Circonferenza di una formula esagonale. Esagono regolare: perché è interessante e come costruirlo. Quali proprietà devi conoscere quando risolvi i problemi?

Costruzione di un esagono regolare inscritto in una circonferenza. La costruzione di un esagono si basa sul fatto che il suo lato è uguale al raggio del cerchio circoscritto. Pertanto, per costruirlo, è sufficiente dividere il cerchio in sei parti uguali e collegare tra loro i punti trovati (Fig. 60, a).

È possibile costruire un esagono regolare utilizzando un bordo dritto e un quadrato 30X60°. Per eseguire questa costruzione, prendiamo il diametro orizzontale del cerchio come bisettrice degli angoli 1 e 4 (Fig. 60, b), costruiamo i lati 1 -6, 4-3, 4-5 e 7-2, dopo di che disegniamo i lati 5-6 e 3-2.

Costruzione di un triangolo equilatero inscritto in una circonferenza. I vertici di un tale triangolo possono essere costruiti utilizzando un compasso e una squadra con angoli di 30 e 60° oppure utilizzando un solo compasso.

Consideriamo due modi per costruire un triangolo equilatero inscritto in una circonferenza.

Primo modo(Fig. 61,a) si basa sul fatto che tutti e tre gli angoli del triangolo 7, 2, 3 contengono 60°, e la linea verticale tracciata attraverso il punto 7 è sia l'altezza che la bisettrice dell'angolo 1. Poiché l'angolo è 0-1- 2 è uguale a 30°, quindi trovare il lato

1-2, è sufficiente costruire un angolo di 30° dal punto 1 e dal lato 0-1. Per fare ciò, installa la traversa e il quadrato come mostrato nella figura, traccia la linea 1-2, che sarà uno dei lati del triangolo desiderato. Per costruire i lati 2-3, posiziona la traversa nella posizione mostrata dalle linee tratteggiate e traccia una linea retta attraverso il punto 2, che determinerà il terzo vertice del triangolo.

Secondo modo si basa sul fatto che se costruisci un esagono regolare inscritto in una circonferenza e poi unisci i suoi vertici attraverso uno di essi, otterrai un triangolo equilatero.

Per costruire un triangolo (Fig. 61, b), segnare il vertice 1 sul diametro e tracciare una linea diametrale 1-4. Successivamente, dal punto 4 con raggio pari a D/2, descriviamo un arco fino ad intersecare il cerchio nei punti 3 e 2. I punti risultanti saranno gli altri due vertici del triangolo desiderato.

Costruzione di un quadrato inscritto in una circonferenza. Questa costruzione può essere eseguita utilizzando una squadra e un compasso.

Il primo metodo si basa sul fatto che le diagonali del quadrato si intersecano al centro del cerchio circoscritto e sono inclinate rispetto al suo asse di un angolo di 45°. Su questa base installiamo la traversa e la squadra con angoli di 45° come mostrato in Fig. 62, a, e segniamo i punti 1 e 3. Successivamente, attraverso questi punti disegniamo i lati orizzontali del quadrato 4-1 e 3-2 usando una traversa. Quindi, utilizzando un righello, disegniamo i lati verticali del quadrato 1-2 e 4-3 lungo la gamba del quadrato.

Il secondo metodo si basa sul fatto che i vertici del quadrato dividono in due gli archi di cerchio racchiusi tra le estremità del diametro (Fig. 62, b). Segniamo i punti A, B e C alle estremità di due diametri reciprocamente perpendicolari e da essi con raggio y descriviamo archi finché non si intersecano tra loro.

Successivamente, attraverso i punti di intersezione degli archi tracciamo linee rette ausiliarie, contrassegnate nella figura con linee continue. I punti della loro intersezione con il cerchio determineranno i vertici 1 e 3; 4 e 2. Colleghiamo in serie tra loro i vertici del quadrato desiderato così ottenuto.

Costruzione di un pentagono regolare inscritto in una circonferenza.

Per inserire un pentagono regolare in un cerchio (Fig. 63), realizziamo le seguenti costruzioni.

Segniamo il punto 1 sul cerchio e prendiamolo come uno dei vertici del pentagono. Dividiamo il segmento AO a metà. Per fare ciò descriviamo un arco dal punto A di raggio AO fino a quando non interseca il cerchio nei punti M e B. Collegando questi punti con una linea retta otteniamo il punto K, che colleghiamo poi al punto 1. Con un raggio pari al segmento A7, descriviamo un arco dal punto K fino ad intersecare la linea diametrale AO nel punto H. Collegando il punto 1 con il punto H, otteniamo il lato del pentagono. Quindi, utilizzando una soluzione compasso pari al segmento 1H, descrivendo un arco dal vertice 1 all'intersezione con il cerchio, troviamo i vertici 2 e 5. Avendo fatto degli intagli dai vertici 2 e 5 con la stessa soluzione compasso, otteniamo il restante vertici 3 e 4. Colleghiamo i punti trovati in sequenza tra loro.

Costruire un pentagono regolare lungo un dato lato.

Per costruire un pentagono regolare lungo un dato lato (Fig. 64), dividiamo il segmento AB in sei parti uguali. Dai punti A e B con raggio AB descriviamo archi, la cui intersezione darà il punto K. Attraverso questo punto e la divisione 3 sulla linea AB tracciamo una linea verticale.

Otteniamo il punto 1-vertice del pentagono. Quindi, con raggio pari ad AB, dal punto 1 descriviamo un arco fino ad intersecare gli archi precedentemente disegnati dai punti A e B. I punti di intersezione degli archi determinano i vertici 2 e 5 del pentagono. Colleghiamo i vertici trovati in serie tra loro.

Costruzione di un ettagono regolare inscritto in una circonferenza.

Sia dato un cerchio di diametro D; è necessario inserire un ettagono regolare al suo interno (Fig. 65). Dividi il diametro verticale del cerchio in sette parti uguali. Dal punto 7 di raggio pari al diametro del cerchio D, descriviamo un arco finché non si interseca con la continuazione del diametro orizzontale nel punto F. Chiameremo il punto F polo del poligono. Prendendo il punto VII come uno dei vertici dell'ettagono, tracciamo i raggi dal polo F attraverso divisioni pari del diametro verticale, la cui intersezione con il cerchio determinerà i vertici VI, V e IV dell'ettagono. Per ottenere i vertici / - // - /// dai punti IV, V e VI, tracciare linee orizzontali finché non si intersecano con il cerchio. Colleghiamo i vertici trovati in sequenza tra loro. Un ettagono può essere costruito traendo raggi dal polo F e attraverso divisioni dispari del diametro verticale.

Il metodo sopra è adatto per costruire poligoni regolari con qualsiasi numero di lati.

La divisione di un cerchio in un numero qualsiasi di parti uguali può essere eseguita anche utilizzando i dati nella tabella. 2, che fornisce coefficienti che permettono di determinare le dimensioni dei lati dei poligoni regolari inscritti.

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Sai che aspetto ha un esagono regolare?
Questa domanda non è stata posta per caso. La maggior parte degli studenti dell'undicesimo anno non conosce la risposta a questa domanda.

Un esagono regolare è quello in cui tutti i lati sono uguali e anche tutti gli angoli sono uguali..

Noce di ferro. Fiocco di neve. Cella di un favo in cui vivono le api. Molecola di benzene. Cosa hanno in comune questi oggetti? - Il fatto che abbiano tutti una forma esagonale regolare.

Molti scolari si confondono quando vedono problemi che coinvolgono un esagono regolare e credono che siano necessarie alcune formule speciali per risolverli. È così?

Disegniamo le diagonali di un esagono regolare. Abbiamo sei triangoli equilateri.

Sappiamo che l'area di un triangolo regolare è: .

Quindi l'area di un esagono regolare è sei volte maggiore.

Dov'è il lato di un esagono regolare.

Tieni presente che in un esagono regolare, la distanza dal suo centro a uno qualsiasi dei vertici è la stessa ed è uguale al lato dell'esagono regolare.

Ciò significa che il raggio di un cerchio circoscritto ad un esagono regolare è uguale al suo lato.
Il raggio di un cerchio inscritto in un esagono regolare non è difficile da trovare.
È uguale.
Ora puoi risolverne facilmente qualsiasi Compiti dell'Esame di Stato Unificato, in cui appare un esagono regolare.

Trovare il raggio di un cerchio inscritto in un esagono regolare di lato .

Il raggio di tale cerchio è uguale a .

Risposta: .

Qual è il lato di un esagono regolare inscritto in una circonferenza di raggio 6?

Sappiamo che il lato di un esagono regolare è uguale al raggio del cerchio ad esso circoscritto.