L'ordine di un'equazione differenziale e la sua soluzione, il problema di Cauchy. Algoritmo per la risoluzione di sistemi lineari di equazioni differenziali del terzo ordine Equazioni lineari disomogenee a coefficienti costanti
Per questa equazione abbiamo:
; (5.22)
. (5.23)
L'ultimo determinante dà alla condizione a 3 > 0. La condizione Δ 2 > 0, per a 0 > 0, a 1 > 0 e a 3 > 0, può essere soddisfatta solo per a 2 > 0.
Di conseguenza, per un'equazione del terzo ordine, la positività di tutti i coefficienti dell'equazione caratteristica non è più sufficiente. È inoltre necessario che venga rispettata una certa relazione tra i coefficienti a 1 a 2 > a 0 a 3.
4. Equazione del quarto ordine
Analogamente a quanto fatto in precedenza, possiamo ottenere che per un'equazione del quarto ordine, oltre alla positività di tutti i coefficienti, deve essere soddisfatta la seguente condizione:
Uno svantaggio significativo dei criteri algebrici, compresi i criteri di Hurwitz, è anche che per le equazioni di ordine elevato, nella migliore delle ipotesi, si può ottenere una risposta sul fatto che il sistema di controllo automatico sia stabile o instabile. Inoltre, nel caso di un sistema instabile, il criterio non risponde a come dovrebbero essere modificati i parametri del sistema per renderlo stabile. Questa circostanza ha portato alla ricerca di altri criteri che sarebbero più convenienti nella pratica ingegneristica.
5.3. Criterio di stabilità di Mikhailov
Consideriamo separatamente il membro sinistro dell'equazione caratteristica (5.7), che è il polinomio caratteristico
Sostituiamo in questo polinomio il valore puramente immaginario p = j, dove rappresenta la frequenza angolare delle oscillazioni corrispondente alla radice puramente immaginaria della soluzione caratteristica. In questo caso otteniamo il complesso caratteristico
dove la parte reale conterrà anche potenze di frequenza
e quello immaginario - gradi dispari frequenze
E
Riso. 5.4. L'odografo di Mikhailov
In pratica si costruisce punto per punto la curva di Mikhailov, si specificano diversi valori della frequenza e si calcolano U() e V() utilizzando le formule (5.28), (5.29). I risultati del calcolo sono riassunti nella tabella. 5.1.
Tabella 5.1
Costruzione della curva di Mikhailov
Utilizzando questa tabella, viene costruita la curva stessa (Fig. 5.4).
Determiniamo a quale dovrebbe essere uguale l'angolo di rotazione del vettore D(j) quando la frequenza cambia da zero a infinito. Per fare ciò scriviamo il polinomio caratteristico come prodotto di fattori
dove 1 – n sono le radici dell'equazione caratteristica.
Il vettore caratteristico può quindi essere rappresentato come segue:
Ogni parentesi rappresenta un numero complesso. Pertanto D(j) è il prodotton numeri complessi. Quando si moltiplicano, vengono aggiunti gli argomenti dei numeri complessi. Pertanto, l'angolo di rotazione risultante del vettore D(j) sarà pari alla somma angoli di rotazione dei singoli fattori (5.31) quando la frequenza cambiada zero a infinito
Definiamo separatamente ciascun termine nella (5.31). Per generalizzare il problema, considerare diversi tipi radici.
1. Sia una radice, ad esempio 1 reale e negativo , cioè 1 = – 1 . Il fattore nell'espressione (5.31), determinato da questa radice, avrà la forma ( 1 + j). Costruiamo un odogramma di questo vettore sul piano complesso mentre la frequenza cambia da zero a infinito (Fig. 5.5, UN). Quando = 0, la parte reale è U= 1 e la parte immaginaria è V= 0. Ciò corrisponde al punto A, giacente sull'asse reale. A0 il vettore cambierà in modo tale che la sua parte reale sarà ancora uguale a, e la parte immaginaria V = (punto B sul grafico). Quando la frequenza aumenta all'infinito, il vettore va all'infinito e l'estremità del vettore rimane sempre sulla retta verticale che passa per il punto A, e il vettore ruota in senso antiorario.
Riso. 5.5. Radici vere
L'angolo di rotazione risultante del vettore 1 = +( / 2).
2. Sia ora la radice 1 reale e positivo , cioè 1 = + 1. Allora il fattore in (5.31) determinato da questa radice avrà la forma (– 1 + j). Costruzioni simili (Fig. 5.5, B) mostrano che l'angolo di rotazione risultante sarà 1 = –( / 2). Il segno meno indica che il vettore ruota in senso orario.
3. Sia due radici coniugate, ad esempio 2 e 3 complesso con parte reale negativa , cioè 2;3 = –±j. Allo stesso modo, i fattori nell'espressione (5.31), determinati da queste radici, avranno la forma (–j + j)( + j + j).
Quando = 0, le posizioni iniziali di due vettori sono determinate dai punti A 1 e A 2 (Fig. 5.6, UN). Il primo vettore viene ruotato in senso orario rispetto all'asse reale di un angolo pari ad arctg( / ), e il secondo vettore viene ruotato dello stesso angolo in senso antiorario. Con un aumento graduale di da zero a infinito, le estremità di entrambi i vettori salgono all'infinito ed entrambi i vettori alla fine si fondono con l'asse immaginario.
L'angolo di rotazione risultante del primo vettore è 2 = ( / 2) + . L'angolo di rotazione risultante del secondo vettore 3 = ( / 2) –. Il vettore corrispondente al prodotto (–j + j)( + j + j) ruoterà dell'angolo 2 + 3 = 2 / 2 =.
Riso. 5.6. Radici complesse
4. Lascia che siano uguali le radici complesse hanno parte reale positiva , cioè 2;3 = +±j.
Eseguendo la costruzione analogamente al caso precedentemente considerato (Fig. 5.6, B), otteniamo l'angolo di rotazione risultante 2 + 3 = –2 / 2 = –.
Pertanto, se l'equazione caratteristica ha f radici con parte reale positiva, allora qualunque siano queste radici (reali o complesse), corrisponderanno alla somma degli angoli di rotazione pari a –f ( / 2). Tutte le altre radici (n – f) dell'equazione caratteristica che hanno parti reali negative corrisponderanno alla somma degli angoli di rotazione pari a +(n – f)( / 2). Di conseguenza, l'angolo totale di rotazione del vettore D(j) quando la frequenza cambia da zero a infinito secondo la formula (5.32) avrà la forma
= (n – f)( / 2) –f( / 2) = n ( / 2) –f . (5.33)
Questa espressione determina la connessione desiderata tra la forma della curva di Mikhailov e i segni delle parti reali delle radici dell'equazione caratteristica. Nel 1936 A.V. Mikhailov ha formulato il seguente criterio di stabilità per sistemi lineari qualsiasi ordine.
Per la stabilità di un sistema di ordine n è necessario e sufficiente che il vettore D(j ), descrivendo la curva di Mikhailov, quando cambia aveva un angolo di rotazione da zero a infinito = N ( / 2).
Questa formulazione segue direttamente dalla (5.33). Perché il sistema sia stabile è necessario che tutte le radici si trovino nel semipiano sinistro. Da qui viene determinato l'angolo di rotazione del vettore risultante richiesto.
Il criterio di stabilità di Mikhailov è formulato come segue: Per la stabilità di un'ACS lineare è necessario e sufficiente che l'odografo di Mikhailov, quando la frequenza varia da zero a infinito, partendo dal semipiano positivo e senza attraversare l'origine delle coordinate, intersechi successivamente altrettanti quadranti del complesso piano come ordine del polinomio dell'equazione caratteristica del sistema.
DI
Riso. 5.7. ATS resistente
Per un sistema stabile, la curva di Mikhailov passa successivamente per n quadranti del piano complesso.
La presenza di confini di stabilità di tutti e tre i tipi può essere determinata dalla curva di Mikhailov come segue.
In presenza di un confine di stabilità primo tipo (radice zero) non esiste un termine libero del polinomio caratteristico n = 0 e la curva di Mikhailov lascia l'origine (Fig. 5.9, curva 1)
|
Riso. 5.8. ATS instabile |
Riso. 5.9. Limiti di stabilità |
Al limite della stabilità secondo tipo (limite di stabilità oscillatoria) il lato sinistro dell'equazione caratteristica, cioè il polinomio caratteristico, svanisce sostituendo p = j 0
D(j 0) = X( 0) + Y( 0) = 0. (5.34)
Ciò implica due uguaglianze: X( 0) = 0; Y( 0) = 0. Ciò significa che il punto = 0 sulla curva di Mikhailov cade nell'origine delle coordinate (Fig. 5.9, curva 2). In questo caso il valore 0 è la frequenza delle oscillazioni non smorzate del sistema.
Per il confine di stabilità terzo tipo (radice infinita) l'estremità della curva di Mikhailov viene lanciata (Fig. 5.9, curva 3) da un quadrante all'altro attraverso l'infinito. In questo caso, il coefficiente a 0 del polinomio caratteristico (5.7) passerà per il valore zero, cambiando segno da più a meno.
Vengono elencati i principali tipi di equazioni differenziali ordinarie (DE) di ordine superiore che possono essere risolti. Vengono brevemente descritti i metodi per risolverli. Vengono forniti collegamenti a pagine con descrizioni dettagliate di metodi di soluzione ed esempi.
ContenutoGuarda anche: Equazioni differenziali del primo ordine
Equazioni alle derivate parziali lineari del primo ordine
Equazioni differenziali di ordine superiore, che consentono la riduzione dell'ordine
Equazioni risolte mediante integrazione diretta
Consideriamo la seguente equazione differenziale:
.
Integriamo n volte.
;
;
e così via. Puoi anche usare la formula:
.
Vedi Equazioni differenziali che possono essere risolte direttamente integrazione > > >
Equazioni che non contengono esplicitamente la variabile dipendente y
La sostituzione abbassa di uno l'ordine dell'equazione. Ecco una funzione da .
Vedere Equazioni differenziali di ordine superiore che non contengono una funzione esplicitamente > > >
Equazioni che non includono esplicitamente la variabile indipendente x
.
Consideriamo che sia una funzione di . Poi
.
Allo stesso modo per altri derivati. Di conseguenza, l'ordine dell'equazione viene ridotto di uno.
Vedere Equazioni differenziali di ordine superiore che non contengono una variabile esplicita > > >
Equazioni omogenee rispetto a y, y′, y′′, ...
Per risolvere questa equazione, facciamo la sostituzione
,
dove è una funzione di . Poi
.
Allo stesso modo trasformiamo i derivati, ecc. Di conseguenza, l'ordine dell'equazione viene ridotto di uno.
Vedi Equazioni differenziali di ordine superiore omogenee rispetto a una funzione e alle sue derivate > > >
Equazioni differenziali lineari di ordine superiore
Consideriamo Equazione differenziale lineare omogenea di ordine n:
(1)
,
dove sono le funzioni della variabile indipendente. Siano n soluzioni linearmente indipendenti di questa equazione. Poi decisione comune l’equazione (1) ha la forma:
(2)
,
dove sono costanti arbitrarie. Le funzioni stesse formano un sistema fondamentale di soluzioni.
Sistema di soluzioni fondamentali di un'equazione lineare omogenea dell'ennesimo ordine ci sono n soluzioni linearmente indipendenti di questa equazione.
Consideriamo Equazioni differenziali lineari disomogenee di ordine n:
.
Lascia che ci sia una soluzione particolare (qualsiasi) a questa equazione. Allora la soluzione generale ha la forma:
,
dove è la soluzione generale dell'equazione omogenea (1).
Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti e ad essi riducibili
Equazioni lineari omogenee a coefficienti costanti
Queste sono equazioni della forma:
(3)
.
Ecco i numeri reali. Per trovare una soluzione generale a questa equazione, dobbiamo trovare n soluzioni linearmente indipendenti che formano un sistema fondamentale di soluzioni. Quindi la soluzione generale è determinata dalla formula (2):
(2)
.
Stiamo cercando una soluzione nel modulo . Noi abbiamo equazione caratteristica:
(4)
.
Se questa equazione ha varie radici, allora il sistema fondamentale delle soluzioni ha la forma:
.
Se disponibile radice complessa
,
poi c'è anche una radice coniugata complessa. Queste due radici corrispondono alle soluzioni e , che includiamo nel sistema fondamentale al posto delle soluzioni complesse e .
Multipli di radici le molteplicità corrispondono a soluzioni linearmente indipendenti: .
Multipli di radici complesse le molteplicità e i loro valori complessi coniugati corrispondono a soluzioni linearmente indipendenti:
.
Equazioni lineari disomogenee con una parte speciale disomogenea
Consideriamo equazione della forma
,
dove sono i polinomi di grado s 1
e s 2
; - permanente.
Per prima cosa cerchiamo una soluzione generale dell'equazione omogenea (3). Se l'equazione caratteristica (4) non contiene radice, allora cerchiamo una soluzione particolare nella forma:
,
Dove
;
;
s - maggiore di s 1
e s 2
.
Se l'equazione caratteristica (4) ha una radice molteplicità, allora cerchiamo una soluzione particolare nella forma:
.
Successivamente otteniamo la soluzione generale:
.
Equazioni lineari disomogenee a coefficienti costanti
Ci sono tre possibili soluzioni qui.
1)
Metodo Bernoulli.
Innanzitutto, troviamo qualsiasi soluzione diversa da zero dell'equazione omogenea
.
Quindi effettuiamo la sostituzione
,
dove è una funzione della variabile x. Otteniamo un'equazione differenziale per u, che contiene solo derivate di u rispetto a x. Effettuando la sostituzione otteniamo l'equazione n - 1
-esimo ordine.
2)
Metodo di sostituzione lineare.
Facciamo una sostituzione
,
dove è una delle radici dell'equazione caratteristica (4). Di conseguenza, otteniamo un'equazione lineare disomogenea con coefficienti d'ordine costanti. Applicando coerentemente questa sostituzione, riduciamo l'equazione originale a un'equazione del primo ordine.
3)
Metodo di variazione delle costanti di Lagrange.
In questo metodo, risolviamo prima l'equazione omogenea (3). La sua soluzione è simile a:
(2)
.
Assumiamo inoltre che le costanti siano funzioni della variabile x. Allora la soluzione dell'equazione originale ha la forma:
,
dove sono funzioni sconosciute. Sostituendo nell'equazione originale e imponendo alcune restrizioni, otteniamo equazioni dalle quali possiamo ricavare il tipo di funzioni.
Equazione di Eulero
Si tratta di equazione lineare con coefficienti di sostituzione costanti:
.
Tuttavia, per risolvere l'equazione di Eulero, non è necessario effettuare tale sostituzione. Puoi immediatamente cercare una soluzione all'equazione omogenea nel modulo
.
Di conseguenza, otteniamo le stesse regole di un'equazione a coefficienti costanti, in cui al posto di una variabile è necessario sostituire .
Riferimenti:
V.V. Stepanov, Corso di equazioni differenziali, "LKI", 2015.
N.M. Gunther, R.O. Kuzmin, Raccolta di problemi di matematica superiore, “Lan”, 2003.
Equazione differenziale ordinaria è un'equazione che mette in relazione una variabile indipendente, una funzione sconosciuta di questa variabile e le sue derivate (o differenziali) di vario ordine.
Al fine equazione differenziale si chiama ordine della derivata massima in esso contenuta.
Oltre a quelle ordinarie, vengono studiate anche le equazioni alle derivate parziali. Si tratta di equazioni relative a variabili indipendenti, una funzione sconosciuta di queste variabili e le sue derivate parziali rispetto alle stesse variabili. Ma considereremo solo equazioni differenziali ordinarie e pertanto, per brevità, ometteremo la parola “ordinario”.
Esempi di equazioni differenziali:
(1) 
;
(3) 
;
(4) 
;
L'equazione (1) è del quarto ordine, l'equazione (2) è del terzo ordine, le equazioni (3) e (4) sono del secondo ordine, l'equazione (5) è del primo ordine.
Equazione differenziale N L'ordine non deve necessariamente contenere una funzione esplicita, tutte le sue derivate dalla prima alla N-esimo ordine e variabile indipendente. Non può contenere esplicitamente derivati di determinati ordini, una funzione o una variabile indipendente.
Ad esempio, nell'equazione (1) chiaramente non ci sono derivate del terzo e del secondo ordine, così come una funzione; nell'equazione (2) - la derivata del secondo ordine e la funzione; nell'equazione (4) - la variabile indipendente; nell'equazione (5) - funzioni. Solo l'equazione (3) contiene esplicitamente tutte le derivate, la funzione e la variabile indipendente.
Risoluzione di un'equazione differenziale viene chiamata ogni funzione y = f(x), quando sostituito nell'equazione si trasforma in un'identità.
Il processo per trovare la soluzione di un'equazione differenziale è chiamato its integrazione.
Esempio 1. Trova la soluzione dell'equazione differenziale.
Soluzione. Scriviamo questa equazione nella forma . La soluzione è trovare la funzione dalla sua derivata. La funzione originaria, come noto dal calcolo integrale, è un'antiderivativa per, ad es.
Questo è quello che è soluzione di questa equazione differenziale . Cambiando in esso C, otterremo soluzioni diverse. Abbiamo scoperto che esiste un numero infinito di soluzioni per un'equazione differenziale del primo ordine.
Soluzione generale dell'equazione differenziale N l'ordine n è la sua soluzione, espressa esplicitamente rispetto alla funzione sconosciuta e contenente N costanti arbitrarie indipendenti, cioè
La soluzione dell'equazione differenziale nell'Esempio 1 è generale.
Soluzione parziale dell'equazione differenziale viene chiamata una soluzione in cui alle costanti arbitrarie vengono assegnati valori numerici specifici.
Esempio 2. Trovare la soluzione generale dell'equazione differenziale e una soluzione particolare per 
.
Soluzione. Integriamo entrambi i membri dell'equazione un numero di volte pari all'ordine dell'equazione differenziale.
,
.
Di conseguenza, abbiamo ricevuto una soluzione generale:
di una data equazione differenziale del terzo ordine.
Ora troviamo una soluzione particolare nelle condizioni specificate. Per fare ciò, sostituisci i loro valori invece dei coefficienti arbitrari e ottieni
.
Se, oltre all'equazione differenziale, la condizione iniziale è data nella forma , viene chiamato tale problema Problema di Cauchy . Sostituisci i valori e nella soluzione generale dell'equazione e trova il valore di una costante arbitraria C, e quindi una particolare soluzione dell'equazione per il valore trovato C. Questa è la soluzione al problema di Cauchy.
Esempio 3. Risolvi il problema di Cauchy per l'equazione differenziale dell'Esempio 1 soggetto a .
Soluzione. Sostituiamo i valori della condizione iniziale nella soluzione generale sì = 3, X= 1. Otteniamo
Scriviamo la soluzione del problema di Cauchy per questa equazione differenziale del primo ordine:
Risolvere equazioni differenziali, anche quelle più semplici, richiede buone capacità di integrazione e derivate, comprese funzioni complesse. Questo può essere visto nel seguente esempio.
Esempio 4. Trovare la soluzione generale dell'equazione differenziale.
Soluzione. L'equazione è scritta in una forma tale da poter integrare immediatamente entrambi i lati.
.
Applichiamo il metodo di integrazione per cambio di variabile (sostituzione). Lascia che sia allora.
Obbligatorio da prendere dx e ora - attenzione - lo facciamo secondo le regole di differenziazione di una funzione complessa, poiché X e c'è funzione complessa("mela" - estrazione radice quadrata o, qual è la stessa cosa - elevare al potere "metà" e "carne macinata" è l'espressione stessa sotto la radice):
Troviamo l'integrale:
Ritornando alla variabile X, noi abbiamo:
.
Questa è la soluzione generale di questa equazione differenziale di primo grado.
Non solo le competenze delle sezioni precedenti matematica superiore Saranno richieste nella risoluzione di equazioni differenziali, ma anche competenze da elementari, cioè dalla matematica scolastica. Come già accennato, in un'equazione differenziale di qualsiasi ordine potrebbe non esserci una variabile indipendente, cioè una variabile X. La conoscenza delle proporzioni scolastiche che non sono state dimenticate (tuttavia, a seconda di chi) dalla scuola aiuterà a risolvere questo problema. Questo è il prossimo esempio.
Per una comprensione più profonda di ciò che sta accadendo in questo articolo, puoi leggere.Consideriamo un sistema omogeneo di equazioni differenziali del terzo ordine
Qui x(t), y(t), z(t) sono le funzioni richieste sull'intervallo (a, b) e ij (i, j =1, 2, 3) sono numeri reali.
Scriviamo il sistema originale in forma matriciale
,
Dove 
Cercheremo una soluzione al sistema originale nel modulo
,
Dove 
, C 1 , C 2 , C 3 sono costanti arbitrarie.
Per trovare il sistema fondamentale di soluzioni, è necessario risolvere la cosiddetta equazione caratteristica 
Questa equazione è un'equazione algebrica del terzo ordine, quindi ha 3 radici. Sono possibili i seguenti casi:
1. Le radici (autovalori) sono reali e distinte.
2. Tra le radici (autovalori) ci sono quelli complessi coniugati, let
- radice reale
=
3. Le radici (autovalori) sono reali. Una delle radici è un multiplo.
Per capire come agire in ciascuno di questi casi, avremo bisogno di:
Teorema 1.
Siano gli autovalori distinti a due a due della matrice A, e siano i loro autovettori corrispondenti. Poi
formano un sistema fondamentale di soluzioni al sistema originale.
Commento
.
Sia l'autovalore reale della matrice A (la radice reale dell'equazione caratteristica), e sia l'autovettore corrispondente.
= - autovalori complessi della matrice A, - corrispondente - autovettore. Poi
(Re - parte reale, Im - parte immaginaria)
formano un sistema fondamentale di soluzioni al sistema originale. (cioè e = considerati insieme)
Teorema 3.
Sia la radice dell'equazione caratteristica della molteplicità 2. Allora il sistema originale ha 2 soluzioni linearmente indipendenti della forma 
,
dove , sono costanti vettoriali. Se la molteplicità è 3, allora ci sono 3 soluzioni linearmente indipendenti della forma
.
I vettori si trovano sostituendo le soluzioni (*) e (**) nel sistema originale.
Per comprendere meglio il metodo per trovare soluzioni della forma (*) e (**), vedere gli esempi tipici di seguito.
Ora esaminiamo ciascuno dei casi sopra descritti in modo più dettagliato.
1. Algoritmo risolutivo sistemi omogenei equazioni differenziali del terzo ordine nel caso di radici reali diverse dell'equazione caratteristica.
Dato il sistema
1) Componiamo un'equazione caratteristica
- autovalori reali e distinti delle 9radici di questa equazione).
2) Costruiamo dove 
3) Costruiamo dove
- autovettore della matrice A, corrispondente a , cioè - qualsiasi soluzione impiantistica 
4) Costruiamo dove
- autovettore della matrice A, corrispondente a , cioè - qualsiasi soluzione impiantistica 
5)
costituiscono un sistema fondamentale di soluzioni. Successivamente scriviamo la soluzione generale del sistema originale nella forma
,
qui C 1, C 2, C 3 sono costanti arbitrarie,
,
o in forma coordinata 
Diamo un'occhiata ad alcuni esempi:
Esempio 1.
2) Trova 
3) Troviamo 
4) Funzioni vettoriali 
o in notazione di coordinate 
Esempio 2.
1) Componiamo e risolviamo l'equazione caratteristica: 
2) Trova 
3) Troviamo 
4) Trova 
5) Funzioni vettoriali 
costituiscono un sistema fondamentale. La soluzione generale ha la forma 
o in notazione di coordinate 
2. Algoritmo per la risoluzione di sistemi omogenei di equazioni differenziali del terzo ordine nel caso di radici coniugate complesse dell'equazione caratteristica.
- radice reale,
2) Costruiamo dove
 |
3) Costruiamo
| - autovettore della matrice A, corrispondente a , cioè soddisfa il sistema |  |
Qui Re è la parte vera
Sono - parte immaginaria
4) costituiscono un sistema fondamentale di soluzioni. Successivamente scriviamo la soluzione generale del sistema originale:
, Dove
C 1, C 2, C 3 sono costanti arbitrarie.
Esempio 1.
1) Comporre e risolvere l'equazione caratteristica 
2) Stiamo costruendo
3) Costruiamo
, Dove
Riduciamo la prima equazione di 2. Quindi aggiungiamo la prima equazione moltiplicata per 2i alla seconda equazione e sottraiamo la prima moltiplicata per 2 dalla terza equazione. 
Ulteriore 
Quindi, 
4) - sistema fondamentale di soluzioni. Scriviamo la soluzione generale del sistema originale: 
Esempio 2.
1) Componiamo e risolviamo l'equazione caratteristica 
2) Stiamo costruendo
(cioè e considerati insieme), dove
Moltiplica la seconda equazione per (1-i) e riducila per 2. 
Quindi, 
3)
Soluzione generale del sistema originale
O 
2. Algoritmo per la risoluzione di sistemi omogenei di equazioni differenziali del terzo ordine nel caso di radici multiple dell'equazione caratteristica.
Componiamo e risolviamo l'equazione caratteristica
I casi possibili sono due: 
Consideriamo il caso a) 1), dove
| - autovettore della matrice A, corrispondente a , cioè soddisfa il sistema | |
2) Facciamo riferimento al Teorema 3, dal quale segue che esistono due soluzioni linearmente indipendenti della forma 
,
dove , sono vettori costanti. Prendiamoli per .
3) - sistema fondamentale di soluzioni. Successivamente scriviamo la soluzione generale del sistema originale:
Consideriamo il caso b):
1) Facciamo riferimento al Teorema 3, dal quale segue che esistono tre soluzioni linearmente indipendenti della forma
,
dove , , sono vettori costanti. Prendiamoli per .
2) - sistema fondamentale di soluzioni. Successivamente scriviamo la soluzione generale del sistema originale.
Per comprendere meglio come trovare soluzioni nella forma (*), considerare alcuni esempi tipici.
Esempio 1.
Componiamo e risolviamo l'equazione caratteristica: 
Abbiamo il caso a)
1) Costruiamo 
, Dove
Dalla seconda equazione sottraiamo la prima:
? La terza riga è simile alla seconda, la cancelliamo. Sottrai il secondo dalla prima equazione: 
2) = 1 (multipli di 2)
Secondo T.3 tale radice deve corrispondere a due soluzioni linearmente indipendenti della forma .
Proviamo a trovare tutte le soluzioni linearmente indipendenti per le quali, ad es. soluzioni della forma
.
Tale vettore sarà una soluzione se e solo se l'autovettore corrispondente a =1, cioè
, O 
, la seconda e la terza riga sono simili alla prima, buttatele via. 
Il sistema è stato ridotto ad una equazione. Di conseguenza, ci sono due incognite libere, ad esempio, e . Diamo loro prima i valori 1, 0; quindi i valori 0, 1. Otteniamo le seguenti soluzioni: 
.
Quindi, 
.
3) - sistema fondamentale di soluzioni. Resta da scrivere la soluzione generale del sistema originale: 
. .. Quindi esiste una sola soluzione della forma Sostituiamo X 3 in questo sistema: Cancella la terza riga (è simile alla seconda). Il sistema è coerente (ha una soluzione) per qualsiasi c. Sia c=1. 
O 
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