Numero costante UN chiamato limite sequenze(x n ), se per qualsiasi numero positivo arbitrariamente piccoloε > 0 esiste un numero N che ha tutti i valori x n, per cui n>N, soddisfa la disuguaglianza

|x n - a|< ε. (6.1)

Scrivilo come segue: oppure x n → UN.

La disuguaglianza (6.1) è equivalente alla doppia disuguaglianza

a-ε< x n < a + ε, (6.2)

il che significa che i punti x n, a partire da un numero n>N, giacciono all'interno dell'intervallo (a-ε, a+ ε ), cioè. cadere in qualsiasi piccoloε -intorno di un punto UN.

Viene chiamata una sequenza avente un limite convergente, Altrimenti - divergente.

Il concetto di limite di funzione è una generalizzazione del concetto di limite di sequenza, poiché il limite di una sequenza può essere considerato come il limite di una funzione x n = f(n) di un argomento intero N.

Sia data la funzione f(x) e sia UN - punto limite dominio di definizione di questa funzione D(f), cioè tale punto, un qualsiasi intorno del quale contiene punti dell'insieme D(f) diversi da UN. Punto UN può appartenere o meno all'insieme D(f).

Definizione 1.Viene chiamata la costante numero A limite funzioni f(x) A x→a, se per qualsiasi sequenza (x n) di argomenti valori tendenti a UN, le successioni corrispondenti (f(x n)) hanno lo stesso limite A.

Questa definizione si chiama definendo il limite di una funzione secondo Heine, O " nel linguaggio sequenziale”.

Definizione 2. Viene chiamata la costante numero A limite funzioni f(x) A x→a, se, specificando un numero positivo arbitrariamente piccolo ε, si può trovare tale δ>0 (a seconda di ε), che è per tutti X, che giace inε-intorni del numero UN, cioè. Per X, soddisfacendo la disuguaglianza
0 < x-a< ε , si troveranno i valori della funzione f(x).Quartiere ε del numero A, cioè|f(x)-A|< ε.

Questa definizione si chiama definendo il limite di una funzione secondo Cauchy, O “nella lingua ε - δ “.

Le definizioni 1 e 2 sono equivalenti. Se la funzione f(x) come x →a ha limite, uguale ad A, questo si scrive nella forma

. (6.3)

Nel caso in cui la successione (f(x n)) aumenta (o diminuisce) senza limiti per qualsiasi metodo di approssimazione X al tuo limite UN, allora diremo che la funzione f(x) ha limite infinito, e scrivilo nel formato:

Viene chiamata una variabile (cioè una sequenza o una funzione) il cui limite è zero infinitamente piccolo.

Viene chiamata una variabile il cui limite è uguale a infinito infinitamente grande.

Per trovare in pratica il limite si utilizzano i seguenti teoremi.

Teorema 1 . Se ogni limite esiste

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Commento. Espressioni come 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - sono incerti, ad esempio, il rapporto tra due quantità infinitesime o infinitamente grandi, e trovare un limite di questo tipo si chiama “scoprire incertezze”.

Teorema 2. (6.7)

quelli. si può arrivare al limite in base alla potenza con esponente costante, in particolare, ;

(6.8)

(6.9)

Teorema 3.

(6.10)

(6.11)

Dove e » 2.7 - base del logaritmo naturale. Le formule (6.10) e (6.11) sono dette la prima limite meraviglioso e il secondo limite notevole.

Nella pratica si applicano anche le conseguenze della formula (6.11):

(6.12)

(6.13)

(6.14)

in particolare il limite

Se x → a e contemporaneamente x > a, quindi scrivere x→a + 0. Se in particolare a = 0, allora al posto del simbolo 0+0 scrivi +0. Allo stesso modo se x→a e contemporaneamente x a-0. Numeri e vengono chiamati di conseguenza limite giusto E limite sinistro funzioni f(x) al punto UN. Perché ci sia un limite della funzione f(x) come x→a è necessario e sufficiente affinché . Viene chiamata la funzione f(x). continuo al punto x 0 se limite

. (6.15)

La condizione (6.15) può essere riscritta come:

,

cioè il passaggio al limite sotto il segno di una funzione è possibile se questa è continua in un dato punto.

Se l’uguaglianza (6.15) viene violata, allora si dice così A x = xo funzione f(x) Esso ha spacco Considera la funzione y = 1/x. Il dominio di definizione di questa funzione è l'insieme R, eccetto x = 0. Il punto x = 0 è un punto limite dell'insieme D(f), poiché in qualsiasi intorno di esso, cioè in ogni intervallo aperto contenente il punto 0, ci sono punti da D(f), ma esso stesso non appartiene a questo insieme. Il valore f(x o)= f(0) non è definito, quindi nel punto x o = 0 la funzione ha una discontinuità.

Viene chiamata la funzione f(x). continua a destra nel punto x o se il limite

,

E continuo a sinistra nel punto x o, se il limite

.

Continuità di una funzione in un punto xo equivale alla sua continuità in questo punto sia a destra che a sinistra.

Affinché la funzione sia continua in un punto xo, ad esempio, a destra, è necessario, in primo luogo, che esista un limite finito, e in secondo luogo, che questo limite sia uguale a f(x o). Pertanto, se almeno una di queste due condizioni non è soddisfatta, allora la funzione presenterà una discontinuità.

1. Se il limite esiste e non è uguale a f(x o), allora dicono così funzione f(x) al punto xo ha rottura del primo tipo, O salto.

2. Se il limite è+∞ o -∞ oppure non esiste, allora lo dicono in punto xo la funzione ha una discontinuità secondo tipo.

Ad esempio, la funzione y = lettino x in x→ +0 ha limite pari a +∞, il che significa che nel punto x=0 si ha una discontinuità del secondo tipo. Funzione y = E(x) (parte intera di X) nei punti con ascisse intere presenta discontinuità del primo tipo, ovvero salti.

Si dice una funzione continua in ogni punto dell'intervallo continuo V. Una funzione continua è rappresentata da una curva solida.

Molti problemi associati alla crescita continua di una certa quantità portano al secondo limite notevole. Tali compiti includono, ad esempio: crescita dei depositi secondo la legge dell'interesse composto, crescita della popolazione del paese, decadimento delle sostanze radioattive, proliferazione di batteri, ecc.

Consideriamo esempio di Ya. I. Perelman, dando un'interpretazione del numero e nel problema dell’interesse composto. Numero e c'è un limite . Nelle casse di risparmio gli interessi vengono aggiunti ogni anno al capitale fisso. Se l'adesione avviene più spesso, il capitale cresce più velocemente, poiché nella formazione degli interessi è coinvolta una somma maggiore. Facciamo un esempio puramente teorico, molto semplificato. Si depositino in banca 100 denari. unità basato sul 100% annuo. Se il denaro degli interessi viene aggiunto al capitale fisso solo dopo un anno, entro questo periodo allora 100 den. unità si trasformerà in 200 unità monetarie. Ora vediamo in cosa si trasformeranno 100 denize. unità, se gli interessi vengono aggiunti al capitale fisso ogni sei mesi. Dopo sei mesi, 100 den. unità crescerà fino a 100× 1,5 = 150 e dopo altri sei mesi - a 150× 1,5 = 225 (unità den.). Se l'adesione avviene ogni 1/3 dell'anno, dopo un anno 100 den. unità diventeranno 100× (1+1/3) 3" 237 (unità den.). Aumenteremo i termini per aggiungere gli interessi a 0,1 anno, a 0,01 anno, a 0,001 anno, ecc. Quindi su 100 den. unità dopo un anno sarà:

100 × (1 +1/10) 10 » 259 (unità den.),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (unità den.),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (unità den.).

Con una riduzione illimitata dei termini per l'aggiunta degli interessi, il capitale accumulato non cresce indefinitamente, ma si avvicina ad un certo limite pari a circa 271. Il capitale depositato al 100% annuo non può aumentare più di 2,71 volte, anche se gli interessi maturati venivano aggiunti al capitale ogni secondo perché il limite

Esempio 3.1.Utilizzando la definizione di limite di una sequenza numerica, dimostrare che la sequenza x n =(n-1)/n ha limite pari a 1.

Soluzione.Dobbiamo dimostrarlo, qualunque cosa accadaε > 0, qualunque cosa prendiamo, perché esiste un numero naturale N tale che per ogni n N vale la disuguaglianza|x n -1|< ε.

Prendiamo qualsiasi e > 0. Poiché ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, allora per trovare N è sufficiente risolvere la disuguaglianza 1/n< e. Quindi n>1/ e e, quindi, N può essere preso come parte intera di 1/ e , N = E(1/ e ). Abbiamo così dimostrato che il limite .

Esempio 3.2 . Trovare il limite di una successione data da un termine comune .

Soluzione.Applichiamo il limite del teorema della somma e troviamo il limite di ciascun termine. Quando n→ ∞ il numeratore e il denominatore di ciascun termine tendono all'infinito e non possiamo applicare direttamente il teorema del limite del quoziente. Pertanto, prima trasformiamo x n, dividendo numeratore e denominatore del primo termine per n2, e il secondo in poi N. Quindi, applicando il limite del quoziente e il limite del teorema della somma, troviamo:

.

Esempio 3.3. . Trovare .

Soluzione. .

Qui abbiamo utilizzato il teorema del limite del grado: il limite di un grado è uguale al grado del limite della base.

Esempio 3.4 . Trovare ( ).

Soluzione.È impossibile applicare il teorema del limite della differenza, poiché abbiamo un’incertezza della forma ∞-∞ . Trasformiamo la formula del termine generale:

.

Esempio 3.5 . È data la funzione f(x)=2 1/x. Dimostrare che non esiste alcun limite.

Soluzione.Usiamo la definizione 1 del limite di una funzione attraverso una sequenza. Prendiamo una successione ( x n ) convergente a 0, cioè Mostriamo che il valore f(x n)= si comporta diversamente per sequenze diverse. Sia x n = 1/n. Ovviamente, quindi il limite Scegliamo ora come x n una successione con termine comune x n = -1/n, anch'esso tendente a zero. Pertanto non vi è alcun limite.

Esempio 3.6 . Dimostrare che non esiste alcun limite.

Soluzione.Sia x 1 , x 2 ,..., x n ,... una successione per la quale
. Come si comporta la successione (f(x n)) = (sin x n) per diversi x n → ∞

Se x n = p n, allora sin x n = sin p n = 0 per tutti N e il limite Se
x n = 2 p n+ p /2, allora sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 per tutti N e quindi il limite. Quindi non esiste.

Widget per il calcolo dei limiti on-line

Nella finestra superiore, invece di sin(x)/x, inserisci la funzione di cui vuoi trovare il limite. Nella finestra inferiore, inserisci il numero a cui tende x e fai clic sul pulsante Calcola, ottieni il limite desiderato. E se nella finestra dei risultati fai clic su Mostra passaggi nell'angolo in alto a destra, otterrai una soluzione dettagliata.

Regole per l'immissione delle funzioni: sqrt(x) - radice quadrata, cbrt(x) - radice cubica, exp(x) - esponente, ln(x) - logaritmo naturale, sin(x) - seno, cos(x) - coseno, tan (x) - tangente, cot(x) - cotangente, arcsin(x) - arcoseno, arccos(x) - arcocoseno, arctan(x) - arcotangente. Segni: * moltiplicazione, / divisione, ^ esponenziale, invece infinito Infinito. Esempio: la funzione viene inserita come sqrt(tan(x/2)).

Funzione y = f (X)è una legge (regola) secondo la quale ad ogni elemento x dell'insieme X è associato uno ed un solo elemento y dell'insieme Y.

Elemento x ∈X chiamato argomento della funzione O variabile indipendente.
Elemento y ∈Y chiamato valore della funzione O variabile dipendente.

L'insieme X è chiamato dominio della funzione.
Insieme di elementi y ∈Y, che hanno preimmagini nell'insieme X, viene chiamato area o insieme di valori di funzione.

Viene richiamata la funzione vera e propria limitato dall'alto (dal basso), se esiste un numero M tale che la disuguaglianza vale per tutti:
.
Viene richiamata la funzione numerica limitato, se esiste un numero M tale che per tutti:
.

Bordo superiore O limite superiore esatto Una funzione reale è chiamata il numero più piccolo che limita dall'alto il suo intervallo di valori. Cioè questo è un numero s per il quale, per tutti e per chiunque, esiste un argomento il cui valore della funzione supera s′: .
Il limite superiore di una funzione può essere indicato come segue:
.

Rispettivamente bordo inferiore O limite inferiore esatto Una funzione reale è chiamata il numero più grande che limita il suo intervallo di valori dal basso. Cioè questo è un numero i per il quale, per tutti e per chiunque, esiste un argomento il cui valore della funzione è inferiore a i′: .
Il minimo di una funzione può essere indicato come segue:
.

Determinazione del limite di una funzione

Determinazione del limite di una funzione secondo Cauchy

Limiti finiti di funzione agli estremi

Sia definita la funzione in qualche intorno del punto finale, con la possibile eccezione del punto stesso. ad un certo punto, se per qualsiasi esiste una cosa del genere, dipendente da , che per ogni x per cui , vale la disuguaglianza
.
Il limite di una funzione è indicato come segue:
.
O a .

Utilizzando i simboli logici di esistenza e universalità, la definizione del limite di una funzione può essere scritta come segue:
.

Limiti unilaterali.
Limite sinistro in un punto (limite sinistro):
.
Limite destro in un punto (limite destro):
.
I limiti sinistro e destro sono spesso indicati come segue:
; .

Limiti finiti di una funzione nei punti all'infinito

I limiti nei punti all'infinito sono determinati in modo simile.
.
.
.
Sono spesso indicati come:
; ; .

Utilizzo del concetto di intorno di un punto

Se introduciamo il concetto di intorno punteggiato di un punto, allora possiamo dare una definizione unificata del limite finito di una funzione in punti finiti e infinitamente distanti:
.
Qui per gli endpoint
; ;
.
Qualsiasi intorno di punti all'infinito viene perforato:
; ; .

Limiti di funzioni infiniti

Definizione
Sia definita la funzione in un intorno forato di un punto (finito o all'infinito). Limite della funzione f (X) come x → x 0 equivale all'infinito, se per qualsiasi numero arbitrariamente grande M > 0 , esiste un numero δ M > 0 , a seconda di M, che per tutti gli x appartenenti all'intorno δ M - perforato del punto: , vale la seguente disuguaglianza:
.
Il limite infinito è indicato come segue:
.
O a .

Utilizzando i simboli logici dell'esistenza e dell'universalità, la definizione del limite infinito di una funzione può essere scritta come segue:
.

È inoltre possibile introdurre definizioni di limiti infiniti di determinati segni uguali a e :
.
.

Definizione universale del limite di una funzione

Utilizzando il concetto di intorno di un punto, possiamo dare una definizione universale del limite finito e infinito di una funzione, applicabile sia per punti finiti (bilateri e unilaterali) che infinitamente distanti:
.

Determinazione del limite di una funzione secondo Heine

Sia definita la funzione su un insieme X:.
Il numero a è chiamato limite della funzione al punto:
,
se per qualsiasi sequenza converge a x 0 :
,
i cui elementi appartengono all'insieme X: ,
.

Scriviamo questa definizione utilizzando i simboli logici dell'esistenza e dell'universalità:
.

Se prendiamo l'intorno sinistro del punto x come un insieme X 0 , allora otteniamo la definizione di limite sinistro. Se è destrorso, otteniamo la definizione del limite destro. Se prendiamo l'intorno di un punto all'infinito come insieme X, otteniamo la definizione del limite di una funzione all'infinito.

Teorema
Le definizioni di Cauchy e Heine del limite di una funzione sono equivalenti.
Prova

Proprietà e teoremi del limite di una funzione

Inoltre, assumiamo che le funzioni in esame siano definite nell'intorno corrispondente del punto, che è un numero finito o uno dei simboli: . Può anche essere un punto limite unilaterale, cioè avere la forma o . L'intorno è bilaterale per un limite bilaterale e unilaterale per un limite unilaterale.

Proprietà di base

Se i valori della funzione f (X) modificare (o rendere indefinito) un numero finito di punti x 1, x 2, x 3, ... x n, allora questo cambiamento non influenzerà l'esistenza e il valore del limite della funzione in un punto x arbitrario 0 .

Se esiste un limite finito, allora esiste un intorno perforato del punto x 0 , su cui la funzione f (X) limitato:
.

Sia la funzione nel punto x 0 limite finito diverso da zero:
.
Quindi, per qualsiasi numero c dell'intervallo , esiste un intorno perforato del punto x 0 , per che cosa ,
, Se ;
, Se .

Se, in qualche zona delimitata del punto, , è una costante, allora .

Se ci sono limiti finiti ee su qualche intorno forato del punto x 0
,
Quello .

Se , e su qualche intorno del punto
,
Quello .
In particolare, se in qualche intorno di un punto
,
allora se, allora e;
se , allora e .

Se su qualche zona perforata di un punto x 0 :
,
ed esistono limiti finiti (o infiniti di un certo segno):
, Quello
.

Le prove delle principali proprietà sono riportate nella pagina
"Proprietà fondamentali dei limiti di una funzione."

Proprietà aritmetiche del limite di una funzione

Lasciamo che le funzioni e siano definite in qualche quartiere forato del punto. E lasciamo che ci siano limiti finiti:
E .
E sia C una costante, cioè un dato numero. Poi
;
;
;
, Se .

Se poi.

Le dimostrazioni delle proprietà aritmetiche sono fornite nella pagina
"Proprietà aritmetiche dei limiti di una funzione".

Criterio di Cauchy per l'esistenza di un limite di una funzione

Teorema
Affinché una funzione definita su un intorno perforato di un punto x finito o infinito 0 , avesse a questo punto un limite finito, è necessario e sufficiente che per ogni ε > 0 c'era un quartiere così forato del punto x 0 , che per qualsiasi punto e a partire da questo intorno vale la seguente disuguaglianza:
.

Limite di una funzione complessa

Teorema sul limite di una funzione complessa
Lascia che la funzione abbia un limite e mappa un intorno perforato di un punto su un intorno perforato di un punto. Lascia che la funzione sia definita su questo intorno e abbia un limite su di esso.
Ecco i punti finali o infinitamente distanti: . I quartieri e i loro limiti corrispondenti possono essere bilaterali o unilaterali.
Allora esiste un limite di una funzione complessa ed è uguale a:
.

Il teorema limite di una funzione complessa si applica quando la funzione non è definita in un punto o ha valore diverso dal limite. Per applicare questo teorema, deve esserci un intorno forato del punto in cui l'insieme dei valori della funzione non contiene il punto:
.

Se la funzione è continua nel punto , allora è possibile applicare il segno limite all'argomento della funzione continua:
.
Il seguente è un teorema corrispondente a questo caso.

Teorema sul limite di una funzione continua di una funzione
Sia dato un limite alla funzione g (T) come t → t 0 , ed è uguale a x 0 :
.
Ecco il punto t 0 può essere finito o infinitamente distante: .
E sia la funzione f (X)è continua nel punto x 0 .
Allora esiste un limite della funzione complessa f (g(t)), ed è uguale a f (x0):
.

Le dimostrazioni dei teoremi sono riportate nella pagina
"Limite e continuità di una funzione complessa".

Funzioni infinitesime e infinitamente grandi

Funzioni infinitesime

Definizione
Una funzione si dice infinitesima se
.

Somma, differenza e prodotto di un numero finito di funzioni infinitesime in è una funzione infinitesima in .

Prodotto di una funzione limitata su qualche intorno forato del punto , ad un infinitesimo at è una funzione infinitesima at .

Affinché una funzione abbia limite finito è necessario e sufficiente che
,
dove è una funzione infinitesima in .

"Proprietà delle funzioni infinitesimali".

Funzioni infinitamente grandi

Definizione
Una funzione si dice infinitamente grande se
.

La somma o la differenza di una funzione limitata, su un intorno perforato del punto , e di una funzione infinitamente grande in è una funzione infinitamente grande in .

Se la funzione è infinitamente grande per , e la funzione è limitata in qualche intorno del punto , allora
.

Se la funzione , su qualche intorno forato del punto , soddisfa la disuguaglianza:
,
e la funzione è infinitesima in:
, e (su qualche zona perforata del punto), quindi
.

Le prove delle proprietà sono presentate nella sezione
"Proprietà di funzioni infinitamente grandi".

Relazione tra funzioni infinitamente grandi e infinitesime

Dalle due proprietà precedenti segue la connessione tra funzioni infinitamente grandi e infinitesime.

Se una funzione è infinitamente grande in , allora la funzione è infinitesima in .

Se una funzione è infinitesima per , e , allora la funzione è infinitamente grande per .

La relazione tra una funzione infinitesima e una funzione infinitamente grande può essere espressa simbolicamente:
, .

Se una funzione infinitesima ha un certo segno in , cioè è positiva (o negativa) in qualche intorno del punto , allora questo fatto può essere espresso come segue:
.
Allo stesso modo, se una funzione infinitamente grande ha un certo segno in , allora scrivono:
.

Quindi la connessione simbolica tra funzioni infinitamente piccole e infinitamente grandi può essere integrata con le seguenti relazioni:
, ,
, .

Ulteriori formule relative ai simboli dell'infinito possono essere trovate nella pagina
"Punti all'infinito e loro proprietà."

Limiti di funzioni monotone

Definizione
Viene chiamata una funzione definita su un insieme di numeri reali X strettamente crescente, se per tutti tale che vale la seguente disuguaglianza:
.
Di conseguenza, per strettamente decrescente funzione vale la seguente disuguaglianza:
.
Per non decrescente:
.
Per non crescente:
.

Ne consegue che una funzione strettamente crescente è anche non decrescente. Una funzione strettamente decrescente è anche non crescente.

La funzione viene chiamata monotono, se non è decrescente o non crescente.

Teorema
Lascia che la funzione non diminuisca nell'intervallo in cui .
Se è delimitato superiormente dal numero M: allora esiste un limite finito. Se non limitato dall'alto, allora .
Se è limitato dal basso dal numero m: allora il limite è finito. Se non limitato dal basso, allora .

Se i punti a e b sono all'infinito, nelle espressioni i segni limite significano che .
Questo teorema può essere formulato in modo più compatto.

Lascia che la funzione non diminuisca nell'intervallo in cui . Allora ci sono limiti unilaterali nei punti a e b:
;
.

Un teorema simile per una funzione non crescente.

Lascia che la funzione non aumenti nell'intervallo in cui . Poi ci sono limiti unilaterali:
;
.

La dimostrazione del teorema è presentata nella pagina
"Limiti delle funzioni monotone".

Riferimenti:
L.D. Kudryavtsev. Corso di analisi matematica. Volume 1. Mosca, 2003.
CM. Nikolsky. Corso di analisi matematica. Volume 1. Mosca, 1983.

La teoria dei limiti è uno dei rami dell'analisi matematica. La questione della risoluzione dei limiti è piuttosto ampia, poiché esistono dozzine di metodi per risolverli vari tipi. Esistono dozzine di sfumature e trucchi che ti consentono di risolvere questo o quel limite. Cercheremo comunque di comprendere le principali tipologie di limiti che più spesso si riscontrano nella pratica.

Partiamo dal concetto stesso di limite. Ma prima, un breve cenni storici. Visse nel XIX secolo un francese, Augustin Louis Cauchy, che pose le basi dell'analisi matematica e diede definizioni rigorose, in particolare la definizione di limite. Va detto che questo stesso Cauchy era, è e sarà negli incubi di tutti gli studenti dei dipartimenti di fisica e matematica, poiché ha dimostrato un numero enorme di teoremi di analisi matematica, e ogni teorema è più disgustoso dell'altro. A questo proposito non prenderemo in considerazione una definizione rigorosa del limite, ma cercheremo di fare due cose:

1. Comprendi cos'è un limite.
2. Impara a risolvere i principali tipi di limiti.

Mi scuso per alcune spiegazioni non scientifiche, è importante che il materiale sia comprensibile anche a una teiera, che, di fatto, è il compito del progetto.

Allora qual è il limite?

E solo un esempio del perché alla nonna irsuta....

Qualsiasi limite è composto da tre parti:

1) La famosa icona del limite.
2) Voci sotto l'icona del limite, in in questo caso. La voce recita "X tende a uno". Molto spesso - esattamente, anche se al posto della “X” in pratica ci sono altre variabili. Nei compiti pratici, il posto di uno può essere assolutamente qualsiasi numero, così come l'infinito ().
3) Funzioni sotto il segno limite, in questo caso .

La voce stessa recita così: “il limite di una funzione come x tende all’unità”.

Diamo un'occhiata alla prossima domanda importante: cosa significa l'espressione "x"? si sforza a uno"? E cosa significa “sforzarsi”?
Il concetto di limite è un concetto, per così dire, dinamico. Costruiamo una sequenza: prima , poi , , …, , ….
Cioè, l'espressione “x si sforza a uno” va intesa nel seguente modo: “x” assume costantemente i valori che si avvicinano all'unità infinitamente vicine e praticamente coincidono con essa.

Come risolvere l'esempio sopra? In base a quanto sopra, è sufficiente sostituirne uno nella funzione sotto il segno di limite:

Allora la prima regola: Quando viene dato un limite, per prima cosa proviamo semplicemente a inserire il numero nella funzione.

Abbiamo considerato il limite più semplice, ma questi si verificano anche nella pratica, e non così raramente!

Esempio con infinito:

Scopriamo di cosa si tratta? Questo è il caso quando aumenta senza limite, cioè: prima, poi, poi, poi e così all'infinito.

Cosa succede alla funzione in questo momento?
, , , …

Quindi: se , allora la funzione tende a meno infinito:

In parole povere, secondo la nostra prima regola, invece di “X” sostituiamo l’infinito nella funzione e otteniamo la risposta.

Un altro esempio con infinito:

Ancora una volta iniziamo ad aumentare all'infinito e osserviamo il comportamento della funzione:

Conclusione: quando la funzione aumenta senza limiti:

E un'altra serie di esempi:

Prova ad analizzare mentalmente quanto segue e ricorda i tipi di limiti più semplici:

, , , , , , , , ,
Se hai dei dubbi, puoi prendere una calcolatrice ed esercitarti un po'.
Nel caso in cui , provare a costruire la sequenza , , . Se poi , , .

Nota: in senso stretto, questo approccio alla costruzione di sequenze di più numeri non è corretto, ma è abbastanza adatto per comprendere gli esempi più semplici.

Prestare attenzione anche alla cosa seguente. Anche se viene dato un limite con un numero grande in alto, o anche con un milione: , allora è lo stesso , poiché prima o poi “X” assumerà valori così giganteschi che un milione in confronto ad essi sarà un vero e proprio microbo.

Cosa devi ricordare e capire da quanto sopra?

1) Quando viene dato un limite, prima proviamo semplicemente a sostituire il numero nella funzione.

2) Devi comprendere e risolvere immediatamente i limiti più semplici, come , , ecc.

Considereremo ora il gruppo dei limiti quando , e la funzione è una frazione il cui numeratore e denominatore contengono polinomi

Esempio:

Calcola limite

Secondo la nostra regola, proveremo a sostituire l'infinito nella funzione. Cosa otteniamo in cima? Infinito. E cosa succede sotto? Anche l'infinito. Abbiamo quindi quella che viene chiamata incertezza della specie. Si potrebbe pensare che , e la risposta è pronta, ma nel caso generale non è affatto così, ed è necessario applicare qualche tecnica risolutiva, che ora considereremo.

Come risolvere limiti di questo tipo?

Per prima cosa guardiamo il numeratore e troviamo la potenza più alta:

La potenza principale al numeratore è due.

Ora guardiamo il denominatore e troviamolo anche alla massima potenza:

Il grado più alto del denominatore è due.

Quindi scegliamo la potenza più alta del numeratore e del denominatore: in questo esempio sono uguali e uguali a due.

Quindi, il metodo di soluzione è il seguente: per rivelare l'incertezza, è necessario dividere il numeratore e il denominatore per la potenza più alta.

Eccola, la risposta, e non l'infinito.

Cosa è di fondamentale importanza nella progettazione di una decisione?

Innanzitutto, indichiamo l’incertezza, se presente.

In secondo luogo è consigliabile interrompere la soluzione per spiegazioni intermedie. Di solito uso il segno, non ha alcun significato matematico, ma significa che la soluzione viene interrotta per una spiegazione intermedia.

In terzo luogo, è consigliabile contrassegnare al limite cosa sta andando e dove. Quando il lavoro è redatto a mano, è più conveniente farlo in questo modo:

È meglio usare una matita semplice per gli appunti.

Naturalmente, non devi fare nulla di tutto ciò, ma poi, forse, l'insegnante indicherà i difetti della soluzione o inizierà a porre ulteriori domande sul compito. Ne hai bisogno?

Esempio 2

Trova il limite
Sempre al numeratore e al denominatore troviamo in massimo grado:

Grado massimo al numeratore: 3
Grado massimo al denominatore: 4
Scegliere più grande valore, in questo caso quattro.
Secondo il nostro algoritmo, per rivelare l'incertezza, dividiamo il numeratore e il denominatore per .
L'incarico completo potrebbe assomigliare a questo:

Dividi numeratore e denominatore per

Esempio 3

Trova il limite
Grado massimo della “X” al numeratore: 2
Grado massimo di “X” al denominatore: 1 (può essere scritto come)
Per rivelare l'incertezza è necessario dividere numeratore e denominatore per . La soluzione finale potrebbe assomigliare a questa:

Dividi numeratore e denominatore per

Notazione non significa divisione per zero (non si può dividere per zero), ma divisione per un numero infinitesimo.

Pertanto, scoprendo l’incertezza sulle specie, potremmo essere in grado di farlo numero finale, zero o infinito.

Limiti con incertezza di tipo e metodo per risolverli

Il successivo gruppo di limiti è in qualche modo simile ai limiti appena considerati: il numeratore e il denominatore contengono polinomi, ma “x” non tende più all’infinito, ma a numero finito.

Esempio 4

Limite di risoluzione
Innanzitutto, proviamo a sostituire -1 nella frazione:

In questo caso si ottiene la cosiddetta incertezza.

Regola generale : se il numeratore e il denominatore contengono polinomi e c'è incertezza sulla forma, allora rivelarlo devi fattorizzare il numeratore e il denominatore.

Per fare ciò, molto spesso è necessario risolvere un'equazione quadratica e/o utilizzare formule di moltiplicazione abbreviate. Se queste cose sono state dimenticate, visita la pagina Formule e tabelle matematiche e controlla materiale metodologico Formule calde corso scolastico matematici. A proposito, è meglio stamparlo, è necessario molto spesso e le informazioni vengono assorbite meglio dalla carta.

Quindi, risolviamo il nostro limite

Fattorizza il numeratore e il denominatore

Per fattorizzare il numeratore è necessario risolvere l'equazione quadratica:

Per prima cosa troviamo il discriminante:

E la sua radice quadrata: .

Se il discriminante è grande, ad esempio 361, utilizziamo una calcolatrice, la funzione di estrazione radice quadrata disponibile sul calcolatore più semplice.

! Se la radice non viene estratta per intero (si ottiene un numero frazionario con una virgola), è molto probabile che il discriminante sia stato calcolato in modo errato o che si sia verificato un errore di battitura.

Successivamente troviamo le radici:

Così:

Tutto. Il numeratore è fattorizzato.

Denominatore. Il denominatore è già il fattore più semplice e non c'è modo di semplificarlo.

Ovviamente si può abbreviare in:

Ora sostituiamo -1 nell'espressione che rimane sotto il segno limite:

Naturalmente, in un test, prova o esame, la soluzione non viene mai descritta in modo così dettagliato. Nella versione finale, il design dovrebbe assomigliare a questo:

Fattorizziamo il numeratore.

Esempio 5

Calcola limite

Innanzitutto, la versione “finitiva” della soluzione

Fattorizziamo il numeratore e il denominatore.

Numeratore:
Denominatore:



,

Cosa è importante in questo esempio?
Innanzitutto, devi avere una buona comprensione di come viene rivelato il numeratore, prima abbiamo preso 2 tra parentesi e poi abbiamo utilizzato la formula per la differenza dei quadrati. Questa è la formula che devi conoscere e vedere.

Metodi per risolvere i limiti. Incertezze.
L'ordine di crescita della funzione. Metodo di sostituzione

Esempio 4

Trova il limite

Questo è un esempio più semplice per decisione indipendente. Nell'esempio proposto c'è ancora una volta l'incertezza (di ordine di crescita superiore a quello della radice).

Se "x" tende a "meno infinito"

Lo spettro del “meno infinito” aleggia in questo articolo da molto tempo. Consideriamo i limiti con polinomi in cui . I principi e i metodi di soluzione saranno esattamente gli stessi della prima parte della lezione, ad eccezione di alcune sfumature.

Diamo un'occhiata a 4 trucchi che saranno necessari per risolvere compiti pratici:

1) Calcola il limite

Il valore del limite dipende solo dal termine, poiché ne ha di più ordine elevato crescita. Se poi infinitamente grande in modulo un numero negativo ad un livello PARI, in questo caso – nel quarto, è uguale a “più infinito”: . Costante (“due”) positivo, Ecco perché:

2) Calcolare il limite

Ecco di nuovo il diploma senior Anche, Ecco perché: . Ma davanti c'è un "meno" ( negativo costante –1), quindi:

3) Calcolare il limite

Il valore limite dipende solo da . Come ricordi da scuola, il "meno" "salta fuori" da sotto il grado dispari, quindi infinitamente grande in modulo numero negativo a una potenza DISPARIè uguale a “meno infinito”, in questo caso: .
Costante (“quattro”) positivo, Significa:

4) Calcolare il limite

Il primo ragazzo del villaggio ha di nuovo strano grado, inoltre, nel seno negativo costante, che significa: Quindi:
.

Esempio 5

Trova il limite

Utilizzando i punti precedenti, arriviamo alla conclusione che qui c'è incertezza. Il numeratore e il denominatore sono dello stesso ordine di crescita, il che significa che al limite il risultato sarà un numero finito. Scopriamo la risposta scartando tutti gli avannotti:

La soluzione è banale:

Esempio 6

Trova il limite

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo. Soluzione completa e risposta alla fine della lezione.

E ora, forse, il caso più sottile:

Esempio 7

Trova il limite

Considerando i termini principali, arriviamo alla conclusione che qui c'è incertezza. Il numeratore è di un ordine di crescita superiore al denominatore, quindi possiamo dire subito che il limite è uguale all'infinito. Ma che tipo di infinito, “più” o “meno”? La tecnica è la stessa: eliminiamo le piccole cose nel numeratore e nel denominatore:

Noi decidiamo:

Dividi numeratore e denominatore per

Esempio 15

Trova il limite

Questo è un esempio che puoi risolvere da solo. Un esempio approssimativo del progetto finale alla fine della lezione.

Un paio di esempi più interessanti sul tema della sostituzione delle variabili:

Esempio 16

Trova il limite

Sostituendo l'unità nel limite si ottiene l'incertezza. La modifica della variabile suggerisce già da sola, ma prima trasformiamo la tangente utilizzando la formula. In effetti, perché abbiamo bisogno di una tangente?

Da notare che, quindi. Se non è del tutto chiaro, guarda i valori del seno in tavola trigonometrica. Pertanto, eliminiamo immediatamente il moltiplicatore e otteniamo l'incertezza più familiare di 0:0. Sarebbe bello se il nostro limite tendesse allo zero.

Sostituiamo:

Se poi

Sotto il coseno abbiamo la “x”, che deve essere espressa anche tramite “te”.
Dalla sostituzione esprimiamo: .

Completiamo la soluzione:

(1) Effettuiamo la sostituzione

(2) Apri le parentesi sotto il coseno.

(4) Organizzare primo meraviglioso limite, moltiplica artificialmente il numeratore per e il numero reciproco.

Compito per una soluzione indipendente:

Esempio 17

Trova il limite

Soluzione completa e risposta alla fine della lezione.

Questi erano compiti semplici nella loro classe, in pratica tutto può andare peggio e, in più formule di riduzione, devi usare una varietà di formule trigonometriche, così come altri trucchi. Nell'articolo Complex Limits ho visto un paio di esempi reali =)

Alla vigilia delle vacanze, faremo finalmente chiarezza sulla situazione con un'altra incertezza comune:

Eliminazione dell’incertezza “uno alla potenza dell’infinito”

Questa incertezza è “servita” secondo meraviglioso limite, e nella seconda parte di quella lezione abbiamo esaminato in dettaglio esempi standard di soluzioni che si trovano nella pratica nella maggior parte dei casi. Ora il quadro con gli esponenti sarà completato, inoltre, i compiti finali della lezione saranno dedicati ai limiti “falsi”, in cui SEMBRA che sia necessario applicare il 2° limite meraviglioso, sebbene questo non sia affatto il caso.

Lo svantaggio delle due formule di lavoro per il 2° limite notevole è che l’argomento deve tendere a “più infinito” o a zero. Ma cosa succede se l’argomento tende a un numero diverso?

Una formula universale viene in soccorso (che in realtà è una conseguenza del secondo limite notevole):

L’incertezza può essere eliminata utilizzando la formula:

Da qualche parte penso di aver già spiegato cosa significano le parentesi quadre. Niente di speciale, le parentesi sono solo parentesi. Di solito vengono utilizzati per evidenziare più chiaramente la notazione matematica.

Evidenziamo i punti essenziali della formula:

1) Si tratta solo sull’incertezza e nient’altro.

2) L'argomento "x" può tendere a valore arbitrario(e non solo a zero o), in particolare, a “meno infinito” o a chiunque numero finito.

Usando questa formula puoi risolvere tutti gli esempi della lezione. Limiti meravigliosi, che appartengono al 2° limite notevole. Ad esempio, calcoliamo il limite:

In questo caso , e secondo la formula :

È vero, non consiglio di farlo; la tradizione è di utilizzare ancora il design “solito” della soluzione, se applicabile. Tuttavia utilizzando la formula è molto comodo verificare esempi "classici" fino al 2° limite notevole.

Per chi vuole imparare a trovare i limiti, in questo articolo ve ne parleremo. Non approfondiremo la teoria; gli insegnanti di solito la spiegano durante le lezioni. Quindi la “teoria noiosa” dovrebbe essere annotata sui tuoi quaderni. In caso contrario, puoi leggere i libri di testo presi in prestito dalla biblioteca. Istituto d'Istruzione o su altre risorse Internet.

Quindi, il concetto di limite è piuttosto importante nello studio del corso matematica superiore, soprattutto una volta che si incontra il calcolo integrale e si comprende la relazione tra limite e integrale. Il materiale attuale esaminerà semplici esempi e i modi per risolverli.

Esempi di soluzioni

Esempio 1

Calcola a) $ \lim_(x \to 0) \frac(1)(x) $; b)$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) $

Soluzione

a) $$ \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty $$ b)$$ \lim_(x \to \infty) \frac(1)(x) = 0 $$ Le persone spesso ci inviano questi limiti con una richiesta di aiuto per risolverli. Abbiamo deciso di evidenziarli come esempio separato e di spiegare che questi limiti, di regola, devono solo essere ricordati. Se non riesci a risolvere il tuo problema, inviacelo. Forniremo una soluzione dettagliata. Potrai visualizzare lo stato di avanzamento del calcolo e ottenere informazioni. Questo ti aiuterà a ottenere il voto dal tuo insegnante in modo tempestivo!

Risposta

$$ \text(a)) \lim \limits_(x \to 0) \frac(1)(x) = \infty \text( b))\lim \limits_(x \to \infty) \frac(1 )(x) = 0$$

Cosa fare con l'incertezza della forma: $ \bigg [\frac(0)(0) \bigg ] $

Esempio 3

Risolvi $ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) $

Soluzione

Come sempre, iniziamo sostituendo il valore $ x $ nell'espressione sotto il segno limite. $$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac((-1)^2-1)(-1+1)=\frac( 0)(0)$$ Qual è il prossimo passo? Cosa dovrebbe succedere alla fine? Poiché si tratta di incertezza, questa non è ancora una risposta e continuiamo il calcolo. Dato che abbiamo un polinomio ai numeratori, lo fattorizzeremo utilizzando la formula familiare a tutti fin dalla scuola $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Ti ricordi? Grande! Ora vai avanti e usalo con la canzone :) Troviamo che il numeratore $ x^2-1=(x-1)(x+1) $ Continuiamo a risolvere tenendo conto della trasformazione di cui sopra: $$ \lim \limits_(x \to -1)\frac(x^2-1)(x+1) = \lim \limits_(x \to -1)\frac((x-1)(x+ 1 ))(x+1) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to -1)(x-1)=-1-1=-2 $$

Risposta

$$ \lim \limits_(x \to -1) \frac(x^2-1)(x+1) = -2 $$

Spostiamo all'infinito il limite degli ultimi due esempi e consideriamo l'incertezza: $ \bigg [\frac(\infty)(\infty) \bigg ] $

Esempio 5

Calcola $ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) $

Soluzione

$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \frac(\infty)(\infty) $ Cosa fare? Cosa dovrei fare? Niente panico, perché l'impossibile è possibile. È necessario eliminare la x sia dal numeratore che dal denominatore, quindi ridurla. Successivamente, prova a calcolare il limite. Proviamo... $$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) =\lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2(1-\frac (1)(x^2)))(x(1+\frac(1)(x))) = $$ $$ = \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x(1-\frac(1)(x^2)))((1+\frac(1)(x))) = $$ Usando la definizione dell'Esempio 2 e sostituendo x con infinito, otteniamo: $$ = \frac(\infty(1-\frac(1)(\infty)))((1+\frac(1)(\infty))) = \frac(\infty \cdot 1)(1+ 0) = \frac(\infty)(1) = \infty $$

Risposta

$$ \lim \limits_(x \to \infty) \frac(x^2-1)(x+1) = \infty $$

Algoritmo per il calcolo dei limiti

Quindi, riassumiamo brevemente gli esempi e creiamo un algoritmo per risolvere i limiti:

1. Sostituisci il punto x nell'espressione che segue il segno limite. Se si ottiene un certo numero o infinito, il limite è completamente risolto. Altrimenti abbiamo l’incertezza: “zero diviso zero” oppure “infinito diviso infinito” e passiamo ai passi successivi delle istruzioni.
2. Per eliminare l'incertezza di “zero diviso zero”, è necessario fattorizzare il numeratore e il denominatore. Ridurre quelli simili. Sostituisci il punto x nell'espressione sotto il segno limite.
3. Se l'incertezza è “infinito diviso per infinito”, allora eliminiamo sia il numeratore che il denominatore x nella massima misura. Accorciamo le X. Sostituiamo i valori di x da sotto il limite nell'espressione rimanente.

In questo articolo hai imparato le basi per risolvere i limiti che vengono spesso utilizzati nel corso. Analisi matematica. Naturalmente questi non sono tutti i tipi di problemi proposti dagli esaminatori, ma solo i limiti più semplici. Parleremo di altri tipi di incarichi negli articoli futuri, ma prima devi imparare questa lezione per andare avanti. Discutiamo su cosa fare se ci sono radici, gradi, studio di funzioni equivalenti infinitesimali, limiti notevoli, regola di L'Hopital.

Se non riesci a capire da solo i limiti, niente panico. Siamo sempre felici di aiutarti!