Parallelogramma nei problemi. Area di un parallelogramma Come calcolare l'area di un parallelogramma conoscendone i lati

Un parallelogramma è una figura geometrica che si trova spesso nei problemi di un corso di geometria (sezione planimetria). Le caratteristiche fondamentali di questo quadrilatero sono l'uguaglianza degli angoli opposti e la presenza di due paia di lati opposti paralleli. Casi particolari di parallelogramma sono il rombo, il rettangolo, il quadrato.

Il calcolo dell'area di questo tipo di poligono può essere effettuato in diversi modi. Diamo un'occhiata a ciascuno di essi.

Trova l'area di un parallelogramma se si conoscono il lato e l'altezza

Per calcolare l'area di un parallelogramma, puoi utilizzare i valori del suo lato, nonché la lunghezza dell'altezza abbassata su di esso. In questo caso, i dati ottenuti saranno affidabili sia per il caso di un lato noto - la base della figura, sia se si dispone del lato laterale della figura. In questo caso il valore richiesto sarà ottenuto utilizzando la formula:

S = a * h (a) = b * h (b),

S è l'area che avrebbe dovuto essere determinata,
a, b – lato noto (o calcolato),
h è l'altezza abbassata su di esso.

Esempio: il valore della base di un parallelogramma è 7 cm, la lunghezza della perpendicolare calata su di essa dal vertice opposto è 3 cm.

Soluzione:S = a * h (a) = 7 * 3 = 21.

Trova l'area di un parallelogramma se sono noti 2 lati e l'angolo compreso tra loro

Consideriamo il caso in cui conosci le dimensioni di due lati di una figura, nonché la misura in gradi dell'angolo che formano tra loro. I dati forniti possono essere utilizzati anche per trovare l'area di un parallelogramma. In questo caso, l'espressione della formula sarà simile alla seguente:

S = a * c * sinα = a * c * sinβ,

a parte,
c – base nota (o calcolata),
α, β – angoli tra i lati a e c.

Esempio: la base di un parallelogramma è 10 cm, il suo lato è 4 cm in meno. L'angolo ottuso della figura è 135°.

Soluzione: determinare il valore del secondo lato: 10 – 4 = 6 cm.

S = a * c * sinα = 10 * 6 * sin135° = 60 * sin(90° + 45°) = 60 * cos45° = 60 * √2 /2 = 30√2.

Trova l'area di un parallelogramma se conosci le diagonali e l'angolo compreso tra loro

La presenza di valori noti delle diagonali di un dato poligono, nonché dell'angolo che formano come risultato della loro intersezione, consente di determinare l'area della figura.

S = (d1*d2)/2*senγ,
S = (d1*d2)/2*senφ,

S è l'area da determinare,
d1, d2 – diagonali note (o calcolate mediante calcoli),
γ, φ – angoli tra le diagonali d1 e d2.

Parallelogrammaè un quadrilatero i cui lati sono paralleli a coppie.

In questa figura i lati e gli angoli opposti sono uguali tra loro. Le diagonali di un parallelogramma si intersecano in un punto e lo dividono in due. Le formule per l'area di un parallelogramma ti consentono di trovare il valore utilizzando i lati, l'altezza e le diagonali. In casi particolari può essere presentato anche un parallelogramma. Sono considerati un rettangolo, un quadrato e un rombo.
Innanzitutto, consideriamo un esempio di calcolo dell'area di un parallelogramma in base all'altezza e al lato su cui è abbassato.

Questo caso è considerato classico e non richiede ulteriori indagini. È meglio considerare la formula per calcolare l'area attraverso due lati e l'angolo tra di loro. Lo stesso metodo viene utilizzato nei calcoli. Se vengono forniti i lati e l'angolo compreso tra loro, l'area viene calcolata come segue:

Supponiamo di avere un parallelogramma con i lati a = 4 cm, b = 6 cm e l'angolo compreso tra loro è α = 30°. Troviamo l'area:

Area di un parallelogramma passante per le diagonali

La formula per l'area di un parallelogramma utilizzando le diagonali consente di trovare rapidamente il valore.
Per i calcoli avrai bisogno della dimensione dell'angolo situato tra le diagonali.

Consideriamo un esempio di calcolo dell'area di un parallelogramma utilizzando le diagonali. Sia dato un parallelogramma con le diagonali D = 7 cm, d = 5 cm e l'angolo compreso tra loro è α = 30°. Sostituiamo i dati nella formula:

Un esempio di calcolo dell'area di un parallelogramma attraverso la diagonale ci ha dato un risultato eccellente: 8,75.

Conoscendo la formula per l'area di un parallelogramma attraverso la diagonale, puoi risolvere molti problemi interessanti. Diamo un'occhiata a uno di loro.

Compito: Dato un parallelogramma con area di 92 mq. vedi Il punto F si trova a metà del suo lato BC. Andiamo troviamo la zona trapezio ADFB, che si troverà nel nostro parallelogramma. Per prima cosa disegniamo tutto ciò che abbiamo ricevuto in base alle condizioni.
Arriviamo alla soluzione:

Secondo le nostre condizioni, ah =92 e, di conseguenza, l'area del nostro trapezio sarà uguale a

Area di un parallelogramma

Teorema 1

L'area di un parallelogramma è definita come il prodotto della lunghezza del suo lato e dell'altezza ad esso collegata.

dove $a$ è un lato del parallelogramma, $h$ è l'altezza disegnata su questo lato.

Prova.

Sia dato un parallelogramma $ABCD$ con $AD=BC=a$. Disegniamo le quote $DF$ e $AE$ (Fig. 1).

Immagine 1.

Ovviamente, la cifra $ FDAE $ è un rettangolo.

\[\angolo BAE=(90)^0-\angolo A,\ \] \[\angolo CDF=\angolo D-(90)^0=(180)^0-\angolo A-(90)^0 =(90)^0-\angolo A=\angolo BAE\]

Di conseguenza, poiché $CD=AB,\DF=AE=h$, per il criterio $I$ di uguaglianza dei triangoli $\triangle BAE=\triangle CDF$. Poi

Quindi, secondo il teorema sull'area di un rettangolo:

Il teorema è stato dimostrato.

Teorema 2

L'area di un parallelogramma è definita come il prodotto della lunghezza dei suoi lati adiacenti per il seno dell'angolo compreso tra questi lati.

Matematicamente questo può essere scritto come segue

dove $a,\b$ sono i lati del parallelogramma, $\alpha$ è l'angolo compreso tra loro.

Prova.

Sia dato un parallelogramma $ABCD$ con $BC=a,\CD=b,\ \angle C=\alpha $. Disegniamo l'altezza $DF=h$ (Fig. 2).

Figura 2.

Per definizione di seno, otteniamo

Quindi

Quindi, per il Teorema $1$:

Il teorema è stato dimostrato.

Area di un triangolo

Teorema 3

L'area di un triangolo è definita come la metà del prodotto della lunghezza del suo lato e dell'altezza ad esso collegata.

Matematicamente questo può essere scritto come segue

dove $a$ è un lato del triangolo, $h$ è l'altezza disegnata su questo lato.

Prova.

Figura 3.

Quindi, per il Teorema $1$:

Il teorema è stato dimostrato.

Teorema 4

L'area di un triangolo è definita come la metà del prodotto della lunghezza dei suoi lati adiacenti e del seno dell'angolo compreso tra questi lati.

Matematicamente questo può essere scritto come segue

dove $a,\b$ sono i lati del triangolo, $\alpha$ è l'angolo compreso tra loro.

Prova.

Sia dato un triangolo $ABC$ con $AB=a$. Troviamo l'altezza $CH=h$. Costruiamolo in un parallelogramma $ABCD$ (Fig. 3).

Ovviamente, per il criterio $I$ per l'uguaglianza dei triangoli, $\triangle ACB=\triangle CDB$. Poi

Quindi, per il Teorema $1$:

Il teorema è stato dimostrato.

Area del trapezio

Teorema 5

L'area di un trapezio è definita come la metà del prodotto della somma delle lunghezze delle sue basi e della sua altezza.

Matematicamente questo può essere scritto come segue

Prova.

Sia dato un trapezio $ABCK$, dove $AK=a,\BC=b$. Disegniamo in esso le altezze $BM=h$ e $KP=h$, nonché la diagonale $BK$ (Fig. 4).

Figura 4.

Per il Teorema $3$, otteniamo

Il teorema è stato dimostrato.

Compito di esempio

Esempio 1

Trova l'area di un triangolo equilatero se la sua lunghezza del lato è $a.$

Soluzione.

Poiché il triangolo è equilatero, tutti i suoi angoli sono uguali a $(60)^0$.

Allora, per il Teorema $4$, abbiamo

Risposta:$\frac(a^2\sqrt(3))(4)$.

Nota che il risultato di questo problema può essere utilizzato per trovare l'area di qualsiasi triangolo equilatero con un dato lato.

Definizione di parallelogramma

Parallelogrammaè un quadrilatero in cui i lati opposti sono uguali e paralleli.

Calcolatore in linea

Il parallelogramma ne ha alcuni proprietà benefiche, che semplificano la risoluzione dei problemi associati a questa figura. Ad esempio, una delle proprietà è che gli angoli opposti di un parallelogramma sono uguali.

Consideriamo diversi metodi e formule seguiti risolvendo semplici esempi.

Formula per l'area di un parallelogramma in base alla base e all'altezza

Questo metodo per trovare l'area è probabilmente uno dei più basilari e semplici, poiché è quasi identico alla formula per trovare l'area di un triangolo con poche eccezioni. Innanzitutto, diamo un'occhiata al caso generalizzato senza utilizzare i numeri.

Sia dato un parallelogramma arbitrario con una base aa UN, lato b b B e altezza h h H, portato alla nostra base. Quindi la formula per l'area di questo parallelogramma è:

S = a ⋅ h S=a\cdot h S=un ⋅H

Aa UN-fondo;
h h H- altezza.

Diamo un'occhiata a un problema semplice per esercitarci a risolvere i problemi tipici.

Esempio

Trova l'area di un parallelogramma in cui è noto che la base è 10 (cm) e l'altezza è 5 (cm).

Soluzione

A = 10 a = 10 un =1 0
h = 5 h = 5 h =5

Lo sostituiamo nella nostra formula. Noi abbiamo:
S = 10 ⋅ 5 = 50 S=10\cdot 5=50S=1 0 ⋅ 5 = 5 0 (vedi mq.)

Risposta: 50 (vedi mq.)

Formula per l'area di un parallelogramma basata su due lati e l'angolo compreso tra loro

In questo caso, il valore richiesto si trova come segue:

S = a ⋅ b ⋅ peccato ⁡ (α) S=a\cdot b\cdot\sin(\alpha)S=un ⋅b ⋅peccato(α)

A, b, a, b un, b- lati di un parallelogramma;
α\alfa α - angolo tra i lati aa UN E b b B.

Ora risolviamo un altro esempio e utilizziamo la formula sopra descritta.

Esempio

Trova l'area di un parallelogramma se ne conosci il lato aa UN, che è la base e con una lunghezza di 20 (cm) e un perimetro p p P, numericamente pari a 100 (cm), l'angolo tra lati adiacenti ( aa UN E b b B) è pari a 30 gradi.

Soluzione

A = 20 a = 20 un =2 0
p = 100 p = 100 p =1 0 0
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α = 3 0 ∘

Per trovare la risposta conosciamo solo il secondo lato di questo quadrilatero. Troviamola. Il perimetro di un parallelogramma è dato dalla formula:
p = a + a + b + b p=a+a+b+b p =a+a+b+B
100 = 20 + 20 + b + b 100=20+20+b+b1 0 0 = 2 0 + 2 0 + b+B
100 = 40 + 2b 100=40+2b 1 0 0 = 4 0 + 2 b
60 = 2b 60 = 2b 6 0 = 2 b
b = 30 b = 30 b =3 0

La parte più difficile è passata, non resta che sostituire i lati e l'angolo tra di loro con i nostri valori:
S = 20 ⋅ 30 ⋅ peccato ⁡ (3 0 ∘) = 300 S=20\cdot 30\cdot\sin(30^(\circ))=300S=2 0 ⋅ 3 0 ⋅ peccato(3 0 ∘ ) = 3 0 0 (vedi mq.)

Risposta: 300 (vedi mq.)

Formula per l'area di un parallelogramma basata sulle diagonali e sull'angolo compreso tra loro

S = 1 2 ⋅ D ⋅ d ⋅ sin ⁡ (α) S=\frac(1)(2)\cdot D\cdot d\cdot\sin(\alpha)S=2 1 ⋅ D⋅d⋅peccato(α)

D D D- ampia diagonale;
d d D- piccola diagonale;
α\alfa α - angolo acuto tra le diagonali.

Esempio

Date le diagonali di un parallelogramma pari a 10 (cm) e 5 (cm). L'angolo tra loro è di 30 gradi. Calcola la sua area.

Soluzione

D=10 D=10 D=1 0
d = 5 d = 5 d =5
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α = 3 0 ∘

S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 12,5 S=\frac(1)(2)\cdot 10 \cdot 5 \cdot\sin(30^(\circ))=12,5S=2 1 ⋅ 1 0 ⋅ 5 ⋅ peccato(3 0 ∘ ) = 1 2 . 5 (vedi mq.)

Piazza figura geometrica - una caratteristica numerica di una figura geometrica che mostra la dimensione di questa figura (parte della superficie limitata dal contorno chiuso di questa figura). La dimensione dell'area è espressa dal numero di unità quadrate in essa contenute.

Formule dell'area del triangolo

Formula per l'area di un triangolo per lato e altezza
Area di un triangolo pari alla metà del prodotto della lunghezza di un lato di un triangolo e della lunghezza dell'altezza tracciata su questo lato
Formula per l'area di un triangolo basata su tre lati e il raggio della circonferenza circoscritta
Formula per l'area di un triangolo basata su tre lati e il raggio del cerchio inscritto
Area di un triangoloè uguale al prodotto del semiperimetro del triangolo per il raggio del cerchio inscritto.

Formule per l'area quadrata

Formula per l'area di un quadrato per lato
Zona quadrata uguale al quadrato della lunghezza del suo lato.
Formula per l'area di un quadrato lungo la diagonale
Zona quadrata pari alla metà del quadrato della lunghezza della sua diagonale.
S= 1 2
2

Formula dell'area del rettangolo

Area di un rettangolo

Formule per l'area del parallelogramma

Formula per l'area di un parallelogramma in base alla lunghezza del lato e all'altezza
Area di un parallelogramma
Formula per l'area di un parallelogramma basata su due lati e l'angolo compreso tra loro
Area di un parallelogrammaè uguale al prodotto delle lunghezze dei suoi lati moltiplicato per il seno dell'angolo compreso tra loro.
a b peccato α

Formule per l'area di un rombo

Formula per l'area di un rombo in base alla lunghezza del lato e all'altezza
Area di un rombo uguale al prodotto della lunghezza del suo lato e della lunghezza dell'altezza abbassata su questo lato.
Formula per l'area di un rombo in base alla lunghezza del lato e all'angolo
Area di un romboè uguale al prodotto del quadrato della lunghezza del suo lato e del seno dell'angolo formato dai lati del rombo.
Formula per l'area di un rombo in base alle lunghezze delle sue diagonali
Area di un rombo pari alla metà del prodotto delle lunghezze delle sue diagonali.

Formule dell'area del trapezio

Formula di Erone per il trapezio
Dove S è l'area del trapezio,
- lunghezze delle basi del trapezio,
- lunghezze dei lati del trapezio,