri 140 e 9: 140 = 9 15 + 5, 9 = 5 1 + 4, 5 = 4 1 + 1, 4 = 1 4. Otteniamo: MCD (140, 9) = 1, MCD (140, 9) = 140 9: MCD (140, 9) = 140 9: 1 = 1.260. Pertanto, m2 = 1.260.

Ora calcoliamo utilizzando lo stesso algoritmo m 3 = LCM (m 2 , a 3) = LCM (1 260, 54). Durante i calcoli otteniamo m 3 = 3 780.

Non ci resta che calcolare m 4 = LCM (m 3 , a 4) = LCM (3 780, 250). Seguiamo lo stesso algoritmo. Otteniamo m 4 = 94 500.

L'LCM dei quattro numeri della condizione di esempio è 94500.

Risposta: NOC (140, 9, 54, 250) = 94.500.

Come puoi vedere, i calcoli sono semplici, ma piuttosto laboriosi. Per risparmiare tempo, puoi andare in un altro modo.

Definizione 4

Ti offriamo il seguente algoritmo di azioni:

• scomponiamo tutti i numeri in fattori primi;
• al prodotto dei fattori del primo numero aggiungiamo i fattori mancanti dal prodotto del secondo numero;
• al prodotto ottenuto nella fase precedente aggiungiamo i fattori mancanti del terzo numero, ecc.;
• il prodotto risultante sarà il minimo comune multiplo di tutti i numeri della condizione.

Esempio 8

Devi trovare l'LCM di cinque numeri 84, 6, 48, 7, 143.

Soluzione

Scomponiamo tutti e cinque i numeri in fattori primi: 84 = 2 2 3 7, 6 = 2 3, 48 = 2 2 2 2 3, 7, 143 = 11 13. I numeri primi, ovvero il numero 7, non possono essere scomposti in fattori primi. Tali numeri coincidono con la loro scomposizione in fattori primi.

Ora prendiamo il prodotto dei fattori primi 2, 2, 3 e 7 del numero 84 e aggiungiamo ad essi i fattori mancanti del secondo numero. Abbiamo scomposto il numero 6 in 2 e 3. Questi fattori sono già nel prodotto del primo numero. Pertanto li omettiamo.

Continuiamo ad aggiungere i moltiplicatori mancanti. Passiamo al numero 48, dal prodotto dei cui fattori primi prendiamo 2 e 2. Poi aggiungiamo il fattore primo di 7 del quarto numero e i divisori di 11 e 13 del quinto. Otteniamo: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. Questo è il minimo comune multiplo dei cinque numeri originali.

Risposta: VLCM(84, 6, 48, 7, 143) = 48.048.

Trovare il minimo comune multiplo dei numeri negativi

Per trovare il minimo comune multiplo numeri negativi, questi numeri devono prima essere sostituiti con numeri con segno opposto, quindi i calcoli devono essere eseguiti utilizzando gli algoritmi di cui sopra.

Esempio 9

VMC (54, − 34) = VMC (54, 34) e VMC (− 622, − 46, − 54, − 888) = VMC (622, 46, 54, 888).

Tali azioni sono consentite perché se lo accettiamo UN E − a– numeri opposti,
quindi l'insieme dei multipli di un numero UN corrisponde all'insieme dei multipli di un numero − a.

Esempio 10

È necessario calcolare il LCM dei numeri negativi − 145 E − 45 .

Soluzione

Sostituiamo i numeri − 145 E − 45 ai loro numeri opposti 145 E 45 . Ora, utilizzando l'algoritmo, calcoliamo il MCM (145, 45) = 145 · 45: MCD (145, 45) = 145 · 45: 5 = 1.305, avendo precedentemente determinato il MCD utilizzando l'algoritmo euclideo.

Otteniamo che il LCM dei numeri è − 145 e − 45 equivale 1 305 .

Risposta: LCM (-145, -45) = 1.305.

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Per capire come calcolare il LCM è necessario innanzitutto determinare il significato del termine “multiplo”.

Un multiplo di A è un numero naturale divisibile per A senza resto, quindi i numeri multipli di 5 possono essere considerati 15, 20, 25 e così via.

Può esserci un numero limitato di divisori di un particolare numero, ma esiste un numero infinito di multipli.

Un multiplo comune dei numeri naturali è un numero divisibile per essi senza lasciare resto.

Come trovare il minimo comune multiplo dei numeri

Il minimo comune multiplo (MCM) dei numeri (due, tre o più) è il più piccolo numero naturale divisibile per tutti questi numeri.

Per trovare il LOC, puoi utilizzare diversi metodi.

Per i numeri piccoli è conveniente scrivere tutti i multipli di questi numeri su una riga finché non si trova qualcosa in comune tra loro. I multipli si indicano con la lettera maiuscola K.

Ad esempio, i multipli di 4 possono essere scritti in questo modo:

K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)

K (6) = (12, 18, 24, ...)

Pertanto, puoi vedere che il minimo comune multiplo dei numeri 4 e 6 è il numero 24. Questa notazione viene eseguita come segue:

MCM(4, 6) = 24

Se i numeri sono grandi, trova il multiplo comune di tre o più numeri, quindi è meglio utilizzare un altro metodo per calcolare l'LCM.

Per completare l'attività, è necessario scomporre i numeri indicati in fattori primi.

Per prima cosa devi scrivere la scomposizione del numero più grande su una riga e, sotto di essa, il resto.

La scomposizione di ciascun numero può contenere un numero diverso di fattori.

Ad esempio, scomponiamo in fattori primi i numeri 50 e 20.

Nell'espansione del numero più piccolo, dovresti evidenziare i fattori che mancano nell'espansione del primo numero più grande, e poi aggiungerli ad esso. Nell'esempio presentato manca il due.

Ora puoi calcolare il minimo comune multiplo di 20 e 50.

MCM(20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100

Pertanto, il prodotto dei fattori primi del numero più grande e dei fattori del secondo numero che non sono stati inclusi nell'espansione del numero più grande sarà il minimo comune multiplo.

Per trovare il MCM di tre o più numeri, dovresti scomporli tutti in fattori primi, come nel caso precedente.

Ad esempio, puoi trovare il minimo comune multiplo dei numeri 16, 24, 36.

36 = 2 * 2 * 3 * 3

24 = 2 * 2 * 2 * 3

16 = 2 * 2 * 2 * 2

Pertanto, solo due due dell'espansione di sedici non sono stati inclusi nella fattorizzazione di un numero maggiore (uno è nell'espansione di ventiquattro).

Pertanto, devono essere aggiunti all'espansione di un numero maggiore.

MCM(12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9

Esistono casi particolari di determinazione del minimo comune multiplo. Quindi, se uno dei numeri può essere diviso senza resto per un altro, il più grande di questi numeri sarà il minimo comune multiplo.

Ad esempio, il LCM di dodici e ventiquattro è ventiquattro.

Se è necessario trovare il minimo comune multiplo di numeri coprimi che non hanno divisori identici, il loro MCM sarà uguale al loro prodotto.

Ad esempio, MCM (10, 11) = 110.

Diamo un'occhiata a tre modi per trovare il minimo comune multiplo.

Determinazione tramite fattorizzazione

Il primo metodo consiste nel trovare il minimo comune multiplo scomponendo i numeri dati in fattori primi.

Diciamo che dobbiamo trovare il MCM dei numeri: 99, 30 e 28. Per fare ciò, fattorizziamo ciascuno di questi numeri in fattori primi:

Affinché il numero desiderato sia divisibile per 99, 30 e 28, è necessario e sufficiente che includa tutti i fattori primi di questi divisori. Per fare ciò, dobbiamo prendere tutti i fattori primi di questi numeri alla massima potenza possibile e moltiplicarli tra loro:

2 2 3 2 5 7 11 = 13.860

Pertanto, MCM (99, 30, 28) = 13 860. Nessun altro numero inferiore a 13 860 è divisibile per 99, 30 o 28.

Per trovare il minimo comune multiplo di determinati numeri, li scomponi nei loro fattori primi, quindi prendi ciascun fattore primo con l'esponente più grande in cui appare e moltiplica questi fattori insieme.

Poiché i numeri relativamente primi non hanno fattori primi comuni, il loro minimo comune multiplo è uguale al prodotto di questi numeri. Ad esempio, tre numeri: 20, 49 e 33 sono primi tra loro. Ecco perché

MCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32.340.

Lo stesso deve essere fatto quando si trova il minimo comune multiplo di diversi numeri primi. Ad esempio, MCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Trovare per selezione

Il secondo metodo consiste nel trovare il minimo comune multiplo mediante selezione.

Esempio 1. Quando il più grande dei numeri dati viene diviso per un altro numero dato, il MCM di questi numeri è uguale al più grande di essi. Ad esempio, dati quattro numeri: 60, 30, 10 e 6. Ciascuno di essi è divisibile per 60, quindi:

MCM(60, 30, 10, 6) = 60

Negli altri casi, per trovare il minimo comune multiplo, si utilizza la seguente procedura:

1. Determina il numero più grande dai numeri dati.
2. Successivamente, troviamo i numeri che sono multipli del numero più grande moltiplicandolo per numeri interi in ordine crescente e controllando se i numeri rimanenti sono divisibili per il prodotto risultante.

Esempio 2. Dati tre numeri 24, 3 e 18. Determiniamo il più grande: questo è il numero 24. Successivamente, troviamo i numeri che sono multipli di 24, controllando se ciascuno di essi è divisibile per 18 e 3:

24 · 1 = 24 - divisibile per 3, ma non divisibile per 18.

24 · 2 = 48 - divisibile per 3, ma non divisibile per 18.

24 · 3 = 72 - divisibile per 3 e 18.

Pertanto, MCM (24, 3, 18) = 72.

Trovare trovando in sequenza l'LCM

Il terzo metodo consiste nel trovare il minimo comune multiplo trovando sequenzialmente l'LCM.

Il MCM di due numeri dati è uguale al prodotto di questi numeri diviso per il loro massimo comun divisore.

Esempio 1. Trova il MCM di due numeri dati: 12 e 8. Determina il loro massimo comun divisore: MCD (12, 8) = 4. Moltiplica questi numeri:

Dividiamo il prodotto per il loro MCD:

Pertanto, MCM (12, 8) = 24.

Per trovare il MCM di tre o più numeri, utilizzare la seguente procedura:

1. Per prima cosa, trova il MCM di due qualsiasi di questi numeri.
2. Quindi, MCM del minimo comune multiplo trovato e del terzo numero indicato.
3. Quindi, il MCM del minimo comune multiplo risultante e del quarto numero, ecc.
4. Pertanto, la ricerca di LCM continua finché ci sono numeri.

Esempio 2. Troviamo il MCM di tre numeri dati: 12, 8 e 9. Abbiamo già trovato il MCM dei numeri 12 e 8 nell'esempio precedente (questo è il numero 24). Resta da trovare il minimo comune multiplo del numero 24 e il terzo numero dato - 9. Determina il loro massimo comun divisore: MCD (24, 9) = 3. Moltiplica il MCM per il numero 9:

Dividiamo il prodotto per il loro MCD:

Pertanto, MCM (12, 8, 9) = 72.

Un multiplo è un numero divisibile per un dato numero senza resto. Il minimo comune multiplo (LCM) di un gruppo di numeri è il numero più piccolo divisibile per ciascun numero del gruppo senza lasciare resto. Per trovare il minimo comune multiplo è necessario trovare i fattori primi di determinati numeri. L'LCM può anche essere calcolato utilizzando una serie di altri metodi che si applicano a gruppi di due o più numeri.

Passi

Serie di multipli

Guarda questi numeri. Il metodo qui descritto viene utilizzato al meglio quando vengono forniti due numeri, ciascuno dei quali è inferiore a 10. Se vengono forniti numeri più grandi, utilizzare un metodo diverso.

• Ad esempio, trova il minimo comune multiplo di 5 e 8. Questi sono numeri piccoli, quindi puoi utilizzare questo metodo.

1. Un multiplo è un numero divisibile per un dato numero senza resto. I multipli si trovano nella tavola pitagorica.

   • Ad esempio, i numeri multipli di 5 sono: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Scrivi una serie di numeri multipli del primo numero. Fallo sotto i multipli del primo numero per confrontare due serie di numeri.

   • Ad esempio, i numeri multipli di 8 sono: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 e 64.

3. Trova il numero più piccolo presente in entrambi gli insiemi di multipli. Potrebbe essere necessario scrivere lunghe serie di multipli per trovare il numero totale. Il numero più piccolo presente in entrambi gli insiemi di multipli è il minimo comune multiplo.

   • Ad esempio, il numero più piccolo che appare nella serie dei multipli di 5 e 8 è il numero 40. Pertanto, 40 è il minimo comune multiplo di 5 e 8.

   fattorizzazione in numeri primi

   1. Guarda questi numeri. Il metodo qui descritto viene utilizzato al meglio quando vengono forniti due numeri, ciascuno dei quali è maggiore di 10. Se vengono forniti numeri più piccoli, utilizzare un metodo diverso.

      • Ad esempio, trova il minimo comune multiplo dei numeri 20 e 84. Ciascun numero è maggiore di 10, quindi puoi utilizzare questo metodo.

   2. Fattorizzare in fattori primi primo numero. Cioè, devi trovare numeri primi che, una volta moltiplicati, daranno come risultato un determinato numero. Una volta trovati i fattori primi, scrivili come uguaglianze.

      Fattorizza il secondo numero in fattori primi. Fallo nello stesso modo in cui hai scomposto il primo numero, cioè trova i numeri primi che, una volta moltiplicati, produrranno il numero dato.

      Scrivi i fattori comuni a entrambi i numeri. Scrivi tali fattori come un'operazione di moltiplicazione. Mentre scrivi ciascun fattore, cancellalo in entrambe le espressioni (espressioni che descrivono la fattorizzazione dei numeri in fattori primi).

      Aggiungi i restanti fattori all'operazione di moltiplicazione. Si tratta di fattori che non vengono cancellati in entrambe le espressioni, cioè di fattori che non sono comuni a entrambi i numeri.

      Calcola il minimo comune multiplo. Per fare ciò, moltiplica i numeri nell'operazione di moltiplicazione scritta.

   Trovare fattori comuni

   Disegna una griglia come per il gioco del tris. Tale griglia è composta da due linee parallele che si intersecano (ad angolo retto) con altre due linee parallele. Questo ti darà tre righe e tre colonne (la griglia assomiglia molto all'icona #). Scrivi il primo numero nella prima riga e nella seconda colonna. Scrivi il secondo numero nella prima riga e nella terza colonna.

   • Ad esempio, trova il minimo comune multiplo dei numeri 18 e 30. Scrivi il numero 18 nella prima riga e nella seconda colonna e scrivi il numero 30 nella prima riga e nella terza colonna.

   1. Trova il divisore comune ad entrambi i numeri. Scrivilo nella prima riga e nella prima colonna. È meglio cercare i fattori primi, ma questo non è un requisito.

      • Ad esempio, 18 e 30 sono numeri pari, quindi il loro divisore comune è 2. Quindi scrivi 2 nella prima riga e nella prima colonna.

   2. Dividi ogni numero per il primo divisore. Scrivi ciascun quoziente sotto il numero appropriato. Un quoziente è il risultato della divisione di due numeri.

      Trova il divisore comune ad entrambi i quozienti. Se non esiste un tale divisore, salta i due passaggi successivi. Altrimenti scrivi il divisore nella seconda riga e nella prima colonna.

      • Ad esempio, 9 e 15 sono divisibili per 3, quindi scrivi 3 nella seconda riga e nella prima colonna.

   3. Dividi ciascun quoziente per il suo secondo divisore. Scrivi il risultato di ogni divisione sotto il quoziente corrispondente.

      Se necessario, aggiungi ulteriori celle alla griglia. Ripeti i passaggi descritti finché i quozienti non hanno un divisore comune.

      Cerchia i numeri nella prima colonna e nell'ultima riga della griglia. Quindi scrivi i numeri selezionati come operazione di moltiplicazione.

   Algoritmo di Euclide

   Ricordare la terminologia associata all'operazione di divisione. Il dividendo è il numero che viene diviso. Il divisore è il numero per cui viene diviso. Un quoziente è il risultato della divisione di due numeri. Il resto è il numero rimasto quando si dividono due numeri.

   Scrivi un'espressione che descriva l'operazione di divisione con resto. Espressione: dividendo = divisore × quoziente + resto (\displaystyle (\text(dividendo))=(\text(divisore))\times (\text(quoziente))+(\text(resto))). Questa espressione verrà utilizzata per scrivere l'algoritmo euclideo per trovare il massimo comun divisore di due numeri.

   Considera il maggiore tra due numeri come il dividendo. Considera il più piccolo dei due numeri come divisore. Per questi numeri, scrivi un'espressione che descriva l'operazione di divisione con resto.

   Converti il ​​primo divisore nel nuovo dividendo. Usa il resto come nuovo divisore. Per questi numeri, scrivi un'espressione che descriva l'operazione di divisione con resto.