Rappresentare in forma trigonometrica il numero 2. Forme trigonometriche ed esponenziali di un numero complesso. Numeri complessi in forma trigonometrica

Operazioni su numeri complessi scritte forma algebrica

Forma algebrica di un numero complesso z =(UN,B).è detta espressione algebrica della forma

z = UN + bi.

Operazioni aritmetiche sui numeri complessi z 1 = un 1 +b 1 io E z 2 = un 2 +b 2 io, scritti in forma algebrica, si effettuano come segue.

1. Somma (differenza) di numeri complessi

z 1 ± z 2 = (UN 1 ±a 2) + (B 1 ±b 2)∙i,

quelli. l'addizione (sottrazione) viene eseguita secondo la regola per l'aggiunta di polinomi con riduzione di termini simili.

2. Prodotto di numeri complessi

z 1 ∙z 2 = (UN 1 ∙a 2 - B 1 ∙b 2) + (UN 1 ∙b 2 +a 2 ∙b 1)∙i,

quelli. la moltiplicazione viene eseguita secondo la consueta regola per la moltiplicazione dei polinomi, tenendo conto del fatto che io 2 = 1.

3. La divisione di due numeri complessi viene eseguita secondo la seguente regola:

, (z 2 ≠ 0),

quelli. la divisione si effettua moltiplicando il dividendo e il divisore per il numero coniugato del divisore.

L'esponenziazione dei numeri complessi è definita come segue:

È facile dimostrarlo

Esempi.

1. Trova la somma di numeri complessi z 1 = 2 – io E z 2 = – 4 + 3io.

z 1 +z 2 = (2 + (–1)∙i)+ (–4 + 3io) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) io = –2+2io.

2. Trova il prodotto di numeri complessi z 1 = 2 – 3io E z 2 = –4 + 5io.

= (2 – 3io) ∙ (–4 + 5io) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3io)+ 2∙5io– 3io∙ 5io = 7+22io.

3. Trova il quoziente z dalla divisione z 1 = 3 – 2na z 2 = 3 – io.

z = .

4. Risolvi l'equazione: , X E sì Î R.

(2x+y) + (x+y)io = 2 + 3io.

Per l'uguaglianza dei numeri complessi abbiamo:

Dove x =–1 , sì= 4.

5. Calcola: io 2 ,io 3 ,io 4 ,io 5 ,io 6 ,io -1 , io -2 .

6. Calcola se .

.

7. Calcola il reciproco di un numero z=3-io.

Numeri complessi in forma trigonometrica

Piano complesso chiamato piano di coordinate cartesiane ( x, y), se ogni punto con coordinate ( un, b) è associato a un numero complesso z = a + bi. In questo caso viene chiamato l'asse delle ascisse asse reale e l'asse delle ordinate è immaginario. Quindi ogni numero complesso a+bi rappresentato geometricamente su un piano come un punto A (a, b) o vettoriale.

Pertanto, la posizione del punto UN(e, quindi, un numero complesso z) può essere specificato dalla lunghezza del vettore | | = R e angolo J, formato dal vettore | | con la direzione positiva dell'asse reale. Viene chiamata la lunghezza del vettore modulo di un numero complesso ed è indicato con | z |=r e l'angolo J chiamato argomento sui numeri complessi ed è designato j = argomento z.

È chiaro che | z| ³ 0 e | z | = 0 Û z = 0.

Dalla fig. 2 è chiaro che.

L'argomento di un numero complesso è determinato in modo ambiguo, ma con una precisione pari a 2 pk, kÎ Z.

Dalla fig. 2 è anche chiaro che se z=a+bi E j=arg z, Quello

cos j =,peccato j =, tg j = .

Se zÎR E z> 0, allora argomento z = 0 +2p.c;

Se z ОR E z< 0, allora argomento z = p + 2p.c;

Se z = 0,argomento z indefinito.

Il valore principale dell'argomento è determinato nell'intervallo 0 £ arg z£ 2 P,

O -P£ arg z £ p.

Esempi:

1. Trova il modulo dei numeri complessi z 1 = 4 – 3io E z 2 = –2–2io.

2. Definire le aree sul piano complesso definite dalle condizioni:

1) | z | = 5; 2) | z| £ 6; 3) | z – (2+io) | £ 3; 4) £ 6 | z – io| £ 7.

Soluzioni e risposte:

1) | z| = 5 Û Û - equazione della circonferenza con raggio 5 e centro nell'origine.

2) Una circonferenza di raggio 6 con centro nell'origine.

3) Cerchio di raggio 3 con centro nel punto z0 = 2 + io.

4) Un anello delimitato da cerchi di raggio 6 e 7 con centro in un punto z 0 = io.

3. Trova il modulo e l'argomento dei numeri: 1) ; 2).

1) ; UN = 1, B = Þ ,

Þj1= .

2) z 2 = –2 – 2io; un =–2, b =-2Þ ,

.

Suggerimento: quando si determina l'argomento principale, utilizzare il piano complesso.

Così: z 1 = .

2) , R 2 = 1, j2 = , .

3) , R 3 = 1, j3 = , .

4) , R 4 = 1, j4 = , .

2.3. Forma trigonometrica dei numeri complessi

Sia specificato il vettore sul piano complesso dal numero .

Indichiamo con φ l'angolo formato dal semiasse positivo Ox e il vettore (l'angolo φ è considerato positivo se misurato in senso antiorario, negativo altrimenti).

Indichiamo la lunghezza del vettore con r. Poi . Indichiamo anche

Scrivere un numero complesso z diverso da zero nella forma

è detta forma trigonometrica del numero complesso z. Il numero r è chiamato modulo del numero complesso z, e il numero φ è chiamato argomento di questo numero complesso ed è indicato con Arg z.

Forma trigonometrica per scrivere un numero complesso - (formula di Eulero) - forma esponenziale per scrivere un numero complesso:

Il numero complesso z ha infiniti argomenti: se φ0 è un argomento qualsiasi del numero z, allora tutti gli altri si possono trovare utilizzando la formula

Per un numero complesso, l'argomento e la forma trigonometrica non sono definiti.

Pertanto, l'argomento di un numero complesso diverso da zero è qualsiasi soluzione al sistema di equazioni:

(3)

Il valore φ dell'argomento di un numero complesso z, che soddisfa le disuguaglianze, è chiamato valore principale ed è indicato con arg z.

Gli argomenti Arg z e arg z sono correlati da

, (4)

La formula (5) è una conseguenza del sistema (3), quindi tutti gli argomenti di un numero complesso soddisfano l'uguaglianza (5), ma non tutte le soluzioni φ dell'equazione (5) sono argomenti del numero z.

Il valore principale dell'argomento di un numero complesso diverso da zero si trova secondo le formule:

Le formule per moltiplicare e dividere i numeri complessi in forma trigonometrica sono le seguenti:

. (7)

Quando si eleva un numero complesso a potenza naturale, viene utilizzata la formula di Moivre:

Quando si estrae la radice di un numero complesso, viene utilizzata la formula:

, (9)

dove k=0, 1, 2, …, n-1.

Problema 54. Calcola dove .

Presentiamo una soluzione data espressione in forma esponenziale di scrittura di un numero complesso: .

Se poi.

Poi , . Dunque, allora E , Dove .

Risposta: , A .

Problema 55. Scrivi i numeri complessi in forma trigonometrica:

UN) ; B) ; V); G) ; D) ; e) ; E) .

Poiché la forma trigonometrica di un numero complesso è , allora:

a) In un numero complesso: .

,

Ecco perché

B) , Dove ,

G) , Dove ,

e) .

E) , UN , Quello .

Ecco perché

Risposta: ; 4; ; ; ; ; .

Problema 56. Trova la forma trigonometrica di un numero complesso

.

Permettere , .

Poi , , .

Dal e , , quindi , e

Pertanto, quindi

Risposta: , Dove .

Problema 57. Usando la forma trigonometrica di un numero complesso, esegui le seguenti azioni: .

Immaginiamo i numeri e in forma trigonometrica.

1), dove Poi

Trova il valore dell'argomento principale:

Sostituiamo i valori e nell'espressione otteniamo

2) , dove allora

Poi

3) Troviamo il quoziente

Assumendo k=0, 1, 2, otteniamo tre diversi valori della radice desiderata:

Se poi

se poi

se poi .

Risposta: :

:

: .

Problema 58. Siano , , , numeri complessi diversi e . Prova che

un numero è valido numero positivo;

b) vale l'uguaglianza:

a) Rappresentiamo questi numeri complessi in forma trigonometrica:

Perché .

Facciamo finta che. Poi

.

L'ultima espressione è un numero positivo, poiché i segni del seno contengono numeri dell'intervallo.

dal numero reale e positivo. Infatti, se aeb sono numeri complessi e sono reali e maggiori di zero, allora .

Oltretutto,

pertanto, l'uguaglianza richiesta è dimostrata.

Problema 59. Scrivi il numero in forma algebrica .

Rappresentiamo il numero in forma trigonometrica e troviamo poi la sua forma algebrica. Abbiamo . Per otteniamo il sistema:

Ciò implica l'uguaglianza: .

Applicando la formula di Moivre: ,

noi abbiamo

Si trova la forma trigonometrica del numero dato.

Scriviamo ora questo numero in forma algebrica:

.

Risposta: .

Problema 60. Trova la somma , ,

Consideriamo l'importo

Applicando la formula di Moivre, troviamo

Questa somma è la somma di n termini di una progressione geometrica con il denominatore e il primo membro .

Applicando la formula per la somma dei termini di tale progressione, abbiamo

Isolando la parte immaginaria nell'ultima espressione, troviamo

Isolando la parte reale si ottiene anche la seguente formula: , , .

Problema 61. Trova la somma:

UN) ; B) .

Secondo la formula di esponenziazione di Newton, abbiamo

Utilizzando la formula di Moivre troviamo:

Uguagliando le parti reale e immaginaria delle espressioni risultanti per , abbiamo:

E .

Queste formule possono essere scritte in forma compatta come segue:

,

, Dove - intera parte numeri a.

Problema 62. Trova tutto , per il quale .

Perché il , quindi, utilizzando la formula

, Per estrarre le radici, otteniamo ,

Quindi, , ,

, .

I punti corrispondenti ai numeri si trovano ai vertici di un quadrato inscritto in una circonferenza di raggio 2 con centro nel punto (0;0) (Fig. 30).

Risposta: , ,

, .

Problema 63. Risolvi l'equazione , .

Per condizione; pertanto, questa equazione non ha radice e quindi è equivalente all'equazione.

Affinché il numero z sia la radice di una determinata equazione, il numero deve essere ennesima radice gradi dal numero 1.

Da qui concludiamo che l'equazione originale ha radici determinate dalle uguaglianze

,

Così,

,

cioè. ,

Risposta: .

Problema 64. Risolvi l'equazione nell'insieme dei numeri complessi.

Poiché il numero non è la radice di questa equazione, allora per questa equazione è equivalente all'equazione

Cioè, l'equazione.

Tutte le radici di questa equazione si ottengono dalla formula (vedi problema 62):

; ; ; ; .

Problema 65. Disegna sul piano complesso un insieme di punti che soddisfano le disuguaglianze: . (2° modo per risolvere il problema 45)

Permettere .

I numeri complessi aventi moduli identici corrispondono a punti del piano che giacciono su un cerchio centrato nell'origine, quindi la disuguaglianza soddisfare tutti i punti di un anello aperto delimitato da cerchi con centro comune nell'origine e raggi e (Fig. 31). Supponiamo che qualche punto del piano complesso corrisponda al numero w0. Numero , ha un modulo molte volte più piccolo del modulo w0 e un argomento maggiore dell'argomento w0. CON punto geometrico Dal punto di vista, il punto corrispondente a w1 può essere ottenuto utilizzando l'omotetà con il centro nell'origine e il coefficiente , nonché una rotazione rispetto all'origine di un angolo in senso antiorario. In seguito all'applicazione di queste due trasformazioni ai punti dell'anello (Fig. 31), quest'ultimo si trasformerà in un anello delimitato da cerchi con lo stesso centro e raggi 1 e 2 (Fig. 32).

Conversione implementato utilizzando il trasferimento parallelo a un vettore. Trasferendo l'anello con il centro nel punto al vettore indicato, otteniamo un anello della stessa dimensione con il centro nel punto (Fig. 22).

Il metodo proposto, che sfrutta l'idea delle trasformazioni geometriche di un piano, è probabilmente meno comodo da descrivere, ma risulta molto elegante ed efficace.

Problema 66. Trova se .

Lascia , allora e . L'uguaglianza iniziale assumerà la forma . Dalla condizione di uguaglianza di due numeri complessi si ottiene , , da cui , . Così, .

Scriviamo il numero z in forma trigonometrica:

, Dove , . Secondo la formula di Moivre, troviamo .

Risposta: – 64.

Problema 67. Per un numero complesso, trova tutti i numeri complessi tali che , e .

Rappresentiamo il numero in forma trigonometrica:

. Da qui, . Per il numero che otteniamo , può essere uguale a o .

Nel primo caso , nel secondo

.

Risposta: , .

Problema 68. Trova la somma di tali numeri che . Per favore indica uno di questi numeri.

Si noti che già dalla formulazione del problema si capisce che la somma delle radici dell'equazione può essere trovata senza calcolare le radici stesse. Infatti, la somma delle radici dell'equazione è il coefficiente per , preso con il segno opposto (teorema di Vieta generalizzato), cioè

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3.1. Coordinate polari

Spesso usato su un aereo sistema di coordinate polari . È definito se è dato un punto O, chiamato palo, e il raggio proveniente dal polo (per noi questo è l'asse Bue) – asse polare. La posizione del punto M è fissata da due numeri: raggio (o raggio vettore) e angolo φ tra l'asse polare e il vettore. Si chiama l'angolo φ angolo polare; misurato in radianti e contato in senso antiorario dall'asse polare.

La posizione di un punto nel sistema di coordinate polari è data da una coppia ordinata di numeri (r; φ). Al Polo r = 0, e φ non è definito. Per tutti gli altri punti r > 0, e φ è definito fino ad un termine multiplo di 2π. In questo caso, coppie di numeri (r; φ) e (r 1 ; φ 1) sono associate allo stesso punto se .

Per un sistema di coordinate rettangolare xOy Le coordinate cartesiane di un punto possono essere facilmente espresse in termini di coordinate polari come segue:

3.2. Interpretazione geometrica dei numeri complessi

Consideriamo un sistema di coordinate cartesiane rettangolari sul piano xOy.

Qualsiasi numero complesso z=(a, b) è associato a un punto del piano di coordinate ( x, y), Dove coordinata x = a, cioè la parte reale del numero complesso e la coordinata y = bi è la parte immaginaria.

Un piano i cui punti sono numeri complessi è un piano complesso.

Nella figura, il numero complesso z = (a, b) corrisponde ad un punto M(x, y).

Esercizio.Disegna numeri complessi sul piano delle coordinate:

3.3. Forma trigonometrica di un numero complesso

Un numero complesso sul piano ha le coordinate di un punto M(x;y). In cui:

Scrivere un numero complesso - forma trigonometrica di un numero complesso.

Viene chiamato il numero r modulo numero complesso z ed è designato . Il modulo è un numero reale non negativo. Per .

Il modulo è zero se e solo se z = 0, cioè un = b = 0.

Viene chiamato il numero φ argomento z ed è designato. L'argomento z è definito in modo ambiguo, come l'angolo polare nel sistema di coordinate polari, cioè fino a un termine multiplo di 2π.

Allora accettiamo: , dove φ è il valore più piccolo dell'argomento. E' ovvio

.

Quando si approfondisce l'argomento, viene introdotto un argomento ausiliario φ*, tale che

Esempio 1. Trova la forma trigonometrica di un numero complesso.

Soluzione. 1) considera il modulo: ;

2) cercando φ: ;

3) forma trigonometrica:

Esempio 2. Trova la forma algebrica di un numero complesso .

Qui è sufficiente sostituire i valori funzioni trigonometriche e trasformiamo l'espressione:

Esempio 3. Trova il modulo e l'argomento di un numero complesso;

1) ;

2) ; φ – in 4 quarti:

3.4. Operazioni con numeri complessi in forma trigonometrica

· Addizione e sottrazioneÈ più conveniente trattare i numeri complessi in forma algebrica:

· Moltiplicazione– utilizzando semplici trasformazioni trigonometriche si può dimostrare che Quando si moltiplicano, i moduli dei numeri vengono moltiplicati e gli argomenti vengono aggiunti: ;

Conferenza

Forma trigonometrica di un numero complesso

Piano

1. Rappresentazione geometrica dei numeri complessi.

2. Notazione trigonometrica dei numeri complessi.

3. Azioni sui numeri complessi in forma trigonometrica.

Rappresentazione geometrica dei numeri complessi.

a) I numeri complessi si rappresentano da punti su un piano secondo la seguente regola: UN + bi = M ( UN ; B ) (Fig. 1).

Immagine 1

b) Un numero complesso può essere rappresentato da un vettore che inizia nel puntoDI e la fine in un dato punto (Fig. 2).

figura 2

Esempio 7. Costruisci punti che rappresentano numeri complessi:1; - io ; - 1 + io ; 2 – 3 io (Fig. 3).

Figura 3

Notazione trigonometrica dei numeri complessi.

Numero complessoz = UN + bi può essere specificato utilizzando il vettore del raggio con le coordinate( UN ; B ) (Fig. 4).

Figura 4

Definizione . Lunghezza del vettore , che rappresenta un numero complessoz , è chiamato modulo di questo numero ed è indicato OR .

Per qualsiasi numero complessoz il suo moduloR = | z | è determinato unicamente dalla formula .

Definizione . L'ampiezza dell'angolo tra la direzione positiva dell'asse reale e il vettore , che rappresenta un numero complesso, è chiamato argomento di questo numero complesso ed è denotatoUN rg z Oφ .

Argomento sui numeri complessiz = 0 indefinito. Argomento sui numeri complessiz≠ 0 – una quantità multivalore ed è determinata entro un termine2πk (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; …): Arg z = arg z +2πk , Dovearg z – il valore principale dell'argomento contenuto nell'intervallo(-π; π] , questo è-π < arg z ≤ π (a volte un valore appartenente all'intervallo viene preso come valore principale dell'argomento .

Questa formula quandoR =1 spesso chiamata formula di Moivre:

(cos φ + i sin φ) N = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

Esempio 11: Calcola(1 + io ) 100 .

Scriviamo un numero complesso1 + io in forma trigonometrica.

a = 1, b = 1 .

cosφ = , peccato φ = , φ = .

(1+i) 100 = [ (cos + peccato )] 100 = ( ) 100 (cos 100 + peccato ·100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .

4) Estrazione radice quadrata da un numero complesso.

Quando si calcola la radice quadrata di un numero complessoUN + bi abbiamo due casi:

SeB >o , Quello ;

NUMERI COMPLESSI XI

§ 256. Forma trigonometrica dei numeri complessi

Sia un numero complesso a+bi corrisponde al vettore O.A.> con coordinate ( un, b ) (vedi Fig. 332).

Indichiamo la lunghezza di questo vettore con R e l'angolo che forma con l'asse X , Attraverso φ . Per definizione di seno e coseno:

UN / R =cos φ , B / R = peccato φ .

Ecco perché UN = R cos φ , B = R peccato φ . Ma in questo caso il numero complesso a+bi può essere scritto come:

a+bi = R cos φ + lo peccato φ = R (cos φ + io peccato φ ).

Come è noto, il quadrato della lunghezza di qualsiasi vettore pari alla somma quadrati delle sue coordinate. Ecco perché R 2 = UN 2 + B 2, da dove R = √a 2 + B 2

COSÌ, qualsiasi numero complesso a+bi può essere rappresentato nella forma :

a+bi = R (cos φ + io peccato φ ), (1)

dove r = √a 2 + B 2 e l'angolo φ è determinato dalla condizione:

Questa forma di scrittura dei numeri complessi si chiama trigonometrico.

Numero R nella formula (1) è chiamato modulo e l'angolo φ - discussione, numero complesso a+bi .

Se un numero complesso a+bi non è uguale a zero, allora il suo modulo è positivo; Se a+bi = 0, quindi un = b = 0 e poi R = 0.

Il modulo di qualsiasi numero complesso è determinato in modo univoco.

Se un numero complesso a+bi non è uguale a zero, il suo argomento è determinato dalle formule (2) decisamente preciso rispetto ad un angolo divisibile per 2 π . Se a+bi = 0, quindi un = b = 0. In questo caso R = 0. Dalla formula (1) è facile capirlo come argomento φ V in questo caso puoi scegliere qualsiasi angolazione: dopotutto, in qualsiasi φ

0 (cos φ + io peccato φ ) = 0.

Pertanto l'argomento nullo non è definito.

Modulo di un numero complesso R a volte indicato | z |, e l'argomento arg z . Diamo un'occhiata ad alcuni esempi di rappresentazione di numeri complessi in forma trigonometrica.

Esempio. 1. 1 + io .

Troviamo il modulo R e argomento φ questo numero.

R = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Quindi peccato φ = 1 / √ 2, cos φ = 1 / √ 2, da cui φ = π / 4 + 2Nπ .

Così,

1 + io = √ 2 ,

Dove P - qualsiasi numero intero. Di solito, dall'insieme infinito di valori dell'argomento di un numero complesso, se ne sceglie uno compreso tra 0 e 2 π . In questo caso, questo valore è π / 4 . Ecco perché

1 + io = √ 2 (cos π / 4 + io peccato π / 4)

Esempio 2. Scrivi un numero complesso in forma trigonometrica √ 3 - io . Abbiamo:

R = √ 3+1 = 2, cos φ = √ 3/2, peccato φ = - 1 / 2

Pertanto fino ad un angolo divisibile per 2 π , φ = 11 / 6 π ; quindi,

√ 3 - io = 2(cos 11/6 π + io peccato 11/6 π ).

Esempio 3 Scrivi un numero complesso in forma trigonometrica io.

Numero complesso io corrisponde al vettore O.A.> , che termina nel punto A dell'asse A con ordinata 1 (Fig. 333). La lunghezza di tale vettore è 1 e l'angolo che forma con l'asse x è uguale a π / 2. Ecco perché

io =cos π / 2 + io peccato π / 2 .

Esempio 4. Scrivi il numero complesso 3 in forma trigonometrica.

Il numero complesso 3 corrisponde al vettore O.A. > X ascissa 3 (Fig. 334).

La lunghezza di tale vettore è 3 e l'angolo che forma con l'asse x è 0. Pertanto

3 = 3 (cos0+ io peccato 0),

Esempio 5. Scrivi il numero complesso -5 in forma trigonometrica.

Il numero complesso -5 corrisponde a un vettore O.A.> che termina in un punto dell'asse X con ascissa -5 (Fig. 335). La lunghezza di tale vettore è 5 e l'angolo che forma con l'asse x è uguale π . Ecco perché

5 = 5(cos π + io peccato π ).

Esercizi

2047. Scrivi questi numeri complessi in forma trigonometrica, definendone i moduli e gli argomenti:

1) 2 + 2√3 io , 4) 12io - 5; 7).3io ;

2) √3 + io ; 5) 25; 8) -2io ;

3) 6 - 6io ; 6) - 4; 9) 3io - 4.

2048. Indicare sul piano un insieme di punti rappresentanti numeri complessi i cui moduli r e argomenti φ soddisfano le condizioni:

1) R = 1, φ = π / 4 ; 4) R < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) R =2; 5) 2 < R <3; 8) 0 < φ < я;

3) R < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < R < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. I numeri possono essere contemporaneamente modulo di un numero complesso? R E - R ?

2050. Gli argomenti di un numero complesso possono essere contemporaneamente angoli? φ E - φ ?

Presenta questi numeri complessi in forma trigonometrica, definendone i moduli e gli argomenti:

2051*. 1+cos α + io peccato α . 2054*. 2(cos 20° - io peccato 20°).

2052*. peccato φ + io cos φ . 2055*. 3(- cos 15° - io peccato 15°).