I sistemi numerici più famosi. Sistemi numerici. Sistemi numerici non posizionali. Sistemi di numerazione alfabetica

Tutto dipende dal sistema numerico specifico.

Il sistema decimale è ovviamente utilizzato quasi ovunque.

Sistema numerico romano in mondo moderno utilizzato più spesso quando si vuole indicare un numero in ordine. Ad esempio, “10” significa quantità (dieci pezzi) e la “X” romana significa “decimo”.

Sistema di numerazione binario - più ampiamente utilizzato nei computer, poiché una cifra numero binario corrisponde a un bit: l'unità minima di informazione nella tecnologia informatica.

Inoltre, il sistema numerico binario viene tradizionalmente utilizzato per indicare le dimensioni lineari in pollici, ad esempio 7 15/16 ″, 3 11/32 ″. Il primo uso conosciuto Il sistema numerico binario appartiene, forse, all'antico matematico indiano Pingala (circa II-V secolo aC).

Il sistema numerico esadecimale è ampiamente utilizzato nella programmazione di basso livello e nella documentazione informatica. Nei computer moderni, l'unità minima di memoria è un byte da 8 bit, i cui valori sono opportunamente scritti in due cifre esadecimali. Questo utilizzo è iniziato con il sistema IBM/360, dove tutta la documentazione utilizzava il sistema numerico esadecimale.

Tutto è interessante con il sistema numerico ottale. Veniva utilizzato, ad esempio, da alcuni indiani d'America, poiché credevano che le quantità dovessero essere contate non dal numero delle dita, ma dal numero di spazi tra le dita.

In Europa nel 1716, il re Carlo XII di Svezia chiese a Emmanuel Swedenborg di sviluppare un sistema numerico a 64 cifre, al quale Emmanuel Swedenborg notò che le persone comuni non dotate di un'intelligenza così elevata come quella del re avrebbero avuto difficoltà a comprendere un sistema numerico con un numero così grande. base e propone di utilizzare, quindi, il sistema di numerazione ottale. Sarebbe interessante sapere perché Carlo XII scelse questa particolare fondazione.

Inoltre, il sistema numerico ottale viene talvolta utilizzato nei computer, apparentemente più spesso quando si determinano i permessi in stile Unix sistemi operativi. C'erano una volta i computer che utilizzavano parole a 24 e 36 bit. In tali computer era molto conveniente utilizzare il sistema di numerazione ottale, poiché tutti i bit di una parola potevano essere rappresentati da un numero intero di cifre ottali e non era necessario aggiungere sempre bit zero insignificanti all'inizio. Ad esempio, una parola a 36 bit richiede esattamente 12 cifre ottali.

Nel nostro corso di matematica discreta studiamo il sistema ottale perché è uno dei sistemi in cui possiamo convertire direttamente dal sistema numerico binario, bypassando il sistema numerico decimale.

Il sistema numerico sessagesimale è ampiamente utilizzato nel calcolo dei minuti e dei secondi. Le origini del sistema sessagesimale non sono chiare. Forse è legato al sistema numerico duodecimale (60 = 5 × 12, dove 5 è il numero delle dita della mano). C'è anche un'ipotesi di O. Neugebauer (1927) secondo cui dopo la conquista accadica dello stato sumero, vi esistettero contemporaneamente per molto tempo due unità monetarie: lo shekel (shekel) e la mina, e il loro rapporto fu stabilito come 1 mina = 60 sicli. Successivamente questa divisione divenne consueta e diede origine a un corrispondente sistema per scrivere qualsiasi numero.

È possibile aggiungere zeri all'inizio di un numero nel sistema numerico esadecimale?

Tutte le regole per tutti i sistemi numerici posizionali sono le stesse. Nel sistema decimale è consentito aggiungere zeri insignificanti all'inizio e dopo la virgola alla fine. Allo stesso modo, è possibile aggiungere zeri insignificanti in qualsiasi altro sistema numerico posizionale.

Quali simboli vengono utilizzati per scrivere un numero nel sistema numerico dei 25 ari?

Il sistema numerico esadecimale è un sistema numerico abbastanza comune. Esiste uno standard per questo sistema numerico: i numeri maggiori di 9 sono scritti in lettere dell'alfabeto latino dalla A alla F.

Tutti gli altri sistemi numerici posizionali con base maggiore di 10 non sono comuni e non esiste uno standard di registrazione per essi. Ma, per analogia, sarebbe conveniente utilizzare in questi sistemi numerici anche le lettere dell'alfabeto latino.

In particolare, nel sistema numerico a 25 ari, le prime 10 cifre coincidono con i numeri nel sistema numerico decimale - da 0 a 9, e le restanti 15 sono codificate in lettere dell'alfabeto latino dalla A alla O. Le stesse regole si applicano ad altri sistemi numerici posizionali.

Ma che dire di un sistema numerico per il quale non ci sono abbastanza lettere dell'alfabeto latino?

Non esiste uno standard universale in questo settore. Tranne nel caso di sistemi numerici più o meno diffusi.

Se devi operare con un tale sistema numerico, allora attieniti alle regole che altri hanno escogitato (se qualcun altro utilizza un tale sistema numerico), oppure crea le tue regole.

In pratica, un esempio di tale sistema numerico a base ampia è il sistema numerico a 60 cifre per il conteggio dei secondi e dei minuti. Sappiamo tutti come viene registrato il tempo. Ad esempio, la voce “34:17”, che significa “34 minuti e 17 secondi”, è in realtà un numero scritto in sessagesimale con due cifre.

Come leggere correttamente i numeri in sistemi numerici diversi da quello decimale?

In generale, non esiste uno standard su come leggere correttamente tali numeri.

A rigor di termini, chiamare 20 8 la parola "venti" non è del tutto corretto, poiché tutti sanno che "venti" significa "decine", e nel sistema numerico ottale questo due non significa il numero di decine, ma il numero di otto. Questo numero verrebbe probabilmente letto correttamente come "due zero", ma questo non è lo standard.

Quando si utilizza il sistema numerico esadecimale, le lettere vengono pronunciate come di solito vengono pronunciate nell'alfabeto latino: “A”, “Be”, “Tse”, “De”, “E”, “Ef”. Il numero 1E3.F 16 viene solitamente pronunciato così: “uno e tre punto ef”.

Tuttavia, se un numero utilizza solo cifre decimali, i numeri vengono spesso letti come se fossero scritti in notazione decimale. Ad esempio, “517.5 8” può essere pronunciato come “cinquecentodiciassette virgola cinque in notazione ottale”. Probabilmente sarebbe più accurato dire “cinquecentodiciassette virgola cinque ottavi nel sistema numerico ottale”, ma in questo caso alcuni potrebbero essere confusi su come scrivere “cinque ottavi”.

A volte le parti di un numero vengono denominate secondo regole diverse. Ad esempio, in questo modo: "cinquecentodiciassette virgola cinque nel sistema numerico ottale". Sembra che non esista ancora uno standard neanche in questo settore.

Penso che la cosa più importante nel pronunciare i numeri sia che gli altri capiscano cosa intendi.

Come ricordare la tabella di corrispondenza tra numeri binari e numeri ottali ed esadecimali?

Puoi ricordare questa tabella solo con l'esperienza: consultala molte volte e dopo un po' la conoscerai a memoria.

Ma non è necessario memorizzare questa tabella! È così facile determinare la corrispondenza che non riesco nemmeno a essere sicuro se ricordo questa tabella a memoria o la calcolo ogni volta? Per determinare la conformità è sufficiente conoscere alcune cose molto semplici:

Una cifra esadecimale corrisponde a 4 cifre binarie e una cifra ottale corrisponde a 3 cifre binarie. Questo è facile da ricordare, poiché 2 4 =16 e 2 3 =8.

Devi imparare a convertire mentalmente i numeri da 0 a 7 dal sistema numerico ottale al sistema numerico decimale e viceversa.

Questa è un'operazione molto difficile, solo i prodigi possono farla nella loro mente.

Se non sei un prodigio, puoi semplicemente ricordare che 0=0, 1=1, 2=2, 3=3, 4=4, 5=5, 6=6 e 7 è uguale a 7.

Devi imparare a convertire mentalmente i numeri da 0 a 15 dal sistema numerico decimale a quello esadecimale.

Questo è molto semplice, poiché i numeri da 0 a 9 coincidono e i numeri da 10 a 15 corrispondono alle lettere dell'alfabeto latino dalla A alla F. Puoi contare ogni volta nella tua testa (10 è A, 11 è B , 12 è C e così via)

La cosa più difficile è imparare. Ma questa abilità da sola copre una parte significativa della tabella.

Ora puoi convertire facilmente qualsiasi numero compreso tra 0 e 15 da binario a decimale e quindi a esadecimale o ottale. Oppure puoi fare il contrario.

Per convertire i numeri, devi essere in grado di eseguire divisioni lunghe. Cosa succede se non so come eseguire le divisioni lunghe?

Il materiale teorico presentato qui presuppone che tu abbia alcune abilità. Se non possiedi già queste competenze minime, per capire cosa è scritto qui, ha senso acquisire prima queste semplici competenze. Per comprendere tutto il materiale teorico qui presentato, avrai bisogno di: Comprendi cos'è un numero in linea di principio. Diamo un'occhiata a uno degli argomenti più importanti nell'informatica -. IN curriculum scolastico si rivela piuttosto “modestamente”, molto probabilmente a causa della mancanza di ore ad esso assegnate. Conoscenza su questo argomento, in particolare su traduzione dei sistemi numerici, sono un prerequisito per il successo superamento dell'Esame di Stato Unificato e l'ammissione alle università nelle relative facoltà. Di seguito discutiamo in dettaglio concetti come sistemi numerici posizionali e non posizionali, vengono forniti esempi di questi sistemi numerici, regole per tradurre i numeri decimali interi, corretti decimali. Inoltre, avrai la possibilità di scaricare prodotti già pronti dal servizio di file hosting in modo completamente gratuito. soluzioni dettagliate a questi compiti, illustrando vari modi ottenendo la risposta corretta.

sistemi di numeri posizionali.

Sistemi numerici non posizionali- sistemi numerici in cui il valore quantitativo di una cifra non dipende dalla sua posizione nel numero.

I sistemi numerici non posizionali includono, ad esempio, il romano, dove al posto dei numeri ci sono lettere latine.

Qui la lettera V sta per 5 indipendentemente dalla sua posizione. Tuttavia, vale la pena ricordare che, sebbene il sistema numerico romano sia un classico esempio di sistema numerico non posizionale, non è completamente non posizionale, perché Da questo viene sottratto il numero più piccolo davanti a quello più grande:

sistemi di numeri posizionali.

Sistemi di numerazione posizionale- sistemi numerici in cui il valore quantitativo di una cifra dipende dalla sua posizione nel numero.

Ad esempio, se parliamo del sistema numerico decimale, nel numero 700 il numero 7 significa "settecento", ma lo stesso numero nel numero 71 significa "sette decine" e nel numero 7020 - "settemila" .

Ogni sistema numerico posizionale ha il suo base. Come base si sceglie un numero naturale maggiore o uguale a due. È uguale al numero di cifre utilizzate in un dato sistema numerico.

Per esempio:
• Binario- sistema di numerazione posizionale con base 2.
• Quaternario- sistema numerico posizionale a base 4.
• Cinque volte- sistema di numerazione posizionale a base 5.
• Ottale- sistema numerico posizionale con base 8.
• Esadecimale- sistema di numerazione posizionale con base 16.

Per risolvere con successo i problemi sull'argomento “Sistemi numerici”, lo studente deve conoscere a memoria la corrispondenza dei numeri binari, decimali, ottali ed esadecimali fino a 16 10:

È utile sapere come si ottengono i numeri in questi sistemi numerici. Puoi indovinarlo in ottale, esadecimale, ternario e altri sistemi di numeri posizionali tutto avviene nello stesso modo del sistema decimale a cui siamo abituati:

Viene aggiunto uno al numero e si ottiene un nuovo numero. Se la posizione delle unità diventa uguale alla base del sistema numerico, aumentiamo il numero delle decine di 1, ecc.

Questa “transizione dell’uno” è ciò che spaventa la maggior parte degli studenti. In realtà, tutto è abbastanza semplice. La transizione avviene se la cifra delle unità diventa uguale a base numerica, aumentiamo il numero di decine di 1. Molti, ricordando il buon vecchio sistema decimale, sono immediatamente confusi riguardo alle cifre in questa transizione, perché le decine decimali e, ad esempio, le decine binarie sono cose diverse.

Da qui, gli studenti intraprendenti sviluppano “i propri metodi” (sorprendentemente... funzionanti) quando compilano, ad esempio, tabelle di verità, le cui prime colonne (valori variabili) sono, infatti, riempite con numeri binari in ordine crescente.

Ad esempio, vediamo come inserire i numeri sistema ottale: Aggiungiamo 1 al primo numero (0), otteniamo 1. Quindi aggiungiamo 1 a 1, otteniamo 2, ecc. a 7. Se sommiamo uno a 7, otteniamo un numero uguale alla base del sistema numerico, ad es. 8. Quindi è necessario aumentare le decine di uno (otteniamo la decina ottale - 10). Poi ovviamente ci sono i numeri 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, ..., 27, 30, ..., 77, 100, 101...

Regole per la conversione da un sistema numerico all'altro.

1 Conversione di numeri decimali interi in qualsiasi altro sistema numerico.

Il numero deve essere diviso per nuova base del sistema numerico. Il primo resto della divisione è la prima cifra minore del nuovo numero. Se il quoziente della divisione è minore o uguale alla nuova base, allora esso (il quoziente) deve essere diviso nuovamente per la nuova base. La divisione deve essere continuata finché non si ottiene un quoziente inferiore alla nuova base. Questa è la cifra più alta del nuovo numero (bisogna ricordare che, ad esempio, nel sistema esadecimale, dopo 9 ci sono le lettere, cioè se il resto è 11, bisogna scriverlo come B).

Esempio ("divisione per angolo"): convertiamo il numero 173 10 nel sistema numerico ottale.

Quindi, 173 10 =255 8

2 Conversione di frazioni decimali regolari in qualsiasi altro sistema numerico.

Il numero deve essere moltiplicato per la base del nuovo sistema numerico. La cifra che è diventata la parte intera è la cifra più alta della parte frazionaria del nuovo numero. per ottenere la cifra successiva, la parte frazionaria del prodotto risultante deve essere nuovamente moltiplicata per una nuova base del sistema numerico fino a quando non si verifica la transizione alla parte intera. Continuiamo a moltiplicare finché parte frazionaria non diventa uguale a zero, o finché non si raggiunge la precisione specificata nel problema (“... calcolare con una precisione, ad esempio, di due cifre decimali”).

Esempio: convertiamo il numero 0,65625 10 nel sistema numerico ottale.

Notazione è un modo di scrivere numeri. Di solito i numeri vengono scritti utilizzando caratteri speciali: numeri (anche se non sempre). Se non hai mai studiato questa domanda, allora dovresti almeno conoscere due sistemi numerici: arabo e romano. Il primo utilizza i numeri 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ed è un sistema numerico posizionale. E nel secondo: I, V, X, L, C, D, M e questo è un sistema numerico non posizionale.

Nei sistemi numerici posizionali, la quantità indicata da una cifra in un numero dipende dalla sua posizione, ma nei sistemi numerici non posizionali no. Per esempio:

11 - qui la prima unità indica dieci e la seconda - 1.
II - qui entrambe le unità ne denotano una.

345, 259, 521 - qui il numero 5 nel primo caso significa 5, nel secondo - 50 e nel terzo - 500.

XXV, XVI, VII - qui, ovunque sia il numero V, significa sempre cinque unità. In altre parole, la quantità indicata dal segno V non dipende dalla sua posizione.

Addizione, moltiplicazione e altre operazioni matematiche sono più facili da eseguire nei sistemi numerici posizionali che in quelli non posizionali, perché le operazioni matematiche vengono eseguite utilizzando semplici algoritmi (ad esempio moltiplicazione per colonna, confronto di due numeri).

I sistemi numerici posizionali sono i più comuni al mondo. Oltre al sistema decimale, familiare a tutti fin dall'infanzia (dove vengono utilizzate dieci cifre da 0 a 9), nella tecnologia sono ampiamente utilizzati sistemi numerici come quello binario (vengono utilizzati i numeri 0 e 1), ottale ed esadecimale.

Va notato l'importante ruolo dello zero. La "scoperta" di questo numero nella storia dell'umanità ha avuto un ruolo importante nella formazione dei sistemi numerici posizionali.

La base di un sistema numerico è il numero di cifre utilizzate per scrivere i numeri.

Il luogo è la posizione di una cifra in un numero. La capacità di un numero è il numero di cifre che compongono il numero (ad esempio, 264 è un numero di tre cifre, 00010101 è un numero di otto cifre). Le cifre sono numerate da destra a sinistra (ad esempio, nel numero 598, otto occupa la prima cifra e cinque la terza).

Quindi, nel sistema numerico posizionale, i numeri sono scritti in modo tale che ciascuna cifra successiva (movimento da destra a sinistra) sia maggiore dell'altra in base alla potenza della base del sistema numerico. (creare un diagramma)

Lo stesso numero (valore) può essere rappresentato in diversi sistemi numerici. La rappresentazione del numero è diversa, ma il significato rimane invariato.

Sistema di numeri binari

Il sistema numerico binario utilizza solo due cifre, 0 e 1. In altre parole, due è la base del sistema numerico binario. (Allo stesso modo, il sistema decimale ha una base di 10.)

Per imparare a comprendere i numeri nel sistema numerico binario, considera innanzitutto come si formano i numeri nel sistema numerico decimale a noi familiare.

Nel sistema numerico decimale abbiamo dieci cifre (da 0 a 9). Quando il conteggio arriva a 9, viene introdotta una nuova cifra (le decine), le unità vengono azzerate e il conteggio ricomincia. Dopo 19, la cifra delle decine aumenta di 1 e quella delle unità viene nuovamente azzerata. E così via. Quando le decine raggiungono 9, appare la terza cifra: centinaia.

Il sistema numerico binario è simile al sistema numerico decimale, tranne per il fatto che nella formazione del numero sono coinvolte solo due cifre: 0 e 1. Non appena la cifra raggiunge il suo limite (cioè uno), appare una nuova cifra e quello vecchio viene azzerato.

Proviamo a contare nel sistema binario:
0 è zero
1 è uno (e questo è il limite di scarico)
10 è due
11 fa tre (e questo è di nuovo il limite)
100 fa quattro
101 - cinque
110 - sei
111 - sette, ecc.
Conversione di numeri da binario a decimale

Non è difficile notare che nel sistema numerico binario le lunghezze dei numeri aumentano rapidamente all’aumentare dei valori. Come determinare cosa significa: 10001001? Non abituato a questa forma di scrittura dei numeri, il cervello umano di solito non riesce a capire quanto sia. Sarebbe bello poter convertire i numeri binari in decimali.

Nel sistema decimale, qualsiasi numero può essere rappresentato come somma di unità, decine, centinaia, ecc. Per esempio:

1476 = 1000 + 400 + 70 + 6

1476 = 1 * 103 + 4 * 102 + 7 * 101 + 6 * 100

Osserva attentamente questa voce. Qui i numeri 1, 4, 7 e 6 sono un insieme di numeri che compongono il numero 1476. Tutti questi numeri vengono moltiplicati a loro volta per dieci elevati in un modo o nell'altro. Dieci è la base del sistema numerico decimale. La potenza a cui viene elevato il dieci è la cifra della cifra meno uno.

Qualsiasi numero binario può essere espanso in modo simile. Solo la base qui sarà 2:

10001001 = 1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0

1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 128 + 0 + 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 = 137

Quelli. il numero 10001001 in base 2 è uguale al numero 137 in base 10. Puoi scriverlo così:

10001001 2 = 13710
Perché il sistema numerico binario è così comune?

Il fatto è che il sistema di numeri binari è il linguaggio della tecnologia informatica. Ogni numero deve essere in qualche modo rappresentato su un supporto fisico. Se si tratta di un sistema decimale, dovrai creare un dispositivo che possa avere dieci stati. È complicato. È più semplice creare un elemento fisico che può trovarsi solo in due stati (ad esempio, c'è corrente o non c'è corrente). Questo è uno dei motivi principali per cui viene prestata così tanta attenzione al sistema di numerazione binario.
Conversione di un numero decimale in binario

Potrebbe essere necessario convertire il numero decimale in binario. Un modo è dividere per due e formare un numero binario dal resto. Ad esempio, devi ottenere la sua notazione binaria dal numero 77:

77/2 = 38 (1 resto)
38/2 = 19 (0 resto)
19/2 = 9 (1 resto)
9/2 = 4 (1 resto)
4/2 = 2 (0 resto)
2/2 = 1 (0 resto)
1/2 = 0 (1 resto)

Raccogliamo insieme i resti, partendo dalla fine: 1001101. Questo è il numero 77 nella rappresentazione binaria. Controlliamo:

1001101 = 1*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 64 + 0 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 77

Sistema di numerazione ottale

Pertanto, il moderno “hardware comprende” solo il sistema di numeri binari. Tuttavia, da un lato, è difficile per una persona percepire lunghe registrazioni di zeri e unità e, dall'altro, la conversione dei numeri dal sistema binario a quello decimale e viceversa richiede molto tempo e lavoro. Di conseguenza, i programmatori utilizzano spesso altri sistemi numerici: ottale ed esadecimale. Sia 8 che 16 sono potenze di due e convertire un numero binario in essi (così come fare il contrario) è molto semplice.

Il sistema numerico ottale utilizza otto cifre (da 0 a 7). Ogni cifra corrisponde a un insieme di tre cifre nel sistema numerico binario:

000 - 0
001 - 1
010 - 2
011 - 3
100 - 4
101 - 5
110 - 6
111 - 7

Per convertire un numero binario in ottale, è sufficiente suddividerlo in terzine e sostituirle con le cifre corrispondenti del sistema numerico ottale. Devi iniziare a dividere in terzine dalla fine e sostituire i numeri mancanti all'inizio con zeri. Per esempio:

1011101 = 1 011 101 = 001 011 101 = 1 3 5 = 135

Cioè, il numero 1011101 nel sistema numerico binario è uguale al numero 135 nel sistema numerico ottale. Oppure 1011101 2 = 1358.

Traduzione inversa. Diciamo che vuoi convertire il numero 1008 (non sbagliare! 100 in ottale non è 100 in decimale) nel sistema numerico binario.

100 8 = 1 0 0 = 001 000 000 = 001000000 = 10000002

La conversione di un numero ottale in un numero decimale può essere eseguita utilizzando lo schema già familiare:

6728 = 6 * 8 2 + 7 * 8 1 + 2 * 8 0 = 6 * 64 + 56 + 2 = 384 + 56 + 2 = 44210
1008 = 1 * 8 2 + 0 * 8 1 + 0 * 8 0 = 6410

Sistema numerico esadecimale

Il sistema numerico esadecimale, come il sistema numerico ottale, è ampiamente utilizzato in informatica per la facilità di conversione dei numeri binari. La notazione esadecimale rende i numeri più compatti.

Il sistema numerico esadecimale utilizza i numeri da 0 a 9 e le prime sei lettere latine: A (10), B (11), C (12), D (13), E (14), F (15).

Quando si converte un numero binario in esadecimale, il primo viene diviso in gruppi di quattro cifre, partendo dalla fine. Se il numero di cifre non è divisibile per un numero intero, le prime quattro vengono aggiunte precedute da zeri. Ogni quattro corrisponde a una cifra nel sistema numerico esadecimale:

Per esempio:
10001100101 = 0100 1100 0101 = 4C5 = 4C5

Se necessario, il numero 4C5 può essere convertito nel sistema numerico decimale come segue (C dovrebbe essere sostituito con il numero corrispondente a questo simbolo nel sistema numerico decimale - questo è 12):

4C5 = 4*162 + 12*161 + 5*160 = 4*256 + 192 + 5 = 1221

Il numero massimo di due cifre che può essere ottenuto utilizzando la notazione esadecimale è FF.

FF = 15 * 161 + 15 * 160 = 240 + 15 = 255

255 è il valore massimo di un byte, pari a 8 bit: 1111 1111 = FF. Pertanto, utilizzando il sistema numerico esadecimale, è molto conveniente annotare brevemente i valori dei byte (utilizzando due cifre). Attenzione! Un byte da 8 bit può avere 256 stati, ma il valore massimo è 255. Non dimenticare lo 0: questo è esattamente il 256esimo stato

Lezione 1. Sistemi numerici

1. La storia dell'emergere dei sistemi numerici.

2. Sistemi numerici posizionali e non posizionali.

3. Sistema di numerazione decimale, scrittura di numeri al suo interno.

4. Classifica

Una persona ha costantemente a che fare con i numeri, quindi è necessario essere in grado di nominare e scrivere correttamente qualsiasi numero ed eseguire operazioni sui numeri. Di norma, tutti lo affrontano con successo. In questo caso aiuta il metodo di scrittura dei numeri attualmente utilizzato ovunque e chiamato sistema di numeri decimali.

Lo studio di questo sistema inizia nel scuola primaria e, ovviamente, l'insegnante ha bisogno di determinate conoscenze in quest'area. Deve conoscere diversi modi di scrivere numeri, algoritmi operazioni aritmetiche e la loro logica. Il materiale di questa lezione fornisce il minimo senza il quale è impossibile comprendere i vari approcci metodologici all'insegnamento. scolari più piccoli modi di scrivere numeri e di eseguire operazioni su di essi.

Storia dell'emergere dei sistemi numerici.

Il concetto di numero è nato in tempi antichi. Quindi è nata la necessità di nominare e scrivere numeri. Viene chiamata la lingua per nominare, scrivere numeri ed eseguire operazioni su di essi sistema numerico.

Il sistema più semplice record numeri naturali richiede solo un numero, come "bastoncini" (o tacche nel legno, come uomo primitivo, o un nodo su una corda, come gli indiani d'America), che rappresenta un'unità. Ripetendo questo segno puoi scrivere qualsiasi numero: ogni numero N semplicemente scritto N"bastoncini". In un tale sistema numerico è conveniente eseguire operazioni aritmetiche. Ma questo metodo di registrazione è molto antieconomico grandi numeri porta inevitabilmente ad errori di conteggio.

Pertanto, nel tempo, sono sorti altri modi più economici e convenienti per scrivere i numeri. Diamo un'occhiata ad alcuni di loro.

IN Antica Grecia il cosiddetto numerazione della soffitta. I numeri 1, 2, 3, 4 erano indicati da trattini:

Il numero 5 veniva scritto con il segno G (l'antica forma della lettera “pi”, con cui inizia la parola “pente” - cinque). I numeri 6, 7, 8, 9 erano designati come segue:

Il numero 10 era indicato con Δ (la lettera iniziale della parola “deca” è dieci). I numeri 100, 1000 e 10.000 erano designati H, X, M, le lettere iniziali delle parole corrispondenti.

Altri numeri furono scritti con varie combinazioni di questi segni.

Nel III secolo aC la numerazione attica fu soppiantata dalla cosiddetta Sistema ionico. In esso i numeri da 1 a 9 sono indicati dalle prime nove lettere dell'alfabeto: α (alfa), β (beta), γ (gamma), δ (delta), ε (epsilon), ς (Oh) ζ (zeta),
η (eta), (teta).

I numeri 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 – nelle seguenti nove lettere: io(iota),
κ (kappa), λ (lambda), μ (mu), ν (nudo), ξ (xi), ο (omicron), π (pi), Con(poliziotto).

I numeri 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900 sono le ultime nove lettere dell'alfabeto greco.

Nell'antichità gli ebrei, gli arabi e molti altri popoli del Medio Oriente avevano una numerazione alfabetica simile a quella dell'antica Grecia. Non è noto tra quali persone sia apparso per la prima volta.

IN Roma antica i numeri “chiave” erano 1, 5, 10, 50, 100, 500 e 1000. Erano designati rispettivamente dalle lettere I, V, X, L, C, D e M.

Tutti i numeri interi (fino a 5000) sono stati scritti ripetendo i numeri sopra indicati. Allo stesso tempo, se un numero più grande è davanti a uno più piccolo, allora vengono sommati, ma se quello più piccolo è davanti a uno più grande (in questo caso non può essere ripetuto), allora viene sottratto quello più piccolo da quello più grande: VI = 6, cioè 5+1; IV = 4, cioè 5-1;
XL = 40, cioè 50 – 10; LX = 60, cioè 50 + 10. Lo stesso numero si scrive non più di tre volte di seguito: LXX = 70, LXXX = 80, il numero 90 si scrive XC (non LXXXX).

Ad esempio: XXVIII = 28, XXXIX = 39, CCCXCVII = 397, MDCCCXVIII = 1818.

Eseguire operazioni aritmetiche su numeri a più cifre in questa notazione è molto difficile. Tuttavia, la numerazione romana è sopravvissuta fino ai giorni nostri. Viene utilizzato per contrassegnare anniversari, nomi di conferenze, capitoli di libri, ecc.

Nei tempi antichi, nella Rus' i numeri venivano indicati con lettere. Per indicare che il segno non è una lettera, ma un numero, sopra di essi veniva posto un segno speciale chiamato “titlo”. Le prime nove cifre sono state scritte in questo modo:

Le decine sono designate come segue:

Le centinaia sono designate come segue:

Migliaia erano designati con le stesse lettere con “titoli” come prime nove cifre, ma avevano un segno “≠” a sinistra: ≠ A = 1000, ≠ B = 2000, ≠ E = 5000.

Decine di migliaia venivano chiamati" oscurità", sono stati designati cerchiando i segni dell'unità:

10 000, = 20 000, = 80 000.

Da qui deriva l'espressione “Oscurità per il popolo”, cioè ci sono molte persone.

Centinaia di migliaia venivano chiamati" legioni", sono stati designati circondando i segni dell'unità con cerchi di punti:

100 000, = 200 000, = 800 000.

Milioni venivano chiamati" leodra" Sono stati designati circondando i segni unitari con cerchi di raggi o virgole:

1 000 000, = 2 000 000.

Decine di milioni venivano chiamati" corvi"o "corvidi" e venivano designati circondando i segni unitari con cerchi di croci o ponendo la lettera K su entrambi i lati:

Centinaia di milioni venivano chiamati" mazzi" Il "mazzo" aveva una designazione speciale: le parentesi quadre erano posizionate sopra e sotto la lettera:

Geroglifici dei residenti Antica Babilonia erano costituiti da stretti cunei verticali e orizzontali; queste due icone servivano anche per registrare i numeri; Un cuneo verticale significava uno, mentre uno orizzontale significava dieci. Nell'antica Babilonia si contavano in gruppi di 60 unità. Ad esempio, il numero 185 è stato rappresentato come 3 volte 60 e altri 5. Tale numero è stato scritto utilizzando solo due segni, uno dei quali indicava quante volte sono state prese 60 e l'altro - quante unità sono state prese.

Ci sono molte ipotesi su quando e come sia sorto il sistema sessagesimale tra i babilonesi, ma nessuna è stata ancora provata. Una delle ipotesi è che ci fosse una mescolanza di due tribù, una delle quali utilizzava il sistema seiplice e l'altra il sistema decimale. Il sistema sessagesimale è nato come compromesso tra questi due sistemi. Un'altra ipotesi è che i babilonesi considerassero la durata dell'anno pari a 360 giorni, che è naturalmente associata al numero 60.

Il sistema sessagesimale, in una certa misura, è sopravvissuto fino ad oggi, ad esempio, dividendo l'ora in 60 minuti e il minuto in 60 secondi, e in un sistema simile per misurare gli angoli: 1 grado è uguale a 60 minuti, 1 il minuto è 60 secondi.

Sistema binario La notazione era usata da alcune tribù primitive per il conteggio; era nota agli antichi matematici cinesi, ma fu il grande matematico tedesco Leibniz che sviluppò e costruì veramente il sistema binario, che vide in esso la personificazione di una profonda verità metafisica.

Il sistema di numeri binari è utilizzato da alcune culture (locali) in Africa, Australia e Sud America.

Per rappresentare i numeri nel sistema numerico binario sono necessarie solo due cifre: 0 e 1. Per questo motivo, la notazione binaria di un numero è facile da rappresentare utilizzando elementi fisici che hanno due diversi stati stabili. Questo è proprio ciò che è stato uno dei motivi importanti per l'uso diffuso del sistema binario nei moderni computer elettronici.

Il più economico di tutti i sistemi numerici è ternario. Il sistema binario e il sistema quaternario, che gli equivale in termini di efficienza, sono un po' inferiori al sistema ternario, ma sono superiori a tutti i principali sistemi possibili. Se la scrittura dei numeri da 1 a 10 nel sistema decimale richiede 90 stati diversi e nel sistema binario - 60, nel sistema ternario sono sufficienti 57 stati.

La situazione più comune in cui si manifesta la necessità di un'analisi ternaria è, forse, la pesatura su una bilancia. Qui possono verificarsi tre casi diversi: o una delle tazze supererà l'altra, o viceversa, oppure le tazze si bilanceranno a vicenda.

Sistema di numerazione quaternario utilizzato principalmente dalle tribù indiane del Sud America e dagli indiani Yucca della California, che contano sugli spazi tra le dita.

Sistema numerico quintuplo era molto più diffuso di tutti gli altri. Gli indiani Tamanacos del Sud America usano la stessa parola per il numero 5 che per “mano intera”. La parola “sei” in Tamanak significa “un dito d’altra mano”, sette significa “due dita d’altra mano”, ecc. per otto e nove. Dieci si chiamano "due mani". Volendo nominare un numero da 11 a 14, i Tamanakos allungano entrambe le mani in avanti e contano: "uno sulla gamba, due sulla gamba", ecc. fino a raggiungere 15 - "tutta la gamba". Questo è seguito da “uno sull’altra gamba” (numero 16), ecc. a 19. Il numero 20 in Tamanak significa "un indiano", 21 - "uno sulla mano di un altro indiano". "Due indiani" significa 40, "tre indiani" significa 60.

Gli abitanti dell'antica Giava e degli Aztechi avevano una settimana di 5 giorni.

Alcuni storici ritengono che il numero romano X (dieci) fosse composto da due 5 romani V (uno dei quali invertito), e il numero V a sua volta derivi da un'immagine stilizzata di una mano umana.

Era molto diffuso nell'antichità sistema numerico duodecimale. La sua origine è legata anche al conteggio con le dita. Vale a dire, poiché le quattro dita della mano (eccetto il pollice) hanno un totale di 12 falangi, lungo queste falangi, girandole a turno con il pollice, si contano da 1 a 12. Quindi 12 viene preso come unità di la cifra successiva.

Il vantaggio principale del sistema duodecimale è che la sua base è divisibile per 2, 3 e 4. I sostenitori del sistema duodecimale apparvero nel XVI secolo. In un secondo momento, questi includevano: persone eccezionali, come Herbert Spencer, John Quincy Adams e George Bernard Shaw. Esiste anche un'American Duodecimal Society, che pubblica due periodici: il Duodecimal Bulletin e il Duodecimal System Manual. La società fornisce a tutti i “duodeni” uno speciale righello di conteggio, in cui 12 viene utilizzato come base.

Nel linguaggio orale sono sopravvissuti fino ai giorni nostri resti del sistema duodecimale: invece di dire “dodici”, alcuni dicono “dozzina”. È stata conservata l'usanza di contare molti oggetti non in dozzine, ma in dozzine, ad esempio le posate in un servizio (un set per 12 persone) o le sedie in un set di mobili.

Il nome dell'unità della terza cifra nel sistema numerico duodecimale è grossolano- oggi è raro, ma nella pratica commerciale all'inizio del XX secolo esisteva e anche cento anni fa si poteva trovare facilmente. Ad esempio, nella poesia "Plyushkin" scritta nel 1928 da V.V. Mayakovsky, ridicolizzando i cittadini che comprano tutto ciò di cui hanno bisogno e di cui non hanno bisogno, ha scritto:

Guardandosi intorno

dispersione delle merci,

Il sistema numerico binario utilizza solo due cifre, 0 e 1. In altre parole, due è la base del sistema numerico binario. (Allo stesso modo, il sistema decimale ha una base di 10.)

Per imparare a comprendere i numeri nel sistema numerico binario, considera innanzitutto come si formano i numeri nel sistema numerico decimale a noi familiare.

Nel sistema numerico decimale abbiamo dieci cifre (da 0 a 9). Quando il conteggio arriva a 9, viene introdotta una nuova cifra (le decine), le unità vengono azzerate e il conteggio ricomincia. Dopo 19, la cifra delle decine aumenta di 1 e quella delle unità viene nuovamente azzerata. E così via. Quando le decine raggiungono 9, appare la terza cifra: centinaia.

Il sistema numerico binario è simile al sistema numerico decimale, tranne per il fatto che nella formazione del numero sono coinvolte solo due cifre: 0 e 1. Non appena la cifra raggiunge il suo limite (cioè uno), appare una nuova cifra e quello vecchio viene azzerato.

Proviamo a contare nel sistema binario:
0 è zero
1 è uno (e questo è il limite di scarico)
10 è due
11 fa tre (e questo è di nuovo il limite)
100 fa quattro
101 – cinque
110 – sei
111 – sette, ecc.

Conversione di numeri da binario a decimale

Non è difficile notare che nel sistema numerico binario le lunghezze dei numeri aumentano rapidamente all’aumentare dei valori. Come determinare cosa significa: 10001001? Non abituato a questa forma di scrittura dei numeri, il cervello umano di solito non riesce a capire quanto sia. Sarebbe bello poter convertire i numeri binari in decimali.

Nel sistema decimale, qualsiasi numero può essere rappresentato come somma di unità, decine, centinaia, ecc. Per esempio:

1476 = 1000 + 400 + 70 + 6

1476 = 1 * 10 3 + 4 * 10 2 + 7 * 10 1 + 6 * 10 0

Osserva attentamente questa voce. Qui i numeri 1, 4, 7 e 6 sono un insieme di numeri che compongono il numero 1476. Tutti questi numeri vengono moltiplicati a loro volta per dieci elevati in un modo o nell'altro. Dieci è la base del sistema numerico decimale. La potenza a cui viene elevato il dieci è la cifra della cifra meno uno.

Qualsiasi numero binario può essere espanso in modo simile. Solo la base qui sarà 2:

10001001 = 1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0

1*2 7 + 0*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 0*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 128 + 0 + 0 + 0 + 8 + 0 + 0 + 1 = 137

Quelli. Il numero 10001001 in base 2 è uguale al numero 137 in base 10. Puoi scriverlo in questo modo:

10001001 2 = 137 10

Perché il sistema numerico binario è così comune?

Il fatto è che il sistema di numeri binari è il linguaggio della tecnologia informatica. Ogni numero deve essere in qualche modo rappresentato su un supporto fisico. Se si tratta di un sistema decimale, dovrai creare un dispositivo che possa avere dieci stati. È complicato. È più semplice produrre un elemento fisico che può trovarsi solo in due stati (ad esempio, c'è corrente o non c'è corrente). Questo è uno dei motivi principali per cui viene prestata così tanta attenzione al sistema di numerazione binario.

Conversione di un numero decimale in binario

Potrebbe essere necessario convertire il numero decimale in binario. Un modo è dividere per due e formare un numero binario dal resto. Ad esempio, devi ottenere la sua notazione binaria dal numero 77:

77/2 = 38 (1 resto)
38/2 = 19 (0 resto)
19/2 = 9 (1 resto)
9/2 = 4 (1 resto)
4/2 = 2 (0 resto)
2/2 = 1 (0 resto)
1/2 = 0 (1 resto)

Raccogliamo insieme i resti, partendo dalla fine: 1001101. Questo è il numero 77 nella rappresentazione binaria. Controlliamo:

1001101 = 1*2 6 + 0*2 5 + 0*2 4 + 1*2 3 + 1*2 2 + 0*2 1 + 1*2 0 = 64 + 0 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 77