Funzioni trigonometriche inverse e loro proprietà. Esprimiamolo in termini di tutte le funzioni trigonometriche inverse. Relazioni fondamentali delle funzioni trigonometriche inverse
A funzioni trigonometriche inverse Le seguenti 6 funzioni includono: arcoseno , arco coseno , arcotangente , arcotangente , arcosecante E arcocosecante .
Dall'originale funzioni trigonometriche periodiche, allora lo sono le funzioni inverse, in generale polisemantico . Per garantire una corrispondenza biunivoca tra due variabili, i domini di definizione delle funzioni trigonometriche originali sono limitati considerando solo loro rami principali . Ad esempio, la funzione \(y = \sin x\) viene considerata solo nell'intervallo \(x \in \left[ ( - \pi /2,\pi /2) \right]\). Su questo intervallo la funzione arcoseno inversa è definita in modo univoco.
Funzione arcoseno
L'arcoseno del numero \(a\) (indicato con \(\arcsin a\)) è il valore dell'angolo \(x\) nell'intervallo \(\left[ ( - \pi /2,\pi / 2) \right]\), per cui \(\sin x = a\). La funzione inversa \(y = \arcsin x\) è definita in \(x \in \left[ ( -1,1) \right]\), il suo intervallo di valori è \(y \in \left[ ( - \pi / 2,\pi /2) \right]\).
Funzione arcocoseno
L'arcocoseno del numero \(a\) (indicato con \(\arccos a\)) è il valore dell'angolo \(x\) nell'intervallo \(\left[ (0,\pi) \right]\) , in cui \(\cos x = a\). La funzione inversa \(y = \arccos x\) è definita per \(x \in \left[ ( -1,1) \right]\), il suo intervallo di valori appartiene al segmento \(y \in \sinistra[ (0,\ pi greco)\destra]\).
Funzione arcotangente
Arcotangente del numero UN(indicato con \(\arctan a\)) è il valore dell'angolo \(x\) nell'intervallo aperto \(\left((-\pi/2, \pi/2) \right)\), in quale \(\tan x = a\). La funzione inversa \(y = \arctan x\) è definita per tutti \(x \in \mathbb(R)\), l'intervallo arcotangente è uguale a \(y \in \left((-\pi/2, \pi/2 )\destra)\).
Funzione arcotangente
L'arcotangente del numero \(a\) (indicato con \(\text(arccot ) a\)) è il valore dell'angolo \(x\) nell'intervallo aperto \(\left[ (0,\ pi) \right]\), dove \(\cot x = a\). La funzione inversa \(y = \text(arccot ) x\) è definita per tutti \(x \in \mathbb(R)\), il suo intervallo di valori è nell'intervallo \(y \in \ sinistra[ (0,\pi) \destra]\).
Funzione arcosecante
L'arcosecante del numero \(a\) (indicato con \(\text(arcsec ) a\)) è il valore dell'angolo \(x\) al quale \(\sec x = a\). La funzione inversa \(y = \text(arcsec ) x\) è definita in \(x \in \left(( - \infty , - 1) \right] \cup \left[ (1,\infty ) \right )\ ), il suo intervallo di valori appartiene all'insieme \(y \in \left[ (0,\pi /2) \right) \cup \left((\pi /2,\pi ) \right] \).
Funzione arcosecante
L'arcosecante del numero \(a\) (indicato con \(\text(arccsc ) a\) o \(\text(arccosec ) a\)) è il valore dell'angolo \(x\) al quale \(\ csc x = a\ ). La funzione inversa \(y = \text(arccsc ) x\) è definita in \(x \in \left(( - \infty , - 1) \right] \cup \left[ (1,\infty ) \right )\ ), l'intervallo dei suoi valori appartiene all'insieme \(y \in \left[ ( - \pi /2,0) \right) \cup \left((0,\pi /2) \right ]\).
Valori principali delle funzioni arcoseno e arcocoseno (in gradi)
| \(X\) | \(-1\) | \(-\quadrato 3/2\) | \(-\quadrato 2/2\) | \(-1/2\) | \(0\) | \(1/2\) | \(\quadrato 2/2\) | \(\quadrato 3/2\) | \(1\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\arco x\) | \(-90^\circolo\) | \(-60^\circolo\) | \(-45^\circolo\) | \(-30^\circolo\) | \(0^\circolo\) | \(30^\circolo\) | \(45^\circolo\) | \(60^\circolo\) | \(90^\circolo\) |
| \(\arco x\) | \(180^\circolo\) | \(150^\circolo\) | \(135^\circolo\) | \(120^\circolo\) | \(90^\circolo\) | \(60^\circolo\) | \(45^\circolo\) | \(30^\circolo\) | \(0^\circolo\) |
Principali valori delle funzioni arcotangente e arcotangente (in gradi)
| \(X\) | \(-\quadrato 3\) | \(-1\) | \(-\quadrato 3/3\) | \(0\) | \(\quadrato 3/3\) | \(1\) | \(\quadrato 3\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\arctan x\) | \(-60^\circolo\) | \(-45^\circolo\) | \(-30^\circolo\) | \(0^\circolo\) | \(30^\circolo\) | \(45^\circolo\) | \(60^\circolo\) |
| \(\text(arcot) x\) | \(150^\circolo\) | \(135^\circolo\) | \(120^\circolo\) | \(90^\circolo\) | \(60^\circolo\) | \(45^\circolo\) | \(30^\circolo\) |
Lezioni 32-33. Funzioni trigonometriche inverse
09.07.2015 8495 0Bersaglio: considerare le funzioni trigonometriche inverse e il loro utilizzo per scrivere soluzioni equazioni trigonometriche.
I. Comunicare l'argomento e lo scopo delle lezioni
II. Imparare nuovo materiale
1. Funzioni trigonometriche inverse
Iniziamo la discussione di questo argomento con il seguente esempio.
Esempio 1
Risolviamo l'equazione: a) peccato x = 1/2; b) peccato x = a.
a) Sull'asse delle ordinate tracciamo il valore 1/2 e costruiamo gli angoli x1 e x2, per cui peccato x = 1/2. In questo caso x1 + x2 = π, quindi x2 = π – x1 . Utilizzando la tabella dei valori delle funzioni trigonometriche troviamo quindi il valore x1 = π/6
Prendiamo in considerazione la periodicità della funzione seno e scriviamo le soluzioni di questa equazione:
dove k ∈ Z.
b) Ovviamente, l'algoritmo per risolvere l'equazione peccato x = a è lo stesso del paragrafo precedente. Naturalmente ora il valore a viene tracciato lungo l'asse delle ordinate. È necessario designare in qualche modo l'angolo x1. Abbiamo concordato di denotare questo angolo con il simbolo arcosen UN. Quindi le soluzioni di questa equazione possono essere scritte nella formaQueste due formule possono essere combinate in una: allo stesso tempo 
Le restanti funzioni trigonometriche inverse vengono introdotte in modo simile.
Molto spesso è necessario determinare la grandezza di un angolo dal valore noto della sua funzione trigonometrica. Un problema del genere ha più valori: ci sono innumerevoli angoli le cui funzioni trigonometriche sono uguali allo stesso valore. Pertanto, in base alla monotonicità delle funzioni trigonometriche, vengono introdotte le seguenti funzioni trigonometriche inverse per determinare in modo univoco gli angoli.
Arcoseno del numero a (arcoseno , il cui seno è uguale ad a, cioè
Arcocoseno di un numero a(arcos a) è un angolo a dell'intervallo il cui coseno è uguale ad a, cioè
Arcotangente di un numero a(arct a) - un tale angolo a dall'intervallola cui tangente è uguale ad a, cioè
tg a = a.
Arcotangente di un numero a(arcc a) è un angolo a dell'intervallo (0; π), la cui cotangente è uguale ad a, cioè ctg a = a.
Esempio 2
Troviamo:
Tenendo conto delle definizioni delle funzioni trigonometriche inverse, otteniamo:
Esempio 3
Calcoliamo 
Sia l'angolo a = arcoseno 3/5, quindi per definizione peccato a = 3/5 e . Pertanto, dobbiamo trovare cos UN. Utilizzando l'identità trigonometrica di base, otteniamo:
Si tiene conto che cos a ≥ 0. Quindi, 
Proprietà della funzione | Funzione |
|||
y = arcoseno x | y = arco x | y = arcotan x | y = arco x |
|
Dominio di definizione | x∈ [-1; 1] | x∈ [-1; 1] | x∈ (-∞; +∞) | x∈ (-∞ +∞) |
Intervallo di valori | y ∈ [ -π/2 ; π /2] | y∈ | y ∈ (-π/2 ; π /2 ) | y ∈ (0;π) |
Parità | Strano | Né pari né dispari | Strano | Né pari né dispari |
Zeri di funzione (y = 0) | A x = 0 | In x = 1 | A x = 0 | y ≠ 0 |
Intervalli di costanza del segno | y > 0 per x ∈ (0; 1], A< 0 при х ∈ [-1; 0) | y > 0 per x ∈ [-1; 1) | y > 0 per x ∈ (0; +∞), A< 0 при х ∈ (-∞; 0) | y > 0 per x ∈ (-∞; +∞) |
Monotono | In aumento | Discendente | In aumento | Discendente |
Relazione con la funzione trigonometrica | peccato y = x | cosy = x | tgy = x | ctg y = x |
Programma | ||||
Diamo una serie di esempi più tipici relativi alle definizioni e alle proprietà di base delle funzioni trigonometriche inverse.
Esempio 4
Troviamo il dominio di definizione della funzione
Per definire la funzione y è necessario soddisfare la disuguaglianza
che equivale al sistema delle disuguaglianze
La soluzione della prima disuguaglianza è l'intervallo x∈
(-∞; +∞), secondo - Questo intervallo ed è una soluzione al sistema di diseguaglianze, e quindi il dominio di definizione della funzione
Esempio 5
Troviamo l'area di cambiamento della funzione
Consideriamo il comportamento della funzione z = 2x - x2 (vedi immagine).
È chiaro che z ∈ (-∞; 1]. Considerando che l'argomento z la funzione arco cotangente cambia entro i limiti specificati, dai dati della tabella otteniamo questo
Quindi l’area del cambiamento
Esempio 6
Dimostriamo che la funzione y = arctg x dispari. Permettere
Allora tg a = -x oppure x = - tg a = tg (- a), e 
Pertanto, - a = arctg x oppure a = - arctg X. Quindi, lo vediamocioè y(x) è una funzione dispari.
Esempio 7
Esprimiamo attraverso tutte le funzioni trigonometriche inverse
Permettere 
E' ovvio 
Poi da allora
Introduciamo l'angolo 
Perché 
Quello 
Allo stesso modo quindi 
E 
COSÌ,
Esempio 8
Costruiamo un grafico della funzione y = cos(arcoseno x).
Indichiamo allora a = arcsin x 
Teniamo presente che x = sin a e y = cos a, cioè x 2 + y2 = 1 e restrizioni su x (x∈
[-1; 1]) e y (y ≥ 0). Quindi il grafico della funzione y = cos(arcoseno x) è un semicerchio.
Esempio 9
Costruiamo un grafico della funzione y = arccos (cos x ).
Poiché la funzione cos x cambia nell'intervallo [-1; 1], allora la funzione y è definita su tutto l'asse numerico e varia sul segmento . Teniamo presente che y = arccos(cosx) = x sul segmento; la funzione y è pari e periodica con periodo 2π. Considerando che la funzione ha queste proprietà cos x Ora è facile creare un grafico.
Notiamo alcune uguaglianze utili:
Esempio 10
Troviamo i valori più piccoli e più grandi della funzione Denotiamo 
Poi 
Prendiamo la funzione 
Questa funzione ha un minimo in quel punto z = π/4, ed è uguale a 
Valore più alto la funzione è raggiunta nel punto z = -π/2, ed è uguale 
Così e
Esempio 11
Risolviamo l'equazione
Teniamone conto 
Quindi l'equazione è simile a:
O 
Dove Per definizione di arcotangente otteniamo:
2. Risoluzione di semplici equazioni trigonometriche
Analogamente all'esempio 1, puoi ottenere le soluzioni delle più semplici equazioni trigonometriche.
Equazione | Soluzione |
tgx = a | |
ctg x = a |
Esempio 12
Risolviamo l'equazione 
Poiché la funzione seno è dispari, scriviamo l'equazione nella forma
Soluzioni di questa equazione:
da dove lo troviamo? 
Esempio 13
Risolviamo l'equazione 
Usando la formula data, scriviamo le soluzioni dell'equazione:
e lo troveremo 
Si noti che in casi speciali (a = 0; ±1) quando si risolvono le equazioni peccato x = a e cos x = ma è più facile e conveniente usare not formule generali e scrivi le soluzioni in base alla circonferenza unitaria:
per la soluzione dell'equazione sin x = 1
per l'equazione sin x = 0 soluzioni x = π k;
per la soluzione dell'equazione sin x = -1 
per l'equazione del cos x = 1 soluzione x = 2π k;
per le soluzioni dell'equazione cos x = 0
per la soluzione dell'equazione cos x = -1 
Esempio 14
Risolviamo l'equazione 
Poiché in questo esempio esiste un caso speciale dell'equazione, scriveremo la soluzione utilizzando la formula appropriata:
dove possiamo trovarlo? 
III. Domande di sicurezza(indagine frontale)
1. Definire ed elencare le principali proprietà delle funzioni trigonometriche inverse.
2. Fornisci grafici di funzioni trigonometriche inverse.
3. Risoluzione di semplici equazioni trigonometriche.
IV. Assegnazione della lezione
§ 15, n. 3 (a, b); 4 (c, d); 7(a); 8(a); 12(b); 13(a); 15(c); 16(a); 18 (a, b); 19(c); 21;
§ 16, n. 4 (a, b); 7(a); 8(b); 16 (a, b); 18(a); 19(c,d);
§ 17, n. 3 (a, b); 4 (c, d); 5 (a, b); 7 (c, d); 9(b); 10 (a, c).
V. Compiti a casa
§ 15, n. 3 (c, d); 4(a,b); 7(c); 8(b); 12(a); 13(b); 15(g); 16(b); 18 (c, d); 19(g); 22;
§ 16, n. 4 (c, d); 7(b); 8(a); 16 (c, d); 18(b); 19(a,b);
§ 17, n. 3 (c, d); 4(a,b); 5 (c, d); 7(a,b); 9(d); 10 (b, d).
VI. Compiti creativi
1. Trova il dominio della funzione:
Risposte:
2. Trova l'intervallo della funzione:
Risposte:
3. Rappresentare graficamente la funzione:
VII. Riassumendo le lezioni
Funzioni trigonometriche inverse- questi sono arcoseno, arcocoseno, arcotangente e arcotangente.
Per prima cosa diamo alcune definizioni.
Arcoseno Oppure possiamo dire che questo è un angolo appartenente ad un segmento il cui seno è uguale al numero a.
arco coseno il numero a è chiamato un numero tale che
Arcotangente il numero a è chiamato un numero tale che
Arcotangente il numero a è chiamato un numero tale che
Parliamo in dettaglio di queste quattro nuove funzioni per noi: quelle trigonometriche inverse.
Ricorda, ci siamo già incontrati.
Ad esempio, l'aritmetica radice quadrata da un numero a è un numero non negativo il cui quadrato è uguale ad a.
Il logaritmo di un numero b in base a è un numero c tale che
Allo stesso tempo
Comprendiamo perché i matematici hanno dovuto “inventare” nuove funzioni. Ad esempio, le soluzioni di un'equazione sono e Non potremmo scriverle senza lo speciale simbolo aritmetico della radice quadrata.
Il concetto di logaritmo si è rivelato necessario per scrivere le soluzioni, ad esempio, di questa equazione: La soluzione di questa equazione è un numero irrazionale Questo è un esponente della potenza a cui deve essere elevato 2 per ottenere 7.
È lo stesso con le equazioni trigonometriche. Ad esempio, vogliamo risolvere l'equazione
È chiaro che le sue soluzioni corrispondono a punti del cerchio trigonometrico la cui ordinata è uguale a Ed è chiaro che questo non è il valore tabulare del seno. Come scrivere le soluzioni?
Qui non possiamo fare a meno di una nuova funzione, che denota l'angolo il cui seno è uguale a un dato numero a. Sì, tutti hanno già indovinato. Questo è l'arcoseno.
L'angolo appartenente al segmento il cui seno è uguale è l'arcoseno di un quarto. E questo significa che la serie di soluzioni della nostra equazione corrispondente al punto giusto sul cerchio trigonometrico lo è
E la seconda serie di soluzioni alla nostra equazione è
Ulteriori informazioni sulla risoluzione di equazioni trigonometriche -.
Resta da scoprire: perché la definizione di arcoseno indica che si tratta di un angolo appartenente al segmento?
Il fatto è che ci sono infiniti angoli il cui seno è uguale, ad esempio, a . Dobbiamo sceglierne uno. Scegliamo quello che si trova sul segmento .
Dai un'occhiata al cerchio trigonometrico. Vedrai che sul segmento ogni angolo corrisponde a un certo valore del seno, e solo uno. E viceversa, qualsiasi valore del seno del segmento corrisponde a un singolo valore dell'angolo sul segmento. Ciò significa che su un segmento è possibile definire una funzione che assume valori da a
Ripetiamo ancora la definizione:
L'arcoseno di un numero è il numero , tale che
Designazione: l'area di definizione dell'arcoseno è un segmento.
Puoi ricordare la frase "gli arcseni vivono a destra". Non dimenticare che non è solo a destra, ma anche nel segmento.
Siamo pronti a rappresentare graficamente la funzione
Come al solito, tracciamo i valori x sull'asse orizzontale e i valori y sull'asse verticale.
Perché , quindi, x è compreso tra -1 e 1.
Ciò significa che il dominio di definizione della funzione y = arcsin x è il segmento
Abbiamo detto che y appartiene al segmento . Ciò significa che l'intervallo di valori della funzione y = arcsin x è il segmento.
Si noti che il grafico della funzione y=arcsinx rientra interamente nell'area delimitata dalle linee e
Come sempre quando si traccia il grafico di una funzione sconosciuta, iniziamo con una tabella.
Per definizione, l'arcoseno di zero è un numero del segmento il cui seno è uguale a zero. Qual è questo numero? - È chiaro che questo è zero.
Allo stesso modo, l'arcoseno di uno è un numero del segmento il cui seno è uguale a uno. Ovviamente questo
Continuiamo: - questo è un numero del segmento il cui seno è uguale a . sì
| 0 | |||||
| 0 |
Costruire il grafico di una funzione
Proprietà della funzione
1. Ambito della definizione
2. Intervallo di valori
3., cioè questa funzione è dispari. Il suo grafico è simmetrico rispetto all'origine.
4. La funzione aumenta in modo monotono. Il suo valore minimo, pari a - , viene raggiunto a , mentre il suo valore massimo, pari a , a
5. Cosa significano i grafici delle funzioni e ? Non pensi che siano "fatti secondo lo stesso schema" - proprio come il ramo destro di una funzione e il grafico di una funzione, o come i grafici delle funzioni esponenziali e logaritmiche?
Immagina di ritagliare un piccolo frammento da a a da una normale onda sinusoidale e poi di girarlo verticalmente e otterremo un grafico arcoseno.
Ciò che per una funzione su questo intervallo sono i valori dell'argomento, per l'arcoseno ci saranno i valori della funzione. Così dovrebbe essere! Dopo tutto, seno e arcoseno... funzioni reciproche. Altri esempi di coppie di funzioni reciprocamente inverse sono at e , così come le funzioni esponenziali e logaritmiche.
Ricordiamo che i grafici delle funzioni mutuamente inverse sono simmetrici rispetto alla retta
Allo stesso modo, definiamo la funzione. Abbiamo solo bisogno di un segmento su cui ciascun valore dell'angolo corrisponde al proprio valore del coseno e, conoscendo il coseno, possiamo trovare l'angolo in modo univoco. Un segmento ci andrà bene
L'arcocoseno di un numero è il numero , tale che
È facile da ricordare: "l'arcocoseno vive dall'alto" e non solo dall'alto, ma sul segmento
Designazione: l'area di definizione dell'arcocoseno è un segmento.
Ovviamente il segmento è stato scelto perché su di esso ogni valore del coseno viene preso una sola volta. In altre parole, ciascun valore del coseno, da -1 a 1, corrisponde a un singolo valore dell'angolo dell'intervallo
L'arcocoseno non è né pari né funzione strana. Ma possiamo usare la seguente ovvia relazione:
Tracciamo la funzione
Abbiamo bisogno di una sezione della funzione in cui sia monotona, cioè assuma ogni valore esattamente una volta.
Scegliamo un segmento. Su questo segmento la funzione decresce in modo monotono, cioè la corrispondenza tra gli insiemi è biunivoca. Ogni valore x ha un valore y corrispondente. Su questo segmento c'è una funzione inversa al coseno, cioè la funzione y = arccosx.
Compiliamo la tabella utilizzando la definizione di arcocoseno.
L'arcocoseno di un numero x appartenente all'intervallo sarà un numero y appartenente all'intervallo tale che
Ciò significa, poiché ;
Perché ;
Perché ,
Perché ,
| 0 | |||||
| 0 |
Ecco il grafico dell’arcocoseno:
Proprietà della funzione
1. Ambito della definizione
2. Intervallo di valori
Questa funzione ha una forma generale: non è né pari né dispari.
4. La funzione è strettamente decrescente. La funzione y = arccosx assume il suo valore massimo, pari a , a , e il suo valore minimo, pari a zero, assume a
5. Le funzioni e sono reciprocamente inverse.
I successivi sono arcotangente e arcotangente.
L'arcotangente di un numero è il numero , tale che
Designazione: . L'area di definizione dell'arcotangente è l'intervallo. L'area dei valori è l'intervallo.
Perché le estremità dell'intervallo - i punti - sono escluse dalla definizione di arcotangente? Naturalmente perché la tangente in questi punti non è definita. Non esiste un numero a uguale alla tangente di nessuno di questi angoli.
Costruiamo un grafico dell'arcotangente. Secondo la definizione, l'arcotangente di un numero x è un numero y appartenente all'intervallo tale che
Come costruire un grafico è già chiaro. Poiché l'arcotangente è una funzione reciproco della tangente, procediamo come segue:
Selezioniamo una sezione del grafico della funzione dove la corrispondenza tra xey è biunivoca. Questo è l'intervallo C. In questa sezione la funzione assume valori da a
Allora fallo funzione inversa, cioè la funzione, il dominio, la definizione sarà l'intera linea numerica, da a e l'intervallo di valori sarà l'intervallo
Significa,
Significa,
Significa,
Ma cosa succede per valori infinitamente grandi di x? In altre parole, come si comporta questa funzione quando x tende a più infinito?
Possiamo porci la domanda: per quale numero dell'intervallo il valore della tangente tende all'infinito? - Ovviamente questo
Ciò significa che per valori infinitamente grandi di x, il grafico arcotangente si avvicina all'asintoto orizzontale
Allo stesso modo, se x si avvicina a meno infinito, il grafico arcotangente si avvicina all'asintoto orizzontale
La figura mostra un grafico della funzione
Proprietà della funzione
1. Ambito della definizione
2. Intervallo di valori
3. La funzione è strana.
4. La funzione è strettamente crescente.
6. Le funzioni e sono reciprocamente inverse, ovviamente quando la funzione viene considerata nell'intervallo
Allo stesso modo, definiamo la funzione tangente inversa e tracciamo il suo grafico.
L'arcotangente di un numero è il numero , tale che
Grafico della funzione:
Proprietà della funzione
1. Ambito della definizione
2. Intervallo di valori
3. La funzione è di forma generale, cioè né pari né dispari.
4. La funzione è strettamente decrescente.
5. Asintoti diretti e orizzontali di questa funzione.
6. Le funzioni e sono reciprocamente inverse se considerate sull'intervallo
Definizione e notazione
Arcoseno (y = arcoseno x) è la funzione inversa del seno (x = sin -1 ≤ x ≤ 1 e l'insieme dei valori -π /2 ≤ y ≤ π/2.peccato(arcoseno x) = x ;
arcosen(peccato x) = x .
L'arcoseno è talvolta indicato come segue:
.
Grafico della funzione arcoseno
Grafico della funzione y = arcoseno x
Il grafico dell'arcoseno si ottiene dal grafico del seno se gli assi delle ascisse e delle ordinate vengono invertiti. Per eliminare ambiguità, l'intervallo di valori è limitato all'intervallo su cui la funzione è monotona. Questa definizione è chiamata valore principale dell'arcoseno.
Arcocoseno, arccos
Definizione e notazione
Arcocoseno (y = arccos x) è la funzione inversa del coseno (x = accogliente). Ha uno scopo -1 ≤ x ≤ 1 e molti significati 0 ≤ y ≤ π.cos(arcos x) = x ;
arcocos(cos x) = x .
L'arcocoseno è talvolta indicato come segue:
.
Grafico della funzione arcocoseno
Grafico della funzione y = arccos x
Il grafico dell'arcocoseno si ottiene dal grafico del coseno se gli assi delle ascisse e delle ordinate vengono invertiti. Per eliminare l'ambiguità, l'intervallo di valori è limitato all'intervallo nel quale la funzione è monotona. Questa definizione è chiamata valore principale dell'arcocoseno.
Parità
La funzione arcoseno è dispari:
arcosen(- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arcoseno x
La funzione arcocoseno non è né pari né dispari:
arccos(- x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arccos x ≠ ± arccos x
Proprietà: estremi, aumento, diminuzione
Le funzioni arcoseno e arcocoseno sono continue nel loro dominio di definizione (vedi prova di continuità). Le principali proprietà dell'arcoseno e dell'arcocoseno sono presentate nella tabella.
| y = arcoseno x | y = arccos x | |
| Portata e continuità | - 1 ≤ x ≤ 1 | - 1 ≤ x ≤ 1 |
| Intervallo di valori | ||
| Ascendente, discendente | aumenta monotonicamente | diminuisce monotonicamente |
| Alti | ||
| Minimi | ||
| Zeri, y = 0 | x = 0 | x = 1 |
| Punti di intercetta con l'asse delle ordinate, x = 0 | y = 0 | y = π/ 2 |
Tabella degli arcoseni e degli arcocoseni
Questa tabella presenta i valori di arcoseno e arcocoseno, in gradi e radianti, per determinati valori dell'argomento.
| X | arcoseno x | arccos x | ||
| salve | lieto. | salve | lieto. | |
| - 1 | -90° | - | 180° | π |
| - | -60° | - | 150° | |
| - | -45° | - | 135° | |
| - | -30° | - | 120° | |
| 0 | 0° | 0 | 90° | |
| 30° | 60° | |||
| 45° | 45° | |||
| 60° | 30° | |||
| 1 | 90° | 0° | 0 | |
≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386
Formule
Vedi anche: Derivazione di formule per funzioni trigonometriche inverseFormule di somma e differenza
a o
a e
a e
a o
a e
a e
A
A
A
A
Espressioni attraverso logaritmi, numeri complessi
Vedi anche: Derivazione di formuleEspressioni mediante funzioni iperboliche
Derivati
;
.
Vedere Derivazione dell'arcoseno e dei derivati dell'arcocoseno > > >
Derivate di ordine superiore:
,
dove è un polinomio di grado .
;
;
.
È determinato dalle formule:
Vedere Derivazione delle derivate di ordine superiore dell'arcoseno e dell'arcocoseno > > >
Integrali Effettuiamo la sostituzione x = sint .,
Integriamo per parti, tenendo conto che -π/:
.
2 ≤ t ≤ π/2
.
costo t ≥ 0
Esprimiamo arcocoseno mediante arcoseno:< 1
Espansione in serie
;
.
Quando |x|
avviene la seguente scomposizione:
Funzioni inverse Gli inversi dell'arcoseno e dell'arcocoseno sono rispettivamente seno e coseno.
peccato(arcoseno x) = x
cos(arcos x) = x .
Le seguenti formule
arcosen(peccato x) = x valido in tutto l'ambito di definizione:
arcocos(cos x) = x Le seguenti formule sono valide solo sull'insieme dei valori di arcoseno e arcocoseno:
A
A .
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manuale di matematica per ingegneri e studenti universitari, “Lan”, 2009.
Vedi anche:
Funzione coseno inversa 2
L'intervallo di valori della funzione y=cos x (vedi Fig. 2) è un segmento. Sul segmento la funzione è continua e monotonicamente decrescente.
Riso.
Ciò significa che sul segmento è definita la funzione inversa alla funzione y=cos x. Questa funzione inversa è chiamata arcocoseno ed è denotata y=arccos x.
Definizione
L'arcocoseno di un numero a, se |a|1, è l'angolo il cui coseno appartiene al segmento; è indicato con arccos a.
La funzione y = arccos x (Fig. 3) è definita su un segmento; il suo intervallo di valori è il segmento; Sul segmento, la funzione y=arccos x è continua e decresce monotonicamente da p a 0 (poiché y=cos x è una funzione continua e monotonicamente decrescente sul segmento); agli estremi del segmento raggiunge i suoi valori estremi: arccos(-1)= p, arccos 1= 0. Si noti che arccos 0 = . Il grafico della funzione y = arccos x (vedi Fig. 3) è simmetrico al grafico della funzione y = cos x rispetto alla retta y=x.
Funzione coseno inversa 3
Mostriamo che vale l'uguaglianza arccos(-x) = p-arccos x.
Infatti, per definizione 0? arccos x? R. Moltiplicando per (-1) tutte le parti di quest'ultimo doppia disuguaglianza, otteniamo - p? arccos x? 0. Aggiungendo p a tutte le parti dell'ultima disuguaglianza, troviamo che 0? p-arcos x? R.
Pertanto i valori degli angoli arccos(-x) e p - arccos x appartengono allo stesso segmento. Poiché su un segmento il coseno diminuisce in modo monotono, su di esso non possono esserci due angoli diversi che abbiano coseni uguali. Troviamo i coseni degli angoli arccos(-x) e p-arccos x. Per definizione cos (arccos x) = - x, secondo le formule di riduzione e per definizione abbiamo: cos (p - - arccos x) = - cos (arccos x) = - x. Quindi i coseni degli angoli sono uguali, il che significa che gli angoli stessi sono uguali.
Funzione seno inversa
Consideriamo la funzione y=sin x (Fig. 6), che sul segmento [-р/2;р/2] è crescente, continua e assume valori dal segmento [-1; 1]. Ciò significa che sul segmento [- p/2; p/2] viene definita la funzione inversa della funzione y=sen x.
Funzione coseno inversa 6
Questa funzione inversa è chiamata arcoseno ed è denotata y=arcoseno x. Introduciamo la definizione di arcoseno di un numero.
L'arcoseno di un numero è un angolo (o arco) il cui seno è uguale al numero a e che appartiene al segmento [-р/2; p/2]; è indicato con arcsin a.
Pertanto, arcsin a è un angolo che soddisfa le seguenti condizioni: sin (arcsin a)=a, |a| ?1; -r/2? Arcsin eh? r/2. Ad esempio, poiché sin e [- p/2; p/2]; arcsin, poiché sin = u [- p/2; p/2].
La funzione y=arcoseno x (Fig. 7) è definita sul segmento [- 1; 1], l'intervallo dei suoi valori è il segmento [-р/2;р/2]. Sul segmento [- 1; 1] la funzione y=arcsin x è continua e cresce monotonicamente da -p/2 a p/2 (questo deriva dal fatto che la funzione y=arcsin x sul segmento [-p/2; p/2] è continua e aumenta monotonicamente). Prende il valore più grande in x = 1: arcsin 1 = p/2, e il valore più piccolo in x = -1: arcsin (-1) = -p/2. A x = 0 la funzione è zero: arcsin 0 = 0.
Mostriamo che la funzione y = arcsin x è dispari, cioè arcosen(-x) = - arcoseno x per qualsiasi x [ - 1; 1].
Infatti, per definizione, se |x| ?1, abbiamo: - p/2 ? arcoseno x? ? r/2. Pertanto, gli angoli arcsin(-x) e - arcsin x appartengono allo stesso segmento [ - p/2; p/2].
Troviamo i seni di questi angoli: sin (arcsin(-x)) = - x (per definizione); poiché la funzione y=sin x è dispari, allora sin (-arcsin x)= - sin (arcsin x)= - x. Quindi i seni degli angoli appartenenti allo stesso intervallo [-р/2; p/2], sono uguali, il che significa che gli angoli stessi sono uguali, cioè arcoseno (-x)= - arcoseno x. Ciò significa che la funzione y=arcoseno x è dispari. Il grafico della funzione y=arcoseno x è simmetrico rispetto all'origine.
Mostriamo che arcsin (sin x) = x per ogni x [-р/2; p/2].
Infatti, per definizione -p/2? arcoseno (seno x) ? p/2 e dalla condizione -p/2? X? r/2. Ciò significa che gli angoli x e arcsin (sin x) appartengono allo stesso intervallo di monotonicità della funzione y=sin x. Se i seni di tali angoli sono uguali, allora gli angoli stessi sono uguali. Troviamo i seni di questi angoli: per l'angolo x abbiamo sin x, per l'angolo arcsin (sin x) abbiamo sin (arcsin(sin x)) = sin x. Abbiamo scoperto che i seni degli angoli sono uguali, quindi gli angoli sono uguali, cioè arcosen(peccato x) = x. .
Funzione coseno inversa 7
Funzione coseno inversa 8
Il grafico della funzione arcsin (sin|x|) si ottiene mediante le consuete trasformazioni associate al modulo dal grafico y=arcsin (sin x) (rappresentato dalla linea tratteggiata in Fig. 8). Da esso si ottiene il grafico desiderato y=arcsin (sin |x-/4|) spostandosi di /4 verso destra lungo l'asse x (mostrato come una linea continua in Fig. 8)
Funzione inversa della tangente
La funzione y=tg x sull'intervallo accetta tutto valori numerici: E(tgx)=. Durante questo intervallo è continuo e aumenta in modo monotono. Ciò significa che sull'intervallo è definita una funzione inversa alla funzione y = tan x. Questa funzione inversa è chiamata arcotangente ed è indicata con y = arcotan x.
L'arcotangente di a è un angolo compreso in un intervallo la cui tangente è uguale ad a. Pertanto, arctg a è un angolo che soddisfa le seguenti condizioni: tg (arctg a) = a e 0? arctg un ? R.
Quindi, qualsiasi numero x corrisponde sempre a un singolo valore della funzione y = arctan x (Fig. 9).
È ovvio che D (arctg x) = , E (arctg x) = .
La funzione y = arctan x è crescente perché la funzione y = tan x è crescente nell'intervallo. Non è difficile dimostrare che arctg(-x) = - arctgx, cioè quell'arcotangente è una funzione dispari.
Funzione coseno inversa 9
Il grafico della funzione y = arctan x è simmetrico al grafico della funzione y = tan x rispetto alla retta y = x, il grafico y = arctan x passa per l'origine delle coordinate (poiché arctan 0 = 0) e è simmetrico rispetto all'origine (come il grafico di una funzione dispari).
Si può dimostrare che arctan (tan x) = x se x.
Funzione inversa cotangente
La funzione y = ctg x su un intervallo prende tutti i valori numerici dall'intervallo. L'intervallo dei suoi valori coincide con l'insieme di tutti i numeri reali. Nell'intervallo la funzione y = cot x è continua e cresce monotonicamente. Ciò significa che su questo intervallo è definita una funzione inversa alla funzione y = cot x. La funzione inversa della cotangente si chiama arcocotangente e si indica con y = arcctg x.
L'arco cotangente di a è un angolo appartenente ad un intervallo la cui cotangente è uguale ad a.
Pertanto, arcctg a è un angolo che soddisfa le seguenti condizioni: ctg (arcctg a)=ae 0? arcctg un ? R.
Dalla definizione di funzione inversa e dalla definizione di arcotangente segue che D (arcctg x) = , E (arcctg x) = . L'arco cotangente è una funzione decrescente perché la funzione y = ctg x diminuisce nell'intervallo.
Il grafico della funzione y = arcctg x non interseca l'asse Ox, poiché y > 0 R. Per x = 0 y = arcctg 0 =.
Il grafico della funzione y = arcctg x è mostrato nella Figura 11.
Funzione coseno inversa 11
Si noti che per tutti i valori reali di x l'identità è vera: arcctg(-x) = p-arcctg x.
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