Trovare il significato di un'espressione: regole, esempi, soluzioni. Trovare il significato di un'espressione: regole, esempi, soluzioni Espressioni con radici

Quindi, se un'espressione numerica è composta da numeri e dai segni +, −, · e:, allora in ordine da sinistra a destra devi prima eseguire la moltiplicazione e la divisione, quindi l'addizione e la sottrazione, che ti permetteranno di trovare il valore desiderato dell'espressione.

Facciamo alcuni esempi per chiarimenti.

Esempio.

Calcola il valore dell'espressione 14−2·15:6−3.

Soluzione.

Per trovare il valore di un'espressione, è necessario eseguire tutte le azioni in essa specificate secondo l'ordine accettato di esecuzione di queste azioni. Per prima cosa, in ordine da sinistra a destra, eseguiamo la moltiplicazione e la divisione, otteniamo 14−2·15:6−3=14−30:6−3=14−5−3. Ora eseguiamo anche le restanti azioni in ordine da sinistra a destra: 14−5−3=9−3=6. Ecco come abbiamo trovato il valore dell'espressione originale, è uguale a 6.

Risposta:

14−2·15:6−3=6.

Esempio.

Trova il significato dell'espressione.

Soluzione.

In questo esempio, dobbiamo prima eseguire la moltiplicazione 2·(−7) e la divisione con la moltiplicazione nell'espressione . Ricordando come , troviamo 2·(−7)=−14. E per eseguire prima le azioni nell'espressione , Poi ed eseguire: .

Sostituiamo i valori ottenuti nell'espressione originale: .

Ma cosa succede se sotto il segno della radice c'è un'espressione numerica? Per ottenere il valore di tale radice, è necessario prima trovare il valore dell'espressione radicale, aderendo all'ordine accettato di esecuzione delle azioni. Per esempio, .

Nelle espressioni numeriche, le radici dovrebbero essere percepite come alcuni numeri, ed è consigliabile sostituire immediatamente le radici con i loro valori, quindi trovare il valore dell'espressione risultante senza radici, eseguendo le azioni nella sequenza accettata.

Esempio.

Trova il significato dell'espressione con le radici.

Soluzione.

Per prima cosa troviamo il valore della radice . Per fare ciò, in primo luogo, calcoliamo il valore dell'espressione radicale che abbiamo −2·3−1+60:4=−6−1+15=8. E in secondo luogo, troviamo il valore della radice.

Ora calcoliamo il valore della seconda radice dall'espressione originale: .

Infine possiamo ritrovare il significato dell'espressione originale sostituendo le radici con il loro significato: .

Risposta:

Molto spesso, per trovare il significato di un'espressione con radici, è prima necessario trasformarla. Mostriamo la soluzione dell'esempio.

Esempio.

Qual è il significato dell'espressione .

Soluzione.

Non possiamo sostituire la radice di tre con il suo valore esatto, il che ci impedisce di calcolare il valore di questa espressione nel modo sopra descritto. Tuttavia, possiamo calcolare il valore di questa espressione eseguendo semplici trasformazioni. Applicabile formula della differenza quadrata: . Tenendo conto , otteniamo . Pertanto, il valore dell'espressione originale è 1.

Risposta:

.

Con i gradi

Se la base e l'esponente sono numeri, il loro valore viene calcolato determinando il grado, ad esempio 3 2 =3·3=9 oppure 8 −1 =1/8. Ci sono anche voci in cui la base e/o l'esponente sono alcune espressioni. In questi casi è necessario trovare il valore dell'espressione nella base, il valore dell'espressione nell'esponente e poi calcolare il valore del grado stesso.

Esempio.

Trovare il valore di un'espressione con potenze della forma 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4.

Soluzione.

Nell'espressione originale ci sono due potenze 2 3·4−10 e (1−1/2) 3.5−2·1/4. I loro valori devono essere calcolati prima di eseguire altre azioni.

Cominciamo con la potenza 2 3·4−10. Il suo indicatore contiene un'espressione numerica, calcoliamo il suo valore: 3·4−10=12−10=2. Ora puoi trovare il valore del grado stesso: 2 3·4−10 =2 2 =4.

La base e l'esponente (1−1/2) 3,5−2 1/4 contengono espressioni; calcoliamo i loro valori per poi trovare il valore dell'esponente. Abbiamo (1−1/2) 3,5−2 1/4 =(1/2) 3 =1/8.

Ora torniamo all'espressione originale, sostituiamo i gradi in essa contenuti con i loro valori e troviamo il valore dell'espressione di cui abbiamo bisogno: 2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4 = 4+16·1/8=4+2=6.

Risposta:

2 3·4−10 +16·(1−1/2) 3,5−2·1/4 =6.

Vale la pena notare che ci sono casi più comuni in cui è consigliabile condurre un preliminare semplificazione espressiva con poteri sulla base.

Esempio.

Trova il significato dell'espressione .

Soluzione.

A giudicare dagli esponenti di questa espressione, non sarà possibile ottenere valori esatti degli esponenti. Proviamo a semplificare l'espressione originale, forse questo aiuterà a trovarne il significato. Abbiamo

Risposta:

.

Le potenze nelle espressioni spesso vanno di pari passo con i logaritmi, ma parleremo di come trovare il significato delle espressioni con logaritmi in uno dei.

Trovare il valore di un'espressione con le frazioni

Le espressioni numeriche possono contenere frazioni nella loro notazione. Quando devi trovare il significato di un'espressione come questa, le frazioni diverse dalle frazioni dovrebbero essere sostituite con i loro valori prima di procedere con il resto dei passaggi.

Il numeratore e il denominatore delle frazioni (che sono diverse dalle frazioni ordinarie) possono contenere sia alcuni numeri che espressioni. Per calcolare il valore di tale frazione, è necessario calcolare il valore dell'espressione al numeratore, calcolare il valore dell'espressione al denominatore e quindi calcolare il valore della frazione stessa. Questo ordine è spiegato dal fatto che la frazione a/b, dove aeb sono alcune espressioni, rappresenta essenzialmente un quoziente della forma (a):(b), poiché .

Diamo un'occhiata alla soluzione di esempio.

Esempio.

Trova il significato di un'espressione con le frazioni .

Soluzione.

Ci sono tre frazioni nell'espressione numerica originale E . Per trovare il valore dell'espressione originale, dobbiamo prima sostituire queste frazioni con i loro valori. Facciamolo.

Il numeratore e il denominatore di una frazione contengono numeri. Per trovare il valore di tale frazione, sostituisci la barra della frazione con un segno di divisione ed esegui questa azione: .

Al numeratore della frazione c'è l'espressione 7−2·3, il suo valore è facile da trovare: 7−2·3=7−6=1. Così, . Puoi procedere alla ricerca del valore della terza frazione.

La terza frazione al numeratore e al denominatore contiene espressioni numeriche, quindi devi prima calcolarne i valori e questo ti permetterà di trovare il valore della frazione stessa. Abbiamo .

Resta da sostituire i valori trovati nell'espressione originale ed eseguire le azioni rimanenti: .

Risposta:

.

Spesso, quando si trovano i valori delle espressioni con le frazioni, è necessario eseguire semplificazione delle espressioni frazionarie, basato sull'esecuzione di operazioni con frazioni e sulla riduzione delle frazioni.

Esempio.

Trova il significato dell'espressione .

Soluzione.

La radice di cinque non può essere estratta completamente, quindi per trovare il valore dell’espressione originale, semplifichiamola prima. Per questo liberiamoci dell'irrazionalità nel denominatore prima frazione: . Successivamente, l'espressione originale assumerà la forma . Dopo aver sottratto le frazioni, le radici scompariranno, il che ci permetterà di trovare il valore iniziale di data espressione: .

Risposta:

.

Con i logaritmi

Se un'espressione numerica contiene , ed è possibile eliminarli, ciò viene fatto prima di eseguire altre azioni. Ad esempio, quando si trova il valore dell'espressione log 2 4+2·3, il logaritmo log 2 4 viene sostituito dal suo valore 2, dopodiché le restanti azioni vengono eseguite nell'ordine consueto, ovvero log 2 4+2 ·3=2+2·3=2 +6=8.

Quando sono presenti espressioni numeriche sotto il segno del logaritmo e/o alla sua base, vengono prima rilevati i loro valori, dopodiché viene calcolato il valore del logaritmo. Ad esempio, considera un'espressione con un logaritmo della forma . Alla base del logaritmo e sotto il suo segno ci sono le espressioni numeriche; troviamo i loro valori: . Ora troviamo il logaritmo, dopodiché completiamo i calcoli: .

Se i logaritmi non vengono calcolati accuratamente, è necessario semplificarli preventivamente utilizzando . In questo caso, è necessario avere una buona padronanza del materiale dell'articolo conversione di espressioni logaritmiche.

Esempio.

Trova il valore di un'espressione con i logaritmi .

Soluzione.

Iniziamo calcolando log 2 (log 2 256) . Poiché 256=2 8, allora log 2 256=8, quindi, log 2 (log 2 256)=log 2 8=log 2 2 3 =3.

I logaritmi log 6 2 e log 6 3 possono essere raggruppati. La somma dei logaritmi log 6 2+log 6 3 è uguale al logaritmo del prodotto log 6 (2 3), quindi, log 6 2+log 6 3=log 6 (2 3)=log 6 6=1.

Ora diamo un'occhiata alla frazione. Per cominciare, riscriveremo la base del logaritmo al denominatore sotto forma di frazione ordinaria come 1/5, dopodiché utilizzeremo le proprietà dei logaritmi, che ci permetteranno di ottenere il valore della frazione:
.

Non resta che sostituire i risultati ottenuti nell'espressione originale e finire di trovarne il valore:

Risposta:

Come trovare il valore di un'espressione trigonometrica?

Quando un'espressione numerica contiene o, ecc., i loro valori vengono calcolati prima di eseguire altre azioni. Se sono presenti espressioni numeriche sotto il segno di funzioni trigonometriche, vengono prima calcolati i loro valori, dopodiché vengono trovati i valori delle funzioni trigonometriche.

Esempio.

Trova il significato dell'espressione .

Soluzione.

Passando all'articolo, otteniamo e cosπ=−1 . Sostituiamo questi valori nell'espressione originale, prende forma . Per trovare il suo valore, devi prima eseguire l'elevamento a potenza, quindi completare i calcoli: .

Risposta:

.

Vale la pena notare che il calcolo dei valori delle espressioni con seno, coseno, ecc. spesso richiede prima convertire un'espressione trigonometrica.

Esempio.

Qual è il valore dell'espressione trigonometrica .

Soluzione.

Trasformiamo l'espressione originale utilizzando , in in questo caso abbiamo bisogno della formula del doppio angolo del coseno e della formula della somma del coseno:

Le trasformazioni che abbiamo apportato ci hanno aiutato a trovare il significato dell'espressione.

Risposta:

.

Caso generale

In generale, un'espressione numerica può contenere radici, potenze, frazioni, alcune funzioni e parentesi. Trovare i valori di tali espressioni consiste nell'eseguire le seguenti azioni:

• prime radici, potenze, frazioni, ecc. sono sostituiti dai loro valori,
• ulteriori azioni tra parentesi,
• e in ordine da sinistra a destra, vengono eseguite le restanti operazioni: moltiplicazione e divisione, seguite da addizione e sottrazione.

Le azioni elencate vengono eseguite fino all'ottenimento del risultato finale.

Esempio.

Trova il significato dell'espressione .

Soluzione.

La forma di questa espressione è piuttosto complessa. In questa espressione vediamo frazioni, radici, potenze, seno e logaritmi. Come trovarne il valore?

Muovendosi attraverso il record da sinistra a destra, ci imbattiamo in una frazione della forma . Lo sappiamo quando lavoriamo con le frazioni tipo complesso, dobbiamo calcolare separatamente il valore del numeratore, separatamente il denominatore e infine trovare il valore della frazione.

Al numeratore abbiamo la radice della forma . Per determinarne il valore, devi prima calcolare il valore dell'espressione radicale . C'è un seno qui. Possiamo trovare il suo valore solo dopo aver calcolato il valore dell'espressione . Questo possiamo fare: . Allora dove e da .

Il denominatore è semplice: .

Così, .

Dopo aver sostituito questo risultato nell'espressione originale, assumerà la forma . L'espressione risultante contiene il grado . Per trovare il suo valore, dobbiamo prima trovare il valore dell'indicatore che abbiamo .

COSÌ, .

Risposta:

.

Se non è possibile calcolare i valori esatti di radici, potenze, ecc., Puoi provare a sbarazzartene utilizzando alcune trasformazioni, quindi tornare a calcolare il valore secondo lo schema specificato.

Modi razionali per calcolare i valori delle espressioni

Il calcolo dei valori delle espressioni numeriche richiede coerenza e accuratezza. Sì, è necessario attenersi alla sequenza di azioni registrate nei paragrafi precedenti, ma non è necessario farlo ciecamente e meccanicamente. Ciò che intendiamo con questo è che spesso è possibile razionalizzare il processo di ricerca del significato di un'espressione. Ad esempio, alcune proprietà delle operazioni con i numeri possono accelerare e semplificare notevolmente la ricerca del valore di un'espressione.

Ad esempio, conosciamo questa proprietà della moltiplicazione: se uno dei fattori del prodotto è uguale a zero, il valore del prodotto è uguale a zero. Utilizzando questa proprietà, possiamo immediatamente dire che il valore dell'espressione 0·(2·3+893−3234:54·65−79·56·2.2)·(45·36−2·4+456:3·43) è uguale a zero. Se seguissimo l’ordine standard delle operazioni, dovremmo prima calcolare i valori delle scomode espressioni tra parentesi, il che richiederebbe molto tempo e il risultato sarebbe comunque zero.

È anche conveniente utilizzare la proprietà di sottrarre i numeri uguali: se sottrai un numero uguale da un numero, il risultato è zero. Questa proprietà può essere considerata in modo più ampio: la differenza tra due espressioni numeriche identiche è zero. Ad esempio, senza calcolare il valore delle espressioni tra parentesi, è possibile trovare il valore dell'espressione (54 6-12 47362:3)−(54 6-12 47362:3), è uguale a zero, poiché l'espressione originale è la differenza di espressioni identiche.

Le trasformazioni di identità possono facilitare il calcolo razionale dei valori di espressione. Ad esempio, può essere utile raggruppare termini e fattori; non meno spesso si usa mettere il fattore comune fuori parentesi. Quindi il valore dell'espressione 53·5+53·7−53·11+5 è molto facile da trovare dopo aver tolto il fattore 53 tra parentesi: 53·(5+7−11)+5=53·1+5=53+5=58. Il calcolo diretto richiederebbe molto più tempo.

Per concludere questo punto, prestiamo attenzione ad un approccio razionale al calcolo dei valori delle espressioni con frazioni: i fattori identici nel numeratore e nel denominatore della frazione vengono cancellati. Ad esempio, riducendo le stesse espressioni al numeratore e al denominatore di una frazione ti permette di trovare immediatamente il suo valore, che è pari a 1/2.

Trovare il valore di un'espressione letterale e di un'espressione con variabili

Il valore di un'espressione letterale e di un'espressione con variabili si trova per valori specifici di lettere e variabili. Cioè, stiamo parlando di trovare il valore di un'espressione letterale per determinati valori di lettere o di trovare il valore di un'espressione con variabili per valori di variabili selezionati.

Regola trovare il valore di un'espressione letterale o di un'espressione con variabili per determinati valori di lettere o valori selezionati di variabili è il seguente: è necessario sostituire i valori forniti di lettere o variabili nell'espressione originale e calcolare il valore dell'espressione numerica risultante; è il valore desiderato.

Esempio.

Calcola il valore dell'espressione 0,5·x−y in x=2,4 e y=5.

Soluzione.

Per trovare il valore richiesto dell'espressione, devi prima sostituire i valori indicati delle variabili nell'espressione originale, quindi eseguire i seguenti passaggi: 0.5·2.4−5=1.2−5=−3.8.

Risposta:

−3,8 .

Come nota finale, a volte l'esecuzione di conversioni su espressioni letterali e variabili produrrà i loro valori, indipendentemente dai valori delle lettere e delle variabili. Ad esempio, l'espressione x+3−x può essere semplificata, dopodiché assumerà la forma 3. Da ciò possiamo concludere che il valore dell'espressione x+3−x è uguale a 3 per qualsiasi valore della variabile x dal suo intervallo di valori consentiti (APV). Altro esempio: il valore dell'espressione è 1 per tutti i valori positivi di x, quindi l'intervallo di valori consentiti della variabile x nell'espressione originale è l'insieme numeri positivi, e l’uguaglianza vale in questa regione.

Bibliografia.

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• Algebra e l'inizio dell'analisi: Proc. per le classi 10-11. educazione generale istituzioni / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn e altri; Ed. A. N. Kolmogorov. - 14a edizione - M.: Education, 2004. - 384 pagine: illustrato - ISBN 5-09-013651-3.

Nel corso di algebra di 7a elementare ci siamo occupati delle trasformazioni di espressioni intere, cioè di espressioni composte da numeri e variabili utilizzando le operazioni di addizione, sottrazione e moltiplicazione, nonché di divisione per un numero diverso da zero. Quindi, le espressioni sono numeri interi

Al contrario, le espressioni

oltre alle azioni di addizione, sottrazione e moltiplicazione, contengono la divisione in un'espressione con variabili. Tali espressioni sono chiamate espressioni frazionarie.

Le espressioni intere e frazionarie sono chiamate espressioni razionali.

Un'intera espressione ha senso per qualsiasi valore delle variabili in essa incluse, poiché per trovare il valore di un'intera espressione è necessario eseguire azioni sempre possibili.

Un'espressione frazionaria potrebbe non avere senso per alcuni valori variabili. Ad esempio, l'espressione - non ha senso quando a = 0. Per tutti gli altri valori di a questa espressione ha senso. L'espressione ha senso per quei valori di x e y quando x ≠ y.

I valori delle variabili per cui l'espressione ha senso sono chiamati valori validi delle variabili.

Un'espressione della forma è nota come frazione.

Una frazione il cui numeratore e denominatore sono polinomi si chiama frazione razionale.

Esempi di frazioni razionali sono le frazioni

In una frazione razionale i valori accettabili delle variabili sono quelli per i quali il denominatore della frazione non si annulla.

Esempio 1. Troviamo i valori accettabili della variabile nella frazione

Soluzione Per trovare a quali valori di a il denominatore della frazione diventa zero, è necessario risolvere l'equazione a(a - 9) = 0. Questa equazione ha due radici: 0 e 9. Pertanto, tutti i numeri tranne 0 e 9 sono valori validi per la variabile a.

Esempio 2. A quale valore di x corrisponde il valore della frazione uguale a zero?

Soluzione Una frazione è zero se e solo se a - 0 e b ≠ 0.

Questo articolo spiega come trovare i valori delle espressioni matematiche. Cominciamo con semplici espressioni numeriche e poi consideriamo i casi man mano che la loro complessità aumenta. Alla fine presentiamo un'espressione contenente simboli di lettere, parentesi, radici, simboli matematici speciali, gradi, funzioni, ecc. Come da tradizione forniremo l'intera teoria con abbondanti e dettagliati esempi.

Come trovare il valore di un'espressione numerica?

Le espressioni numeriche, tra le altre cose, aiutano a descrivere la condizione di un problema in linguaggio matematico. In generale, le espressioni matematiche possono essere molto semplici, costituite da una coppia di numeri e simboli aritmetici, o molto complesse, contenenti funzioni, potenze, radici, parentesi, ecc. Nell'ambito di un compito, spesso è necessario trovare il significato di una particolare espressione. Come farlo sarà discusso di seguito.

I casi più semplici

Questi sono i casi in cui l'espressione non contiene altro che numeri e operazioni aritmetiche. Per trovare con successo i valori di tali espressioni, avrai bisogno della conoscenza dell'ordine di esecuzione delle operazioni aritmetiche senza parentesi, nonché della capacità di eseguire operazioni con numeri diversi.

Se l'espressione contiene solo numeri e segni aritmetici " + " , " · " , " - " , " ÷ " , le azioni vengono eseguite da sinistra a destra nel seguente ordine: prima moltiplicazione e divisione, quindi addizione e sottrazione. Facciamo degli esempi.

Esempio 1: il valore di un'espressione numerica

Lascia che tu abbia bisogno di trovare i valori dell'espressione 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3.

Facciamo prima la moltiplicazione e la divisione. Noi abbiamo:

14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3.

Ora effettuiamo la sottrazione e otteniamo il risultato finale:

14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .

Esempio 2: il valore di un'espressione numerica

Calcoliamo: 0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12.

Per prima cosa eseguiamo la conversione, divisione e moltiplicazione delle frazioni:

0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 · 11 12

1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9.

Ora facciamo qualche addizione e sottrazione. Raggruppiamo le frazioni e portiamole ad un denominatore comune:

1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .

Il valore richiesto è stato trovato.

Espressioni con parentesi

Se un'espressione contiene parentesi, queste definiscono l'ordine delle operazioni in quell'espressione. Le azioni tra parentesi vengono eseguite per prime e poi tutte le altre. Mostriamolo con un esempio.

Esempio 3: il valore di un'espressione numerica

Troviamo il valore dell'espressione 0,5 · (0,76 - 0,06).

L'espressione contiene parentesi, quindi eseguiamo prima l'operazione di sottrazione tra parentesi e solo successivamente la moltiplicazione.

0,5 · (0,76 - 0,06) = 0,5 · 0,7 = 0,35.

Il significato delle espressioni contenenti parentesi all'interno di parentesi si trova secondo lo stesso principio.

Esempio 4: il valore di un'espressione numerica

Calcoliamo il valore 1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4.

Eseguiremo azioni partendo dalle parentesi più interne, spostandoci verso quelle esterne.

1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4

1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2, 5 = 1 + 2 6 = 13.

Quando si trovano i significati delle espressioni tra parentesi, la cosa principale è seguire la sequenza delle azioni.

Espressioni con radici

Le espressioni matematiche di cui dobbiamo trovare i valori possono contenere segni di radice. Inoltre, l'espressione stessa può trovarsi sotto il segno della radice. Cosa fare in questo caso? Per prima cosa devi trovare il valore dell'espressione sotto la radice, quindi estrarre la radice dal numero ottenuto come risultato. Se possibile, è meglio eliminare le radici nelle espressioni numeriche, sostituendo con con valori numerici.

Esempio 5: il valore di un'espressione numerica

Calcoliamo il valore dell'espressione con radici - 2 · 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 · 2, 2 + 0, 1 · 0, 5.

Per prima cosa calcoliamo le espressioni radicali.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2

2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.

Ora puoi calcolare il valore dell'intera espressione.

2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5

Spesso, trovare il significato di un'espressione con radici spesso richiede prima di trasformare l'espressione originale. Spieghiamolo con un altro esempio.

Esempio 6: il valore di un'espressione numerica

Quanto fa 3 + 1 3 - 1 - 1

Come puoi vedere, non abbiamo la possibilità di sostituire la radice con un valore esatto, il che complica il processo di conteggio. Tuttavia, in questo caso, puoi applicare la formula di moltiplicazione abbreviata.

3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .

Così:

3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .

Espressioni con poteri

Se un'espressione contiene poteri, i loro valori devono essere calcolati prima di procedere con tutte le altre azioni. Accade che l'esponente o la base del grado stesso siano espressioni. In questo caso viene prima calcolato il valore di queste espressioni e poi il valore del grado.

Esempio 7: il valore di un'espressione numerica

Troviamo il valore dell'espressione 2 3 · 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4.

Iniziamo a calcolare in ordine.

2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4

16 · 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 · 1 8 = 2.

Non resta che eseguire l'operazione di addizione e scoprire il significato dell'espressione:

2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6.

Spesso è anche consigliabile semplificare un'espressione utilizzando le proprietà di un grado.

Esempio 8: il valore di un'espressione numerica

Calcoliamo il valore della seguente espressione: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .

Gli esponenti sono ancora una volta tali che non è possibile ottenere i loro valori numerici esatti. Semplifichiamo l'espressione originale per trovarne il valore.

2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6

2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2

2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4

Espressioni con frazioni

Se un'espressione contiene frazioni, quando si calcola tale espressione, tutte le frazioni in essa contenute devono essere rappresentate come frazioni ordinarie e i loro valori calcolati.

Se il numeratore e il denominatore di una frazione contengono espressioni, vengono prima calcolati i valori di queste espressioni e viene annotato il valore finale della frazione stessa. Le operazioni aritmetiche vengono eseguite nell'ordine standard. Diamo un'occhiata alla soluzione di esempio.

Esempio 9: il valore di un'espressione numerica

Troviamo il valore dell'espressione contenente le frazioni: 3, 2 2 - 3 · 7 - 2 · 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2.

Come puoi vedere, ci sono tre frazioni nell'espressione originale. Calcoliamo prima i loro valori.

3, 2 2 = 3, 2 ÷ 2 = 1, 6

7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6

1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1.

Riscriviamo la nostra espressione e calcoliamo il suo valore:

1, 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1, 6 - 0, 5 ÷ 1 = 1, 1

Spesso quando si cerca il significato delle espressioni, è conveniente ridurre le frazioni. Esiste una regola non detta: prima di trovarne il valore, è meglio semplificare al massimo qualsiasi espressione, riducendo tutti i calcoli ai casi più semplici.

Esempio 10: il valore di un'espressione numerica

Calcoliamo l'espressione 2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3.

Non possiamo estrarre completamente la radice di cinque, ma possiamo semplificare l'espressione originale attraverso trasformazioni.

2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4

L'espressione originale assume la forma:

2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .

Calcoliamo il valore di questa espressione:

2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .

Espressioni con logaritmi

Quando in un'espressione sono presenti logaritmi, il loro valore viene calcolato dall'inizio, se possibile. Ad esempio, nell'espressione log 2 4 + 2 · 4, puoi scrivere immediatamente il valore di questo logaritmo invece di log 2 4, e quindi eseguire tutte le azioni. Otteniamo: log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10.

Le espressioni numeriche si possono trovare anche sotto il segno del logaritmo stesso e alla sua base. In questo caso, la prima cosa da fare è trovare il loro significato. Prendiamo l'espressione log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7. Abbiamo:

log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10.

Se è impossibile calcolare il valore esatto del logaritmo, semplificare l'espressione aiuta a trovarne il valore.

Esempio 11: il valore di un'espressione numerica

Troviamo il valore dell'espressione log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27.

log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3 .

Per la proprietà dei logaritmi:

log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1.

Utilizzando nuovamente le proprietà dei logaritmi, per l'ultima frazione dell'espressione otteniamo:

log 5 729 log 0, 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2.

Ora puoi procedere al calcolo del valore dell'espressione originale.

log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2.

Espressioni con funzioni trigonometriche

Accade che l'espressione contenga le funzioni trigonometriche di seno, coseno, tangente e cotangente, nonché le loro funzioni inverse. Il valore viene calcolato prima che vengano eseguite tutte le altre operazioni aritmetiche. Altrimenti l'espressione è semplificata.

Esempio 12: il valore di un'espressione numerica

Trova il valore dell'espressione: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.

Per prima cosa calcoliamo i valori delle funzioni trigonometriche incluse nell'espressione.

peccato - 5 π 2 = - 1

Sostituiamo i valori nell'espressione e calcoliamo il suo valore:

t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ = 3 2 - (- 1) + (- 1) = 3 + 1 - 1 = 3.

Il valore dell'espressione è stato trovato.

Spesso per trovare il significato di un'espressione con funzioni trigonometriche, deve prima essere convertito. Spieghiamo con un esempio.

Esempio 13: il valore di un'espressione numerica

Dobbiamo trovare il valore dell'espressione cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1.

Per la conversione useremo formule trigonometriche coseno del doppio angolo e coseno della somma.

cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 cos π 4 - 1 = 1 - 1 = 0 .

Caso generale di un'espressione numerica

In generale un'espressione trigonometrica può contenere tutti gli elementi sopra descritti: parentesi, potenze, radici, logaritmi, funzioni. Formuliamo regola generale trovare il significato di tali espressioni.

Come trovare il valore di un'espressione

1. Radici, potenze, logaritmi, ecc. vengono sostituiti dai loro valori.
2. Vengono eseguite le azioni tra parentesi.
3. Le restanti azioni vengono eseguite in ordine da sinistra a destra. Prima - moltiplicazione e divisione, poi - addizione e sottrazione.

Diamo un'occhiata a un esempio.

Esempio 14: il valore di un'espressione numerica

Calcoliamo il valore dell'espressione - 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9.

L'espressione è piuttosto complessa e macchinosa. Non è un caso che abbiamo scelto proprio un esempio del genere, cercando di inserirvi tutti i casi sopra descritti. Come trovare il significato di una simile espressione?

È noto che quando si calcola il valore di una forma frazionaria complessa, i valori del numeratore e del denominatore della frazione vengono prima trovati rispettivamente separatamente. Trasformeremo e semplificheremo in sequenza questa espressione.

Innanzitutto calcoliamo il valore dell'espressione radicale 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3. Per fare ciò, devi trovare il valore del seno e l'espressione che è l'argomento della funzione trigonometrica.

π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π

Ora puoi scoprire il valore del seno:

peccato π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = peccato π 6 + 2 π = peccato π 6 = 1 2.

Calcoliamo il valore dell'espressione radicale:

2 sinπ 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.

Con il denominatore della frazione tutto è più semplice:

Ora possiamo scrivere il valore della frazione intera:

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1 .

Tenendo conto di ciò, scriviamo l'intera espressione:

1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .

Risultato finale:

2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.

In questo caso siamo riusciti a calcolare i valori esatti di radici, logaritmi, seno, ecc. Se ciò non è possibile, puoi provare a sbarazzartene attraverso trasformazioni matematiche.

Calcolo dei valori di espressione utilizzando metodi razionali

I valori numerici devono essere calcolati in modo coerente e accurato. Questo processo può essere razionalizzato e accelerato utilizzando varie proprietà delle operazioni con i numeri. Ad esempio, è noto che un prodotto è uguale a zero se almeno uno dei fattori è uguale a zero. Tenendo conto di questa proprietà, possiamo subito dire che l'espressione 2 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 0 è uguale a zero. Allo stesso tempo, non è affatto necessario eseguire le azioni nell'ordine descritto nell'articolo sopra.

È anche conveniente utilizzare la proprietà di sottrarre numeri uguali. Senza eseguire alcuna azione, puoi ordinare che anche il valore dell'espressione 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 sia zero.

Un'altra tecnica per accelerare il processo è l'uso di trasformazioni di identità come il raggruppamento di termini e fattori e l'inserimento del fattore comune tra parentesi. Un approccio razionale al calcolo delle espressioni con le frazioni consiste nel ridurre le stesse espressioni al numeratore e al denominatore.

Ad esempio, prendi l'espressione 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4. Senza eseguire le operazioni tra parentesi, ma riducendo la frazione, possiamo dire che il valore dell'espressione è 1 3 .

Trovare i valori delle espressioni con variabili

Il valore di un'espressione letterale e di un'espressione con variabili si trova per valori specifici di lettere e variabili.

Trovare i valori delle espressioni con variabili

Per trovare il valore di un'espressione letterale e di un'espressione con variabili, è necessario sostituire i valori specificati di lettere e variabili nell'espressione originale, quindi calcolare il valore dell'espressione numerica risultante.

Esempio 15: valore di un'espressione con variabili

Calcola il valore dell'espressione 0, 5 x - y dati x = 2, 4 e y = 5.

Sostituiamo i valori delle variabili nell'espressione e calcoliamo:

0,5 x - y = 0,5 2,4 - 5 = 1,2 - 5 = - 3,8.

A volte puoi trasformare un'espressione in modo da ottenere il suo valore indipendentemente dai valori delle lettere e delle variabili in essa incluse. Per fare ciò, è necessario eliminare lettere e variabili nell'espressione, se possibile, utilizzando trasformazioni identiche, proprietà delle operazioni aritmetiche e tutti gli altri metodi possibili.

Ad esempio, l'espressione x + 3 - x ha ovviamente valore 3, e per calcolare questo valore non è necessario conoscere il valore della variabile x. Il valore di questa espressione è uguale a tre per tutti i valori della variabile x dal suo intervallo di valori consentiti.

Un altro esempio. Il valore dell'espressione x x è uguale a uno per tutte le x positive.

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