Operazioni con derivati. Cos'è una derivata Definizione e significato di una funzione derivativa. Notazioni comuni per la derivata di una funzione in un punto

Concetto di derivata

Lasciamo la funzione F(X) è definito su un certo intervallo X. Diamo il valore dell'argomento al punto X 0 X incremento arbitrario Δ X in modo che il punto x0 + Δ X apparteneva anche a X. Quindi il corrispondente incremento della funzione f(x) sarà Δ A = F(x0 + Δ X) - F(x0).

Definizione 1. Derivato della funzione f(x) al punto x0è chiamato limite del rapporto tra l'incremento della funzione a questo punto e l'incremento dell'argomento a Δ X 0 (se questo limite esiste).

Per denotare la derivata di una funzione, usiamo i simboli sì" (x0) O F"(x0):

Se ad un certo punto x0 il limite (4.1) è infinito:

poi lo dicono al punto x0 funzione F(X) Esso ha derivata infinita.

Se la funzione F(X) ha una derivata in ogni punto dell'insieme X, poi la derivata f"(x)è anche una funzione dell'argomento X, definito su X.

Significato geometrico della derivata

Per chiarire il significato geometrico della derivata, dobbiamo determinare la tangente al grafico della funzione in un dato punto.

Definizione 2. Tangente al grafico della funzione y = f(X) al punto M detta posizione limite della secante MN, quando è il punto N tende a un punto M lungo la curva F(X).

Lasciamo il punto M sulla curva F(X) corrisponde al valore dell'argomento x0 e punto N- valore dell'argomento x0 + Δ X(Fig. 4.1). Dalla definizione di tangente segue quella per la sua esistenza in un punto x0è necessario che ci sia un limite, che sia uguale all'angolo di inclinazione della tangente all'asse OH. Da un triangolo M.N.A. segue quello

Se la derivata della funzione F(X) al punto x0 esiste, allora secondo la (4.1), otteniamo

Da ciò segue una chiara conclusione che derivato f"(x0) pari al coefficiente angolare (tangente dell'angolo di inclinazione alla direzione positiva dell'asse Ox) della tangente al grafico della funzione y = F(X)V punto M(x0, F(x0)). In questo caso, l'angolo della tangente è determinato dalla formula (4.2):

Significato fisico del derivato

Supponiamo che la funzione l = f(T) descrive la legge del movimento di un punto materiale in linea retta come dipendenza dal percorso l dal momento T. Quindi la differenza Δ l = f(t+Δ t) - f(t) -è il percorso percorso nell'intervallo di tempo Δ T e il rapporto Δ l/Δ T- velocità media nel tempo Δ T. Quindi il limite determina velocità istantanea del punto in un determinato momento T come derivata del percorso rispetto al tempo.

In un certo senso la derivata della funzione A = f(x) può anche essere interpretato come la velocità di variazione di una funzione: maggiore è il valore F"(X), maggiore è l'angolo di inclinazione della tangente alla curva, più ripido sarà il grafico F(X) e la funzione cresce più velocemente.

Derivate destra e sinistra

Per analogia con i concetti di limiti unilaterali di una funzione, vengono introdotti i concetti di derivata destra e sinistra di una funzione in un punto.

Definizione 3. Destra sinistra) derivata di una funzione A = f(x) al punto x0è chiamato limite destro (sinistro) della relazione (4.1) per Δ X 0 se questo limite esiste.

Il seguente simbolismo viene utilizzato per denotare le derivate unilaterali:

Se la funzione F(X) ha al punto x0 derivata, allora a questo punto ha la derivata sinistra e quella destra, che coincidono.

Facciamo un esempio di una funzione che ha derivate unilaterali in un punto non uguali tra loro. Questo F(X) = |X|. Infatti, al punto x = 0 abbiamo f'+(0) = 1, F" -(0) = -1 (Fig. 4.2) e f'+(0) ≠ f’ -(0), cioè la funzione non ha derivate in X = 0.

L'operazione di trovare la derivata di una funzione si chiama così differenziazione; si chiama una funzione che ha una derivata in un punto differenziabile.

La connessione tra differenziabilità e continuità di una funzione in un punto è stabilita dal seguente teorema.

TEOREMA 1 . Se una funzione è differenziabile in un punto x 0, allora è continua in quel punto.

Non è vero il contrario: funzione F(X), continua in un punto, potrebbe non avere derivata in quel punto. Un esempio del genere è la funzione A = |X|; è continuo in un punto X= 0, ma a questo punto non ha derivata.

Pertanto, il requisito di differenziabilità di una funzione è più forte del requisito di continuità, poiché il secondo segue automaticamente dal primo.

Equazione della tangente al grafico di una funzione in un dato punto

Come affermato nella Sezione 3.9, l'equazione di una retta passante per un punto M(x0, e 0) con pendenza K sembra

Sia data la funzione A = F(X). Poi dal suo derivato ad un certo punto M(x0, e 0) è la pendenza della tangente al grafico di questa funzione nel punto M, quindi ne consegue che l'equazione della tangente al grafico della funzione F(X) a questo punto ha la forma

La derivata di una funzione $y = f(x)$ in un dato punto $x_0$ è il limite del rapporto tra l'incremento di una funzione e il corrispondente incremento del suo argomento, a condizione che quest'ultimo tenda a zero:

$f"(x_0)=(lim)↙(△x→0)(△f(x_0))/(△x)$

La differenziazione è l'operazione di trovare la derivata.

Tavola delle derivate di alcune funzioni elementari

Regole fondamentali di differenziazione

1. La derivata della somma (differenza) è uguale alla somma (differenza) delle derivate

$(f(x)± g(x))"= f"(x)±g"(x)$

Trova la derivata della funzione $f(x)=3x^5-cosx+(1)/(x)$

La derivata di una somma (differenza) è uguale alla somma (differenza) delle derivate.

$f"(x) = (3x^5)"-(cos x)" + ((1)/(x))" = 15x^4 + sinx - (1)/(x^2)$

2. Derivato del prodotto

$(f(x) g(x)"= f"(x) g(x)+ f(x) g(x)"$

Trova la derivata $f(x)=4x cosx$

$f"(x)=(4x)"·cosx+4x·(cosx)"=4·cosx-4x·sinx$

3. Derivata del quoziente

$((f(x))/(g(x)))"=(f"(x) g(x)-f(x) g(x)")/(g^2(x)) $

Trova la derivata $f(x)=(5x^5)/(e^x)$

$f"(x)=((5x^5)"·e^x-5x^5·(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4·e^x- 5x^5 e^x)/((e^x)^2)$

4. La derivata di una funzione complessa è uguale al prodotto della derivata della funzione esterna e della derivata della funzione interna

$f(g(x))"=f"(g(x)) g"(x)$

$f"(x)=cos"(5x)·(5x)"=-sen(5x)·5= -5sen(5x)$

Significato fisico del derivato

Se un punto materiale si muove rettilineamente e le sue coordinate cambiano in base al tempo secondo la legge $x(t)$, allora la velocità istantanea di questo punto è uguale alla derivata della funzione.

Il punto si muove lungo la linea delle coordinate secondo la legge $x(t)= 1.5t^2-3t + 7$, dove $x(t)$ è la coordinata al tempo $t$. In quale momento la velocità del punto sarà pari a $12$?

1. La velocità è la derivata di $x(t)$, quindi troviamo la derivata della funzione data

$v(t) = x"(t) = 1,5 2t -3 = 3t -3$

2. Per trovare in quale istante $t$ la velocità era pari a $12$, creiamo e risolviamo l'equazione:

Significato geometrico della derivata

Ricordiamo che l'equazione di una retta non parallela agli assi coordinati può essere scritta nella forma $y = kx + b$, dove $k$ è la pendenza della retta. Il coefficiente $k$ è uguale alla tangente dell'angolo di inclinazione tra la retta e la direzione positiva dell'asse $Ox$.

La derivata della funzione $f(x)$ nel punto $х_0$ è uguale alla pendenza $k$ della tangente al grafico in questo punto:

Pertanto, possiamo creare un'uguaglianza generale:

$f"(x_0) = k = tanα$

Nella figura aumenta la tangente alla funzione $f(x)$, quindi il coefficiente $k > 0$. Poiché $k > 0$, allora $f"(x_0) = tanα > 0$. L'angolo $α$ tra la tangente e la direzione positiva $Ox$ è acuto.

Nella figura la tangente alla funzione $f(x)$ diminuisce, quindi, il coefficiente $k< 0$, следовательно, $f"(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.

Nella figura la tangente alla funzione $f(x)$ è parallela all'asse $Ox$, quindi il coefficiente $k = 0$, quindi $f"(x_0) = tan α = 0$. La punto $x_0$ in cui $f "(x_0) = 0$, chiamato estremo.

La figura mostra un grafico della funzione $y=f(x)$ e una tangente a questo grafico disegnata nel punto con l'ascissa $x_0$. Trova il valore della derivata della funzione $f(x)$ nel punto $x_0$.

La tangente al grafico aumenta, quindi, $f"(x_0) = tan α > 0$

Per trovare $f"(x_0)$, troviamo la tangente dell'angolo di inclinazione tra la tangente e la direzione positiva dell'asse $Ox$. Per fare ciò, costruiamo la tangente al triangolo $ABC$.

Troviamo la tangente dell'angolo $BAC$. (La tangente di un angolo acuto in un triangolo rettangolo è il rapporto tra il lato opposto e il lato adiacente.)

$tg BAC = (BC)/(AC) = (3)/(12)= (1)/(4)=$0,25

$f"(x_0) = tg BAC = 0,25$

Risposta: $ 0,25 $

La derivata viene utilizzata anche per trovare gli intervalli delle funzioni crescenti e decrescenti:

Se $f"(x) > 0$ su un intervallo, allora la funzione $f(x)$ è crescente su questo intervallo.

Se $f"(x)< 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.

La figura mostra il grafico della funzione $y = f(x)$. Trova tra i punti $х_1,х_2,х_3...х_7$ i punti in cui la derivata della funzione è negativa.

In risposta, annota il numero di questi punti.

Piano:

1. Derivato di una funzione

2. Funzione differenziale

3. Applicazione del calcolo differenziale allo studio delle funzioni

Derivata di una funzione di una variabile

Lascia che la funzione sia definita su un certo intervallo. Diamo un incremento all'argomento: , quindi la funzione riceverà un incremento. Troviamo il limite di questo rapporto in Se questo limite esiste, allora è chiamato derivata della funzione. La derivata di una funzione ha diverse notazioni: . A volte nella notazione di una derivata viene utilizzato un indice, che indica rispetto a quale variabile viene presa la derivata.

Definizione. La derivata di una funzione in un punto è il limite del rapporto tra l'incremento della funzione e l'incremento dell'argomento quando l'incremento dell'argomento tende a zero (se questo limite esiste):

Definizione. Viene chiamata una funzione che ha una derivata in ogni punto dell'intervallo differenziabile in questo intervallo.

Definizione. L'operazione per trovare la derivata di una funzione si chiama differenziazione.

Il valore della derivata di una funzione in un punto è indicato da uno dei simboli: .

Esempio. Trova la derivata di una funzione in un punto arbitrario.

Soluzione. Diamo un incremento al valore. Troviamo l'incremento della funzione nel punto: . Creiamo una relazione. Spostiamoci al limite: . Così, .

Significato meccanico della derivata. Poiché o, cioè la velocità del moto rettilineo di un punto materiale in un istante di tempo è la derivata del percorso rispetto al tempo. Questo è significato meccanico della derivata .

Se una funzione descrive un processo fisico, la derivata è la velocità con cui si verifica questo processo. Questo è significato fisico di derivato .

Significato geometrico della derivata. Consideriamo il grafico di una curva continua che ha una tangente non verticale in un punto. Troviamo il suo coefficiente angolare, dove è l'angolo tangente all'asse. Per fare ciò, traccia una linea secante attraverso il punto e il grafico (Figura 1).

Indichiamo con - l'angolo tra la secante e l'asse. La figura mostra che il coefficiente angolare della secante è uguale a

Quando, per la continuità della funzione, anche l'incremento tende a zero; pertanto, il punto si avvicina indefinitamente al punto lungo la curva e la secante, girando attorno al punto, diventa tangente. Angolo, cioè . Pertanto, , quindi la pendenza della tangente è uguale a .

Pendenza di una tangente ad una curva

Riscriviamo questa uguaglianza nella forma: , cioè la derivata in un punto è uguale alla pendenza della tangente al grafico della funzione nel punto la cui ascissa è uguale a . Questo è significato geometrico della derivata .

Se il punto di tangenza ha delle coordinate (Figura 2), il coefficiente angolare della tangente è pari a: .

L'equazione di una retta passante per un dato punto in una data direzione ha la forma: .

Poi equazione tangenteè scritto nella forma: .

Definizione. Si chiama retta perpendicolare alla tangente nel punto di contatto normale alla curva.

Il coefficiente angolare della normale è uguale a: (poiché la normale è perpendicolare alla tangente).

L'equazione normale ha la forma:, Se .

Sostituendo i valori trovati, otteniamo le equazioni tangenti, cioè .

Equazione normale: o .

Se una funzione ha derivata finita in un punto allora è differenziabile in quel punto. Se una funzione è differenziabile in ogni punto di un intervallo, allora è differenziabile in quell'intervallo.

Teorema 6.1 Se una funzione è differenziabile in un punto, allora in quel punto è continua.

Il teorema contrario non è vero. Una funzione continua può non avere derivata.

Esempio. La funzione è continua nell'intervallo (Figura 3).

Soluzione.

La derivata di questa funzione è uguale a:

Ad un certo punto la funzione non è differenziabile.

Commento. In pratica, molto spesso devi trovare le derivate di funzioni complesse. Pertanto, nella tabella delle formule di differenziazione, l'argomento è sostituito da un argomento intermedio.

Tabella dei derivati

Costante

Funzione di potenza:

2) in particolare;

Funzione esponenziale :

3) in particolare;

Funzione logaritmica:

4) in particolare;

Funzioni trigonometriche:

Funzioni trigonometriche inverse , , , :

Differenziare una funzione significa trovarne la derivata, cioè calcolarne il limite: . Tuttavia, nella maggior parte dei casi, determinare il limite è un compito arduo.

Se conosci le derivate delle funzioni elementari di base e conosci le regole per differenziare i risultati delle operazioni aritmetiche su queste funzioni, puoi facilmente trovare le derivate di qualsiasi funzione elementare, secondo le regole per determinare le derivate, ben note dal corso scolastico .

Siano le funzioni e due funzioni differenziabili in un certo intervallo.

Teorema 6.2 La derivata della somma (differenza) di due funzioni è uguale alla somma (differenza) delle derivate di queste funzioni: .

Il teorema è valido per qualsiasi numero finito di termini.

Esempio. Trova la derivata della funzione.

Soluzione.

Teorema 6.3 La derivata del prodotto di due funzioni è uguale al prodotto della derivata del primo fattore e del secondo più il prodotto del primo fattore e della derivata del secondo: .

Esempio. Trova la derivata di una funzione .

Soluzione.

Teorema 6.4 La derivata del quoziente di due funzioni, se uguale a una frazione, il cui numeratore è la differenza tra i prodotti del denominatore della frazione e la derivata del numeratore e il numeratore della frazione e la derivata del denominatore, e il denominatore è il quadrato del precedente denominatore: .

Esempio. Trova la derivata di una funzione .

Soluzione. .

Per trovare la derivata di una funzione complessa, devi moltiplicare la derivata di questa funzione rispetto all'argomento intermedio per la derivata dell'argomento intermedio rispetto all'argomento indipendente

Questa regola rimane in vigore se sono presenti più argomenti intermedi. Quindi, se , , , allora

Sia e, quindi - una funzione complessa con un argomento intermedio e un argomento indipendente.

Teorema 6.5 Se una funzione ha una derivata in un punto e una funzione ha una derivata nel punto corrispondente, allora una funzione complessa ha una derivata in un punto, che si trova dalla formula. , Trova la derivata della funzione data dall'equazione: .

Soluzione. La funzione è specificata in modo implicito. Differenziamo l'equazione rispetto a , ricordando che: . Quindi troviamo: .

Sia definita la funzione in un punto e in alcune delle sue vicinanze. Diamo all'argomento un incremento tale che il punto rientri nel dominio di definizione della funzione. La funzione verrà quindi incrementata.

DEFINIZIONE. Derivata di una funzione in un punto è chiamato limite del rapporto tra l'incremento della funzione a questo punto e l'incremento dell'argomento, a (se questo limite esiste ed è finito), cioè

Denota: ,,,.

Derivata di una funzione in un punto a destra (sinistra) chiamato

(se questo limite esiste ed è finito).

Designato da: , – derivato nel punto a destra,

, è la derivata nel punto a sinistra.

Ovviamente vale il seguente teorema.

TEOREMA. Una funzione ha una derivata in un punto se e solo se in questo punto esistono le derivate della funzione a destra e a sinistra e sono uguali tra loro. Inoltre

Il seguente teorema stabilisce una connessione tra l'esistenza di una derivata di una funzione in un punto e la continuità della funzione in quel punto.

TEOREMA (condizione necessaria per l'esistenza di una derivata di una funzione in un punto). Se una funzione ha una derivata in un punto, allora la funzione in quel punto è continua.

PROVA

Lascia che esista. Poi

,

dove è infinitesimo a.

Commento

derivata di una funzione e denotare

differenziazione della funzione .

SIGNIFICATO GEOMETRICO E FISICO

1) Significato fisico del derivato. Se una funzione e il suo argomento sono quantità fisiche, la derivata è il tasso di variazione di una variabile rispetto alla variabile in un punto. Ad esempio, se è la distanza percorsa da un punto nel tempo, la sua derivata è la velocità in quel momento. Se è la quantità di elettricità che scorre attraverso la sezione trasversale del conduttore in un istante di tempo, allora è la velocità di variazione della quantità di elettricità in un istante di tempo, cioè forza attuale in un dato momento.

2) Significato geometrico della derivata.

Sia una curva, un punto sulla curva.

Viene chiamata qualsiasi retta che interseca almeno due punti secante .

Tangente ad una curva in un punto detta posizione limite di una secante se il punto tende a muoversi lungo una curva.

Dalla definizione è ovvio che se in un punto esiste una tangente ad una curva, allora è l'unica

Considera una curva (cioè un grafico di una funzione). Lascia che in un punto abbia una tangente non verticale. La sua equazione: (equazione di una retta passante per un punto e avente un coefficiente angolare).

Per definizione di pendenza

dove è l'angolo di inclinazione della retta rispetto all'asse.

Sia l'angolo di inclinazione della secante rispetto all'asse, dove. Poiché è una tangente, allora quando

Quindi,

Quindi, abbiamo capito – coefficiente angolare della tangente al grafico della funzione nel punto(significato geometrico della derivata di una funzione in un punto). Pertanto, l'equazione della tangente alla curva in un punto può essere scritta nella forma

Commento . Si chiama retta passante per un punto perpendicolare alla tangente tracciata in quel punto alla curva normale alla curva in quel punto . Poiché i coefficienti angolari delle rette perpendicolari sono legati dalla relazione, l'equazione della normale alla curva in un punto avrà la forma

, Se .

Se , allora la tangente alla curva nel punto avrà la forma

e normale.

EQUAZIONI TANGENTI E NORMALI

Equazione tangente

Sia la funzione data dall'equazione sì=F(X), è necessario scrivere l'equazione tangente al punto X 0. Dalla definizione di derivata:

sì/(X)=limΔ X→0Δ sìΔ X

Δ sì=F(X+Δ X)−F(X).

L'equazione tangente al grafico della funzione: sì=kx+B (K,B=cost). Dal significato geometrico della derivata: F/(X 0)=tgα= K Perché X 0 e F(X 0)∈ retta, quindi l'equazione tangenteè scritto come: sì−F(X 0)=F/(X 0)(X−X 0) o

sì=F/(X 0)· X+F(X 0)−F/(X 0)· X 0.

Equazione normale

Normale- è perpendicolare a tangente(Guarda l'immagine). Basato su questo:

tgβ= tg(2π−α)= ctgα=1 tgα=1 F/(X 0)

Perché l'angolo di inclinazione della normale è l'angolo β1, quindi abbiamo:

tgβ1= tg(π−β)=− tgβ=−1 F/(X).

Punto ( X 0,F(X 0))∈ normale, l’equazione assume la forma:

sì−F(X 0)=−1F/(X 0)(X−X 0).

PROVA

Lascia che esista. Poi

,

dove è infinitesimo a.

Ma questo significa che è continua in un punto (vedi la definizione geometrica di continuità). ∎

Commento . La continuità di una funzione in un punto non è una condizione sufficiente per l'esistenza di una derivata di questa funzione in un punto. Ad esempio, una funzione è continua, ma non ha derivate in un punto. Veramente,

e quindi non esiste.

Ovviamente, la corrispondenza è una funzione definita su qualche insieme. La chiamano derivata di una funzione e denotare

L'operazione per trovare per una funzione la sua derivata si chiama funzione derivativa differenziazione della funzione .

Derivata della somma e della differenza

Siano date le funzioni f(x) e g(x) di cui conosciamo le derivate. Ad esempio, puoi prendere le funzioni elementari discusse sopra. Quindi puoi trovare la derivata della somma e della differenza di queste funzioni:

(f + g)’ = f ’ + g ’

(f − g)’ = f ’ − g ’

Quindi, la derivata della somma (differenza) di due funzioni è uguale alla somma (differenza) delle derivate. Potrebbero esserci più termini. Ad esempio, (f + g + h)’ = f’ + g’ + h’.

A rigor di termini, in algebra non esiste il concetto di “sottrazione”. Esiste il concetto di “elemento negativo”. Pertanto, la differenza f − g può essere riscritta come la somma f + (−1) g, e quindi rimane solo una formula: la derivata della somma.

Nel piano delle coordinate xOy consideriamo il grafico della funzione y=f(x). Fissiamo il punto M(x0; f(x0)). Aggiungiamo un'ascissa x0 incremento Δх. Otterremo una nuova ascissa x0+Δx. Questa è l'ascissa del punto N e l'ordinata sarà uguale f(x0+Δx). Il cambiamento dell'ascissa ha comportato il cambiamento dell'ordinata. Questo cambiamento è chiamato incremento della funzione ed è indicato con Δy.

Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). Attraverso punti M E N disegniamo una secante MN, che forma un angolo φ con direzione dell'asse positiva OH. Determiniamo la tangente dell'angolo φ da un triangolo rettangolo MPN.

Permettere Δх tende a zero. Quindi la secante MN tenderà ad assumere una posizione tangente MT e l'angolo φ diventerà un angolo α . Quindi, la tangente dell'angolo α è il valore limite della tangente dell'angolo φ :

Il limite del rapporto tra l'incremento di una funzione e l'incremento dell'argomento, quando quest'ultimo tende a zero, è chiamato derivata della funzione in un dato punto:

Significato geometrico della derivata sta nel fatto che la derivata numerica della funzione in un dato punto è uguale alla tangente dell'angolo formato dalla tangente tracciata attraverso questo punto alla curva data e dalla direzione positiva dell'asse OH:

Esempi.

1. Trova l'incremento dell'argomento e l'incremento della funzione y= x2, se il valore iniziale dell'argomento era uguale a 4 , e nuovo - 4,01 .

Soluzione.

Nuovo valore dell'argomento x=x0+Δx. Sostituiamo il dato: 4.01=4+Δх, da qui l'incremento dell'argomento Δх=4,01-4=0,01. L'incremento di una funzione, per definizione, è uguale alla differenza tra il valore nuovo e quello precedente della funzione, cioè Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). Poiché abbiamo una funzione y=x2, Quello Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx)2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Risposta: incremento dell'argomento Δх=0,01; incremento della funzione Δу=0,0801.

L'incremento della funzione potrebbe essere trovato in modo diverso: Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4,01) -y(4)=4,01 2 -4 2 =16,0801-16=0,0801.

2. Trova l'angolo di inclinazione della tangente al grafico della funzione y=f(x) al punto x0, Se f"(x0) = 1.

Soluzione.

Il valore della derivata nel punto di tangenza x0 ed è il valore della tangente dell'angolo tangente (il significato geometrico della derivata). Abbiamo: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, Perché tg45°=1.

Risposta: la tangente al grafico di questa funzione forma un angolo con la direzione positiva dell'asse Ox uguale a 45°.

3. Derivare la formula per la derivata della funzione y=x n.

Differenziazioneè l'azione di trovare la derivata di una funzione.

Quando trovi i derivati, usa le formule derivate in base alla definizione di derivata, nello stesso modo in cui abbiamo derivato la formula per il grado di derivata: (x n)" = nx n-1.

Queste sono le formule.

Tabella dei derivati Sarà più facile memorizzare pronunciando formulazioni verbali:

1. La derivata di una quantità costante è zero.

2. X primo è uguale a uno.

3. Il fattore costante può essere tolto dal segno della derivata.

4. La derivata di un grado è uguale al prodotto dell'esponente di questo grado per un grado con la stessa base, ma l'esponente è uno in meno.

5. La derivata di una radice è uguale a uno diviso per due radici uguali.

6. La derivata di uno diviso per x è uguale a meno uno diviso per x al quadrato.

7. La derivata del seno è uguale al coseno.

8. La derivata del coseno è uguale a meno seno.

9. La derivata della tangente è uguale a uno diviso per il quadrato del coseno.

10. La derivata della cotangente è uguale a meno uno diviso per il quadrato del seno.

Insegniamo regole di differenziazione.

1. La derivata di una somma algebrica è uguale alla somma algebrica delle derivate dei termini.

2. La derivata di un prodotto è uguale al prodotto della derivata del primo fattore e del secondo più il prodotto del primo fattore e della derivata del secondo.

3. La derivata di “y” divisa per “ve” è uguale a una frazione in cui il numeratore è “y primo moltiplicato per “ve” meno “y moltiplicato per ve primo”, e il denominatore è “ve al quadrato”.

4. Un caso speciale della formula 3.