Superficie laterale di una piramide quadrangolare regolare: formule e problemi di esempio. Come trovare l'area della superficie laterale di una piramide L'area della superficie laterale di una piramide è uguale alla somma

è una figura sfaccettata, la cui base è un poligono e le restanti facce sono rappresentate da triangoli con un vertice comune.

Se la base è quadrata si chiama piramide quadrangolare, se un triangolo – allora triangolare. L'altezza della piramide è tracciata dalla sua sommità perpendicolare alla base. Utilizzato anche per calcolare l'area apotema– l’altezza della faccia laterale, ribassata rispetto alla sua sommità.
La formula per l'area della superficie laterale di una piramide è la somma delle aree delle sue facce laterali, che sono uguali tra loro. Tuttavia, questo metodo di calcolo viene utilizzato molto raramente. Fondamentalmente l'area della piramide si calcola attraverso il perimetro della base e dell'apotema:

Consideriamo un esempio di calcolo dell'area della superficie laterale di una piramide.

Sia data una piramide con base ABCDE e vertice F. AB =BC =CD =DE =EA =3 cm Apotema a = 5 cm Trova l'area della superficie laterale della piramide.
Troviamo il perimetro. Poiché tutti gli spigoli della base sono uguali, il perimetro del pentagono sarà uguale a:
Ora puoi trovare l'area laterale della piramide:

Area di una piramide triangolare regolare

Una piramide triangolare regolare è costituita da una base su cui giace un triangolo regolare e da tre facce laterali di uguale area.
La formula per la superficie laterale di una piramide triangolare regolare può essere calcolata in diversi modi. Puoi applicare la solita formula di calcolo utilizzando il perimetro e l'apotema, oppure puoi trovare l'area di una faccia e moltiplicarla per tre. Poiché la faccia di una piramide è un triangolo, applichiamo la formula per l'area del triangolo. Richiederà un apotema e la lunghezza della base. Consideriamo un esempio di calcolo della superficie laterale di una piramide triangolare regolare.

Data una piramide con apotema a = 4 cm e faccia di base b = 2 cm, determina l'area della superficie laterale della piramide.
Innanzitutto, trova l'area di una delle facce laterali. IN in questo caso Lei sarà:
Sostituisci i valori nella formula:
Poiché in una piramide regolare tutti i lati sono uguali, l'area della superficie laterale della piramide sarà pari alla somma delle aree delle tre facce. Rispettivamente:

Area di una piramide tronca

Troncato Una piramide è un poliedro formato da una piramide e la sua sezione trasversale è parallela alla base.
La formula per calcolare la superficie laterale di una piramide tronca è molto semplice. L'area è pari al prodotto della metà della somma dei perimetri delle basi e dell'apotema:

Definizione di piramide

Piramideè un poliedro, la cui base è un poligono e le sue facce sono triangoli.

Calcolatore in linea

Vale la pena soffermarsi sulla definizione di alcune componenti della piramide.

Lei, come altri poliedri, lo ha fatto costolette. Convergono in un punto chiamato superiore piramidi. Può essere basato su un poligono arbitrario. Bordo chiamato figura geometrica, formato da uno dei lati della base e da due nervature più vicine. Nel nostro caso è un triangolo. Altezza la piramide è la distanza dal piano in cui si trova la sua base alla sommità del poliedro. Per una piramide regolare esiste anche un concetto apotemi- questa è una perpendicolare discendente dalla sommità della piramide alla sua base.

Tipi di piramidi

Esistono 3 tipi di piramidi:

1. Rettangolare- uno in cui qualsiasi bordo forma un angolo retto con la base.
2. Corretto- la sua base è una figura geometrica regolare, e il vertice del poligono stesso è una proiezione del centro della base.
3. Tetraedro- una piramide composta da triangoli. Inoltre, ciascuno di essi può essere preso come base.

Formula per l'area della superficie di una piramide

Per trovare la superficie totale della piramide bisogna sommare l'area della superficie laterale e l'area della base.

Il caso più semplice è quello di una piramide regolare, quindi lo tratteremo. Calcoliamo la superficie totale di tale piramide. La superficie laterale è:

S lato = 1 2 ⋅ l ⋅ p S_(\text(lato))=\frac(1)(2)\cdot l\cdot pS lato​ = 2 1 ​ ⋅ l ⋅P

LL l- apotema della piramide;
p p P- il perimetro della base della piramide.

Superficie totale della piramide:

S = S lato + S principale S=S_(\text(lato))+S_(\text(principale))S=S lato​ + S di base​

S lato S_(\text(lato)) S lato​ - area della superficie laterale della piramide;
S principale S_(\text(base)) S di base​ - area della base della piramide.

Un esempio di risoluzione di un problema.

Trova l'area totale di una piramide triangolare se il suo apotema è 8 (cm) e alla base c'è un triangolo equilatero con lato 3 (cm)

Soluzione

L=8 l=8 l =8
un = 3 un = 3 un =3

Troviamo il perimetro della base. Poiché la base è un triangolo equilatero con lato aa UN, poi il suo perimetro p p P(somma di tutti i suoi lati):

P = a + a + a = 3 ⋅ a = 3 ⋅ 3 = 9 p=a+a+a=3\cdot a=3\cdot 3=9p =un+un+un =3 ⋅ un =3 ⋅ 3 = 9

Quindi l'area laterale della piramide è:

S lato = 1 2 ⋅ l ⋅ p = 1 2 ⋅ 8 ⋅ 9 = 36 S_(\text(lato))=\frac(1)(2)\cdot l\cdot p=\frac(1)(2) \cdot 8\cdot 9=36S lato​ = 2 1 ​ ⋅ l ⋅p =2 1 ​ ⋅ 8 ⋅ 9 = 3 6 (vedi mq.)

Ora troviamo l'area della base della piramide, cioè l'area del triangolo. Nel nostro caso il triangolo è equilatero e la sua area può essere calcolata utilizzando la formula:

S principale = 3 ⋅ a 2 4 S_(\text(base))=\frac(\sqrt(3)\cdot a^2)(4)S di base​ = 4 3 ​ ⋅ UN 2 ​

Aa UN-lato del triangolo.

Noi abbiamo:

S principale = 3 ⋅ a 2 4 = 3 ⋅ 3 2 4 ≈ 3.9 S_(\text(basic))=\frac(\sqrt(3)\cdot a^2)(4)=\frac(\sqrt(3 )\cdot 3^2)(4)\circa3,9S di base​ = 4 3 ​ ⋅ UN 2 ​ = 4 3 ​ ⋅ 3 2 ​ ≈ 3 . 9 (vedi mq.)

Area totale:

S = S lato + S principale ≈ 36 + 3,9 = 39,9 S=S_(\text(lato))+S_(\text(principale))\circa36+3,9=39,9S=S lato​ + S di base​ ≈ 3 6 + 3 . 9 = 3 9 . 9 (vedi mq.)

Risposta: 39,9 cmq.

Altro esempio, un po’ più complicato.

La base della piramide è un quadrato con un'area di 36 (cm2). L'apotema di un poliedro è 3 volte il lato della base aa UN. Trova la superficie totale di questa figura.

Soluzione

S quad = 36 S_(\text(quad))=36S quad​ = 3 6
l = 3 ⋅ a l=3\cdot a l =3 ⋅ UN

Troviamo il lato della base, cioè il lato del quadrato. La sua area e la lunghezza del lato sono correlate:

S quad = a 2 S_(\text(quad))=a^2S quad​ = UN 2
36 = un2 36=un^2 3 6 = UN 2
un = 6 un = 6 un =6

Troviamo il perimetro della base della piramide (cioè il perimetro del quadrato):

P = a + a + a + a = 4 ⋅ a = 4 ⋅ 6 = 24 p=a+a+a+a=4\cdot a=4\cdot 6=24p =un+un+un+un =4 ⋅ un =4 ⋅ 6 = 2 4

Troviamo la lunghezza dell'apotema:

L = 3 ⋅ a = 3 ⋅ 6 = 18 l=3\cdot a=3\cdot 6=18l =3 ⋅ un =3 ⋅ 6 = 1 8

Nel nostro caso:

S quad = S principale S_(\text(quad))=S_(\text(base))S quad​ = S di base​

Non resta che trovare l'area della superficie laterale. Secondo la formula:

S lato = 1 2 ⋅ l ⋅ p = 1 2 ⋅ 18 ⋅ 24 = 216 S_(\text(side))=\frac(1)(2)\cdot l\cdot p=\frac(1)(2) \cdot 18\cdot 24=216S lato​ = 2 1 ​ ⋅ l ⋅p =2 1 ​ ⋅ 1 8 ⋅ 2 4 = 2 1 6 (vedi mq.)

Area totale:

$S=S^{\text{lato + Sdi base = 2 1 6 + 3 6 = 2 5 2 (vedi mq.)}}$

Risposta: 252 cmq.

In una piramide triangolare regolare SABC R- metà della costola AB, S- superiore.
È risaputo che RS = 6 e la superficie laterale è uguale a 36 .
Trova la lunghezza del segmento AVANTI CRISTO..

Facciamo un disegno. In una piramide regolare le facce laterali sono triangoli isosceli.

Segmento S.R.- la mediana ribassata alla base, e quindi l'altezza della faccia laterale.

La superficie laterale di una piramide triangolare regolare è pari alla somma delle aree
tre facce laterali uguali Lato S = 3 S ABS. Da qui S ABS = 36: 3 = 12- zona del viso.

L'area di un triangolo è uguale alla metà del prodotto della sua base e dell'altezza
S ABS = 0,5 AB SR. Conoscendo l'area e l'altezza troviamo il lato della base AB = BC.
12 = 0,5AB6
12 = 3AB
AB = 4

Risposta: 4

Puoi affrontare il problema dall'altra parte. Lascia che il lato base AB = BC = a.
Poi la zona del viso S ABS = 0,5 AB SR = 0,5 a 6 = 3a.

L'area di ciascuna delle tre facce è pari a 3a, l'area delle tre facce è uguale 9a.
Secondo le condizioni del problema, l'area della superficie laterale della piramide è 36.
Lato S = 9a = 36.
Da qui un = 4.

Prima di studiare le domande su questa figura geometrica e sulle sue proprietà, dovresti comprendere alcuni termini. Quando una persona sente parlare di una piramide, immagina enormi edifici in Egitto. Ecco come appaiono quelli più semplici. Ma accadono tipi diversi e forme, il che significa che la formula di calcolo per le forme geometriche sarà diversa.

Tipi di figura

Piramide - figura geometrica, che denota e rappresenta diversi volti. In sostanza, questo è lo stesso poliedro, alla base del quale si trova un poligono, e sui lati ci sono triangoli che si collegano in un punto: il vertice. La figura è disponibile in due tipologie principali:

• corretto;
• troncato.

Nel primo caso la base è un poligono regolare. Qui tutte le superfici laterali sono uguali tra loro e la figura stessa piaceranno all'occhio di un perfezionista.

Nel secondo caso, ci sono due basi: una grande nella parte inferiore e una piccola nella parte superiore, che ripete la forma di quella principale. In altre parole, una piramide tronca è un poliedro con una sezione trasversale parallela alla base.

Termini e simboli

Parole chiave:

• Triangolo regolare (equilatero).- una figura con tre angoli uguali e lati uguali. In questo caso, tutti gli angoli sono di 60 gradi. La figura è il più semplice dei poliedri regolari. Se questa figura si trova alla base, tale poliedro verrà chiamato triangolare regolare. Se la base è quadrata la piramide si chiamerà piramide quadrangolare regolare.
• Vertice– il punto più alto in cui i bordi si incontrano. L'altezza dell'apice è formata da una linea retta che si estende dall'apice alla base della piramide.
• Bordo– uno dei piani del poligono. Può avere la forma di un triangolo nel caso di una piramide triangolare o di un trapezio nel caso di una piramide triangolare. piramide tronca.
• Sezione – figura piatta, formato a seguito della dissezione. Non deve essere confuso con una sezione, poiché una sezione mostra anche cosa c'è dietro la sezione.
• Apotema- un segmento disegnato dalla sommità della piramide alla sua base. È anche l'altezza del viso in cui si trova il secondo punto di altezza. Questa definizione valido solo per un poliedro regolare. Ad esempio, se questa non è una piramide tronca, la faccia sarà un triangolo. In questo caso, l'altezza di questo triangolo diventerà l'apotema.

Formule di area

Trova l'area della superficie laterale della piramide qualsiasi tipo può essere eseguito in diversi modi. Se la figura non è simmetrica ed è un poligono con lati diversi, in questo caso è più semplice calcolare la superficie totale attraverso la totalità di tutte le superfici. In altre parole, devi calcolare l'area di ciascuna faccia e sommarle.

A seconda dei parametri conosciuti, potrebbero essere necessarie formule per il calcolo di un quadrato, trapezio, quadrilatero arbitrario, ecc. Le formule stesse in diversi casi avranno anche delle differenze.

Nel caso di una figura regolare, trovare l'area è molto più semplice. È sufficiente conoscere solo alcuni parametri chiave. Nella maggior parte dei casi, sono richiesti calcoli specifici per tali cifre. Pertanto di seguito verranno riportate le formule corrispondenti. Altrimenti dovresti scrivere tutto su più pagine, il che non farebbe altro che confonderti e confonderti.

Formula base per il calcolo La superficie laterale di una piramide regolare avrà la seguente forma:

S=½ Pa (P è il perimetro della base ed è l'apotema)

Diamo un'occhiata a un esempio. Il poliedro ha una base con segmenti A1, A2, A3, A4, A5 e tutti sono uguali a 10 cm. Lascia che l'apotema sia uguale a 5 cm. Per prima cosa devi trovare il perimetro. Poiché tutte e cinque le facce della base sono uguali, puoi trovarla così: P = 5 * 10 = 50 cm Successivamente applichiamo la formula di base: S = ½ * 50 * 5 = 125 cm quadrati.

Superficie laterale di una piramide triangolare regolare più semplice da calcolare. La formula è simile alla seguente:

S =½* ab *3, dove a è l'apotema, b è la faccia della base. Il fattore tre qui indica il numero di facce della base e la prima parte è l'area della superficie laterale. Diamo un'occhiata a un esempio. Data una figura con apotema di 5 cm e spigolo di base di 8 cm, calcoliamo: S = 1/2*5*8*3=60 cm quadrato.

Superficie laterale di una piramide troncaÈ un po' più difficile da calcolare. La formula è simile a questa: S =1/2*(p_01+ p_02)*a, dove p_01 e p_02 sono i perimetri delle basi ed è l'apotema. Diamo un'occhiata a un esempio. Diciamo che per una figura quadrangolare le dimensioni dei lati delle basi sono 3 e 6 cm, e l'apotema è 4 cm.

Qui per prima cosa devi trovare i perimetri delle basi: р_01 =3*4=12 cm; р_02=6*4=24 cm Resta da sostituire i valori nella formula principale e otteniamo: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 cm quadrato.

Pertanto, puoi trovare la superficie laterale di una piramide regolare di qualsiasi complessità. Dovresti stare attento e non confondere questi calcoli con l'area totale dell'intero poliedro. E se hai ancora bisogno di farlo, basta calcolare l'area della base maggiore del poliedro e sommarla all'area della superficie laterale del poliedro.

video

Questo video ti aiuterà a consolidare le informazioni su come trovare la superficie laterale di diverse piramidi.

Piramide- una delle varietà di poliedro formato da poligoni e triangoli che si trovano alla base e ne sono le facce.

Inoltre, al vertice della piramide (cioè in un punto) tutte le facce sono unite.

Per calcolare l'area di una piramide, vale la pena determinare che la sua superficie laterale è composta da diversi triangoli. E possiamo facilmente trovare le loro aree utilizzando

varie formule. A seconda dei dati che conosciamo sui triangoli, cerchiamo la loro area.

Elenchiamo alcune formule che possono essere utilizzate per trovare l'area dei triangoli:

1. S = (a*h)/2 . In questo caso conosciamo l'altezza del triangolo H , che è abbassato di lato UN .
2. S = a*b*sinβ . Ecco i lati del triangolo UN , B , e l'angolo tra loro è β .
3. S = (r*(a + b + c))/2 . Ecco i lati del triangolo a, b, c . Il raggio di un cerchio inscritto in un triangolo è R .
4. S = (a*b*c)/4*R . Il raggio di un cerchio circoscritto attorno a un triangolo è R .
5. S = (a*b)/2 = r² + 2*r*R . Questa formula dovrebbe essere applicata solo quando il triangolo è rettangolo.
6. S = (a²*√3)/4 . Applichiamo questa formula a un triangolo equilatero.

Solo dopo aver calcolato le aree di tutti i triangoli che costituiscono le facce della nostra piramide possiamo calcolare l'area della sua superficie laterale. Per fare ciò, utilizzeremo le formule sopra.

Per calcolare l'area della superficie laterale di una piramide non sorgono difficoltà: è necessario scoprire la somma delle aree di tutti i triangoli. Esprimiamolo con la formula:

Sp = ΣSi

Qui Sì è l'area del primo triangolo e S P - area della superficie laterale della piramide.

Diamo un'occhiata a un esempio. Data una piramide regolare, le sue facce laterali sono formate da più triangoli equilateri,

« La geometria è lo strumento più potente per affinare le nostre capacità mentali».

Galileo Galilei.

e il quadrato è la base della piramide. Inoltre, il bordo della piramide ha una lunghezza di 17 cm. Troviamo la zona superficie laterale di questa piramide.

Ragioniamo così: sappiamo che le facce della piramide sono triangoli, sono equilateri. Sappiamo anche qual è la lunghezza del bordo di questa piramide. Ne consegue che tutti i triangoli hanno i lati uguali e la loro lunghezza è 17 cm.

Per calcolare l'area di ciascuno di questi triangoli, puoi utilizzare la seguente formula:

S = (17²*√3)/4 = (289*1.732)/4 = 125.137 cm²

Quindi, poiché sappiamo che il quadrato si trova alla base della piramide, risulta che abbiamo quattro triangoli equilateri. Ciò significa che l'area della superficie laterale della piramide può essere facilmente calcolata utilizzando la seguente formula: 125.137 cm² * 4 = 500.548 cm²

La nostra risposta è la seguente: 500.548 cm² - questa è l'area della superficie laterale di questa piramide.