Tangente inversa. Funzioni trigonometriche inverse. Relazioni fondamentali delle funzioni trigonometriche inverse

Definizione e notazione

Arcoseno (y = arcoseno x) è la funzione inversa del seno (x = sin -1 ≤ x ≤ 1 e l'insieme dei valori -π /2 ≤ y ≤ π/2.
peccato(arcoseno x) = x ;
arcosen(peccato x) = x .

L'arcoseno è talvolta indicato come segue:
.

Grafico della funzione arcoseno

Grafico della funzione y = arcoseno x

Il grafico dell'arcoseno si ottiene dal grafico del seno se gli assi delle ascisse e delle ordinate vengono invertiti. Per eliminare ambiguità, l'intervallo di valori è limitato all'intervallo su cui la funzione è monotona. Questa definizione è chiamata valore principale dell'arcoseno.

Arcocoseno, arccos

Definizione e notazione

Arcocoseno (y = arccos x) è la funzione inversa del coseno (x = accogliente). Ha uno scopo -1 ≤ x ≤ 1 e molti significati 0 ≤ y ≤ π.
cos(arcos x) = x ;
arcocos(cos x) = x .

L'arcocoseno è talvolta indicato come segue:
.

Grafico della funzione arcocoseno

Grafico della funzione y = arccos x

Il grafico dell'arcocoseno si ottiene dal grafico del coseno se gli assi delle ascisse e delle ordinate vengono invertiti. Per eliminare ambiguità, l'intervallo di valori è limitato all'intervallo su cui la funzione è monotona. Questa definizione è chiamata valore principale dell'arcocoseno.

Parità

La funzione arcoseno è dispari:
arcosen(- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arcoseno x

La funzione arcocoseno non è né pari né dispari:
arccos(- x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arccos x ≠ ± arccos x

Proprietà: estremi, aumento, diminuzione

Le funzioni arcoseno e arcocoseno sono continue nel loro dominio di definizione (vedi prova di continuità). Le principali proprietà dell'arcoseno e dell'arcocoseno sono presentate nella tabella.

	y= arcoseno x	y= arccos x
Portata e continuità	- 1 ≤ x ≤ 1	- 1 ≤ x ≤ 1
Intervallo di valori
Ascendente, discendente	aumenta monotonicamente	diminuisce monotonicamente
Alti
Minimi
Zeri, y = 0	x = 0	x = 1
Punti di intercetta con l'asse delle ordinate, x = 0	y= 0	y = π/ 2

Tabella degli arcoseni e degli arcocoseni

Questa tabella presenta i valori di arcoseno e arcocoseno, in gradi e radianti, per determinati valori dell'argomento.

X	arcoseno x		arccos x
	salve	lieto.	salve	lieto.
- 1	-90°	-	180°	π
-	-60°	-	150°
-	-45°	-	135°
-	-30°	-	120°
0	0°	0	90°
	30°		60°
	45°		45°
	60°		30°
1	90°		0°	0

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

Formule

Guarda anche: Derivazione di formule per funzioni trigonometriche inverse

Formule di somma e differenza

a o

a e

a e

a o

a e

a e

A

A

A

A

Espressioni attraverso logaritmi, numeri complessi

Guarda anche: Derivazione di formule

Espressioni mediante funzioni iperboliche

Derivati

;
.
Vedere Derivazione dell'arcoseno e delle derivate dell'arcocoseno > > >

Derivate di ordine superiore:
,
dove è un polinomio di grado . È determinato dalle formule:
;
;
.

Vedere Derivazione delle derivate di ordine superiore dell'arcoseno e dell'arcocoseno > > >

Integrali

Effettuiamo la sostituzione x = peccato t. Integriamo per parti, tenendo conto che -π/ 2 ≤ t ≤ π/2, costo t ≥ 0:
.

Esprimiamo arcocoseno attraverso arcoseno:
.

Espansione in serie

Quando |x|< 1 avviene la seguente scomposizione:
;
.

Funzioni inverse

Gli inversi dell'arcoseno e dell'arcocoseno sono rispettivamente seno e coseno.

Le seguenti formule valido in tutto l'ambito di definizione:
peccato(arcoseno x) = x
cos(arcos x) = x .

Le seguenti formule sono valide solo sull'insieme dei valori di arcoseno e arcocoseno:
arcosen(peccato x) = x A
arcocos(cos x) = x A .

Riferimenti:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manuale di matematica per ingegneri e studenti universitari, “Lan”, 2009.

Guarda anche:

Funzione coseno inversa

L'intervallo di valori della funzione y=cos x (vedi Fig. 2) è un segmento. Sul segmento la funzione è continua e monotonicamente decrescente.

Riso. 2

Ciò significa che sul segmento è definita la funzione inversa alla funzione y=cos x. Questa funzione inversa è chiamata arcocoseno ed è denotata y=arccos x.

Definizione

L'arcocoseno di un numero a, se |a|1, è l'angolo il cui coseno appartiene al segmento; è indicato con arccos a.

Pertanto, arccos a è un angolo che soddisfa le seguenti due condizioni: сos (arccos a)=a, |a|1; 0? arccos a ?р.

Ad esempio, arccos, poiché cos e; arccos, poiché cos e.

Su un segmento è definita la funzione y = arccos x (Fig. 3), il cui intervallo di valori è il segmento. Sul segmento, la funzione y=arccos x è continua e decresce monotonicamente da p a 0 (poiché y=cos x è una funzione continua e monotonicamente decrescente sul segmento); agli estremi del segmento raggiunge i suoi valori estremi: arccos(-1)= p, arccos 1= 0. Si noti che arccos 0 = . Il grafico della funzione y = arccos x (vedi Fig. 3) è simmetrico al grafico della funzione y = cos x rispetto alla retta y=x.

Riso. 3

Mostriamo che vale l'uguaglianza arccos(-x) = p-arccos x.

Infatti, per definizione 0? arccos x? R. Moltiplicando per (-1) tutte le parti di quest'ultimo doppia disuguaglianza, otteniamo - p? arccos x? 0. Aggiungendo p a tutte le parti dell'ultima disuguaglianza, troviamo che 0? p-arcos x? R.

Pertanto i valori degli angoli arccos(-x) e p - arccos x appartengono allo stesso segmento. Poiché su un segmento il coseno diminuisce in modo monotono, su di esso non possono esserci due angoli diversi che abbiano coseni uguali. Troviamo i coseni degli angoli arccos(-x) e p-arccos x. Per definizione cos (arccos x) = - x, secondo le formule di riduzione e per definizione abbiamo: cos (p - - arccos x) = - cos (arccos x) = - x. Quindi i coseni degli angoli sono uguali, il che significa che gli angoli stessi sono uguali.

Funzione seno inversa

Consideriamo la funzione y=sin x (Fig. 6), che sul segmento [-р/2;р/2] è crescente, continua e assume valori dal segmento [-1; 1]. Ciò significa che sul segmento [- p/2; p/2] viene definita la funzione inversa della funzione y=sen x.

Riso. 6

Questa funzione inversa è chiamata arcoseno ed è denotata y=arcoseno x. Introduciamo la definizione di arcoseno di un numero.

L'arcoseno di un numero è un angolo (o arco) il cui seno è uguale al numero a e che appartiene al segmento [-р/2; p/2]; è indicato con arcsin a.

Pertanto, arcsin a è un angolo che soddisfa le seguenti condizioni: sin (arcsin a)=a, |a| ?1; -r/2? Arcsin eh? r/2. Ad esempio, poiché sin e [- p/2; p/2]; arcsin, poiché sin = u [- p/2; p/2].

La funzione y=arcoseno x (Fig. 7) è definita sul segmento [- 1; 1], l'intervallo dei suoi valori è il segmento [-р/2;р/2]. Sul segmento [- 1; 1] la funzione y=arcsin x è continua e cresce monotonicamente da -p/2 a p/2 (questo deriva dal fatto che la funzione y=arcsin x sul segmento [-p/2; p/2] è continua e aumenta monotonicamente). Prende il valore più grande in x = 1: arcsin 1 = p/2, e il valore più piccolo in x = -1: arcsin (-1) = -p/2. A x = 0 la funzione è zero: arcsin 0 = 0.

Mostriamo che la funzione y = arcsin x è dispari, cioè arcosen(-x) = - arcoseno x per qualsiasi x [ - 1; 1].

Infatti, per definizione, se |x| ?1, abbiamo: - p/2 ? arcoseno x? ? r/2. Pertanto, gli angoli arcsin(-x) e - arcsin x appartengono allo stesso segmento [ - p/2; p/2].

Troviamo i seni di questi angoli: sin (arcsin(-x)) = - x (per definizione); poiché la funzione y=sin x è dispari, allora sin (-arcsin x)= - sin (arcsin x)= - x. Quindi i seni degli angoli appartenenti allo stesso intervallo [-р/2; p/2], sono uguali, il che significa che gli angoli stessi sono uguali, cioè arcoseno (-x)= - arcoseno x. Ciò significa che la funzione y=arcoseno x è dispari. Il grafico della funzione y=arcoseno x è simmetrico rispetto all'origine.

Mostriamo che arcsin (sin x) = x per ogni x [-р/2; p/2].

Infatti, per definizione -p/2? arcoseno (seno x) ? p/2 e dalla condizione -p/2? X? r/2. Ciò significa che gli angoli x e arcsin (sin x) appartengono allo stesso intervallo di monotonicità della funzione y=sin x. Se i seni di tali angoli sono uguali, allora gli angoli stessi sono uguali. Troviamo i seni di questi angoli: per l'angolo x abbiamo sin x, per l'angolo arcsin (sin x) abbiamo sin (arcsin(sin x)) = sin x. Abbiamo scoperto che i seni degli angoli sono uguali, quindi gli angoli sono uguali, cioè arcosen(peccato x) = x. .

Riso. 7

Riso. 8

Il grafico della funzione arcsin (sin|x|) si ottiene mediante le consuete trasformazioni associate al modulo dal grafico y=arcsin (sin x) (rappresentato dalla linea tratteggiata in Fig. 8). Da esso si ottiene il grafico desiderato y=arcsin (sin |x-/4|) spostandosi di /4 verso destra lungo l'asse x (mostrato come una linea continua in Fig. 8)

Funzione inversa della tangente

La funzione y=tg x sull'intervallo accetta tutto valori numerici: E(tgx)=. Durante questo intervallo è continuo e aumenta in modo monotono. Ciò significa che sull'intervallo è definita una funzione inversa alla funzione y = tan x. Questa funzione inversa è chiamata arcotangente ed è indicata con y = arcotan x.

L'arcotangente di a è un angolo compreso in un intervallo la cui tangente è uguale ad a. Pertanto, arctg a è un angolo che soddisfa le seguenti condizioni: tg (arctg a) = a e 0? arctg un ? R.

Quindi, qualsiasi numero x corrisponde sempre a un singolo valore della funzione y = arctan x (Fig. 9).

È ovvio che D (arctg x) = , E (arctg x) = .

La funzione y = arctan x è crescente perché la funzione y = tan x è crescente nell'intervallo. Non è difficile dimostrare che arctg(-x) = - arctgx, cioè quell'arcotangente è una funzione dispari.

Riso. 9

Il grafico della funzione y = arctan x è simmetrico al grafico della funzione y = tan x rispetto alla retta y = x, il grafico y = arctan x passa per l'origine delle coordinate (poiché arctan 0 = 0) e è simmetrico rispetto all'origine (come il grafico di una funzione dispari).

Si può dimostrare che arctan (tan x) = x se x.

Funzione inversa cotangente

La funzione y = ctg x su un intervallo prende tutti i valori numerici dall'intervallo. L'intervallo dei suoi valori coincide con l'insieme di tutti i numeri reali. Nell'intervallo la funzione y = cot x è continua e cresce monotonicamente. Ciò significa che su questo intervallo è definita una funzione inversa alla funzione y = cot x. La funzione inversa della cotangente si chiama arcocotangente e si indica con y = arcctg x.

L'arco cotangente di a è un angolo appartenente ad un intervallo la cui cotangente è uguale ad a.

Pertanto, arcctg a è un angolo che soddisfa le seguenti condizioni: ctg (arcctg a)=ae 0? arcctg un ? R.

Dalla definizione di funzione inversa e dalla definizione di arcotangente segue che D (arcctg x) = , E (arcctg x) = . L'arco cotangente è una funzione decrescente perché la funzione y = ctg x diminuisce nell'intervallo.

Il grafico della funzione y = arcctg x non interseca l'asse Ox, poiché y > 0 R. Per x = 0 y = arcctg 0 =.

Il grafico della funzione y = arcctg x è mostrato nella Figura 11.

Riso. 11

Si noti che per tutti i valori reali di x l'identità è vera: arcctg(-x) = p-arcctg x.

Le funzioni trigonometriche inverse sono funzioni matematiche, che sono inverse delle funzioni trigonometriche.

Funzione y=arcoseno(x)

L'arcoseno di un numero α è un numero α dell'intervallo [-π/2;π/2] il cui seno è uguale ad α.
Grafico di una funzione
La funzione у= sin⁡(x) sull'intervallo [-π/2;π/2], è strettamente crescente e continua; ha quindi una funzione inversa, strettamente crescente e continua.
La funzione inversa della funzione y= sin⁡(x), dove x ∈[-π/2;π/2], è chiamata arcoseno ed è denotata y=arcsin(x), dove x∈[-1;1 ].
Quindi, secondo la definizione della funzione inversa, il dominio di definizione dell'arcoseno è il segmento [-1;1], e l'insieme dei valori è il segmento [-π/2;π/2].
Si noti che il grafico della funzione y=arcsin(x), dove x ∈[-1;1], è simmetrico al grafico della funzione y= sin(⁡x), dove x∈[-π/2;π /2], rispetto alla bisettrice degli angoli coordinati primo e terzo quarto.

Intervallo di funzioni y=arcoseno(x).

Esempio n. 1.

Trovare arcoseno(1/2)?

Poiché l'intervallo dei valori della funzione arcsin(x) appartiene all'intervallo [-π/2;π/2], è adatto solo il valore π/6, quindi arcsin(1/2) =π/ 6.
Risposta:π/6

Esempio n.2.
Trovare arcoseno(-(√3)/2)?

Poiché l'intervallo di valori arcsin(x) x ∈[-π/2;π/2] è adatto solo il valore -π/3, quindi arcsin(-(√3)/2) =- π /3.

Funzione y=arcos(x)

L'arcocoseno di un numero α è un numero α dell'intervallo il cui coseno è uguale ad α.

Grafico di una funzione

La funzione y= cos(⁡x) sul segmento è strettamente decrescente e continua; ha quindi una funzione inversa, strettamente decrescente e continua.
Viene chiamata la funzione inversa della funzione y= cos⁡x, dove x ∈ arco coseno ed è indicato con y=arccos(x),dove x ∈[-1;1].
Quindi, secondo la definizione della funzione inversa, il dominio di definizione dell'arcocoseno è il segmento [-1;1], e l'insieme dei valori è il segmento.
Si noti che il grafico della funzione y=arccos(x), dove x ∈[-1;1] è simmetrico al grafico della funzione y= cos(⁡x), dove x ∈, rispetto alla bisettrice della angoli coordinati del primo e del terzo quarto.

Intervallo di funzioni y=arccos(x).

Esempio n.3.

Trovare arccos(1/2)?

Dato che l'intervallo dei valori è arccos(x) x∈, allora è adatto solo il valore π/3, quindi arccos(1/2) =π/3.
Esempio n.4.
Trovare arcocos(-(√2)/2)?

Poiché l'intervallo dei valori della funzione arccos(x) appartiene all'intervallo, è adatto solo il valore 3π/4, quindi arccos(-(√2)/2) = 3π/4.

Risposta: 3π/4

Funzione y=arctg(x)

L'arcotangente di un numero α è un numero α dell'intervallo [-π/2;π/2] la cui tangente è uguale ad α.

Grafico di una funzione

La funzione tangente è continua e strettamente crescente sull'intervallo (-π/2;π/2); ha quindi una funzione inversa, continua e strettamente crescente.
La funzione inversa per la funzione y= tan⁡(x), dove x∈(-π/2;π/2); è chiamato arcotangente ed è indicato con y=arctg(x), dove x∈R.
Quindi, secondo la definizione della funzione inversa, il dominio di definizione dell'arcotangente è l'intervallo (-∞;+∞), e l'insieme dei valori è l'intervallo
(-π/2;π/2).
Si noti che il grafico della funzione y=arctg(x), dove x∈R, è simmetrico al grafico della funzione y= tan⁡x, dove x ∈ (-π/2;π/2), relativo alla bisettrice degli angoli coordinati del primo e del terzo quarto.

L'intervallo della funzione y=arctg(x).

Esempio n.5?

Trova arctan((√3)/3).

Poiché l'intervallo di valori arctg(x) x ∈(-π/2;π/2) è adatto solo il valore π/6, quindi arctg((√3)/3) =π/6.
Esempio n.6.
Trova arctg(-1)?

Poiché l'intervallo di valori arctg(x) x ∈(-π/2;π/2) è adatto solo il valore -π/4, quindi arctg(-1) = - π/4.

Funzione y=arcctg(x)

L'arco cotangente di un numero α è un numero α dell'intervallo (0;π) la cui cotangente è uguale ad α.

Grafico di una funzione

Sull'intervallo (0;π), la funzione cotangente diminuisce strettamente; inoltre è continua in ogni punto di questo intervallo; quindi, sull'intervallo (0;π), questa funzione ha una funzione inversa, cioè strettamente decrescente e continua.
La funzione inversa della funzione y=ctg(x), dove x ∈(0;π), è chiamata arcocotangente ed è denotata y=arcctg(x), dove x∈R.
Quindi, secondo la definizione della funzione inversa, il dominio di definizione dell'arco cotangente sarà R, e da un insieme valori – intervallo (0;π).Il grafico della funzione y=arcctg(x), dove x∈R è simmetrico al grafico della funzione y=ctg(x) x∈(0;π),relativo alla bisettrice degli angoli coordinati del primo e del terzo quarto.

Intervallo di funzioni y=arcctg(x).

Esempio n.7.
Trova arcctg((√3)/3)?

Poiché l'intervallo di valori arcctg(x) x ∈(0;π) è adatto solo il valore π/3, quindi arccos((√3)/3) =π/3.

Esempio n.8.
Trova arcctg(-(√3)/3)?

Poiché l'intervallo dei valori è arcctg(x) x∈(0;π), è adatto solo il valore 2π/3, quindi arccos(-(√3)/3) = 2π/3.

Redattori: Ageeva Lyubov Aleksandrovna, Gavrilina Anna Viktorovna

Funzioni trigonometriche inverse(funzioni circolari, funzioni arco) - funzioni matematiche inverse alle funzioni trigonometriche.

Questi di solito includono 6 funzioni:

• arcoseno(designazione: arcoseno x; arcoseno x- questo è l'angolo peccato che è uguale a X),
• arcocoseno(designazione: arccos x; arccos xè l'angolo il cui coseno è uguale a X e così via),
• arcotangente(designazione: arctan x O arctan x),
• arcotangente(designazione: arcctg x O arccot ​​x O arcotan x),
• arcosecante(designazione: arcosec x),
• arcocosecante(designazione: arcosec x O arccsc x).

arcoseno (y = arcoseno x) - funzione inversa a peccato (x = peccato y . In altre parole, restituisce l'angolo in base al suo valore peccato.

arco coseno (y = arco x) - funzione inversa a cos (x = cosy cos.

Arcotangente (y = arcotan x) - funzione inversa a tg (x = abbronzatura y), che ha un dominio e un insieme di valori . In altre parole, restituisce l'angolo in base al suo valore tg.

Arcotangente (y = arco x) - funzione inversa a ctg (x = cotg y), che ha un dominio di definizione e un insieme di valori. In altre parole, restituisce l'angolo in base al suo valore ctg.

arcsec- arcosecante, restituisce l'angolo in base al valore della sua secante.

arccosec- arcocosecante, restituisce un angolo in base al valore della sua cosecante.

Quando la funzione trigonometrica inversa non è definita in un punto specificato, il suo valore non apparirà nella tabella finale. Funzioni arcsec E arccosec non sono determinati sul segmento (-1,1), ma arcosen E arccos sono determinati solo sull'intervallo [-1,1].

Il nome della funzione trigonometrica inversa si forma dal nome della corrispondente funzione trigonometrica aggiungendo il prefisso “arc-” (dal lat. arco noi- arco). Ciò è dovuto al fatto che geometricamente il valore della funzione trigonometrica inversa è associato alla lunghezza dell'arco di cerchio unitario (o all'angolo che sottende tale arco), che corrisponde all'uno o all'altro segmento.

A volte nella letteratura straniera, così come nelle calcolatrici scientifiche/ingegneristiche, si usano notazioni come peccato−1, cos−1 per arcoseno, arcocoseno e simili, questo non è considerato del tutto accurato, perché è probabile che ci sia confusione con l'elevazione di una funzione a potenza −1 (« −1 » (meno la prima potenza) definisce la funzione x = f -1 (y), l'inverso della funzione y = f(x)).

Relazioni fondamentali delle funzioni trigonometriche inverse.

Qui è importante prestare attenzione agli intervalli per i quali le formule sono valide.

Formule relative alle funzioni trigonometriche inverse.

Indichiamo uno qualsiasi dei valori inversi funzioni trigonometriche Attraverso Arcsino x, Arccos x, Arctan x, Arccot ​​x e mantieni la notazione: arcoseno x, arco x, arctan x, arccot ​​x per i loro valori principali, la connessione tra loro è espressa da tali relazioni.

A funzioni trigonometriche inverse Le seguenti 6 funzioni includono: arcoseno , arcocoseno , arcotangente , arcotangente , arcosecante E arcocosecante .

Poiché le funzioni trigonometriche originali sono periodiche, le funzioni inverse, in generale, lo sono polisemantico . Per garantire una corrispondenza biunivoca tra due variabili, i domini di definizione delle funzioni trigonometriche originali sono limitati considerando solo loro rami principali . Ad esempio, la funzione \(y = \sin x\) viene considerata solo nell'intervallo \(x \in \left[ ( - \pi /2,\pi /2) \right]\). Su questo intervallo la funzione arcoseno inversa è definita in modo univoco.

Funzione arcoseno
L'arcoseno del numero \(a\) (indicato con \(\arcsin a\)) è il valore dell'angolo \(x\) nell'intervallo \(\left[ ( - \pi /2,\pi / 2) \right]\), per cui \(\sin x = a\). Funzione inversa\(y = \arcsin x\) è definito in \(x \in \left[ ( -1,1) \right]\), il suo intervallo di valori è uguale a \(y \in \left[ ( - \pi /2, \pi /2) \right]\).

Funzione arcocoseno
L'arcocoseno del numero \(a\) (indicato con \(\arccos a\)) è il valore dell'angolo \(x\) nell'intervallo \(\left[ (0,\pi) \right]\) , in cui \(\cos x = a\). La funzione inversa \(y = \arccos x\) è definita in \(x \in \left[ ( -1,1) \right]\), il suo intervallo di valori appartiene al segmento \(y \in \sinistra[ (0,\ pi greco)\destra]\).



Funzione arcotangente
Arcotangente del numero UN(indicato con \(\arctan a\)) è il valore dell'angolo \(x\) nell'intervallo aperto \(\left((-\pi/2, \pi/2) \right)\), in quale \(\tan x = a\). La funzione inversa \(y = \arctan x\) è definita per tutti \(x \in \mathbb(R)\), l'intervallo arcotangente è uguale a \(y \in \left((-\pi/2, \pi/2 )\destra)\).



Funzione arcotangente
L'arcotangente del numero \(a\) (indicato con \(\text(arccot ​​​​) a\)) è il valore dell'angolo \(x\) nell'intervallo aperto \(\left[ (0,\ pi) \right]\), dove \(\cot x = a\). La funzione inversa \(y = \text(arccot ​​​​) x\) è definita per tutti \(x \in \mathbb(R)\), il suo intervallo di valori è nell'intervallo \(y \in \ sinistra[ (0,\pi) \destra]\).



Funzione arcosecante
L'arcosecante del numero \(a\) (indicato con \(\text(arcsec ) a\)) è il valore dell'angolo \(x\) al quale \(\sec x = a\). La funzione inversa \(y = \text(arcsec ) x\) è definita in \(x \in \left(( - \infty , - 1) \right] \cup \left[ (1,\infty ) \right )\ ), il suo intervallo di valori appartiene all'insieme \(y \in \left[ (0,\pi /2) \right) \cup \left((\pi /2,\pi ) \right] \).



Funzione arcosecante
L'arcosecante del numero \(a\) (indicato con \(\text(arccsc ) a\) o \(\text(arccosec ) a\)) è il valore dell'angolo \(x\) al quale \(\ csc x = a\ ). La funzione inversa \(y = \text(arccsc ) x\) è definita in \(x \in \left(( - \infty , - 1) \right] \cup \left[ (1,\infty ) \right )\ ), l'intervallo dei suoi valori appartiene all'insieme \(y \in \left[ ( - \pi /2,0) \right) \cup \left((0,\pi /2) \right ]\).



Valori principali delle funzioni arcoseno e arcocoseno (in gradi)

\(X\)	\(-1\)	\(-\quadrato 3/2\)	\(-\quadrato 2/2\)	\(-1/2\)	\(0\)	\(1/2\)	\(\quadrato 2/2\)	\(\quadrato 3/2\)	\(1\)
\(\arcoseno x\)	\(-90^\circolo\)	\(-60^\circolo\)	\(-45^\circolo\)	\(-30^\circolo\)	\(0^\circolo\)	\(30^\circolo\)	\(45^\circolo\)	\(60^\circolo\)	\(90^\circolo\)
\(\arco x\)	\(180^\circolo\)	\(150^\circolo\)	\(135^\circolo\)	\(120^\circolo\)	\(90^\circolo\)	\(60^\circolo\)	\(45^\circolo\)	\(30^\circolo\)	\(0^\circolo\)

Principali valori delle funzioni arcotangente e arcotangente (in gradi)

\(X\)	\(-\quadrato 3\)	\(-1\)	\(-\quadrato 3/3\)	\(0\)	\(\quadrato 3/3\)	\(1\)	\(\quadrato 3\)
\(\arctan x\)	\(-60^\circolo\)	\(-45^\circolo\)	\(-30^\circolo\)	\(0^\circolo\)	\(30^\circolo\)	\(45^\circolo\)	\(60^\circolo\)
\(\text(arcot) x\)	\(150^\circolo\)	\(135^\circolo\)	\(120^\circolo\)	\(90^\circolo\)	\(60^\circolo\)	\(45^\circolo\)	\(30^\circolo\)