Come un sistema di equazioni, o relazioni aritmetiche, o forme geometriche, o una combinazione di entrambi, il cui studio mediante la matematica dovrebbe rispondere alle domande poste sulle proprietà di un certo insieme di proprietà di un oggetto del mondo reale, come un insieme di relazioni matematiche, equazioni, disuguaglianze che descrivono i modelli di base inerente al processo, oggetto o sistema studiato.

Nei sistemi di controllo automatizzati, viene utilizzato un modello matematico per determinare l'algoritmo operativo del controller. Questo algoritmo determina come modificare l'azione di controllo in base al cambiamento nel master affinché l'obiettivo di controllo venga raggiunto.

Classificazione dei modelli

Classificazione formale dei modelli

La classificazione formale dei modelli si basa sulla classificazione degli strumenti matematici utilizzati. Spesso costruiti sotto forma di dicotomie. Ad esempio, uno dei popolari insiemi di dicotomie:

e così via. Ogni modello costruito è lineare o non lineare, deterministico o stocastico,... Naturalmente sono possibili anche tipologie miste: concentrato in un aspetto (in termini di parametri), distribuito in un altro, ecc.

Classificazione in base al modo in cui l'oggetto è rappresentato

Oltre alla classificazione formale, i modelli differiscono nel modo in cui rappresentano un oggetto:

• Modelli strutturali o funzionali

Le ipotesi modello nella scienza non possono essere dimostrate una volta per tutte; possiamo solo parlare della loro confutazione o non confutazione come risultato dell'esperimento.

Se si costruisce un modello del primo tipo, ciò significa che esso viene temporaneamente accettato come verità e ci si può concentrare su altri problemi. Questo però non può essere un punto di ricerca, ma solo una pausa temporanea: lo status di un modello del primo tipo non può che essere temporaneo.

Modello fenomenologico

Il secondo tipo è il modello fenomenologico ( “ci comportiamo come se...”), contiene un meccanismo per descrivere il fenomeno, sebbene questo meccanismo non sia sufficientemente convincente, non possa essere sufficientemente confermato dai dati disponibili o non si adatti bene alle teorie esistenti e alle conoscenze accumulate sull'oggetto. Pertanto, i modelli fenomenologici hanno lo status di soluzioni temporanee. Si ritiene che la risposta sia ancora sconosciuta e che la ricerca dei “veri meccanismi” debba continuare. Peierls include, ad esempio, il modello calorico e il modello a quark delle particelle elementari come secondo tipo.

Il ruolo del modello nella ricerca può cambiare nel tempo e può accadere che nuovi dati e teorie confermino modelli fenomenologici e siano promossi allo status di ipotesi. Allo stesso modo, le nuove conoscenze possono gradualmente entrare in conflitto con i modelli di ipotesi del primo tipo, e possono essere tradotti nel secondo. Pertanto, il modello a quark si sta gradualmente spostando nella categoria delle ipotesi; L'atomismo in fisica è nato come soluzione temporanea, ma con il corso della storia è diventato il primo tipo. Ma i modelli eterei si sono fatti strada dal tipo 1 al tipo 2 e ora sono fuori dalla scienza.

L'idea di semplificazione è molto popolare quando si costruiscono modelli. Ma la semplificazione arriva in forme diverse. Peierls identifica tre tipi di semplificazioni nella modellazione.

Approssimazione

Il terzo tipo di modelli sono le approssimazioni ( “consideriamo qualcosa di molto grande o molto piccolo”). Se è possibile costruire equazioni che descrivono il sistema studiato, ciò non significa che possano essere risolte anche con l'ausilio di un computer. Una tecnica generalmente accettata in questo caso è l'uso di approssimazioni (modelli di tipo 3). Tra loro modelli di risposta lineare. Le equazioni sono sostituite da quelle lineari. Un esempio standard è la legge di Ohm.

Esperimento mentale

m x ¨ = − k x (\displaystyle m(\ddot (x))=-kx),

Dove x ¨ (\displaystyle (\ddot (x))) significa la derivata seconda di x (\displaystyle x) col tempo: x ¨ = d 2 x d t 2 (\displaystyle (\ddot (x))=(\frac (d^(2)x)(dt^(2)))).

L'equazione risultante descrive il modello matematico del sistema fisico considerato. Questo modello è chiamato "oscillatore armonico".

Secondo la classificazione formale, questo modello è lineare, deterministico, dinamico, concentrato, continuo. Nel processo di costruzione, abbiamo fatto molte ipotesi (sull'assenza di forze esterne, sull'assenza di attrito, sulla piccolezza delle deviazioni, ecc.), che in realtà potrebbero non essere soddisfatte.

In relazione alla realtà, questo è molto spesso un modello di tipo 4 semplificazione(“ometteremo alcuni dettagli per chiarezza”), poiché alcune caratteristiche universali essenziali (ad esempio, la dissipazione) vengono omesse. Con una certa approssimazione (ad esempio, mentre la deviazione del carico dall'equilibrio è piccola, con basso attrito, per un tempo non eccessivo e soggetta a determinate altre condizioni), un modello di questo tipo descrive abbastanza bene un sistema meccanico reale, poiché i fattori scartati hanno un effetto trascurabile sul suo comportamento. Tuttavia, il modello può essere perfezionato tenendo conto di alcuni di questi fattori. Ciò porterà a un nuovo modello, con un ambito di applicabilità più ampio (anche se ancora limitato).

Tuttavia, quando si perfeziona il modello, la complessità della ricerca matematica può aumentare in modo significativo e rendere il modello praticamente inutile. Spesso un modello più semplice consente un’esplorazione migliore e più approfondita di un sistema reale rispetto a uno più complesso (e, formalmente, “più corretto”).

Se applichiamo il modello dell’oscillatore armonico a oggetti lontani dalla fisica, il suo status sostanziale potrebbe essere diverso. Ad esempio, quando si applica questo modello alle popolazioni biologiche, molto probabilmente dovrebbe essere classificato come tipo 6 analogia(“prendiamo in considerazione solo alcune caratteristiche”).

Modelli duri e morbidi

L’oscillatore armonico è un esempio del cosiddetto modello “hard”. Si ottiene come risultato di una forte idealizzazione di un sistema fisico reale. Le proprietà di un oscillatore armonico vengono modificate qualitativamente da piccole perturbazioni. Ad esempio, se aggiungi un termine piccolo sul lato destro − ε x ˙ (\displaystyle -\varepsilon (\dot (x)))(attrito) ( ε > 0 (\displaystyle \varepsilon >0)- qualche piccolo parametro), allora otteniamo oscillazioni esponenzialmente smorzate se cambiamo segno del termine aggiuntivo (ε x ˙) (\displaystyle (\varepsilon (\dot (x)))) allora l'attrito si trasformerà in pompaggio e l'ampiezza delle oscillazioni aumenterà in modo esponenziale.

Per risolvere la questione dell’applicabilità di un modello rigido è necessario comprendere quanto siano significativi i fattori che abbiamo trascurato. E' necessario studiare modelli soft ottenuti da una piccola perturbazione di quello hard. Per un oscillatore armonico possono essere dati, ad esempio, dalla seguente equazione:

m x ¨ = − k x + ε f (x , x ˙) (\displaystyle m(\ddot (x))=-kx+\varepsilon f(x,(\dot (x)))).

Qui f (x , x ˙) (\displaystyle f(x,(\punto (x))))- qualche funzione che possa tenere conto della forza di attrito o della dipendenza del coefficiente di rigidezza della molla dal grado del suo allungamento. Forma di funzione esplicita f (\displaystyle f) Non siamo interessati al momento.

Se dimostriamo che il comportamento del modello soft non è fondamentalmente diverso dal comportamento di quello hard (indipendentemente dal tipo esplicito dei fattori perturbanti, se sono sufficientemente piccoli), il problema si ridurrà allo studio del modello hard. Altrimenti, l'applicazione dei risultati ottenuti dallo studio del modello rigido richiederà ulteriori ricerche.

Se un sistema mantiene il suo comportamento qualitativo anche in presenza di piccoli disturbi, si dice che sia strutturalmente stabile. Un oscillatore armonico è un esempio di sistema strutturalmente instabile (non ruvido). Tuttavia, questo modello può essere utilizzato per studiare processi su periodi di tempo limitati.

Versatilità dei modelli

I modelli matematici più importanti di solito hanno la proprietà importante versatilità: Fenomeni reali fondamentalmente diversi possono essere descritti dallo stesso modello matematico. Ad esempio, un oscillatore armonico descrive non solo il comportamento di un carico su una molla, ma anche altri processi oscillatori, spesso di natura completamente diversa: piccole oscillazioni di un pendolo, fluttuazioni del livello di un liquido in U (\displaystyle U) vaso a forma di vaso o un cambiamento nell'intensità della corrente in un circuito oscillatorio. Pertanto, studiando un modello matematico, studiamo immediatamente un'intera classe di fenomeni da esso descritti. È questo isomorfismo delle leggi espresse dai modelli matematici in vari segmenti della conoscenza scientifica che ha ispirato Ludwig von Bertalanffy a creare una “teoria generale dei sistemi”.

Problemi diretti e inversi di modellizzazione matematica

Ci sono molti problemi associati alla modellazione matematica. Per prima cosa devi elaborare uno schema di base dell'oggetto modellato, riprodurlo nel quadro delle idealizzazioni di questa scienza. Pertanto, un vagone ferroviario si trasforma in un sistema di piastre e corpi più complessi di materiali diversi, per ciascun materiale viene specificata la sua idealizzazione meccanica standard (densità, moduli elastici, caratteristiche di resistenza standard), dopo di che vengono redatte equazioni, lungo il percorso alcune i dettagli vengono scartati perché non importanti, vengono effettuati calcoli, confrontati con misurazioni, il modello viene perfezionato e così via. Tuttavia, per sviluppare tecnologie di modellazione matematica, è utile scomporre questo processo nelle sue componenti principali.

Tradizionalmente, esistono due classi principali di problemi associati ai modelli matematici: diretti e inversi.

Compito diretto: la struttura del modello e tutti i suoi parametri sono considerati noti, il compito principale è condurre uno studio del modello per estrarre conoscenze utili sull'oggetto. Quale carico statico potrà sopportare il ponte? Come reagirà a un carico dinamico (ad esempio, alla marcia di una compagnia di soldati, o al passaggio di un treno a velocità diverse), come l'aereo supererà la barriera del suono, se cadrà a pezzi per sbattimento - questi sono esempi tipici di un problema diretto. Impostare il giusto problema diretto (porre la domanda giusta) richiede abilità speciali. Se non vengono poste le domande giuste, un ponte potrebbe crollare, anche se è stato costruito un buon modello per il suo comportamento. Così, nel 1879, in Gran Bretagna crollò il ponte ferroviario metallico sul Firth of Tay, i cui progettisti costruirono un modello del ponte, calcolandolo per un fattore di sicurezza 20 volte superiore per l'azione del carico utile, ma dimenticarono il venti che soffiano costantemente in quei luoghi. E dopo un anno e mezzo è crollato.

Nel caso più semplice (ad esempio un'equazione dell'oscillatore), il problema diretto è molto semplice e si riduce ad una soluzione esplicita di questa equazione.

Problema inverso: sono noti molti modelli possibili, è necessario selezionare un modello specifico in base a dati aggiuntivi sull'oggetto. Nella maggior parte dei casi, la struttura del modello è nota e occorre determinare alcuni parametri sconosciuti. Ulteriori informazioni possono consistere in dati empirici aggiuntivi o requisiti per l'oggetto ( problema di progettazione). Ulteriori dati possono arrivare indipendentemente dal processo di risoluzione del problema inverso ( osservazione passiva) o essere il risultato di un esperimento appositamente pianificato durante la soluzione ( sorveglianza attiva).

Uno dei primi esempi di soluzione magistrale a un problema inverso con il massimo utilizzo dei dati disponibili fu il metodo di Newton per ricostruire le forze di attrito dalle oscillazioni smorzate osservate.

Un altro esempio è la statistica matematica. Il compito di questa scienza è quello di sviluppare metodi per registrare, descrivere e analizzare dati osservativi e sperimentali al fine di costruire modelli probabilistici di fenomeni casuali di massa. Cioè, l’insieme dei modelli possibili è limitato ai modelli probabilistici. In compiti specifici, l'insieme di modelli è più limitato.

Sistemi di simulazione al computer

Per supportare la modellazione matematica, sono stati sviluppati sistemi di matematica informatica, ad esempio Maple, Mathematica, Mathcad, MATLAB, VisSim, ecc. Consentono di creare modelli formali e a blocchi di processi e dispositivi sia semplici che complessi e di modificare facilmente i parametri del modello durante modellazione. Modelli a blocchi sono rappresentati da blocchi (molto spesso grafici), il cui insieme e connessione sono specificati dal diagramma del modello.

Ulteriori esempi

Il modello di Malthus

Secondo il modello proposto da Malthus, il tasso di crescita è proporzionale alla dimensione attuale della popolazione, cioè descritta dall’equazione differenziale:

x ˙ = α x (\displaystyle (\punto (x))=\alpha x),

Dove α (\displaystyle \alpha )- un certo parametro determinato dalla differenza tra fertilità e mortalità. La soluzione di questa equazione è la funzione esponenziale x (t) = x 0 e α t (\displaystyle x(t)=x_(0)e^(\alpha t)). Se il tasso di natalità supera il tasso di mortalità ( α > 0 (\displaystyle \alpha >0)), la dimensione della popolazione è illimitata e cresce molto rapidamente. In realtà ciò non può accadere a causa delle risorse limitate. Quando viene raggiunta una certa dimensione critica della popolazione, il modello cessa di essere adeguato, poiché non tiene conto delle risorse limitate. Un perfezionamento del modello di Malthus può essere un modello logistico, che è descritto dall'equazione differenziale di Verhulst:

x ˙ = α (1 − x x s) x (\displaystyle (\dot (x))=\alpha \left(1-(\frac (x)(x_(s)))\right)x),

dove è la dimensione “di equilibrio” della popolazione, alla quale il tasso di natalità è esattamente compensato dal tasso di mortalità. La dimensione della popolazione in tale modello tende a un valore di equilibrio x s (\displaystyle x_(s)), e questo comportamento è strutturalmente stabile.

Sistema predatore-preda

Diciamo che in una certa zona vivono due tipi di animali: i conigli (che mangiano piante) e le volpi (che mangiano conigli). Lasciamo il numero di conigli x (\displaystyle x), numero di volpi y (\displaystyle y). Utilizzando il modello di Malthus con le modifiche necessarie per tenere conto del consumo di conigli da parte delle volpi, arriviamo al seguente sistema, denominato modelli Vassoi - Volterra:

( x ˙ = (α − c y) x y ˙ = (− β + d x) y (\displaystyle (\begin(cases)(\dot (x))=(\alpha -cy)x\\(\dot (y ))=(-\beta +dx)y\fine(casi)))

Il comportamento di questo sistema non è strutturalmente stabile: un piccolo cambiamento nei parametri del modello (ad esempio, tenendo conto delle risorse limitate necessarie ai conigli) può portare a un cambiamento qualitativo nel comportamento.

Per alcuni valori dei parametri, questo sistema ha uno stato di equilibrio quando il numero di conigli e volpi è costante. La deviazione da questo stato porta a fluttuazioni gradualmente attenuate nel numero di conigli e volpi.

È possibile anche la situazione opposta, quando ogni piccola deviazione dalla posizione di equilibrio porterà a conseguenze catastrofiche, fino alla completa estinzione di una delle specie. Il modello Volterra-Trats non risponde alla domanda su quale di questi scenari si stia realizzando: qui sono necessarie ulteriori ricerche.

Guarda anche

Appunti

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9. “Una teoria è considerata lineare o non lineare a seconda del tipo di apparato matematico – lineare o non lineare – e del tipo di modelli matematici lineari o non lineari che utilizza. ...senza negare quest'ultima. Un fisico moderno, se dovesse ricreare la definizione di un’entità così importante come la nonlinearità, molto probabilmente si comporterebbe diversamente e, privilegiando la nonlinearità come il più importante e diffuso dei due opposti, definirebbe la linearità come “non non linearità." Danilov Yu.A., Lezioni sulla dinamica non lineare. Introduzione elementare. Collana “Sinergetica: dal passato al futuro”. Edizione 2. - M.: URSS, 2006. - 208 p. ISBN 5-484-00183-8
10. “I sistemi dinamici modellati da un numero finito di equazioni differenziali ordinarie sono chiamati sistemi concentrati o puntuali. Sono descritti utilizzando uno spazio delle fasi a dimensione finita e sono caratterizzati da un numero finito di gradi di libertà. Lo stesso sistema in condizioni diverse può essere considerato concentrato o distribuito. I modelli matematici dei sistemi distribuiti lo sono equazioni differenziali in derivate parziali, equazioni integrali o equazioni ordinarie con argomento ritardato. Il numero di gradi di libertà di un sistema distribuito è infinito e per determinarne lo stato è necessario un numero infinito di dati.
    Anishchenko V.S., Sistemi dinamici, rivista educativa Soros, 1997, n. 11, p. 77-84.
11. “A seconda della natura dei processi studiati nel sistema S, tutti i tipi di modellazione possono essere suddivisi in deterministici e stocastici, statici e dinamici, discreti, continui e discreti-continui. La modellazione deterministica riflette processi deterministici, cioè processi in cui si presuppone l'assenza di influenze casuali; la modellazione stocastica descrive processi ed eventi probabilistici. ... La modellazione statica serve a descrivere il comportamento di un oggetto in qualsiasi momento e la modellazione dinamica riflette il comportamento di un oggetto nel tempo. La modellazione discreta viene utilizzata per descrivere processi che si presuppone siano discreti, rispettivamente, la modellazione continua ci consente di riflettere i processi continui nei sistemi e la modellazione discreto-continua viene utilizzata nei casi in cui si vuole evidenziare la presenza di processi sia discreti che continui. "
    Sovetov B. Ya., Yakovlev S. A., Modellazione dei sistemi: Proc. per le università - 3a ed., riveduta. e aggiuntivi - M.: Più in alto. scuola, 2001. - 343 p. ISBN 5-06-003860-2
12. Tipicamente, un modello matematico riflette la struttura (dispositivo) dell'oggetto modellato, le proprietà e le relazioni dei componenti di questo oggetto che sono essenziali ai fini della ricerca; tale modello è chiamato strutturale. Se il modello riflette solo il modo in cui funziona l'oggetto, ad esempio come reagisce alle influenze esterne, allora viene chiamato funzionale o, in senso figurato, scatola nera. Sono possibili anche modelli combinati. Myshkis A.D., Elementi di teoria dei modelli matematici. - 3a ed., riv. - M.: KomKniga, 2007. - 192 p.

Per la teoria della modellazione matematica è necessario conoscere lo scopo della modellazione e rappresentare l'oggetto della modellazione in forma matematica. La parola “modello” deriva dal latino modus (copia, immagine, contorno). L'esempio più semplice e ovvio di modellazione sono le mappe geografiche e topografiche. I modelli sono formule strutturali in chimica. Nel mezzo si colloca il modello come mezzo di conoscenza pensiero logico e il processo o fenomeno studiato.

La modellazione è la sostituzione di un oggetto A con un altro oggetto B. L'oggetto sostituito è chiamato originale, quello sostitutivo è chiamato modello. Pertanto, il modello è un sostituto dell'originale. A seconda dello scopo della sostituzione, il modello dello stesso originale potrebbe essere diverso. Nella scienza e nella tecnologia, lo scopo principale della modellazione è studiare l'originale utilizzando un modello più semplice. Sostituire un oggetto con un altro ha senso solo se c'è una certa somiglianza o analogia tra loro.

Un modello matematico è una rappresentazione approssimativa, espressa in termini matematici, di oggetti, concetti, sistemi o processi. Oggetti, concetti, sistemi o processi da modellare sono chiamati oggetti di modellazione (OM).

Tutti gli oggetti e i fenomeni sono interconnessi in misura maggiore o minore, ma durante la modellazione la maggior parte delle interrelazioni vengono trascurate e l'oggetto della modellazione viene considerato come un sistema separato. Se l'oggetto di modellazione è definito come un sistema separato, allora è necessario introdurre il principio di selettività, garantendo la selezione delle connessioni richieste con l'ambiente esterno. Ad esempio, quando si modellano i circuiti elettronici, le interazioni termiche, acustiche, ottiche e meccaniche con l'ambiente esterno vengono trascurate e vengono prese in considerazione solo le variabili elettriche. Il principio di selettività introduce un errore nel sistema, cioè una differenza nel comportamento del modello e dell'oggetto modellato. Il successivo importante fattore di modellazione è il principio di causalità, che collega le variabili di input e output nel sistema.

Per quantificare il sistema viene introdotto il concetto di “Stato”. Ad esempio, lo stato di un circuito elettronico si riferisce ai valori di tensioni e correnti presenti in un circuito elettronico in un dato momento.

Quando si deriva analiticamente un modello matematico, vengono spesso utilizzate categorie ben note: leggi, strutture e parametri.

Se una qualsiasi variabile y dipende da un'altra variabile x, allora la prima quantità è funzione della seconda. Questa dipendenza è scritta nella forma y = f(x) o y = y(x). In questa notazione, la variabile x è chiamata argomento. Una caratteristica importante di una funzione è la sua derivata, il processo di scoperta chiamato differenziazione. Le equazioni che, secondo le regole matematiche, collegano una funzione sconosciuta, le sue derivate e gli argomenti sono chiamate differenziali. Il processo inverso alla differenziazione, che permette di ricavare la funzione stessa a partire da una derivata data, si chiama integrazione.

Consideriamo un caso speciale in cui la funzione è un percorso che dipende dall'argomento: il tempo. Allora la derivata del percorso rispetto al tempo è la velocità, e la derivata della velocità (o la derivata seconda del percorso) è l'accelerazione. Se, ad esempio, si conosce la velocità, allora si utilizza l'integrazione per trovare il percorso percorso dal corpo quando si muove in un determinato tempo. Se si conosce solo l'accelerazione, l'operazione di integrazione viene eseguita due volte per trovare il percorso. In questo caso, dopo aver calcolato il primo integrale, si conosce la velocità.

L'obiettivo finale della creazione di modelli matematici è stabilire dipendenze funzionali tra le variabili. La dipendenza funzionale per ciascun modello specifico può assumere una forma rigorosamente definita. Quando viene simulato un dispositivo, il cui ingresso riceve un segnale x y e appare il segnale di uscita y, la connessione può essere scritta sotto forma di tabella. Per fare ciò, l'intera gamma di modifiche nei segnali di ingresso e di uscita è divisa in un certo numero di sezioni. Ciascuna sezione dell'intervallo di variazione del segnale di ingresso corrisponderà ad una determinata sezione dell'intervallo di variazione del segnale di uscita. Nei sistemi complessi, dove ci sono più input e più output, le dipendenze analitiche sono espresse da sistemi di equazioni differenziali.

* Le leggi sono solitamente formulate per aree particolari, come le leggi di Kirchhoff e Newton. L’applicazione di queste leggi a un sistema solitamente concentra la nostra attenzione su una singola area della scienza e della tecnologia. Utilizzando le leggi di Kirchhoff e le equazioni di Maxwell per analizzare un sistema elettrico, il ricercatore ignora altri processi (ad esempio termici) nel sistema.

Creare un modello matematico richiede la conoscenza degli elementi presenti nel sistema e delle loro relazioni. I parametri del modello matematico (MM) sono quelli compresi nel sistema di equazioni probabilità diverse. Questi coefficienti, insieme alle equazioni e alle condizioni al contorno, formano un MM completo.

Qualsiasi modello matematico può essere ottenuto come risultato di: 1) osservazione diretta di un fenomeno, suo studio e comprensione diretti (i modelli sono fenomenologici); 2) qualche processo di deduzione, quando un nuovo modello viene ottenuto come caso speciale da un modello più generale (tali modelli sono chiamati asintotici); 3) qualche processo di induzione, quando il nuovo modello è una generalizzazione naturale di modelli elementari (tali modelli sono chiamati modelli compositi o modelli ensemble).

Tutti i sistemi esistono nel tempo e nello spazio. Matematicamente ciò significa che il tempo e le tre variabili spaziali possono essere considerate variabili indipendenti.

Esistono molti segnali di classificazione dei modelli matematici basati sull'uso di determinate variabili come indipendenti, presentate in forma continua o discreta; MM è classificato come segue:

1) modelli a parametri distribuiti (tutte le variabili indipendenti sono prese in forma continua);

2) modelli con parametri concentrati (tutte le variabili spaziali indipendenti sono discrete e la variabile temporale è continua);

3) modelli a parametri discreti (tutte le variabili indipendenti sono prese in forma discreta).

Nella fig. 3.10 a... mostra una classificazione approssimativa dei modelli. Tutti i modelli possono essere suddivisi in reali e ideali (Fig. 3.10, a). Questo capitolo tratta solo i modelli ideali, che sono oggettivi nel loro contenuto (riflettono la realtà reale), ma soggettivi nella forma e non possono esistere al di fuori di essa. I modelli ideali esistono solo nella conoscenza umana e funzionano secondo le leggi della logica. I modelli logici includono vari modelli firmati. Un punto essenziale nella creazione di qualsiasi modello simbolico è la procedura di formalizzazione (formule, alfabeto, sistemi numerici).

Attualmente, in una serie di settori della scienza e della tecnologia, il concetto di modello viene interpretato non nello spirito della fisica classica, come un sistema visivo, ad esempio meccanico, ma nello spirito palcoscenico moderno la conoscenza come struttura logico-matematica astratta.

Nella modellazione moderna, insieme al ruolo crescente dei modelli logici astratti nella cognizione, c'è un'altra tendenza associata all'uso diffuso di modelli di informazione funzionale cibernetica.

L'unicità della modellazione cibernetica è che la somiglianza oggettiva del modello e dell'oggetto simulato riguarda solo le loro funzioni, ambiti di applicazione e connessione con l'ambiente esterno. La base dell'approccio informativo allo studio dei processi cibernetici è l'astrazione.

Consideriamo i modelli che si svolgono in CAD LSI: strutturale, funzionale, geometrico, simbolico, mentale, analitico, numerico e di simulazione.

I modelli strutturali riproducono la composizione degli elementi di un oggetto o sistema, la loro collocazione nello spazio e le relazioni, cioè la struttura del sistema. I modelli strutturali possono essere sia reali (layout) che ideali (ad esempio, disegni di ingegneria meccanica, topologia di circuiti stampati e topologia di circuiti integrati).

I modelli funzionali imitano solo il modo in cui si comporta l'originale, la sua dipendenza funzionale dall'ambiente esterno. L’esempio più tipico sono i modelli costruiti sul concetto di “scatola nera”.

In questi modelli è possibile riprodurre il funzionamento dell'originale, astraendo completamente dai suoi contenuti e dalla sua struttura, collegando varie quantità di input e output utilizzando una relazione matematica.

Riso. 3.10. Classificazione generale dei modelli (a), nonché modelli a scala reale (b), fisici (c), matematici reali (d), visivi (e), simbolici (f), matematici ideali (g)

I modelli geometrici riflettono solo la struttura dell'oggetto e sono di grande importanza in relazione al design sistemi elettronici. Questi modelli, costruiti sulla base della similitudine geometrica, consentono di risolvere problemi legati al posizionamento ottimale degli oggetti, disponendo tracce su circuiti stampati e circuiti integrati.

I modelli di segni sono una registrazione ordinata di simboli (segni). I segni interagiscono tra loro non secondo le leggi fisiche, ma secondo le regole stabilite in un particolare campo della conoscenza o, come si suol dire, secondo la natura dei segni. I modelli iconici sono ormai estremamente diffusi. Quasi ogni campo della conoscenza - linguistica, programmazione, elettronica e molti altri - ha sviluppato il proprio simbolismo per descrivere i modelli. Questi sono programmi, schemi, ecc.

I modelli mentali sono un prodotto della percezione sensoriale e dell'attività del pensiero astratto. I modelli mentali includono il noto modello planetario dell'atomo di Bohr. Per trasmettere questi modelli, vengono presentati sotto forma di descrizione verbale o simbolica, ovvero i modelli mentali possono essere registrati sotto forma di vari sistemi di segni.

I modelli analitici consentono di ottenere dipendenze esplicite delle quantità richieste dai parametri e dalle variabili che caratterizzano il fenomeno studiato. La soluzione analitica di una relazione matematica è una descrizione generalizzata dell'oggetto

I modelli numerici sono caratterizzati dal fatto che i valori delle quantità richieste possono essere ottenuti applicando l'appropriato metodi numerici. Tutti i metodi numerici consentono di ottenere solo informazioni private sulle quantità desiderate, poiché per la loro implementazione richiedono la specificazione di valori specifici di tutti i parametri inclusi nella relazione matematica. Per ogni valore desiderato è necessario trasformare il modello matematico a modo suo e applicare la corrispondente procedura numerica.

I modelli di simulazione sono implementati su un computer sotto forma di algoritmi di modellazione (programmi) che consentono di calcolare i valori delle variabili di output e determinare il nuovo stato in cui passa il modello per determinati valori di variabili di input, parametri e stato iniziale del modello. La modellazione di simulazione, a differenza della modellazione numerica, è caratterizzata dall'indipendenza dell'algoritmo di modellazione dal tipo di informazioni che devono essere ottenute come risultato della modellazione. Un modello matematico rappresentato in una forma matematica astratta attraverso variabili, parametri, equazioni e disuguaglianze è abbastanza universale, flessibile ed efficace.

Il MM comprende i seguenti elementi: variabili (dipendenti e indipendenti); costanti o parametri fissi (che determinano il grado di connessione tra le variabili); espressioni matematiche (equazioni e/o disuguaglianze che combinano variabili e parametri); espressioni logiche (che definiscono varie restrizioni nel modello matematico); informazioni (alfanumeriche e grafiche).

I modelli matematici sono classificati secondo i seguenti criteri: 1) comportamento dei modelli nel tempo; 2) tipologie di informazioni di input, parametri ed espressioni che compongono il modello matematico; 3) la struttura del modello matematico; 4) il tipo di apparato matematico utilizzato.

Per quanto riguarda i circuiti integrati si può proporre la seguente classificazione.

A seconda della natura delle proprietà del circuito integrato, i modelli matematici si dividono in funzionali e strutturali.

I modelli funzionali riflettono i processi di funzionamento di un oggetto; questi modelli hanno la forma di sistemi di equazioni.

Quando si risolvono una serie di problemi di progettazione, vengono ampiamente utilizzati modelli matematici che riflettono solo le proprietà strutturali dell'oggetto progettato; tali modelli strutturali possono assumere la forma di matrici, grafici, liste di vettori ed espressi accordo reciproco elementi nello spazio, presenza di una connessione diretta sotto forma di conduttori, ecc. I modelli strutturali vengono utilizzati nel caso in cui i problemi di sintesi strutturale possano essere formalizzati e risolti, astraendo dalle peculiarità dei processi fisici nell'oggetto.

Riso. 3.11. Modello strutturale dell'inverter = it. D.)

Secondo il metodo di ottenimento, i modelli matematici funzionali sono divisi in teorici e formali.

I modelli teorici si ottengono sulla base dello studio delle leggi fisiche e la struttura delle equazioni e dei parametri dei modelli hanno una chiara base fisica.

I modelli formali si ottengono considerando le proprietà di un oggetto reale come una scatola nera.

Approccio teorico ci consente di ottenere modelli più universali validi per varie modalità operative e per ampi intervalli di variazioni dei parametri esterni.

Alcune caratteristiche della classificazione sono associate alle caratteristiche delle equazioni che compongono il modello matematico; A seconda della linearità o non linearità delle equazioni, i modelli si dividono in lineari e non lineari.

A seconda della potenza dell'insieme di valori variabili, i modelli sono divisi in continui e discreti (Fig. 3.12).

Nei modelli continui, la variabile che appare in essi è continua o continua a tratti.

Le variabili nei modelli discreti sono quantità discrete, il cui insieme è numerabile.

Riso. 3.12. Variabili continue e discrete

In base alla forma di connessione tra parametri di output, interni ed esterni, si distinguono modelli sotto forma di sistemi di equazioni e modelli sotto forma di dipendenza esplicita dei parametri di output da parametri interni ed esterni. I primi sono chiamati algoritmici e il secondo analitici.

A seconda che le equazioni del modello tengano conto dell'inerzia dei processi nell'oggetto di progettazione, si distinguono i modelli dinamici e statici.

Il concetto di modello e simulazione.

Modello in senso lato- si tratta di qualsiasi immagine, analogo mentale o immagine consolidata, descrizione, diagramma, disegno, mappa, ecc. di qualsiasi volume, processo o fenomeno, utilizzato come suo sostituto o rappresentante. L'oggetto, il processo o il fenomeno stesso è chiamato l'originale di questo modello.

Modellazione - questo è lo studio di qualsiasi oggetto o sistema di oggetti costruendo e studiando i loro modelli. Questo è l'uso di modelli per determinare o chiarire le caratteristiche e razionalizzare i metodi di costruzione di oggetti di nuova costruzione.

Qualsiasi metodo di ricerca scientifica si basa sull'idea di modellazione, mentre i metodi teorici utilizzano vari tipi di modelli simbolici e astratti e i metodi sperimentali utilizzano modelli soggettivi.

Durante la ricerca, un fenomeno reale complesso viene sostituito da una copia o diagramma semplificato; a volte tale copia serve solo a ricordare e riconoscere il fenomeno desiderato al prossimo incontro. A volte il diagramma costruito riflette alcune caratteristiche essenziali, permette di comprendere il meccanismo di un fenomeno e permette di prevederne il cambiamento. Modelli diversi possono corrispondere allo stesso fenomeno.

Il compito del ricercatore è prevedere la natura del fenomeno e il corso del processo.

A volte capita che un oggetto sia disponibile, ma gli esperimenti con esso siano costosi o portino a gravi conseguenze ambientali. La conoscenza di tali processi si ottiene utilizzando modelli.

Un punto importante è che la natura stessa della scienza implica lo studio non di un fenomeno specifico, ma di un’ampia classe di fenomeni correlati. Presuppone la necessità di formulare alcune affermazioni categoriche generali, che sono chiamate leggi. Naturalmente con una tale formulazione molti dettagli vengono trascurati. Per identificare più chiaramente un modello, cercano consapevolmente il grossolano, l'idealizzazione e l'abbozzo, cioè studiano non il fenomeno stesso, ma una sua copia o modello più o meno accurato. Tutte le leggi sono leggi sui modelli, e quindi non sorprende che nel tempo alcune teorie scientifiche sono considerati non idonei. Ciò non porta al collasso della scienza, poiché un modello è stato sostituito da un altro più moderno.

Un ruolo speciale nella scienza è svolto dai modelli matematici, dai materiali da costruzione e dagli strumenti di questi modelli: concetti matematici. Si sono accumulati e migliorati nel corso di migliaia di anni. La matematica moderna fornisce mezzi di ricerca estremamente potenti e universali. Quasi ogni concetto matematico, ogni oggetto matematico, a partire dal concetto di numero, è un modello matematico. Quando si costruisce un modello matematico dell'oggetto o del fenomeno studiato, vengono identificati quelli delle sue caratteristiche, caratteristiche e dettagli che, da un lato, contengono informazioni più o meno complete sull'oggetto e, dall'altro, consentono la formalizzazione matematica. La formalizzazione matematica significa che le caratteristiche e i dettagli di un oggetto possono essere associati ad opportuni concetti matematici adeguati: numeri, funzioni, matrici e così via. Quindi le connessioni e le relazioni scoperte e assunte nell'oggetto in studio tra le sue singole parti e componenti possono essere scritte utilizzando relazioni matematiche: uguaglianze, disuguaglianze, equazioni. Il risultato è una descrizione matematica del processo o fenomeno studiato, cioè il suo modello matematico.

Lo studio di un modello matematico è sempre associato a determinate regole di azione sugli oggetti studiati. Queste regole riflettono le relazioni tra cause ed effetti.

La costruzione di un modello matematico è la fase centrale della ricerca o della progettazione di qualsiasi sistema. Tutte le successive analisi dell'oggetto dipendono dalla qualità del modello. Costruire un modello non è una procedura formale. Dipende fortemente dal ricercatore, dalla sua esperienza e dal suo gusto, e si basa sempre su un determinato materiale sperimentale. Il modello deve essere sufficientemente accurato, adeguato e comodo da usare.

Modellazione matematica.

Classificazione dei modelli matematici.

I modelli matematici possono esserlodeterministico E Stocastico .

Determinato modello e sono modelli in cui viene stabilita una corrispondenza biunivoca tra variabili che descrivono un oggetto o fenomeno.

Questo approccio si basa sulla conoscenza del meccanismo di funzionamento degli oggetti. Spesso l'oggetto da modellare è complesso e decifrarne il meccanismo può richiedere molto tempo e lavoro. In questo caso si procede nel seguente modo: si effettuano esperimenti sull'originale, si elaborano i risultati e, senza approfondire il meccanismo e la teoria dell'oggetto simulato, si utilizzano metodi statistica matematica e le teorie della probabilità, stabiliscono connessioni tra variabili che descrivono un oggetto. In questo caso ottieniStocastico modello . IN Stocastico modello, la relazione tra le variabili è casuale, a volte è fondamentale. L'influenza di un numero enorme di fattori, la loro combinazione porta a un insieme casuale di variabili che descrivono un oggetto o fenomeno. Secondo la natura delle modalità, il modello èstatistico E dinamico.

Statisticomodelloinclude una descrizione delle relazioni tra le principali variabili dell'oggetto modellato in uno stato stazionario senza tenere conto delle variazioni dei parametri nel tempo.

IN dinamicoModellivengono descritte le relazioni tra le principali variabili dell'oggetto modellato durante la transizione da una modalità all'altra.

Ci sono modelli discreto E continuo, E misto tipo. IN continuo le variabili assumono valori da un certo intervallo, indiscretole variabili assumono valori isolati.

Modelli lineari- tutte le funzioni e le relazioni che descrivono linearmente il modello dipendono dalle variabili enon lineareAltrimenti.

Modellazione matematica.

Requisiti ,p presentato ai modelli.

1. Versatilità- caratterizza la completezza della rappresentazione del modello delle proprietà studiate di un oggetto reale.

1. L'adeguatezza è la capacità di riflettere le proprietà desiderate di un oggetto con un errore non superiore a quello dato.
2. L'accuratezza è valutata dal grado di accordo tra i valori delle caratteristiche di un oggetto reale e i valori di queste caratteristiche ottenuti utilizzando i modelli.
3. Economico - determinato dal dispendio di risorse di memoria del computer e dal tempo per la sua implementazione e funzionamento.

Modellazione matematica.

Principali fasi della modellazione.

1. Dichiarazione del problema.

Determinare lo scopo dell'analisi e il modo per raggiungerlo e sviluppare un approccio generale al problema in studio. In questa fase è richiesta una profonda comprensione dell'essenza del compito. A volte, impostare correttamente un problema non è meno difficile che risolverlo. La messa in scena non è un processo formale; non esistono regole generali.

2. Studio dei fondamenti teorici e raccolta di informazioni sull'oggetto originale.

In questa fase viene selezionata o sviluppata una teoria adatta. Se non è presente, si stabiliscono relazioni di causa-effetto tra le variabili che descrivono l'oggetto. Vengono determinati i dati di input e output e vengono fatte ipotesi semplificatrici.

3. Formalizzazione.

Consiste nello scegliere un sistema di simboli e nel loro utilizzo per scrivere le relazioni tra i componenti di un oggetto sotto forma di espressioni matematiche. Viene stabilita la classe di problemi in cui classificare il modello matematico dell'oggetto risultante. I valori di alcuni parametri potrebbero non essere ancora specificati in questa fase.

4. Scelta di un metodo di soluzione.

In questa fase, vengono stabiliti i parametri finali dei modelli tenendo conto delle condizioni operative dell'oggetto. Per il problema matematico risultante viene selezionato un metodo di soluzione o viene sviluppato un metodo speciale. Quando si sceglie un metodo, vengono prese in considerazione le conoscenze dell'utente, le sue preferenze e le preferenze dello sviluppatore.

5. Attuazione del modello.

Dopo aver sviluppato un algoritmo, viene scritto un programma, di cui viene eseguito il debug, testato e si ottiene la soluzione al problema desiderato.

6. Analisi delle informazioni ricevute.

Vengono confrontate le soluzioni ottenute e quelle attese e viene monitorato l'errore di modellazione.

7. Verifica dell'adeguatezza dell'oggetto reale.

I risultati ottenuti dal modello vengono confrontatio con le informazioni disponibili sull'oggetto, oppure viene effettuato un esperimento e i suoi risultati vengono confrontati con quelli calcolati.

Il processo di modellazione è iterativo. In caso di risultati insoddisfacenti delle tappe 6. O 7. si ritorna a una delle fasi precedenti, che avrebbe potuto portare allo sviluppo di un modello infruttuoso. Questa fase e tutte le successive vengono perfezionate e tale perfezionamento del modello avviene fino all'ottenimento di risultati accettabili.

Un modello matematico è una descrizione approssimativa di qualsiasi classe di fenomeni o oggetti del mondo reale nel linguaggio della matematica. Lo scopo principale della modellazione è esplorare questi oggetti e prevedere i risultati delle osservazioni future. Tuttavia, la modellazione è anche un metodo per comprendere il mondo che ci circonda e consentire di controllarlo.

La modellazione matematica e l'esperimento informatico associato sono indispensabili nei casi in cui un esperimento su vasta scala è impossibile o difficile per un motivo o per l'altro. Ad esempio, è impossibile organizzare un esperimento naturale nella storia per verificare "cosa sarebbe successo se...". È impossibile verificare la correttezza dell'una o dell'altra teoria cosmologica. È possibile, ma difficilmente ragionevole, sperimentare la diffusione di una malattia, come la peste, o effettuare un’esplosione nucleare per studiarne le conseguenze. Tutto questo però può essere fatto al computer costruendo prima modelli matematici dei fenomeni studiati.

1.1.2 2. Principali fasi della modellazione matematica

1) Costruzione del modello. In questa fase viene specificato un oggetto "non matematico": un fenomeno naturale, un progetto, un piano economico, un processo di produzione, ecc. In questo caso, di norma, è difficile una chiara descrizione della situazione. Innanzitutto vengono individuate le caratteristiche principali del fenomeno e le connessioni tra gli stessi a livello qualitativo. Quindi le dipendenze qualitative trovate vengono formulate nel linguaggio della matematica, cioè viene costruito un modello matematico. Questa è la fase più difficile della modellazione.

2) Risolvere il problema matematico a cui conduce il modello. In questa fase, viene prestata molta attenzione allo sviluppo di algoritmi e metodi numerici per risolvere il problema su un computer, con l'aiuto dei quali è possibile trovare il risultato con la precisione richiesta ed entro un tempo accettabile.

3) Interpretazione delle conseguenze ottenute dal modello matematico.Le conseguenze derivate dal modello nel linguaggio della matematica vengono interpretate nel linguaggio accettato nel settore.

4) Verifica dell'adeguatezza del modello.In questa fase si determina se i risultati sperimentali concordano con le conseguenze teoriche del modello entro una certa precisione.

5) Modifica del modello.In questa fase, o il modello viene complicato per renderlo più adeguato alla realtà, oppure viene semplificato per ottenere una soluzione praticamente accettabile.

1.1.3 3. Classificazione dei modelli

I modelli possono essere classificati secondo diversi criteri. Ad esempio, a seconda della natura dei problemi da risolvere, i modelli possono essere suddivisi in funzionali e strutturali. Nel primo caso, tutte le quantità che caratterizzano un fenomeno o un oggetto sono espresse quantitativamente. Inoltre, alcune di esse sono considerate variabili indipendenti, mentre altre sono considerate funzioni di queste quantità. Un modello matematico è solitamente un sistema di equazioni di vario tipo (differenziali, algebriche, ecc.) che stabiliscono relazioni quantitative tra le quantità considerate. Nel secondo caso, il modello caratterizza la struttura di un oggetto complesso costituito da singole parti, tra le quali esistono alcune connessioni. In genere, queste connessioni non sono quantificabili. Per costruire tali modelli è conveniente utilizzare la teoria dei grafi. Un grafico è un oggetto matematico che rappresenta un insieme di punti (vertici) su un piano o nello spazio, alcuni dei quali sono collegati da linee (bordi).

In base alla natura dei dati iniziali e dei risultati, i modelli di previsione possono essere suddivisi in deterministici e probabilistico-statistici. I modelli del primo tipo fanno previsioni certe e inequivocabili. I modelli del secondo tipo sono basati su informazioni statistiche e le previsioni ottenute con il loro aiuto sono di natura probabilistica.

MODELLAZIONE MATEMATICA E MODELLI GENERALI DI COMPUTERIZZAZIONE O SIMULAZIONE

Ora, quando nel paese si sta verificando un'informatizzazione quasi universale, sentiamo dichiarazioni di specialisti di varie professioni: "Se introduciamo un computer, tutti i problemi saranno risolti immediatamente". Questo punto di vista è completamente errato: i computer stessi, senza modelli matematici di determinati processi, non saranno in grado di fare nulla e si può solo sognare un'informatizzazione universale.

A sostegno di quanto sopra, cercheremo di dimostrare la necessità della modellizzazione, inclusa la modellazione matematica, e di rivelarne i vantaggi nella cognizione e trasformazione umana mondo esterno, identifichiamo le carenze esistenti e passiamo... alla modellazione di simulazione, ad es. modellazione tramite computer. Ma è tutto in ordine.

Innanzitutto rispondiamo alla domanda: cos'è un modello?

Un modello è un oggetto materiale o rappresentato mentalmente che nel processo di cognizione (studio) sostituisce l'originale, preservando alcune proprietà tipiche importanti per questo studio.

Un modello ben costruito è più accessibile per la ricerca rispetto a un oggetto reale. Ad esempio, esperimenti con l’economia del paese in scopi educativi, non puoi fare a meno di un modello qui.

Riassumendo quanto detto possiamo rispondere alla domanda: a cosa servono i modelli? In modo da

• capire come funziona un oggetto (la sua struttura, proprietà, leggi di sviluppo, interazione con il mondo esterno).
• imparare a gestire un oggetto (processo) e determinare le migliori strategie
• prevedere le conseguenze dell'impatto sull'oggetto.

Cosa c'è di positivo in ogni modello? Ti consente di acquisire nuove conoscenze sull'oggetto, ma, sfortunatamente, è incompleto in un modo o nell'altro.

Modelloformulato nel linguaggio della matematica utilizzando metodi matematici è chiamato modello matematico.

Il punto di partenza per la sua costruzione è solitamente un problema, ad esempio economico. Sia quelli descrittivi che quelli matematici di ottimizzazione sono molto diffusi, caratterizzandone diversi processi economici e fenomeni, ad esempio:

• assegnazione delle risorse
• taglio razionale
• trasporto
• consolidamento delle imprese
• pianificazione della rete.

Come si costruisce un modello matematico?

• Innanzitutto vengono formulati lo scopo e l'oggetto dello studio.
• In secondo luogo, vengono evidenziate le caratteristiche più importanti corrispondenti a questo obiettivo.
• In terzo luogo, le relazioni tra gli elementi del modello sono descritte verbalmente.
• Successivamente, la relazione viene formalizzata.
• Viene effettuato un calcolo utilizzando un modello matematico e la soluzione risultante viene analizzata.

Utilizzando questo algoritmo, puoi risolvere qualsiasi problema di ottimizzazione, inclusi i multicriteri, ad es. uno in cui non uno, ma diversi obiettivi vengono perseguiti, compresi quelli contraddittori.

Facciamo un esempio. Teoria fare la fila– il problema delle code. È necessario bilanciare due fattori: il costo della manutenzione dei dispositivi di servizio e il costo della fila. Dopo aver costruito una descrizione formale del modello, i calcoli vengono effettuati utilizzando metodi analitici e computazionali. Se il modello è buono, le risposte trovate con il suo aiuto sono adeguate al sistema di modellazione; se è cattivo, allora deve essere migliorato e sostituito. Il criterio di adeguatezza è la pratica.

I modelli di ottimizzazione, compresi quelli multicriterio, hanno una proprietà comune: è noto un obiettivo (o più obiettivi), per raggiungere il quale spesso si ha a che fare con sistemi complessi, dove non si tratta tanto di risolvere problemi di ottimizzazione, ma di studiare e prevedere stati a seconda delle strategie di gestione selezionate. E qui ci troviamo di fronte alle difficoltà di attuare il piano precedente. Sono i seguenti:

• un sistema complesso contiene molte connessioni tra gli elementi
• un sistema reale è influenzato da fattori casuali, tenerne conto analiticamente è impossibile
• la possibilità di confrontare l'originale con il modello esiste solo all'inizio e dopo l'utilizzo dell'apparato matematico, perché i risultati intermedi potrebbero non avere analoghi nel sistema reale.

In connessione con le difficoltà elencate che sorgono quando si studiano sistemi complessi, la pratica richiedeva un metodo più flessibile ed è apparso: "Modellazione di simulazione".

In genere, per modello di simulazione si intende un insieme di programmi per computer che descrivono il funzionamento dei singoli blocchi del sistema e le regole di interazione tra loro. Utilizzo variabili casuali rende necessario effettuare ripetuti esperimenti con il sistema di simulazione (su un computer) e successivi analisi statistica risultati ottenuti. Un esempio molto comune di utilizzo di modelli di simulazione è la risoluzione del problema delle code utilizzando il metodo MONTE CARLO.

Pertanto, lavorare con un sistema di simulazione è un esperimento condotto su un computer. Quali sono i vantaggi?

– Maggiore vicinanza al sistema reale rispetto ai modelli matematici;

–Il principio del blocco consente di verificare ciascun blocco prima della sua inclusione nel sistema complessivo;

–L’uso di dipendenze di natura più complessa che non possono essere descritte da semplici relazioni matematiche.

I vantaggi elencati determinano gli svantaggi

– costruire un modello di simulazione richiede più tempo, è più difficile e più costoso;

– per lavorare con il sistema di simulazione è necessario disporre di un computer adatto alla classe;

– l’interazione tra l’utente e il modello di simulazione (interfaccia) non dovrebbe essere troppo complessa, comoda e ben conosciuta;

-la costruzione di un modello di simulazione richiede uno studio più approfondito del processo reale rispetto alla modellazione matematica.

Sorge la domanda: la modellazione di simulazione può sostituire i metodi di ottimizzazione? No, ma li integra convenientemente. Un modello di simulazione è un programma che implementa un determinato algoritmo, per ottimizzare il controllo del quale viene prima risolto un problema di ottimizzazione.

Quindi, né un computer, né un modello matematico, né un algoritmo per il suo studio da soli possono risolvere un problema sufficientemente complesso. Ma insieme rappresentano la forza che ci permette di comprendere il mondo che ci circonda e di gestirlo nell'interesse dell'uomo.

1.2 Classificazione dei modelli

1.2.1 Classificazione tenendo conto del fattore tempo e dell'area di utilizzo (Makarova N.A.) Modello statico -è come un'istantanea di informazioni su un oggetto (il risultato di un sondaggio) Dinamico il modello-permette vedere i cambiamenti di un oggetto nel tempo (Scheda in clinica) I modelli possono anche essere classificati in base a a quale area del sapere appartengono?(biologico, storico, ambientale, ecc.) Ritorna su

1.2.2 Classificazione per area di utilizzo (Makarova N.A.) Educativo- visivo manuali, simulatori oh, ululanti programmi Esperto modelli ridotti copie (auto in galleria del vento) Scientifico e tecnico sincrofasotrone, stand per testare apparecchiature elettroniche Gioco- economico, sport, giochi aziendali Imitazione- Non Riflettono semplicemente la realtà, ma la imitano (i farmaci vengono testati sui topi, gli esperimenti vengono condotti nelle scuole, ecc. Questo metodo di modellazione è chiamato tentativi ed errori Ritorna su

1.2.3 Classificazione secondo il metodo di presentazione Makarov N.A.) Materiale Modelli- Altrimenti può essere chiamato soggetto. Percepiscono forme geometriche e Proprietà fisiche originale e avere sempre una vera incarnazione Informazione i modelli non sono ammessi toccare o vedere. Si basano solo sulle informazioni .E informativo il modello è un insieme di informazioni che caratterizza le proprietà e gli stati di un oggetto, processo, fenomeno, nonché la relazione con il mondo esterno. Modello verbale - modello informativo in forma mentale o parlata. Iconico informazioni sul modello modello espresso da segni ,cioè.. attraverso qualsiasi linguaggio formale. Modello computerizzato - M Un modello implementato mediante un ambiente software.

1.2.4 Classificazione dei modelli riportata nel libro "Earth Informatics" (Gein A.G.)) "...ecco un compito apparentemente semplice: quanto tempo ci vorrà per attraversare il deserto del Karakum? La risposta è ovviamente dipende dalla modalità di trasporto. Se continuare a viaggiare cammelli, poi ci vorrà un trimestre, un altro se vai in macchina, un terzo se voli in aereo. E, soprattutto, per pianificare un viaggio sono necessari modelli diversi. Per il primo caso il modello richiesto si trova nelle memorie famosi esploratori deserti: dopotutto qui non si può fare a meno delle informazioni sulle oasi e sui sentieri dei cammelli. Nel secondo caso le informazioni contenute nell'atlante stradale sono insostituibili. Nel terzo, puoi utilizzare l'orario dei voli. Questi tre modelli differiscono - memorie, atlante e programma - e la natura della presentazione delle informazioni. Nel primo caso il modello è rappresentato da una descrizione verbale delle informazioni (modello descrittivo), nel secondo - come se una fotografia dalla vita (modello in scala reale), nel terzo - una tabella contenente simboli: orari di partenza e di arrivo, giorno della settimana, prezzo del biglietto (il cosiddetto modello dei segni) Tuttavia, questa divisione è molto arbitraria: nelle memorie puoi trovare mappe e diagrammi (elementi di un modello in scala reale), sulle mappe ci sono simboli (elementi di un modello simbolico), nel programma c'è una decodifica di simboli (elementi di un modello descrittivo). Quindi questa classificazione dei modelli... secondo noi è improduttiva" Secondo me, questo frammento dimostra lo stile di insegnamento descrittivo (linguaggio e stile di presentazione meravigliosi) e, per così dire, socratico comune a tutti i libri di Hein (tutti pensano che sia così. Sono completamente d'accordo con te, ma se guardi da vicino...). In tali libri è abbastanza difficile trovare un sistema di definizioni chiaro (non è previsto dall'autore). Nel libro di testo curato da N.A. Makarova dimostra un approccio diverso: le definizioni dei concetti sono chiaramente evidenziate e alquanto statiche.

1.2.5 Classificazione dei modelli fornita nel manuale da A.I. Bochkin Esiste un numero insolitamente elevato di metodi di classificazione .P porta solo alcuni dei motivi più noti e segni: discrezione E continuità, matrice e scalari, modelli statici e dinamici, modelli analitici e informativi, modelli soggettivi e figurativi-segnici, a grande e non scala... Ogni segno dà un certo conoscenza delle proprietà sia del modello che della realtà simulata. Il segno può servire come suggerimento sul metodo della modellazione completata o imminente. Discretezza e continuità Discrezione - una caratteristica dei modelli di computer .Dopotutto un computer può trovarsi in un numero finito, anche se molto elevato, di stati. Pertanto, anche se l'oggetto è continuo (tempo), nel modello cambierà a salti. Potrebbe essere preso in considerazione continuità un segno di modelli di tipo non informatico. Possibilità e determinismo . Incertezza, incidente inizialmente contrario mondo informatico: L'algoritmo lanciato nuovamente dovrebbe ripetersi e dare gli stessi risultati. Ma per simulare processi casuali vengono utilizzati sensori di numeri pseudocasuali. L'introduzione della casualità nei problemi deterministici porta a modelli potenti e interessanti (Calcolo dell'area mediante lancio casuale). Matrixità - scalarità. Disponibilità dei parametri matrice modello indica la sua maggiore complessità e, possibilmente, accuratezza rispetto a scalare. Ad esempio, se non identifichiamo tutte le fasce di età della popolazione del Paese, considerando la sua variazione nel suo complesso, otterremo un modello scalare (ad esempio il modello di Malthus); se lo isoliamo, otterremo una matrice (sesso -età). È stato il modello a matrice che ha permesso di spiegare le fluttuazioni della fertilità nel dopoguerra. Dinamico statico. Queste proprietà del modello sono solitamente predeterminate dalle proprietà dell'oggetto reale. Qui non c'è libertà di scelta. Appena statico il modello potrebbe essere un passo avanti dinamico, oppure alcune variabili del modello possono per ora considerarsi invariate. Ad esempio, un satellite si muove attorno alla Terra, il suo movimento è influenzato dalla Luna. Se consideriamo la Luna ferma durante la rivoluzione del satellite, otteniamo un modello più semplice. Modelli analitici. Descrizione dei processi analiticamente, formule ed equazioni. Ma quando si tenta di costruire un grafico, è più conveniente avere tabelle di valori e argomenti delle funzioni. Modelli di simulazione. Imitazione i modelli sono apparsi molto tempo fa sotto forma di copie in scala di navi, ponti, ecc. sono apparsi molto tempo fa, ma recentemente vengono considerati in relazione ai computer. Sapere quanto connesso elementi del modello in modo analitico e logico, è più facile non risolvere un sistema di determinate relazioni ed equazioni, ma visualizzare il sistema reale nella memoria del computer, tenendo conto delle connessioni tra gli elementi della memoria. Modelli informativi. Informazione I modelli vengono solitamente contrapposti a quelli matematici, o meglio algoritmici. Qui è importante il rapporto tra volume di dati e algoritmi. Se ci sono più dati o sono più importanti, abbiamo un modello informativo, altrimenti - matematico. Modelli di soggetto. Questo è principalmente un modello per bambini: un giocattolo. Modelli iconici. Questo è principalmente un modello nella mente umana: figurativo, se predominano le immagini grafiche, e iconico, se sono presenti più parole e/o numeri. I modelli di segni figurativi sono costruiti su un computer. Modelli in scala. A su larga scala i modelli sono quelli di soggetti o modelli figurati che ripetono la forma di un oggetto (mappa).

È possibile tracciare la dinamica dello sviluppo di un oggetto, l'essenza interna delle relazioni dei suoi elementi e i vari stati nel processo di progettazione solo con l'aiuto di modelli che utilizzano il principio dell'analogia dinamica, cioè con l'aiuto di metodi matematici Modelli.

Modello matematicoè un sistema di relazioni matematiche che descrivono il processo o il fenomeno studiato. Per compilare un modello matematico, puoi utilizzare qualsiasi mezzo matematico: teoria degli insiemi, logica matematica, linguaggio delle equazioni differenziali o integrali. Viene chiamato il processo di compilazione di un modello matematico modellazione matematica. Come altri tipi di modelli, un modello matematico rappresenta un problema in forma semplificata e descrive solo le proprietà e i modelli più importanti per un determinato oggetto o processo. Il modello matematico consente la multilateralità analisi quantitativa. Modificando i dati iniziali, i criteri, le restrizioni, ogni volta è possibile ottenere una soluzione ottimale in determinate condizioni e determinare ulteriore direzione ricerca.

La creazione di modelli matematici richiede da parte dei loro sviluppatori, oltre alla conoscenza dei metodi logici formali, un'analisi approfondita dell'oggetto studiato al fine di formulare rigorosamente le idee e le regole principali, nonché di identificare una quantità sufficiente di fatti affidabili, dati statistici e normativi.

Va notato che tutti i modelli matematici attualmente utilizzati si riferiscono a prescrittivo. Lo scopo dello sviluppo di modelli prescrittivi è quello di indicare la direzione per trovare una soluzione, mentre lo scopo dello sviluppo descrivendo i modelli riflettono i reali processi di pensiero umano.

Esiste un punto di vista abbastanza diffuso secondo cui con l'aiuto della matematica è possibile ottenere solo alcuni dati numerici sull'oggetto o sul processo studiato. “Naturalmente molte discipline matematiche mirano a ottenere un risultato numerico finale. Ma ridurre i metodi matematici al solo problema di ottenere un numero significa impoverire all’infinito la matematica, impoverire la possibilità di quell’arma potente che oggi è nelle mani dei ricercatori…

Riflette un modello matematico scritto in uno o in un altro linguaggio privato (ad esempio, equazioni differenziali). determinate proprietà processi fisici reali. Come risultato dell'analisi dei modelli matematici, otteniamo, prima di tutto, idee qualitative sulle caratteristiche dei processi in studio, stabiliamo modelli che determinano la serie dinamica di stati successivi e otteniamo l'opportunità di prevedere il corso del processo e determinarne le caratteristiche quantitative”.

I modelli matematici sono utilizzati in molti metodi di modellazione ben noti. Tra questi ci sono lo sviluppo di modelli che descrivono lo stato statico e dinamico di un oggetto, modelli di ottimizzazione.

Un esempio di modelli matematici che descrivono lo stato statico e dinamico di un oggetto possono essere vari metodi di calcoli strutturali tradizionali. Il processo di calcolo, presentato sotto forma di una sequenza di operazioni matematiche (algoritmo), ci consente di dire che è stato compilato un modello matematico per il calcolo di una determinata struttura.

IN ottimizzazione i modelli contengono tre elementi:

Funzione obiettivo che riflette il criterio di qualità accettato;

Parametri regolabili;

Restrizioni imposte.

Tutti questi elementi devono essere descritti matematicamente sotto forma di equazioni, condizioni logiche, ecc. Risolvere un problema di ottimizzazione è il processo per trovare il valore minimo (massimo) della funzione obiettivo rispettando le restrizioni specificate. Il risultato della soluzione è considerato ottimale se la funzione obiettivo raggiunge il suo valore estremo.

Un esempio di modello di ottimizzazione è una descrizione matematica del criterio della “lunghezza della connessione” nel metodo di progettazione alternativa degli edifici industriali.

La funzione obiettivo riflette la lunghezza totale ponderata di tutte le connessioni funzionali, che dovrebbe tendere al minimo:

dove è il valore del peso della connessione dell'elemento con ;

– lunghezza del collegamento tra gli elementi e;

– il numero totale di elementi posizionati.

Poiché le aree degli elementi posizionati dei locali sono uguali in tutte le varianti della soluzione progettuale, le varianti differiscono l'una dall'altra solo per le diverse distanze tra gli elementi e la loro posizione relativa l'una rispetto all'altra. Di conseguenza, i parametri modificabili in questo caso sono le coordinate degli elementi posizionati sulle planimetrie.

Restrizioni imposte sulla posizione degli elementi (in un punto prefissato sulla pianta, sul perimetro esterno, uno sopra l'altro, ecc.) e sulla lunghezza dei collegamenti (le lunghezze dei collegamenti tra gli elementi sono rigidamente specificate, minimo o vengono specificati i limiti massimi dei valori, i limiti del cambiamento sono valori specificati) sono scritti formalmente.

Un'opzione è considerata ottimale (secondo questo criterio) se il valore della funzione obiettivo calcolata per tale opzione è minimo.

Una varietà di modelli matematici – modello economico-matematico– rappresenta un modello di comunicazione caratteristiche economiche e parametri di sistema.

Un esempio di modelli economico-matematici è la descrizione matematica dei criteri di costo nel suddetto metodo di progettazione alternativa degli edifici industriali. I modelli matematici ottenuti sulla base dell'uso di metodi statistici matematici riflettono la dipendenza del costo del telaio, delle fondazioni, dei lavori in terra degli edifici industriali a un piano e multipiano e della loro altezza, campata e inclinazione delle strutture portanti.

Basandosi sul metodo di tenere conto dell'influenza dei fattori casuali sul processo decisionale, i modelli matematici sono suddivisi in deterministici e probabilistici. Deterministico il modello non tiene conto dell'influenza di fattori casuali nel processo di funzionamento del sistema e si basa su una rappresentazione analitica dei modelli di funzionamento. Probabilistico (stocastico) il modello tiene conto dell'influenza di fattori casuali durante il funzionamento del sistema e si basa su dati statistici, vale a dire valutazione quantitativa dei fenomeni di massa, consentendo di tener conto della loro non linearità, dinamica, disturbi casuali descritti da diverse leggi di distribuzione.

Utilizzando gli esempi sopra riportati, possiamo dire che il modello matematico che descrive il criterio “lunghezza delle connessioni” si riferisce a modelli deterministici, e i modelli matematici che descrivono il gruppo di criteri “costi” si riferiscono a modelli probabilistici.

Modelli linguistici, semantici e informativi

I modelli matematici presentano evidenti vantaggi perché la quantificazione degli aspetti di un problema fornisce un quadro chiaro delle priorità degli obiettivi. È importante che uno specialista possa sempre giustificare l'adozione di una particolare decisione presentando i dati numerici rilevanti. Tuttavia, la descrizione matematica completa attività del progetto impossibile, quindi la maggior parte dei problemi risolti nella fase iniziale della progettazione architettonica e costruttiva si riferiscono a poco strutturato.

Una delle caratteristiche dei problemi semistrutturati è la descrizione verbale dei criteri utilizzati in essi. Introduzione di criteri descritti in linguaggio naturale (tali criteri sono chiamati linguistico), consente di utilizzare metodi meno complessi per trovare soluzioni progettuali ottimali. Dati tali criteri, il progettista prende una decisione sulla base di espressioni di obiettivi familiari e indiscutibili.

Una descrizione significativa di tutti gli aspetti del problema introduce la sistematizzazione nel processo di risoluzione, da un lato, e dall'altro facilita notevolmente il lavoro degli specialisti che, senza studiare i rami rilevanti della matematica, possono risolvere di più i loro problemi professionali razionalmente. Nella fig. 5.2 è dato modello linguistico, descrivendo le possibilità di creare condizioni per la ventilazione naturale in varie opzioni di layout per una panetteria.

Altri vantaggi derivanti dalle descrizioni significative dei problemi includono:

La capacità di descrivere tutti i criteri che determinano l'efficacia di una soluzione progettuale. Allo stesso tempo, è importante che nella descrizione possano essere introdotti concetti complessi e che il campo visivo dello specialista includa, oltre ai fattori quantitativi e misurabili, anche quelli qualitativi, non misurabili. Pertanto, al momento del processo decisionale, verranno utilizzate tutte le informazioni soggettive e oggettive;

Riso. 5.2 Descrizione del contenuto del criterio “ventilazione” sotto forma di modello linguistico

La capacità di valutare in modo inequivocabile il grado di raggiungimento dell'obiettivo nelle opzioni per questo criterio sulla base delle formulazioni accettate dagli specialisti, che garantisce l'affidabilità delle informazioni ricevute;

La capacità di tenere conto dell'incertezza associata alla conoscenza incompleta di tutte le conseguenze delle decisioni prese, nonché delle informazioni predittive.

I modelli che utilizzano il linguaggio naturale per descrivere l'oggetto di studio includono anche modelli semantici.

Modello semantico- esiste una tale rappresentazione di un oggetto che riflette il grado di interconnessione (vicinanza) tra i vari componenti, aspetti, proprietà dell'oggetto. Interconnessione non significa una disposizione spaziale relativa, ma una connessione di significato.

Pertanto, in senso semantico, il rapporto tra il coefficiente di illuminazione naturale e l'area luminosa delle recinzioni trasparenti sarà presentato come più stretto del rapporto tra le aperture delle finestre e le sezioni cieche adiacenti del muro.

L'insieme delle relazioni di connettività mostra ciò che rappresenta ciascun elemento selezionato in un oggetto e l'oggetto nel suo insieme. Allo stesso tempo, il modello semantico riflette, oltre al grado di connessione dei vari aspetti dell'oggetto, anche il contenuto dei concetti. I modelli elementari sono concetti espressi in linguaggio naturale.

La costruzione dei modelli semantici si basa sui principi secondo cui concetti e connessioni non cambiano durante tutto il tempo di utilizzo del modello; il contenuto di un concetto non si trasferisce a un altro; le connessioni tra due concetti hanno un'interazione uguale e non orientata rispetto ad essi.

Ogni analisi del modello mira a selezionare gli elementi del modello che hanno una certa qualità in comune. Ciò dà motivo di costruire un algoritmo che tenga conto solo delle connessioni dirette. Quando si converte un modello in un grafico non orientato, tra due elementi viene trovato un percorso che traccia il movimento da un elemento all'altro, utilizzando ciascun elemento una sola volta. L'ordine in cui appaiono gli elementi è chiamato sequenza dei due elementi. Le sequenze possono avere lunghezze diverse. Le più brevi sono chiamate relazioni tra elementi. Una sequenza di due elementi esiste anche se esiste una connessione diretta tra loro, ma in questo caso non esiste alcuna relazione.

Come esempio di modello semantico, forniamo una descrizione della disposizione di un appartamento insieme alle connessioni di comunicazione. Il concetto è la premessa di un appartamento. Per collegamento diretto si intende il collegamento funzionale di due locali, ad esempio tramite una porta (vedere Tabella 5.1).

Trasformare il modello nella forma di un grafo non orientato ci permette di ottenere una sequenza di elementi (Fig. 5.3).

In tabella sono riportati esempi della sequenza formata tra l'elemento 2 (bagno) e l'elemento 6 (dispensa). 5.2. Come si può vedere dalla tabella, la sequenza 3 rappresenta la relazione tra questi due elementi.

Tabella 5.1

Descrizione della disposizione dell'appartamento

Riso. 5.3 Descrizione della soluzione progettuale sotto forma di grafico non orientato

Cos'è un modello matematico?

Il concetto di modello matematico.

Un modello matematico è un concetto molto semplice. E molto importante. Sono i modelli matematici che collegano la matematica e la vita reale.

A proposito di in un linguaggio semplice, un modello matematico è una descrizione matematica di qualsiasi situazione.È tutto. Il modello può essere primitivo o super complesso. Qualunque sia la situazione, questo è il modello.)

In qualsiasi (ripeto - in qualsiasi!) nel caso in cui sia necessario contare e calcolare qualcosa, siamo impegnati nella modellazione matematica. Anche se non lo sospettiamo.)

P = 2 CB + 3 CM

Questa voce sarà un modello matematico dei costi dei nostri acquisti. Il modello non tiene conto del colore della confezione, della data di scadenza, della cortesia dei cassieri, ecc. Ecco perché lei modello, non un vero e proprio acquisto. Ma le spese, ad es. ciò che ci serve- lo scopriremo di sicuro. Se il modello è corretto, ovviamente.

Immaginare cosa sia un modello matematico è utile, ma non basta. La cosa più importante è riuscire a costruire questi modelli.

Elaborazione (costruzione) di un modello matematico del problema.

Creare un modello matematico significa tradurre in forma matematica le condizioni del problema. Quelli. trasformare le parole in un'equazione, una formula, una disuguaglianza, ecc. Inoltre, trasformalo in modo che questa matematica corrisponda strettamente testo originale. Altrimenti ci ritroveremo con un modello matematico di qualche altro problema a noi sconosciuto.)

Più specificamente, hai bisogno

Ci sono un numero infinito di compiti nel mondo. Pertanto, offri chiare istruzioni passo passo per elaborare un modello matematico Qualunque i compiti sono impossibili.

Ma ci sono tre punti principali a cui devi prestare attenzione.

1. Qualsiasi problema contiene testo, stranamente.) Questo testo, di regola, contiene informazioni esplicite e aperte. Numeri, valori, ecc.

2. Qualsiasi problema ha informazioni nascoste. Questo è un testo che presuppone ulteriore conoscenza nella tua testa. Non c'è modo senza di loro. Inoltre, le informazioni matematiche sono spesso nascoste dietro parole semplici e... sfuggono all'attenzione.

3. Qualsiasi compito deve essere assegnato connessione dei dati tra loro. Questa connessione può essere data in testo semplice (qualcosa è uguale a qualcosa), oppure può essere nascosta dietro semplici parole. Ma i fatti semplici e chiari vengono spesso trascurati. E il modello non è compilato in alcun modo.

Lo dico subito: per applicare questi tre punti bisogna leggere il problema (e con attenzione!) più volte. La solita cosa.

E ora - esempi.

Cominciamo con un problema semplice:

Petrovich tornò dalla pesca e presentò con orgoglio la sua cattura alla famiglia. Dopo un esame più attento, si è scoperto che 8 pesci provenivano dai mari del nord, il 20% di tutti i pesci provenivano dai mari del sud e nemmeno uno proveniva dal fiume locale dove Petrovich stava pescando. Quanti pesci ha comprato Petrovich nel negozio di frutti di mare?

Tutte queste parole devono essere trasformate in una sorta di equazione. Per fare questo è necessario, ripeto, stabilire una connessione matematica tra tutti i dati del problema.

Dove iniziare? Innanzitutto, estraiamo tutti i dati dall'attività. Iniziamo in ordine:

Prestiamo attenzione al primo punto.

Quale è qui? esplicito informazioni matematiche? 8 pesci e il 20%. Non molto, ma non ne abbiamo bisogno.)

Prestiamo attenzione al secondo punto.

Stanno cercando nascosto informazione. È qui. Queste sono le parole: "Il 20% di tutto il pesce". Qui devi capire cosa sono le percentuali e come vengono calcolate. Altrimenti il ​​problema non può essere risolto. Questo è esattamente ciò che Informazioni aggiuntive, che dovrebbe essere nella tua testa.

C'è anche matematico informazioni completamente invisibili. Questo domanda sul compito: "Quanti pesci ho comprato..." Anche questo è un numero. E senza di esso non si formerà alcun modello. Pertanto, indichiamo questo numero con la lettera "X". Non sappiamo ancora a cosa sia uguale x, ma questa designazione ci sarà molto utile. Maggiori dettagli su cosa prendere per X e come gestirlo sono scritti nella lezione Come risolvere i problemi in matematica? Scriviamolo subito:

x pezzi - numero totale di pesci.

Nel nostro problema, i pesci del sud sono indicati in percentuale. Dobbiamo convertirli in pezzi. Per quello? E allora cosa c'entra? Qualunque occorre elaborare il problema del modello nello stesso tipo di quantità. Pezzi: quindi tutto è a pezzi. Se vengono dati, ad esempio, ore e minuti, traduciamo tutto in una cosa: solo ore o solo minuti. Non importa cosa sia. È importante che tutti i valori erano dello stesso tipo.

Torniamo alla divulgazione delle informazioni. Chi non sa cos'è l'interesse non lo rivelerà mai, sì... Ma chi lo sa dirà subito che qui l'interesse viene da numero totale vengono dati i pesci. E non conosciamo questo numero. Niente funzionerà!

Non per niente scriviamo il numero totale di pesci (in pezzi!) "X" designato. Non sarà possibile contare i pesci del sud a pezzi, ma possiamo scriverli? Come questo:

0,2 pezzi: il numero di pesci dei mari del sud.

Ora abbiamo scaricato tutte le informazioni dall'attività. Sia ovvio che nascosto.

Prestiamo attenzione al terzo punto.

Stanno cercando collegamento matematico tra i dati dell'attività. Questa connessione è così semplice che molti non se ne accorgono... Succede spesso. Qui è utile semplicemente annotare i dati raccolti in una pila e vedere cosa è cosa.

Cosa abbiamo? Mangiare 8 pezzi pesce del nord, 0,2 pezzi- pesce del sud e x pesce- importo totale. È possibile collegare questi dati insieme in qualche modo? Sì facile! Numero totale di pesci equivale la somma del sud e del nord! Beh, chi l'avrebbe mai detto...) Quindi lo scriviamo:

x = 8 + 0,2x

Questa è l'equazione modello matematico del nostro problema.

Si prega di notare che in questo problema Non ci viene chiesto di piegare nulla! Siamo stati noi stessi, fuori di testa, a capire che la somma dei pesci del sud e del nord ci avrebbe dato il numero totale. La cosa è così evidente che passa inosservata. Ma senza queste prove non è possibile creare un modello matematico. Come questo.

Ora puoi usare tutta la potenza della matematica per risolvere questa equazione). Questo è proprio il motivo per cui è stato redatto il modello matematico. Risolviamo questa equazione lineare e otteniamo la risposta.

Risposta: x=10

Creiamo un modello matematico di un altro problema:

Chiesero a Petrovich: "Hai molti soldi?" Petrovich cominciò a piangere e rispose: "Sì, solo un po'. Se spendo metà di tutti i soldi e metà del resto, mi resterà solo un sacco di soldi..." Quanti soldi ha Petrovich? ?

Ancora una volta lavoriamo punto per punto.

1. Cerchiamo informazioni esplicite. Non lo troverai subito! Le informazioni esplicite lo sono uno portafoglio. Ci sono alcune altre metà... Bene, ne parleremo nel secondo paragrafo.

2. Cerchiamo informazioni nascoste. Queste sono metà. Che cosa? Non molto chiaro. Stiamo guardando oltre. C'è ancora una domanda: "Quanti soldi ha Petrovich?" Indichiamo la somma di denaro con la lettera "X":

X- tutti i soldi

E ancora leggiamo il problema. Lo so già Petrovich X soldi. È qui che funzioneranno le metà! Scriviamo:

0,5 volte- metà di tutti i soldi.

Anche il resto sarà la metà, cioè 0,5 volte. E metà della metà può essere scritta in questo modo:

0,5 0,5x = 0,25x- metà del resto.

Ora tutte le informazioni nascoste sono state rivelate e registrate.

3. Cerchiamo una connessione tra i dati registrati. Qui puoi semplicemente leggere la sofferenza di Petrovich e scriverla matematicamente):

Se spendo la metà dei soldi...

Registriamo questo processo. Tutti i soldi - X. Metà - 0,5 volte. Spendere è togliere. La frase si trasforma in una registrazione:

x - 0,5 x

sì, metà del resto...

Sottraiamo un'altra metà del resto:

x - 0,5 x - 0,25 x

allora mi resterà solo un sacco di soldi...

E qui abbiamo trovato l’uguaglianza! Dopo tutte le sottrazioni, rimane un sacco di soldi:

x - 0,5 x - 0,25 x = 1

Eccolo, un modello matematico! Anche questa è un'equazione lineare, la risolviamo, otteniamo:

Domanda da considerare. Quanto fa quattro? Rublo, dollaro, yuan? E in quali unità viene scritta la moneta nel nostro modello matematico? Nelle borse! Ciò significa quattro borsa soldi da Petrovich. Buona anche.)

I compiti sono, ovviamente, elementari. Questo serve proprio a catturare l'essenza dell'elaborazione di un modello matematico. Alcune attività possono contenere molti più dati, nei quali è facile perdersi. Questo accade spesso nel cosiddetto. compiti di competenza. Come estrarre contenuto matematico da una pila di parole e numeri viene mostrato con esempi

Ancora una nota. Nei classici problemi scolastici (tubi che riempiono una piscina, barche che galleggiano da qualche parte, ecc.), tutti i dati, di regola, vengono selezionati con molta attenzione. Ci sono due regole:
- ci sono abbastanza informazioni nel problema per risolverlo,
- Non ci sono informazioni non necessarie in un problema.

Questo è un suggerimento. Se c'è qualche valore inutilizzato nel modello matematico, pensa se c'è un errore. Se i dati non sono sufficienti, molto probabilmente non tutte le informazioni nascoste sono state identificate e registrate.

In competenza e altro compiti della vita queste regole non sono seguite rigorosamente. Nessun indizio. Ma tali problemi possono anche essere risolti. Se, ovviamente, ti eserciti su quelli classici.)

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