Moltiplicando i gradi si sommano. Regole per l'aggiunta di poteri. Applicazione dei gradi e loro proprietà

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Proprietà delle potenze con le stesse basi

Esistono tre proprietà dei gradi con le stesse basi ed esponenti naturali. Questo

• Lavoro somma
• Privato due potenze con le stesse basi equivalgono all'espressione in cui la base è la stessa e l'esponente lo è differenza indicatori dei fattori originari.
• Elevare un numero a una potenzaè uguale a un'espressione in cui la base è lo stesso numero e l'esponente lo è lavoro due gradi.

Stai attento! Regole in merito addizione e sottrazione gradi con le stesse basi non esiste.

Scriviamo queste regole di proprietà sotto forma di formule:

• Sono ? un n = un m+n
• Sono ? un n = un m–n
• (a m) n = a mn

Ora esaminiamoli utilizzando esempi specifici e proviamo a dimostrarli.

5 2 ? 5 3 = 5 5 - qui abbiamo applicato la regola; Ora immaginiamo come risolveremmo questo esempio se non conoscessimo le regole:

5 2 ? 5 3 = 5 ? 5? 5? 5? 5 = 5 5 - cinque al quadrato è cinque volte cinque, e il cubo è il prodotto di tre cinque. Il risultato è il prodotto di cinque cinque, ma questo è qualcosa di diverso da cinque alla quinta potenza: 5 5 .

3 9 ? 3 5 = 3 9–5 = 3 4. Scriviamo la divisione come frazione:

Può essere abbreviato:

Di conseguenza otteniamo:

Abbiamo quindi dimostrato che quando si dividono due potenze con le stesse basi è necessario sottrarre i loro esponenti.

Tuttavia, durante la divisione, il divisore non può essere uguale a zero (poiché non è possibile dividere per zero). Inoltre, poiché consideriamo i gradi solo con esponenti naturali, non possiamo, sottraendo gli esponenti, ottenere un numero inferiore a 1. Pertanto, la formula a m? a n = a m–n restrizioni sono imposte: a ? 0 e m > n.

Passiamo alla terza proprietà:
(2 2) 4 = 2 2?4 = 2 8

Scriviamolo in forma estesa:
(2 2) 4 = (2 ? 2) 4 = (2 ? 2) ? (2 ? 2) ? (2 ? 2) ? (2 ? 2) = 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 = 2 8

Puoi arrivare a questa conclusione ragionando logicamente. Devi moltiplicare due al quadrato per quattro volte. Ma ci sono due due in ogni quadrato, il che significa che ci saranno otto due in totale.

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Regole per addizioni e sottrazioni.

1. Cambiare la posizione dei termini non cambia la somma (proprietà commutativa dell'addizione)

13+25=38, può essere scritto come: 25+13=38

2. Il risultato dell'addizione non cambierà se i termini adiacenti vengono sostituiti dalla loro somma (proprietà associativa dell'addizione).

10+13+3+5=31 può essere scritto come: 23+3+5=31; 26+5=31; 23+8=31, ecc.

3. Le unità si sommano alle unità, le decine si sommano alle decine, ecc.

34+11=45 (3 decine più 1 altra decina; 4 unità più 1 unità).

4. Le unità vengono sottratte alle unità, le decine alle decine, ecc.

53-12=41 (3 unità meno 2 unità; 5 decine meno 1 decina)

nota: 10 unità fanno uno dieci. Questo deve essere ricordato quando si sottrae, perché se il numero di unità del sottraendo è maggiore di quello del minuendo, allora possiamo “prendere in prestito” una decina dal minuendo.

41-12 = 29 (Per sottrarre 1 da 2 dobbiamo prima “prendere in prestito” uno dalle decine, otteniamo 11-2 = 9; ricordiamo che quello che si riduce ha 1 meno dieci, quindi rimangono 3 decine e da viene sottratto 1 dieci (Risposta 29).

5. Se ne sottrai uno dalla somma di due termini, ottieni il secondo termine.

Ciò significa che l'addizione può essere controllata utilizzando la sottrazione.

Per verificare, sottrai uno dei termini dalla somma: 49-7=42 o 49-42=7

Se, a seguito della sottrazione, non hai ricevuto uno dei termini, è stato commesso un errore nell'aggiunta.

6. Se aggiungi il sottraendo alla differenza, ottieni il minuendo.

Ciò significa che la sottrazione può essere controllata mediante addizione.

Per verificare, aggiungi il sottraendo alla differenza: 19+50=69.

Se, a seguito della procedura sopra descritta, non hai ricevuto la sottrazione, è stato commesso un errore nella sottrazione.

Addizione e sottrazione di numeri razionali

Questa lezione riguarda l'addizione e la sottrazione di numeri razionali. L'argomento è classificato come complesso. Qui è necessario utilizzare l'intero arsenale di conoscenze precedentemente acquisite.

Le regole per sommare e sottrarre numeri interi valgono anche per i numeri razionali. Ricordiamo che i numeri razionali sono numeri che possono essere rappresentati come una frazione, dove UN - questo è il numeratore della frazione, Bè il denominatore della frazione. Inoltre B non dovrebbe essere zero.

In questa lezione chiameremo sempre più frazioni e numeri misti con una frase comune: numeri razionali.

Navigazione della lezione:

Esempio 1. Trova il valore di un'espressione

Racchiudiamo ogni numero razionale tra parentesi insieme ai suoi segni. Teniamo presente che il più indicato nell'espressione è un segno di operazione e non si applica a una frazione. Questa frazione ha il proprio segno più, che è invisibile perché non è scritto. Ma lo scriviamo per chiarezza:

Questa è l'addizione di numeri razionali con segni diversi. Per sommare numeri razionali con segni diversi, è necessario sottrarre quello più piccolo dal modulo più grande e anteporre al risultato risultante il segno il cui modulo è maggiore. E per capire quale modulo è maggiore e quale è minore, bisogna poter confrontare i moduli di queste frazioni prima di calcolarle:

Il modulo di un numero razionale è maggiore del modulo di un numero razionale. Pertanto, abbiamo sottratto da . Abbiamo ricevuto una risposta. Quindi, riducendo questa frazione di 2, abbiamo ottenuto la risposta finale.

Se lo si desidera, alcune azioni primitive, come racchiudere i numeri tra parentesi e aggiungere moduli, possono essere saltate. Questo esempio può essere scritto brevemente:

Esempio 2. Trova il valore di un'espressione

Racchiudiamo ogni numero razionale tra parentesi insieme ai suoi segni. Teniamo presente che il meno indicato nell'espressione è un segno dell'operazione e non si applica a una frazione.

La frazione in questo caso è un numero razionale positivo con un segno più invisibile. Ma lo scriviamo per chiarezza:

Sostituiamo la sottrazione con l'addizione. Ricordiamo che per fare ciò è necessario aggiungere il numero opposto al minuendo del sottraendo:

Abbiamo ottenuto la somma dei numeri razionali negativi. Per aggiungere numeri razionali negativi, devi sommare i loro moduli e mettere un segno meno davanti alla risposta risultante:

Esempio 3. Trova il valore di un'espressione

In questa espressione le frazioni hanno denominatori diversi. Per semplificare il nostro compito, riduciamo queste frazioni allo stesso denominatore (comune). Non ci soffermeremo su questo in dettaglio. Se hai difficoltà, assicurati di tornare alla lezione su come operare con le frazioni e ripeterla.

Dopo aver ridotto le frazioni a un denominatore comune, l'espressione assumerà la forma seguente:

Questa è l'addizione di numeri razionali con segni diversi. Sottraiamo il modulo più piccolo dal modulo più grande e anteponiamo alla risposta risultante il segno il cui modulo è maggiore:

Esempio 4. Trova il valore di un'espressione

Abbiamo una somma di tre termini. Innanzitutto, troviamo il valore dell'espressione, quindi aggiungiamolo alla risposta risultante

Prima azione:

Seconda azione:

Pertanto, il valore dell'espressione è uguale a.

La soluzione di questo esempio può essere scritta brevemente

Esempio 5. Trova il valore di un'espressione

Racchiudiamo ogni numero tra parentesi insieme ai suoi segni. Per fare ciò, espandiamo temporaneamente il numero misto

Calcoliamo le parti intere:

Nell'espressione principale, invece di Scriviamo l'unità risultante:

Comprimiamo l'espressione risultante. Per fare ciò, ometti le parentesi e scrivi insieme l'unità e la frazione

La soluzione per questo esempio può essere scritta brevemente:

Esempio 6. Trova il valore di un'espressione

Convertiamo il numero misto in una frazione impropria. Riscriviamo il resto così com'è:

Racchiudiamo ogni numero razionale tra parentesi insieme ai suoi segni:

Sostituiamo la sottrazione con l'addizione:

Abbiamo ottenuto la somma dei numeri razionali negativi. Sommiamo i moduli di questi numeri e mettiamo un segno meno davanti alla risposta risultante:

Pertanto, il valore dell'espressione è .

La soluzione per questo esempio può essere scritta brevemente:

Esempio 7. Trova il valore di un'espressione

Scriviamo il numero misto in forma estesa. Riscriviamo il resto così com'è:

Racchiudiamo ogni numero razionale tra parentesi insieme ai suoi segni

Sostituiamo la sottrazione con l'addizione ove possibile:

Calcoliamo le parti intere:

Nell'espressione principale, invece di scrivere il numero risultante?7

L'espressione è una forma estesa di scrittura di un numero misto. Puoi scrivere immediatamente la risposta scrivendo insieme i numeri?7 e la frazione (nascondendo il meno di questa frazione)

Quindi il valore dell'espressione è

La soluzione per questo esempio può essere scritta molto più breve. Tralasciando alcuni dettagli, si può scrivere così:

Esempio 8. Trova il valore di un'espressione

Questa espressione può essere calcolata in due modi. Diamo un'occhiata a ciascuno di essi.

Primo modo. Le parti intere e frazionarie dell'espressione vengono valutate separatamente.

Per prima cosa scriviamo i numeri misti in forma estesa:

Racchiudiamo ogni numero tra parentesi insieme ai suoi segni:

Sostituiamo la sottrazione con l'addizione ove possibile:

Abbiamo una somma di diversi termini. Secondo la legge combinatoria dell'addizione, se un'espressione contiene più termini, la somma non dipenderà dall'ordine delle azioni. Questo ci permetterà di raggruppare separatamente le parti intere e frazionarie:

Calcoliamo le parti intere:

Nell'espressione principale, invece di scrivere il numero risultante?3

Calcoliamo le parti frazionarie:

Nell'espressione principale, invece di scrivere il numero misto risultante

Per valutare l'espressione risultante, è necessario espandere temporaneamente il numero misto, quindi racchiudere ciascun numero tra parentesi e sostituire la sottrazione con l'addizione. Questo deve essere fatto con molta attenzione per non confondere i segni dei termini.

Dopo aver trasformato l'espressione, abbiamo ottenuto una nuova espressione facile da calcolare. Un'espressione simile si trovava nell'esempio 7. Ricordiamo che abbiamo aggiunto separatamente le parti intere e lasciato la parte frazionaria così com'è:

Quindi il valore dell'espressione è

La soluzione di questo esempio può essere scritta brevemente

La soluzione breve salta i passaggi relativi all'inserimento dei numeri tra parentesi, alla sostituzione della sottrazione con l'addizione e all'aggiunta di moduli. Se sei a scuola o in un altro istituto scolastico, ti verrà richiesto di saltare queste azioni primitive per risparmiare tempo e spazio. La soluzione breve sopra può essere scritta anche più breve. Apparirà così:

Pertanto, quando sei a scuola o in un altro istituto scolastico, sii preparato al fatto che alcune azioni dovranno essere eseguite nella tua mente.

Secondo modo. Le espressioni di numeri misti vengono convertite in frazioni improprie e calcolate come frazioni ordinarie.

Racchiudiamo tra parentesi ogni numero razionale insieme ai suoi segni

Sostituiamo la sottrazione con l'addizione:

Ora trasformiamo i numeri misti in frazioni improprie:

Abbiamo ottenuto la somma dei numeri razionali negativi. Sommiamo i loro moduli e mettiamo un segno meno davanti alla risposta risultante:

Abbiamo ricevuto la stessa risposta dell'ultima volta.

La soluzione dettagliata per il secondo metodo è la seguente:

Esempio 9. Trova espressioni espressive

Primo modo. Aggiungiamo separatamente le parti intere e frazionarie.

Questa volta proveremo a saltare alcune azioni primitive, come scrivere un'espressione in forma estesa, racchiudere i numeri tra parentesi, sostituire la sottrazione con l'addizione e aggiungere moduli:

Tieni presente che le parti frazionarie sono state ridotte a un denominatore comune.

Secondo modo. Convertiamo i numeri misti in frazioni improprie e calcoliamoli come frazioni ordinarie.

Esempio 10. Trova il valore di un'espressione

Sostituiamo la sottrazione con l'addizione:

L'espressione risultante non contiene numeri negativi, che rappresentano la causa principale degli errori. E poiché non ci sono numeri negativi, possiamo rimuovere il segno più davanti al sottraendo e anche le parentesi. Quindi otteniamo l'espressione più semplice che è facile da calcolare:

In questo esempio, le parti intere e frazionarie sono state calcolate separatamente.

Esempio 11. Trova il valore di un'espressione

Questa è l'addizione di numeri razionali con segni diversi. Sottraiamo il modulo più piccolo dal modulo più grande e anteponiamo al numero risultante il segno il cui modulo è maggiore:

Esempio 12. Trova il valore di un'espressione

L'espressione è composta da diversi parametri. In base all'ordine delle azioni, è necessario eseguire prima le azioni tra parentesi.

Per prima cosa calcoliamo l'espressione, quindi aggiungiamo le risposte risultanti.

Prima azione:

Seconda azione:

Terza azione:

Risposta: valore espressivo equivale

Esempio 13. Trova il valore di un'espressione

Sostituiamo la sottrazione con l'addizione:

Si ottiene sommando numeri razionali con segni diversi. Sottraiamo quello più piccolo dal modulo più grande e mettiamo davanti alla risposta il segno il cui modulo è più grande. Ma abbiamo a che fare con numeri contrastanti. Per capire quale modulo è maggiore e quale è minore è necessario confrontare i moduli di questi numeri misti. E per confrontare i moduli dei numeri misti, devi convertirli in frazioni improprie e confrontarli come frazioni ordinarie.

La figura seguente mostra tutte le fasi del confronto dei moduli di numeri misti

Dopo aver scoperto quale modulo è più grande e quale è più piccolo, possiamo continuare a calcolare il nostro esempio:

Quindi, il significato dell'espressione equivale

Consideriamo l'addizione e la sottrazione delle frazioni decimali, che appartengono anche ai numeri razionali e che possono essere sia positive che negative.

Esempio 14. Trova il valore dell'espressione?3.2 + 4.3

Racchiudiamo ogni numero razionale tra parentesi insieme ai suoi segni. Teniamo presente che il più indicato nell'espressione è un segno di operazione e non si applica alla frazione decimale 4.3. Questa frazione decimale ha il proprio segno più, che è invisibile perché non è scritto. Ma lo scriviamo per chiarezza:

Questa è l'addizione di numeri razionali con segni diversi. Per sommare numeri razionali con segni diversi, è necessario sottrarre quello più piccolo dal modulo più grande e anteporre al risultato risultante il segno il cui modulo è maggiore. E per capire quale modulo è più grande e quale è più piccolo, devi essere in grado di confrontare i moduli di queste frazioni decimali prima di calcolarle:

Il modulo del numero 4.3 è maggiore del modulo del numero ?3.2, quindi abbiamo sottratto 3.2 da 4.3. Abbiamo ricevuto la risposta 1.1. La risposta è positiva, poiché la risposta deve contenere il segno del modulo più grande, cioè il modulo |+4,3|.

Pertanto, il valore dell'espressione?3.2 + (+4.3) è 1.1

Esempio 15. Trova il valore dell'espressione 3,5 + (?8,3)

Questa è l'addizione di numeri razionali con segni diversi. Come nell'esempio precedente, sottrai il modulo minore dal modulo maggiore e anteponi alla risposta il segno il cui modulo è maggiore

3,5 + (?8,3) = ?(|?8,3| ? |3,5|) = ?(8,3 ? 3,5) = ?(4,8) = ?4,8

Pertanto, il valore dell'espressione 3,5 + (?8.3) è uguale a?4.8

Questo esempio può essere scritto brevemente:

Esempio 16. Trova il valore dell'espressione?7,2 + (?3,11)

Questa è la somma di numeri razionali negativi. Per aggiungere numeri razionali negativi, devi sommare i loro moduli e mettere un segno meno davanti alla risposta risultante. Puoi saltare la voce con i moduli per non ingombrare l'espressione:

7,2 + (?3,11) = ?7,20 + (?3,11) = ?(7,20 + 3,11) = ?(10,31) = ?10,31

Pertanto, il valore dell'espressione?7.2 + (?3.11) è uguale a?10.31

Questo esempio può essere scritto brevemente:

Esempio 17. Trova il valore dell'espressione?0,48 + (?2,7)

Questa è la somma di numeri razionali negativi. Sommiamo i loro moduli e mettiamo un segno meno davanti alla risposta risultante. Puoi saltare la voce con i moduli per non ingombrare l'espressione:

0,48 + (?2,7) = (?0,48) + (?2,70) = ?(0,48 + 2,70) = ?(3,18) = ?3,18

Esempio 18. Trova il valore dell'espressione?4,9 ? 5.9

Racchiudiamo ogni numero razionale tra parentesi insieme ai suoi segni. Teniamo presente che il meno indicato nell'espressione è un segno dell'operazione e non si applica alla frazione decimale 5.9. Questa frazione decimale ha il proprio segno più, che è invisibile perché non è scritto. Ma lo scriviamo per chiarezza:

Sostituiamo la sottrazione con l'addizione:

Abbiamo ottenuto la somma dei numeri razionali negativi. Somma i loro moduli e metti un segno meno davanti alla risposta risultante. Puoi saltare la voce con i moduli per non ingombrare l'espressione:

(?4,9) + (?5,9) = ?(4,9 + 5,9) = ?(10,8) = ?10,8

Pertanto, il valore dell'espressione è ?4.9 ? 5,9 equivale a 10,8

= ?(4,9 + 5,9) = ?(10,8) = ?10,8

Esempio 19. Trova il valore dell'espressione 7? 9.3

Mettiamo ogni numero tra parentesi insieme ai suoi segni

Sostituiamo la sottrazione con l'addizione

Abbiamo ottenuto la somma di numeri razionali con segni diversi. Sottraiamo quello più piccolo dal modulo più grande e mettiamo davanti alla risposta il segno il cui modulo è più grande. Puoi saltare la voce con i moduli per non ingombrare l'espressione:

(+7) + (?9,3) = ?(9,3 ? 7) = ?(2,3) = ?2,3

Pertanto, il valore dell'espressione 7 ? 9.3 equivale a?2.3

La soluzione dettagliata di questo esempio è scritta come segue:

7 ? 9,3 = (+7) ? (+9,3) = (+7) + (?9,3) = ?(|?9,3| ? |+7|) =

Una soluzione breve sarebbe simile a questa:

Esempio 20. Trova il valore dell'espressione?0.25 ? (?1,2)

Sostituiamo la sottrazione con l'addizione:

Abbiamo ottenuto la somma di numeri razionali con segni diversi. Sottraiamo il modulo più piccolo dal modulo più grande e anteponiamo alla risposta il segno il cui modulo è maggiore:

0,25 + (+1,2) = |+1,2| ? |?0,25| = 1,2 ? 0,25 = 0,95

La soluzione dettagliata di questo esempio è scritta come segue:

0,25 ? (?1,2) = (?0,25) + (+1,2) = |+1,2| ? |?0,25| = 1,2 ? 0,25 = 0,95

Una soluzione breve sarebbe simile a questa:

Esempio 21. Trova il valore dell'espressione?3,5 + (4,1 ? 7,1)

Prima di tutto, eseguiamo le azioni tra parentesi, quindi aggiungiamo la risposta risultante con il numero?3.5. Salteremo la voce con i moduli per non ingombrare le espressioni.

Prima azione:

4,1 ? 7,1 = (+4,1) ? (+7,1) = (+4,1) + (?7,1) = ?(7,1 ? 4,1) = ?(3,0) = ?3,0

Seconda azione:

3,5 + (?3,0) = ?(3,5 + 3,0) = ?(6,5) = ?6,5

Risposta: il valore dell'espressione?3,5 + (4,1 ? 7,1) è pari a?6,5.

3,5 + (4,1 ? 7,1) = ?3,5 + (?3,0) = ?6,5

Esempio 22. Trovare il valore dell'espressione (3,5 ? 2,9)? (3,7 ? 9,1)

Eseguiamo le azioni tra parentesi, quindi dal numero ottenuto come risultato dell'esecuzione delle prime parentesi sottraiamo il numero ottenuto come risultato dell'esecuzione delle seconde parentesi. Salteremo la voce con i moduli per non ingombrare le espressioni.

Prima azione:

3,5 ? 2,9 = (+3,5) ? (+2,9) = (+3,5) + (?2,9) = 3,5 ? 2,9 = 0,6

Seconda azione:

3,7 ? 9,1 = (+3,7) ? (+9,1) = (+3,7) + (?9,1) = ?(9,1 ? 3,7) = ?(5,4) = ?5,4

Terzo atto

0,6 ? (?5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6

Risposta: valore dell'espressione (3,5 ? 2,9) ? (3,7 × 9,1) equivale a 6.

Una breve soluzione a questo esempio può essere scritta come segue:

(3,5 ? 2,9) ? (3,7 ? 9,1) = 0,6 ? (?5,4) = 6,0 = 6

Esempio 23. Trova il valore dell'espressione?3.8 + 17.15 ? 6.2? 6.15

Racchiudiamo tra parentesi ogni numero razionale insieme ai suoi segni

Se possibile, sostituisci la sottrazione con l’addizione

L'espressione è composta da diversi termini. Secondo la legge combinatoria dell'addizione, se un'espressione è composta da più termini, la somma non dipenderà dall'ordine delle azioni. Ciò significa che i termini possono essere aggiunti in qualsiasi ordine.

Non reinventiamo la ruota, ma sommiamo tutti i termini da sinistra a destra nell'ordine in cui appaiono:

Prima azione:

(?3,8) + (+17,15) = 17,15 ? 3,80 = 13,35

Seconda azione:

13,35 + (?6,2) = 13,35 ? ?6,20 = 7,15

Terza azione:

7,15 + (?6,15) = 7,15 ? 6,15 = 1,00 = 1

Risposta: valore dell'espressione?3,8 + 17,15 ? 6.2? 6,15 equivale a 1.

Una breve soluzione a questo esempio può essere scritta come segue:

3,8 + 17,15 ? 6,2 ? 6,15 = 13,35 + (?6,2) ? 6,15 = 7,15 ? 6,15 = 1,00 = 1

Le soluzioni brevi creano meno problemi e confusione, quindi è consigliabile abituarsi.

Esempio 24. Trova il valore di un'espressione

Convertiamo la frazione decimale?1.8 in un numero misto. Riscriveremo il resto così com'è. Se hai difficoltà a convertire un decimale in un numero misto, assicurati di rivedere la lezione sui decimali.

Esempio 25. Trova il valore di un'espressione

Sostituiamo la sottrazione con l'addizione. Allo stesso tempo trasformiamo la frazione decimale (?4,4) in frazione impropria

Non sono presenti numeri negativi nell'espressione risultante. E poiché non ci sono numeri negativi, possiamo rimuovere il segno più davanti al secondo numero e omettere le parentesi. Quindi otteniamo una semplice espressione per l'addizione, che può essere facilmente risolta

Esempio 26. Trova il valore di un'espressione

Convertiamo il numero misto in una frazione impropria e la frazione decimale?0,85 in una frazione comune. Otteniamo la seguente espressione:

Abbiamo ottenuto la somma dei numeri razionali negativi. Sommiamo i loro moduli e mettiamo un segno meno davanti alla risposta risultante. Puoi saltare la voce con i moduli per non ingombrare l'espressione:

Esempio 27. Trova il valore di un'espressione

Convertiamo entrambe le frazioni in frazioni improprie. Per convertire il decimale 2,05 in una frazione impropria, puoi convertirlo prima in un numero misto e poi in una frazione impropria:

Dopo aver convertito entrambe le frazioni in frazioni improprie, otteniamo la seguente espressione:

Abbiamo ottenuto la somma di numeri razionali con segni diversi. Sottraiamo il modulo più piccolo dal modulo più grande e anteponiamo alla risposta risultante il segno il cui modulo è maggiore:

Esempio 28. Trova il valore di un'espressione

Sostituiamo la sottrazione con l'addizione. Allo stesso tempo, convertiamo la frazione decimale in una frazione comune

Esempio 29. Trova il valore di un'espressione

Convertiamo le frazioni decimali ?0,25 e ?1,25 in frazioni ordinarie e lasciamo il resto così com'è. Otteniamo la seguente espressione:

Puoi prima sostituire la sottrazione con l'addizione, ove possibile, e aggiungere i numeri razionali uno dopo l'altro. Esiste una seconda opzione: prima sommare i numeri razionali e , quindi sottrarre il numero razionale dal numero risultante. Utilizzeremo questa opzione.

Prima azione:

Seconda azione:

Risposta: valore espressivo uguale a?2.

Esempio 30. Trova il valore di un'espressione

Convertiamo le frazioni decimali in frazioni ordinarie. Lasciamo il resto così com'è

Abbiamo una somma di diversi termini. Se la somma è composta da più termini, l'espressione può essere valutata in qualsiasi ordine. Ciò segue dalla legge associativa dell'addizione.

Pertanto, possiamo organizzare l'opzione più conveniente per noi. Innanzitutto si possono sommare il primo e l'ultimo termine, ovvero i numeri razionali e . Questi numeri hanno gli stessi denominatori, il che significa che questo ci libererà dalla necessità di ridurli a questo.

Prima azione:

Al numero risultante si può aggiungere il secondo termine, cioè un numero razionale. I numeri razionali hanno denominatori identici nelle loro parti frazionarie, il che è ancora una volta un vantaggio per noi

Seconda azione:

Bene, aggiungiamo il numero risultante?7 con l'ultimo termine, cioè il numero razionale. Convenientemente, quando si calcola questa espressione, i sette scompariranno, cioè la loro somma sarà uguale a zero, poiché la somma dei numeri opposti è zero

Terza azione:

Risposta: il valore dell'espressione è

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Somma e sottrazione di numeri interi

In questa lezione impareremo addizione e sottrazione di numeri interi, nonché le regole per la loro addizione e sottrazione.

Ricordiamo che i numeri interi sono tutti numeri positivi e negativi, compreso il numero 0. Ad esempio, i seguenti numeri sono interi:

I numeri positivi sono facili da aggiungere e sottrarre, moltiplicare e dividere. Sfortunatamente, lo stesso non si può dire dei numeri negativi, che confondono molti principianti con i loro meno davanti a ogni numero. Come dimostra la pratica, gli errori commessi a causa dei numeri negativi sono quelli che frustrano maggiormente gli studenti.

Esempi di addizione e sottrazione di numeri interi

La prima cosa che dovresti imparare è aggiungere e sottrarre numeri interi utilizzando una linea di coordinate. Non è affatto necessario tracciare una linea di coordinate. Basta immaginarlo nei tuoi pensieri e vedere dove si trovano i numeri negativi e dove sono quelli positivi.

Consideriamo l'espressione più semplice: 1 + 3. Il valore di questa espressione è 4:

Questo esempio può essere compreso utilizzando una linea di coordinate. Per fare ciò, dal punto in cui si trova il numero 1, è necessario spostare tre gradini verso destra. Di conseguenza ci troveremo nel punto in cui si trova il numero 4. Nella figura puoi vedere come ciò avviene:

Il segno più nell'espressione 1 + 3 ci dice che dovremmo spostarci verso destra nella direzione dei numeri crescenti.

Esempio 2. Troviamo il valore dell'espressione 1? 3.

Il valore di questa espressione è?2

Anche questo esempio può essere compreso utilizzando una linea di coordinate. Per fare ciò, dal punto in cui si trova il numero 1, è necessario spostarsi verso sinistra di tre passaggi. Di conseguenza, ci troveremo nel punto in cui si trova il numero negativo?2. Nella foto puoi vedere come avviene questo:

Segno meno nell'espressione 1? 3 ci dice che dovremmo spostarci a sinistra nella direzione dei numeri decrescenti.

In generale, è necessario ricordare che se si esegue l'addizione, è necessario spostarsi a destra nella direzione dell'aumento. Se viene eseguita la sottrazione, è necessario spostarsi a sinistra nella direzione della diminuzione.

Esempio 3. Trova il valore dell'espressione?2 + 4

Il valore di questa espressione è 2

Anche questo esempio può essere compreso utilizzando una linea di coordinate. Per fare ciò, dal punto in cui si trova il numero negativo?2, è necessario spostare quattro passi verso destra. Di conseguenza, ci troveremo nel punto in cui si trova il numero positivo 2.

Si può vedere che ci siamo spostati di quattro passi dal punto in cui si trova il numero negativo?2 verso destra e siamo arrivati ​​al punto in cui si trova il numero positivo 2.

Il segno più nell'espressione ?2 + 4 ci dice che dovremmo spostarci verso destra nella direzione dei numeri crescenti.

Esempio 4. Trovare il valore dell'espressione?1 ? 3

Il valore di questa espressione è?4

Anche questo esempio può essere risolto utilizzando una linea di coordinate. Per fare ciò, dal punto in cui si trova il numero negativo?1, è necessario spostarsi verso sinistra di tre passaggi. Di conseguenza, ci troveremo nel punto in cui si trova il numero negativo?4

Si può vedere che ci siamo spostati di tre passi dal punto in cui si trova il numero negativo?1 verso sinistra e siamo arrivati ​​al punto in cui si trova il numero negativo?4.

Il segno meno nell'espressione?1 ? 3 ci dice che dovremmo spostarci a sinistra nella direzione dei numeri decrescenti.

Esempio 5. Trova il valore dell'espressione?2 + 2

Il valore di questa espressione è 0

Questo esempio può essere risolto utilizzando una linea di coordinate. Per fare ciò, dal punto in cui si trova il numero negativo?2, è necessario spostarsi verso destra di due passaggi. Di conseguenza, ci troveremo nel punto in cui si trova il numero 0

Si può vedere che ci siamo spostati di due passi dal punto in cui si trova il numero negativo?2 verso destra e siamo arrivati ​​al punto in cui si trova il numero 0.

Il segno più nell'espressione ?2 + 2 ci dice che dovremmo spostarci verso destra nella direzione dei numeri crescenti.

Regole per sommare e sottrarre numeri interi

Per calcolare questa o quella espressione, non è necessario immaginare ogni volta una linea di coordinate, tanto meno disegnarla. È più conveniente utilizzare regole già pronte.

Quando si applicano le regole, è necessario prestare attenzione al segno dell'operazione e ai segni dei numeri che devono essere aggiunti o sottratti. Ciò determinerà quale regola applicare.

Esempio 1. Trova il valore dell'espressione?2 + 5

Qui un numero positivo viene aggiunto a un numero negativo. In altre parole, vengono sommati numeri con segni diversi. ?2 è un numero negativo e 5 è un numero positivo. Per tali casi è prevista la seguente regola:

Quindi, vediamo quale modulo è più grande:

Il modulo del numero 5 è maggiore del modulo del numero?2. La regola richiede di sottrarre quello più piccolo dal modulo più grande. Dobbiamo quindi sottrarre 2 da 5 e mettere il segno il cui modulo è maggiore prima della risposta risultante.

Il numero 5 ha un modulo più grande, quindi il segno di questo numero sarà nella risposta. Cioè, la risposta sarà positiva:

Di solito scritto più corto? 2 + 5 = 3

Esempio 2. Trova il valore dell'espressione 3 + (?2)

Qui, come nell'esempio precedente, vengono aggiunti numeri con segni diversi. 3 è un numero positivo e ?2 è negativo. Tieni presente che il numero?2 è racchiuso tra parentesi per rendere l'espressione più chiara e gradevole. Questa espressione è molto più facile da capire dell'espressione 3+?2.

Quindi applichiamo la regola per sommare numeri con segni diversi. Come nell’esempio precedente, sottraiamo il modulo più piccolo dal modulo più grande e prima della risposta mettiamo il segno il cui modulo è più grande:

3 + (?2) = |3| ? |?2| = 3 ? 2 = 1

Il modulo del numero 3 è maggiore del modulo del numero?2, quindi abbiamo sottratto 2 da 3 e prima della risposta risultante abbiamo messo il segno del modulo maggiore. Il numero 3 ha un modulo più grande, motivo per cui nella risposta è incluso il segno di questo numero. Cioè, la risposta è positiva.

Di solito scritto più corto 3 + (?2) = 1

Esempio 3. Trovare il valore dell'espressione 3? 7

In questa espressione, un numero maggiore viene sottratto da un numero minore. In tal caso è prevista la seguente regola:

Per sottrarre un numero più grande da un numero più piccolo, devi sottrarre il numero più piccolo da quello più grande e mettere un meno davanti al risultato risultante.

C'è un piccolo problema in questa espressione. Ricordiamo che il segno uguale (=) viene posto tra quantità ed espressioni quando sono uguali tra loro.

Il valore dell'espressione 3? 7 come abbiamo scoperto che è uguale?4. Ciò significa che tutte le trasformazioni che eseguiremo in questa espressione devono essere uguali?4

Ma vediamo che nella seconda fase c'è l'espressione 7? 3, che non è uguale a?4.

Per correggere questa situazione, l'espressione 7 ? 3 deve essere messo tra parentesi e davanti a questa parentesi deve essere posto il segno meno:

3 ? 7 = ? (7 ? 3) = ? (4) = ?4

In questo caso, l'uguaglianza sarà osservata in ogni fase:

Dopo che l'espressione è stata valutata, le parentesi possono essere rimosse, ed è ciò che abbiamo fatto.

Quindi per essere più precisi la soluzione dovrebbe assomigliare a questa:

3 ? 7 = ? (7 ? 3) = ? (4) = ? 4

Questa regola può essere scritta utilizzando le variabili. Apparirà così:

UN? b = ? (b? a)

Un gran numero di parentesi e segni di operazione possono complicare la soluzione di un problema apparentemente semplice, quindi è più consigliabile imparare a scrivere brevemente tali esempi, ad esempio 3 ? 7 = ? 4.

In effetti, sommare e sottrarre numeri interi non è altro che un'addizione. Cosa significa questo? Ciò significa che se devi sottrarre dei numeri, questa operazione può essere sostituita dall'addizione.

Allora conosciamo la nuova regola:

Sottrarre un numero a un altro significa aggiungere al minuendo un numero opposto a quello da sottrarre.

Ad esempio, considera l'espressione più semplice 5? 3. Nelle fasi iniziali dello studio della matematica, abbiamo semplicemente messo un segno di uguale e abbiamo scritto la risposta:

Ma ora stiamo facendo progressi nello studio, quindi dobbiamo adattarci alle nuove regole. La nuova regola dice che sottrarre un numero a un altro significa aggiungere al minuendo un numero opposto a quello da sottrarre.

Proviamo a capire questa regola usando l'esempio dell'espressione 5?3. Il minuendo in questa espressione è 5 e il sottraendo è 3. La regola dice che per sottrarre 3 da 5, devi aggiungere a 5 un numero che è l'opposto di 3. L'opposto di 3 è il numero?3 . Scriviamo una nuova espressione:

E sappiamo già come trovare significati per tali espressioni. Questa è l'aggiunta di numeri con segni diversi, di cui abbiamo discusso sopra. Per sommare numeri con segni diversi, è necessario sottrarre quello più piccolo dal modulo più grande e prima della risposta risultante inserire il segno il cui modulo è maggiore:

5 + (?3) = |5| ? |?3| = 5 ? 3 = 2

Il modulo del numero 5 è maggiore del modulo del numero?3. Pertanto, abbiamo sottratto 3 da 5 e abbiamo ottenuto 2. Il numero 5 ha un modulo più grande, quindi inseriamo il segno di questo numero nella risposta. Cioè, la risposta è positiva.

Inizialmente, non tutti sono in grado di sostituire rapidamente la sottrazione con l'addizione. Ciò è dovuto al fatto che i numeri positivi vengono scritti senza il segno più.

Ad esempio, nell'espressione 3? Il segno meno 1 che indica la sottrazione è un segno di operazione e non si riferisce a una. L'unità in questo caso è un numero positivo e ha il proprio segno più, ma non lo vediamo, poiché tradizionalmente un più non viene scritto prima dei numeri positivi.

Pertanto, per chiarezza, questa espressione può essere scritta come segue:

Per comodità, i numeri con il proprio segno sono posti tra parentesi. In questo caso, sostituire la sottrazione con l’addizione è molto più semplice. Il numero sottratto in questo caso è il numero (+1) e il numero opposto è (?1). Sostituiamo l'operazione di sottrazione con l'addizione e al posto del sottraendo (+1) scriviamo il numero opposto (?1)

(+3) ? (+1) = (+3) + (?1) = |+3| ? |?1| = 3 ? 1 = 2

A prima vista, potrebbe sembrare che non abbiano senso questi movimenti extra se puoi usare il buon vecchio metodo di mettere un segno di uguale e scrivere immediatamente la risposta 2. In effetti, questa regola ci aiuterà più di una volta.

Risolviamo il precedente esempio 3? 7, utilizzando la regola della sottrazione. Per prima cosa riportiamo l'espressione alla forma normale, assegnando a ciascun numero i propri segni. Tre ha un segno più perché è un numero positivo. Il segno meno che indica la sottrazione non si applica al sette. Il sette ha il segno più perché è anche un numero positivo:

Sostituiamo la sottrazione con l'addizione:

Ulteriori calcoli non sono difficili:

Esempio 7. Trovare il valore dell'espressione?4 ? 5

Ancora una volta abbiamo un'operazione di sottrazione. Questa operazione deve essere sostituita dall'addizione. Al minuendo (?4) aggiungiamo il numero opposto al sottraendo (+5). Il numero opposto al sottraendo (+5) è il numero (?5).

Siamo arrivati ​​a una situazione in cui dobbiamo aggiungere numeri negativi. Per tali casi è prevista la seguente regola:

Per aggiungere numeri negativi, devi sommare i loro moduli e mettere un segno meno davanti alla risposta risultante.

Sommiamo quindi i moduli dei numeri, come la regola ci impone di fare, e mettiamo un meno davanti al risultato risultante:

(?4) ? (+5) = (?4) + (?5) = |?4| + |?5| = 4 + 5 = ?9

La voce con moduli deve essere racchiusa tra parentesi quadre e davanti a queste deve essere posto il segno meno. In questo modo forniremo un segno meno che dovrebbe apparire prima della risposta:

(?4) ? (+5) = (?4) + (?5) = ?(|?4| + |?5|) = ?(4 + 5) = ?(9) = ?9

La soluzione per questo esempio può essere scritta brevemente:

Esempio 8. Trovare il valore dell'espressione?3 ? 5? 7? 9

Portiamo l'espressione in una forma chiara. Qui, tutti i numeri tranne il numero?3 sono positivi, quindi avranno segni più:

Sostituiamo le operazioni di sottrazione con operazioni di addizione. Tutti i meno (tranne il meno, che è davanti al tre) cambieranno in più e tutti i numeri positivi cambieranno nel contrario:

Ora applichiamo la regola per aggiungere numeri negativi. Per aggiungere numeri negativi, devi sommare i loro moduli e mettere un segno meno davanti alla risposta risultante:

= ?(|?3| + |?5| + |?7| + |?9|) = ?(3 + 5 + 7 + 9) = ?(24) = ?24

La soluzione per questo esempio può essere scritta brevemente:

3 ? 5 ? 7 ? 9 = ?(3 + 5 + 7 + 9) = ?24

Esempio 9. Trova il valore dell'espressione?10 + 6? 15+11? 7

Portiamo l'espressione in una forma chiara:

Qui ci sono due operazioni: addizione e sottrazione. Lasciamo l'addizione così com'è e sostituiamo la sottrazione con l'addizione:

(?10) + (+6) ? (+15) + (+11) ? (+7) = (?10) + (+6) + (?15) + (+11) + (?7)

Seguendo l'ordine delle azioni, eseguiremo ciascuna azione a turno, in base alle regole precedentemente apprese. Le voci con moduli possono essere saltate:

Prima azione:

(?10) + (+6) = ? (10 ? 6) = ? (4) = ? 4

Seconda azione:

(?4) + (?15) = ? (4 + 15) = ? (19) = ? 19

Terza azione:

(?19) + (+11) = ? (19 ? 11) = ? (8) = ?8

Quarta azione:

(?8) + (?7) = ? (8 + 7) = ? (15) = ? 15

Pertanto, il valore dell'espressione?10 + 6? 15+11? 7 equivale a?15

Nota. Non è affatto necessario portare l'espressione in una forma comprensibile racchiudendo i numeri tra parentesi. Quando si verifica l'assuefazione ai numeri negativi, questo passaggio può essere saltato perché richiede molto tempo e può creare confusione.

Quindi, per aggiungere e sottrarre numeri interi, è necessario ricordare le seguenti regole:

Per aggiungere numeri con segni diversi, è necessario sottrarre il modulo più piccolo dal modulo più grande e prima della risposta risultante inserire il segno il cui modulo è più grande.

Per sottrarre un numero più grande da un numero più piccolo, devi sottrarre il numero più piccolo da quello più grande e mettere un segno meno davanti al risultato risultante.

Sottrarre un numero a un altro significa aggiungere a quello ridotto il numero opposto a quello sottratto.

Per aggiungere numeri negativi, devi sommare i loro moduli e mettere un segno meno davanti alla risposta risultante.

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Come moltiplicare i poteri? Quali poteri possono essere moltiplicati e quali no? Come moltiplicare un numero per una potenza?

In algebra, puoi trovare un prodotto di potenze in due casi:

1) se i titoli hanno le stesse basi;

2) se i gradi hanno gli stessi indicatori.

Quando si moltiplicano potenze con le stesse basi, è necessario lasciare la base e aggiungere gli esponenti:

Quando si moltiplicano i gradi per gli stessi indicatori, l'indicatore complessivo può essere tolto tra parentesi:

Diamo un'occhiata a come moltiplicare i poteri utilizzando esempi specifici.

L'unità non si scrive nell'esponente, ma quando si moltiplicano le potenze si tiene conto di:

Quando si moltiplica, può esserci un numero qualsiasi di potenze. Va ricordato che non è necessario scrivere il segno di moltiplicazione prima della lettera:

Nelle espressioni, l'elevamento a potenza viene eseguito per primo.

Se devi moltiplicare un numero per una potenza, devi prima eseguire l'elevamento a potenza e solo dopo la moltiplicazione:

www.algebraclass.ru

Addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione di poteri

Addizione e sottrazione di poteri

È ovvio che i numeri dotati di potenze possono essere sommati come le altre quantità , sommandoli uno dopo l'altro con i relativi segni.

Quindi la somma di a 3 e b 2 è a 3 + b 2.
La somma di a 3 - b n e h 5 - d 4 è a 3 - b n + h 5 - d 4.

Probabilità potenze uguali di variabili identiche possono essere aggiunti o sottratti.

Quindi, la somma di 2a 2 e 3a 2 è uguale a 5a 2.

È anche ovvio che se prendi due quadrati a, o tre quadrati a, o cinque quadrati a.

Ma gradi varie variabili E vari gradi variabili identiche, devono essere composti sommandoli con i relativi segni.

Quindi la somma di a 2 e a 3 è la somma di a 2 + a 3.

È ovvio che il quadrato di a, e il cubo di a, non sono pari al doppio del quadrato di a, ma al doppio del cubo di a.

La somma di a 3 b n e 3a 5 b 6 è a 3 b n + 3a 5 b 6.

Sottrazione le potenze si eseguono allo stesso modo dell'addizione, tranne che i segni dei sottraendo devono essere cambiati di conseguenza.

O:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6

Moltiplicare i poteri

I numeri dotati di potenze possono essere moltiplicati, come le altre quantità, scrivendoli uno dopo l'altro, con o senza segno di moltiplicazione tra di loro.

Pertanto, il risultato della moltiplicazione di a 3 per b 2 è a 3 b 2 o aaabb.

O:
x -3 ⋅ un m = un m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Il risultato nell'ultimo esempio può essere ordinato aggiungendo variabili identiche.
L'espressione assumerà la forma: a 5 b 5 y 3.

Confrontando diversi numeri (variabili) con potenze, possiamo vedere che se ne moltiplicano due qualsiasi, il risultato è un numero (variabile) con una potenza pari a quantità gradi di termini.

Quindi, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Qui 5 è la potenza del risultato della moltiplicazione, che è uguale a 2 + 3, la somma delle potenze dei termini.

Quindi, a n.a m = a m+n.

Per a n , a viene preso come fattore tante volte quanto la potenza di n;

E a m si prende come fattore tante volte quanto è uguale il grado m;

Ecco perché, le potenze con le stesse basi possono essere moltiplicate sommando gli esponenti delle potenze.

Quindi, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . E x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

O:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b2 y3 ⋅ b4 y = b6 y4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1

Moltiplica (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Risposta: x 4 - y 4.
Moltiplica (x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Questa regola vale anche per i numeri i cui esponenti sono negativo.

1. Quindi, a -2 .a -3 = a -5 . Questo può essere scritto come (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Se si moltiplicano a + b per a - b, il risultato sarà a 2 - b 2: cioè

Il risultato della moltiplicazione della somma o della differenza di due numeri è uguale alla somma o alla differenza dei loro quadrati.

Se moltiplichi la somma e la differenza di due numeri elevati a piazza, il risultato sarà uguale alla somma o alla differenza di questi numeri in il quarto gradi.

Quindi, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.

Divisione dei gradi

I numeri con potenze possono essere divisi come gli altri numeri, sottraendo dal dividendo o trasformandoli in frazioni.

Quindi a 3 b 2 diviso b 2 è uguale a a 3.

Scrivere un 5 diviso per 3 assomiglia a $\frac $. Ma questo è uguale a 2 . In una serie di numeri
un +4, un +3, un +2, un +1, un 0, un -1, un -2, un -3, un -4.
qualsiasi numero può essere diviso per un altro e l'esponente sarà uguale a differenza indicatori dei numeri divisibili.

Quando si dividono i gradi con la stessa base, i loro esponenti vengono sottratti..

Quindi, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Cioè $\frac = y$.

E a n+1:a = a n+1-1 = a n . Cioè $\frac = a^n$.

O:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b + y) n-3

La regola vale anche per i numeri con negativo valori dei gradi.
Il risultato della divisione -5 per -3 è -2.
Inoltre, $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.

h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 oppure $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$

È necessario padroneggiare molto bene la moltiplicazione e la divisione dei poteri, poiché tali operazioni sono molto utilizzate in algebra.

Esempi di risoluzione di esempi con frazioni contenenti numeri con potenze

1. Diminuire gli esponenti di $\frac $ Risposta: $\frac $.

2. Diminuire gli esponenti di $\frac$. Risposta: $\frac$ o 2x.

3. Riduci gli esponenti a 2 /a 3 e a -3 /a -4 e portali a un denominatore comune.
a 2 .a -4 è a -2 il primo numeratore.
a 3 .a -3 è a 0 = 1, il secondo numeratore.
a 3 .a -4 è a -1 , il numeratore comune.
Dopo la semplificazione: a -2 /a -1 e 1/a -1 .

4. Riduci gli esponenti 2a 4 /5a 3 e 2 /a 4 e portali a un denominatore comune.
Risposta: 2a 3 /5a 7 e 5a 5 /5a 7 oppure 2a 3 /5a 2 e 5/5a 2.

5. Moltiplica (a 3 + b)/b 4 per (a - b)/3.

6. Moltiplica (a 5 + 1)/x 2 per (b 2 - 1)/(x + a).

7. Moltiplica b 4 /a -2 per h -3 /x e a n /y -3 .

8. Dividere a 4 /y 3 per a 3 /y 2 . Risposta: a/a.

Proprietà del grado

Ti ricordiamo che in questa lezione capiremo proprietà dei gradi con indicatori naturali e zero. Le potenze con esponenti razionali e le loro proprietà verranno discusse nelle lezioni per la terza media.

Una potenza con esponente naturale ha diverse proprietà importanti che ci consentono di semplificare i calcoli negli esempi con potenze.

Proprietà n. 1
Prodotto di poteri

Quando si moltiplicano le potenze con le stesse basi, la base rimane invariata e si sommano gli esponenti delle potenze.

a m · a n = a m + n, dove “a” è un numero qualsiasi e “m”, “n” sono numeri naturali qualsiasi.

Questa proprietà delle potenze vale anche per il prodotto di tre o più potenze.

Semplifica l'espressione.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15

Presentatelo come una laurea.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17

Presentatelo come una laurea.
(0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Tieni presente che nella proprietà specificata si parlava solo della moltiplicazione di potenze con le stesse basi. Non si applica alla loro aggiunta.

Non è possibile sostituire la somma (3 3 + 3 2) con 3 5. Ciò è comprensibile se
calcolare (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 e 3 5 = 243

Proprietà n. 2
Gradi parziali

Quando si dividono potenze con le stesse basi, la base rimane invariata e l'esponente del divisore viene sottratto dall'esponente del dividendo.

Scrivi il quoziente come potenza
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2

Calcolare.

11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
Esempio. Risolvi l'equazione. Utilizziamo la proprietà delle potenze quozienti.
3 8: t = 3 4

Risposta: t = 3 4 = 81

Utilizzando le proprietà n. 1 e n. 2, puoi facilmente semplificare le espressioni ed eseguire calcoli.

Esempio. Semplifica l'espressione.
4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

Esempio. Trova il valore di un'espressione utilizzando le proprietà degli esponenti.

2 11 − 5 = 2 6 = 64

Si noti che nella Proprietà 2 si parlava solo di dividere poteri con le stesse basi.

Non è possibile sostituire la differenza (4 3 −4 2) con 4 1. Ciò è comprensibile se calcoli (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 e 4 1 = 4

Proprietà n. 3
Elevare un grado a una potenza

Quando si eleva un grado a potenza, la base del grado rimane invariata e gli esponenti vengono moltiplicati.

(a n) m = a n · m, dove “a” è un numero qualsiasi e “m”, “n” sono numeri naturali qualsiasi.

Si prega di notare che la proprietà n. 4, come altre proprietà dei gradi, viene applicata anche in ordine inverso.

(a n · b n)= (a · b) n

Cioè, per moltiplicare potenze con gli stessi esponenti, puoi moltiplicare le basi, ma lasciare invariato l'esponente.

Esempio. Calcolare.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10.000

Esempio. Calcolare.
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

Negli esempi più complessi, potrebbero esserci casi in cui la moltiplicazione e la divisione devono essere eseguite su potenze con basi ed esponenti diversi. In questo caso, ti consigliamo di fare quanto segue.

Ad esempio, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216

Un esempio di elevazione di un numero decimale a potenza.

4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

Proprietà 5
Potenza di un quoziente (frazione)

Per elevare un quoziente a una potenza, puoi elevare separatamente il dividendo e il divisore a questa potenza e dividere il primo risultato per il secondo.

(a: b) n = a n: b n, dove “a”, “b” sono numeri razionali, b ≠ 0, n - qualsiasi numero naturale.

Esempio. Presentare l'espressione come quoziente di potenze.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12

Ricordiamo che un quoziente può essere rappresentato come una frazione. Pertanto, ci soffermeremo più in dettaglio sull'argomento dell'elevazione di una frazione a potenza nella pagina successiva.

Poteri e radici

Operazioni con poteri e radici. Laurea con negativo ,

zero e frazionario indicatore. Di espressioni che non hanno significato.

Operazioni con i gradi.

1. Quando si moltiplicano le potenze con la stessa base, si sommano i loro esponenti:

Sono · un n = un m + n .

2. Quando si dividono i gradi con la stessa base, i loro esponenti vengono detratti .

3. Il grado del prodotto di due o più fattori è uguale al prodotto dei gradi di questi fattori.

4. Il grado di un rapporto (frazione) è uguale al rapporto tra i gradi del dividendo (numeratore) e del divisore (denominatore):

(a/b) n = un n / b n .

5. Quando si eleva una potenza a potenza, i suoi esponenti vengono moltiplicati:

Tutte le formule di cui sopra vengono lette ed eseguite in entrambe le direzioni da sinistra a destra e viceversa.

ESEMPIO (2 3 5 / 15)² = 2² · 3² · 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .

Operazioni con le radici. In tutte le formule seguenti, il simbolo significa radice aritmetica(l'espressione radicale è positiva).

1. La radice del prodotto di più fattori è uguale al prodotto delle radici di questi fattori:

2. La radice di un rapporto è uguale al rapporto tra le radici del dividendo e il divisore:

3. Quando si eleva una radice a potenza, è sufficiente elevare a questa potenza numero radicale:

4. Se aumenti il ​​grado della radice di m volte e allo stesso tempo elevi il numero radicale alla potenza m-esima, il valore della radice non cambierà:

5. Se riduci il grado della radice di m volte e contemporaneamente estrai la radice m-esima del numero radicale, il valore della radice non cambierà:

Ampliare il concetto di laurea. Finora abbiamo considerato solo i gradi con esponente naturale; ma possono portare anche operazioni con poteri e radici negativo, zero E frazionario indicatori. Tutti questi esponenti richiedono una definizione aggiuntiva.

Un grado con esponente negativo. La potenza di un certo numero con esponente negativo (intero) è definita come quella divisa per la potenza dello stesso numero con esponente uguale al valore assoluto dell'esponente negativo:

Ora la formula Sono : UN = un m - n può essere utilizzato non solo per M, più di N, ma anche con M, meno di N .

ESEMPIO UN 4: UN 7 = un 4 — 7 = un — 3 .

Se vogliamo la formula Sono : UN = Sono — N era giusto quando m = n, abbiamo bisogno di una definizione di grado zero.

Una laurea con indice pari a zero. La potenza di ogni numero diverso da zero con esponente zero è 1.

ESEMPI. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Grado con esponente frazionario. Per elevare un numero reale a alla potenza m / n, è necessario estrarre la radice n-esima della potenza m-esima di questo numero a:

Di espressioni che non hanno significato. Esistono molte di queste espressioni.

Dove UN ≠ 0 , non esiste.

In effetti, se lo assumiamo Xè un certo numero, quindi secondo la definizione dell'operazione di divisione abbiamo: UN = 0· X, cioè. UN= 0, che contraddice la condizione: UN ≠ 0

— qualsiasi numero.

In effetti, se assumiamo che questa espressione sia uguale a un numero X, allora secondo la definizione dell'operazione di divisione abbiamo: 0 = 0 · X. Ma questa uguaglianza si verifica quando qualsiasi numero x, che era ciò che doveva essere dimostrato.

0 0 — qualsiasi numero.

Soluzione Consideriamo tre casi principali:

1) X = 0 – questo valore non soddisfa questa equazione

2) quando X> 0 otteniamo: x/x= 1, cioè 1 = 1, il che significa

Che cosa X- qualsiasi numero; ma tenendo conto che in

nel nostro caso X> 0, la risposta è X > 0 ;

Regole per moltiplicare le potenze con basi diverse

LAUREA CON INDICATORE RAZIONALE,

FUNZIONE POTENZA IV

§ 69. Moltiplicazione e divisione dei poteri con le stesse basi

Teorema 1. Per moltiplicare le potenze con le stesse basi basta sommare gli esponenti e lasciare la base uguale, cioè

Prova. Per definizione di laurea

2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.

Abbiamo esaminato il prodotto di due potenze. In effetti, la proprietà provata è vera per qualsiasi numero di potenze con le stesse basi.

Teorema 2. Per dividere i poteri con le stesse basi, quando l'indice del dividendo è maggiore dell'indice del divisore, basta sottrarre l'indice del divisore dall'indice del dividendo, e lasciare la base uguale, cioè A t > pag

(UN =/= 0)

Prova. Ricordiamo che il quoziente della divisione di un numero per un altro è il numero che, moltiplicato per il divisore, dà il dividendo. Pertanto, dimostra la formula dove UN =/= 0, equivale a dimostrare la formula

Se t > pag , quindi il numero t-p sarà naturale; quindi, per il Teorema 1

Il Teorema 2 è dimostrato.

Va notato che la formula

lo abbiamo dimostrato solo presupponendo che t > pag . Pertanto, da quanto dimostrato, non è ancora possibile trarre, ad esempio, le seguenti conclusioni:

Inoltre non abbiamo ancora considerato i gradi con esponente negativo e non sappiamo ancora quale significato si possa dare all’espressione 3 - 2 .

Teorema 3. Per elevare un grado a potenza è sufficiente moltiplicare gli esponenti, lasciando la stessa base del grado, questo è

Prova. Utilizzando la definizione di grado e il Teorema 1 di questa sezione, otteniamo:

Q.E.D.

Ad esempio, (2 3) 2 = 2 6 = 64;

518 (Orale) Determinare X dalle equazioni:

1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 X ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 X ;

2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 X ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 X .

519. (Imposta n.) Semplificare:

520. (Imposta n.) Semplificare:

521. Presentare queste espressioni sotto forma di gradi con le stesse basi:

1) 32 e 64; 3) 8 5 e 16 3; 5) 4 100 e 32 50;

2) -1000 e 100; 4) -27 e -243; 6) 81 75 8 200 e 3 600 4 150.

Nell’articolo precedente abbiamo spiegato cosa sono i monomi. In questo materiale vedremo come risolvere esempi e problemi in cui vengono utilizzati. Qui considereremo azioni come sottrazione, addizione, moltiplicazione, divisione di monomi ed elevazione a una potenza con esponente naturale. Mostreremo come vengono definite tali operazioni, delineeremo le regole di base per la loro attuazione e quale dovrebbe essere il risultato. Tutti i concetti teorici, come di consueto, verranno illustrati con esempi di problemi con descrizione delle soluzioni.

È più conveniente lavorare con la notazione standard dei monomi, quindi presentiamo tutte le espressioni che verranno utilizzate nell'articolo in forma standard. Se originariamente erano specificati in modo diverso, si consiglia di portarli prima in una forma generalmente accettata.

Regole per sommare e sottrarre monomi

Le operazioni più semplici che si possono eseguire con i monomi sono la sottrazione e l'addizione. In generale, il risultato di queste azioni sarà un polinomio (in alcuni casi particolari è possibile un monomio).

Quando aggiungiamo o sottraiamo monomi, prima scriviamo la somma e la differenza corrispondenti nella forma generalmente accettata, quindi semplifichiamo l'espressione risultante. Se ci sono termini simili, è necessario citarli e aprire le parentesi. Spieghiamo con un esempio.

Esempio 1

Condizione: eseguire l'addizione dei monomi − 3 x e 2, 72 x 3 y 5 z.

Soluzione

Scriviamo la somma delle espressioni originali. Aggiungiamo le parentesi e inseriamo un segno più tra di loro. Otterremo quanto segue:

(− 3 x) + (2, 72 x 3 y 5 z)

Quando espandiamo le parentesi, otteniamo - 3 x + 2, 72 x 3 y 5 z. Questo è un polinomio, scritto in forma standard, che sarà il risultato della somma di questi monomi.

Risposta:(− 3 x) + (2,72 x 3 y 5 z) = − 3 x + 2,72 x 3 y 5 z.

Se abbiamo tre, quattro o più termini, eseguiamo questa azione esattamente allo stesso modo.

Esempio 2

Condizione: eseguire le operazioni indicate con i polinomi nell'ordine corretto

3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

Soluzione

Iniziamo aprendo le parentesi.

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c

Vediamo che l'espressione risultante può essere semplificata aggiungendo termini simili:

3 a 2 + 4 a c + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = = (3 a 2 + a 2 - 7 a 2) + 4 a c - 2 2 3 a c + 4 9 = = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9

Abbiamo un polinomio, che sarà il risultato di questa azione.

Risposta: 3 a 2 - (- 4 a c) + a 2 - 7 a 2 + 4 9 - 2 2 3 a c = - 3 a 2 + 1 1 3 a c + 4 9

In linea di principio, possiamo sommare e sottrarre due monomi, con alcune restrizioni, in modo da ottenere un monomio. Per fare ciò, è necessario soddisfare alcune condizioni relative agli addendi e ai monomi sottratti. Ti diremo come farlo in un articolo separato.

Regole per moltiplicare i monomi

L'azione di moltiplicazione non impone alcuna restrizione sui fattori. I monomi moltiplicati non devono soddisfare alcuna condizione aggiuntiva affinché il risultato sia un monomio.

Per eseguire la moltiplicazione dei monomi, è necessario seguire questi passaggi:

1. Scrivi correttamente il pezzo.
2. Espandi le parentesi nell'espressione risultante.
3. Se possibile, raggruppare separatamente i fattori con le stesse variabili e i fattori numerici.
4. Esegui le operazioni necessarie con i numeri e applica la proprietà della moltiplicazione delle potenze con le stesse basi ai fattori rimanenti.

Vediamo come questo viene fatto nella pratica.

Esempio 3

Condizione: moltiplicare i monomi 2 x 4 y z e - 7 16 t 2 x 2 z 11.

Soluzione

Iniziamo componendo l'opera.

Apriamo le parentesi al suo interno e otteniamo quanto segue:

2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11

2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11

Tutto quello che dobbiamo fare è moltiplicare i numeri nelle prime parentesi e applicare la proprietà delle potenze per la seconda. Di conseguenza, otteniamo quanto segue:

2 - 7 16 t 2 x 4 x 2 y z 3 z 11 = - 7 8 t 2 x 4 + 2 y z 3 + 11 = = - 7 8 t 2 x 6 y z 14

Risposta: 2 x 4 y z - 7 16 t 2 x 2 z 11 = - 7 8 t 2 x 6 y z 14 .

Se la nostra condizione contiene tre o più polinomi, li moltiplichiamo utilizzando esattamente lo stesso algoritmo. Considereremo la questione della moltiplicazione dei monomi in modo più dettagliato in un materiale separato.

Regole per elevare un monomio a potenza

Sappiamo che una potenza con esponente naturale è il prodotto di un certo numero di fattori identici. Il loro numero è indicato dal numero nell'indicatore. Secondo questa definizione, elevare un monomio a potenza equivale a moltiplicare il numero specificato di monomi identici. Vediamo come è fatto.

Esempio 4

Condizione: eleva il monomio − 2 · a · b 4 alla potenza 3 .

Soluzione

Possiamo sostituire l'elevamento a potenza con la moltiplicazione di 3 monomi − 2 · a · b 4 . Scriviamolo e otteniamo la risposta desiderata:

(− 2 · a · b 4) 3 = (− 2 · a · b 4) · (− 2 · a · b 4) · (− 2 · a · b 4) = = ((− 2) · (− 2) · (− 2)) · (a · a · a) · (b 4 · b 4 · b 4) = − 8 · a 3 · b 12

Risposta:(− 2 · a · b 4) 3 = − 8 · a 3 · b 12 .

Ma cosa succede se il grado ha un indicatore di grandi dimensioni? È scomodo registrare un gran numero di fattori. Quindi, per risolvere un problema del genere, dobbiamo applicare le proprietà di un grado, vale a dire la proprietà di un grado di prodotto e la proprietà di un grado in un grado.

Risolviamo il problema che abbiamo presentato sopra utilizzando il metodo indicato.

Esempio 5

Condizione: eleva − 2 · a · b 4 alla terza potenza.

Soluzione

Conoscendo la proprietà potenza-grado, possiamo procedere ad un'espressione della forma seguente:

(− 2 · a · b 4) 3 = (− 2) 3 · a 3 · (b 4) 3 .

Successivamente eleviamo alla potenza - 2 e applichiamo la proprietà delle potenze alle potenze:

(− 2) 3 · (a) 3 · (b 4) 3 = − 8 · a 3 · b 4 · 3 = − 8 · a 3 · b 12 .

Risposta:− 2 · un · b 4 = − 8 · un 3 · b 12 .

Abbiamo anche dedicato un articolo a parte all'elevazione di un monomio a potenza.

Regole per dividere i monomi

L'ultima operazione con i monomi che esamineremo in questo materiale è la divisione di un monomio per un monomio. Di conseguenza, dovremmo ottenere una frazione razionale (algebrica) (in alcuni casi è possibile ottenere un monomio). Chiariamo subito che la divisione per zero monomiale non è definita, poiché la divisione per 0 non è definita.

Per eseguire la divisione dobbiamo scrivere i monomi indicati sotto forma di frazione e ridurli, se possibile.

Esempio 6

Condizione: dividere il monomio − 9 · x 4 · y 3 · z 7 per − 6 · p 3 · t 5 · x 2 · y 2 .

Soluzione

Iniziamo scrivendo i monomi in forma frazionaria.

9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2

Questa frazione può essere ridotta. Dopo aver eseguito questa azione otteniamo:

3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5

Risposta:- 9 x 4 y 3 z 7 - 6 p 3 t 5 x 2 y 2 = 3 x 2 y z 7 2 p 3 t 5 .

Le condizioni alle quali, come risultato della divisione dei monomi, otteniamo un monomio, sono riportate in un articolo separato.

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Se devi elevare un numero specifico a una potenza, puoi usare . Ora daremo uno sguardo più approfondito proprietà dei gradi.

Numeri esponenziali aprono grandi possibilità, ci permettono di trasformare la moltiplicazione in addizione, e sommare è molto più facile che moltiplicare.

Ad esempio, dobbiamo moltiplicare 16 per 64. Il prodotto della moltiplicazione di questi due numeri è 1024. Ma 16 è 4x4 e 64 è 4x4x4. Cioè, 16 per 64 = 4x4x4x4x4, che è anche uguale a 1024.

Il numero 16 può anche essere rappresentato come 2x2x2x2 e 64 come 2x2x2x2x2x2 e se moltiplichiamo otteniamo nuovamente 1024.

Ora usiamo la regola. 16=4 2, o 2 4, 64=4 3, o 2 6, allo stesso tempo 1024=6 4 =4 5, o 2 10.

Pertanto il nostro problema può essere scritto diversamente: 4 2 x4 3 =4 5 oppure 2 4 x2 6 =2 10, e ogni volta otteniamo 1024.

Possiamo risolvere una serie di esempi simili e vedere che moltiplicando numeri per potenze si riduce a aggiungendo esponenti, o esponenziale, ovviamente, a condizione che le basi dei fattori siano uguali.

Quindi, senza eseguire la moltiplicazione, possiamo dire subito che 2 4 x2 2 x2 14 = 2 20.

Questa regola vale anche quando si dividono i numeri per potenze, ma in questo caso l'esponente del divisore viene sottratto dall'esponente del dividendo. Quindi, 2 5:2 3 =2 2, che nei numeri ordinari è uguale a 32:8 = 4, cioè 2 2. Riassumiamo:

a m x a n = a m+n, a m: a n = a m-n, dove m e n sono numeri interi.

A prima vista può sembrare che lo sia Moltiplicare e dividere i numeri con le potenze non molto comodo, perché prima bisogna rappresentare il numero in forma esponenziale. Non è difficile rappresentare i numeri 8 e 16, cioè 2 3 e 2 4, in questa forma, ma come farlo con i numeri 7 e 17? Oppure cosa fare nei casi in cui un numero può essere rappresentato in forma esponenziale, ma le basi per le espressioni esponenziali dei numeri sono molto diverse. Ad esempio, 8x9 è 2 3 x 3 2, nel qual caso non possiamo sommare gli esponenti. Né 2 5 né 3 5 sono la risposta, né la risposta si trova nell'intervallo tra questi due numeri.

Allora vale la pena preoccuparsi di questo metodo? Ne vale sicuramente la pena. Fornisce enormi vantaggi, soprattutto per calcoli complessi e dispendiosi in termini di tempo.

Ti ricordiamo che in questa lezione capiremo proprietà dei gradi con indicatori naturali e zero. Le potenze con esponenti razionali e le loro proprietà verranno discusse nelle lezioni per la terza media.

Una potenza con esponente naturale ha diverse proprietà importanti che ci consentono di semplificare i calcoli negli esempi con potenze.

Proprietà n. 1
Prodotto di poteri

Ricordare!

Quando si moltiplicano le potenze con le stesse basi, la base rimane invariata e si sommano gli esponenti delle potenze.

a m · a n = a m + n, dove “a” è un numero qualsiasi e “m”, “n” sono numeri naturali qualsiasi.

Questa proprietà delle potenze vale anche per il prodotto di tre o più potenze.

• Semplifica l'espressione.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Presentatelo come una laurea.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Presentatelo come una laurea.
  (0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Importante!

Tieni presente che nella proprietà indicata si parlava solo di moltiplicare le potenze con per gli stessi motivi . Non si applica alla loro aggiunta.

Non è possibile sostituire la somma (3 3 + 3 2) con 3 5. Ciò è comprensibile se
calcolare (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 e 3 5 = 243

Proprietà n. 2
Gradi parziali

Ricordare!

Quando si dividono potenze con le stesse basi, la base rimane invariata e l'esponente del divisore viene sottratto dall'esponente del dividendo.

= 11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44

Esempio. Risolvi l'equazione. Utilizziamo la proprietà delle potenze quozienti.
3 8: t = 3 4

T = 3 8 − 4

Risposta: t = 3 4 = 81

Utilizzando le proprietà n. 1 e n. 2, puoi facilmente semplificare le espressioni ed eseguire calcoli.

• Esempio. Semplifica l'espressione.
  4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
• Esempio. Trova il valore di un'espressione utilizzando le proprietà degli esponenti.
  = = = 2 9 + 2

  2 5

  = 2 11

  2 5

  = 2 11 − 5 = 2 6 = 64

  Importante!

  Si noti che nella Proprietà 2 si parlava solo di dividere poteri con le stesse basi.

  Non è possibile sostituire la differenza (4 3 −4 2) con 4 1. Questo è comprensibile se conti (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 e 4 1 = 4

  Stai attento!

  Proprietà n. 3
  Elevare un grado a una potenza

  Ricordare!

  Quando si eleva un grado a potenza, la base del grado rimane invariata e gli esponenti vengono moltiplicati.

  (a n) m = a n · m, dove “a” è un numero qualsiasi e “m”, “n” sono numeri naturali qualsiasi.

  
  

  Proprietà 4
  Potenza del prodotto

  Ricordare!

  Quando si eleva un prodotto a una potenza, ciascuno dei fattori viene elevato a una potenza. I risultati ottenuti vengono poi moltiplicati.

  (a b) n = a n b n, dove “a”, “b” sono numeri razionali qualsiasi; "n" è un numero naturale qualsiasi.

  • Esempio 1.
    (6 un 2 b 3 c) 2 = 6 2 un 2 2 b 3 2 c 1 2 = 36 un 4 b 6 c 2
    
  • Esempio 2.
    (−x 2 y) 6 = ((−1) 6 x 2 6 y 1 6) = x 12 y 6

  Importante!

  Si prega di notare che la proprietà n. 4, come altre proprietà dei gradi, viene applicata anche in ordine inverso.

  (a n · b n)= (a · b) n

  Cioè, per moltiplicare potenze con gli stessi esponenti, puoi moltiplicare le basi, ma lasciare invariato l'esponente.

  • Esempio. Calcolare.
    2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10.000
  • Esempio. Calcolare.
    0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

  Negli esempi più complessi, potrebbero esserci casi in cui la moltiplicazione e la divisione devono essere eseguite su potenze con basi ed esponenti diversi. In questo caso, ti consigliamo di fare quanto segue.

  Per esempio, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
  

  Un esempio di elevazione di un numero decimale a potenza.

  4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

  Proprietà 5
  Potenza di un quoziente (frazione)

  Ricordare!

  Per elevare un quoziente a una potenza, puoi elevare separatamente il dividendo e il divisore a questa potenza e dividere il primo risultato per il secondo.

  (a: b) n = a n: b n, dove “a”, “b” sono numeri razionali qualsiasi, b ≠ 0, n è qualsiasi numero naturale.

  • Esempio. Presentare l'espressione come quoziente di potenze.
    (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

  Ricordiamo che un quoziente può essere rappresentato come una frazione. Pertanto, ci soffermeremo più in dettaglio sull'argomento dell'elevazione di una frazione a potenza nella pagina successiva.