Matrice omogenea. Soluzione di slough omogenei. Risoluzione di sistemi di equazioni lineari

Il sistema lineare si chiama omogeneo , se tutti i suoi termini liberi sono uguali a 0.

In forma matriciale, un sistema omogeneo si scrive:
.

Il sistema omogeneo (2) è sempre coerente . Ovviamente, l'insieme dei numeri
,
, …,
soddisfa ogni equazione del sistema. Soluzione
chiamato zero O banale decisione. Pertanto un sistema omogeneo ha sempre soluzione nulla.

In quali condizioni il sistema omogeneo (2) avrà soluzioni diverse da zero (non banali)?

Teorema 1.3 Sistema omogeneo (2) ha soluzioni diverse da zero se e solo se il rango R la sua matrice principale meno incognite N .

Sistema (2) – incerto
.

Corollario 1. Se il numero di equazioni M Un sistema omogeneo ha meno variabili
, allora il sistema è incerto e ha molte soluzioni diverse da zero.

Corollario 2. Sistema quadrato omogeneo
ha soluzioni diverse da zero se e quando la matrice principale di questo sistema degenerato, cioè determinante
.

Altrimenti, se il determinante
, ha un sistema quadrato omogeneo l'unica cosa soluzione nulla
.

Sia il rango del sistema (2)
cioè il sistema (2) ha soluzioni non banali.

Permettere E - soluzioni particolari di questo sistema, es.
E
.

Proprietà delle soluzioni di un sistema omogeneo

Veramente, .

Veramente, .

Combinando le proprietà 1) e 2), possiamo dire che se

…,
- soluzioni di un sistema omogeneo (2), allora qualsiasi loro combinazione lineare è anche la sua soluzione. Qui
- numeri reali arbitrari.

Possono essere trovati
Soluzioni parziali linearmente indipendenti sistema omogeneo (2), con l'aiuto del quale è possibile ottenere qualsiasi altra soluzione particolare di questo sistema, vale a dire ottenere una soluzione generale del sistema (2).

Definizione 2.2 Totalità
Soluzioni parziali linearmente indipendenti

…,
Viene chiamato sistema omogeneo (2) tale che ciascuna soluzione del sistema (2) possa essere rappresentata come una combinazione lineare di essi sistema fondamentale di soluzioni (FSR) di un sistema omogeneo (2).

Permettere

…,
è un sistema fondamentale di soluzioni, allora la soluzione generale del sistema omogeneo (2) può essere rappresentata come:

Dove

.

Commento. Per ottenere la FSR è necessario trovare soluzioni private

…,
, assegnando a turno a una variabile libera il valore "1" e a tutte le altre variabili libere il valore "0".

Noi abbiamo ,, …,-FSR.

Esempio. Trovare la soluzione generale e il sistema fondamentale delle soluzioni del sistema omogeneo di equazioni:

Soluzione. Scriviamo la matrice estesa del sistema, avendo precedentemente messo al primo posto l'ultima equazione del sistema, e portiamola in una forma graduale. Poiché i membri di destra delle equazioni non cambiano a seguito di trasformazioni elementari, rimanendo zero, la colonna

potrebbe non essere trascritto.

̴
̴
̴

Rango del sistema dove
- numero di variabili. Il sistema è incerto e ha molte soluzioni.

Minore di base per le variabili
diverso da zero:
scegliere
come variabili di base, il resto
- variabili libere (assume qualsiasi valore reale).

L'ultima matrice della catena corrisponde a un sistema di equazioni graduali:

(3)

Esprimiamo le variabili di base
attraverso variabili libere
(inverso del metodo gaussiano).

Dall'ultima equazione che esprimiamo :
e sostituiscilo nella prima equazione. Lo otterremo. Apriamo le parentesi, diamo quelle simili ed esprimiamo :
.

Credere
,
,
, Dove
, scriviamo

- soluzione generale del sistema.

Troviamo un sistema fondamentale di soluzioni

,,.

Allora la soluzione generale del sistema omogeneo può essere scritta come:

Commento. La FSR si sarebbe potuta trovare in altro modo, senza prima trovare una soluzione generale al sistema. Per fare ciò, il sistema di passaggi risultante (3) ha dovuto essere risolto tre volte, assumendo per :
; Per :
; Per :
.

Sistema M equazioni lineari c N chiamate incognite sistema di lineare omogeneo equazioni se tutti i termini liberi sono uguali a zero. Un sistema del genere assomiglia a:

Dove e ij (io = 1, 2, …, M; J = 1, 2, …, N) - numeri dati; x io- sconosciuto.

Un sistema di equazioni lineari omogenee è sempre coerente, poiché R(A) = R(). Ha sempre almeno zero ( banale) soluzione (0; 0; …; 0).

Consideriamo in quali condizioni i sistemi omogenei hanno soluzioni diverse da zero.

Teorema 1. Un sistema di equazioni lineari omogenee ha soluzioni diverse da zero se e solo se il rango della sua matrice principale lo è R meno incognite N, cioè. R < N.

□ 1). Sia un sistema di equazioni lineari omogenee una soluzione diversa da zero. Dato che il rango non può superare la dimensione della matrice, allora, ovviamente, R ≤ N. Permettere R = N. Poi una delle taglie minori n n diverso da zero. Pertanto, il corrispondente sistema di equazioni lineari ha un'unica soluzione: . . . Ciò significa che non esistono altre soluzioni se non quelle banali. Quindi, se esiste una soluzione non banale, allora R < N.

2). Permettere R < N. Allora il sistema omogeneo, essendo coerente, è incerto. Ciò significa che ha un numero infinito di soluzioni, cioè ha soluzioni diverse da zero. ■

Consideriamo un sistema omogeneo N equazioni lineari c N sconosciuto:

(2)

Teorema 2. Sistema omogeneo N equazioni lineari c N incognite (2) ha soluzioni diverse da zero se e solo se il suo determinante è pari a zero: = 0.

□ Se il sistema (2) ha una soluzione diversa da zero, allora = 0. Perché quando il sistema ha solo una singola soluzione zero. Se = 0, allora il rango R la matrice principale del sistema è inferiore al numero di incognite, cioè R < N. E, quindi, il sistema ha un numero infinito di soluzioni, cioè ha soluzioni diverse da zero. ■

Indichiamo la soluzione del sistema (1) X 1 = K 1 , X 2 = K 2 , …, x n = k n come una stringa .

Le soluzioni di un sistema di equazioni lineari omogenee hanno le seguenti proprietà:

1. Se la linea è una soluzione del sistema (1), allora la retta è una soluzione del sistema (1).

2. Se le linee e sono soluzioni del sistema (1), quindi per qualsiasi valore Con 1 e Con 2 la loro combinazione lineare è anch'essa una soluzione del sistema (1).

La validità di queste proprietà può essere verificata sostituendole direttamente nelle equazioni del sistema.

Dalle proprietà formulate ne consegue che qualsiasi combinazione lineare di soluzioni di un sistema di equazioni lineari omogenee è anche una soluzione di questo sistema.

Sistema di soluzioni linearmente indipendenti e 1 , e 2 , …, e r chiamato fondamentale, se ciascuna soluzione del sistema (1) è una combinazione lineare di queste soluzioni e 1 , e 2 , …, e r.

Teorema 3. Se rango R le matrici dei coefficienti per le variabili del sistema di equazioni lineari omogenee (1) sono inferiori al numero di variabili N, allora qualsiasi sistema fondamentale di soluzioni del sistema (1) è costituito da n–r decisioni.

Ecco perché decisione comune sistema di equazioni lineari omogenee (1) ha la forma:

Dove e 1 , e 2 , …, e r– qualsiasi sistema fondamentale di soluzioni al sistema (9), Con 1 , Con 2 , …, con pag– numeri arbitrari, R = n–r.

Teorema 4. Soluzione generale del sistema M equazioni lineari c N incognite è uguale alla somma della soluzione generale del corrispondente sistema di equazioni lineari omogenee (1) e di una soluzione particolare arbitraria di questo sistema (1).

Esempio. Risolvi il sistema

Soluzione. Per questo sistema M = N= 3. Determinante

per il Teorema 2, il sistema ha solo una soluzione banale: X = sì = z = 0.

Esempio. 1) Trovare soluzioni generali e particolari del sistema

2) Trovare il sistema fondamentale di soluzioni.

Soluzione. 1) Per questo sistema M = N= 3. Determinante

per il Teorema 2, il sistema ha soluzioni diverse da zero.

Poiché nel sistema esiste una sola equazione indipendente

X + sì – 4z = 0,

poi da esso esprimeremo X =4z- sì. Dove otteniamo un numero infinito di soluzioni: (4 z- sì, sì, z) – questa è la soluzione generale del sistema.

A z= 1, sì= -1, otteniamo una soluzione particolare: (5, -1, 1). Mettendo z= 3, sì= 2, otteniamo la seconda soluzione particolare: (10, 2, 3), ecc.

2) Nella soluzione generale (4 z- sì, sì, z) variabili sì E z sono liberi e la variabile X- dipendente da loro. Per trovare il sistema fondamentale delle soluzioni, assegniamo valori alle variabili libere: prima sì = 1, z= 0, quindi sì = 0, z= 1. Otteniamo soluzioni parziali (-1, 1, 0), (4, 0, 1), che formano il sistema fondamentale delle soluzioni.

Illustrazioni:

Riso. 1 Classificazione dei sistemi di equazioni lineari

Riso. 2 Studio dei sistemi di equazioni lineari

Presentazioni:

· Soluzione Metodo SLAE_matrix

· Soluzione del metodo SLAE_Cramer

· Soluzione Metodo SLAE_Gauss

· Pacchetti per la risoluzione di problemi matematici Matematica, MathCad: ricerca di soluzioni analitiche e numeriche a sistemi di equazioni lineari

Domande di controllo:

1. Definire un'equazione lineare

2. Che tipo di sistema assomiglia? M equazioni lineari con N sconosciuto?

3. Cosa si chiama risoluzione di sistemi di equazioni lineari?

4. Quali sistemi sono detti equivalenti?

5. Quale sistema è definito incompatibile?

6. Quale sistema si chiama congiunto?

7. Quale sistema è chiamato definito?

8. Quale sistema è chiamato indefinito

9. Elencare le trasformazioni elementari di sistemi di equazioni lineari

10. Elencare le trasformazioni elementari delle matrici

11. Formulare un teorema sull'applicazione delle trasformazioni elementari a un sistema di equazioni lineari

12. Quali sistemi possono essere risolti utilizzando il metodo della matrice?

13. Quali sistemi possono essere risolti con il metodo di Cramer?

14. Quali sistemi possono essere risolti con il metodo di Gauss?

15. Elenca 3 possibili casi che si verificano quando si risolvono sistemi di equazioni lineari utilizzando il metodo di Gauss

16. Descrivere il metodo matriciale per risolvere sistemi di equazioni lineari

17. Descrivere il metodo di Cramer per risolvere sistemi di equazioni lineari

18. Descrivere il metodo di Gauss per risolvere sistemi di equazioni lineari

19. Quali sistemi possono essere risolti utilizzando una matrice inversa?

20. Elenca 3 possibili casi che si verificano quando si risolvono sistemi di equazioni lineari utilizzando il metodo Cramer

Letteratura:

1. Matematica superiore per economisti: libro di testo per università / N.Sh. Kremer, B.A. Putko, I.M. Trishin, MN Friedman. Ed. N.Sh. Kremer. – M.: UNITÀ, 2005. – 471 p.

2. Corso generale di matematica superiore per economisti: libro di testo. /Ed. IN E. Ermakova. –M.: INFRA-M, 2006. – 655 pag.

3. Raccolta di problemi di matematica superiore per economisti: libro di testo / a cura di V.I. Ermakova. M.: INFRA-M, 2006. – 574 pag.

4. Gmurman V. E. Guida alla risoluzione di problemi di teoria della probabilità e statistica magmatica. - M.: Scuola Superiore, 2005. – 400 p.

5. Gmurmann. V.E Teoria della probabilità e statistica matematica. - M.: Scuola Superiore, 2005.

6. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T.Ya. Matematica superiore in esercizi e problemi. Parte 1, 2. – M.: Onyx 21st Century: Pace ed Educazione, 2005. – 304 p. Parte 1; – 416 pag. Parte 2.

7. Matematica in economia: Libro di testo: in 2 parti / A.S. Solodovnikov, V.A. Babaytsev, A.V. Brailov, I.G. Shandara. – M.: Finanza e Statistica, 2006.

8. Shipachev V.S. Matematica superiore: libro di testo per studenti. università - M.: Scuola Superiore, 2007. - 479 p.

Informazioni correlate.

Sistemi omogenei di equazioni algebriche lineari

Come parte delle lezioni Metodo gaussiano E Sistemi incompatibili/sistemi con una soluzione comune abbiamo considerato sistemi disomogenei di equazioni lineari, Dove membro gratuito(che di solito è a destra) almeno una dalle equazioni era diverso da zero.
E ora, dopo un buon riscaldamento con rango di matrice, continueremo a perfezionare la tecnica trasformazioni elementari SU sistema omogeneo di equazioni lineari.
Sulla base dei primi paragrafi, il materiale può sembrare noioso e mediocre, ma questa impressione è ingannevole. Oltre all'ulteriore sviluppo delle tecniche, ci saranno molte nuove informazioni, quindi cerca di non trascurare gli esempi in questo articolo.

Cos'è un sistema omogeneo di equazioni lineari?

La risposta suggerisce se stessa. Un sistema di equazioni lineari è omogeneo se il termine è libero tutti l'equazione del sistema è zero. Per esempio:

Questo è assolutamente chiaro un sistema omogeneo è sempre coerente, cioè ha sempre una soluzione. E, prima di tutto, ciò che attira la tua attenzione è il cosiddetto banale soluzione . Banale, per chi non capisce affatto il significato dell'aggettivo, significa senza ostentazione. Non accademicamente, ovviamente, ma intelligibilmente =) ...Perché girare intorno al cespuglio, vediamo se questo sistema ha altre soluzioni:

Esempio 1

Soluzione: per risolvere un sistema omogeneo è necessario scrivere matrice del sistema e con l'aiuto di trasformazioni elementari portalo a una forma graduale. Tieni presente che qui non è necessario annotare la barra verticale e la colonna zero dei termini liberi: dopotutto, qualunque cosa tu faccia con gli zeri, rimarranno zeri:

(1) La prima riga è stata aggiunta alla seconda riga, moltiplicata per –2. La prima riga è stata aggiunta alla terza riga, moltiplicata per –3.

(2) La seconda riga è stata aggiunta alla terza riga, moltiplicata per –1.

Dividere la terza riga per 3 non ha molto senso.

Come risultato delle trasformazioni elementari, si ottiene un sistema omogeneo equivalente , e, utilizzando il metodo gaussiano inverso, è facile verificare che la soluzione è unica.

Risposta:

Formuliamo un criterio ovvio: ha un sistema omogeneo di equazioni lineari solo una soluzione banale, Se rango della matrice del sistema(in questo caso 3) è uguale al numero di variabili (in questo caso – 3 pezzi).

Riscaldiamo e sintonizziamo la nostra radio sull'onda delle trasformazioni elementari:

Esempio 2

Risolvere un sistema omogeneo di equazioni lineari

Dall'articolo Come trovare il rango di una matrice? Ricordiamo la tecnica razionale di diminuire simultaneamente i numeri della matrice. Altrimenti, dovrai tagliare pesci grandi e spesso mordaci. Un esempio approssimativo di un compito alla fine della lezione.

Gli zeri sono utili e convenienti, ma in pratica il caso è molto più comune quando le righe del sistema sono matrici linearmente dipendente. E allora l’emergere di una soluzione generale è inevitabile:

Esempio 3

Risolvere un sistema omogeneo di equazioni lineari

Soluzione: scriviamo la matrice del sistema e, mediante trasformazioni elementari, portiamola in una forma graduale. La prima azione mira non solo ad ottenere un singolo valore, ma anche a diminuire i numeri presenti nella prima colonna:

(1) Alla prima riga è stata aggiunta una terza riga, moltiplicata per –1. La terza riga è stata aggiunta alla seconda riga, moltiplicata per –2. In alto a sinistra ho un'unità con un "meno", che spesso è molto più conveniente per ulteriori trasformazioni.

(2) Le prime due righe sono uguali, una è stata cancellata. Onestamente, non ho spinto la soluzione: è andata così. Se esegui trasformazioni in modalità modello, allora dipendenza lineare le linee sarebbero state rivelate poco dopo.

(3) La seconda riga è stata aggiunta alla terza riga, moltiplicata per 3.

(4) Il segno della prima riga è stato cambiato.

Come risultato delle trasformazioni elementari, è stato ottenuto un sistema equivalente:

L'algoritmo funziona esattamente come per sistemi eterogenei. Le variabili “seduti sui gradini” sono le principali, la variabile che non ha ottenuto un “gradino” è libera.

Esprimiamo le variabili di base attraverso una variabile libera:

Risposta: decisione comune:

La soluzione banale è inclusa nella formula generale e non è necessario scriverla separatamente.

Anche la verifica si effettua secondo lo schema consueto: la soluzione generale risultante deve essere sostituita nel membro sinistro di ciascuna equazione del sistema e per tutte le sostituzioni si deve ottenere uno zero legale.

Sarebbe possibile concludere tutto questo in silenzio e pacificamente, ma spesso la soluzione di un sistema omogeneo di equazioni deve essere rappresentata in forma vettoriale usando sistema fondamentale di soluzioni. Per favore, dimenticatene per ora geometria analitica, visto che adesso parleremo di vettori in senso algebrico generale, che ho aperto un po' nell'articolo su rango di matrice. Non è necessario sorvolare sulla terminologia, tutto è abbastanza semplice.

Consideriamo sistema omogeneo m equazioni lineari con n variabili:

(15)

Un sistema di equazioni lineari omogenee è sempre coerente, perché ha sempre una soluzione zero (banale) (0,0,…,0).

Se nel sistema (15) m=n e , allora il sistema ha solo una soluzione zero, che segue dal teorema e dalle formule di Cramer.

Teorema 1. Il sistema omogeneo (15) ha una soluzione non banale se e solo se il rango della sua matrice è inferiore al numero di variabili, cioè . R(UN)< N.

Prova. L’esistenza di una soluzione non banale del sistema (15) equivale ad una dipendenza lineare delle colonne della matrice del sistema (cioè esistono numeri x 1, x 2,...,x n, non tutti uguali a zero, tali che le uguaglianze (15) sono vere).

Secondo il teorema delle basi minori, le colonne di una matrice sono linearmente dipendenti  quando non tutte le colonne di questa matrice sono fondamentali, cioè  quando l'ordine r della base minore della matrice è inferiore al numero n delle sue colonne. Eccetera.

Conseguenza. Un sistema quadrato omogeneo ha soluzioni non banali  quando |A|=0.

Teorema 2. Se le colonne x (1), x (2),..., x (s) sono soluzioni di un sistema omogeneo AX = 0, allora qualsiasi loro combinazione lineare è anche una soluzione di questo sistema.

Prova. Considera qualsiasi combinazione di soluzioni:

Quindi AX=A()===0. eccetera.

Corollario 1. Se un sistema omogeneo ha una soluzione non banale, allora ha infinite soluzioni.

Quello. è necessario trovare tali soluzioni x (1), x (2),..., x (s) del sistema Ax = 0, in modo che qualsiasi altra soluzione di questo sistema sia rappresentata sotto forma della loro combinazione lineare e , inoltre, in un modo unico.

Definizione. Il sistema k=n-r (n è il numero di incognite nel sistema, r=rg A) di soluzioni linearmente indipendenti x (1), x (2),…, x (k) del sistema Ах=0 si chiama sistema fondamentale di soluzioni questo sistema.

Teorema 3. Sia dato un sistema omogeneo Ах=0 con n incognite e r=rg A. Allora esiste un insieme di k=n-r soluzioni x (1), x (2),…, x (k) di questo sistema, che formano un sistema fondamentale di soluzioni.

Prova. Senza perdita di generalità, possiamo assumere che la base minore della matrice A si trovi nell'angolo in alto a sinistra. Quindi, per il teorema della base minore, le restanti righe della matrice A sono combinazioni lineari delle righe della base. Ciò significa che se i valori x 1, x 2,…, x n soddisfano le prime r equazioni, cioè equazioni corrispondenti alle righe della base minore), allora soddisfano anche altre equazioni. Di conseguenza, l'insieme delle soluzioni del sistema non cambierà se scartiamo tutte le equazioni a partire dalla (r+1)esima. Otteniamo il sistema:

Spostiamo le incognite libere x r +1 , x r +2 ,…, x n a destra, e lasciamo quelle fondamentali x 1 , x 2 ,…, x r a sinistra:

(16)

Perché in questo caso tutto b i =0, quindi al posto delle formule

c j =(M j (b i)-c r +1 M j (a i , r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r ((13), otteniamo:

c j =-(c r +1 M j (a i , r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r (13)

Se impostiamo le incognite libere x r +1 , x r +2 ,…, x n a valori arbitrari, allora rispetto alle incognite di base otteniamo uno SLAE quadrato con matrice non singolare per il quale esiste un'unica soluzione. Pertanto, qualsiasi soluzione di uno SLAE omogeneo è determinata univocamente dai valori delle incognite libere x r +1, x r +2,…, x n. Consideriamo la seguente serie k=n-r di valori di incognite libere:

1, =0, ….,=0,

1, =0, ….,=0, (17)

………………………………………………

1, =0, ….,=0,

(Il numero della serie è indicato da un apice tra parentesi e le serie di valori sono scritte sotto forma di colonne. In ciascuna serie =1 se i=j e =0 se ij.

La i-esima serie di valori delle incognite libere corrisponde unicamente ai valori delle ,,...,incognite di base. I valori delle incognite libere e di base insieme danno soluzioni al sistema (17).

Mostriamo che le colonne e i =,i=1,2,…,k (18)

costituiscono un sistema fondamentale di soluzioni.

Perché Queste colonne, per costruzione, sono soluzioni del sistema omogeneo Ax=0 e il loro numero è pari a k, resta quindi da dimostrare l'indipendenza lineare delle soluzioni (16). Sia una combinazione lineare di soluzioni e 1 , e 2 ,…, e K(x (1) , x (2) ,…, x (k)), uguale alla colonna zero:

 1 e 1 +  2 e 2 +…+ k e K ( 1 X (1) + 2 X(2) +…+ k X(k) = 0)

Quindi il lato sinistro di questa uguaglianza è una colonna i cui componenti con i numeri r+1,r+2,…,n sono uguali a zero. Ma la (r+1)esima componente è uguale a  1 1+ 2 0+…+ k 0= 1 . Allo stesso modo, la componente (r+2)esima è uguale a  2 ,…, la componente kesima è uguale a  k. Pertanto  1 =  2 = …= k =0, che significa indipendenza lineare delle soluzioni e 1 , e 2 ,…, e K ( x (1), x (2),…, x (k)).

Il sistema fondamentale costruito di soluzioni si chiama (18). normale. In virtù della formula (13), ha la seguente forma:

(20)

Corollario 2. Permettere e 1 , e 2 ,…, e K-sistema fondamentale normale di soluzioni di un sistema omogeneo, allora l'insieme di tutte le soluzioni può essere descritto dalla formula:

x=c1 e 1 +s2 e 2 +…+с k e K (21)

dove с 1,с 2,…,с k – assumono valori arbitrari.

Prova. Per il Teorema 2, la colonna (19) è una soluzione del sistema omogeneo Ax=0. Resta da dimostrare che qualsiasi soluzione a questo sistema può essere rappresentata nella forma (17). Considera la colonna X=yr +1 e 1 +…+y n e K. Questa colonna coincide con la colonna y negli elementi con numeri r+1,...,n ed è una soluzione alla (16). Quindi le colonne X E A coincidono, perché le soluzioni del sistema (16) sono determinate univocamente dall'insieme dei valori delle sue incognite libere x r +1 ,…,x n , e dalle colonne A E X questi set sono gli stessi. Quindi, A=X= yr +1 e 1 +…+y n e K, cioè. soluzione Aè una combinazione lineare di colonne e 1 ,…,y n FSR normale. Eccetera.

L’affermazione provata è vera non solo per una FSR normale, ma anche per una FSR arbitraria di uno SLAE omogeneo.

X=C 1 X 1 + C 2 X 2 +…+s N - R X N - R - decisione comune sistemi di equazioni lineari omogenee

Dove X 1, X 2,…, X n - r – qualsiasi sistema fondamentale di soluzioni,

c 1 ,c 2 ,…,c n - r sono numeri arbitrari.

Esempio. (pag. 78)

Stabiliamo una connessione tra le soluzioni della SLAE disomogenea (1) e il corrispondente SLAE omogeneo (15)

Teorema 4. La somma di qualsiasi soluzione del sistema disomogeneo (1) e del corrispondente sistema omogeneo (15) è una soluzione del sistema (1).

Prova. Se c 1 ,…,c n è una soluzione del sistema (1), e d 1 ,…,d n è una soluzione del sistema (15), allora sostituendo i numeri sconosciuti c in qualsiasi (ad esempio, i-esima) equazione di sistema (1) 1 +d 1 ,…,c n +d n , otteniamo:

B i +0=b i h.t.d.

Teorema 5. La differenza tra due soluzioni arbitrarie del sistema disomogeneo (1) è una soluzione del sistema omogeneo (15).

Prova. Se c 1 ,…,c n e c 1 ,…,c n sono soluzioni del sistema (1), allora sostituendo i numeri sconosciuti c in qualsiasi (ad esempio, i-esima) equazione del sistema (1 ) 1 -с 1 ,…,c n -с n , otteniamo:

B i -b i =0 p.t.d.

Dai teoremi provati segue che la soluzione generale di un sistema di m equazioni lineari omogenee con n variabili è uguale alla somma della soluzione generale del corrispondente sistema di equazioni lineari omogenee (15) e un numero arbitrario di una soluzione particolare di questo sistema (15).

X neod. =X totale uno +X frequente più di una volta (22)

Come soluzione particolare di un sistema disomogeneo è naturale prendere la soluzione che si ottiene se nelle formule c j =(M j (b i)-c r +1 M j (a i, r +1)-…-c n M j (a in)) j=1,2,…,r ((13) imposta tutti i numeri c r +1 ,…,c n uguali a zero, cioè

X 0 =(,…,,0,0,…,0) (23)

Aggiungendo questa soluzione particolare alla soluzione generale X=C 1 X 1 + C 2 X 2 +…+s N - R X N - R corrispondente sistema omogeneo, si ottiene:

X neod. =X 0 +C 1 X 1 +C 2 X 2 +…+S N - R X N - R (24)

Consideriamo un sistema di due equazioni con due variabili:

in cui almeno uno dei coefficienti un ij 0.

Per risolvere, eliminiamo x 2 moltiplicando la prima equazione per a 22, e la seconda per (-a 12) e sommandoli: Elimina x 1 moltiplicando la prima equazione per (-a 21), e la seconda per a 11 e aggiungendoli: L'espressione tra parentesi è determinante

Avendo designato ,, allora il sistema assumerà la forma:, cioè se, allora il sistema ha un'unica soluzione:,.

Se Δ=0, e (o), allora il sistema è incoerente, perché ridotto alla forma Se Δ=Δ 1 =Δ 2 =0, allora il sistema è incerto, perché ridotto in forma

Esempio 1. Trovare una soluzione generale e un sistema fondamentale di soluzioni per il sistema

Soluzione trovare utilizzando una calcolatrice. L'algoritmo di soluzione è lo stesso dei sistemi di equazioni lineari non omogenee.
Operando solo con righe troviamo il rango della matrice, la base minore; Dichiariamo incognite dipendenti e libere e troviamo una soluzione generale.

La prima e la seconda riga sono proporzionali, cancelliamone una:

.
Variabili dipendenti – x 2, x 3, x 5, libere – x 1, x 4. Dalla prima equazione 10x 5 = 0 troviamo quindi x 5 = 0
; .
La soluzione generale è:

Troviamo un sistema fondamentale di soluzioni, che consiste di (n-r) soluzioni. Nel nostro caso n=5, r=3, quindi, il sistema fondamentale di soluzioni è costituito da due soluzioni, e queste soluzioni devono essere linearmente indipendenti. Affinché le righe siano linearmente indipendenti è necessario e sufficiente che il rango della matrice composta dagli elementi delle righe sia pari al numero di righe, cioè 2. Basta dare le incognite libere x 1 e x 4 valori dalle righe del determinante del secondo ordine, diverso da zero, e calcolare x 2 , x 3 , x 5 . Il determinante più semplice diverso da zero è .
Quindi la prima soluzione è: , secondo – .
Queste due decisioni costituiscono un sistema decisionale fondamentale. Nota che il sistema fondamentale non è unico (puoi creare tutti i determinanti diversi da zero che desideri).

Esempio 2. Trovare la soluzione generale e il sistema fondamentale delle soluzioni del sistema
Soluzione.



,
ne consegue che il rango della matrice è 3 e pari al numero di incognite. Ciò significa che il sistema non ha incognite libere e quindi ha una soluzione unica, banale.

Esercizio . Esplorare e risolvere un sistema di equazioni lineari.
Esempio 4

Esercizio . Trovare le soluzioni generali e particolari di ciascun sistema.
Soluzione. Scriviamo la matrice principale del sistema:

5	-2	9	-4	-1
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6
x1	x2	x3	x4	x5

Riduciamo la matrice alla forma triangolare. Lavoreremo solo con le righe, poiché moltiplicare una riga della matrice per un numero diverso da zero e aggiungerla a un'altra riga per il sistema significa moltiplicare l'equazione per lo stesso numero e sommarla con un'altra equazione, il che non cambia la soluzione della sistema.
Moltiplica la seconda riga per (-5). Aggiungiamo la 2a riga alla 1a:

0	-22	-1	-14	24
1	4	2	2	-5
6	2	11	-2	-6

Moltiplichiamo la seconda riga per (6). Moltiplica la terza riga per (-1). Aggiungiamo la 3a riga alla 2a:
Troviamo il rango della matrice.

0	22	1	14	-24
6	2	11	-2	-6
x1	x2	x3	x4	x5

Il minore selezionato ha l'ordine più alto (tra i minori possibili) ed è diverso da zero (è uguale al prodotto degli elementi sulla diagonale inversa), quindi rang(A) = 2.
Questo minore è basilare. Include coefficienti per le incognite x 1 , x 2 , il che significa che le incognite x 1 , x 2 sono dipendenti (di base) e x 3 , x 4 , x 5 sono libere.
Trasformiamo la matrice, lasciando a sinistra solo la base minore.

0	22	14	-1	-24
6	2	-2	-11	-6
x1	x2	x4	x3	x5

Il sistema con i coefficienti di questa matrice è equivalente al sistema originale ed ha la forma:
22x2 = 14x4 - x3 - 24x5
6x 1 + 2x 2 = - 2x 4 - 11x 3 - 6x 5
Utilizzando il metodo di eliminazione delle incognite, troviamo soluzione non banale:
Abbiamo ottenuto relazioni che esprimono le variabili dipendenti x 1 , x 2 tramite quelle libere x 3 , x 4 , x 5 , cioè abbiamo trovato decisione comune:
x2 = 0,64x4 - 0,0455x3 - 1,09x5
x1 = - 0,55x4 - 1,82x3 - 0,64x5
Troviamo un sistema fondamentale di soluzioni, che consiste di (n-r) soluzioni.
Nel nostro caso n=5, r=2, quindi, il sistema fondamentale di soluzioni è formato da 3 soluzioni, e queste soluzioni devono essere linearmente indipendenti.
Affinché le righe siano linearmente indipendenti è necessario e sufficiente che il rango della matrice composta da elementi di riga sia pari al numero di righe, cioè 3.
È sufficiente dare alle incognite libere i valori x 3 , x 4 , x 5 dalle linee del determinante di 3° ordine, diversi da zero, e calcolare x 1 , x 2 .
Il determinante diverso da zero più semplice è la matrice identità.

1	0	0
0	1	0
0	0	1

Compito . Trovare l'insieme fondamentale delle soluzioni di un sistema omogeneo di equazioni lineari.