Derivate di ordine superiore

In questa lezione impareremo come trovare le derivate di ordine superiore e come scriverle formula generale derivata "ennesima". Inoltre, la formula di Leibniz per tale derivata e, a grande richiesta, le derivate di ordine superiore di funzione implicita. Ti consiglio di fare subito un mini-test:

Ecco la funzione: ed ecco la sua derivata prima:

In caso di difficoltà/confusione su questo esempio, inizia con i due articoli base del mio corso: Come trovare la derivata? E Derivata di una funzione complessa. Dopo aver imparato le derivate elementari, ti consiglio di leggere la lezione I problemi più semplici con le derivate, di cui ci siamo occupati, in particolare derivata seconda.

Non è difficile nemmeno indovinare che la derivata seconda è la derivata della derivata prima:

In linea di principio, la derivata seconda è già considerata una derivata di ordine superiore.

Allo stesso modo: la derivata terza è la derivata della derivata 2a:

La derivata quarta è la derivata della derivata terza:

Derivata quinta: , ed è ovvio che anche tutte le derivate di ordine superiore saranno uguali a zero:

Oltre alla numerazione romana, nella pratica vengono spesso utilizzate le seguenti notazioni:
, la derivata dell'ordine “n-esimo” è indicata con . In questo caso l'apice deve essere racchiuso tra parentesi tonde– distinguere la derivata dalla “y” in grado.

A volte vedi qualcosa del genere: – rispettivamente derivate terza, quarta, quinta, ..., “ennesima”.

Avanti senza paura e senza dubbi:

Esempio 1

La funzione è data. Trovare .

Soluzione: che dire... - vai avanti con la derivata quarta :)

Non è più consuetudine mettere quattro tratti, quindi passiamo agli indici numerici:

Risposta:

Ok, ora pensiamo a questa domanda: cosa fare se la condizione richiede di trovare non la derivata 4a, ma, ad esempio, la derivata 20a? Se per la derivata 3-4-5 (massimo 6-7) ordine di grandezza, la soluzione viene formalizzata abbastanza rapidamente, quindi non "arriveremo" molto presto a derivati ​​di ordine superiore. In effetti, non scrivere 20 righe! In una situazione del genere, è necessario analizzare diversi derivati ​​trovati, vedere lo schema e creare una formula per il derivato “ennesimo”. Quindi, nell’esempio n. 1 è facile capire che ad ogni differenziazione successiva “apparirà” un ulteriore “tre” davanti all’esponente, e ad ogni passo il grado del “tre” è uguale al numero di la derivata, quindi:

Dove è un numero naturale arbitrario.

E infatti, se , allora si ottiene esattamente la derivata 1a: , se – allora 2°: ecc. La ventesima derivata viene quindi determinata istantaneamente: – e niente “fogli chilometrici”!

Riscaldamento da soli:

Esempio 2

Trova funzioni. Scrivi la derivata dell'ordine

La soluzione e la risposta sono alla fine della lezione.

Dopo un rinvigorente riscaldamento, esamineremo di più esempi complessi, in cui elaboreremo l'algoritmo di soluzione di cui sopra. Per coloro che sono riusciti a prendere conoscenza della lezione Limite di sequenza, sarà un po' più semplice:

Esempio 3

Trova per funzione.

Soluzione: per chiarire la situazione, troviamo diversi derivati:

Non abbiamo fretta di moltiplicare i numeri risultanti! ;-)


Forse è abbastanza. ...Ho anche esagerato un po'.

Il prossimo passo è creare la formula per la derivata “ennesima”. (se la condizione non lo richiede, puoi cavartela con una bozza). Per fare ciò, esaminiamo i risultati ottenuti e identifichiamo gli schemi con cui si ottiene ogni derivata successiva.

Innanzitutto si alternano. L'allineamento garantisce "lampeggiante", e poiché la derivata 1a è positiva, il seguente fattore entrerà nella formula generale: . Funzionerebbe anche un'opzione equivalente, ma personalmente, da ottimista, adoro il segno più =)

In secondo luogo, al numeratore “finisce” fattoriale, ed è "in ritardo" rispetto al numero derivato di un'unità:

E in terzo luogo, aumenta la potenza di “due” nel numeratore, che è uguale al numero della derivata. Lo stesso si può dire del grado del denominatore. Finalmente:

Per verificare, sostituiamo un paio di valori "en", ad esempio, e:

Ottimo, ora sbagliare è semplicemente un peccato:

Risposta:

Una funzione più semplice per decisione indipendente:

Esempio 4

Trova funzioni.

E un problema più interessante:

Esempio 5

Trova funzioni.

Ripetiamo ancora una volta la procedura:

1) Innanzitutto troviamo diversi derivati. Per catturare gli schemi, di solito ne bastano tre o quattro.

2) Allora consiglio vivamente di realizzarlo (almeno in forma di bozza) L’”ennesimo” derivato – è garantito per proteggerti dagli errori. Ma puoi farne a meno, ad es. stimare mentalmente e annotare immediatamente, ad esempio, la ventesima o l'ottava derivata. Inoltre, alcune persone sono generalmente in grado di risolvere i problemi in questione oralmente. Tuttavia, dovresti ricordare che i metodi “rapidi” sono complicati ed è meglio essere sicuri.

3) Nella fase finale, controlliamo la derivata “n-esima”: prendiamo una coppia di valori “n-esimi” (preferibilmente vicini) ed eseguiamo la sostituzione. Ed è ancora più affidabile controllare tutti i derivati ​​precedentemente trovati. Quindi lo sostituiamo con il valore desiderato, ad esempio, o e analizziamo attentamente il risultato.

Soluzione rapida 4 e 5 esempi alla fine della lezione.

In alcune attività, per evitare problemi, è necessario fare un po' di magia sulla funzione:

Esempio 6

Soluzione: Non voglio affatto differenziare la funzione proposta, poiché risulterà in una frazione "cattiva", il che complicherà notevolmente la ricerca delle derivate successive.

A questo proposito è consigliabile eseguire trasformazioni preliminari: utilizziamo formula della differenza quadrata E proprietà del logaritmo :

La questione è completamente diversa:

E vecchi amici:

Penso che si stia esaminando tutto. Tieni presente che la 2a frazione ha segno alternato, ma la 1a frazione no. Costruiamo la derivata dell'ordine:

Controllo:

Bene, per amore di bellezza, togliamo il fattoriale tra parentesi:

Risposta:

Compito interessante per soluzione indipendente:

Esempio 7

Scrivi la formula della derivata dell'ordine per la funzione

E ora parliamo dell'incrollabile garanzia reciproca che persino la mafia italiana invidierebbe:

Esempio 8

La funzione è data. Trovare

La diciottesima derivata al punto. Appena.

Soluzione: prima, ovviamente, devi trovare . Andare:

Abbiamo iniziato con il seno e siamo finiti con il seno. È chiaro che con un’ulteriore differenziazione questo ciclo continuerà indefinitamente, e sorge la seguente domanda: qual è il modo migliore per “arrivare” alla diciottesima derivata?

Il metodo “amatoriale”: annotare velocemente i numeri delle derivate successive nella colonna di destra:

Così:

Ma questo funziona se l'ordine della derivata non è troppo grande. Se devi trovare, ad esempio, la derivata centesima, dovresti usare la divisibilità per 4. Cento è divisibile per 4 senza resto, ed è facile vedere che tali numeri si trovano nella riga inferiore, quindi: .

A proposito, anche la derivata 18 può essere determinata da considerazioni simili:
La seconda riga contiene i numeri divisibili per 4 con resto 2.

Si basa su un altro metodo più accademico periodicità sinusoidale E formule di riduzione. Usiamo la formula già pronta per la derivata “ennesima” del seno , in cui viene semplicemente sostituito il numero desiderato. Per esempio:
(formula di riduzione ) ;
(formula di riduzione )

Nel nostro caso:

(1) Poiché il seno è funzione periodica con punto , allora l'argomento può essere “svitato” indolore 4 punti (cioè ).

La derivata dell'ordine del prodotto di due funzioni può essere trovata utilizzando la formula:

In particolare:

Non è necessario ricordare nulla di specifico, perché più formule conosci, meno capisci. È molto più utile familiarizzare con te stesso Il binomio di Newton, poiché la formula di Leibniz è molto, molto simile ad essa. Bene, quei fortunati che riceveranno un derivato del 7o ordine o superiore (cosa davvero improbabile), sarà costretto a farlo. Tuttavia, quando arriva il turno combinatoria– allora devi ancora farlo =)

Troviamo la derivata terza della funzione. Utilizziamo la formula di Leibniz:

IN in questo caso: . I derivati ​​sono facili da recitare oralmente:

Ora con attenzione e ATTENZIONE esegui la sostituzione e semplifica il risultato:

Risposta:

Un compito simile per una soluzione indipendente:

Esempio 11

Trova funzionalità

Se nell'esempio precedente la soluzione "frontale" era ancora in competizione con la formula di Leibniz, allora qui sarà davvero spiacevole. E ancora più spiacevole - nel caso di una derivata di ordine superiore:

Esempio 12

Trova la derivata dell'ordine specificato

Soluzione: la prima e significativa osservazione è che probabilmente non è necessario decidere in questo modo =) =)

Scriviamo le funzioni e troviamo le loro derivate fino al 5° ordine compreso. Presumo che le derivate della colonna di destra siano diventate orali per te:

Nella colonna di sinistra, i derivati ​​​​"viventi" "finiscono" rapidamente e questo è molto positivo: tre termini nella formula di Leibniz verranno azzerati:

Vorrei soffermarmi ancora una volta sul dilemma apparso nell'articolo su derivati ​​complessi: Devo semplificare il risultato? In linea di principio, puoi lasciarlo così: sarà ancora più facile per l'insegnante controllare. Ma potrebbe chiedere che la decisione venga finalizzata. D'altra parte, la semplificazione di propria iniziativa è irta di errori algebrici. Abbiamo però una risposta ottenuta in modo “primitivo” =) (vedi link all'inizio) e spero che sia corretto:

Fantastico, tutto è andato per il verso giusto.

Risposta:

Compito felice per una soluzione indipendente:

Esempio 13

Per funzione:
a) trovare per differenziazione diretta;
b) trovare utilizzando la formula di Leibniz;
c) calcolare.

No, non sono affatto un sadico – il punto “a” qui è abbastanza semplice =)

Ma sul serio, la soluzione “diretta” per differenziazione successiva ha anche un “diritto alla vita” – in alcuni casi la sua complessità è paragonabile alla complessità dell’applicazione della formula di Leibniz. Utilizzalo se lo ritieni opportuno: è improbabile che questo costituisca un motivo per non superare l'incarico.

Una breve soluzione e risposta alla fine della lezione.

Per sollevare l'ultimo paragrafo devi essere in grado di farlo differenziare le funzioni implicite:

Derivate di ordine superiore di funzioni specificate implicitamente

Molti di noi hanno trascorso lunghe ore, giorni e settimane della nostra vita studiando cerchi, parabole, iperbole– e a volte sembrava addirittura una vera punizione. Quindi vendiamoci e differenziamoli adeguatamente!

Cominciamo con la parabola “scolastica” nella sua posizione canonica:

Esempio 14

L'equazione è data. Trovare .

Soluzione: Il primo passo è familiare:

Il fatto che la funzione e la sua derivata siano espresse implicitamente non cambia l'essenza della questione; la derivata seconda è la derivata della derivata prima:

Tuttavia, ci sono delle regole del gioco: di solito vengono espressi i derivati ​​​​del 2o ordine e quelli superiori solo attraverso “X” e “Y”. Pertanto sostituiamo : nella derivata 2a risultante:

La derivata terza è la derivata della derivata 2a:

Allo stesso modo, sostituiamo:

Risposta:

Iperbole "scolastica" in posizione canonica- Per lavoro indipendente:

Esempio 15

L'equazione è data. Trovare .

Ribadisco che la derivata 2a e il risultato vanno espressi solo tramite “x”/“y”!

Una breve soluzione e risposta alla fine della lezione.

Dopo gli scherzi dei bambini, diamo un'occhiata alla pornografia tedesca, diamo un'occhiata ad altri esempi per adulti, dai quali impareremo un'altra importante soluzione:

Esempio 16

Ellisse lui stesso.

Soluzione: troviamo la derivata 1a:

Adesso fermiamoci e analizziamo il punto successivo: ora dobbiamo differenziare la frazione, cosa che non piace affatto. In questo caso, ovviamente, è semplice, ma nei problemi della vita reale tali doni sono troppo pochi e rari. C'è un modo per evitare di trovare l'ingombrante derivato? Esiste! Prendiamo l'equazione e usiamo la stessa tecnica di quando troviamo la derivata 1a: "appendiamo" i tratti su entrambi i lati:

La derivata seconda deve essere espressa solo in termini di e , così adesso (Proprio adesso)È conveniente eliminare la derivata 1. Per fare ciò, sostituisci nell'equazione risultante:

Per evitare inutili difficoltà tecniche, moltiplichiamo entrambe le parti per:

E solo nella fase finale formuliamo la frazione:

Ora guardiamo l'equazione originale e notiamo che il risultato ottenuto può essere semplificato:

Risposta:

Come trovare il valore della derivata 2a in qualsiasi punto (che, ovviamente, appartiene all'ellisse), ad esempio, al punto ? Molto facile! Questo motivo è già stato riscontrato nella lezione su equazione normale: è necessario sostituire la derivata 2 nell'espressione :

Naturalmente in tutti e tre i casi si può ottenere esplicitamente funzioni specificate e differenziarli, ma poi prepararsi mentalmente a lavorare con due funzioni che contengono radici. A mio avviso è più conveniente realizzare la soluzione in “modo implicito”.

Un ultimo esempio da risolvere da solo:

Esempio 17

Trova una funzione specificata implicitamente

Si dà la formula di Leibniz ennesimi calcoli derivata del prodotto di due funzioni. La sua dimostrazione è data in due modi. Viene considerato un esempio di calcolo della derivata dell'ordine ennesimo.

Contenuto

Guarda anche: Derivata del prodotto di due funzioni

Formula di Leibniz

Utilizzando la formula di Leibniz, puoi calcolare la derivata di ordine ennesimo del prodotto di due funzioni. Sembra questo:
(1) ,
Dove
- coefficienti binomiali.

I coefficienti binomiali sono i coefficienti dell'espansione di un binomio in potenze e:
.
Inoltre il numero è il numero di combinazioni da n a k.

Dimostrazione della formula di Leibniz

Applichiamo la formula per la derivata del prodotto di due funzioni:
(2) .
Riscriviamo la formula (2) nella forma seguente:
.
Consideriamo cioè che una funzione dipenda dalla variabile x e l'altra dalla variabile y. Alla fine del calcolo assumiamo . Allora la formula precedente può essere scritta come segue:
(3) .
Poiché la derivata è uguale alla somma dei termini e ciascun termine è il prodotto di due funzioni, per calcolare le derivate di ordine superiore è possibile applicare in modo coerente la regola (3).

Allora per la derivata di ordine ennesimo abbiamo:

.
Considerando questo e , otteniamo la formula di Leibniz:
(1) .

Dimostrazione per induzione

Presentiamo una dimostrazione della formula di Leibniz utilizzando il metodo dell'induzione matematica.

Riscriviamo ancora una volta la formula di Leibniz:
(4) .
Per n = 1 abbiamo:
.
Questa è la formula per la derivata del prodotto di due funzioni. È giusta.

Supponiamo che la formula (4) sia valida per la derivata dell'ordine ennesimo. Proviamo che vale per la derivata n+ 1 -esimo ordine.

Distinguiamo (4):
;



.
Quindi abbiamo trovato:
(5) .

Sostituiamo nella (5) e teniamo conto che:

.
Ciò dimostra che la formula (4) ha la stessa forma per la derivata n+ 1 -esimo ordine.

Quindi la formula (4) è valida per n = 1 . Dal presupposto che vale per un numero n = m ne consegue che vale per n = m + 1 .
La formula di Leibniz è stata dimostrata.

Esempio

Calcolare la derivata n-esima di una funzione
.

Applichiamo la formula di Leibniz
(2) .
Nel nostro caso
;
.

Dalla tabella delle derivate abbiamo:
.
Applichiamo le proprietà delle funzioni trigonometriche:
.
Poi
.
Ciò mostra che la differenziazione della funzione seno porta al suo spostamento di . Poi
.

Trovare le derivate della funzione.
;
;
;
, .

Poiché per , allora nella formula di Leibniz solo i primi tre termini sono diversi da zero. Trovare i coefficienti binomiali.
;
.

Secondo la formula di Leibniz abbiamo:

.

Guarda anche:

La risoluzione dei problemi applicati si riduce al calcolo dell'integrale, ma non è sempre possibile farlo con precisione. A volte è necessario conoscere il valore di un certo integrale con un certo grado di precisione, ad esempio al millesimo.

Ci sono problemi quando sarebbe necessario trovare il valore approssimativo di un certo integrale con la precisione richiesta, quindi viene utilizzata l'integrazione numerica come il metodo Simposny, trapezi e rettangoli. Non tutti i casi ci permettono di calcolarlo con una certa precisione.

Questo articolo esamina l'applicazione della formula di Newton-Leibniz. Ciò è necessario per il calcolo accurato dell'integrale definito. Sarà data esempi dettagliati, vengono considerati i cambiamenti di variabile nell'integrale definito e troviamo i valori dell'integrale definito quando si integra per parti.

Formula di Newton-Leibniz

Definizione 1

Quando la funzione y = y (x) è continua dall'intervallo [ a ; b ] , e F (x) è quindi una delle antiderivative della funzione di questo segmento Formula di Newton-Leibniz considerato giusto. Scriviamolo così: ∫ a b f (x) d x = F (b) - F (a) .

Questa formula prendere in considerazione la formula base del calcolo integrale.

Per produrre una dimostrazione di questa formula, è necessario utilizzare il concetto di integrale con limite superiore variabile disponibile.

Quando la funzione y = f (x) è continua dall'intervallo [ a ; b], allora il valore dell'argomento x ∈ a; b , e l'integrale ha la forma ∫ a x f (t) d t ed è considerato una funzione del limite superiore. È necessario prendere la notazione della funzione che assumerà la forma ∫ a x f (t) d t = Φ (x) , è continua, e una disuguaglianza della forma ∫ a x f (t) d t " = Φ " (x) = f (x) è valido per questo.

Fissiamo che l'incremento della funzione Φ (x) corrisponde all'incremento dell'argomento ∆ x , è necessario utilizzare la quinta proprietà principale dell'integrale definito e otteniamo

Φ (x + ∆ x) - Φ x = ∫ a x + ∆ x f (t) d t - ∫ a x f (t) d t = = ∫ a x + ∆ x f (t) d t = f (c) x + ∆ x - x = f(c) ∆x

dove valore c ∈ x; x + ∆ x .

Fissiamo l'uguaglianza nella forma Φ (x + ∆ x) - Φ (x) ∆ x = f (c) . Per definizione di derivata di una funzione, è necessario andare al limite come ∆ x → 0, quindi otteniamo una formula della forma Φ " (x) = f (x). Troviamo che Φ (x) è una delle primitive per una funzione della forma y = f (x), situata su [a;b].Altrimenti l'espressione può essere scritta

F (x) = Φ (x) + C = ∫ a x f (t) d t + C, dove il valore di C è costante.

Calcoliamo F (a) utilizzando la prima proprietà dell'integrale definito. Allora lo capiamo

F (a) = Φ (a) + C = ∫ a a f (t) d t + C = 0 + C = C, quindi otteniamo che C = F (a). Il risultato è applicabile quando si calcola F (b) e otteniamo:

F (b) = Φ (b) + C = ∫ a b f (t) d t + C = ∫ a b f (t) d t + F (a), in altre parole F (b) = ∫ a b f (t) d t + F ( UN) . L'uguaglianza è dimostrata dalla formula di Newton-Leibniz ∫ a b f (x) d x + F (b) - F (a) .

Prendiamo l'incremento della funzione come F x a b = F (b) - F (a) . Usando la notazione, la formula di Newton-Leibniz assume la forma ∫ a b f (x) d x = F x a b = F (b) - F (a) .

Per applicare la formula è necessario conoscere una delle antiderivative y = F (x) della funzione integranda y = f (x) dal segmento [ a ; b], calcola l'incremento dell'antiderivativa da questo segmento. Diamo un'occhiata ad alcuni esempi di calcoli utilizzando la formula di Newton-Leibniz.

Esempio 1

Calcola l'integrale definito ∫ 1 3 x 2 d x utilizzando la formula di Newton-Leibniz.

Soluzione

Consideriamo che l'integrando della forma y = x 2 è continuo dall'intervallo [ 1 ; 3], allora è integrabile su questo intervallo. Secondo la tabella integrali indefiniti vediamo che la funzione y = x 2 ha un insieme di antiderivative per tutti i valori reali di x, il che significa x ∈ 1; 3 verrà scritto come F (x) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C . Occorre prendere la primitiva con C = 0, quindi otteniamo che F (x) = x 3 3.

Usiamo la formula di Newton-Leibniz e troviamo che il calcolo dell'integrale definito assume la forma ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 - 1 3 3 = 26 3.

Risposta:∫ 1 3 x 2 d x = 26 3

Esempio 2

Calcola l'integrale definito ∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x utilizzando la formula di Newton-Leibniz.

Soluzione

La funzione data è continua dall'intervallo [-1; 2], il che significa che è integrabile su di esso. È necessario trovare il valore dell'integrale indefinito ∫ x · e x 2 + 1 d x utilizzando il metodo della sussunta sotto il segno differenziale, quindi otteniamo ∫ x · e x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ e x 2 + 1 d ( x 2 + 1) = 1 2 e x 2 + 1 + C .

Abbiamo quindi un insieme di antiderivate della funzione y = x · e x 2 + 1, valide per tutti gli x, x ∈ - 1; 2.

È necessario prendere la primitiva in C = 0 e applicare la formula di Newton-Leibniz. Quindi otteniamo un'espressione della forma

∫ - 1 2 x · e x 2 + 1 d x = 1 2 e x 2 + 1 - 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 - 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e (- 1) 2 + 1 = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

Risposta:∫ - 1 2 x e x 2 + 1 d x = 1 2 e 2 (e 3 - 1)

Esempio 3

Calcola gli integrali ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x e ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x .

Soluzione

Segmento - 4; - 1 2 dice che la funzione sotto il segno di integrale è continua, cioè integrabile. Da qui troviamo l'insieme delle antiderivative della funzione y = 4 x 3 + 2 x 2. Lo capiamo

∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x - 2 d x = 2 x 2 - 2 x + C

È necessario prendere la primitiva F (x) = 2 x 2 - 2 x, quindi, applicando la formula di Newton-Leibniz, otteniamo l'integrale, che calcoliamo:

∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 = 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 = 1 2 + 4 - 32 - 1 2 = - 28

Procediamo al calcolo del secondo integrale.

Dal segmento [-1; 1 ] abbiamo che la funzione integranda è da considerarsi illimitata, perché lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ∞ , allora ne consegue che una condizione necessaria integrabilità da un segmento. Allora F (x) = 2 x 2 - 2 x non è antiderivativa per y = 4 x 3 + 2 x 2 dall'intervallo [ - 1 ; 1], poiché il punto O appartiene al segmento, ma non è compreso nel dominio di definizione. Ciò significa che esiste un integrale di Riemann e Newton-Leibniz definito per la funzione y = 4 x 3 + 2 x 2 dall'intervallo [ - 1 ; 1] .

Risposta: ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = - 28 , esiste un integrale di Riemann e Newton-Leibniz definito per la funzione y = 4 x 3 + 2 x 2 dall'intervallo [ - 1 ; 1] .

Prima di utilizzare la formula di Newton-Leibniz, è necessario conoscere esattamente l'esistenza di un integrale definito.

Trasformare una variabile in un integrale definito

Quando la funzione y = f (x) è definita e continua dall'intervallo [ a ; b], quindi l'insieme disponibile [a; b] è considerato l'intervallo di valori della funzione x = g (z), definita sul segmento α; β con la derivata continua esistente, dove g (α) = a e g β = b, otteniamo da ciò che ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z.

Questa formula viene utilizzata quando è necessario calcolare l'integrale ∫ a b f (x) d x, dove l'integrale indefinito ha la forma ∫ f (x) d x, calcoliamo utilizzando il metodo di sostituzione.

Esempio 4

Calcola un integrale definito della forma ∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x .

Soluzione

La funzione integranda è considerata continua nell'intervallo di integrazione, il che significa che esiste un integrale definito. Diamo la notazione che 2 x - 9 = z ⇒ x = g (z) = z 2 + 9 2. Il valore x = 9 significa che z = 2 9 - 9 = 9 = 3, e per x = 18 otteniamo che z = 2 18 - 9 = 27 = 3 3, quindi g α = g (3) = 9, g β = g 3 3 = 18. Sostituendo i valori ottenuti nella formula ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) g " (z) d z otteniamo che

∫ 9 18 1 x 2 x - 9 d x = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z 2 + 9 2 " d z = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z d z = ∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z

Secondo la tabella degli integrali indefiniti, abbiamo che una delle antiderivative della funzione 2 z 2 + 9 assume il valore 2 3 a r c t g z 3 . Quindi, applicando la formula di Newton-Leibniz, otteniamo questo

∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 3 3 3 = 2 3 a r c t g 3 3 3 - 2 3 a r c t g 3 3 = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 1 = 2 3 π 3 - π 4 = π 18

La ricerca potrebbe essere fatta senza utilizzare la formula ∫ a b f (x) d x = ∫ α β f (g (z)) · g " (z) d z .

Se utilizzando il metodo di sostituzione utilizziamo un integrale della forma ∫ 1 x 2 x - 9 d x, allora possiamo arrivare al risultato ∫ 1 x 2 x - 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x - 9 3 + C.

Da qui eseguiremo i calcoli utilizzando la formula di Newton-Leibniz e calcoleremo l'integrale definito. Lo capiamo

∫ 9 18 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 9 18 = = 2 3 a r c t g 2 18 - 9 3 - a r c t g 2 9 - 9 3 = = 2 3 a r c t g 3 - a r c t g 1 = 2 3 π 3 - π 4 =π18

I risultati erano gli stessi.

Risposta: ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 d x = π 18

Integrazione per parti nel calcolo di un integrale definito

Se sul segmento [ a ; b ] le funzioni u (x) e v (x) sono definite e continue, allora le loro derivate del primo ordine v " (x) · u (x) sono integrabili, quindi da questo segmento per la funzione integrabile u " (x) · v ( x) l'uguaglianza ∫ a b v " (x) · u (x) d x = (u (x) · v (x)) a b - ∫ a b u " (x) · v (x) d x è vera.

La formula può essere utilizzata quindi, è necessario calcolare l'integrale ∫ a b f (x) d x, e ∫ f (x) d x è stato necessario cercarlo utilizzando l'integrazione per parti.

Esempio 5

Calcola l'integrale definito ∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x .

Soluzione

La funzione x · sin x 3 + π 6 è integrabile sull'intervallo - π 2 ; 3 π 2, il che significa che è continuo.

Sia u (x) = x, allora d (v (x)) = v " (x) d x = sin x 3 + π 6 d x, e d (u (x)) = u " (x) d x = d x, e v (x) = - 3 cos π 3 + π 6 . Dalla formula ∫ a b v " (x) · u (x) d x = (u (x) · v (x)) a b - ∫ a b u " (x) · v (x) d x otteniamo che

∫ - π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x = - 3 x · cos x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 - ∫ - π 2 3 π 2 - 3 cos x 3 + π 6 d x = = - 3 · 3 π 2 · cos π 2 + π 6 - - 3 · - π 2 · cos - π 6 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 peccato π 2 + π 6 - peccato - π 6 + π 6 = 9 π 4 - 3 π 2 + 9 3 2 = 3 π 4 + 9 3 2

L'esempio può essere risolto in un altro modo.

Trova l'insieme delle antiderivative della funzione x · sin x 3 + π 6 utilizzando l'integrazione per parti utilizzando la formula di Newton-Leibniz:

∫ x · sin x x 3 + π 6 d x = u = x , d v = sin x 3 + π 6 d x ⇒ d u = d x , v = - 3 cos x 3 + π 6 = = - 3 cos x 3 + π 6 + 3 ∫ cos x 3 + π 6 d x = = - 3 x cos x 3 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 + C ⇒ ∫ - π 2 3 π 2 x sin x 3 + π 6 d x = - 3 cos x 3 + π 6 + 9 sincos x 3 + π 6 - - - 3 - π 2 cos - π 6 + π 6 + 9 sin - π 6 + π 6 = = 9 π 4 + 9 3 2 - 3 π 2 - 0 = 3π4 + 932

Risposta: ∫ x · sin x x 3 + π 6 d x = 3 π 4 + 9 3 2

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