Soluzione zero del sistema. Sistemi omogenei di equazioni algebriche lineari. Come trovare il sistema fondamentale delle soluzioni di un'equazione lineare

Sistema M equazioni lineari c N chiamate incognite sistema di lineare omogeneo equazioni se tutti i termini liberi sono uguali a zero. Un sistema del genere assomiglia a:

Dove e ij (io = 1, 2, …, M; J = 1, 2, …, N) - numeri dati; x io- sconosciuto.

Un sistema di equazioni lineari omogenee è sempre coerente, poiché R(A) = R(). Ha sempre almeno zero ( banale) soluzione (0; 0; …; 0).

Consideriamo in quali condizioni i sistemi omogenei hanno soluzioni diverse da zero.

Teorema 1. Un sistema di equazioni lineari omogenee ha soluzioni diverse da zero se e solo se il rango della sua matrice principale lo è R meno incognite N, cioè. R < N.

□ 1). Sia un sistema di equazioni lineari omogenee una soluzione diversa da zero. Dato che il rango non può superare la dimensione della matrice, allora, ovviamente, R ≤ N. Permettere R = N. Poi una delle taglie minori n n diverso da zero. Pertanto, il corrispondente sistema di equazioni lineari ha un'unica soluzione: . . . Ciò significa che non esistono altre soluzioni se non quelle banali. Quindi, se esiste una soluzione non banale, allora R < N.

2). Permettere R < N. Allora il sistema omogeneo, essendo coerente, è incerto. Ciò significa che ha un numero infinito di soluzioni, cioè ha soluzioni diverse da zero. ■

Consideriamo un sistema omogeneo N equazioni lineari c N sconosciuto:

(2)

Teorema 2. Sistema omogeneo N equazioni lineari c N incognite (2) ha soluzioni diverse da zero se e solo se il suo determinante è pari a zero: = 0.

□ Se il sistema (2) ha una soluzione diversa da zero, allora = 0. Perché quando il sistema ha solo una singola soluzione zero. Se = 0, allora il rango R la matrice principale del sistema è inferiore al numero di incognite, cioè R < N. E, quindi, il sistema ha un numero infinito di soluzioni, cioè ha soluzioni diverse da zero. ■

Indichiamo la soluzione del sistema (1) X 1 = K 1 , X 2 = K 2 , …, x n = k n come una stringa .

Le soluzioni di un sistema di equazioni lineari omogenee hanno le seguenti proprietà:

1. Se la linea è una soluzione del sistema (1), allora la retta è una soluzione del sistema (1).

2. Se le linee e sono soluzioni del sistema (1), quindi per qualsiasi valore Con 1 e Con 2 la loro combinazione lineare è anch'essa una soluzione del sistema (1).

La validità di queste proprietà può essere verificata sostituendole direttamente nelle equazioni del sistema.

Dalle proprietà formulate ne consegue che qualsiasi combinazione lineare di soluzioni di un sistema di equazioni lineari omogenee è anche una soluzione di questo sistema.

Sistema di soluzioni linearmente indipendenti e 1 , e 2 , …, e r chiamato fondamentale, se ciascuna soluzione del sistema (1) è una combinazione lineare di queste soluzioni e 1 , e 2 , …, e r.

Teorema 3. Se rango R le matrici dei coefficienti per le variabili del sistema di equazioni lineari omogenee (1) sono inferiori al numero di variabili N, allora qualsiasi sistema fondamentale di soluzioni del sistema (1) è costituito da n–r decisioni.

Ecco perché decisione comune sistema di equazioni lineari omogenee (1) ha la forma:

Dove e 1 , e 2 , …, e r– qualsiasi sistema fondamentale di soluzioni al sistema (9), Con 1 , Con 2 , …, con pag– numeri arbitrari, R = n–r.

Teorema 4. Soluzione generale del sistema M equazioni lineari c N incognite è uguale alla somma della soluzione generale del corrispondente sistema di equazioni lineari omogenee (1) e di una soluzione particolare arbitraria di questo sistema (1).

Esempio. Risolvi il sistema

Soluzione. Per questo sistema M = N= 3. Determinante

per il Teorema 2, il sistema ha solo una soluzione banale: X = sì = z = 0.

Esempio. 1) Trovare soluzioni generali e particolari del sistema

2) Trovare il sistema fondamentale di soluzioni.

Soluzione. 1) Per questo sistema M = N= 3. Determinante

per il Teorema 2, il sistema ha soluzioni diverse da zero.

Poiché nel sistema esiste una sola equazione indipendente

X + sì – 4z = 0,

poi da esso esprimeremo X =4z- sì. Dove otteniamo un numero infinito di soluzioni: (4 z- sì, sì, z) – questa è la soluzione generale del sistema.

A z= 1, sì= -1, otteniamo una soluzione particolare: (5, -1, 1). Mettendo z= 3, sì= 2, otteniamo la seconda soluzione particolare: (10, 2, 3), ecc.

2) Nella soluzione generale (4 z- sì, sì, z) variabili sì E z sono liberi e la variabile X- dipendente da loro. Per trovare il sistema fondamentale delle soluzioni, assegniamo valori alle variabili libere: prima sì = 1, z= 0, quindi sì = 0, z= 1. Otteniamo soluzioni parziali (-1, 1, 0), (4, 0, 1), che formano il sistema fondamentale delle soluzioni.

Illustrazioni:

Riso. 1 Classificazione dei sistemi di equazioni lineari

Riso. 2 Studio dei sistemi di equazioni lineari

Presentazioni:

· Soluzione Metodo SLAE_matrix

· Soluzione del metodo SLAE_Cramer

· Soluzione Metodo SLAE_Gauss

· Pacchetti per la risoluzione di problemi matematici Matematica, MathCad: ricerca di soluzioni analitiche e numeriche a sistemi di equazioni lineari

Domande di controllo:

1. Definire un'equazione lineare

2. Che tipo di sistema assomiglia? M equazioni lineari con N sconosciuto?

3. Cosa si chiama risoluzione di sistemi di equazioni lineari?

4. Quali sistemi sono detti equivalenti?

5. Quale sistema è definito incompatibile?

6. Quale sistema si chiama congiunto?

7. Quale sistema è chiamato definito?

8. Quale sistema è chiamato indefinito

9. Elencare le trasformazioni elementari di sistemi di equazioni lineari

10. Elencare le trasformazioni elementari delle matrici

11. Formulare un teorema sull'applicazione delle trasformazioni elementari a un sistema di equazioni lineari

12. Quali sistemi possono essere risolti utilizzando il metodo della matrice?

13. Quali sistemi possono essere risolti con il metodo di Cramer?

14. Quali sistemi possono essere risolti con il metodo di Gauss?

15. Elenca 3 possibili casi che si verificano quando si risolvono sistemi di equazioni lineari utilizzando il metodo di Gauss

16. Descrivere il metodo matriciale per risolvere sistemi di equazioni lineari

17. Descrivere il metodo di Cramer per risolvere sistemi di equazioni lineari

18. Descrivere il metodo di Gauss per risolvere sistemi di equazioni lineari

19. Quali sistemi possono essere risolti utilizzando una matrice inversa?

20. Elenca 3 possibili casi che si verificano quando si risolvono sistemi di equazioni lineari utilizzando il metodo Cramer

Letteratura:

1. Matematica superiore per economisti: libro di testo per università / N.Sh. Kremer, B.A. Putko, I.M. Trishin, MN Friedman. Ed. N.Sh. Kremer. – M.: UNITÀ, 2005. – 471 p.

2. Corso generale di matematica superiore per economisti: libro di testo. /Ed. IN E. Ermakova. –M.: INFRA-M, 2006. – 655 pag.

3. Raccolta di problemi di matematica superiore per economisti: libro di testo / a cura di V.I. Ermakova. M.: INFRA-M, 2006. – 574 pag.

4. Gmurman V. E. Guida alla risoluzione di problemi di teoria della probabilità e statistica magmatica. - M.: Scuola Superiore, 2005. – 400 p.

5. Gmurmann. V.E Teoria della probabilità e statistica matematica. - M.: Scuola Superiore, 2005.

6. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T.Ya. Matematica superiore in esercizi e problemi. Parte 1, 2. – M.: Onyx 21st Century: Pace ed Educazione, 2005. – 304 p. Parte 1; – 416 pag. Parte 2.

7. Matematica in economia: Libro di testo: in 2 parti / A.S. Solodovnikov, V.A. Babaytsev, A.V. Brailov, I.G. Shandara. – M.: Finanza e Statistica, 2006.

8. Shipachev V.S. Matematica superiore: libro di testo per studenti. università - M.: Scuola Superiore, 2007. - 479 p.

Informazioni correlate.

Continueremo a perfezionare la nostra tecnologia trasformazioni elementari SU sistema omogeneo di equazioni lineari.
Sulla base dei primi paragrafi, il materiale può sembrare noioso e mediocre, ma questa impressione è ingannevole. Oltre all'ulteriore sviluppo delle tecniche, ci saranno molte nuove informazioni, quindi cerca di non trascurare gli esempi in questo articolo.

Cos'è un sistema omogeneo di equazioni lineari?

La risposta suggerisce se stessa. Un sistema di equazioni lineari è omogeneo se il termine è libero tutti l'equazione del sistema è zero. Per esempio:

Questo è assolutamente chiaro un sistema omogeneo è sempre coerente, cioè ha sempre una soluzione. E, prima di tutto, ciò che attira la tua attenzione è il cosiddetto banale soluzione . Banale, per chi non capisce affatto il significato dell'aggettivo, significa senza ostentazione. Non accademicamente, ovviamente, ma intelligibilmente =) ...Perché girare intorno al cespuglio, vediamo se questo sistema ha altre soluzioni:

Esempio 1

Soluzione: per risolvere un sistema omogeneo è necessario scrivere matrice del sistema e con l'aiuto di trasformazioni elementari portalo a una forma graduale. Tieni presente che qui non è necessario annotare la barra verticale e la colonna zero dei termini liberi: dopo tutto, qualunque cosa tu faccia con gli zeri, rimarranno zeri:

(1) La prima riga è stata aggiunta alla seconda riga, moltiplicata per –2. La prima riga è stata aggiunta alla terza riga, moltiplicata per –3.

(2) La seconda riga è stata aggiunta alla terza riga, moltiplicata per –1.

Dividere la terza riga per 3 non ha molto senso.

Come risultato delle trasformazioni elementari, si ottiene un sistema omogeneo equivalente , e, utilizzando il metodo gaussiano inverso, è facile verificare che la soluzione è unica.

Risposta:

Formuliamo un criterio ovvio: ha un sistema omogeneo di equazioni lineari solo una soluzione banale, Se rango della matrice del sistema(in questo caso 3) è uguale al numero di variabili (in questo caso – 3 pezzi).

Riscaldiamo e sintonizziamo la nostra radio sull'onda delle trasformazioni elementari:

Esempio 2

Risolvere un sistema omogeneo di equazioni lineari

Per consolidare finalmente l’algoritmo, analizziamo il compito finale:

Esempio 7

Risolvi un sistema omogeneo, scrivi la risposta in forma vettoriale.

Soluzione: scriviamo la matrice del sistema e, mediante trasformazioni elementari, portiamola nella forma graduale:

(1) È stato cambiato il segno della prima riga. Ancora una volta attiro l'attenzione su una tecnica riscontrata molte volte, che consente di semplificare notevolmente l'azione successiva.

(1) La prima riga è stata aggiunta alla 2a e alla 3a riga. La prima riga, moltiplicata per 2, è stata aggiunta alla quarta riga.

(3) Le ultime tre righe sono proporzionali, due di esse sono state soppresse.

Di conseguenza, si ottiene una matrice a gradini standard e la soluzione continua lungo il percorso zigrinato:

– variabili di base;
– variabili libere.

Esprimiamo le variabili di base in termini di variabili libere. Dalla 2a equazione:

– sostituisci nella prima equazione:

Quindi la soluzione generale è:

Poiché nell'esempio in esame le variabili libere sono tre, il sistema fondamentale contiene tre vettori.

Sostituiamo una tripla di valori nella soluzione generale e ottenere un vettore le cui coordinate soddisfano ciascuna equazione del sistema omogeneo. E ancora, ripeto che è altamente consigliabile controllare ogni vettore ricevuto: non ci vorrà molto tempo, ma ti proteggerà completamente dagli errori.

Per un triplo di valori trova il vettore

E infine per i tre otteniamo il terzo vettore:

Risposta: , Dove

Coloro che desiderano evitare valori frazionari possono prendere in considerazione le terzine e ottieni una risposta in forma equivalente:

A proposito di frazioni. Consideriamo la matrice ottenuta nel problema e chiediamoci: è possibile semplificare l'ulteriore soluzione? Dopotutto, qui abbiamo prima espresso la variabile di base attraverso le frazioni, poi la variabile di base attraverso le frazioni e, devo dire, questo processo non è stato dei più semplici e nemmeno dei più piacevoli.

Seconda soluzione:

L'idea è provare scegli altre variabili di base. Diamo un'occhiata alla matrice e notiamo due nella terza colonna. Allora perché non avere uno zero in alto? Eseguiamo un'altra trasformazione elementare:

Sistemi omogenei di equazioni algebriche lineari

Come parte delle lezioni Metodo gaussiano E Sistemi incompatibili/sistemi con una soluzione comune abbiamo considerato sistemi disomogenei di equazioni lineari, Dove membro gratuito(che di solito è a destra) almeno una dalle equazioni era diverso da zero.
E ora, dopo un buon riscaldamento con rango di matrice, continueremo a perfezionare la tecnica trasformazioni elementari SU sistema omogeneo di equazioni lineari.
Sulla base dei primi paragrafi, il materiale può sembrare noioso e mediocre, ma questa impressione è ingannevole. Oltre all'ulteriore sviluppo delle tecniche, ci saranno molte nuove informazioni, quindi cerca di non trascurare gli esempi in questo articolo.

Cos'è un sistema omogeneo di equazioni lineari?

La risposta suggerisce se stessa. Un sistema di equazioni lineari è omogeneo se il termine è libero tutti l'equazione del sistema è zero. Per esempio:

Esempio 1

(1) La prima riga è stata aggiunta alla seconda riga, moltiplicata per –2. La prima riga è stata aggiunta alla terza riga, moltiplicata per –3.

(2) La seconda riga è stata aggiunta alla terza riga, moltiplicata per –1.

Dividere la terza riga per 3 non ha molto senso.

Come risultato delle trasformazioni elementari, si ottiene un sistema omogeneo equivalente , e, utilizzando il metodo gaussiano inverso, è facile verificare che la soluzione è unica.

Risposta:

Riscaldiamo e sintonizziamo la nostra radio sull'onda delle trasformazioni elementari:

Esempio 2

Risolvere un sistema omogeneo di equazioni lineari

Dall'articolo Come trovare il rango di una matrice? Ricordiamo la tecnica razionale di diminuire simultaneamente i numeri della matrice. Altrimenti, dovrai tagliare pesci grandi e spesso mordaci. Un esempio approssimativo di un compito alla fine della lezione.

Gli zeri sono utili e convenienti, ma in pratica il caso è molto più comune quando le righe del sistema sono matrici linearmente dipendente. E allora l’emergere di una soluzione generale è inevitabile:

Esempio 3

Risolvere un sistema omogeneo di equazioni lineari

Soluzione: scriviamo la matrice del sistema e, mediante trasformazioni elementari, portiamola in una forma graduale. La prima azione mira non solo ad ottenere un singolo valore, ma anche a diminuire i numeri presenti nella prima colonna:

(1) Alla prima riga è stata aggiunta una terza riga, moltiplicata per –1. La terza riga è stata aggiunta alla seconda riga, moltiplicata per –2. In alto a sinistra ho un'unità con un "meno", che spesso è molto più conveniente per ulteriori trasformazioni.

(2) Le prime due righe sono uguali, una è stata cancellata. Onestamente, non ho spinto la soluzione: è andata così. Se esegui trasformazioni in modalità modello, allora dipendenza lineare le linee sarebbero state rivelate poco dopo.

(3) La seconda riga è stata aggiunta alla terza riga, moltiplicata per 3.

(4) Il segno della prima riga è stato cambiato.

Come risultato delle trasformazioni elementari, è stato ottenuto un sistema equivalente:

L'algoritmo funziona esattamente come per sistemi eterogenei. Le variabili “seduti sui gradini” sono le principali, la variabile che non ha ottenuto un “gradino” è libera.

Esprimiamo le variabili di base attraverso una variabile libera:

Risposta: decisione comune:

La soluzione banale è inclusa nella formula generale e non è necessario scriverla separatamente.

Anche la verifica si effettua secondo lo schema consueto: la soluzione generale risultante deve essere sostituita nel membro sinistro di ciascuna equazione del sistema e per tutte le sostituzioni si deve ottenere uno zero legale.

Sarebbe possibile concludere tutto questo in silenzio e pacificamente, ma spesso la soluzione di un sistema omogeneo di equazioni deve essere rappresentata in forma vettoriale usando sistema fondamentale di soluzioni. Per favore, dimenticatene per ora geometria analitica, visto che adesso parleremo di vettori in senso algebrico generale, che ho aperto un po' nell'articolo su rango di matrice. Non è necessario sorvolare sulla terminologia, tutto è abbastanza semplice.

La risoluzione dei sistemi di equazioni algebriche lineari (SLAE) è senza dubbio l'argomento più importante in un corso di algebra lineare. Un numero enorme di problemi di tutti i rami della matematica si riduce alla risoluzione di sistemi di equazioni lineari. Questi fattori spiegano il motivo di questo articolo. Il materiale dell'articolo è selezionato e strutturato in modo che con il suo aiuto tu possa

scegli il metodo ottimale per risolvere il tuo sistema di equazioni algebriche lineari,
studiare la teoria del metodo scelto,
risolvere il tuo sistema di equazioni lineari considerando soluzioni dettagliate ad esempi e problemi tipici.

Breve descrizione del materiale dell'articolo.

Innanzitutto, diamo tutte le definizioni, i concetti necessari e introduciamo le notazioni.

Successivamente, considereremo metodi per risolvere sistemi di equazioni algebriche lineari in cui il numero di equazioni è uguale al numero di variabili incognite e che hanno un'unica soluzione. In primo luogo, ci concentreremo sul metodo di Cramer, in secondo luogo, mostreremo il metodo della matrice per risolvere tali sistemi di equazioni e, in terzo luogo, analizzeremo il metodo di Gauss (il metodo di eliminazione sequenziale delle variabili sconosciute). Per consolidare la teoria, risolveremo sicuramente diversi SLAE in modi diversi.

Successivamente passeremo alla risoluzione di sistemi di equazioni algebriche lineari di forma generale, in cui il numero di equazioni non coincide con il numero di incognite o la matrice principale del sistema è singolare. Formuliamo il teorema di Kronecker-Capelli, che ci permette di stabilire la compatibilità degli SLAE. Analizziamo la soluzione dei sistemi (se compatibili) utilizzando il concetto di base minore di una matrice. Considereremo anche il metodo di Gauss e descriveremo in dettaglio le soluzioni degli esempi.

Ci soffermeremo sicuramente sulla struttura della soluzione generale di sistemi omogenei e disomogenei di equazioni algebriche lineari. Diamo il concetto di sistema fondamentale di soluzioni e mostriamo come si scrive la soluzione generale di uno SLAE utilizzando i vettori del sistema fondamentale di soluzioni. Per una migliore comprensione, diamo un'occhiata ad alcuni esempi.

In conclusione, considereremo sistemi di equazioni che possono essere ridotti a lineari, nonché vari problemi nella cui soluzione sorgono gli SLAE.

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Definizioni, concetti, designazioni.

Considereremo sistemi di p equazioni algebriche lineari con n variabili incognite (p può essere uguale a n) della forma

Variabili sconosciute, - coefficienti (alcuni numeri reali o complessi), - termini liberi (anche numeri reali o complessi).

Questa forma di registrazione si chiama SLAE coordinata.

IN forma matriciale scrivere questo sistema di equazioni ha la forma,
Dove - la matrice principale del sistema, - una matrice colonna di variabili incognite, - una matrice colonna di termini liberi.

Se aggiungiamo una colonna di matrice di termini liberi alla matrice A come (n+1)esima colonna, otteniamo la cosiddetta matrice estesa sistemi di equazioni lineari. Tipicamente, una matrice estesa è indicata con la lettera T e la colonna dei termini liberi è separata da una linea verticale dalle restanti colonne, ovvero

Risoluzione di un sistema di equazioni algebriche lineari chiamato insieme di valori di variabili sconosciute che trasforma tutte le equazioni del sistema in identità. Anche l'equazione di matrice per dati valori delle variabili incognite diventa un'identità.

Se un sistema di equazioni ha almeno una soluzione, allora viene chiamato giunto.

Se un sistema di equazioni non ha soluzioni, viene chiamato non congiunto.

Se uno SLAE ha una soluzione univoca, viene chiamato certo; se esiste più di una soluzione, allora – incerto.

Se i termini liberi di tutte le equazioni del sistema sono uguali a zero , quindi viene chiamato il sistema omogeneo, Altrimenti - eterogeneo.

Risoluzione di sistemi elementari di equazioni algebriche lineari.

Se il numero di equazioni di un sistema è uguale al numero di variabili sconosciute e il determinante della sua matrice principale non è uguale a zero, allora tali SLAE verranno chiamati elementare. Tali sistemi di equazioni hanno un'unica soluzione e, nel caso di un sistema omogeneo, tutte le variabili sconosciute sono uguali a zero.

Abbiamo iniziato a studiare tali SLAE alle scuole superiori. Nel risolverle, prendevamo un'equazione, esprimevamo una variabile sconosciuta in termini di altre e la sostituivamo nelle restanti equazioni, poi prendevamo l'equazione successiva, esprimevamo la variabile sconosciuta successiva e la sostituivamo in altre equazioni, e così via. Oppure usavano il metodo dell’addizione, cioè aggiungevano due o più equazioni per eliminare alcune variabili sconosciute. Non ci soffermeremo su questi metodi in dettaglio, poiché si tratta essenzialmente di modifiche del metodo di Gauss.

I principali metodi per risolvere sistemi elementari di equazioni lineari sono il metodo Cramer, il metodo delle matrici e il metodo di Gauss. Risolviamoli.

Risoluzione di sistemi di equazioni lineari utilizzando il metodo di Cramer.

Supponiamo di dover risolvere un sistema di equazioni algebriche lineari

in cui il numero di equazioni è pari al numero di variabili incognite e il determinante della matrice principale del sistema è diverso da zero, cioè .

Sia il determinante della matrice principale del sistema, e - determinanti delle matrici che si ottengono da A per sostituzione 1°, 2°, …, ennesimo colonna rispettivamente alla colonna degli iscritti gratuiti:

Con questa notazione le variabili sconosciute vengono calcolate utilizzando le formule del metodo di Cramer as . Ecco come si trova la soluzione di un sistema di equazioni algebriche lineari utilizzando il metodo di Cramer.

Esempio.

Il metodo di Cramer .

Soluzione.

La matrice principale del sistema ha la forma . Calcoliamo il suo determinante (se necessario, vedi l'articolo):

Poiché il determinante della matrice principale del sistema è diverso da zero, il sistema ha un’unica soluzione che può essere trovata con il metodo di Cramer.

Componiamo e calcoliamo i determinanti necessari (otteniamo il determinante sostituendo la prima colonna della matrice A con una colonna di termini liberi, il determinante sostituendo la seconda colonna con una colonna di termini liberi, e sostituendo la terza colonna della matrice A con una colonna di termini liberi) :

Trovare variabili sconosciute utilizzando le formule :

Risposta:

Lo svantaggio principale del metodo di Cramer (se può essere definito uno svantaggio) è la complessità del calcolo dei determinanti quando il numero di equazioni nel sistema è superiore a tre.

Risoluzione di sistemi di equazioni algebriche lineari utilizzando il metodo matriciale (utilizzando una matrice inversa).

Sia dato un sistema di equazioni algebriche lineari in forma matriciale, dove la matrice A ha dimensione n per n e il suo determinante è diverso da zero.

Poiché , la matrice A è invertibile, cioè esiste una matrice inversa. Se moltiplichiamo entrambi i lati dell'uguaglianza per sinistra, otteniamo una formula per trovare una colonna di matrice di variabili sconosciute. In questo modo abbiamo ottenuto la soluzione di un sistema di equazioni algebriche lineari utilizzando il metodo della matrice.

Esempio.

Risolvere sistemi di equazioni lineari metodo della matrice.

Soluzione.

Riscriviamo il sistema di equazioni in forma matriciale:

Perché

quindi lo SLAE può essere risolto utilizzando il metodo della matrice. Utilizzando la matrice inversa, la soluzione di questo sistema può essere trovata come .

Costruiamo una matrice inversa utilizzando una matrice da addizioni algebriche di elementi della matrice A (se necessario, vedere l'articolo):

Resta da calcolare la matrice delle variabili sconosciute moltiplicando la matrice inversa ad una colonna-matrice di membri liberi (se necessario, vedere l'articolo):

Risposta:

o in un'altra notazione x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Il problema principale quando si trovano soluzioni a sistemi di equazioni algebriche lineari utilizzando il metodo matriciale è la complessità di trovare la matrice inversa, soprattutto per matrici quadrate di ordine superiore al terzo.

Risoluzione di sistemi di equazioni lineari utilizzando il metodo di Gauss.

Supponiamo di dover trovare la soluzione ad un sistema di n equazioni lineari con n variabili incognite
il cui determinante della matrice principale è diverso da zero.

L'essenza del metodo Gauss consiste nell'esclusione sequenziale delle incognite: prima si esclude x 1 da tutte le equazioni del sistema, a partire dalla seconda, poi si esclude x 2 da tutte le equazioni, a partire dalla terza, e così via, fino alla sola variabile incognita x n rimane nell'ultima equazione. Questo processo di trasformazione delle equazioni del sistema per eliminare sequenzialmente le variabili sconosciute viene chiamato metodo gaussiano diretto. Dopo aver completato il tratto in avanti del metodo gaussiano, x n viene trovato dall'ultima equazione, utilizzando questo valore dalla penultima equazione, viene calcolato x n-1 e così via, x 1 viene trovato dalla prima equazione. Viene chiamato il processo di calcolo delle variabili sconosciute quando si passa dall'ultima equazione del sistema alla prima inverso del metodo gaussiano.

Descriviamo brevemente l'algoritmo per eliminare le variabili sconosciute.

Lo assumeremo , poiché possiamo sempre ottenere questo risultato riorganizzando le equazioni del sistema. Eliminiamo l'incognita x 1 da tutte le equazioni del sistema, cominciando dalla seconda. Per fare questo, alla seconda equazione del sistema aggiungiamo la prima, moltiplicata per , alla terza equazione aggiungiamo la prima, moltiplicata per , e così via, all'ennesima equazione aggiungiamo la prima, moltiplicata per . Il sistema di equazioni dopo tali trasformazioni assumerà la forma

dove e .

Saremmo arrivati allo stesso risultato se avessimo espresso x 1 in termini di altre variabili incognite nella prima equazione del sistema e avessimo sostituito l'espressione risultante in tutte le altre equazioni. Pertanto la variabile x 1 è esclusa da tutte le equazioni, a partire dalla seconda.

Successivamente si procede in modo simile, ma solo con una parte del sistema risultante, contrassegnato in figura

Per fare questo, alla terza equazione del sistema aggiungiamo la seconda, moltiplicata per , alla quarta equazione aggiungiamo la seconda, moltiplicata per , e così via, all'ennesima equazione aggiungiamo la seconda, moltiplicata per . Il sistema di equazioni dopo tali trasformazioni assumerà la forma

dove e . Pertanto la variabile x 2 è esclusa da tutte le equazioni, a partire dalla terza.

Successivamente si procede all'eliminazione dell'incognita x 3, mentre si procede analogamente con la parte del sistema segnata in figura

Continuiamo quindi la progressione diretta del metodo gaussiano finché il sistema non prende forma

Da questo momento iniziamo il metodo inverso del metodo gaussiano: calcoliamo x n dall'ultima equazione come , utilizzando il valore ottenuto di x n troviamo x n-1 dalla penultima equazione, e così via, troviamo x 1 dalla prima equazione .

Esempio.

Risolvere sistemi di equazioni lineari Metodo di Gauss.

Soluzione.

Escludiamo la variabile incognita x 1 dalla seconda e terza equazione del sistema. Per fare ciò, ad entrambi i membri della seconda e della terza equazione aggiungiamo le parti corrispondenti della prima equazione, moltiplicate rispettivamente per e per:

Ora eliminiamo x 2 dalla terza equazione aggiungendo ai suoi lati sinistro e destro i lati sinistro e destro della seconda equazione, moltiplicati per:

Questo completa la corsa in avanti del metodo Gauss; iniziamo la corsa inversa.

Dall'ultima equazione del sistema di equazioni risultante troviamo x 3:

Dalla seconda equazione otteniamo .

Dalla prima equazione troviamo la restante variabile sconosciuta e completiamo così il procedimento inverso di Gauss.

Risposta:

X1 = 4, x2 = 0, x3 = -1.

Risoluzione di sistemi di equazioni algebriche lineari di forma generale.

In generale, il numero di equazioni del sistema p non coincide con il numero di incognite n:

Tali SLAE potrebbero non avere soluzioni, avere un'unica soluzione o infinite soluzioni. Questa affermazione vale anche per i sistemi di equazioni la cui matrice principale è quadrata e singolare.

Teorema di Kronecker-Capelli.

Prima di trovare la soluzione ad un sistema di equazioni lineari è necessario stabilirne la compatibilità. La risposta alla domanda quando SLAE è compatibile e quando è incoerente è data da Teorema di Kronecker-Capelli:
Affinché un sistema di p equazioni con n incognite (p può essere uguale a n) sia coerente, è necessario e sufficiente che il rango della matrice principale del sistema sia pari al rango della matrice estesa, cioè , Rango(A)=Rango(T).

Consideriamo, ad esempio, l'applicazione del teorema di Kronecker-Capelli per determinare la compatibilità di un sistema di equazioni lineari.

Esempio.

Scopri se il sistema di equazioni lineari ha soluzioni.

Soluzione.

. Usiamo il metodo del confinamento dei minori. Minore del secondo ordine diverso da zero. Vediamo i minori del terzo ordine che lo confinano:

Poiché tutti i minori confinanti del terzo ordine sono uguali a zero, il rango della matrice principale è pari a due.

A sua volta, il rango della matrice estesa è uguale a tre, poiché il minore è del terzo ordine

diverso da zero.

Così, Rang(A), quindi, utilizzando il teorema di Kronecker–Capelli, possiamo concludere che il sistema originale di equazioni lineari è incoerente.

Risposta:

Il sistema non ha soluzioni.

Abbiamo quindi imparato a stabilire l'incoerenza di un sistema utilizzando il teorema di Kronecker-Capelli.

Ma come trovare una soluzione ad uno SLAE una volta accertata la sua compatibilità?

Per fare ciò abbiamo bisogno del concetto di base minore di una matrice e di un teorema sul rango di una matrice.

Si chiama il minore dell'ordine più alto della matrice A, diverso da zero di base.

Dalla definizione di base minore segue che il suo ordine è uguale al rango della matrice. Per una matrice A diversa da zero possono esserci più basi minori; esiste sempre una base minore.

Consideriamo ad esempio la matrice .

Tutti i minori del terzo ordine di questa matrice sono uguali a zero, poiché gli elementi della terza riga di questa matrice sono la somma dei corrispondenti elementi della prima e della seconda riga.

I seguenti minori del secondo ordine sono fondamentali, poiché sono diversi da zero

Minori non sono fondamentali perché sono pari a zero.

Teorema del rango della matrice.

Se il rango di una matrice di ordine p per n è uguale a r, allora tutti gli elementi di riga (e colonna) della matrice che non formano la base minore scelta sono espressi linearmente in termini dei corrispondenti elementi di riga (e colonna) che formano la base minore.

Cosa ci dice il teorema del rango delle matrici?

Se, secondo il teorema di Kronecker-Capelli, abbiamo stabilito la compatibilità del sistema, allora scegliamo una qualsiasi base minore della matrice principale del sistema (il suo ordine è uguale a r), ed escludiamo dal sistema tutte le equazioni che non lo fanno non costituiscono la base selezionata minore. Lo SLAE così ottenuto sarà equivalente a quello originale, poiché le equazioni scartate sono ancora ridondanti (secondo il teorema del rango di matrice, sono una combinazione lineare delle restanti equazioni).

Di conseguenza, dopo aver scartato le equazioni non necessarie del sistema, sono possibili due casi.

Se il numero di equazioni r nel sistema risultante è uguale al numero di variabili sconosciute, allora sarà definito e l'unica soluzione potrà essere trovata con il metodo Cramer, il metodo della matrice o il metodo di Gauss.

Esempio.

Soluzione.

Rango della matrice principale del sistema è uguale a due, poiché il minore è del secondo ordine diverso da zero. Grado Matrix esteso è anch'esso uguale a due, poiché l'unico minore del terzo ordine è zero

e il minore di secondo ordine sopra considerato è diverso da zero. In base al teorema di Kronecker–Capelli possiamo affermare la compatibilità del sistema originale di equazioni lineari, poiché Rank(A)=Rank(T)=2.

Prendiamo come base minore . È formato dai coefficienti della prima e della seconda equazione:

La terza equazione del sistema non partecipa alla formazione della base minore, quindi la escludiamo dal sistema basato sul teorema sul rango della matrice:

È così che abbiamo ottenuto un sistema elementare di equazioni algebriche lineari. Risolviamolo utilizzando il metodo di Cramer:

Risposta:

x1 = 1, x2 = 2.

Se il numero di equazioni r nello SLAE risultante è inferiore al numero di variabili sconosciute n, allora sul lato sinistro delle equazioni lasciamo i termini che formano la base minore e trasferiamo i termini rimanenti sul lato destro del equazioni del sistema di segno opposto.

Vengono chiamate le variabili incognite (r di esse) che rimangono sul lato sinistro delle equazioni principale.

Vengono chiamate le variabili sconosciute (ci sono n - r pezzi) che si trovano sul lato destro gratuito.

Ora crediamo che le variabili sconosciute libere possano assumere valori arbitrari, mentre le r variabili sconosciute principali saranno espresse attraverso variabili sconosciute libere in un modo unico. La loro espressione può essere trovata risolvendo lo SLAE risultante utilizzando il metodo Cramer, il metodo della matrice o il metodo Gauss.

Vediamolo con un esempio.

Esempio.

Risolvere un sistema di equazioni algebriche lineari .

Soluzione.

Troviamo il rango della matrice principale del sistema con il metodo del confinamento dei minori. Prendiamo 1 1 = 1 come minore diverso da zero del primo ordine. Cominciamo a cercare un minore diverso da zero del secondo ordine confinante con questo minore:

È così che abbiamo trovato un minore diverso da zero del secondo ordine. Iniziamo la ricerca di un minore confinante diverso da zero del terzo ordine:

Pertanto, il rango della matrice principale è tre. Anche il rango della matrice estesa è pari a tre, ovvero il sistema è coerente.

Prendiamo come base il minore trovato diverso da zero del terzo ordine.

Per chiarezza riportiamo gli elementi che costituiscono la base minore:

Lasciamo i termini coinvolti nella base minore sul lato sinistro delle equazioni del sistema, e trasferiamo il resto con segni opposti sul lato destro:

Diamo alle variabili sconosciute libere x 2 e x 5 valori arbitrari, cioè accettiamo , dove sono numeri arbitrari. In questo caso la SLAE assumerà la forma

Risolviamo il sistema elementare risultante di equazioni algebriche lineari utilizzando il metodo di Cramer:

Quindi, .

Nella risposta non dimenticare di indicare le variabili sconosciute libere.

Risposta:

Dove sono i numeri arbitrari.

Riassumere.

Per risolvere un sistema di equazioni algebriche lineari generali, determiniamo innanzitutto la sua compatibilità utilizzando il teorema di Kronecker-Capelli. Se il rango della matrice principale non è uguale al rango della matrice estesa, allora concludiamo che il sistema è incompatibile.

Se il rango della matrice principale è uguale al rango della matrice estesa, selezioniamo una base minore e scartiamo le equazioni del sistema che non partecipano alla formazione della base minore selezionata.

Se l'ordine della base minore è uguale al numero di variabili sconosciute, allora lo SLAE ha un'unica soluzione, che può essere trovata con qualsiasi metodo a noi noto.

Se l'ordine della base minore è inferiore al numero di variabili sconosciute, sul lato sinistro delle equazioni del sistema lasciamo i termini con le principali variabili sconosciute, trasferiamo i termini rimanenti sul lato destro e diamo valori arbitrari a le variabili sconosciute libere. Dal sistema di equazioni lineari risultante troviamo le principali variabili incognite utilizzando il metodo Cramer, il metodo della matrice o il metodo di Gauss.

Metodo di Gauss per la risoluzione di sistemi di equazioni algebriche lineari di forma generale.

Il metodo Gauss può essere utilizzato per risolvere sistemi di equazioni algebriche lineari di qualsiasi tipo senza prima verificarne la coerenza. Il processo di eliminazione sequenziale delle variabili sconosciute consente di trarre una conclusione sia sulla compatibilità che sull'incompatibilità dello SLAE e, se esiste una soluzione, rende possibile trovarla.

Dal punto di vista computazionale è preferibile il metodo gaussiano.

Vedi la sua descrizione dettagliata e gli esempi analizzati nell'articolo Metodo di Gauss per risolvere sistemi di equazioni algebriche lineari generali.

Scrivere una soluzione generale a sistemi algebrici lineari omogenei e disomogenei utilizzando i vettori del sistema fondamentale di soluzioni.

In questa sezione parleremo di sistemi simultanei omogenei e disomogenei di equazioni algebriche lineari che hanno un numero infinito di soluzioni.

Consideriamo innanzitutto i sistemi omogenei.

Sistema fondamentale di soluzioni sistema omogeneo di p equazioni algebriche lineari con n variabili incognite è un insieme di (n – r) soluzioni linearmente indipendenti di questo sistema, dove r è l'ordine della base minore della matrice principale del sistema.

Se denotiamo soluzioni linearmente indipendenti di uno SLAE omogeneo come X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) sono matrici colonnari di dimensione n per 1) , allora la soluzione generale di questo sistema omogeneo è rappresentata come una combinazione lineare di vettori del sistema fondamentale di soluzioni con coefficienti costanti arbitrari C 1, C 2, ..., C (n-r), cioè .

Cosa significa il termine soluzione generale di un sistema omogeneo di equazioni algebriche lineari (oroslau)?

Il significato è semplice: la formula specifica tutte le possibili soluzioni dello SLAE originale, in altre parole, prendendo qualsiasi insieme di valori delle costanti arbitrarie C 1, C 2, ..., C (n-r), utilizzando la formula che faremo ottenere una delle soluzioni dello SLAE omogeneo originale.

Pertanto, se troviamo un sistema fondamentale di soluzioni, allora possiamo definire tutte le soluzioni di questo SLAE omogeneo come .

Mostriamo il processo di costruzione di un sistema fondamentale di soluzioni per uno SLAE omogeneo.

Selezioniamo la base minore del sistema originale di equazioni lineari, escludiamo tutte le altre equazioni dal sistema e trasferiamo tutti i termini contenenti variabili sconosciute libere ai membri di destra delle equazioni del sistema con segni opposti. Diamo alle variabili incognite libere i valori 1,0,0,...,0 e calcoliamo le principali incognite risolvendo il sistema elementare di equazioni lineari risultante in qualsiasi modo, ad esempio utilizzando il metodo Cramer. Ciò si tradurrà in X (1) - la prima soluzione del sistema fondamentale. Se diamo alle incognite libere i valori 0,1,0,0,…,0 e calcoliamo le incognite principali, otteniamo X (2) . E così via. Se assegniamo i valori 0.0,…,0.1 alle incognite libere e calcoliamo le incognite principali, otteniamo X (n-r) . In questo modo verrà costruito un sistema fondamentale di soluzioni di uno SLAE omogeneo e la sua soluzione generale potrà essere scritta nella forma .

Per sistemi disomogenei di equazioni algebriche lineari, la soluzione generale è rappresentata nella forma , dove è la soluzione generale del corrispondente sistema omogeneo, ed è la soluzione particolare dello SLAE disomogeneo originale, che otteniamo dando alle incognite libere i valori 0,0,...,0 e calcolando i valori delle principali incognite.

Diamo un'occhiata agli esempi.

Esempio.

Trovare il sistema fondamentale di soluzioni e la soluzione generale di un sistema omogeneo di equazioni algebriche lineari .

Soluzione.

Il rango della matrice principale dei sistemi omogenei di equazioni lineari è sempre uguale al rango della matrice estesa. Troviamo il rango della matrice principale utilizzando il metodo dei minori confinanti. Come minore diverso da zero del primo ordine, prendiamo l'elemento a 1 1 = 9 della matrice principale del sistema. Troviamo il minore confinante diverso da zero del secondo ordine:

È stato trovato un minore del secondo ordine, diverso da zero. Esaminiamo i minori del terzo ordine che lo delimitano alla ricerca di uno diverso da zero:

Tutti i minori confinanti del terzo ordine sono uguali a zero, quindi il rango della matrice principale ed estesa è uguale a due. Prendiamo . Per chiarezza notiamo gli elementi del sistema che lo compongono:

La terza equazione della SLAE originaria non partecipa alla formazione della base minore, pertanto si può escludere:

Lasciamo i termini contenenti le incognite principali sul lato destro delle equazioni e trasferiamo i termini con incognite libere sul lato destro:

Costruiamo un sistema fondamentale di soluzioni del sistema omogeneo originale di equazioni lineari. Il sistema fondamentale di soluzioni di questo SLAE è costituito da due soluzioni, poiché lo SLAE originale contiene quattro variabili sconosciute e l'ordine della sua base minore è pari a due. Per trovare X (1), diamo alle variabili sconosciute libere i valori x 2 = 1, x 4 = 0, quindi troviamo le principali incognite dal sistema di equazioni
.

Consideriamo sistema omogeneo m equazioni lineari con n variabili:

(15)

Un sistema di equazioni lineari omogenee è sempre coerente, perché ha sempre una soluzione zero (banale) (0,0,…,0).

Se nel sistema (15) m=n e , allora il sistema ha solo una soluzione zero, che segue dal teorema e dalle formule di Cramer.

Teorema 1. Il sistema omogeneo (15) ha una soluzione non banale se e solo se il rango della sua matrice è inferiore al numero di variabili, cioè . R(UN)< N.

Prova. L’esistenza di una soluzione non banale del sistema (15) equivale ad una dipendenza lineare delle colonne della matrice del sistema (cioè esistono numeri x 1, x 2,...,x n, non tutti uguali a zero, tali che le uguaglianze (15) sono vere).

Secondo il teorema delle basi minori, le colonne di una matrice sono linearmente dipendenti  quando non tutte le colonne di questa matrice sono fondamentali, cioè  quando l'ordine r della base minore della matrice è inferiore al numero n delle sue colonne. Eccetera.

Conseguenza. Un sistema quadrato omogeneo ha soluzioni non banali  quando |A|=0.

Teorema 2. Se le colonne x (1), x (2),..., x (s) sono soluzioni di un sistema omogeneo AX = 0, allora qualsiasi loro combinazione lineare è anche una soluzione di questo sistema.

Prova. Considera qualsiasi combinazione di soluzioni:

Quindi AX=A()===0. eccetera.

Corollario 1. Se un sistema omogeneo ha una soluzione non banale, allora ha infinite soluzioni.

Quello. è necessario trovare tali soluzioni x (1), x (2),..., x (s) del sistema Ax = 0, in modo che qualsiasi altra soluzione di questo sistema sia rappresentata sotto forma della loro combinazione lineare e , inoltre, in un modo unico.

Definizione. Il sistema k=n-r (n è il numero di incognite nel sistema, r=rg A) di soluzioni linearmente indipendenti x (1), x (2),…, x (k) del sistema Ах=0 si chiama sistema fondamentale di soluzioni questo sistema.

Teorema 3. Sia dato un sistema omogeneo Ах=0 con n incognite e r=rg A. Allora esiste un insieme di k=n-r soluzioni x (1), x (2),…, x (k) di questo sistema, che formano un sistema fondamentale di soluzioni.

Prova. Senza perdita di generalità, possiamo assumere che la base minore della matrice A si trovi nell'angolo in alto a sinistra. Quindi, per il teorema della base minore, le restanti righe della matrice A sono combinazioni lineari delle righe della base. Ciò significa che se i valori x 1, x 2,…, x n soddisfano le prime r equazioni, cioè equazioni corrispondenti alle righe della base minore), allora soddisfano anche altre equazioni. Di conseguenza, l'insieme delle soluzioni del sistema non cambierà se scartiamo tutte le equazioni a partire dalla (r+1)esima. Otteniamo il sistema:

Spostiamo le incognite libere x r +1 , x r +2 ,…, x n a destra, e lasciamo quelle fondamentali x 1 , x 2 ,…, x r a sinistra:

(16)

Perché in questo caso tutto b i =0, quindi al posto delle formule

c j =(M j (b i)-c r +1 M j (a i , r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r ((13), otteniamo:

c j =-(c r +1 M j (a i , r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r (13)

Se poniamo le incognite libere x r +1 , x r +2 ,…, x n a valori arbitrari, allora rispetto alle incognite di base otteniamo uno SLAE quadrato con matrice non singolare per la quale esiste un'unica soluzione. Pertanto, qualsiasi soluzione di uno SLAE omogeneo è determinata univocamente dai valori delle incognite libere x r +1, x r +2,…, x n. Consideriamo la seguente serie k=n-r di valori di incognite libere:

1, =0, ….,=0,

1, =0, ….,=0, (17)

………………………………………………

1, =0, ….,=0,

(Il numero della serie è indicato da un apice tra parentesi e le serie di valori sono scritte sotto forma di colonne. In ciascuna serie =1 se i=j e =0 se ij.

La i-esima serie di valori delle incognite libere corrisponde unicamente ai valori delle ,,...,incognite di base. I valori delle incognite libere e di base insieme danno soluzioni al sistema (17).

Mostriamo che le colonne e i =,i=1,2,…,k (18)

costituiscono un sistema fondamentale di soluzioni.

Perché Queste colonne, per costruzione, sono soluzioni del sistema omogeneo Ax=0 e il loro numero è pari a k, resta quindi da dimostrare l'indipendenza lineare delle soluzioni (16). Sia una combinazione lineare di soluzioni e 1 , e 2 ,…, e K(x (1) , x (2) ,…, x (k)), uguale alla colonna zero:

 1 e 1 +  2 e 2 +…+ k e K ( 1 X (1) + 2 X(2) +…+k X(k) = 0)

Quindi il lato sinistro di questa uguaglianza è una colonna i cui componenti con i numeri r+1,r+2,…,n sono uguali a zero. Ma la (r+1)esima componente è uguale a  1 1+ 2 0+…+ k 0= 1 . Allo stesso modo, la componente (r+2)esima è uguale a  2 ,…, la componente kesima è uguale a  k. Pertanto  1 =  2 = …= k =0, che significa indipendenza lineare delle soluzioni e 1 , e 2 ,…, e K ( x (1), x (2),…, x (k)).

Il sistema fondamentale costruito di soluzioni si chiama (18). normale. In virtù della formula (13), ha la seguente forma:

(20)

Corollario 2. Permettere e 1 , e 2 ,…, e K-sistema fondamentale normale di soluzioni di un sistema omogeneo, allora l'insieme di tutte le soluzioni può essere descritto dalla formula:

x=c1 e 1 +s2 e 2 +…+с k e K (21)

dove с 1,с 2,…,с k – assumono valori arbitrari.

Prova. Per il Teorema 2, la colonna (19) è una soluzione del sistema omogeneo Ax=0. Resta da dimostrare che qualsiasi soluzione a questo sistema può essere rappresentata nella forma (17). Considera la colonna X=yr +1 e 1 +…+y n e K. Questa colonna coincide con la colonna y negli elementi con numeri r+1,...,n ed è una soluzione alla (16). Quindi le colonne X E A coincidono, perché le soluzioni del sistema (16) sono determinate univocamente dall'insieme dei valori delle sue incognite libere x r +1 ,…,x n , e dalle colonne A E X questi set sono gli stessi. Quindi, A=X= yr +1 e 1 +…+y n e K, cioè. soluzione Aè una combinazione lineare di colonne e 1 ,…,y n FSR normale. Eccetera.

L’affermazione provata è vera non solo per una FSR normale, ma anche per una FSR arbitraria di uno SLAE omogeneo.

X=C 1 X 1 + C 2 X 2 +…+s N - R X N - R - decisione comune sistemi di equazioni lineari omogenee

Dove X 1, X 2,…, X n - r – qualsiasi sistema fondamentale di soluzioni,

c 1 ,c 2 ,…,c n - r sono numeri arbitrari.

Esempio. (pag. 78)

Stabiliamo una connessione tra le soluzioni della SLAE disomogenea (1) e il corrispondente SLAE omogeneo (15)

Teorema 4. La somma di qualsiasi soluzione del sistema disomogeneo (1) e del corrispondente sistema omogeneo (15) è una soluzione del sistema (1).

Prova. Se c 1 ,…,c n è una soluzione del sistema (1), e d 1 ,…,d n è una soluzione del sistema (15), allora sostituendo i numeri sconosciuti c in qualsiasi (ad esempio, i-esima) equazione di sistema (1) 1 +d 1 ,…,c n +d n , otteniamo:

B i +0=b i h.t.d.

Teorema 5. La differenza tra due soluzioni arbitrarie del sistema disomogeneo (1) è una soluzione del sistema omogeneo (15).

Prova. Se c 1 ,…,c n e c 1 ,…,c n sono soluzioni del sistema (1), allora sostituendo i numeri sconosciuti c in qualsiasi (ad esempio, i-esima) equazione del sistema (1 ) 1 -с 1 ,…,c n -с n , otteniamo:

B i -b i =0 p.t.d.

Dai teoremi provati segue che la soluzione generale di un sistema di m equazioni lineari omogenee con n variabili è uguale alla somma della soluzione generale del corrispondente sistema di equazioni lineari omogenee (15) e un numero arbitrario di una soluzione particolare di questo sistema (15).

X neod. =X totale uno +X frequente più di una volta (22)

Come soluzione particolare di un sistema disomogeneo è naturale prendere la soluzione che si ottiene se nelle formule c j =(M j (b i)-c r +1 M j (a i, r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r ((13) imposta tutti i numeri c r +1 ,…,c n uguali a zero, cioè

X 0 =(,…,,0,0,…,0) (23)

Aggiungendo questa soluzione particolare alla soluzione generale X=C 1 X 1 + C 2 X 2 +…+s N - R X N - R corrispondente sistema omogeneo, si ottiene:

X neod. =X 0 +C 1 X 1 +C 2 X 2 +…+S N - R X N - R (24)

Consideriamo un sistema di due equazioni con due variabili:

in cui almeno uno dei coefficienti un ij 0.

Per risolvere, eliminiamo x 2 moltiplicando la prima equazione per a 22, e la seconda per (-a 12) e sommandoli: Elimina x 1 moltiplicando la prima equazione per (-a 21), e la seconda per a 11 e aggiungendoli: L'espressione tra parentesi è determinante

Avendo designato ,, allora il sistema assumerà la forma:, cioè se, allora il sistema ha un'unica soluzione:,.

Se Δ=0, e (o), allora il sistema è incoerente, perché ridotto alla forma Se Δ=Δ 1 =Δ 2 =0, allora il sistema è incerto, perché ridotto in forma