Derivata e differenziale di una funzione complessa di più variabili. Derivate parziali Derivate parziali di una funzione complessa esempi con soluzione

1°. Il caso di una variabile indipendente. Se z=f(x,y) è una funzione differenziabile degli argomenti xey, che a loro volta sono funzioni differenziabili della variabile indipendente T: , quindi la derivata della funzione complessa può essere calcolato utilizzando la formula

Esempio. Scopri se, dove.

Soluzione. Secondo la formula (1) abbiamo:

Esempio. Trova la derivata parziale e la derivata totale se .

Soluzione. .

In base alla formula (2) otteniamo .

2°. Il caso di più variabili indipendenti.

Permettere z =F (X ;sì) - funzione di due variabili X E sì, ognuno dei quali è una funzione della variabile indipendente t : x =X (t ), y =sì (T). In questo caso la funzione z =F (X (T);sì (T ))è una funzione complessa di una variabile indipendente T; variabili xey sono variabili intermedie.

Teorema. Se z == F(X ; sì) - differenziabile in un punto M(x;y)D funzione e x =X (T) E A =sì (T) - funzioni differenziabili della variabile indipendente T, quindi la derivata di una funzione complessa z (T) == F(X (T);sì (T )) calcolato dalla formula

Caso speciale:z = F (X ; sì), dove y = y(x), quelli. z = F (X ;sì (X )) - funzione complessa di una variabile indipendente X. Questo caso si riduce a quello precedente e al ruolo della variabile T gioca X. Secondo la formula (3) abbiamo:

.

L'ultima formula è chiamata formule di derivata totale.

Caso generale:z = F (X ;sì), Dove x =X (tu;v ),y =sì (tu;v). Allora z = F (X (tu;v);sì (tu;v)) - funzione complessa di variabili indipendenti E E v. Le sue derivate parziali possono essere trovate utilizzando la formula (3) come segue. Avendo riparato v, sostituiamo in esso le corrispondenti derivate parziali

Pertanto, la derivata di una funzione complessa (z) rispetto a ciascuna variabile indipendente (E E v)è uguale alla somma dei prodotti delle derivate parziali di questa funzione (z) rispetto alle sue variabili intermedie (x e y) alle loro derivate rispetto alla corrispondente variabile indipendente (u e v).

In tutti i casi considerati la formula è valida

(proprietà di invarianza di un differenziale totale).

Esempio. Trova e se z = F(x ,y ), dove x =uv , .

Soluzione. Applicando le formule (4) e (5), otteniamo:

Esempio. Mostrare che la funzione soddisfa l'equazione .

Soluzione. La funzione dipende da xey tramite un argomento intermedio, quindi

Sostituendo le derivate parziali nella parte sinistra dell'equazione, abbiamo:

Cioè, la funzione z soddisfa questa equazione.

Derivata in una data direzione e gradiente della funzione

1°. Derivata di una funzione in una data direzione. Derivato funzioni z= F(x,y) in questa direzione chiamato , dove e sono i valori della funzione nei punti e . Se la funzione z è differenziabile, la formula è valida

dove sono gli angoli tra le direzioni l e gli assi coordinati corrispondenti. La derivata in una data direzione caratterizza il tasso di variazione di una funzione in quella direzione.

Esempio. Trovare la derivata della funzione z = 2x 2 - 3 2 nel punto P (1; 0) nella direzione che forma un angolo di 120° con l'asse OX.

Soluzione. Troviamo le derivate parziali di questa funzione e i loro valori nel punto P.

Viene fornita una dimostrazione della formula per la derivata di una funzione complessa. Vengono considerati in dettaglio i casi in cui una funzione complessa dipende da una o due variabili. Viene fatta una generalizzazione al caso di un numero arbitrario di variabili.

Guarda anche: Esempi di utilizzo della formula per la derivata di una funzione complessa

Formule di base

Qui forniamo la derivazione delle seguenti formule per la derivata di una funzione complessa.
Se poi
.
Se poi
.
Se poi
.

Derivata di una funzione complessa da una variabile

Sia rappresentata una funzione di variabile x come una funzione complessa nella seguente forma:
,
dove ci sono alcune funzioni. La funzione è differenziabile per qualche valore della variabile x. La funzione è differenziabile per il valore della variabile.
Allora la funzione complessa (composita) è differenziabile nel punto x e la sua derivata è determinata dalla formula:
(1) .

La formula (1) può anche essere scritta come segue:
;
.

Prova

Introduciamo la seguente notazione.
;
.
Qui c'è una funzione delle variabili e , c'è una funzione delle variabili e . Ma ometteremo gli argomenti di queste funzioni per non confondere i calcoli.

Poiché le funzioni e sono differenziabili nei punti x e , rispettivamente, allora in questi punti ci sono le derivate di queste funzioni, che sono i seguenti limiti:
;
.

Consideriamo la seguente funzione:
.
Per un valore fisso della variabile u, è una funzione di . E' ovvio
.
Poi
.

Poiché la funzione è differenziabile in quel punto, in quel punto è continua. Ecco perché
.
Poi
.

Ora troviamo la derivata.

.

La formula è provata.

Conseguenza

Se una funzione di una variabile x può essere rappresentata come una funzione complessa di una funzione complessa
,
quindi la sua derivata è determinata dalla formula
.
Qui , e ci sono alcune funzioni differenziabili.

Per dimostrare questa formula, calcoliamo in sequenza la derivata utilizzando la regola per differenziare una funzione complessa.
Consideriamo la funzione complessa
.
Il suo derivato
.
Considera la funzione originale
.
Il suo derivato
.

Derivata di una funzione complessa da due variabili

Lasciamo ora che la funzione complessa dipenda da più variabili. Per prima cosa diamo un'occhiata caso di una funzione complessa di due variabili.

Sia rappresentata una funzione dipendente dalla variabile x come una funzione complessa di due variabili nella forma seguente:
,
Dove
e ci sono funzioni differenziabili per qualche valore della variabile x;
- una funzione di due variabili, differenziabile nel punto , . Quindi la funzione complessa è definita in un certo intorno del punto e ha una derivata, che è determinata dalla formula:
(2) .

Prova

Poiché le funzioni e sono differenziabili nel punto, sono definite in un certo intorno di questo punto, sono continue nel punto e nel punto esistono le loro derivate, che sono i seguenti limiti:
;
.
Qui
;
.
A causa della continuità di queste funzioni in un punto, abbiamo:
;
.

Poiché la funzione è differenziabile nel punto, è definita in un certo intorno di questo punto, è continua in questo punto e il suo incremento può essere scritto nella forma seguente:
(3) .
Qui

- incremento di una funzione quando i suoi argomenti vengono incrementati di valori e ;
;

- derivate parziali della funzione rispetto alle variabili e .
Per valori fissi di e , e sono funzioni delle variabili e . Tendono a zero a e:
;
.
Da e , quindi
;
.

Incremento della funzione:

. :
.
Sostituiamo la (3):



.

La formula è provata.

Derivata di una funzione complessa da più variabili

La conclusione precedente può essere facilmente generalizzata al caso in cui il numero di variabili di una funzione complessa è maggiore di due.

Ad esempio, se f è funzione di tre variabili, Quello
,
Dove
, e ci sono funzioni differenziabili per qualche valore della variabile x;
- funzione differenziabile di tre variabili nel punto , , .
Quindi, dalla definizione di differenziabilità della funzione, si ha:
(4)
.
Perché, per continuità,
; ; ,
Quello
;
;
.

Dividendo la (4) e passando al limite si ottiene:
.

E infine, consideriamo il caso più generale.
Sia rappresentata una funzione di variabile x come una funzione complessa di n variabili nella forma seguente:
,
Dove
ci sono funzioni differenziabili per qualche valore della variabile x;
- funzione differenziabile di n variabili in un punto
, , ... , .
Poi
.

§ 5. Derivate parziali di funzioni complesse. differenziali di funzioni complesse

1. Derivate parziali di una funzione complessa.

Sia una funzione di due variabili i cui argomenti E , sono esse stesse funzioni di due o più variabili. Ad esempio, lasciamo
,
.

Poi Volere funzione complessa variabili indipendenti E , le variabili saranno per lei variabili intermedie. In questo caso, come trovare le derivate parziali di una funzione rispetto a E ?

Ovviamente puoi esprimerlo direttamente in termini di e:

e cercare le derivate parziali della funzione risultante. Ma l'espressione può essere molto complessa e trovare derivate parziali , allora richiederà molto impegno.

Se le funzioni
,
,
sono differenziabili, quindi trovare ed è possibile senza ricorrere all'espressione diretta attraverso e . In questo caso, le formule saranno valide

(5.1)

Anzi, diamo l'argomentazione incremento
, – cost. Poi le funzioni
E riceveranno incrementi

e la funzione verrà incrementata

Dove , – infinitesimo a
,
. Dividiamo tutti i termini dell'ultima uguaglianza per . Noi abbiamo:

Poiché per condizione le funzioni e sono differenziabili, sono continue. Pertanto, se
, quindi e . Ciò significa che passando al limite nell'ultima uguaglianza si ottiene:

(poiché , sono infinitesimi per , ).

La seconda uguaglianza della (5.1) si dimostra in modo analogo.

ESEMPIO. Permettere
, Dove
,
. Allora è una funzione complessa delle variabili indipendenti e . Per trovare le sue derivate parziali usiamo la formula (5.1). Abbiamo

Sostituendo nella (5.1), otteniamo

,

Le formule (5.1) sono naturalmente generalizzate al caso di una funzione con un numero maggiore di argomenti indipendenti e intermedi. Vale a dire, se

………………………

e tutte le funzioni in esame sono differenziabili, quindi per qualsiasi
c'è uguaglianza

È anche possibile che gli argomenti della funzione siano funzioni di una sola variabile, ad es.

,
.

Allora sarà una funzione complessa di una sola variabile e possiamo sollevare la questione di trovare la derivata . Se le funzioni
,
sono differenziabili, allora può essere trovato con la formula
(5.2)

ESEMPIO. Permettere
, Dove
,
. Ecco una funzione complessa di una variabile indipendente. Usando la formula (5.2) otteniamo

.

E infine, è possibile che il ruolo della variabile indipendente sia svolto da , cioè ,

Dove
.

Dalla formula (5.2) si ottiene quindi

(5.3)

(Perché
). Derivato , nella formula (5.3) a destra è la derivata parziale della funzione rispetto a . Si calcola con un valore fisso. Derivato sul lato sinistro della formula (5.3) viene chiamato derivata completa della funzione . Nel calcolarlo si è tenuto conto del fatto che dipende in due modi: direttamente e tramite il secondo argomento.

ESEMPIO. Trova e per la funzione
, Dove
.

Abbiamo
.

Per trovare usiamo la formula (5.3). Noi abbiamo

.

E in conclusione di questo paragrafo, notiamo che le formule (5.2) e (5.3) sono facilmente generalizzabili al caso di funzioni con un gran numero di argomenti intermedi.

2. Differenziale di una funzione complessa.

Ricordiamolo se

è una funzione differenziabile di due variabili indipendenti, quindi per definizione

, (5.4)

o in altra forma
. (5.5)

Il vantaggio della formula (5.5) è che rimane vera anche quando è una funzione complessa.

Infatti, sia , dove , . Supponiamo che le funzioni , , siano differenziabili. Allora anche la funzione complessa sarà differenziabile e il suo differenziale totale secondo la formula (5.5) sarà uguale a

.

Applicando la formula (5.1) per calcolare le derivate parziali di una funzione complessa, otteniamo

Poiché i differenziali completi delle funzioni e sono tra parentesi, finalmente abbiamo

Siamo quindi convinti che sia nel caso in cui e siano variabili indipendenti, sia nel caso in cui e siano variabili dipendenti, il differenziale della funzione può essere scritto nella forma (5.5). A questo proposito, questa forma di registrazione del differenziale totale viene chiamata invariante . La forma di scrittura del differenziale proposta nella (5.4) non sarà invariante; potrà essere utilizzata solo nel caso in cui e siano variabili indipendenti. Anche la forma di scrittura del differenziale non sarà invariante -esimo ordine. Ricordiamo che in precedenza abbiamo dimostrato che esiste un differenziale di ordine funzione di due variabili può essere trovata dalla formula

. (4.12)

Ma se non sono variabili indipendenti, allora la formula (4.12) per
cessa di essere vero.

Ovviamente tutti i ragionamenti svolti in questa sezione per una funzione a due variabili possono essere ripetuti nel caso di una funzione con un numero maggiore di argomenti. Pertanto per una funzione il differenziale può essere scritto anche in due forme:

e la seconda forma di notazione sarà invariante, cioè giusto anche nel caso in cui
non sono variabili indipendenti, ma argomenti intermedi.

§ 6. Differenziazione delle funzioni implicite

Parlando dei modi per definire una funzione di una o più variabili, abbiamo notato che la definizione analitica di una funzione può essere esplicita o implicita. Nel primo caso il valore della funzione si trova dai valori noti degli argomenti; nel secondo, il valore della funzione e i suoi argomenti sono legati da qualche equazione. Tuttavia, non abbiamo specificato quando le equazioni

E

definire funzioni specificate implicitamente e rispettivamente. Condizioni sufficienti di facile utilizzo per l'esistenza di una funzione implicita variabili (
) sono contenuti nel seguente teorema.

TEOREMA6.1 . (esistenza di una funzione implicita) Sia la funzione
e le sue derivate parziali
sono definiti e continui in qualche intorno del punto. Se
E
, allora esiste un quartiere del genere punto in cui l'equazione

definisce una funzione continua e

1) Considera l'equazione
. Le condizioni del teorema sono soddisfatte, ad esempio, in qualsiasi intorno del punto
. Pertanto, in qualche quartiere del punto
questa equazione definisce una funzione implicita di due variabili e . Un'espressione esplicita di questa funzione può essere facilmente ottenuta risolvendo l'equazione per:

2) Considera l'equazione
. Definisce due funzioni di due variabili e . Infatti, le condizioni del teorema sono soddisfatte, ad esempio, in qualsiasi intorno del punto

, in cui l'equazione data definisce una funzione continua che assume il valore
.

D’altra parte le condizioni del teorema sono soddisfatte in qualunque intorno del punto
. Di conseguenza, in un certo intorno del punto l'equazione definisce una funzione continua che assume il valore nel punto
.

Poiché una funzione non può assumere due valori in un punto, significa che stiamo parlando di due funzioni diverse
e corrispondentemente. Cerchiamo le loro espressioni esplicite. Per fare ciò, risolviamo l'equazione originale per . Noi abbiamo

3) Considera l'equazione
. È ovvio che le condizioni del teorema sono soddisfatte in qualunque intorno del punto
. Di conseguenza, esiste un tale intorno del punto
, in cui l'equazione definisce come funzione implicita della variabile . È impossibile ottenere un'espressione esplicita per questa funzione, poiché l'equazione non può essere risolta rispetto a .

4) Equazione
non definisce alcuna funzione implicita, poiché non esistono coppie di numeri reali che la soddisfino.

Funzione
, dato dall'equazione
, secondo il Teorema 6.1, ha derivate parziali continue rispetto a tutti gli argomenti nell'intorno del punto. Scopriamo come trovarli senza specificare esplicitamente la funzione.

Lasciamo la funzione
soddisfa le condizioni del Teorema 6.1. Poi l'equazione
funzione continua
. Consideriamo la funzione complessa
, Dove . La funzione è una funzione complessa di una variabile e if
, Quello

(6.1)

D'altra parte, secondo la formula (5.3) per calcolare la derivata totale
(6.2)

Dalle (6.1) e (6.2) otteniamo che se , allora

(6.3)

Commento. Dividi per è possibile, poiché secondo il Teorema 6.1
ovunque nelle vicinanze.

ESEMPIO. Trova la derivata della funzione implicita data dall'equazione e calcola il suo valore
.

,
.

Sostituendo le derivate parziali nella formula (6.3), otteniamo

.

Successivamente, sostituendo nell'equazione originale, troviamo due valori:
E
.

Di conseguenza, nell’intorno del punto l’equazione definisce due funzioni:
E
, Dove
,
. Le loro derivate saranno uguali

E
.

Vediamo ora l'equazione
definisce in qualche intorno di un punto
funzione Troviamolo. Ricordiamo che in realtà questa è la derivata ordinaria di una funzione considerata come funzione di una variabile a valore costante. Possiamo quindi applicare la formula (6.3) per trovarlo, considerandolo una funzione, un argomento, una costante. Noi abbiamo

. (6.4)

Allo stesso modo, considerando una funzione, un argomento, una costante, utilizzando la formula (6.3) troviamo

. (6.5)

ESEMPIO. Trova le derivate parziali della funzione data dall'equazione
.

,
,
.

Utilizzando le formule (6.4) e (6.5), otteniamo

,
.

Infine, consideriamo il caso generale in cui l'equazione

definisce una funzione di variabili in un certo intorno di un punto. Ripetendo gli argomenti svolti per una funzione di due variabili implicitamente data, otteniamo

,
, …,
.

§ 7. Derivata direzionale

1. Derivata direzionale.

Sia definita una funzione di due variabili in qualche dominio
aereo
, – punto della regione, –vettore di qualsiasi direzione. Partiamo dal punto
ad un punto nella direzione del vettore. La funzione riceverà un incremento

Dividiamo l'incremento della funzione
dalla lunghezza del segmento offset
. Rapporto risultante
fornisce il tasso medio di variazione della funzione nell'area
. Quindi il limite di questo rapporto a
(se esiste ed è finito) sarà il tasso di variazione della funzione in quel punto
nella direzione del vettore. Egli è chiamato derivata di una funzione in un punto nella direzione del vettore e denotare
O
.

Oltre alla velocità di variazione della funzione, consente anche di determinare la natura della variazione della funzione in un punto nella direzione del vettore (in aumento o in diminuzione):

Queste affermazioni si dimostrano allo stesso modo di altre simili per una funzione di una variabile.

Si noti che le derivate parziali di una funzione sono un caso speciale di derivata direzionale. Vale a dire,
questa è la derivata della funzione nella direzione del vettore (direzione dell'asse
), è la derivata della funzione nella direzione del vettore (direzione dell'asse
).

Supponiamo che la funzione sia differenziabile in quel punto. Poi

Dove – infinitesimo a
.