Proiezione di vettori sugli assi. Proiezione (geometrica, algebrica) di un vettore su un asse. Proprietà delle proiezioni. Tipi di proiezioni per definizione proiezione vettoriale

Proiezione vettore su un asse è un vettore che si ottiene moltiplicando la proiezione scalare di un vettore su questo asse e il vettore unitario di questo asse. Ad esempio, se x – proiezione scalare vettore UN all'asse X, quindi una x io- la sua proiezione vettoriale su questo asse.

Denotiamo proiezione vettoriale uguale al vettore stesso, ma con l'indice dell'asse su cui è proiettato il vettore. Quindi, la proiezione vettoriale del vettore UN sull'asse X indichiamo UN X ( grasso una lettera che denota un vettore e un pedice del nome dell'asse) o (una lettera non in grassetto che denota un vettore, ma con una freccia in alto (!) e un pedice del nome dell'asse).

Proiezione scalare viene chiamato il vettore per asse numero, il cui valore assoluto è pari alla lunghezza del segmento dell'asse (sulla scala selezionata) racchiuso tra le proiezioni del punto iniziale e del punto finale del vettore. Di solito invece dell'espressione proiezione scalare dicono semplicemente - proiezione. La proiezione è indicata con la stessa lettera del vettore proiettato (nella scrittura normale, non in grassetto), con un indice inferiore (di regola) del nome dell'asse su cui questo vettore è proiettato. Ad esempio, se un vettore viene proiettato sull'asse X UN, quindi la sua proiezione è indicata con una x. Quando si proietta lo stesso vettore su un altro asse, se l'asse è Y, la sua proiezione sarà indicata con y.

Per calcolare la proiezione vettore su un asse (ad esempio l'asse X), è necessario sottrarre la coordinata del punto iniziale dalla coordinata del suo punto finale, cioè
un x = x k − x n.
La proiezione di un vettore su un asse è un numero. Inoltre, la proiezione può essere positiva se il valore x k è maggiore del valore x n,

negativo se il valore x k è inferiore al valore x n

e uguale a zero se x k è uguale a x n.

La proiezione di un vettore su un asse può essere trovata anche conoscendo il modulo del vettore e l'angolo che forma con tale asse.

Dalla figura è chiaro che a x = a Cos α

cioè, la proiezione del vettore sull'asse è uguale al prodotto del modulo del vettore e del coseno dell'angolo compreso tra la direzione dell'asse e direzione del vettore. Se l'angolo è acuto, allora
Cos α > 0 e a x > 0 e, se ottuso, il coseno dell'angolo ottuso è negativo e anche la proiezione del vettore sull'asse sarà negativa.

Gli angoli misurati dall'asse in senso antiorario sono considerati positivi mentre gli angoli misurati lungo l'asse sono negativi. Tuttavia, poiché il coseno è una funzione pari, cioè Cos α = Cos (− α), quando si calcolano le proiezioni, gli angoli possono essere contati sia in senso orario che antiorario.

Per trovare la proiezione di un vettore su un asse, il modulo di questo vettore deve essere moltiplicato per il coseno dell'angolo formato dalla direzione dell'asse alla direzione del vettore.

Coordinate vettoriali— coefficienti dell'unica combinazione lineare possibile di vettori di base nel sistema di coordinate selezionato, uguali al vettore dato.

dove sono le coordinate del vettore.

Prodotto scalare vettori

Prodotto scalare di vettori[- in dimensione finita spazio vettorialeè definito come la somma dei prodotti di componenti identici moltiplicati vettori.

Ad esempio la S.p.v. UN = (UN 1 , ..., UN) E B = (B 1 , ..., b n):

(UN , B ) = UN 1 B 1 + UN 2 B 2 + ... + a n b n

UN. La proiezione del punto A sull'asse PQ (Fig. 4) è la base a della perpendicolare calata da un dato punto a un dato asse. L'asse su cui proiettiamo è chiamato asse di proiezione.

B. Siano dati due assi e un vettore A B, mostrati in Fig. 5.

Un vettore il cui inizio è la proiezione dell'inizio e la cui fine è la proiezione della fine di questo vettore si chiama proiezione del vettore A B sull'asse PQ e si scrive così;

A volte l'indicatore PQ non è scritto in fondo; ciò avviene nei casi in cui, oltre a PQ, non esiste altro sistema operativo su cui potrebbe essere progettato.

Con. Teorema I. Le grandezze dei vettori che giacciono su un asse sono correlate come le grandezze delle loro proiezioni su qualsiasi asse.

Siano dati gli assi e i vettori indicati in Fig. 6. Dalla somiglianza dei triangoli è chiaro che le lunghezze dei vettori sono correlate come le lunghezze delle loro proiezioni, cioè

Poiché i vettori nel disegno sono diretti in direzioni diverse, le loro grandezze hanno segni diversi, quindi,

Ovviamente anche le grandezze delle proiezioni hanno segni diversi:

sostituendo (2) in (3) in (1), otteniamo

Invertendo i segni, otteniamo

Se i vettori sono equamente diretti, anche le loro proiezioni avranno la stessa direzione; non ci saranno segni meno nelle formule (2) e (3). Sostituendo (2) e (3) nell'uguaglianza (1), otteniamo immediatamente l'uguaglianza (4). Quindi il teorema è dimostrato in tutti i casi.

D. Teorema II. La grandezza della proiezione di un vettore su qualsiasi asse è uguale alla grandezza del vettore moltiplicata per il coseno dell'angolo tra l'asse delle proiezioni e l'asse del vettore. Lasciamo che gli assi siano dati come un vettore come indicato in Fig. . 7. Costruiamo un vettore con la stessa direzione del suo asse e tracciato, ad esempio, dal punto di intersezione degli assi. Lascia che la sua lunghezza sia uguale a uno. Poi la sua grandezza

Definizione 1. Su un piano, una proiezione parallela del punto A sull'asse l è un punto - il punto di intersezione dell'asse l con una linea retta tracciata attraverso il punto A parallela al vettore che specifica la direzione del progetto.

Definizione 2. La proiezione parallela di un vettore sull'asse l (rispetto al vettore) è la coordinata del vettore rispetto alla base asse l, dove i punti e sono proiezioni parallele dei punti A e B rispettivamente sull'asse l (Fig. 1).

Secondo la definizione che abbiamo

Definizione 3. se e la base dell'asse l Cartesiano, cioè la proiezione del vettore sull'asse l detta ortogonale (Fig. 2).

Nello spazio rimane in vigore la definizione 2 del vettore proiezione sull'asse, solo la direzione di proiezione è specificata da due vettori non collineari (Fig. 3).

Dalla definizione di proiezione di un vettore su un asse segue che ciascuna coordinata di un vettore è una proiezione di questo vettore sull'asse definito dal corrispondente vettore base. In questo caso la direzione del progetto è specificata da altri due vettori base se il progetto è eseguito (considerato) nello spazio, oppure da un altro vettore base se il progetto è considerato su un piano (Fig. 4).

Teorema 1. La proiezione ortogonale di un vettore sull'asse l è uguale al prodotto del modulo del vettore e del coseno dell'angolo formato dalla direzione positiva dell'asse l e, cioè

Dall'altro lato

Da troviamo

Sostituendo AC nell'uguaglianza (2), otteniamo

Fin dai numeri X e lo stesso segno in entrambi i casi considerati ((Fig. 5, a) ; (Fig. 5, b), quindi dall'uguaglianza (4) segue

Commento. Nel seguito considereremo solo la proiezione ortogonale del vettore sull'asse e quindi dalla notazione verrà omessa la parola “ort” (ortogonale).

Presentiamo una serie di formule che verranno utilizzate successivamente per risolvere i problemi.

a) Proiezione del vettore sull'asse.

Se, allora la proiezione ortogonale sul vettore secondo la formula (5) ha la forma

c) Distanza da un punto a un piano.

Sia b un piano dato con un vettore normale, M un punto dato,

d è la distanza dal punto M al piano b (Fig. 6).

Se N è un punto arbitrario del piano b, e e sono proiezioni dei punti M e N sull'asse, allora

• G) La distanza tra le linee che si intersecano.

Siano a e b date linee che si intersecano, sia un vettore perpendicolare ad esse, A e B siano punti arbitrari delle linee a e b, rispettivamente (Fig. 7), e siano proiezioni dei punti A e B su, quindi

e) Distanza da un punto ad una linea.

Permettere l- una determinata retta con un vettore direzione M - un dato punto,

N - la sua proiezione sulla linea l, quindi - la distanza richiesta (Fig. 8).

Se A è un punto arbitrario su una linea l, poi dentro triangolo rettangolo Si possono trovare MNA, ipotenusa MA e gambe. Significa,

f) L'angolo formato da una retta e da un piano.

Sia il vettore direzione di questa linea l, - vettore normale di un dato piano b, - proiezione di una linea retta l al piano b (Fig. 9).

Come è noto, l'angolo μ formato da una retta l e la sua proiezione sul piano b è chiamata angolo tra la linea e il piano. Abbiamo

Forniamo esempi di risoluzione di problemi metrici utilizzando il metodo delle coordinate vettoriali.

Siano due vettori e sia dato lo spazio. Rimandiamo da un punto arbitrario O vettori e. Angolo tra i vettori è detto il più piccolo degli angoli. Designato .

Considera l'asse l e tracciare su di esso un vettore unitario (cioè un vettore la cui lunghezza è uguale a uno).

Ad un angolo tra il vettore e l'asse l capire l'angolo tra i vettori e .

Quindi lasciamo lè un asse ed è un vettore.

Indichiamo con UN 1 E B1 proiezioni sull'asse l rispettivamente punti UN E B. Facciamo finta che UN 1 ha una coordinata x1, UN B1– coordinare x2 sull'asse l.

Poi proiezione vettore per asse l chiamata differenza x1 – x2 tra le coordinate delle proiezioni della fine e dell'inizio del vettore su questo asse.

Proiezione del vettore sull'asse l indicheremo .

È chiaro che se l'angolo tra il vettore e l'asse l piccante quindi x2> x1 e proiezione x2 – x1> 0; se questo angolo è ottuso, allora x2< x1 e proiezione x2 – x1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси l, Quello x2= x1 E x2– x1=0.

Pertanto, la proiezione del vettore sull'asse lè la lunghezza del segmento A1B1, preso con un certo segno. Pertanto la proiezione del vettore sull'asse è un numero o uno scalare.

La proiezione di un vettore su un altro è determinata in modo simile. In questo caso si trovano le proiezioni delle estremità di questo vettore sulla linea su cui giace il 2° vettore.

Diamo un'occhiata ad alcuni fondamentali proprietà delle proiezioni.

SISTEMI VETTORIALI LINEARMENTE DIPENDENTI E LINEARMENTE INDIPENDENTI

Consideriamo diversi vettori.

Combinazione lineare di questi vettori è qualsiasi vettore della forma , dove sono presenti alcuni numeri. I numeri sono chiamati coefficienti di combinazione lineare. Dicono anche che in questo caso è espresso linearmente attraverso questi vettori, cioè si ottiene da essi utilizzando azioni lineari.

Ad esempio, se vengono forniti tre vettori, i seguenti vettori possono essere considerati come la loro combinazione lineare:

Se un vettore è rappresentato come una combinazione lineare di alcuni vettori, allora si dice che lo sia disposte lungo questi vettori.

I vettori sono chiamati linearmente dipendente, se ci sono numeri, non tutti uguali a zero, tali che . È chiaro che dati vettori saranno linearmente dipendenti se uno qualsiasi di questi vettori è espresso linearmente in termini degli altri.

Altrimenti, ad es. quando il rapporto eseguito solo quando , questi vettori sono chiamati linearmente indipendenti.

Teorema 1. Due vettori qualsiasi sono linearmente dipendenti se e solo se sono collineari.

Prova:

In modo analogo si può dimostrare il seguente teorema.

Teorema 2. Tre vettori sono linearmente dipendenti se e solo se sono complanari.

Prova.

BASE

Baseè un insieme di vettori linearmente indipendenti diversi da zero. Indicheremo gli elementi della base con .

Nel paragrafo precedente abbiamo visto che due vettori non collineari su un piano sono linearmente indipendenti. Pertanto, secondo il Teorema 1 del paragrafo precedente, una base su un piano sono due vettori qualsiasi non collineari su questo piano.

Allo stesso modo, tre vettori qualsiasi non complanari sono linearmente indipendenti nello spazio. Di conseguenza, chiamiamo base nello spazio tre vettori non complanari.

La seguente affermazione è vera.

Teorema. Sia data una base nello spazio. Quindi qualsiasi vettore può essere rappresentato come una combinazione lineare , Dove X, sì, z- alcuni numeri. Questa è l'unica decomposizione.

Prova.

Pertanto, la base consente a ciascun vettore di essere associato in modo univoco a una terna di numeri: i coefficienti dell'espansione di questo vettore nei vettori base: . È vero anche il contrario, per ogni tre numeri x, y, z utilizzando la base, puoi confrontare il vettore se crei una combinazione lineare .

Se la base e , poi i numeri x, y, z sono chiamati coordinate vettore in una data base. Le coordinate vettoriali sono indicate con .

SISTEMA DI COORDINATE CARTESIANO

Sia dato un punto nello spazio O e tre vettori non complanari.

Sistema di coordinate cartesiano nello spazio (sul piano) è l'insieme di un punto e di una base, cioè un insieme di un punto e tre vettori non complanari (2 vettori non collineari) provenienti da questo punto.

Punto O chiamato l'origine; le linee rette che passano per l'origine delle coordinate nella direzione dei vettori base sono chiamate assi delle coordinate: asse dell'ascissa, ordinata e applicata. I piani che passano per gli assi delle coordinate sono chiamati piani delle coordinate.

Considera un punto arbitrario nel sistema di coordinate selezionato M. Introduciamo il concetto di coordinate puntuali M. Vettore che collega l'origine ad un punto M. chiamato vettore del raggio punti M.

Un vettore nella base selezionata può essere associato a una terna di numeri – le sue coordinate: .

Coordinate del raggio vettore del punto M. sono chiamati coordinate del punto M. nel sistema di coordinate considerato. M(x,y,z). La prima coordinata si chiama ascissa, la seconda ordinata e la terza applicata.

Le coordinate cartesiane sul piano vengono determinate in modo simile. Qui il punto ha solo due coordinate: ascissa e ordinata.

È facile vedere che per un dato sistema di coordinate, ogni punto ha determinate coordinate. D'altra parte, per ogni terna di numeri esiste un punto unico che ha questi numeri come coordinate.

Se i vettori presi come base nel sistema di coordinate selezionato hanno una lunghezza unitaria e sono perpendicolari a due a due, viene chiamato il sistema di coordinate Rettangolare cartesiano.

È facile dimostrarlo.

I coseni direzionali di un vettore determinano completamente la sua direzione, ma non dicono nulla sulla sua lunghezza.

Una descrizione vettoriale del movimento è utile, poiché in un disegno puoi sempre rappresentare molti vettori diversi e ottenere una "immagine" visiva del movimento davanti ai tuoi occhi. Tuttavia, utilizzare ogni volta un righello e un goniometro per eseguire operazioni con i vettori richiede molto lavoro. Pertanto, queste azioni si riducono ad azioni con positivo e numeri negativi– proiezioni di vettori.

Proiezione del vettore sull'asse chiamata quantità scalare pari al prodotto del modulo del vettore proiettato e del coseno dell'angolo tra le direzioni del vettore e l'asse delle coordinate selezionato.

Il disegno a sinistra mostra un vettore spostamento, il cui modulo è 50 km, e le sue forme di direzione angolo ottuso 150° con la direzione dell'asse X. Utilizzando la definizione, troviamo la proiezione dello spostamento sull'asse X:

sx = s cos(α) = 50 km cos(150°) = –43 km

Poiché l'angolo tra gli assi è di 90°, è facile calcolare che la direzione del movimento forma un angolo acuto di 60° con la direzione dell'asse Y. Utilizzando la definizione, troviamo la proiezione dello spostamento sull'asse Y:

sy = s cos(β) = 50 km cos(60°) = +25 km

Come puoi vedere, se la direzione del vettore forma un angolo acuto con la direzione dell'asse, la proiezione è positiva; se la direzione del vettore forma un angolo ottuso con la direzione dell'asse, la proiezione è negativa.

Nel disegno a destra è mostrato un vettore velocità, il cui modulo è 5 m/s, e la direzione forma un angolo di 30° con la direzione dell'asse X. Troviamo le proiezioni:

υx = υ · cos(α) = 5 m/s · cos( 30°) = +4,3 m/s
υy = υ · cos(β) = 5 m/s · cos( 120°) = –2,5 m/s

È molto più semplice trovare proiezioni di vettori sugli assi se i vettori proiettati sono paralleli o perpendicolari agli assi selezionati. Si noti che per il caso del parallelismo sono possibili due opzioni: il vettore è co-direzionale all'asse e il vettore è opposto all'asse, e per il caso della perpendicolarità c'è solo un'opzione.

La proiezione di un vettore perpendicolare all'asse è sempre zero (vedi sy e y nel disegno a sinistra e sx e υx nel disegno a destra). Infatti, per un vettore perpendicolare all'asse, l'angolo tra esso e l'asse è 90°, quindi il coseno è zero, il che significa che la proiezione è zero.

La proiezione di un vettore codirezionale con l'asse è positiva e uguale al suo valore assoluto, ad esempio sx = +s (vedi disegno a sinistra). Infatti, per un vettore codirezionale con l'asse, l'angolo tra esso e l'asse è zero, e il suo coseno è “+1”, cioè la proiezione è uguale alla lunghezza del vettore: sx = x – xo = + S .

La proiezione del vettore opposto all'asse è negativa e uguale al suo modulo preso con segno meno, ad esempio sy = –s (vedi disegno a destra). Infatti, per un vettore opposto all'asse, l'angolo tra esso e l'asse è 180°, e il suo coseno è “–1”, cioè la proiezione è uguale alla lunghezza del vettore preso con segno negativo: sy = y – yo = –s .

Il lato destro di entrambi i disegni mostra altri casi in cui i vettori sono paralleli ad uno dei assi coordinati e perpendicolare all'altro. Ti invitiamo ad accertarti personalmente che anche in questi casi vengano seguite le regole formulate nei paragrafi precedenti.