Definizione di proiezione sugli assi coordinati. Proiezione della forza sull'asse. Proiezione della somma vettoriale delle forze sull'asse. Classificazione delle proiezioni vettoriali

UN. La proiezione del punto A sull'asse PQ (Fig. 4) è la base a della perpendicolare calata da un dato punto a un dato asse. L'asse su cui proiettiamo è chiamato asse di proiezione.

B. Siano dati due assi e un vettore A B, mostrati in Fig. 5.

Un vettore il cui inizio è la proiezione dell'inizio e la cui fine è la proiezione della fine di questo vettore si chiama proiezione del vettore A B sull'asse PQ e si scrive così;

A volte l'indicatore PQ non è scritto in fondo; ciò avviene nei casi in cui, oltre a PQ, non esiste altro sistema operativo su cui potrebbe essere progettato.

Con. Teorema I. Le grandezze dei vettori che giacciono su un asse sono correlate come le grandezze delle loro proiezioni su qualsiasi asse.

Siano dati gli assi e i vettori indicati in Fig. 6. Dalla somiglianza dei triangoli è chiaro che le lunghezze dei vettori sono correlate come le lunghezze delle loro proiezioni, cioè

Poiché i vettori nel disegno sono diretti in direzioni diverse, le loro grandezze hanno segni diversi, quindi,

Ovviamente anche le grandezze delle proiezioni hanno segni diversi:

sostituendo (2) in (3) in (1), otteniamo

Invertendo i segni, otteniamo

Se i vettori sono equamente diretti, anche le loro proiezioni avranno la stessa direzione; non ci saranno segni meno nelle formule (2) e (3). Sostituendo (2) e (3) nell'uguaglianza (1), otteniamo immediatamente l'uguaglianza (4). Quindi il teorema è dimostrato in tutti i casi.

D. Teorema II. La grandezza della proiezione di un vettore su qualsiasi asse è uguale alla grandezza del vettore moltiplicata per il coseno dell'angolo tra l'asse delle proiezioni e l'asse del vettore. Lasciamo che gli assi siano dati come un vettore come indicato in Fig. . 7. Costruiamo un vettore con la stessa direzione del suo asse e tracciato, ad esempio, dal punto di intersezione degli assi. Lascia che la sua lunghezza sia uguale a uno. Poi la sua grandezza

Proiezione vettore su un asse è un vettore che si ottiene moltiplicando la proiezione scalare di un vettore su questo asse e il vettore unitario di questo asse. Ad esempio, se x – proiezione scalare vettore UN all'asse X, quindi una x io- la sua proiezione vettoriale su questo asse.

Denotiamo proiezione vettoriale uguale al vettore stesso, ma con l'indice dell'asse su cui è proiettato il vettore. Quindi, la proiezione vettoriale del vettore UN sull'asse X indichiamo UN X ( grasso una lettera che denota un vettore e un pedice del nome dell'asse) o (una lettera non in grassetto che denota un vettore, ma con una freccia in alto (!) e un pedice del nome dell'asse).

Proiezione scalare viene chiamato il vettore per asse numero, il cui valore assoluto è pari alla lunghezza del segmento dell'asse (sulla scala selezionata) racchiuso tra le proiezioni del punto iniziale e del punto finale del vettore. Di solito invece dell'espressione proiezione scalare dicono semplicemente - proiezione. La proiezione è indicata con la stessa lettera del vettore proiettato (nella scrittura normale, non in grassetto), con un indice inferiore (di regola) del nome dell'asse su cui questo vettore è proiettato. Ad esempio, se un vettore viene proiettato sull'asse X UN, quindi la sua proiezione è indicata con una x. Quando si proietta lo stesso vettore su un altro asse, se l'asse è Y, la sua proiezione sarà indicata con y.

Per calcolare la proiezione vettore su un asse (ad esempio l'asse X), è necessario sottrarre la coordinata del punto iniziale dalla coordinata del suo punto finale, cioè
un x = x k − x n.
La proiezione di un vettore su un asse è un numero. Inoltre, la proiezione può essere positiva se il valore x k è maggiore del valore x n,

negativo se il valore x k è inferiore al valore x n

e uguale a zero se x k è uguale a x n.

La proiezione di un vettore su un asse può essere trovata anche conoscendo il modulo del vettore e l'angolo che forma con tale asse.

Dalla figura è chiaro che a x = a Cos α

cioè, la proiezione del vettore sull'asse è uguale al prodotto del modulo del vettore e del coseno dell'angolo compreso tra la direzione dell'asse e direzione del vettore. Se l'angolo è acuto, allora
Cos α > 0 e a x > 0 e, se ottuso, il coseno dell'angolo ottuso è negativo e anche la proiezione del vettore sull'asse sarà negativa.

Gli angoli misurati dall'asse in senso antiorario sono considerati positivi mentre gli angoli misurati lungo l'asse sono negativi. Tuttavia, poiché il coseno è una funzione pari, cioè Cos α = Cos (− α), quando si calcolano le proiezioni, gli angoli possono essere contati sia in senso orario che antiorario.

Per trovare la proiezione di un vettore su un asse, il modulo di questo vettore deve essere moltiplicato per il coseno dell'angolo formato dalla direzione dell'asse alla direzione del vettore.

Coordinate vettoriali— coefficienti dell'unica combinazione lineare possibile di vettori di base nel sistema di coordinate selezionato, uguali al vettore dato.

dove sono le coordinate del vettore.

Prodotto scalare vettori

Prodotto scalare di vettori[- in dimensione finita spazio vettorialeè definito come la somma dei prodotti di componenti identici moltiplicati vettori.

Ad esempio la S.p.v. UN = (UN 1 , ..., UN) E B = (B 1 , ..., b n):

(UN , B ) = UN 1 B 1 + UN 2 B 2 + ... + a n b n

Risposta:

Proprietà di proiezione:

Proprietà della proiezione vettoriale

Proprietà 1.

La proiezione della somma di due vettori su un asse è uguale alla somma delle proiezioni dei vettori sullo stesso asse:

Questa proprietà permette di sostituire la proiezione di una somma di vettori con la somma delle loro proiezioni e viceversa.

Proprietà 2. Se un vettore viene moltiplicato per il numero λ, anche la sua proiezione sull'asse viene moltiplicata per questo numero:

Proprietà 3.

La proiezione del vettore sull'asse l è uguale al prodotto del modulo del vettore e del coseno dell'angolo formato dal vettore e dall'asse:

Asse Orto. Scomposizione di un vettore in vettori unitari di coordinate. Coordinate vettoriali. Proprietà delle coordinate

Risposta:

Versori unitari degli assi.

Un sistema di coordinate rettangolari (di qualsiasi dimensione) è anche descritto da un insieme di vettori unitari allineati con gli assi delle coordinate. Il numero di vettori unitari è uguale alla dimensione del sistema di coordinate e sono tutti perpendicolari tra loro.

Nel caso tridimensionale, i vettori unitari sono solitamente indicati

E Possono essere utilizzati anche i simboli Freccia e .

Inoltre, nel caso di un sistema di coordinate destrorso, seguenti formule con prodotti vettoriali di vettori:

Scomposizione di un vettore in vettori unitari di coordinate.

Il vettore unitario dell'asse delle coordinate è indicato con , assi con , assi con (Fig. 1)

Per ogni vettore che giace nel piano si verifica la seguente espansione:

Se il vettore situato nello spazio, allora lo sviluppo in versori degli assi coordinati ha la forma:

Coordinate vettoriali:

Per calcolare le coordinate di un vettore, conoscendo le coordinate (x1; y1) del suo inizio A e le coordinate (x2; y2) della sua fine B, è necessario sottrarre le coordinate dell'inizio dalle coordinate della fine: ( x2 – x1; y2 – y1).

Proprietà delle coordinate.

Considera una linea coordinata con l'origine nel punto O e il versore i. Quindi per ogni vettore a su questa linea: a = asse.

Il numero asse è chiamato coordinata del vettore a sull'asse delle coordinate.

Proprietà 1. Quando si aggiungono vettori su un asse, vengono aggiunte le loro coordinate.

Proprietà 2. Quando un vettore viene moltiplicato per un numero, la sua coordinata viene moltiplicata per quel numero.

Prodotto scalare di vettori. Proprietà.

Risposta:

Il prodotto scalare di due vettori diversi da zero è il numero

uguale al prodotto di questi vettori per il coseno dell'angolo compreso tra loro.

Proprietà:

1. Il prodotto scalare ha la proprietà commutativa: ab=ba

Prodotto scalare vettori unitari di coordinate. Determinazione del prodotto scalare di vettori specificati dalle loro coordinate.

Risposta:

Prodotto scalare (×) dei vettori unitari

Determinazione del prodotto scalare di vettori specificati dalle loro coordinate.

Il prodotto scalare di due vettori e dato dalle loro coordinate può essere calcolato utilizzando la formula

Il prodotto vettoriale di due vettori. Proprietà di un prodotto vettoriale.

Risposta:

Tre vettori non complanari formano una terna destrorsa se, dalla fine del terzo, la rotazione dal primo vettore al secondo viene fatta in senso antiorario. Se in senso orario, allora a sinistra. In caso contrario, nella direzione opposta ( mostrare come ha mostrato con le “maniglie”)

Prodotto vettoriale di un vettore UN al vettore B chiamato vettore da cui:

1. Perpendicolare ai vettori UN E B

2. Ha lunghezza, numericamente uguale all'area parallelogramma formato su UN E B vettori

3. Vettori, un, b, E C formano una tripletta di vettori a destra

Proprietà:

1.

3.

4.

Prodotto vettoriale di vettori di coordinate. Determinazione del prodotto vettoriale di vettori specificati dalle loro coordinate.

Risposta:

Prodotto vettoriale di vettori di coordinate.

Determinazione del prodotto vettoriale di vettori specificati dalle loro coordinate.

Siano i vettori a = (x1; y1; z1) e b = (x2; y2; z2) dati dalle loro coordinate nel sistema di coordinate cartesiane rettangolari O, i, j, k, e la tripla i, j, k sia destrorso.

Espandiamo aeb in vettori base:

a = x 1 i + y 1 j + z 1 k, b = x 2 i + y 2 j + z 2 k.

Usando le proprietà del prodotto vettoriale, otteniamo

[UN; b] = =

= x 1 x 2 + x 1 y 2 + x 1 z 2 +

+ y 1 x 2 + y 1 y 2 + y 1 z 2 +

+ z1x2 + z1y2 + z1z2 . (1)

Per la definizione di prodotto vettoriale troviamo

= 0, = k, = - j,

= - k, = 0, = io,

= j, = - i. = 0.

Tenendo conto di queste uguaglianze, la formula (1) può essere scritta come segue:

[UN; b] = x 1 y 2 k - x 1 z 2 j - y 1 x 2 k + y 1 z 2 i + z 1 x 2 j - z 1 y 2 i

[UN; b] = (y 1 z 2 - z 1 y 2) i + (z 1 x 2 - x 1 z 2) j + (x 1 y 2 - y 1 x 2) k. (2)

La formula (2) fornisce un'espressione per il prodotto vettoriale di due vettori specificati dalle loro coordinate.

La formula risultante è macchinosa: utilizzando la notazione dei determinanti, puoi scriverla in un'altra forma più comoda per la memorizzazione:

Di solito la formula (3) è scritta ancora più breve:

Per prima cosa ricordiamo di cosa si tratta asse delle coordinate, proiezione di un punto su un asse E coordinate di un punto sull'asse.

Asse coordinato- Questa è una linea retta a cui viene data una direzione. Puoi pensarlo come un vettore con un modulo infinitamente grande.

Asse coordinato indicato con qualche lettera: X, Y, Z, s, t... Di solito viene selezionato (arbitrariamente) un punto sull'asse, chiamato origine e, di regola, indicato con la lettera O. Da questo punto il vengono misurate le distanze da altri punti di nostro interesse.

Proiezione di un punto su un asse- questa è la base della perpendicolare abbassata da questo punto a questo asse (Fig. 8). Cioè, la proiezione di un punto sull'asse è un punto.

Coordinata del punto sull'asse- è un numero il cui valore assoluto è pari alla lunghezza del segmento dell'asse (sulla scala selezionata) compreso tra l'origine dell'asse e la proiezione del punto su tale asse. Questo numero si prende con segno più se la proiezione del punto è disposta nella direzione dell'asse rispetto alla sua origine e con segno meno se nella direzione opposta.

Proiezione scalare di un vettore su un asse- Questo numero, il cui valore assoluto è pari alla lunghezza del segmento dell'asse (sulla scala selezionata) racchiuso tra le proiezioni del punto iniziale e del punto finale del vettore. Importante! Di solito invece dell'espressione proiezione scalare di un vettore su un asse dicono semplicemente - proiezione del vettore sull'asse, cioè la parola scalare abbassato. Proiezione vettorialeè indicato con la stessa lettera del vettore proiettato (nella scrittura normale, non in grassetto), con un indice inferiore (di regola) del nome dell'asse su cui è proiettato questo vettore. Ad esempio, se un vettore viene proiettato sull'asse X UN, quindi la sua proiezione è indicata con una x. Quando si proietta lo stesso vettore su un altro asse, ad esempio l'asse Y, la sua proiezione sarà denotata con y (Fig. 9).

Calcolare proiezione del vettore sull'asse(ad esempio l'asse X), è necessario sottrarre la coordinata del punto iniziale dalla coordinata del suo punto finale, cioè

un x = x k − x n.

Dobbiamo ricordare: la proiezione scalare di un vettore su un asse (o, semplicemente, la proiezione di un vettore su un asse) è un numero (non un vettore)! Inoltre, la proiezione può essere positiva se il valore x k è maggiore del valore x n, negativa se il valore x k è inferiore al valore x n e pari a zero se x k è uguale a x n (Fig. 10).

La proiezione di un vettore su un asse può essere trovata anche conoscendo il modulo del vettore e l'angolo che forma con tale asse.

Dalla Figura 11 è chiaro che a x = a Cos α

Cioè, la proiezione del vettore sull'asse è uguale al prodotto del modulo del vettore e del coseno dell'angolo tra la direzione dell'asse e la direzione del vettore. Se l'angolo è acuto, allora Cos α > 0 e a x > 0, e se è ottuso, allora il coseno dell'angolo ottuso è negativo e anche la proiezione del vettore sull'asse sarà negativa.

Gli angoli misurati dall'asse in senso antiorario sono considerati positivi mentre gli angoli misurati lungo l'asse sono negativi. Tuttavia, poiché il coseno è una funzione pari, cioè Cos α = Cos (− α), quando si calcolano le proiezioni, gli angoli possono essere contati sia in senso orario che antiorario.

Quando si risolvono i problemi, verranno spesso utilizzate le seguenti proprietà delle proiezioni: if

UN = B + C +…+ D, quindi a x = b x + c x +…+ d x (simile agli altri assi),

UN= m B, quindi a x = mb x (analogamente per gli altri assi).

La formula a x = a Cos α sarà Spesso si verificano quando si risolvono i problemi, quindi è assolutamente necessario saperlo. È necessario conoscere la regola per determinare la proiezione a memoria!

Ricordare!

Per trovare la proiezione di un vettore su un asse, il modulo di questo vettore deve essere moltiplicato per il coseno dell'angolo formato dalla direzione dell'asse alla direzione del vettore.

Ancora una volta - a memoria!

Una descrizione vettoriale del movimento è utile, poiché in un disegno puoi sempre rappresentare molti vettori diversi e ottenere una "immagine" visiva del movimento davanti ai tuoi occhi. Tuttavia, utilizzare ogni volta un righello e un goniometro per eseguire operazioni con i vettori richiede molto lavoro. Pertanto, queste azioni si riducono ad azioni con positivo e numeri negativi– proiezioni di vettori.

Proiezione del vettore sull'asse chiamata quantità scalare pari al prodotto del modulo del vettore proiettato e del coseno dell'angolo tra le direzioni del vettore e l'asse delle coordinate selezionato.

Il disegno a sinistra mostra un vettore spostamento, il cui modulo è 50 km, e le sue forme di direzione angolo ottuso 150° con la direzione dell'asse X. Utilizzando la definizione, troviamo la proiezione dello spostamento sull'asse X:

sx = s cos(α) = 50 km cos(150°) = –43 km

Poiché l'angolo tra gli assi è di 90°, è facile calcolare che la direzione del movimento forma un angolo acuto di 60° con la direzione dell'asse Y. Utilizzando la definizione, troviamo la proiezione dello spostamento sull'asse Y:

sy = s cos(β) = 50 km cos(60°) = +25 km

Come puoi vedere, se la direzione del vettore forma un angolo acuto con la direzione dell'asse, la proiezione è positiva; se la direzione del vettore forma un angolo ottuso con la direzione dell'asse, la proiezione è negativa.

Nel disegno a destra è mostrato un vettore velocità, il cui modulo è 5 m/s, e la direzione forma un angolo di 30° con la direzione dell'asse X. Troviamo le proiezioni:

υx = υ · cos(α) = 5 m/s · cos( 30°) = +4,3 m/s
υy = υ · cos(β) = 5 m/s · cos( 120°) = –2,5 m/s

È molto più semplice trovare proiezioni di vettori sugli assi se i vettori proiettati sono paralleli o perpendicolari agli assi selezionati. Si noti che per il caso del parallelismo sono possibili due opzioni: il vettore è co-direzionale all'asse e il vettore è opposto all'asse, e per il caso della perpendicolarità c'è solo un'opzione.

La proiezione di un vettore perpendicolare all'asse è sempre zero (vedi sy e y nel disegno a sinistra e sx e υx nel disegno a destra). Infatti, per un vettore perpendicolare all'asse, l'angolo tra esso e l'asse è 90°, quindi il coseno è zero, il che significa che la proiezione è zero.

La proiezione di un vettore codirezionale con l'asse è positiva e uguale al suo valore assoluto, ad esempio sx = +s (vedi disegno a sinistra). Infatti, per un vettore codirezionale con l'asse, l'angolo tra esso e l'asse è zero, e il suo coseno è “+1”, cioè la proiezione è uguale alla lunghezza del vettore: sx = x – xo = + S .

La proiezione del vettore opposto all'asse è negativa e uguale al suo modulo preso con segno meno, ad esempio sy = –s (vedi disegno a destra). Infatti, per un vettore opposto all'asse, l'angolo tra esso e l'asse è 180°, e il suo coseno è “–1”, cioè la proiezione è uguale alla lunghezza del vettore preso con segno negativo: sy = y – yo = –s .

Il lato destro di entrambi i disegni mostra altri casi in cui i vettori sono paralleli a uno degli assi coordinati e perpendicolari all'altro. Ti invitiamo ad accertarti personalmente che anche in questi casi vengano seguite le regole formulate nei paragrafi precedenti.